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人教版八年级下册数学17章《勾股定理》解答题专项训练(带答案)

人教版八年级下册数学17章勾股定理解答题专题训练1．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，求∠ABD的度数．2．如图，在∠ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，AD∠BC，垂足为D．求AD的长．3．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高？（旗杆粗细、断裂磨损忽略不计）4．如图所示，在∠ABC中，AB∠BC∠CA＝3∠4∠5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．(1)经过3秒时，∠BPQ的面积为多少？(2)当t为何值时，BP＝1BQ？2(3)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？5．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，90ABC ∠=︒．求阴影部分的面积．6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．(1)画出ABC 关于直线MN 对称的A 1B 1C 1；(2)求AB 1C 的面积；(3)试判断ABC 的形状并说明理由．7．如图，在∠ABC 和∠CDE 中，∠ABC ＝∠CDE ＝90°，且AC ∠CE ，AC ＝CE ．(1)求证：ABC CDE △≌△(2)若AC ＝13，DE ＝5，求DB 的长．8．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＞AC ，CD ∠AB 于点D ，点E 是AB 的中点，连接CE ．(1)若AC ＝3，BC ＝4，求CD 的长；(2)求证：BC 2﹣AC 2＝2DE •AB ；(3)求证：CE ＝12AB ．9．如图，ABC 中，3AB AC ==，4BC =．(1)求高AD 的长；(2)求ABC 的面积．10．《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何？”大意是：已知甲、乙二人从同一地点出发，甲的速度与乙的速度之比为7：3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇．这时甲、乙各走了多远？11．如图，△ABC中，△ABC=45°，△BAC=60°，D为BC上一点，△ADC=60°，AE∠BC于点E，CF∠AD于点F，AE、CF相交于点G．(1)求△DAC的度数；(2)求证：DF=FG；(3)若DC=2，求线段EG的长．12．如图，点C在线段BD上，AC∠BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连接DE并延长交AB于点F．(1)求证：DE∠AB；(2)若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助本题提供的图形，用面积法证明勾股定理．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．(1)若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；(2)若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．14．如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，DE AB ⊥，7DE =，ABE ∆的面积为35．(1)求AB 的长；(2)求ACB ∆的面积．15．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()1,4和()3,0，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上．(1)求出AB 的长．(2)求出ABC 的周长的最小值？16．如图，CD 是∠ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是∠ACD 和∠BCD 的高．(1)求证CD ∠EF ；(2)若AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，∠ACB ＝60°，求CG 的长．17．如图，在∠ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动．(1)求线段DP的最小值；(2)当DP最小时，求CDP的面积．18．如图，∠ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．(1)求证：∠A＝90°；(2)若BC2＝56，AD∠BD＝3∠4，求AC的长．于D．19．已知∠ABC中，AB＝AC，CD AB(1)若∠A＝42°，求∠DCB的度数；(2)若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．参考答案：1．解：在直角∠BCD 中，∠C ＝90°，BC ＝3，CD ＝4，∠BD ＝5，在∠ABD 中，AD 2＝132=169，AB 2+BD 2＝122+52=144+25=169，∠AD 2＝AB 2+BD 2，∠∠ABD 是直角三角形，∠∠ABD ＝90°．2．解：在ABC ∆中，8AB =，6AC =，10BC =，2222228610010AB AC BC ∴+=+===，90CAB ∴∠=︒，AD BC ⊥，1122ABC S AC AB BC AD ∆∴==， 4.8AC AB AD BC ∴==． 3．如图，由题意可知ABC 为直角三角形，且90ACB ∠=︒，∠10AB =米，∠10 2.812.8AB BC +=+=米．故这根旗杆被吹断裂前有12.8米高．4(1)设AB 、BC 、CA 分别为3x 、4x 、5x ，由题意得：3x ＋4x ＋5x ＝36，解得：x ＝3，则AB ＝3x ＝9，BC ＝4x ＝12，AC ＝5x ＝15，∠AB 2＋BC 2＝92＋122＝225，AC 2＝152＝225，∠AB 2＋BC 2＝AC 2，∠∠B ＝90°，当t ＝3时，AP ＝3cm ，BQ ＝6cm ，则BP ＝9﹣3＝6cm ，∠S △BPQ ＝12×6×6＝18（cm 2）；(2)由题意得：AP ＝t ，BQ ＝2t ，则BP ＝6﹣t ，当BP ＝12BQ 时，6﹣t ＝12×2t ，解得：t ＝3；(3)当点B 在PQ 的垂直平分线上时，BP ＝BQ ，即6﹣t ＝2t ，解得：t ＝2．5．解：如图，连结AC ．∠90B ∠=︒，3AB =，4BC =，5AC ∴=． 12CD =，13AD =，5AC =，222AC CD AD ∴+=，ACD ∴∆是直角三角形且∠ACD =90°，11512343062422ACD ABC S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=-=阴影．6．解：∠A1B1C1如图所示；，(2)解：∠AB1C的面积=4×4-12×1×4-12×2×3-12×2×4=16-2-3-4=16-9=7；，(3)解：由勾股定理得，ABBC，AC，∠AB2+AC2=2+）2=25=52，∠AB2+AC2=BC2，∠∠ABC是直角三角形．7．(1)证明：∠AC∠CE，∠ABC=∠CDE=90°，∠∠BCA+∠DCE=90°，∠A+∠BCA=90°∠∠DCE=∠A．∠在∠ABC 和∠CDE 中，90ABC D A DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABC ∠∠CDE (AAS)．(2)∠∠ABC ∠∠CDE ，DE ＝5，AC ＝13∠BC ＝DE ＝5，CE ＝13∠在Rt CDE △中，12CD ==∠1257DB CD BC =-=-=．8．解：在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，由勾股定理得：AB5，∠∠ACB ＝90°，CD ∠AB ，∠S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •DE ，即12×3×4＝12×5×CD ，解得：CD ＝125； (2)证明：∠点E 是AB 的中点，∠AE ＝BE ，∠BD ﹣AD ＝（BE +DE ）﹣（AE ﹣DE ）＝BE ﹣AE +2DE ＝2DE ，∠CD ∠AB ，∠BC 2＝BD 2+CD 2，AC 2＝AD 2+CD 2，∠BC 2﹣AC 2＝（BD 2+CD 2）﹣（AD 2+CD 2）＝BD 2﹣AD 2＝（BD +AD ）（BD ﹣AD ）＝AB •2DE ＝2DE •AB ；(3)证明：延长CE 至点F ，使EF ＝CE ，连结AF ，在∠AEF 和∠BEC 中，AE BE AEF BEC EF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AEF ∠∠BEC （SAS ），∠∠B ＝∠EAF ，AF ＝BC ，∠∠ACB ＝90°，∠∠B +∠CAB ＝∠EAF +∠CAB ＝90°，∠∠CAF ＝∠ACB ＝90°，∠AC ＝CA ，∠∠ACF ∠∠CAB （SAS ），∠CF ＝AB ，∠CF ＝2CE ，∠CE ＝12AB ．9．解：∠ ABC 中，3AB AC ==，4BC =，AD 是ABC 的高， ∠2BD DC ==，AD BC ⊥，∠AD ==(2)解：∠4BC =，AD =∠114522S ABC BC AD ==⨯⨯= 10．解：如图设经x 秒二人在B 处相遇，这时乙共行AB =3x ，甲共行AC +BC =7x ，∠AC =10，∠BC =7x -10，又∠∠A =90°，∠BC 2=AC 2+AB 2，∠（7x -10）2=102+（3x ）2，解得：x 1=0（舍去），x 2=3.5，∠AB =3x =10.5，AC +BC =7x =24.5．答：甲行24.5步，乙行10.5步．11．(1)∠60ADC ∠=︒，∠604515DAB ADC B ∠=∠-∠=︒=-︒︒， ∠601545DAC BAC DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．(2)∠45DAC ∠=︒，且CF AD ⊥，∠90AFC CFD ∠=∠=︒，45ACF DAC ∠=∠=︒， ∠AF CF =．又∠90FAG AGF ∠+∠=︒，90DAE ADE ∠+∠=︒ ∠ADC AGF ∠=∠，∠()AFG CFD AAS ≌△△，∠DF FG =；(3)在Rt CFD △中，90CFD ∠=︒，60CDF ∠=︒， ∠112DF CD ==， ∠1FG DF ==．在Rt CFD △中，CF∠1CG CF FG =-=．在Rt CGE △中，90GEC ∠=︒，9030GCE ADC ∠=︒-∠=︒，∠12EG CG == 12．证明：∠AC ∠BD ，∠∠ABC 和∠DCE 都是直角三角形， ∠CA ＝CD ，DE ＝AB ，∠()Rt ABC Rt DCE HL ≅ ，∠∠BAC =∠CDE ，∠∠BAC +∠ABC =90°，∠∠CDE +∠ABC =90°，∠∠BFD =90°，∠DE ∠AB ；(2)解：∠Rt ABC Rt DCE ≅，∠DE =AB =c ，CE =BC =a ，设EF =x ，则DF =c +x ，∠DE ∠AB ， ∠()1122ABD SAB DF c c x =⋅=+ ，1122ABE S AB EF cx =⋅=， ∠ABD ACD BCE ABE S S S S =++， ∠()2211112222c c x cx a b +=++ ， ∠222+=a b c ．13．解：∠AB ＝AC ，AC =8，∠AB =8，∠AD =17，BD =15，∠22281517+=，即222AB BD AD +=， ∠∠ABD =90°，即AB ∠BD ；(2)∠∠D =28°，∠DBC =121°，∠∠C =180°-28°-121°=31°，∠AB =AC ，∠∠ABC =∠C =31°，∠∠DAB =∠C +∠ABC =62°．14(1) 解：由题意知17352ABE SAB =⨯= 解得10AB =∠AB 的长为10．(2)解：在ABC 中，2210100AB ==，222268100AC BC +=+= ∠222AB AC BC =+∠90C ∠=︒ ∠11682422ABC S AC BC ∆=⨯=⨯⨯=∠ABC 的面积为24．15作AD OB ⊥于D ，如图1所示：则90,1,4,3ADB OD AD OB ∠====︒， ∠312BD =-=，∠AB =(2)解：要使ABC 的周长最小，AB 一定，则AC BC +最小，作A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点C ，点C 即为使AC BC +最小的点，作A E x '⊥轴于E ，由对称的性质得：AC A C '=，,4,1AC BC A B A E OE ''+===，OB =3， ∠=4BE OE OB +=，由勾股定理得：A B =='∠ABC 的周长的最小值为 16.(1)∠CD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AC ，DF ∠BC ， ∠DE =DF ，∠CDE 和∠CDF 是直角三角形， ∠CD =CD ，∠()Rt CDE Rt CDF HL ≅，∠CE =CF ，∠CD 垂直平分EF ，即CD ∠EF△(2)∠CE =CF ，∠ACB ＝60°，∠∠CEF 是等边三角形，∠EF =CE ，∠ACD =30°，∠CD ∠EF ， ∠1122EG EF CE ==， ∠AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，DE =DF ，ABC ACD BCD S S S =+△△△， ∠ ()11110222DE AC DF BC DE AC BC ⨯+⨯=⨯+=，解得：DE =2，在Rt CDE △ 中，∠ACD =30°，∠CD =2DE =4，∠CE∠1122EG EF CE ===∠3CG ．17解：当DP ∠BC 时，线段DP 的值最小，∠BD 平分∠ABC ，∠A =90°，当DP ∠BC 时，DP =AD ，∠AD =3，∠DP 的最小值是3；(2)解：∠∠A =90°，∠BD ，当DP 最小时，DP =3，DP ∠BC ，则∠DPB =∠DPC =90°，∠PB =4，∠CP =BC -PB =12-4=8，∠∠CDP 的面积=12CP ×DP =12×8×3=12，即当DP 最小时，∠CDP 的面积为12． 18解：连接CD ．∠ DE 垂直平分BC ∠CD ＝BD ．∠ BD2－DA2＝AC2 ，∠ CD2－DA2＝AC2 ．∠∠A＝90°．(2)解：∠ AD∠BD＝3∠4，∠设AD＝3x，BD＝4x．7,AB xBD2－DA2＝AC2 ，∠∠A＝90°，∠AC2＝7x2．∠BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56，∠x＝1．（负根舍去）∠AC=19(1)∠AB＝AC，∠∠B＝∠ACB∠∠A＝42°∠11(180)(18042)69 22ACB A∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒∠CD∠AB，∠∠ACD＝90°-42°=48°∠∠DCB＝69°-48°＝21°；(2)设AC＝AB＝x，∠BD＝1，CD＝3∠AD＝x-1，∠CD∠AB∠222 DC AD CA+=∠222 3(1)x x+-=∠5x=∠M为AC的中点∠1522 MD AC==。

人教版八年级数学下册专题训练(含参考答案与解析)

人教版八年级数学下册专题训练（附答案与解析）说明：本套训练习题包含12个专题：类比归纳专题：二次根式求值的常用方法考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题解题技巧专题：正方形中特殊的证明(计算)方法思想方法专题：矩形中的折叠问题核心素养专题：四边形中的探究与创新类比归纳专题：有关中点的证明与计算解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法思想方法专题：勾股定理中的思想方法解题技巧专题：勾股定理与面积问题难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题解题技巧专题：函数图象信息题考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题——代几综合，明确中考风向标◆类型一一次函数与面积问题1．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________．2．如图，直线y ＝－2x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B.【易错7】(1)求A ，B 两点的坐标；(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于点P ，且使OP ＝2OA ，求△ABP 的面积．3．如图，直线y ＝－x ＋10与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，点A 的坐标为(8，0)，点P(x ，y)是在第一象限内直线y ＝－x ＋10上的一个动点．(1)求△OPA 的面积S 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当△OPA 的面积为10时，求点P 的坐标．◆类型二一次函数与三角形、四边形的综合4．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的对称中心与原点重合，顶点A 的坐标为(－1，1)，顶点B 在第一象限，若点B 在直线y ＝kx ＋3上，则k 的值为________．第4题图第5题图5．(2016·温州中考)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是()A．y＝x＋5 B．y＝x＋10C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10◆类型三一次函数与几何图形中的规律探究问题6．(2017·安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n－1B n顶点B n的横坐标为________．第6题图第7题图7．★(2016·潍坊中考)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形A n B n C n C n－1，使得点A1，A2，A3，…在直线l上，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是________．参考答案与解析1．16解析：如图，∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB ＝90°，BC＝5，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝BC2－AB2＝4，∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5.即OA′＝5，∴CC′＝AA′＝5－1＝4.∴S▱BCC′B′＝CC′·CA＝4×4＝16.即线段BC扫过的面积为16.2．解：(1)令y＝0，则－2x＋3＝0，解得x＝32；令x＝0，则y＝3，∴点A的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，点B 的坐标为(0，3)． (2)由(1)得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，∴OA ＝32，∴OP ＝2OA ＝3，∴点P 的坐标为(3，0)或(－3，0)，∴AP ＝OP －OA ＝32或AP ＝OP ＋OA ＝92，∴S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×92×3＝274或S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×32×3＝94.综上所述，△ABP 的面积为274或94.3．解：(1)∵点P 在直线y ＝－x ＋10上，且点P 在第一象限内，∴x >0且y >0，即－x ＋10>0，解得0<x <10.∵点A (8，0)，∴OA ＝8，∴S ＝12OA ·|y P |＝12×8×(－x ＋10)＝－4x ＋40(0<x <10)．(2)当S ＝10时，即－4x ＋40＝10，解得x ＝152.当x ＝152时，y ＝－152＋10＝52，∴当△OP A 的面积为10时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，52. 4．－2 5.C6．2n ＋1－2 解析：由题意得OA ＝OA 1＝2，∴OB 1＝OA 1＝2，B 1B 2＝B 1A 2＝4，B 2A 3＝B 2B 3＝8，∴B 1(2，0)，B 2(6，0)，B 3(14，0)….∵2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…∴B n 的横坐标为2n ＋1－2.故答案为2n ＋1－2.7．(2n －1，2n －1) 解析：∵y ＝x －1与x 轴交于点A 1，∴点A 1的坐标为(1，0)．∵四边形A 1B 1C 1O 是正方形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴点B 1的坐标为(1，1)．∵C 1A 2∥x 轴，点A 2在直线y ＝x －1上，∴点A 2的坐标为(2，1)．∵四边形A 2B 2C 2C 1是正方形，∴A 2B 2＝A 2C 1＝2，∴点B 2的坐标为(2，3)，同理可得点B 3的坐标为(4，7)．∵B 1(20，21－1)，B 2(21，22－1)，B 3(22，23－1)，…，∴点B n 的坐标为(2n －1，2n －1)．难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC 到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图②，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足P A ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE ＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EEF ＝3 3 .在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP＝90°.∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP ＝10，∴PM ＝12E AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3 .在△ANP 和△AMP 中，⎩⎨⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3 .∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°.3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎨⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义◆类型一费用类问题一、建立一次函数模型解决问题1．(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？二、分段函数问题2．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数解析式；(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．三、两个一次函数图象结合的问题3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A 点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个四、分类讨论思想4．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y 甲，y 乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出y 甲，y 乙关于x 的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？◆类型二路程类问题一、两个一次函数图象结合的问题5．(2017·青岛中考)A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2)；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km?二、分段函数问题6．(2016·新疆中考)暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式；(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远？◆类型三工程类问题一、两个一次函数图象结合的问题7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x ＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有________(填序号)．二、分段函数问题8．(2016·绍兴中考)根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m 3)和开始排水后的时间t(h )之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？ (2)当2≤t ≤3.5时，求Q 关于t 的函数解析式．参考答案与解析1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元．由题意得⎩⎨⎧14m ＋（20－14）n ＝49，14m ＋（18－14）n ＝42，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝3.5.答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ；当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.综上所述，y ＝⎩⎨⎧2x （0≤x ≤14），3.5x －21（x >14）.(3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)．答：小明家5月份应交水费70元．2．解：(1)当0≤x ≤20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝ax ，把(20，160)代入y ＝ax 中，得a ＝8.即y 与x 的函数解析式为y ＝8x ；当x >20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(20，160)，(40，288)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得⎩⎨⎧k ＝6.4，b ＝32，即y 与x 的函数解析式为y ＝6.4x ＋32.综上所述，y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧8x （0≤x ≤20），6.4x ＋32（x >20）.(2)∵B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，∴⎩⎨⎧x ≤35，x ≥45－x ，∴22.5≤x ≤35.设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347.∵k ＝－0.6<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝35，45－x ＝10时，总费用最低，即购买B 种树苗35棵，A 种树苗10棵时，总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)． 3．D4．解：(1)设y 甲＝kx ，把(2000，1600)代入，得2000k ＝1600，解得k ＝0.8，所以y 甲＝0.8x .当0＜x ＜2000时，设y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得2000k ＝2000，解得k ＝1，所以y 乙＝x .当x ≥2000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得⎩⎨⎧2000m ＋n ＝2000，4000m ＋n ＝3400，解得⎩⎨⎧m ＝0.7，n ＝600，所以y乙＝⎩⎨⎧x （0<x <2000），0.7x ＋600（x ≥2000）.(2)当0＜x ＜2000时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当x ≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x ＜0.7x ＋600，解得x ＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x ＞0.7x ＋600，解得x ＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x ＝0.7x ＋600，解得x ＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．5．解：(1)l 2 30 20 解析：由题意可知，乙的函数图象是l 2，甲的速度是602＝30(km/h)，乙的速度是603＝20(km/h)．故答案为l 2，30，20.(2)设甲出发x h 两人恰好相距5km.由题意30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5)－5＝60，解得x ＝1.3或1.5.答：甲出发1.3h 或1.5h 两人恰好相距5km. 6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h.(2)设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .把点A (1，80)，B (3，320)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝80，3k ＋b ＝320，解得⎩⎨⎧k ＝120，b ＝－40.∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)． (3)当x ＝2.5时，y ＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发2.5h 后离目的地120km. 7．①②④ 8．解：(1)暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为3.5－0.5＝3(h)，一共排水900m 3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m 3/h)．(2)当2≤t ≤3.5时，设Q 关于t 的函数解析式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵当t ＝1.5时，排水300×1.5＝450(m 3)，此时Q ＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q ＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得⎩⎨⎧2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数解析式为Q ＝－300t ＋1050.类比归纳专题：二次根式求值的常用方法——明确计算便捷渠道◆类型一利用二次根式的非负性求值1．若a ，b 为实数，且|a ＋1|＋b －1＝0，则(ab )2018的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±12．已知a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，则a 2018＋b 2017的值是________．3．若a 2－3a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，则a 2＋1a 2－|b |＝________． 4．若y ＝x －3＋3－x ＋2，求x y 的值．【方法1②】◆类型二利用乘法公式进行计算5．计算：(1)(5＋3)2; (2)(25－2)2；(3)(3＋2)2－(3－2)2.6．已知x＋1x＝5，求x2x4＋x2＋1的值．◆类型三整体代入求值7．已知x＝2－10，则代数式x2－4x－6的值为()A．－1 B．0 C．1 D．28．(2017·安顺中考)已知x＋y＝3，xy＝6，则x2y＋xy2的值为________．9．已知x＝1－2，y＝1＋2，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．10．已知x＝13－22，y＝13＋22，求xy＋yx－4的值．参考答案与解析： 1．B 2.23．6 解析：∵a 2－3a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，∴a 2－3a ＋1＋(b －1)2＝0，∴a 2－3a ＋1＝0，b ＝1，∴a －3＋1a ＝0，∴a ＋1a ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝32，∴a 2＋1a 2＝7.∴a 2＋1a2－|b |＝6. 4．解：由题意有x －3≥0，3－x ≥0，∴x ＝3，∴y ＝2，∴x y ＝32＝9. 5．解：(1)原式＝8＋215.(2)原式＝22－410. (3)原式＝4 6.6．解：原式取倒数得x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－1＝(5)2－1＝4.∴原式＝14.7．B 8.329．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2 )(1＋ 2 )＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－2 2 )2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.方法点拨：根据原式以及字母取值的特点，将原式配方、整合成含有x －y 和xy 的形式，利用整体思想代入求值．10．解：由已知得x ＝3＋22，y ＝3－2 2.∴x ＋y ＝6，xy ＝1，∴原式＝x 2＋y 2xy －4＝（x ＋y ）2－6xy xy＝62－6×1＝30.思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45° ◆类型二折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为( ) A ．6cm B ．7cm C ．8cm D ．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC ＝∠EFC ′＝125°.∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF ＝∠DEF ＝55°，∴∠BED ＝110°.∵四边形ABCD 为矩形，∠A ＝90°，∴∠ABE ＝110°－90°＝20°.故选B. 2．B 3.C 4.C5. 185 解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12E B C ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝ ⎛⎭⎪⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F＝∠D .在△AFE 与△CDE 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10.7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB ＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.解题技巧专题：正方形中特殊的证明(计算)方法——解决正方形中的最值及旋转变化模型问题◆类型一利用正方形的旋转性质解题1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.3．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，P 为正方形ABCD 外一点，且BP ⊥CP . 求证：BP ＋CP ＝2OP .◆类型二利用正方形的对称性解题4．如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 最小，则这个最小值为( ) A. 3 B ．23 C ．2 6 D.6第4题图第5题图5．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE ＝1，F 为AB 上一点，AF ＝2，P 为AC 上一点，则PF ＋PE 的最小值为________．6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，AC ，BE 交于点F ，MF ∥AE 交AB 于M . 求证：DF ＝MF .参考答案与解析1．322．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合．∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF ＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.4．B解析：连接PB.∵点P在正方形ABCD的对角线AC上，∴PD＝PB，∴PD ＋PE的最小值就是PB＋PE的最小值，∴PD＋PE的最小值就是BE.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB.∵S正方形ABCD＝12，∴BE2＝AB2＝12，即BE＝23，故选B.5.176．证明：∵B，D关于AC对称，点F在AC上，∴BF＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE 和△BCE中，∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE ＝BE，∴∠BAE＝∠ABE.∵MF∥AE，∴∠BAE＝∠BMF，∴∠BMF＝∠ABE，∴MF＝BF.∵BF＝DF，∴DF＝MF.解题技巧专题：函数图象信息题——数形结合，快准解题◆类型一根据实际问题判断函数图象1．为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严的升旗仪式，同学们凝视着冉冉上升的国旗．下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系( )2．(2017·牡丹江中考)下列图象中，能反映等腰三角形顶角度数y(度)与底角度数x(度)之间的函数关系的是( )◆类型二获取实际问题中图象的信息3．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(m 2)与工作时间t(h )之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是【方法12】( )A ．300m 2B ．150m 2C ．330m 2D ．450m 2第3题图第4题图4．(2017·河南中考)如图①，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是________．5．(2017·西宁中考)首条贯通丝绸之路经济带的高铁线——宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x(小时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系，根据图象进行一下探究：【方法12】【信息读取】(1)西宁到西安两地相距________千米，两车出发后________小时相遇；(2)普通列车到达终点共需________小时，普通列车的速度是________千米/时．【解决问题】(3)求动车的速度；(4)普通列车行驶t 小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安．◆类型三一次函数图象与字母系数的关系6．若实数a 、b 满足ab ＜0，则一次函数y ＝ax ＋b 的图象可能是( )7．在一次函数y ＝12ax －a 中，y 随x 的增大而减小，则其图象可能是( )参考答案与解析 1．A 2.C3．B 解析：设点A (4，1200)，点B (5，1650)，直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b，则⎩⎨⎧4k ＋b ＝1200，5k ＋b ＝1650，解得⎩⎨⎧k ＝450，b ＝－600，故直线AB 的解析式为y ＝450x －600.当x ＝2时，y ＝450×2－600＝300，300÷2＝150(m 2)．故选B.4．12 解析：根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，由图象可知：点P 从B 运动到C 的过程中，BP 的最大值为5，即BC ＝5.点P 运动到点A 时，BP ＝AB ＝5.∴△ABC 是等腰三角形．∵M 是曲线部分的最低点，∴此时BP 最小，即BP ⊥AC 时，BP ＝4，∴由勾股定理得PC ＝3，∴AC ＝6，∴△ABC 的面积为12×4×6＝12，故答案为12. 5．解：(1)1000 3(2)12 2503(3)设动车的速度为x 千米/时，根据题意，得3x ＋3×2503＝1000，解得x ＝250. 答：动车的速度为250千米/时．(4)∵t ＝1000250＝4(小时)，∴4×2503＝10003(千米)，∴1000－10003＝20003(千米)，∴此时普通列车还需行驶20003千米到达西安． 6．B 7.B思想方法专题：勾股定理中的思想方法◆类型一分类讨论思想一、直角边与斜边不明需分类讨论1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x ，那么以x 为边长的正方形的面积为【易错3】( ) A ．13 B ．5C ．13或5D ．42．直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面积是____________．二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论3．★(2016·东营中考)在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则BC 的长为【易错4】( ) A ．10 B ．8C ．6或10D ．8或104．在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝____________．【易错4】◆类型二方程思想一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为________．二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长6．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．【方法4】三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长7．(2016·益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．◆类型三利用转化思想求最值8．(2017·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4cm 的正方体纸箱的A 点沿纸箱外表面爬到B 点，那么它的最短路线的长是________cm .【方法5】9．如图，A ，B 两个村在河CD 的同侧，且AB ＝13km ，A ，B 两村到河的距离分别为AC ＝1km ，BD ＝3km .现要在河边CD 上建一水厂分别向A ，B 两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．【方法5】参考答案与解析 1．C 2.24或673．C 解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，AB ＝10，AC ＝210，AD ＝6.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，此时BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10；图②中，同理可得BD ＝8，CD ＝2，此时BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为6或10.故选C.4．25或45 解析：如图①，△ABC 为锐角三角形，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D .∵S △ABC ＝10，AB ＝5，∴12AB ·CD ＝10，解得CD ＝4.在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD＝AC2－CD2＝52－42＝3，∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.在Rt△CBD中，由勾股定理得BC＝BD2＋CD2＝22＋42＝25；如图②，△ABC为钝角三角形，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D.同上可得CD＝4.在Rt△ACD中，AC＝5，由勾股定理得AD＝AC2－CD2＝52－42＝3.∴BD＝BA＋AD＝5＋3＝8.在Rt△BDC中，由勾股定理得BC＝BD2＋CD2＝82＋42＝4 5.综上所述，BC的长度为25或4 5.5．17m6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设BF＝x.∵BC＝9，∴C′F＝CF＝BC－BF＝9－x.∵C′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝12E A B＝3.在Rt△C′BF中，由勾股定理得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4，即BF的长为4.7．解：过A作AD⊥BC交BC于点D.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝BC－BD＝14－x.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC ＝12BC·AD＝12×14×12＝84.8．459．解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于O，点O即为水厂的位置．过点A′作A′E∥CD交BD的延长线于点E，过点A作AF⊥BD于点F，则AF＝A′E，DF＝AC＝1km，DE＝A′C＝1km.∴BF＝BD－FD＝3－1＝2(km)．在Rt△ABF中，AF2＝AB2－BF2＝13－22＝9，∴AF＝3km.∴A′E＝3km.在Rt△A′BE中，BE＝BD＋DE＝4km，由勾股定理得A′B＝A′E2＋BE2＝32＋42＝5(km)．∴W＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总费用为15000元．解题技巧专题：勾股定理与面积问题——全方位求面积，一网搜罗◆类型一三角形中利用面积法求高1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013cm2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )A ．48cm 2B ．24cm 2C ．16cm 2D ．11cm 24．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( )A ．7cmB ．10cmC ．(5＋37)cmD ．12cm5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3 B．4 C．5 D．6◆类型三巧妙利用割补法求面积6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD 的面积．7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．参考答案与解析 1．D2. 355 解析：如图，连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h .∵S △ABC ＝3×3－12×2×1－12×2×1－12×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB ＝12＋22＝5，∴12×5h ＝32，∴h ＝355.故答案为355.3．D 4.D 5.C6．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD .∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝12×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝12E A B ·BC ＋12E A D ·CE ＝12×5×12＋12×10×12＝90.7．解：延长AD ，BC 交于点E .∵∠B ＝90°，∠A ＝60°，∴∠E＝30°.∴AE ＝2AB。

2024年最新人教版初二数学(下册)模拟试卷及答案(各版本)

2024年最新人教版初二数学(下册)模拟试卷及答案(各版本)一、选择题：5道（每题1分，共5分）1. 下列数中，最大的数是（）A. 2^3B. 3^2C. (3^2)^2D. 2^(3^2)2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 矩形B. 梯形C. 正三角形D. 菱形3. 已知x²=25，那么x的值为（）A. 5B. 5C. ±5D. 5或54. 下列函数中，奇函数是（）A. y=x²B. y=2xC. y=x³D. y=|x|5. 若a²+b²=25，则下列选项中正确的是（）A. a+b=5B. ab=0C. ab=5D. a²+b²=625二、判断题5道（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果一定是正数。

（）2. 平方根和立方根都只有一个解。

（）3. 任何数都有倒数。

（）4. 两个奇数相加的结果是偶数。

（）5. 任何数乘以1都等于它本身。

（）三、填空题5道（每题1分，共5分）1. 3的平方根是______。

2. 若a=3，b=3，则a+b=______。

3. 5的立方是______。

4. 若x²=9，则x的值为______。

5. 任何数乘以0都等于______。

四、简答题5道（每题2分，共10分）1. 请简述有理数的定义。

2. 请简述偶函数的定义。

3. 请简述一元二次方程的解法。

4. 请简述平行四边形的性质。

5. 请简述菱形的性质。

五、应用题：5道（每题2分，共10分）1. 已知a=2，b=3，求a²+b²的值。

2. 已知x²6x+9=0，求x的值。

3. 计算下列表达式的值：3²+4²。

4. 已知一个正方形的边长为a，求该正方形的面积。

5. 计算下列表达式的值：√(64)+√(49)。

六、分析题：2道（每题5分，共10分）1. 已知a²+b²=25，求a和b的值。

人教版八年级数学下册第十六章-二次根式专项攻克练习题(名师精选)

人教版八年级数学下册第十六章-二次根式专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1x的取值范围是（）A．5x≥B．5x<-C．5x≥-x>-D．52、实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简|a﹣b|）A．a B．﹣a C．2b D．2b﹣a3、实数a，b||+的结果为（）a bA．2a－b B．－3b C．b－2a D．3b4、下列二次根式中，最简二次根式是（）A B C D5、若01x <<，则2x ，x 1x ，这四个数中（）A ．1x 最大，2x 最小 B ．x 最大，1x 最小C ．2xD ．x 最大，2x 最小6、下列各式是最简二次根式的是（）A B C D7、下列计算正确的是（）．A B 4=CD8、实数a ，b a b -=（）A ．2a -bB ．bC ．-bD ．2a +b9、下列计算正确的是（）A 2=B 2=C D ．)112=10 ）A B C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1=x的取值范围是_______．2x的取值范围是___________．3、计算：2(-=______．4___________．5．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b√2=（m+n√2）2＝m2+2n2+2mn√2（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：【问题解决】（1）若a+b√5=（m+n√5）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝，b＝．（均用含m、n的式子表示）（2）若x+4√3=（m+n√3）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．【拓展延伸】（3）化简√5+2√6=．2、计算：√18−(π+2021)0+(12)−1．3、计算：（1）(√5+√3)(√5−√3)+2；（2）√24×√13−3√2÷√63．4、计算：−√3×(√6+3√3)．5、计算：（1）√27+(−13)2−|2−√3|；（2）√2−√3+|√2−√3|−√−83+（3.14﹣π）0；（3）解方程组{2π−π=1−3π+2π=3；（4）解不等式组{5π−3＜π+3π+12≤2π−1 ．---------参考答案-----------一、单选题1、D【解析】【分析】根据二次根式被开方数是非负数列出不等式求解即可．【详解】50x +≥，解得，5x ≥-；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数大于或等于0．2、A【解析】【分析】根据数轴可知0b a <<，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：由数轴可知：0b a <<，∴0a b ->，∴原式＝()a b b a ---=，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的化简，解题的关键使根据数轴得出0b a <<，属于基础题型．3、B【解析】【分析】根据数轴上点的坐标特点，判断出可知b ＜a ＜0，且|b |＞|a|，所以a -2b ＞0，a +b ＜0，再把二次根式化简即可．【详解】解：根据数轴可知b ＜a ＜0，且|b |＞|a |，所以a -2b ＞0，a +b ＜0，||a b +a b +（a +b ）=a -2b -a -b=-3b ．故选：B ．a ≥0=a ；当a ＜0a ，解题关键是先判断所求的代数式的正负性．4、B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：ABCD故选：B ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5、A【解析】【分析】由01x <<，可知10x -<，01<<，先利用作差法求得()210x x x x -=->即2x x >，同理求得x <再由01x <<，01<<，得到01<<10x =<，由此即可得到答案．解：∵01x <<，∴10x -<，01<，∴()210x x x x -=->10<，∴2x x >，)10x =<，∴x <∵01x <<，01<<，∴01<<，10x =<，∴21x x x <<，故选A ．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，二次根式的运算，解题的关键在于能够利用作差法进行求解．6、D【解析】【分析】最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此依次分析即可．【详解】解：A 、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、被开方数含有开方开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式．7、D【解析】【分析】根据二次根式运算法则逐项判断即可．【详解】解：2，不符合题意；=故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则进行准确计算．8、C【解析】【分析】首先根据数轴上a 、b 的位置，判断出a b -、a 的符号，然后再进行化简．【详解】解：由图知：0a b <<；0a b -<，0a <；()()a b a a b a a b b ⎡⎤-=----=-+-=-⎣⎦，故选：C ．【点睛】本题考查了数轴，绝对值，二次根式的性质的应用，能正确去绝对值符号及化简二次根式是解题关键．9、D【解析】【分析】根据二次根式的四则运算法则依次计算即可判断．【详解】解：A 2=BCD 、)21112=-=，选项正确；故选：D ．【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．10、C【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断0a<，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．二、填空题1、34x≤<【分析】3040xx-≥⎧⎨-⎩＞，再解不等式组可得答案. 【详解】解：=3040xx-≥⎧∴⎨-⎩＞解30x-≥可得3,x≥解40x-＞可得4,x＜34,x∴≤＜∴ x的取值范围是3 4.≤＜x故答案为：34x≤＜【点睛】)a b≥＞”是解题的关键.0,02、2x≥【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】∴20x-≥，∴2x≥；故答案为2x≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．3、12【分析】根据二次根式的性质计算即可求解．【详解】解：222((2)4312-=-⨯=⨯=，故答案为：12．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．4、2.828【分析】=【详解】=≈⨯=．2 1.414 2.828故答案为：2.828【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．5、【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【详解】=故填【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是解决本题的关键．三、解答题1、（1）m 2+5n 2，2mn ；（2）当m =1，n =2时，x=13；当m =2，n =1时，x =7；（3）√2+√3．【解析】【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到4＝2mn ，利用x 、m 、n 均为正整数得到{π=1π=2 或{π=2π=1，然后利用x ＝m 2+3n 2计算对应x 的值；（3）设√5+2√6=m +n √6，两边平方5+2√6=(π+π√6)2，可得{π2+6π2=5ππ=1消去n 得π4−5π2+6=0，可求m =√2或m=√3即可．【详解】解：（1）设a +b √5＝（m +n √5）2＝m 2+5n 2+2mn √5（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有a ＝m 2+5n 2，b ＝2mn ；故答案为m 2+5n 2，2mn ；（2）∵π+4√3=(π+π√3)2=π2+3π2+2ππ√3∴4＝2mn ，∴mn ＝2，∵x 、m 、n 均为正整数，∴{π=1π=2 或{π=2π=1，当m ＝1，n ＝2时，x ＝m 2+3n 2＝1+3×4＝13；当m ＝2，n ＝1时，x ＝m 2+3n 2＝4+3×1＝7；即x 的值为为13或7；（3）设√5+2√6=m +n √6，∴5+2√6=(π+π√6)2，∴{π2+6π2=52ππ=2， ∴π=1π，π2+6(1π)2=5，∴π4−5π2+6=0，∴（m 2-2）（m 2-3）=0，∴m =√2,m =√3，∴π=√22，π=√33． ∴{π=√2π=√3 或{π=√3π=√2∴√5+2√6=√2+√22√6=√2+√3，√5+2√6=√3+√33×√6=√3+√2．故答案为√2+√3．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一元高次方程，二元方程组，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．2、3√2+1【解析】【分析】根据二次根式的化简、零指数幂的计算和负指数幂的计算得出结果．【详解】原式=3√2−1+2=3√2+1．【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握各类运算法则．3、（1）4；（2）2√2−3√3【解析】【分析】（1）先计算乘法，然后计算加法，即可得到答案；（2）先计算乘法和除法，然后计算减法，即可得到答案．【详解】解：（1）原式＝5－3＋2＝4；（2）原式＝√24×13−3√2×√62＝√8−3√3＝2√2−3√3；【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行计算．4、−3√2−9【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：原式=−√3×√6+(−√3)×3√3=−√3×6−3√3×3=−3√2−9．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握该知识点是解题关键．5、（1）4√3−189；（2）3−2√2；（3）{π=5π=9；（4）1≤π<32 【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质化简，有理数的乘方，绝对值的计算法则进行求解即可；（2）根据分母有理数，立方根，绝对值，零指数幂的计算法则求解即可；（3）利用加减消元法解方程即可；（4）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）√27+(−13)2−|2−√3| =3√3+19−(2−√3) =3√3+19−2+√3 =4√3−189；（2）√2−√3+|√2−√3|−√−83+(3.14−π)0 √2+√3(√2−√3)(√2+√3)+√3−√2+2+1=√2+√32−3+√3−√2+3=−√2−√3+√3−√2+3=3−2√2；（3）{2π−π=1①−3π+2π=3②把①×2得：4π−2π=2③，用③+②得π=5，把π=5代入①得10−π=1，解得π=9，∴方程组的解为：{π=5π=9；（4）{5π−3<π+3①π+12≤2π−1② 解不等式①得：π<32，解不等式②得：π≥1，∴不等式组的解集为：1≤π<32．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，实数的运算，分母有理化等等，熟知相关计算法则是解题的关键．。

2024年最新人教版初二数学(下册)模拟考卷及答案(各版本)

2024年最新人教版初二数学(下册)模拟考卷及答案(各版本)一、选择题：每题1分，共5分1. 下列数中，既是有理数也是无理数的是( )A. 0B. 3/2C. √2D. 52. 已知函数f(x)=x²3x+2，那么f(1)= ( )A. 0B. 2C. 3D. 23. 在三角形ABC中，AB=AC，那么角B等于角C的( )A. 1/2B. 1C. 2D. 无法确定4. 下列哪个数是最大的( )A. √3B. √2C. √5D. √45. 已知函数f(x)=2x+3，那么f(2)= ( )A. 1B. 1C. 2D. 2二、判断题：每题1分，共5分1. 0是整数，也是有理数。

( )2. 任何一个正整数都能被表示为两个质数的和。

( )3. 两条平行线的斜率相等。

( )4. 任何两个奇数之和都是偶数。

( )5. √3是整数。

( )三、填空题：每题1分，共5分1. 2³=_______2. 已知函数f(x)=3x2，那么f(2)=_______3. 在三角形ABC中，AB=AC，那么角B等于_______4. 1/2的倒数是_______5. 2的平方根是_______四、简答题：每题2分，共10分1. 请简述有理数的定义。

2. 请简述平行线的性质。

3. 请简述一次函数的性质。

4. 请简述勾股定理。

5. 请简述概率的定义。

五、应用题：每题2分，共10分1. 已知函数f(x)=x²2x+1，求f(3)的值。

2. 在三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，求三角形ABC的面积。

3. 一个袋子里有3个红球，2个绿球，求摸出一个红球的概率。

4. 解方程：2x+3=7。

5. 已知函数f(x)=2x+1，求f(3)的值。

六、分析题：每题5分，共10分1. 已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的最小值。

2. 在三角形ABC中，AB=AC，BC=6，求三角形ABC的面积。

人教版八年级数学下册第18章平行四边形专项训练2(含答案)

人教版八年级数学下册第18章平行四边形专项训练2（含答案）专训1.矩形性质与判定的灵活运用名师点金：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质．它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC 上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．(第2题)利用矩形的性质与判定证明角相等3．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.(第3题)利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC 的面积．(第4题)专训2.菱形性质与判定的灵活运用名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定求菱形的高1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(计算结果保留根号)(第1题)利用菱形的性质与判定求菱形对角线长2．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF 于B，交AC于O.连接AD，BC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数；(3)在(2)的条件下，若AB＝1，求菱形ABCD的对角线AC，BD的长．(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)证明四边形ADCF是菱形；(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．(第4题)专训3.正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形﹨菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质解决线段和差倍分问题1．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．(第1题)利用正方形的性质证明线段位置关系2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第2题)正方形性质与判定的综合运用3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．(第3题)专训4.特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边﹨角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定．矩形的综合性问题a．矩形性质的应用1．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC 于点H，试求PG＋PH的值．(第1题)b．矩形判定的应用2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE＝BC.(第2题)c．矩形性质和判定的应用3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．(第3题)菱形的综合性问题a．菱形性质的应用4．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC.(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．(第4题)b．菱形判定的应用5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(t>0)．过点D作DF⊥BC 于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．(第5题)c．菱形性质和判定的应用6．(1)如图①，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D的两条对角线的长．(第6题)正方形的综合性问题a．正方形性质的应用7．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG 于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．(第7题)b．正方形判定的应用8．两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图①)，CE＝2 cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D，H重合时(如图②)，连接AE，CG，求证：△AED≌△GCD；(2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形．(第8题)答案专训11．解：由折叠的性质知∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝12×180°＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形．∴HG∥EF，HG＝EF.∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME.∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF.∴AD ＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.∵HF＝EH2＋EF2＝32＋42＝5(cm)，∴AD＝5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．(第2题)2．解：PE＋PF＝AB.理由：过点P作PG⊥AB于G，交BD于O，如图所示．∵PG ⊥AB ，PF ⊥AC ，∠A ＝90°，∴∠A ＝∠AGP ＝∠PFA ＝90°.∴四边形AGPF 是矩形．∴AG ＝PF ，PG ∥AC.∴∠C ＝∠GPB.又∵BD ＝DC ，∴∠C ＝∠DBP.∴∠GPB ＝∠DBP.∴OB ＝OP.∵PG ⊥AB ，PE ⊥BD ，∴∠BGO ＝∠PEO ＝90°. 在△BGO 和△PEO 中，⎩⎨⎧∠BGO ＝∠PEO ，∠GOB ＝∠EOP ，OB ＝OP ，∴△BGO ≌△PEO.∴BG ＝PE. ∵AB ＝BG ＋AG ＝PE ＋PF.3．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD. ∴BE ∥DF.又∵BE ＝DF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∵DE ⊥AB ， ∴∠DEB ＝90°.∴四边形BFDE 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AD ＝BC. ∴∠DFA ＝∠FAB.由(1)易得△BCF 为直角三角形，在Rt △BCF 中，由勾股定理，得 BC ＝CF2＋BF2＝32＋42＝5， ∴AD ＝BC ＝DF ＝5. ∴∠DAF ＝∠DFA. ∴∠DAF ＝∠FAB ，即AF 平分∠DAB.4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC.∴∠ABE ＝∠ECF. 又∵点E 为BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎨⎧∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE.∴AB ＝CF.又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE 的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC.∴四边形ABFC为矩形．(2)解：∵四边形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形，∴CF＝CD＝DF2＝2.∴AC＝42－22＝2 3.∴S四边形ABFC＝23×2＝4 3.专训21．(1)证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB ＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形．(2)解：如图，过点D作DF⊥CE，垂足为点F，则DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝60°.∵CE∥AB，∴∠BCE＝180°－∠B＝120°，∴∠DCE＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，易求得DF＝33，即菱形ADCE的高为3 3.(第1题)2．(1)证明：∵BD垂直平分AC，∴OA＝OC，AD＝CD，AB＝BC.∵四边形AFCG是矩形，∴CG∥AF.∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO.∴△COD≌△AOB(AAS)．∴CD＝AB.∴AB＝BC＝CD＝DA.∴四边形ABCD是菱形．(2)解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB.∴AD＝DB.又∵AD＝AB，∴△ADB为等边三角形，∴∠DBA ＝60°.∵CD ∥AB ，∴∠BDC ＝∠DBA ＝60°.(3)解：由菱形性质知，∠OAB ＝12∠BAD ＝30°.在Rt △OAB 中，AB ＝1，∴OB ＝12，∴OA ＝32.∴BD ＝1，AC ＝ 3.3．(1)证明：∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，∴AE ＝CE ，DE ＝FE.∴四边形ADCF 是平行四边形．∵D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE ∥BC.∵∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°.∴DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形．(2)解：在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB ＝10.∵点D 是AB 边的中点，∴AD ＝5.∵四边形ADCF 是菱形，∴AF ＝FC ＝AD ＝5.∴四边形ABCF 的周长为8＋10＋5＋5＝28.4．(1)证明：∵E 是AD 中点，∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠FAE ＝∠BDE ，又∵∠AEF ＝∠DEB ，∴△AEF ≌△DEB(ASA )．(2)证明：由(1)知，△AEF ≌△DEB ，则AF ＝DB ，∵D 是BC 的中点，∴DB ＝DC ，∴AF ＝CD ，又∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝12BC ，∴四边形ADCF 是菱形．(3)解：设菱形ADCF 的DC 边上的高为h ，则Rt △ABC 斜边BC 上的高也为h ，∵BC ＝52＋42＝41，∴DC ＝12BC ＝412，h ＝4×541＝2041，∴菱形ADCF的面积为：DC·h ＝412×2041＝10.专训31．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下：如图(1)，过点A 作AE ⊥AN ，交CB 的延长线于点E, 易证△ABE ≌△ADN ，∴DN ＝BE ，AE ＝AN. 又∵∠MAN ＝45°，∴∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，∴△EAM ≌△NAM.∴ME ＝MN.∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM ＋DN ＝MN .(2)DN －BM ＝MN.证明如下：如图(2)，在DN 上截取DE ＝BM ，连接AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 又∵BM ＝DE ，∴△ABM ≌△ADE.∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠DAE.∵∠DAB ＝90°，∴∠MAE ＝90°. ∵∠MAN ＝45°，∴∠EAN ＝45°＝∠MAN.又∵AM ＝AE ，AN ＝AN ， ∴△AMN ≌△AEN.∴MN ＝EN. ∴DN ＝DE ＋EN ＝BM ＋MN. ∴DN －BM ＝MN.(1)(2)(第1题)2．证明：∵AC ，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC ⊥BD ，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE ＝CF ，∴OE ＝OF.在Rt △AOE 与Rt △DOF 中，⎩⎨⎧OA ＝OD ，∠AOE ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴Rt △AOE ≌Rt △DOF.∴∠OAE ＝∠ODF.∵∠DOF ＝90°，∴∠DFO ＋∠FDO ＝90°.∴∠DFO ＋∠FAE ＝90°.∴∠AMF ＝90°，即AM ⊥DF.3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵不管滚动多长时间，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴SA ＝PB ＝QC ＝RD.∴△ASP ≌△BPQ ≌△CQR ≌△DRS.∴PS ＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP ＝∠BPQ.∴不管滚动多长时间，四边形PQRS 是菱形．又∵∠APS ＋∠ASP ＝90°，∴∠APS ＋∠BPQ ＝90°.∴∠QPS ＝180°－(∠APS ＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴不管滚动多长时间，四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．理由：设原正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP. 由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2，解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a.∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．专训41．解：(1)△AED ≌△CEB′.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝DA ，∠B ＝∠D. 由折叠的性质，知BC ＝B′C ，∠B ＝∠B′， ∴B′C ＝DA ，∠B′＝∠D. 在△AED 和△CEB′中，⎩⎨⎧∠DEA ＝∠B′EC ，∠D ＝∠B′，DA ＝B′C ，∴△AED ≌△CEB′.(第1题)(2)如图，延长HP 交AB 于点M ，则PM ⊥AB. ∵∠1＝∠2，PG ⊥AB′，∴PM ＝PG. ∵CD ∥AB ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.在Rt△ADE中，DE＝3，AE＝5，∴AD＝52－32＝4.∵PH＋PM＝AD，∴PG＋PH＝AD＝4.2．证明：(1)∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCED是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∵四边形OCED是矩形，∴OE＝CD，∴OE＝BC.(第3题)3．(1)证明：如图，过点B作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB ＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.∴PE＝PH，∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.(2)解：不成立，此时PE＝BD＋PF.理由：过点B作BH⊥PF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PE＝PH，BD ＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.(第4题)4．(1)证明：连接AC，如图．∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴AE ＝EC.(2)解：点F 是线段BC 的中点．理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CB. 又∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°. ∵AE ＝EC ， ∴∠EAC ＝∠ACE. ∵∠CEF ＝60°， ∴∠EAC ＝30°， ∴∠EAC ＝∠EAB.∴AF 是△ABC 的角平分线． ∴BF ＝CF.∴点F 是线段BC 的中点．5．(1)证明：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝2t ， ∴DF ＝t ，又∵AE ＝t ，∴AE ＝DF.(2)解：能．理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF. 又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形．在Rt △ABC 中，设AB ＝x ，则由∠C ＝30°，得AC ＝2x ，由勾股定理，得AB 2＋BC 2＝AC 2，即x 2＋(53)2＝4x 2，解得x ＝5(负根舍去)， ∴AB ＝5. ∴AC ＝2AB ＝10. ∴AD ＝AC －DC ＝10－2t.由已知得点D 从点C 运动到点A 的时间为10÷2＝5(s )，点E 从点A 运动到点B 的时间为5÷1＝5(s )．若使▱AEFD 为菱形，则需AE ＝AD ，即t ＝10－2t ，解得t ＝103.符合题意．故当t ＝103 s 时，四边形AEFD 为菱形．(3)解：①当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形．在Rt △AED 中，∠ADE ＝∠C ＝30°，∴AD ＝2AE ，即10－2t ＝2t ，解得t ＝52.符合题意． ②当∠DEF ＝90°时，由(2)知EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°.∵∠A＝90°－∠C＝60°，∴∠AED＝30°.∴AE＝2AD，即t＝2(10－2t)，解得t＝4.符合题意．③当∠EFD＝90°时，△DEF不存在．综上所述，当t＝52s或4 s时，△DEF为直角三角形．6．(1)C(2)①证明：∵AF綊DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．∵S▱ABCD＝AD·AE＝15，AD＝5，∴AE＝3.∵AE＝3，EF＝4，∠E＝90°，∴AF＝AE2＋EF2＝32＋42＝5.∵AD＝5，∴AD＝AF，∴四边形AFF′D是菱形．②解：如图，连接AF′，DF，在Rt△AEF′中，AE＝3，EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，∴由勾股定理可得AF′＝310.在Rt△DFE′中，FE′＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝AE＝3，∴由勾股定理得DF＝10，∴四边形AFF′D的两条对角线的长分别是310和10.(第6题)7．解：线段AF，BF，EF三者之间的数量关系是AF＝BF＋EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.∴∠DAE＋∠BAF＝90°.∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AFB＝∠DEF＝∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠ADE ＝∠BAF. 在△ABF 和△DAE 中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠ADE ，∠AFB ＝∠DEA ，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE. ∴BF ＝AE.∵AF ＝AE ＋EF ，∴AF ＝BF ＋EF. 8．证明：(1)∵CD ＝CE ＝DE ＝2 cm ， ∴∠CDE ＝60°.又∵四边形ABCD 和四边形EHGF 是矩形， ∴∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADE ＝∠GDC ＝150°.在△AED 和△GCD 中，⎩⎨⎧AD ＝GD ，∠ADE ＝∠GDC ，DE ＝DC ，∴△AED ≌△GCD. (2)∵α＝45°，∴∠NCE ＝∠NEC ＝45°， ∴∠CNE ＝90°，CN ＝NE ， ∴∠HND ＝90°.∴∠H ＝∠D ＝∠HND ＝90°， ∴四边形MHND 是矩形．又∵CD ＝HE ，CN ＝NE ，∴HN ＝ND. ∴四边形MHND 是正方形．。

人教版八年级数学下册期末复习课件：专项训练一二次根式的性质及运算 (共13张PPT)

第十六章二次根式
专项训练一二次根式的性质及运算
重难突破
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类型 1 二次根式的非负性
1．要使 4－a2＝a－4 成立，则 a 的取值范围是
A．a≤4
B．a≤－4
C．a≥4
D．一切实数
2．已知实数 x、y 满足1－x＋ y－2＝0，则代数式(x－y)2019 的值为
A．1
B．－1
C．2019
D．－2019
类型 2 二次根式的化简 6．化简： (1) －144×－169；解：原式＝ 144×169＝ 144× 169＝12×13＝156. (2)－13 225；解：原式＝－13×15＝－5.
(3)－12 1024×5；解：原式＝－12 322×5＝－12×32 5＝－16 5. (4) 18m2n.
11．计算： (1)14－1－ 12＋( 2＋1)( 2－1)＋ 2× 18；解：原式＝4－2 3＋2－1＋ 2×3 2＝5－2 3＋6＝11－2 3. (2)(1＋ 3)( 2－ 6)－(2 3－1)2.
解：原式＝ 2－ 6＋ 6－3 2－(12－4 3＋1)＝－2 2－12＋4 3－1＝－2 2＋ 4 3－13.
解：根据新定义，得 7※( 2※ 3)＝ 7※ 3＝ 72－ 32＝ 7－3＝2.
15．先化简，再求值：6x xy＋3y xy3－4y xy＋ 36xy，其中 x＝ 21－1，y＝ 1 2＋1.
解：原式＝(6 xy＋3 xy)－(4 xy＋6 xy)＝－ xy.∵x＝ 21－1＝ 2＋1，y＝ 21＋1＝ 2－1，∴－ xy＝－ 2＋1 2－1＝－1.
解：∵a＝
2＋1，b＝
2－1，∴a＋b＝2
2，a－b＝2，ab＝

2022年人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形专项测试试题

人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt CEF 的面积为200，则BE 的长为（）A ．10B ．11C ．12D ．152、如图，ABCD 的对角线交于点O ，E 是CD 的中点，若32ABCDS =，则DOE S △的值为（）A ．2B ．4C ．8D ．163、已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，54B ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，则ACD ∠的度数是（）A．18︒B．36︒C．54︒D．72︒4、如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（）A．B．C．485D．2455、直角三角形中，两直角边长分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．2.5 B．6 C．6.5 D．136、直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）A．6 B．6.5 C．10 D．137、如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm28、如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（）A．5 B．6 C．8 D．109、在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<12AB ，则BC的长为10、如图，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若6（）A．2 B．C．4 D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8cm，则四边形ABCD 的面积为______cm2．2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 _____．3、如图，在四边形ABCD 中，90ABC DCB ∠+∠=︒，,E F 分别是,AD BC 的中点，分别以,AB CD 为直径作半圆，这两个半圆面积的和为8π，则EF 的长为_______．4、如图，将n 个边长都为1的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，An 分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为_____．5、在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB =6，EF =2，则BC 的长为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB =，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：C ABE DF ≌△△；（2）当AE CE =时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于B 的2倍的所有角．2、如图，在平行四边形ABCD 中，8cm AB =，16cm BC =．30B ∠=︒．点P 在BC 上由点B 向点C 出发，速度为每秒2cm ；点Q 在边AD 上，同时由点D 向点A 运动，速度为每秒1cm ．当点P 运动到点C 时，点P ，Q 同时停止运动．连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形ABPO 为平行四边形？（2）设四边形ABPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）当t 为何值时，四边形ABPQ 的面积是四边形ABCD 的面积的四分之三？求出此时PQD ∠的度数．（4）连接AP ，是否存在某一时刻t ，使ABP △为等腰三角形？若存在，请求出此刻t 的值；若不存在，请说明理由．3、在平面直角坐标系中，过A (0，4)的直线a 垂直于y 轴，点M (9，4)为直线a 上一点，若点P 从点M 出发，以每秒2cm 的速度沿直线a 向左移动，点Q 从原点同时出发，以每秒1cm 的速度沿x 轴向右移动，（1）几秒后PQ 平行于y 轴?（2）在点P 、Q 运动的过程中，若线段OQ =2AP ，求点P 的坐标．4、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，,BE CD CE AB ∥∥．（1）试判断四边形BDCE 的形状，并证明你的结论；（2）若∠ABC ＝30°，AB ＝4，则四边形BDCE 的面积为．5、已知：在ABC ∆中，点D 、点E 、点F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，连接DE 、DF ．（1）如图1，若AC BC =，求证：四边形DECF 为菱形；（2）如图2，过C 作CG AB ∥交DE 延长线于点G ，连接EF ，AG ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与ADG ∆面积相等的平行四边形．---------参考答案-----------一、单选题1、C【解析】先证明Rt△CDF≌Rt△CBE，故CE=CF，根据△CEF的面积计算CE，根据正方形ABCD的面积计算BC，根据勾股定理计算BE．【详解】解：∵∠ECF=90°，∠DCB=90°，∴∠BCE=∠DCF，∴BCE DCF BC DCCDF CBE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CDF≌△CBE，故CF=CE．因为Rt△CEF的面积是200，即12•CE•CF=200，故CE=20，正方形ABCD的面积=BC2=256，得BC=16．根据勾股定理得：BE．故选：C．【点睛】本题考查了正方形，等腰直角三角形面积的计算，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证CF=CE是解题的关键．2、B【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，S△BOC=S△AOD=S△COD=S△AOB=8，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△DOE=4，进而可得答案．S ，解：∵四边形ABCD是平行四边形，32ABCD∴S△BOC=S△AOD=S△COD=S△AOB=8，∵点E是CD的中点，S△COD=4，∴S△DOE=12故选：B．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形中线的性质，掌握平行四边形的性质，三角形的中线平分三角形的面积是解答本题的关键．3、B【解析】【分析】由题意根据三角形的内角和得到∠A=36°，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，∴∠A=36°，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A=36°.故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．4、D【解析】【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=12AC=3，BO=12BD=4，AO⊥BO，∴BC，∴S菱形ABCD=16824 22BD AC⋅=⨯⨯=，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE=24245 BC=，故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．5、C【解析】【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】解：由勾股定理得，斜边13，所以，斜边上的中线长113 6.52=⨯=．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，解题的关键是熟记性质．6、B【解析】【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，13=，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝132＝6.5．故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．7、A【分析】根据折叠的条件可得：BE DE =，在Rt BAE 中，利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，9cm AD =，9BE AE ∴=-，根据勾股定理得：229(9)AE AE +=-，解得：4(cm)AE =．21436(cm )2ABES∴=⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 8、A 【解析】【分析】由菱形的性质可得OA =OC =3，OB =OD =4，AO ⊥BO ，由勾股定理求出AB ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =6，BD =8， ∴OA =OC =3，OB =OD =4，AO ⊥BO ，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：5AB =，【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．9、C【解析】【分析】作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得1122AE CE AC===，1192BE DE BD===，然后在ABE中，利用三角形三边的关系即可确定m的取值范围．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴1122AE CE AC===，1192BE DE BD===，在ABE中，AB m=，∴19121912m-<<+，即731m<<，故选：C．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．10、D【解析】【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．【详解】解：∵四边形AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又∵EC=AE，AB=AE+EB=6，∴EB=2，EC=4，∴Rt△BCE中，BC故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．二、填空题1、24【解析】【分析】根据题意作图，得出四边形ABCD 为菱形，再根据菱形的性质进行求解面积即可．【详解】解：根据题意作图如下：由题意得四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，且平分， 8AC =，4OA =，由勾股定理：3OB ==，6BD =∴，2118624()22ABCDSAC BD cm ∴=⋅⋅=⨯⨯=，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的判定及形，勾股定理，解题的关键是判断四边形是菱形． 2、995【解析】【分析】根据余角的性质得到FAC ABC ∠=∠，根据全等三角形的性质得到FAHABNS S=，推出ABC FNCH S S ∆=四边形，根据勾股定理得到222AC BC AB +=，解方程组得到665ABCS=，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和．结合665BC AC =即可得出结论．依此即可求解．【详解】解：如图，四边形ABGF 是正方形，90FAB AFG ACB ∴∠=∠=∠=︒， 90FAC BAC FAC ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒，FAC ABC ∴∠=∠，()FAH ABN ASA ∴≅，FAHABNS S∴=，3=ABCFNCH SS S ∴=四边形，∵316ABGF S S S =-=正方形空白，即216ABCAB S-=，21162AB AC BC ∴-⋅=，在ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB ∴+=，7AC BC +=，222()249AC BC AC BC AC BC ∴+=++⋅=， 2249AB AC BC ∴+⋅=，665BC AC ∴⋅=，阴影部分的面积和= 三个正方形面积+三角形面积-2倍空白部分面积=2222112()22AB AC BC AC BC AB AC BC +++--32AC BC =36625=⨯ 995=．故答案为：995．【点睛】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． 3、4 【解析】【分析】根据题意连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM 、FM ，EM 交BC 于N ，根据三角形的中位线定理推出EM =12AB ，FM =12CD ，EM ∥AB ，FM ∥CD ，推出∠ABC =∠ENC ，∠MFN =∠C ，求出∠EMF =90°，根据勾股定理求出ME 2+FM 2=EF 2，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．【详解】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，∵∠ABC+∠DCB=90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM=12AB，FM=12CD，EM∥AB，FM∥CD，∴∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，∴∠MNF+∠MFN=90°，∴∠NMF=180°-90°=90°，∴∠EMF=90°，由勾股定理得：ME2+FM2=EF2，∴阴影部分的面积是：12π（ME2+FM2）=12EF2π=8π，∴EF=4.故答案为：4．【点睛】本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME2+FM2的值是解答此题的关键．4、1 4 n【解析】【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为（n -1）个阴影部分的和．【详解】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：()11144n n -⨯-=．故答案为：14n -．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是得到n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 5、10或14##14或10 【解析】【分析】利用BF 平分∠ABC ， CE 平分∠BCD ，以及平行关系，分别求出AB AF =、DE DC =，通过BF 和CE 是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出BC 的长即可．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，6AB CD ==，AD BC ∥，AFE FBC ∴∠=∠，DEC ECB ∠=∠，BF 平分∠ABC ， CE 平分∠BCD ，ABF FBC ∴∠=∠，DCE ECB ∠=∠，AFE ABF ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，∴由等角对等边可知：6==，DE DC==，6AF AB情况1：当BF与CE相交时，如下图所示：AD AF DE EF=+-，∴=，10AD∴=，10BC情况2：当BF与CE不相交时，如下图所示：AD AF DE EF=++AD，14∴=∴=，BC14故答案为：10或14．【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据BF 和CE 是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）,,,.BAD AFC AEC BCD 【分析】（1）先证明,,,AB CD BD AD BC 再证明,BE DF =从而可得结论；（2）证明,ABE DCF 是等边三角形，再分别求解,B ∠ ,,,,BAD AFC AEC BCD 从而可得答案. 【详解】证明（1）平行四边形ABCD 中，，,,,AB CD BD AD BC点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，,BE DF ∴=∴ C ABE DF ≌△△（2） 2BC AB =，,,AD BC AB DC,AB BE CE CD DFAF,AE CE = C ABE DF ≌△△,AB BE CE CD DF AF AE CF,ABE DCF 是等边三角形， 60,BAE BEADFCDCFDB120,AECAFC四边形ABCD 是平行四边形，,AD BC ∥ 而60,B D 120BAD BCD ，所以等于B 的2倍的角有：,,,.BAD AFC AEC BCD【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明“,ABE DCF 是等边三角形”是解（2）的关键.2、（1）163；（2）y ＝S 四边形ABPQ ＝2t ＋32（0＜t ≤8）；（3）t ＝8，75PQD ∠=；（4）当t ＝4或ABP △为等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）利用平行四边形的对边相等AQ ＝BP 建立方程求解即可；（2）先构造直角三角形，求出AE ，再用梯形的面积公式即可得出结论；（3）利用面积关系求出t ，即可求出DQ ，进而判断出DQ ＝PQ ，即可得出结论；（4）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，8cm AB =，16cm BC =，由运动知，AQ ＝16−t ，BP ＝2t ，∵四边形ABPQ 为平行四边形，∴AQ ＝BP ，∴16−t ＝2t∴t ＝163，即：t ＝163s 时，四边形ABPQ 是平行四边形；（2）过点A 作AE ⊥BC 于E ，如图，在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝8，∴AE＝4，由运动知，BP＝2t，DQ＝t，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝16，∴AQ＝16−t，∴y＝S四边形ABPQ＝12（BP＋AQ）•AE＝12（2t＋16−t）×4＝2t＋32（0＜t≤8）；（3）由（2）知，AE＝4，∵BC＝16，∴S四边形ABCD＝16×4＝64，由（2）知，y＝S四边形ABPQ＝2t＋32（0＜t≤8），∵四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三∴2t＋32＝34×64，∴t＝8；如图，当t＝8时，点P和点C重合，DQ＝8，∵CD＝AB＝8，∴DP＝DQ，∴∠DQC＝∠DPQ，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠DQP＝75°；（4）①当AB＝BP时，BP＝8，即2t＝8，t＝4；②当AP＝BP时，如图，∵∠B＝30°，过P作PM垂直于AB，垂足为点M，∴BM＝4，22242BPBP⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得：BP，∴2t，∴t③当AB＝A P时，同（2）的方法得，BP＝∴2t＝∴t＝所以，当t＝4或ABP为等腰三角形．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是利用AQ＝BP建立方程，解（2）的关键是求出梯形的高，解（3）的关键是求出t，解（4）的关键是分类讨论的思想思考问题．3、（1）3秒后PQ平行于y轴；（2）9(,4)5或()3,4-．【分析】（1）设t 秒后PQ 平行于y 轴，先求出,AP OQ 的长，再根据矩形的判定与性质可得AP OQ =，由此建立方程，解方程即可得；（2）分①点P 在点A 右侧，②点P 在点A 左侧两种情况，分别根据2OQ AP =建立方程，解方程即可得．【详解】解：（1）(9,4)M ，9AM ∴=，设t 秒后PQ 平行于y 轴，()cm,92cm OQ t AP AM PM t ∴==-=-， AM 垂直于y 轴，OA 垂直于x 轴，PQ 平行于y 轴，∴四边形OAPQ 是矩形，AP OQ ∴=，即92t t -=，解得3t =，即3秒后PQ 平行于y 轴；（2）由题意得：经过b 秒后，2cm,cm PM b OQ b ==， AM 垂直于y 轴，点P 在直线AM 上，且点A 的坐标为(0,4)A ，∴点P 的纵坐标为4，①当点P 在点A 右侧时，(92)cm AP AM PM b =-=-，由2OQ AP =得：()292b b =-，解得185b =，18992(cm)55AP ∴=-⨯=， ∴此时点P 的坐标为9(,4)5P ；②当点P 在点A 左侧时，(29)cm AP PM AM b =-=-，由2OQ AP =得：()229b b =-，解得6b =，2693(cm)AP ∴=⨯-=，∴此时点P 的坐标为(3,4)P -；综上，点P 的坐标为9(,4)5或()3,4-．【点睛】本题考查了坐标与图形、矩形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．4、（1）四边形BDCE 是菱形，证明见解析；（2）【分析】（1）先证明四边形BDCE 是平行四边形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明,CD BD =从而可得结论；（2）先求解,,AC BC 再求解,ACB BCD 的面积，再利用菱形的性质可得菱形的面积.【详解】证明：（1）四边形BDCE 是菱形，理由如下：,BE CD CE AB ∥∥，∴ 四边形BDCE 是平行四边形，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，,CD BD ∴=∴ 四边形BDCE 是菱形.（2） ∠ABC ＝30°，AB ＝4，∠ACB ＝90°，12,2AC AB BC ∴==== 122ABCS ∴=⨯⨯= D 为AB 中点， 1122BCD ABCS S ∴==⨯ 四边形BDCE 是菱形，2DBCBDCE S S ∴==菱形故答案为：【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”是解本题的关键.5、（1）证明见详解；（2）与ADG 面积相等的平行四边形有ADFE 、DEFB 、DECF 、EFCG ．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得：∥DE BC ，DF AC ∥，12DE BC =，12DF AC =，依据平行四边形的判定定理可得四边形DECF 为平行四边形，再由BC AC =，可得DE DF =，依据菱形的判定定理即可证明；（2）根据三角形中位线定理及平行四边形的判定定理可得四边形DEFB 、DECF 、ADFE 是平行四边形，根据平行四边形的性质得出ADE 与各平行四边形面积之间的关系，再根据平行四边形的判定得出四边形EGCF 是平行四边形，根据其性质得到EG FC DE ==，根据等底同高可得2=ADG ADE SS ，据此即可得出与ADG 面积相等的平行四边形．【详解】解：（1）∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴∥DE BC ，DF AC ∥，12DE BC =，12DF AC =， ∴四边形DECF 为平行四边形，∵BC AC =， DE DF ∴=，∴四边形DECF 为菱形；（2）∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴∥DE BC ，DF AC ∥，EF AB ∥，12DE BC =，12DF AC =， 12EF AB =，且AD BD =，AE CE =，BF CF =，∴四边形DEFB 、DECF 、ADFE 是平行四边形， ∴111222======ADE DEF EFC DBF ADFE DEFB DECF S S S S S S S ，∵∥DE BC ，∥∥CG EF AB ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∴EG FC DE ==，∴2=ADG ADE S S ，∴====ADG ADFE DEFB DECF EFCG S S S S S∴与ADG 面积相等的平行四边形有ADFE 、DEFB 、DECF 、EFCG ．【点睛】题目主要考查菱形及平行四边形的判定定理和性质，中位线的性质等，熟练掌握平行四边形及菱形的判定定理及性质是解题关键．。

八年级数学下册随堂特训第18章平行四边形综合检测题课件 (新版)新人教版

4．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 中点，BF 平分∠ABC 交 DE
于点 F.AB＝8，BC＝6，则 EF 的长为( A )
A．1
B.2
C．3
D.4
5．已知直线 a∥b，点 M 到直线 a 的距离是 6cm，到直线 b 的距离是 3cm，
那么直线 a 和直线 b 之间的距离是( C )
[拓展延伸] (3)若四边形 ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图②，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
解：AM＝AD＋MC 成立．用(1)中一样的证明过程．AM＝DE＋BM 不成立．
∴AF＝AD.连接 EM.∵E 是 CD 边的中点，∴ED＝CE.∵ED＝EF，∴CE＝ EF＝EC
EF.在 Rt△MEF 和 Rt△MEC 中，EM＝EM ，∴Rt△MEF≌Rt△MEC(HL)，
∴FM＝CM.∵AM＝AF＋FM，∴AM＝AD＋MC；
(2)AM＝DE＋BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
16．如图正方形 ABCD 的边长为 2，H 在 CD 的延长线上，四边形 CEFH 也
为正方形，则△DBF 的面积为 2 .
17．如图，等边三角形 ABC 的周长是 15，P 是其内任意一点，PD∥AB，
PE∥BC，PF∥AC，则 PD＋PE＋PF＝ 5 .
18．如图，在菱形 ABCD 中，过点 B 作 BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点
25．(12 分)[问题情境] 如图①，四边形 ABCD 是正方形，M 是 BC 边上的一点，E 是 CD 边的中点， AE 平分∠DAM.
[探究展示] (1)证明：AM＝AD＋MC；

人教版八年级数学下册期末复习专题训练——图形变换(含详解)

人教版八年级数学下册期末复习专题训练——图形变换一．典例讲解：例题：已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴S△ABF=AB•BF=24cm2，∴AB•BF=48（cm2），∴AB2+BF2=（AB+BF）2﹣2AB•BF=（AB+BF）2﹣2×48=AF2=100（cm2），∴AB+BF=14（cm）∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm二．对应训练：1.如图所示，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边于对角线AC重合，点B落在点F处，且EF=3，求AB的长2.如图，一块矩形纸片的宽CD为2cm，点E在AB上，如果沿图中的EC对折，B点刚好落在AD上，此时∠BCE=15°，求BC的长3.如图，直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别相交于点A、B，设M是OB上一点，若将△ABM沿AM 折叠，使点B恰好落在x轴上的点B′处．求：（1）点B′的坐标；（2）直线AM所对应的函数关系式．4.如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO=45°，点A坐标为（8，0）．动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度．（1）求直线AB的函数关系式；（2）若点A、B、O与平面内点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标；（3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标．5.已知，如图，矩形ABCD边AB=6，BC=8，再沿EF折叠，使D点与B点重合，C点的对应点为G，将△BEF绕着点B顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜180°），记旋转这程中的三角形为△BE′F′，在旋转过程中设直线E′F′与射钱EF、射线ED分别交于点M、N，当EN=MN时，求FM的长6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长和点C的坐标；（2）求直线CD的解析式．7.如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠．已知∠ADB＝25°，AE∥BD，求∠BAF8.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限内，对角线BD与x轴平行，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD 沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），求m的取值范围．9.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．10.如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=6，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，求折痕AE的长11.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，求BC的长．12.如图，矩形ABCD的长为8，宽为6，现将矩形沿对角线BD折叠，C点到达C′处，C′B交AD于E．（1）判断△EBD的形状，并说明理由；（2）求DE的长．13.如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，求∠PBQ．14.已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．(1)求证：四边形AFCE是菱形．(2)若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2．求△ABF的周长．15.如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试确定重叠部分△AEF的面积．16.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．答案；二．对应训练：1.略2.略3.（1）y=﹣x+8，令x=0，则y=8，令y=0，则x=6，∴A（6，0），B（0，8），∴OA=6，OB=8 AB=10，∵A B'=AB=10，∴O B'=10﹣6=4，∴B'的坐标为：（﹣4，0）．（2）设OM=m，则B'M=BM=8﹣m，在Rt△OMB'中，m2+42=（8﹣m）2，解得：m=3，∴M的坐标为：（0，3），设直线AM的解析式为y=kx+b，则，解得：，故直线AM的解析式为：y=﹣x+3．4.（1）∵∠BAO=45°，∠AOB=90°，∴△AOB为等腰直角三角形，即OA=OB=8，∴B（0，8），设直线AB解析式为y=kx+b，将A（8，0）与B（0，8）代入得：，解得：k=﹣1，b=8，则直线AB解析式为y=﹣x+8；（2）如图所示：当四边形AOBE1为平行四边形时，E1坐标为（8，8）；当四边形ABE2O为平行四边形时，E2坐标为（﹣8，8）；当四边形ABOE3为平行四边形时，E3坐标为（8，﹣8）；（3）当P在OB上时，连接PQ，由PQ=2，在Rt△POQ中，OP=OQ，可得：OP=OQ=×2=，此时P（0，）；当P′在AB上时，过P′作P′M⊥x轴，∵P′Q′=2，△P′Q′M为等腰直角三角形，∴P′M=Q′M=OM=OB ﹣P′M=8﹣，此时P′（8﹣，）．5如图所示：由折叠性质得：设AE=x=FC=FG，则BE=ED=8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，即62+x2=（8﹣x）2，解得：x=，∴BE=8﹣=，EF===，由折叠性质得：∠BEF=∠DEF=∠BFE，∵EN=NM，∴∠DEF=∠NME=∠F′，∴EM∥BF′，BE∥E′F′，∴四边形BEMF′为平行四边形，由旋转性质得：BF′=BF=8﹣x，∴BE=BF′，∴平行四边形BEMF′为菱形，∴EM=BE=，∴FM=EF﹣EM=﹣=．6.（1）∵直线y=﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，∴A（6，0），B（0，8），在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB==10，∵△DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC，∴AC=AB=10．∴OC=OA+AC=OA+AB=16．∵点C在x轴的正半轴上，∴点C的坐标为C（16，0）．（2）设点D的坐标为D（0，y）（y＜0），由题意可知CD=BD，CD2=BD2，在Rt△OCD中，由勾股定理得162+y2=（8﹣y）2，解得y=﹣12．∴点D的坐标为D（0，﹣12），可设直线CD的解析式为y=kx﹣12（k≠0）∵点C（16，0）在直线y=kx﹣12上，∴16k﹣12=0，解得k=，∴直线CD的解析式为y=x﹣12．7.略8.∵菱形ABCD的顶点A（2，0），点B（1，0），∴点D的坐标为（4，1），当y=1时，x+3=1，解得x=﹣2，∴点D向左移动2+4=6时，点D在EF上，∵点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），∴4＜m＜6．9.（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8﹣3=5．在△ADE中，AD===4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．10.∵翻折后点B恰好与点C重合，∴AE⊥BC，BE=CE，∵BC=AD=6，∴BE=3，∴AE==4，11.∵菱形AECF，AB=6，设BE=x，则AE=CE=6﹣x，∵菱形AECF，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°，∴2BE=CE，即CE=2x，∴2x=6﹣x，解得：x=2，∴CE=4，又EB=2，则利用勾股定理得：BC=2．12.（1）证明：∵△BDC1是由△BDC沿直线BD折叠得到的，∴∠C1BD=∠CBD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠C1BD=∠EDB，∴BE=DE，∴△EBD是等腰三角形；（2）解：设DE=x，则AE=AD﹣DE=8﹣x，∵∠A=90°，BE=DE=x，在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2，∴x2=62+（8﹣x）2，∴x=，即DE=．13.根据折叠的性质知：BP=BC，∠PBQ=∠CBQ ∴BN=BC=BP ∵∠BNP=90°∴∠BPN=30°∴∠PBQ=×60°=30°．14.（1）证明：如图所示，由折叠得OA=OC，EF⊥AC.∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO.∴△AOE≌△COF，∴AE=CF.又AE∥CF，∴四边形AECF 是平行四边形.∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，∵△ABF 的面积为24cm 2,∴10022=+b a ,48=ab ,∴196)(2=+b a .∴14=+b a ，或14-=+b a （不合题意，舍去），∴△A BF 的周长为2410=++b a （cm ）15.设AE=x ，由折叠可知，EC=x ，BE=4﹣x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+（4﹣x ）2=x 2，解得：x=，由折叠可知∠AEF=∠CEF ，∵AD ∥BC ，∴∠CEF=∠AFE ，∴∠AEF=∠AFE ，即AE=AF=，∴S △AEF =×AF ×AB=××3= 16.（1）证明：∵直角△ABC 中，∠C=90°﹣∠A=30°．∵CD=4t ，AE=2t ，又∵在直角△CDF 中，∠C=30°，∴DF=CD=2t ，∴DF=AE ；解：（2）∵DF ∥AB ，DF=AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形，当AD=AE 时，四边形AEFD 是菱形，即60﹣4t=2t ，解得：t=10，即当t=10时，▱AEFD 是菱形；（3）当t=时△DEF 是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF 是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：当∠EDF=90°时，DE ∥BC ．∴∠ADE=∠C=30°∴AD=2AE ∵CD=4t ，∴DF=2t=AE ，∴AD=4t ，∴4t +4t=60，∴t=时，∠EDF=90°．当∠DEF=90°时，DE ⊥EF ，∵四边形AEFD 是平行四边形，∴AD ∥EF ，∴DE ⊥AD ，∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°，∵∠A=60°，∴∠DEA=30°，∴AD=AE ，AD=AC ﹣CD=60﹣4t ，AE=DF=CD=2t ，∴60﹣4t=t ，解得t=12．综上所述，当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．。

人教版八年级数学下册第18章菱形的性质和判定专项练习题

人教版八年级数学下册第18章菱形的性质和判定专项练习（含答案）一、单选题（共有9道小题）1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对边平行B.对角线互相平分C.对边相等D.对角线互相垂直2.如图，在菱形ABCD 中， ∠BAD ＝120°．已知△ABC 的周长是15，则菱形ABCD 的周长是（）A ．25B ．20C ．15D ．103.如图，要使□ABCD 成为菱形，则需要添加的条件是（）A.AB=CDB.AC=BDC.AO=OCD.AC ⊥BD4.如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC 的长等于（）米A.63B.6C.33D.35.下列命题是假命题的是（）A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的四边形是菱形D ．对角线垂直的平行四边形是菱形 6.以下四个命题正确的是（） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 菱形对角线相等C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 平行四边形的四条边相等7.如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤BD A CABCD8.如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G 、H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（）A.B.C.5D.6 9.四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关二、填空题（共有8道小题）10.已知菱形一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为8cm ，则这个菱形的周长为。

人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形

专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

新人教版八年级下册数学各章专项训练试题第17章勾股定理(含答案)

第17章勾股定理专项训练专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．(第1题)2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C 坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm(第3题)(第4题)4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．用对称法求平面中最短问题5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．(第5题)6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B 两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)用展开法求立体图形中最短问题类型1 圆柱中的最短问题(第7题)7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．类型2 圆锥中的最短问题8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？2·1·c·n·j·y(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．(第8题)类型3 正方体中的最短问题9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．(第9题)类型4 长方体中的最短问题10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．(第10题)专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x ，将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x ；(4)进行相关计算解决问题．巧用全等法求折叠中线段的长1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，折痕为BD ，如图②，再将图②沿DE 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，如图③，则折痕DE 的长为( )(第1题) A.83cm B ．2 3 cm C ．2 2 cm D ．3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图所示，将长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积．(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为n(n为正整数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题．利用勾股定理求线段长1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．(第1题)利用勾股定理作长为n的线段2．已知线段a，作长为13a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为13a.利用勾股定理证明线段相等3．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.(第3题)利用勾股定理证明线段之间的平方关系4．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.(第4题)利用勾股定理解非直角三角形问题5．如图，在△ABC 中，∠C ＝60°，AB ＝14，AC ＝10.求BC 的长．(第5题)利用勾股定理解实际生活中的应用6．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h ⎝ ⎛⎭⎪⎫即503 m/s ，并在离该公路100 m 处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．另外一条公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15 s ，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：3≈1.7)(第6题)利用勾股定理探究动点问题7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，借助图①求t 的值；(3)当△ABP 为等腰三角形时，借助图②求t 的值．(第7题)答案专训11．4(第2题)2．解：(1)如图，过点C 作AB 的垂线，交AB 的延长线于点E.∵∠ABC ＝120°，∴∠BCE ＝30°.在Rt △CBE 中，∵BC ＝20 km ，∴BE ＝10 km.由勾股定理可得CE ＝10 3 km.在Rt △ACE 中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB ＋BE)2＋CE2＝8 100＋300＝8 400， ∴AC ＝2021≈20×4.6＝92(km)．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车需时间t1＝8060＝113(h)，乘“武黄城际列车”需时间t2≈92180＋2040＝1190(h)． ∵113>1190，∴选择乘“武黄城际列车”．(第3题)3．C 点拨：将台阶面展开，连接AB ，如图，线段AB 即为壁虎所爬的最短路线．因为BC ＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC ＝50 cm ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16 900，所以AB ＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.5．解：如图，连接BD 交AC 于O ，连接ED 与AC 交于点P ，连接BP.(第5题)易知BD ⊥AC ，且BO ＝OD ，∴BP ＝PD ，则BP ＋EP ＝ED ，此时最短．∵AE ＝3，AD ＝1＋3＝4，由勾股定理得ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52，∴ED ＝BP ＋EP ＝5.6．解：如图，作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则点P 即为所建的出口．此时A 、B 两城镇到出口P 的距离之和最小，最短距离为AC 的长．作AD ⊥BB ′于点D ，在Rt △ADC 中，AD ＝A ′B ′＝8 km ，DC ＝6 km.∴AC ＝AD2＋DC2＝10 km ，∴这个最短距离为10 km.(第6题)7．2 2 点拨：将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平得长方形AA ′D ′D ，连接AC ，如图．线段AC 就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB ＝2π×2π×12＝2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC ＝8＝2 2.(第7题)8．解：(1)圆锥 (2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC 为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt △ASC 中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC ＝125＝5 5.故蜗牛爬行的最短路程为5 5. (第8题)(第9题)9．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC ′1和AC1.(2)如图，AC ′1＝42＋（4＋4）2＝4 5. AC1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是45. 10．解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC ，在Rt △EBC 中，EB ＝12＋8＝20(cm)，BC ＝12×30＝15(cm)．由勾股定理，得EC ＝202＋152＝25(cm)．(2)如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝673 cm>25 cm. (3)如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(cm)>25 cm. 综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm.(第10题)专训21．A2．解：由题意易知AD ∥BC ，∴∠2＝∠3.∵△BC ′D 与△BCD 关于直线BD 对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB ＝ED.设EB ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝AD －ED ＝8－x.在Rt △ABE 中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x ＝5.∴DE ＝5.∴S △BED ＝12DE ·AB ＝12×5×4＝10. 解题策略：解决此题的关键是证得ED ＝EB ，然后在Rt △ABE 中，由BE2＝AB2＋AE2，利用勾股定理列出方程即可求解．2-1-c-n-j-y3．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠D ＝∠B ＝90°.∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD ＝AF ，DE ＝EF ，∠D ＝∠AFE ＝90°.∴AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°.又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG(HL)．(2)解：∵△ABG ≌△AFG ，∴BG ＝FG.设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ，∵E 为CD 的中点，∴CE ＝DE ＝EF ＝3，∴EG ＝3＋x.∴在Rt △CEG 中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x ＝2.∴BG ＝2.4．(1)证明：由题意知，AF ＝CF ，AE ＝CE ，∠AFE ＝∠CFE ，又四边形ABCD 是长方形，故AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE.∴∠AFE ＝∠AEF.∴AE ＝AF ＝EC ＝CF.(2)解：由题意知，AE ＝EC ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，由∠D ＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.专训3(第1题)1．解：如图，连接BD.∵等腰直角三角形ABC 中，点D 为AC 边的中点，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，又易知∠C ＝45°， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠C.∴BD ＝CD.∵DE ⊥DF ，BD ⊥AC ，∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF.∴∠FDC ＝∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠C ，BD ＝CD ，∠EDB ＝∠FDC ，∴△EDB ≌△FDC(ASA)，∴BE ＝FC ＝3.∴AB ＝7，则BC ＝7.∴BF ＝4.在Rt △EBF 中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，∴EF ＝5.2．2a ；3a3．证明：∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝90°，即△ADC 是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2，故BC2＝AB2，即AB＝BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．(第4题)4．证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.(第5题)5．思路导引：过点A 作AD ⊥BC 于D ，图中出现两个直角三角形——Rt △ACD 和Rt △ABD ，这两个直角三角形有一条公共边AD ，借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D.∴∠ADC ＝90°.又∵∠C ＝60°，∴∠CAD ＝90°－∠C ＝30°，∴CD ＝12AC ＝5. ∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC2－CD2＝102－52＝5 3. ∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB2－AD2＝11.∴BC ＝BD ＋CD ＝11＋5＝16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．【来源：6．思路导引：(1)要求点B 和点C 的坐标，只要分别求出OB 和OC 的长即可．(2)由(1)可知BC 的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，并与503比较即可．解：(1)在Rt △AOB 中，∵∠BAO ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∴OA ＝12AB. ∵OA ＝100 m ，∴AB ＝200 m.由勾股定理，得OB ＝AB2－OA2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt △AOC 中，∵∠CAO ＝45°，∴∠OCA ＝∠OAC ＝45°.∴OC ＝OA ＝100 m ．∴B(－1003，0)，C(100，0)． (2)∵BC ＝BO ＋CO ＝(1003＋100)m ，1003＋10015≈18>503， ∴这辆汽车超速了．7．解：(1)在Rt △ABC 中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC ＝4 cm.(2)由题意知BP ＝t cm ，①如图①，当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，即t ＝4；②如图②，当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP2＝32＋(t －4)2，在Rt △BAP 中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t －4)2]＝t2，解得t ＝254. 故当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.(第7题(2))(3)①如图①，当BP ＝AB 时，t ＝5；②如图②，当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，t ＝8；(第7题(3))③如图③，当BP ＝AP 时，AP ＝BP ＝t cm ，CP ＝|t －4|cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP2＝AC2＋CP2，所以t2＝32＋(t －4)2，解得t ＝258. 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或t ＝8或t ＝258.第17章勾股定理专项训练专训1.证垂直在解题中的应用名师点金：证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．利用三边的数量关系说明直角1．如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且AB ＝10，BD ＝6，AD ＝8，AC ＝17，求CD 的长．(第1题)利用转化为三角形法构造直角三角形2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝5，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD.(第2题)利用倍长中线法构造直角三角形3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD.(第3题)利用化分散为集中法构造直角三角形4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；(2)如图②，当α＝90°时，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．(第4题)利用“三线合一”法构造直角三角形5．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC 上的点，且DM⊥DN.(1)求证：CM＋CN＝2BD；(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系．(第5题)专训2.全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系．它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．本章的考点可概括为：两个概念，两个定理，两个应用．两个概念a．互逆命题1．有下列命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．(1)③和⑤是互逆命题吗？(2)你能说出③和⑤的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题．b．互逆定理2．下列四个定理中，存在逆定理的有( )个．(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形；(2)全等三角形的对应角相等；(3)同位角相等，两直线平行．A．0 B．1 C．2 D．33．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；(2)同角的补角相等．两个定理a．勾股定理4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．(第4题)b．勾股定理的逆定理5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状(按角分类)．(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2＋b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2<c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝2，b＝4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？2-1-c-n-j-y两个应用a．勾股定理的应用6．如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破．已知C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB.为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内(包括250 m)不得有人进入．问：在进行爆破时，公路AB 段是否有危险？需要暂时封锁吗？(第6题)b．勾股定理逆定理的应用7．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile，乙巡逻艇每小时航行30 n mile，航向为北偏西37°，问：甲巡逻艇的航向？(第7题)答案专训11．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2，∴△ABD为直角三角形，且∠ADB＝90°.在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，∴CD ＝AC2－AD2＝172－82＝15.2．解：连接AC.在Rt △ACB 中，AB2＋BC2＝AC2，∴AC ＝3，∴AC2＋AD2＝CD2.∴△ACD 为直角三角形，且∠CAD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝12×2×5＋12×3×4＝6＋ 5.(第3题)3．证明：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接CE ，BE.∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD.又∵AD ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE ，∴△ADC ≌△EDB ，∴BE ＝AC ＝13.在△ABE 中，AE ＝2AD ＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2，∴△ABE 是直角三角形，且∠BAE ＝90°，即AB ⊥AD.点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．4．解：(1)如图①，连接DP ，易知△DCP 为等边三角形，易证得△CPB ≌△CDA ，∴∠BPC ＝∠ADC，∠CDP＝60°，AD＝6，DP＝8，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝150°，∴∠BPC＝150°.(第4题)(2)如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，易证得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝45°，AD＝1，DP＝2CD＝22，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝135°，∴∠BPC＝135°.5．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.∵CD⊥AB，∠BCD＝45°，∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，∴CM＝BN.∴CM＋CN ＝BN＋CN＝BC.在Rt△CBD中，∠B＝45°，∠CDB＝90°，∴BC＝2BD.∴CM＋CN＝2BD.(2)解：CN－CM＝2BD，如图②，连接CD，证法同(1)．(第5题)专训二1．解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．(2)能．③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.(3)①与④，②与⑥分别是互逆命题．2．C3．解：(1)逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它们是互逆定理．2·1·c·n·j·y(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不是互逆定理．4．解：设CD＝x，在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，即CD的长是1.4.点拨：勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列方程思路清晰、直观易懂．5．解：(1)锐角；钝角(2)a2＋b2＝22＋42＝20，∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c<6.①由a2＋b2>c2，得c2<20，0<c<25，∴当4≤c＜25时，这个三角形是锐角三角形；②由a2＋b2＝c2，得c2＝20，c＝25，∴当c＝25时，这个三角形是直角三角形；③由a2＋b2<c2，得c2>20，c>25，∴当25<c<6时，这个三角形是钝角三角形．6．思路导引：要判断公路AB 段是否需要暂时封锁，只需要判断点C 到公路l 的距离是否大于250 m ．若大于250 m ，则不需要暂时封锁；若小于或等于250 m ，则需要暂时封锁．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.在Rt △ABC 中，因为BC2＋AC2＝AB2，BC ＝400 m ，AC ＝300 m ，(第6题)所以AB2＝4002＋3002＝5002，所以AB ＝500 m.因为SRt △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ，所以500×CD ＝400×300，所以CD ＝240 m.因为240<250，所以公路AB 段有危险，需要暂时封锁．7．解：AC ＝40×0.1＝4(n mile)，BC ＝30×0.1＝3(n mile)．因为AB ＝5 n mile ，所以AB2＝BC2＋AC2，所以∠ACB ＝90°.因为∠CBA ＝90°－37°＝53°，所以∠CAB ＝37°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.。

人教版八年级数学下册专题复习提升训练20

专题复习提升训练卷20.3《数据的分析》单元训练(1)-20-21人教版八年级数学下册一、选择题1、某电子科技公司招聘本科毕业生，小林同学的心里测试，笔试，面试得分分别是80分，90分，70分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小林同学的最终成绩为（）A．78分B．80分C．82分D．85分2、随着冬季的来临，流感进入高发期．某校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，18元．四种艾条的购买比例如图所示，那么所购买艾条的平均单价是（）A．22.5元B．23.25元C．21.75元D．24元3、在AI计算机比赛预赛中，11名参赛者得分各不相同，按得分取前5名进入决赛．若佳佳知道自己的得分，要判断自己能否进入决赛，她只需知道11名参赛者得分的（）A．方差B．平均数C．众数D．中位数4、在抗击新型冠状病毒肺炎疫情中，某社区志愿者小分队10名队员年龄统计如下表：年龄（岁）18 22 30 35 43人数 2 3 2 2 1则这10名队员年龄的中位数、众数分别是（）A．20岁，35岁B．26岁，22岁C．22岁，26岁D．30岁，30岁5、某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下：锻炼时间/h 5 6 7 8人数 6 15 10 4则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（）A ．6h ，6hB ．6h ，15hC ．6.5h ，6hD ．6.5h ，15h6、某同学参加了学校举行的“舞动青春”歌唱比赛，7位评委打分情况如下表：关于七位评委打分情况，下列说法错误的是（）A ．中位数是7B ．众数是8C ．平均数是7D ．方差是27、小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下222221(7)(8)(8)(8)s x x x x n⎡=-+-+-+-+⎣2(9)x ⎤-⎦，根据公式信息，下列说法中，错误的是（） A ．数据个数是5 B ．数据平均数是8 C ．数据众数是8 D ．数据方差是158、为备战2022年北京冬奥会，甲、乙两名运动员训练测验，两名运动员的平均分相同，且2s 甲=0.01，2s 乙=0.006，则成绩较稳定的是（）A ．乙运动员B ．甲运动员C ．两运动员一样稳定D ．无法确定9、如果一组数据的方差是2，如果将这组数据中的每个数据都扩大3倍，得到一组新的数据，请问这组数据的方差是多少（）A ．2B ．6C ．12D ．1810、某校九年级四班数学兴趣小组有5名成员，身高（单位：cm ）分别为165、172、168、170、175．增加1名身高为170cm 的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比（）A ．平均数变小，方差不变B ．平均数不变，方差变小C ．平均数不变，方差变大D ．平均数不变，方差不变二、填空题11、某校在计算学生的数学期评成绩时，规定期中考试成绩占30%，期末考试成绩占70%．王林同学的期中数学考试成绩为130分，期末数学考试成绩为140分，那么他的数学期评成绩是________分．12、某校规定：学生的数学期未总计成须由卷面成绩、研究性学习成绩、平时成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示.小明本学期数学学科的卷面成绩、研究性学习成绩、平时成绩得分依次为90分、80分、85分，则小明的数学期末总评成绩为________分.13、“学习强国”是王老师每天的必修课，下表是王老师一周的学习得分情况：日期 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7得分 49 60 48 42 55 55 55则这组数据的众数为______．14、商店某天销售了11件衬衫，其领口尺寸统计如下表：领口尺寸（单位：cm ） 38 39 40 41 42件数 1 4 3 1 2则这11件衬衫领口尺寸的中位数是________cm ．15、某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18人数 1 4 3 2 2则这个队队员年龄的众数和中位数分别是_____岁、_____岁．16、若一组数据123,,x x x 的方差是2，则数据1233,3,3x x x +++的方差是_______．17、甲，乙二人参加射击测试，两人10次射击的平均成绩均为8.5环，各自的方差如右表所示，则两人中射击成绩较稳定的是________．人员甲乙方差0.6 2.818、我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手组成甲班代表队和乙班代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：根据图示信息，整理分析数据如表：平均数（分）中位数（分）众数（分）方差甲班 a 85 c 70乙班85 b 100 160（1）填空：甲班2号选手的预赛成绩是分，乙班3号选手的预赛成绩是分，班的预赛成绩更平衡，更稳定；（2）求出表格中a＝，b＝，c＝；（3）学校决定在甲、乙两班中选取预赛成绩较好的5人参加该活动的区级比赛，这5人预赛成绩的平均分数为．三、解答题19、少年学生走近操场，走到阳关下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”．短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组．在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题．（1）请根据图中信息，补全下面的表格；第1次第2次第3次第4次第5次小明13.3 13.4 13.3 ___ 13.3小亮13.2 ___ 13.1 13.5 13.3（2）计算他们5次成绩的平均数和方差，若你是他们的教练，会分别给予他们怎样的建议?20、八（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：甲7 8 9 7 10 10 9 10 10 10乙10 8 7 9 8 10 10 9 10 9（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是队．21、为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题．（1）求本次调查获取的样本数据的平均数；（2）如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？22、某校决定从八年级三个班中选择一个班作为市级先进班级的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是这三个班五项考评的得分表（单位：分，每项满分为10分）．班级道德行为学习成绩艺术获奖劳动卫生校运动会八年级（1班）9 8 7 9 7八年级（2班）8 9 8 9 8八年级（3班）9 9 8 9 7（1）求各班五项考评的平均分；（2）如果将道德行为、学习成绩、艺术获奖、劳动卫生、校运动会五项得分按2:3:1:3:1的比例确定各班的最终得分，那么该校会选择哪个班作为市级先进班级的候选班？23、停课不停学，疫情期间，八（1）班30位同学参加运动线上打卡，张老师为了鼓励同学们积极锻炼，统计了这30人15天的打卡次数如下：打卡次数7 8 9 14 15人数 6 9 6 3 6（1）直接写出打卡次数的众数和中位数；（2）求所有同学打卡次数的平均数；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，张老师决定制定一个打卡奖励标准，凡打卡次数达到或超过这个标准的同学将获得奖励，请你根据（1）、（2）中所求的统计量，帮助张老师制定一个较为合理的打卡奖励标准，并说明理由．24、为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查40名同学实验操作的得分（满分为10分）．根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息解答下列问题．（1）①中的描述应为“6分”，其中m的值为________；扇形①的圆心角的大小是________；（2）这40个样本数据平均数是________，众数是________，中位数是________；（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生有多少人．25、某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）表格是a＝，b＝，c＝．（填数值）（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是；（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数，中位数，方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）专题复习提升训练卷20.4《数据的分析》单元训练(1)-20-21人教版八年级数学下册（解析）一、选择题1、某电子科技公司招聘本科毕业生，小林同学的心里测试，笔试，面试得分分别是80分，90分，70分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小林同学的最终成绩为（）A．78分B．80分C．82分D．85分【答案】A【分析】由加权平均数的含义列式：235809070101010⨯+⨯+⨯，再计算即可得到答案．【详解】解：由题意得：23580907078101010⨯+⨯+⨯=（分），所以小林同学的最终成绩为78分．故选A．2、随着冬季的来临，流感进入高发期．某校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，18元．四种艾条的购买比例如图所示，那么所购买艾条的平均单价是（）A．22.5元B．23.25元C．21.75元D．24元【答案】C【分析】根据加权平均数定义，即可求出所购买艾条的平均单价．【详解】解：所购买艾条的平均单价是：30×10%＋25×25%＋20×40%＋18×25%＝21.75（元），故选：C．3、在AI计算机比赛预赛中，11名参赛者得分各不相同，按得分取前5名进入决赛．若佳佳知道自己的得分，要判断自己能否进入决赛，她只需知道11名参赛者得分的（）A．方差B．平均数C．众数D．中位数【答案】D【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩，参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道自己的成绩和中位数．故选：D．4、在抗击新型冠状病毒肺炎疫情中，某社区志愿者小分队10名队员年龄统计如下表：则这10名队员年龄的中位数、众数分别是（）A．20岁，35岁B．26岁，22岁C．22岁，26岁D．30岁，30岁【答案】B【分析】根据中位数和众数的定义求得后对各选项判断即可．【详解】解：在10名队员的年龄数据里，第5和第6个数据分别是22岁和30岁，因而中位数是2230262+=（岁）．这10名队员的年龄数据里，22岁出现了3次，次数最多，因而众数是22岁；故选：B．5、某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下：则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（）A．6h，6h B．6h，15h C．6.5h，6h D．6.5h，15h 【答案】A【分析】直接利用众数和中位数的概念求解即可得到答案．【详解】解：∵锻炼6h的人人数最多，∴这组数据的众数为6h，又∵调查总人数为35人，中位数为第18个数据，即中位数为6h，故选：A．6、某同学参加了学校举行的“舞动青春”歌唱比赛，7位评委打分情况如下表：关于七位评委打分情况，下列说法错误的是（）A．中位数是7 B．众数是8 C．平均数是7 D．方差是2 【答案】D【分析】根据众数与中位数、平均数、方差的定义分别求解即可．【详解】解：从小到大排列此数据为：5，6，7，7，8，8，8，7处在第4位为中位数，故A 选项正确，不符合题意；数据8出现了三次，最多，为众数，故选项B 正确，不符合题意；该同学所得分数的平均数为（5+6+7×2+8×3）÷7=7（分），故选项C 正确，不符合题意方差为：2222222(67)(87)(77)(87)(57)(77)(87)877s -+-+-+-+-+-+-==，故选项D 错误，符合题意．故选：D ．7、小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下222221(7)(8)(8)(8)s x x x x n ⎡=-+-+-+-+⎣2(9)x ⎤-⎦，根据公式信息，下列说法中，错误的是（）A ．数据个数是5B ．数据平均数是8C ．数据众数是8D ．数据方差是15【答案】D【分析】根据题目中的方差公式，众数的定义以及平均数的求法即可进行判断；【详解】根据方差的公式可知样本容量为5，故A 正确；样本的平均数为：78889=85++++ ，故B 正确；样本的众数为8，故C 正确；样本的方差为：()()()()()22222212788888898558=s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦，故D 错误；故选：D ．8、为备战2022年北京冬奥会，甲、乙两名运动员训练测验，两名运动员的平均分相同，且2s 甲=0.01，2s 乙=0.006，则成绩较稳定的是（）A ．乙运动员B ．甲运动员C．两运动员一样稳定D．无法确定【答案】A【分析】根据方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，直接判断即可得出答案．【详解】解：∵2s甲=0.01，2s乙=0.006，∴2s甲>2s乙，∴成绩较稳定的是乙运动员．故选：A．9、如果一组数据的方差是2，如果将这组数据中的每个数据都扩大3倍，得到一组新的数据，请问这组数据的方差是多少（）A．2 B．6 C．12 D．18【答案】D【分析】根据方差的性质可知，数据中的每个数据都扩大3倍，则方差扩大9倍，即可得出答案．【详解】解：∵将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差将扩大9倍，∴新数据的方差是2×9=18；故选：D．10、某校九年级四班数学兴趣小组有5名成员，身高（单位：cm）分别为165、172、168、170、175．增加1名身高为170cm的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比（）A．平均数变小，方差不变B．平均数不变，方差变小C．平均数不变，方差变大D．平均数不变，方差不变【答案】B【分析】根据平均数的计算方法分别计算出5名同学和6名同学的平均数，再分别计算出方差，可得答案．原数据的平均数：15×（165+170+175+168+172）＝170（cm ），方差：15×[（165﹣170）2+（170﹣170）2+（175﹣170）2+（168﹣170）2+（172﹣170）2]＝585（cm 2），新数据的平均数：16×（165+170+170+175+168+172）＝170（cm ），方差：16×[（165﹣170）2+2×（170﹣170）2+（175﹣170）2+（168﹣170）2+（172﹣170）2]＝586＝293（cm 2），所以平均数不变，方差变小，故选：B ．二、填空题11、某校在计算学生的数学期评成绩时，规定期中考试成绩占30%，期末考试成绩占70%．王林同学的期中数学考试成绩为130分，期末数学考试成绩为140分，那么他的数学期评成绩是________分．【答案】137【分析】由加权平均数的含义列式为：13030%14070%,⨯+⨯计算后可得答案．【详解】解：王林同学的数学期评成绩是：13030%14070%3998137.⨯+⨯=+=故答案为：137．12、某校规定：学生的数学期未总计成须由卷面成绩、研究性学习成绩、平时成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示.小明本学期数学学科的卷面成绩、研究性学习成绩、平时成绩得分依次为90分、80分、85分，则小明的数学期末总评成绩为________分.按统计图中各部分所占比例算出小明的期末数学总评成绩即可．【详解】解：小明的期末数学总评成绩=90×60%+80×20%+85×20%=87（分）．故答案为87．13、“学习强国”是王老师每天的必修课，下表是王老师一周的学习得分情况：日期11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7得分49 60 48 42 55 55 55则这组数据的众数为______．【答案】55【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数．【详解】55出现了3次，出现的次数最多，则众数是55；故答案为：55．14、商店某天销售了11件衬衫，其领口尺寸统计如下表：领口尺寸（单位：cm）38 39 40 41 42 件数 1 4 3 1 2 则这11件衬衫领口尺寸的中位数是________cm．根据中位数的概念，中位数，是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据，再根据题中所给表格，找出中位数.【详解】将所卖衬衫按照领口尺寸从小到大排列后，处于中间的衬衫领口尺寸为40cm ，此中位数是40cm 故答案：4015、某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：则这个队队员年龄的众数和中位数分别是_____岁、_____岁．【答案】16 15【分析】根据中位数和众数的定义求解．【详解】解：从小到大排列此数据，数据15出现了四次最多为众数，16和16处在第5位和第六位，它两个数的平均数为16为中位数．故答案为：16，15．16、若一组数据123,,x x x 的方差是2，则数据1233,3,3x x x +++的方差是_______．【答案】2【分析】根据“当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变”求解可得．【详解】解：∵数据x1，x2，x3的方差是2，∴数据x1+3，x2+3，x3+3的波动幅度不变，∴数据x1+3，x2+3，x3+3的方差为2，故答案为：2．17、甲，乙二人参加射击测试，两人10次射击的平均成绩均为8.5环，各自的方差如右表所示，则两人中射击成绩较稳定的是________．【答案】甲【分析】根据方差的定义可做判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，比较甲、乙的方差大小即可解题．【详解】解：0.6＜2.8，∴甲方差＜乙方差，∴甲成绩比乙更稳定（方差越小，数据波动越小），故答案为：甲．18、我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手组成甲班代表队和乙班代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：根据图示信息，整理分析数据如表：平均数（分）中位数（分）众数（分）方差甲班 a 85 c 70乙班 85 b 100 160（1）填空：甲班2号选手的预赛成绩是分，乙班3号选手的预赛成绩是分，班的预赛成绩更平衡，更稳定；（2）求出表格中a ＝，b ＝，c ＝；（3）学校决定在甲、乙两班中选取预赛成绩较好的5人参加该活动的区级比赛，这5人预赛成绩的平均分数为．【答案】（1）80；100；甲；（2）85，80，85；（3）94分；【分析】（1）根据树状图和表格分析即可；（2）根据中位数、众数、平均数的计算公式计算即可；（3）先判断出好的5人的成绩，在进行计算即可；【详解】（1）根据树状图可知甲班2号选手的成绩为80分，乙班3号选手的成绩为100分；∵甲班方差小于乙班方差，∴甲班成绩更稳定；故答案是：80；100；甲；（2）甲的平均分为()75808585100585÷++++=分，乙的数据从小到大排列：70，75，80，100，100，∴乙的中位数是80；由数据可知甲的众数是85分；∴85a ，80b =，85c =；（3）这5人的分数为：100，100，100，85，85，∴()1003852594⨯+⨯÷=分；故答案是94分；三、解答题19、少年学生走近操场，走到阳关下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”．短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组．在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题．（1）请根据图中信息，补全下面的表格；第1次第2次第3次第4次第5次小明13.3 13.4 13.3 ___ 13.3小亮13.2 ___ 13.1 13.5 13.3（2）计算他们5次成绩的平均数和方差，若你是他们的教练，会分别给予他们怎样的建议?【答案】（1）13.2，13.4；（2）小明：平均数13.3，方差0.004；小亮：平均数13.3，方差0.02，两人的平均数相等，小亮的方差大，成绩不稳定，但获得过最好成绩比小明有潜力．【分析】（1）读折线统计图填上数据即可解答；（2）根据平均数、方差进行计算，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；反之也成立．【详解】解：（1）根据给出的图象可得：小明第4次的成绩是13.2；小亮第2次的成绩是13.4；故答案为：13.2，13.4；（2）小明的平均成绩是：（13.3+13.4+13.3+13.2+13.3）÷5=13.3秒，小亮的平均成绩是：（13.2+13.4+13.1+13.5+13.3）÷5=13.3秒；小明的方差是：s 2=[（13.3-13.3）2+（13.4-13.3）2+…+（13.3-13.3）2]÷5=0.004，小亮的方差是：s 2=[（13.2-13.3）2+（13.4-13.3）2+…+（13.3-13.3）2]÷5=0.02；小明虽然成绩稳定，但是还需提高自己的最好成绩，小亮虽然跑出了他们两个的最好成绩，但是仍需加强成绩的稳定性．20、八（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是队．【答案】（1）9.5，10；（2）21S 乙；（3）乙【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．【详解】（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9＋10）÷2＝9.5（分），则中位数是9.5分；乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是10分；故答案为：9.5，10；（2）乙队的平均成绩是：110×（10×4＋8×2＋7＋9×3）＝9，则方差是：110×[4×（10−9）2＋2×（8−9）2＋（7−9）2＋3×（9−9）2]＝1；（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，∴成绩较为整齐的是乙队；故答案为：乙．21、为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题．（1）求本次调查获取的样本数据的平均数；（2）如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？【答案】（1）本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分；（2）估计需准备160份一等奖奖品．【分析】(1)根据平均数的算法计算即可.(2)算出10分者的百分比,再与800相乘即可.【详解】解：(1)6471081591110108.26410151110x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++分,答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； (2)800×1050＝160份, 答：估计需准备160份一等奖奖品．22、某校决定从八年级三个班中选择一个班作为市级先进班级的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是这三个班五项考评的得分表（单位：分，每项满分为10分）．（1）求各班五项考评的平均分；（2）如果将道德行为、学习成绩、艺术获奖、劳动卫生、校运动会五项得分按2:3:1:3:1的比例确定各班的最终得分，那么该校会选择哪个班作为市级先进班级的候选班？【答案】（1）八年级（1班）：8分，八年级（2班）：8.4分，八年级（3班）：8.4分；（2）该校会选择八年级（3班）作为市级先进班级的候选班，见解析．【分析】（1）根据求平均数的公式求出各班平均数即可．（2）计算出各班的加权平均数，再进行比较即可．【详解】（1）八年级（1班）五项考评的平均分为：9879785++++=（分），八年级（2班）五项考评的平均数分为：898988.45++++=（分）八年级（3班）五项考评的平均分为：998978.45++++=（分）．（2）根据题意，三个班的最终得分如下：八年级（1班）五项考评的最终得分为：928379378.323131⨯+⨯++⨯+=++++（分），八年级（2班）五项考评的最终得分为：829389388.623131⨯+⨯++⨯+=++++（分），八年级（3班）五项考评的最终得分为：929389378.723131⨯+⨯++⨯+=++++（分）．∵8.78.68.3>>，∴该校会选择八年级（3班）作为市级先进班级的候选班．23、停课不停学，疫情期间，八（1）班30位同学参加运动线上打卡，张老师为了鼓励同学们积极锻炼，统计了这30人15天的打卡次数如下：（1）直接写出打卡次数的众数和中位数；（2）求所有同学打卡次数的平均数；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，张老师决定制定一个打卡奖励标准，凡打卡次数达到或超过这个标准的同学将获得奖励，请你根据（1）、（2）中所求的统计量，帮助张老师制定一个较为合理的打卡奖励标准，并说明理由．【答案】（1）众数：8次，中位数：8.5次；（2）10次；（3）可以选择中位数，即超过9次（含9次）的获得奖励，见解析【分析】（1）根据众数、中位数的定义解答即可；（2）根据平均数的定义解答即可；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半．【详解】（1）解：（1）8次的人数最多，众数为8次；因为一共30人，所有同学打卡次数从小到大排列第15个、第16个数据为8次，9次，中位数为（8+9）÷2=8.5（次）；（2）平均数为7689961431561030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（次）；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数．因为共有30人，9次以上（含9次）的有15人，占总数的一半．即超过9次（含9次）的获得奖励．24、为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查40名同学实验操作的得分（满分为10分）．根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息解答下列问题．（1）①中的描述应为“6分”，其中m的值为________；扇形①的圆心角的大小是________；（2）这40个样本数据平均数是________，众数是________，中位数是________；（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生有多少人．【答案】（1）10；36︒；（2）8.3；9；8；（3）224【分析】（1）所占百分比=所求人数与总人数之比，即可求出m的值；再用360︒乘以①所占的百分比，计算即可得解；（2）根据平均数的定义求出平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数进行解答；（3）用九年级总学生人数乘以满分的人数所占的分数即可．【详解】解：（1）4%100%=10%40m=⨯，即m=10；∴36010%=36︒⨯︒，故答案为：10；36︒；（2）平均数：() 64761181291078.340⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分），∵9出现了12次，次数最多，∴众数为：9分；∵将40个数字按从小到大排列，中间第20、21两个数都是8，∴中位数为：8+82=8（分）；故答案为：8.3分，9分，8分；（3）7128022440⨯=（人）答：该校理化实验操作得满分的学生有224人．25、某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）表格是a＝，b＝，c＝．（填数值）（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是；（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数，中位数，方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）【答案】（1）a、b、c的值分别是8、8、9；（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多；（3）不变；变小；变小．【分析】（1）根据平均数，中位数和方差的概念计算即可得出答案；（2）通过对比甲，乙两同学的方差，中位数和众数即可得出答案；（3）首先计算乙同学之后的平均数，中位数和方差，然后与之前的进行比较即可得出答案．【详解】（1）59710985a++++==，因为甲中8共出现3次，次数最多，所以b=8因为乙的有效次数中按顺序排列后处于中间位置的是9，所以中位数c=9；故答案为a、b、c的值分别是8、8、9；（2）0.4 3.2<，∴甲的方差较小，成绩比较稳定，∴选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛；∵乙的中位数是9，众数也是9，∴获奖可能性较大，∴根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛；（3）∵原来的平均数是8，增加一次也是8，。

新人教版八年级下册数学各章专项训练试题第20章数据的分析(含答案)

第20章数据的分析专项训练专训1.平均数、中位数、众数实际应用四种类型名师点金：利用统计量中“三数”的实际意义解决实际生活中的一些问题时，关键要理解“三数”的特征，然后根据题目中的已知条件或统计图表中的相关信息，通过计算相关数据解答．平均数的应用a．平均数在商业营销中的决策作用1．一种什锦糖果是由甲、乙、丙三种不同价格的糖果混合而成的，已知甲种糖果的单价为9元/kg，乙种糖果的单价为10元/kg，丙种糖果的单价为12元/kg.(1)若甲、乙、丙三种糖果数量按2∶5∶3的比例混合，则混合后得到的什锦糖果的单价定为每千克多少元才能保证获得的利润不变？(2)若甲、乙、丙三种糖果数量按6∶3∶1的比例混合，则混合后得到的什锦糖果的单价定为每千克多少元才能保证获得的利润不变？b．平均数在人员招聘中的决策作用2．某市招聘教师，对应聘者分别进行教学能力、科研能力、组织能力三项测试，其中甲、乙两人的成绩如下表：(单位：分)项目教学能力科研能力组织能力人员甲86 93 73乙81 95 79(1)根据实际需要，将教学能力、科研能力、组织能力三项测试得分按5∶3∶2的比确定最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？(2)按照(1)中的成绩计算方法，将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图(每组分数段均包含左端数值，不包含右端数值)，并决定由高分到低分录用8人．甲、乙两人能否被录用？请说明理由．(第2题)c.平均数在样本估计总体中的作用3．为了估计某市空气的质量情况，某同学在30天里做了如下记录：污染指数w 40 60 80 100 120 140天数 3 5 10 6 5 1其中w≤50时空气质量为优，50<w≤100时空气质量为良，100<w≤150时空气质量为轻度污染，若1年按365天计算，请你估计该城市在一年中空气质量达到良以上(含良)的天数为________．4．(图表信息题)某中学为调查本校学生平均每天完成作业所用时间的情况，随机调查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分．请根据以上信息，解答下列问题：(1)将统计图补充完整；(2)若该校共有1 800名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生平均每天完成作业所用(第4题)平均数和中位数的应用5．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分(满分为10分)．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图和统计表：(1)在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于______．(2)请你将如图②所示的统计图补充完整．(3)经计算，乙校学生成绩的平均数是8.3分，中位数是8分，请写出甲校学生成绩的平均数、中位数，并从平均数和中位数的角度分析哪个学校的成绩较好；(4)如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？甲校成绩统计表成绩7分8分9分10分人数11 0 8中位数和众数的应用6．某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是1～8这8个整数，现提供统计图的部分信息(如图所示)，请解答下列问题：(第6题)(1)根据统计图，求这50名工人加工出的合格品数的中位数；(2)写出这50名工人加工出的合格品数的众数的可能取值；(3)厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于3时为技能合格，否则，将接受技能再培训，已知该厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数．平均数、中位数、众数的综合应用7．甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年．后来质量检测部门对他们的产品进行抽查，抽查的各8个产品使用寿命的统计结果如下(单位：年)：甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10(1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表．平均数众数中位数甲厂乙厂丙厂(2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量．(3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？专训2.方差的几种常见应用名师点金：用方差解决实际应用问题，主要是通过计算实际问题中数据的离散程度，从而得出哪个稳定性更好，进行“择优选用”．2·1·c·n·j·y工业方面的应用1．为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据(单位：s)如下表：编一二三四五六七八九十号类型甲种电1 －3 －4 42 －2 2 －1 －1 2子钟乙种4 －3 －1 2 －2 1 －2 2 －2 1电子钟(1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数．(2)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差．(3)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你会买哪种电子钟？为什么？农业方面的应用2．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率为98%，现已挂果，经济效益初步显现．为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵树的产量如折线统计图所示．(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；(2)试通过计算估计，哪个山上的杨梅产量较稳定．(第2题)教育科技方面的应用3．七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答下列问题．进球数/个10 9 8 7 6 5一班人数/人 1 1 1 4 0 3二班人数/人0 1 2 5 0 2(1)分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数．(2)如果要从这两个班中选出一个班代表本年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？社会生活方面的应用4．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶．下图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图．请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题： (1)两段台阶路有哪些相同点和不同点？ (2)哪段台阶路走起来更舒服？为什么？(3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．图中的数字表示每一级台阶的高度(单位：cm)，并且数据15，16，16，14，14，15的方差s 甲2＝23，数据11，15，18，17，10，19的方差s 乙2＝353.(第4题)专训3.分析数据作决策的三种常见类型名师点金：解决决策问题时，经常从数据的变化趋势及平均数、众数、中位数、方差等多个统计量进行分析，根据实际需要结合数据的特征，选择恰当的数据，作出合理的决策．用“平均数”决策1．某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：测试项目测试成绩/分甲乙丙教学能力85 73 73科研能力70 71 65组织能力64 72 84(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由用“中位数、众数”决策2．某家电商场的一个柜组出售容积分别为268升、228升、185升、182升四种型号同一品牌的冰箱，每卖出一台冰箱，售货员就在一张纸上写出它的容积作为原始记录，到月底，柜组长清点原始记录，得到一组由10个182、18个185、66个228和16个268组成的数据．(1)这组数据的平均数有实际意义吗？(2)这组数据的中位数、众数分别等于多少？(3)这个商场总经理关心的是中位数还是众数，说明理由？3．公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，甲群是同一居民小区的初中生在进行联谊游戏活动；乙群是居民小区的两位退休教师义务带领一群学前儿童在做游戏．调查这两群游客的年龄(单位：周岁)得到甲、乙两组数据：甲：12，13，13，13，14，14，14，14，14，15，15，15，16.乙：3，4，4，5，5，5，5，5，6，6，56，58.(1)求甲、乙两组数据的平均数、中位数、众数．(2)在各组数据的平均数、中位数和众数中，哪几个能反映各群游客的年龄特征？用“方差”决策4．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据(单位：mm)依次如图表所示：平均数方差完全符合要求个数A 20 0.026 2B 20 sB2 5根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为________的成绩好些．(2)计算出sB2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些．(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参加竞赛较合适？说明你的理由．(第4题)专训4.七种常见热门考点名师点金：分析数据主要是根据数据的特征，恰当选择平均数、中位数、众数作出符合实际需要的分析，善于利用样本的数据估算总体的数据．本章要考查的主要考点可概括为：四个概念、三个应用．四个概念概念1 平均数1．某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表：等级单价/(元/kg) 销售量/kg一等 5.0 20二等 4.5 40三等 4.0 40则售出蔬菜的平均单价为________．2．学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘成了条形统计图(如图)，则30名学生参加活动的平均次数是( )(第2题)A．2 B．2.8 C．3 D．3.3概念2 中位数3．学校团委组织“阳光助残”捐款活动，九年级一班学生捐款情况如下表：捐款金额/元 5 10 20 50人数/人10 13 12 15则学生捐款金额的中位数是( )A．13元B．12元C．10元D．20元概念3 众数3．2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100 m男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位突破10 s大关的黄种人．下表是苏炳添近五次大赛参赛情况：比赛日期201284 2013521 2014928 2015520 2015531比赛地点英国伦敦中国北京韩国仁川中国北京美国尤金成绩/s 10.19 10.06 10.10 10.06 9.99则苏炳添这五次比赛成绩的众数和平均数分别为( )A．10.06 s，10.06 s B．10.10 s，10.06 sC．10.06 s，10.08 s D．10.08 s，10.06 s概念4 方差4．在一次数学测试中，某小组五名同学的成绩(单位：分)如下表(有两个数据被遮盖)．组员甲乙丙丁戊方差平均成绩得分81 79 ■80 82 ■80那么被遮盖的两个数据依次是( )A．80，2 B．80，10 C．78，2 D．78，106．在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是( )A．平均数是5 B．中位数是6C．众数是4 D．方差是3.2三个应用应用1 平均数、中位数、众数的应用7．某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数：2-1-c-n-j-y每人加工零件个数540 450 300 240 210 120 人数 1 1 2 6 3 2(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数．(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件个数定为260，你认为这个定额是否合理？为什么？应用2 方差的应用8．某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分、80分、90分、100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：(第8题)乙校成绩统计表分数/分人数/人70 78090 1100 8(1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为________；(2)请你将图②补充完整；(3)求乙校成绩的平均分；(4)经计算知s甲2＝135，s乙2＝175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价．应用3 用样本估计总体的应用(第9题)9．随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业个人旅游年消费情况进行问卷调查，随机抽查部分员工，记录每个人年消费金额，并将调查数据适当整理，绘制成尚不完整的表和图(如图)．组别个人年消费金额x/元频数(人数) 频率A x≤2 000 18 0.15B 2 000＜x≤4 000 a bC 4 000＜x≤6 000D 6 000＜x≤8 000 24 0.20E x＞8 000 12 0.10合计 c 1.00根据以上信息回答下列问题：(1)a＝________，b＝________，c＝________，并将条形统计图补充完整；(2)在这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在________组；(3)若这个企业有3 000名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6 000元以上的人数．答案专训11．解：(1)9×2＋10×5＋12×32＋5＋3＝10.4(元)．答：混合后得到的什锦糖果的单价定为每千克10.4元才能保证获得的利润不变． (2)9×6＋10×3＋12×16＋3＋1＝9.6(元)．答：混合后得到的什锦糖果的单价定为每千克9.6元才能保证获得的利润不变． 2．解：(1)甲的成绩：86×5＋93×3＋73×25＋3＋2＝85.5(分)，乙的成绩：81×5＋95×3＋79×25＋3＋2＝84.8(分)，所以甲将被录用．(2)甲能，乙不一定能．理由：由频数分布直方图可知，85分及以上的共有7人，因此甲能被录用，乙不一定能被录用． 3．2924．解：(1)50－6－12－16－8＝8(名)，补全统计图如图所示．(第4题)(2)由统计图可得x －＝6×1＋12×2＋16×3＋8×4＋8×550＝3(h)，估计该校全体学生平均每天完成作业所用总时间为3×1 800＝5 400(h)．点拨：本题综合考查平均数的应用、样本估计总体以及由统计图获取信息的能力．5．解：(1)144°(2)4÷72°360°＝20(人)，20－8－4－5＝3(人)，补全统计图如图所示．(第5题)(3)由(2)知乙校的参赛人数为20人．因为两校参赛人数相等，所以甲校的参赛人数也为20人，所以甲校得9分的有1人，则甲校学生成绩的平均数为(7×11＋8×0＋9×1＋10×8)×120＝8.3(分)，中位数为7分．由于两个学校学生成绩的平均数一样，因此从中位数的角度进行分析．因为乙校学生成绩的中位数为8分，大于甲校学生成绩的中位数，所以乙校的成绩较好．(4)甲校的前8名学生成绩都是10分，而乙校的前8名学生中只有5人的成绩是10分，所以应选甲校．6．解：(1)因为把合格品数从小到大排列，第25个和第26个数据都为4，所以中位数为4.(2)众数的取值为4或5或6.(3)这50名工人中，单位时间内加工的合格品数低于3的人数为2＋6＝8(人)，故估计该厂将接受技能再培训的人数为400×850＝64(人)．点拨：此题考查了条形统计图、用样本估计总体、中位数以及众数，弄清题意是解决本题的关键．7．解：(1)甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5.(2)甲厂利用平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数．(3)选丙厂的节能灯．因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平，说明多数样本的使用寿命达到或超过8年．专训21．解：(1)甲种电子钟走时误差的平均数是 110(1－3－4＋4＋2－2＋2－1－1＋2)＝0(s)，乙种电子钟走时误差的平均数是110(4－3－1＋2－2＋1－2＋2－2＋1)＝0(s)． (2)s 甲2＝110[(1－0)2＋(－3－0)2＋…＋(2－0)2]＝110×60＝6，s 乙2＝110[(4－0)2＋(－3－0)2＋…＋(1－0)2]＝110×48＝4.8. (3)我会买乙种电子钟，因为平均走时误差相同，且甲种电子钟走时误差的方差比乙大，说明乙种电子钟的走时稳定性更好，所以乙种电子钟的质量更优．2．解：(1)x 甲＝14(50＋36＋40＋34)＝40(kg)，x 乙＝14(36＋40＋48＋36)＝40(kg)，估计甲、乙两山杨梅的产量总和为40×100×98%×2＝7 840(kg)． (2)s 甲2＝14[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38，s 乙2＝14[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24，所以s 甲2＞s 乙估计乙山上的杨梅产量较稳定．3．解：(1)一班进球平均数：110(10×1＋9×1＋8×1＋7×4＋6×0＋5×3)＝7(个)，二班进球平均数：110(10×0＋9×1＋8×2＋7×5＋6×0＋5×2)＝7(个)；一班投中7个球的有4人，人数最多，故众数为7个，二班投中7个球的有5人，人数最多，故众数为7个；一班中位数：按顺序排第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个，二班中位数：按顺序排第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个．(2)一班的方差s12＝110[(10－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋4×(7－7)2＋0×(6－7)2＋3×(5－7)2]＝2.6，二班的方差s22＝110[0×(10－7)2＋(9－7)2＋2×(8－7)2＋5×(7－7)2＋0×(6－7)2＋2×(5－7)2]＝1.4，二班选手水平发挥更稳定，如果争取夺得总进球数团体第一名，应该选择二班；一班前三名选手的成绩突出，分别进10个、9个、8个球，如果要争取个人进球数进入学校前三名，应该选择一班．4．解：(1)因为x 甲＝16(15＋16＋16＋14＋14＋15)＝15；x 乙＝16(11＋15＋18＋17＋10＋19)＝15.甲路段的中位数为：15；乙路段的中位数为：16. 甲路段极差：16－14＝2；乙路段极差：19－10＝9. s 甲2＝23，s 乙2＝353.所以相同点：两段台阶路每一级台阶高度的平均数相同．不同点：两段台阶路台阶高度的中位数、方差和极差不同(2)甲段台阶路走起来更舒服一些，因为它的每一级台阶高度的方差小．(3)每一级台阶高度均整修为15 cm(原数据的平均数)，使得方差为0，此时游客行走最方便．专训31．解：(1)丙将被录用．理由：甲的平均成绩为(85＋70＋64)÷3＝73(分)，乙的平均成绩为(73＋71＋72)÷3＝72(分)，丙的平均成绩为(73＋65＋84)÷3＝74(分)．因为74>73>72，所以候选人丙将被录用．(2)甲将被录用．理由：甲的测试成绩为(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3(分)，乙的测试成绩为(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2(分)，丙的测试成绩为(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8(分)，因为76.3>72.8>72.2，所以候选人甲将被录用．2．解：(1)这组数据的平均数没有实际意义．(2)这组数据共有110个数据，中位数应是从小到大排列后第55个和第56个数据的平均数，这两个数据都是228，这组数据中228出现的次数最多，所以这组数据的中位数、众数都是228.(3)商场总经理关心的是众数．理由：众数是228，表明容积为228升的冰箱的销量最大，它能为商场带来较多的利润，因此，这种型号的冰箱要多进货，其他的型号则要少进货．3．解：(1)甲组数据的平均数是14，中位数是14，众数是14；乙组数据的平均数是13.5，中位数是5，众数是5.(2)对于甲群游客，平均数、众数、中位数都能反映这群游客的年龄特征；对于乙群游客，只有中位数和众数能反映这群游客的年龄特征．4．解：(1)B(2)由统计图可知sB2＝110×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，平均数相同，而sA2＝0.026，此时有sA2>sB2，所以B 的波动性小，即B 的成绩较好．(3)派A 去参加竞赛较合适．理由：从图中折线走势可知，尽管A 的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A 的潜力大，选派A 去参加竞赛更容易出好成绩．专训4 1．4.4元/kg 2．C3．D 点拨：因为10＋13＋12＋15＝50(人)，按照从小到大顺序排列的第25个和第26个数据都是20元，所以中位数＝20＋202＝20(元)．4．C5．C 点拨：根据题意得丙的得分为80×5－(81＋79＋80＋82)＝78(分)，方差为15×[(81－80)2＋(79－80)2＋(78－80)2＋(80－80)2＋(82－80)2]＝2.故选C. 6．B7．解：(1)平均数是260个，中位数是240个，众数是240个．(2)不合理．因为表中数据显示，每月能完成260个的人数一共有4人，还有11人不能达到此定额，尽管260个是平均数，但不利于调动多数员工的积极性，而240个既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240个较为合理． 8．解：(1)54° (2)6÷30%＝20(人)，20－6－3－6＝5(人)，统计图补充如下：(第8题)(3)20－1－7－8＝4(人)，x乙＝707804901100820⨯+⨯+⨯+⨯＝85(分)．(4)因为s甲2<s乙2，所以甲校20名同学的成绩相对乙校较整齐．9．解：(1)36；0.30；120 补全条形统计图如图：(第9题)(2)C(3)估计个人旅游年消费金额在6 000元以上的人数为3 000×(0.10＋0.20)＝900(人)．八年级数学下册知识点汇聚单元测试：第二十章（中考冲刺复习通用，含详解）一、选择题(每小题4分,共28分)1.某组7名同学在一学期里阅读课外书籍的册数分别是:14,12,13,12,17,18,16.则这组数据的众数和中位数分别是( )A.12,13B.12,14C.13,14D.13,162.(2021·天水中考)一组数据:3,2,1,2,2的众数、中位数、方差分别是( )A.2,1,0.4B.2,2,0.4C.3,1,2D.2,1,0.23.四个数据:8,10,x,10的平均数与中位数相等,则x等于( )A.8B.10C.12D.8或124.某次射击训练中,一小组的成绩如下表所示:环数7 8 9人数 2 3已知该小组的平均成绩为8.1环,那么成绩为8环的人数是( )A.5人B.6人C.4人D.7人5.(2013·雅安中考)一组数据2,4,x,2,4,7的众数是2,则这组数据的平均数、中位数分别为( )A.3.5,3B.3,4C.3,3.5D.4,36.八年级一、二班的同学在一次数学测验中的成绩统计情况如下表:班级参加人数中位数平均数方差一50 84 80 186二50 85 80 161某同学分析后得到如下结论:①一、二班学生的平均成绩相同;②二班优生人数多于一班(优生线85分);③一班学生的成绩相对稳定.其中正确的是( )A.①②B.①③C.①②③D.②③7.某校A,B两队10名参加篮球比赛的队员的身高(单位:cm)如下表所示:队员1号2号3号4号5号A队176 175 174 171 174B队170 173 171 174 182设两队队员身高的平均数分别为,,身高的方差分别为,,则正确的选项是( ) A.=,> B.<,<C.>,>D.=,<二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2013·重庆中考)某老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间,在所任教班级随机调查了10名学生,其统计数据如表:时间(单位:h) 4 3 2 1 0人数 2 4 2 1 1则这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是h.9.(2013·营口中考)甲、乙、丙三人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数均是9.1环,方差分别为=0.56,=0.45,=0.61,则三人中射击成绩最稳定的是.10.某学生数学的平时成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别是:84分、80分、90分.如果按平时成绩∶期中考试成绩∶期末考试成绩=3∶3∶4进行总评,那么他本学期数学总评分应为分.11.某班同学进行知识竞赛,将所得成绩进行整理后,如图,竞赛成绩的平均数为分.12.某农科所在8个试验点对甲,乙两种玉米进行对比试验,这两种玉米在各个试点的亩产量如下:(单位:kg)甲:450 460 450 430 450 460 440 460乙:440 470 460 440 430 450 470 440在这些试验点中, 种玉米的产量比较稳定(填“甲”或“乙”).三、解答题(共47分)13.(11分)某市2013年的一次中学生运动会上,参加男子跳高比赛的有17名运动员,通讯员在将成绩表送组委会时不慎用墨水将成绩表污染掉一部分(如下表),但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75m,表中每个成绩都至少有一名运动员.根据这些信息,计算这17名运动员的平均跳高成绩(精确到0.01m).14.(11分)(2013·扬州中考)为了声援扬州“世纪申遗”,某校举办了一次运河知识竞赛,满分10分,学生得分均为整数,成绩达到6分以上(包括6分)为合格,达到9分以上(包括9分)为优秀,这次竞赛中,甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.(1)补充完成下面的成绩统计分析表:组别平均分中位数方差合格率优秀率甲组 6.7 3.41 90% 20%乙组7.5 1.69 80% 10%(2)小明同学说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上表可知,小明是组的学生.(填“甲”或“乙”)(3)甲组同学说他们的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法,认为他们组的成绩更好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的理由.15.(12分)(2013·威海中考)某单位招聘员工,采取笔试与面试相结合的方式进行,两项成绩的原始分满分均为100分.前六名选手的得分如下:序号1 2 3 4 5 6项目笔试成绩(分) 85 92 84 90 84 80面试成绩(分) 90 88 86 90 80 85根据规定,笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩(综合成绩的满分仍为100分).(1)这6名选手笔试成绩的中位数是分,众数是分.(2)现得知1号选手的综合成绩为88分,求笔试成绩和面试成绩各占的百分比.(3)求出其余5名选手的综合成绩,并以综合成绩排序确定前两名人选.16.(13分)(2013·黄冈中考)为了倡导“节约用水,从我做起”,黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查,市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一年的月平均用水量(单位:t),并将调查结果制成了如图所示的条形统计图.(1)请将条形统计图补充完整.(2)求这100个样本数据的平均数、众数和中位数.(3)根据样本数据,估计黄冈市市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12t的约有多少户?答案解析1.【解析】选B.在这组数据中,12出现了2次,出现的次数最多,因此,这组数据的众数是12,把这组数据从小到大排列为:12,12,13,14,16,17,18,最中间的数是14,因此这组数据的中位数是14.2.【解析】选B.从大到小排列此数据为:3,2,2,2,1;数据2出现了三次,次数最多为众数,2处在第3位为中位数.平均数为(3+2+1+2+2)÷5=2,方差为[(3-2)2+3×(2-2)2+(1-2)2]=0.4,即中位数是2,众数是2,方差为0.4.3.【解析】选D.①x最小时,数据为x,8,10,10,中位数是(8+10)÷2=9,则(8+10+x+10)÷4=9,所以x=8;②x最大时,数据为8,10,10,x,中位数是(10+10)÷2=10,则(8+10+x+10)÷4=10,所以x=12;③当8≤x≤10时,中位数是(x+10)÷2,则(x+10)÷2=(8+10+x+10)÷4,可求得x=8.故选D.4.【解析】选A.设成绩为8环的人数是x人,由题意得(7×2+8x+9×3)÷(2+x+3)=8.1,解得x=5.5.【解析】选A.∵一组数据2,4,x,2,4,7的众数是2,∴x=2,∴中位数为3,==3.5.6.【解析】选A.由平均数都是80知①正确;由二班的中位数大于一班的中位数知②正确;一班的方差大,其成绩相对不稳定,故③不正确.。