3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件

ab
a2 1
3、若a b 1，P
lg a·lg b，Q
1 (lg a
lg b)，
2
R lg( a b )，则( B )
2
A、R P Q
B、P Q R
C、R P Q
D、P Q R
4、求证 : (a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
例5、已知a、b、c都是正数，证明： a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c)
练习
5、已知a、b、c都是正数，证明：
111 1 1 1 2a 2b 2c a b b c c a
公式运用 正用、逆用、变形用
基本不等式（均值不等式）
ab
a b 2 ab
ab 2
ab ( a b )2 2
课后练习
1、已知x 5，则函数y 4x 2 1 的最小值是 __5_____
4
4x 5
2、已知x 5，则函数y 4x 2 1 的最大值是 __1____
4
4x 5
3、已知 lg x lg y 1，则 5 2 的最小值是 ___2_____
xy
4、求y 2 3 x 4 的最小值.(其中x 1)
当且仅当 x y 即x y时，等号成立. yx
所以 x y 2 yx
例4、已知x、y都是正数，求证： ( x y)( x 2 y 2 )( x 3 y 3 ) 8 x 3 y 3
练习 3、已知a, b, c, d是正数，求证 (ab cd )(ac bd ) 4abcd
4、已知a、b、c都是正数，a + b + c = 1, 求证：(1 – a)(1 – b)(1 – c)≥ 8abc。
使用均值不等式应注意三个条件：
(1)a、b均为正数; (2)a+b与ab有一个为定值; (3)等号必须取到。 以上三个条件缺一不可
简记：“一正”、“二定”、“三相等”。
三、例题讲解
例1、已知x 0，求x 1 的最值
解：∵ x 0xx 1 2 Nhomakorabeax 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
1.重要不等式 如果a, b R，那么a 2 b2 2ab (当且仅当a b时，取""号)
例6、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为
4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元， 池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价 最低？最低总造价是多少？
练习
某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨， 运费为4万元每次.一年的总存储费用为4x万元，要 使一年的总运费与总存储费用之和最小，求x的值
则a 2 b 2 2ab (当且仅当a b时取等号)
二、新课探究
1.重要不等式 如果a, b R，那么a 2 b2 2ab (当且仅当a b时，取""号)
2.基本不等式（均值不等式） 如果a 0, b 0，那么 a b ab 2 (当且仅当a b时，取""号)
证明:基本不等式：a
解： y x 3 2 x 3
x2
x2
当且仅当
x
x
x
2 3
，即x 2
3时,函数有最小值是 6
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．
例2、若x 2，函数y x 3 ， x2
当x为何值时，函数有最值 ，并求其最值.
解： x 2， x 2 0
y x 3 ( x 2) 3 2
已知x 1，求x 1 的最小值以及取得最小 值时x的值 x1
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
构造和为定值，利用基本不等式求最值
例2、 已知0 x 1 ，求函数y x(1 3x)的最大值
3
1 12
练习： 1、若x,y∈R+，且x+4y=20，求xy的最大值
练习
2、已知0 x 1，求x 1 x 2的最大值.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
证明：∵ x 0，y 0， x 0，y 0, yx
由基本不等式有 x y 2 x y 2, y x yx
a 2 b2 2ab
a2 b2 ab
2
使用均值不等式应注意三个条件：
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例1、求函数y 1 x( x 3)的最小值
x3
练习:
x2
x2
2 ( x 2) 3 2 2 3 2 x2
当且仅当x 2 3 ，即x 2 3时, x2
函数有最小值是 2 3 2
例3、求函数y sin 4 其中 (0, ]的最小值.
sin
2
解：y sin 4 2 sin 4 4，
sin
sin
函数的最小值为 4.
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
x
例2、若x 2，函数y x 3 ， x2
当x为何值时，函数有最值 ，并求其最值.
3.4 基本不等式
一、问题引入
如图是在北京召开的第24届国 际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 你能在图中找出一些相等关系或不等关系吗？
S四个三角形 2ab S大正方形 a 2 b 2
设 AC = a , BC = b 。
过点C作垂直于AB的弦DE，
连接AD、BD。
E
Rt三角形ACD与Rt三角形DCB相似
a CD CD b
CD2 ab CD ab
a b ab (当且仅当a b时，取" "号)
2 基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”
2.基本不等式 （均值定理）
x2 1 x2 x2 1 x2 2
3、已知x 1，求y x 2 的最小值. x1
例3、
求函数f
(x)
2x2
x
3 (x
0)的最大值，及此时 x的值
x
解：f ( x) 2x 2 x 3 1 (2x 3 )，
x
x
因为x 0，所以2x 3 2 2x 3 2 6
x
x
所以 (2x 3 ) 2 6 x
课后练习
1、已知x, y是正实数，且2x 5 y 20 (1)求u lg x lg y的最大值；
(2)求 1 1 的最小值 xy
2、设a>0，b>0，给出下列不等式，其中恒成立的
是 (1)(2)(3)。
(1)a 1 2 a
(2)(a 1 )(b 1 ) 4 ab
(3)(a b)( 1 1 ) 4 (4)a 2 1 1 2
2
b
ab (a 0, b 0)
要证： a b ab ① 2
只要证：a b 2 ab ②
要证②，只要证: a b 2 ab 0 ③
要证③，只要证: ( a b )2 0 ④
④式显然成立.当且仅当a=b时， ④中的等号 成立.
基本不等式的几何解释
在右图中，AB是圆的直径，
点C是AB上的一点，
当且仅当2x 3 即x 6 时，取等号
x
2
所以f ( x) 1 2 6
所以f ( x)的最大值为2 6，此时x的值为 6 2
例4、
已知x 0, y 0,且 1 9 1,求x y的最小值, xy
并求此时的 x和y值.
当x 4, y 12时, ( x y)min 16 练习
已知x 0, y 0,且2x y 1，求 1 1 的最小值. xy
2.基本不等式（均值不等式） 如果a 0, b 0，那么 a b ab（ a b 2 ab） 2 (当且仅当a b时，取""号)
注意：
1.定理成立的条件不同： 前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数. 2.取等号时的条件相同：当且仅当a =b时，取等号。
2.基本不等式（均值不等式） 如果a 0, b 0，那么 a b ab 2 (当且仅当a b时，取""号)
x 1
当且仅当x
1
23 3
时,
ymin
4
35
5、求y x (1 2x)的最大值.(其中0 x 1 )
2
当且仅当x
1 时, 4
ymax
1 8
均值不等式在实际中的应用
例5、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个
矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多 少？ (2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？