电磁场理论第三章

一、已知电荷分布求场强
1、直接法：适用于已知电荷分布的具体形式，而且 积分和求和比较容易的静电场问题。

E
1
4
N i 1
qi r ri '
r ri ' 3
v
E
v dE
1
v'
4
v'
rv rv'
rv rv' 3

f
d
'
2、间接法：适用于已知电荷分布的具体形式，但直接积 分和求和求场强比较困难的静电场问题。
d
v '
1
4 0
v'
1 rv rv'
f d
'

E
3、高斯定律：
We

1 2
s sds
电场能量密度：
we

1 2
DE
1
2
E2
电场能量：
We
1 2

D Ed


1 2
E 2d

五、导体的电容
电容是导体的基本属性。电容的大小只与导体的形 状、尺寸、相对位置以及导体间介质的介电常数有 关，与导体间所加电压无关。
对于双导体系统，电容的计算式为：
1 r
r'



r r' r r' 3


E(r)


q
4 0
1 r
r'


(r)
(r) q 40
1 r
r'

C
2) 对于体分布、面分布、线分布电荷：
体分布：(r)

1
40
'
(r' )
2) 在两种不同介质分界面上：
sf 0
2
2
n
1
1
n
4、已知电荷分布情况下的 的表达式：
1) 对于点电荷q，位于 r点' ，空间任一点的电场强度：
E(r) q
4 0
R q
R3 40
r r' r r' 3
利用矢量恒等式：

如果电偶极子的中心不在坐标原点，而在空间任一
点，其矢径为 ，r' 也不平行于z轴，则空间任一点的
电位函数为：


p (r r' )
4 r r' 3
此处
p
q
四、静电场的能量
离散分布电荷：We

1 2
N
qkk
k 1
体分布电荷：
We

1 2
d

面分布电荷：
2 0 （静电场电位的拉普拉斯方程）
3. 电位 的边值关系
en
P•
1
h0
2
P0 •
et
(P) (P0 )
2
2
n
1
1
n

sfwk.baidu.com
1) 在介质与导体分界面上：
nv0

v (D1

v D2
)

sf
D2n 0
1
1
n

sf
此式经常用于确定导体表面的面电荷密度
第三章 静态电磁场
研究静态场的意义： •静态场本身在实际问题中非常有用，如用静态场 方法所求得的电容、电感和电阻可近似地应用于高 频电路分析中。 •静态场的基本特性和解法对学习时变电磁场奠定 基础。
§1 静电场理论
静电场：静止且量值不随时间变化的电荷产生的电场。 静电场是一种相对状态，是时变场的极限情况。
en
1
在静电场中：
2
et
nv0 nv0
vv (vE1 vE2 (D1 D2 )
)0
sf
1) 当媒质1为介质，媒质2为导体时：
D1n sf
E1n sf /
2) 当媒质1、2均为介质时
sf 0 D1n D2n 但 E1n E2n 在任意媒质分界面上， E的切向分量连续。
x
为了反映电偶极子的强度，定义：
z
电偶极矩
p
q
q •
由负电荷指向正电荷
0 •
q x
y
沿z轴放置、中心在坐标原点的电偶极子，空间
任一点的电位为：
p er p cos （伏特） 4r 2 4r 2
空间任一点的电场强度为：
E


p
4r 3
(er 2 cos
C Q Q
A B U AB
B A
A
B
例：同心导体球壳，半径分别为a和b（b>a）。在 a<r<b中充满介电常数为 的理想介质。设外球电位
为零，内球电位为U0，求内外球之间的 和 。E
0
a
b
U0
§2 静电场计算
本节的内容可以分为三大部分： • 已知电荷分布求场强（电位）； • 已知电位或场强求电荷分布； • 电容的计算。
对于介质（1）和导体（2）分界面：
E2 0 E2t 0 E1t 0
所以，电力线垂直于导体表面，沿导体表面电场力 不做功，导体表面为等位面。
二、电位函数
电位函数是求解电磁场问题的辅助函数。
1、定义：
E 0

E
2、电位 的微分方程：
2 f / （静电场电位的泊松方程） 当 f 时0 ：
r r'
d
'
C
面分布：(r) 1
40
s' rs(rr'') ds' C
线分布：(r) 1
40
' r(rr'') d' C
三、电偶极子
电偶极子的定义：由相距一个小距离的等值异号
的点电荷所组成的系统。
z
q •

0 •
y
q

微分形式：
E 0
E f /
vv
积分形式：
Ñl E dl 0
v
ÑS E
v dS



f

d
Qf Qp
0
边界条件：
根据时变电磁场中边界条件的一般形式：
nnnn0000((((HBDE1111BDHE222)2)))00Jssff

e
sin
)
（伏特/米）
特点：
E


p
4r 3
(er 2 cos

e
sin
)
1) E只有 E和r 分E量，没有 分E量 ，而且两分量与坐标
无关（ 轴对称）。
2) 电位与距离的平方成反比，电场强度与距离的立
方成反比。（单个点电荷：电位与距离成反比；
电场强度与距离的平方成反比。）
一、静电场的基本方程和边界条件
微分形式： 积分形式：

E 0

D f

l
E
dl
0
DdS S

f d
Qf
在均匀、线性、各向同性媒质（简单媒质）中，基本
物理量 E和辅助物理量 之D 间满足本构关系： D。由E
此可以得出限定形式的基本方程：