电磁场理论第三章
电磁场理论(第三章)2012
n
i−1
1 =∫∫∫ ρ ( r )φ ( r ) dV 2 V
利 ∇⋅ D = ρ和 (r ) = −∇φ(r ) 用 E
1 1 We = ∫∫∫ ρ ( r )φ ( r ) dV = ∫∫∫ ∇⋅ D( r )φ ( r ) dV 2 V 2 V 1 = ∫∫∫ D( r ) ⋅E ( r ) dV + ∫∫ φ ( r ) D( r ) ⋅ dS 2 V S∞ 1 = ∫∫∫ D( r ) ⋅E ( r ) dV 2 V 1 静电场能量密度函数：we = D( r ) ⋅ E ( r ) 2
∫
L
E ⋅ dL = 0 →ˆ ×( E2 − E1 ) = 0 n
3 导体及其边界ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件
+ + + + +
附加场
没有外加电场
导体内部存在大量 可自由移动的电子 宏观上呈现电中性
E 达到静电平衡状态 导体内部电场为零
电场中的导体： 电场中的导体： 导体内电场为零，为等势体； 导体内电场为零，为等势体； 导体边界面电场切向分量为零； 导体边界面电场切向分量为零； 电荷只分布在导体的表面
∇× E(r ) = 0
电磁场理论3-1
B d l I 0
l
安培环路定律总结了恒定磁场与场源电流间的依赖关系。
如图所示, 电流的代数和
B d l0 I0 I I I 1 2 3
C
根据斯托克斯定理
l
B d l B d S
磁位和磁感应强度。 分析：
xoz
图 3.3 磁偶极子磁场 的计算
［解］ 圆环上的电流元Idl在场点P产生的矢量磁位可表示为
2 I a c o s 0 A e d 4 0 R
式中
2
1 / 2 / 1 a 2 r r 2 2 / 2 Rr ( a2 r r ) r 1 2 r r
m 0 B r A r 3 e 2 c o s e s i n r 4 r
3. 磁偶极子的磁场 1） 磁偶极子的磁力线是没有头尾的闭合曲线。
令
B 0 1 4 C
Id R 1 l 1 R
3
单位：特斯拉(T)
/ 若电流不是线电流，而是具有空间分布的 J r
/ Jr R / 0 B r d V 3 4 V R
/ 如果是面电流 JS r 产生的磁场，有
2
r>a时，
A 1 2 A 2 r 0 r r r
2
2 I r 0 A 2 Cn 1r C 1 1 2 4 a
A Cn 1r C 2 3 4
由于
r0
处磁矢位不应是无穷大，所以可以定出：
C1 0
A z 将磁矢位代入公式 B ，得 A e r
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
电磁场理论第3章
3.1.4 电位的表达式
电子科技大学
点电荷： 设点电荷q在原点 参考点Q， 在原点， 点电荷 ： 设点电荷 在原点 ， 参考点 ， 场点 (电位考察 电位考察 点)P，选择路径P→M → Q(路径可以任意选择 进行积分，有 ，选择路径 路径可以任意选择)进行积分， 路径可以任意选择 进行积分 Q M Q q Q r ϕP = ∫ E dl + ∫ E dl = ∫M r 3 d r M P M 4πε 0 rQ 积分贡 rQ 1 q 1 1 献为零 = q ∫rP r 2 dr = 4πε 0 rP − rQ 4πε 0 rP P O q 选参考点位于无穷远处， 选参考点位于无穷远处，即令rQ = ∞，得 ϕ P = 4πε 0 rP q 由此得到点电荷电位的一般表达式 ϕ = 4πε 0 r q q 的点电荷， 对于位于r ′的点电荷，电位表达式为ϕ = = 4πε 0 r − r ′ 4πε 0 R
3.1.3 电位的微分方程
ρ ρ ⇒ ∇ 2ϕ = − ε ε
电子科技大学
在均匀、线性和各向同性的介质中， 在均匀、线性和各向同性的介质中，利用 E = −∇ϕ 有
∇ D=ρ⇒∇ E =
标量泊松方程 拉普拉斯方程
在无源空间中， 在无源空间中，ρ = 0 ⇒ ∇ 2ϕ = 0
电子科技大学 静电位的边界条件 是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点， 设 P1 和 P2 是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点 ， 其电位 当两点间距离⊿ 分别为ϕ1和ϕ2。当两点间距离⊿l→0时 时 P1 △l ϕ 1 − ϕ 2 = E ∆l → 0 ⇒ ϕ 1 = ϕ 2 P2
cos θ ∇ 2 ⇒ E = −∇ϕ = 4πε 0 r ql
1 3( p r ) r p − 3 = 4πε 5 r r 0
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。
大学物理电磁场第3章讲义教材
zˆ4(a20Iaz22)3/2
2
0
d'
B(z)2(a20Iaz22)3/2 z
3.2 真空中的静磁场基本方程
1. 磁通连续性定理
定义穿过磁场中给定曲面S 的磁感应强度B 的通量为磁通：
BdS 单位 韦伯Wb
S
若S面为闭合曲面
ΦBdS0
磁通连续 性定理
上页 下页
ΦBdS0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头
Bdl 2B0I
l
得到
B
0I 2
e
323
I’ II 3 2 2-- 2 22 2 I 3 2 3 2-- 22 2
lBdl2B 0I3 2 3 2--22 2
得到
B
0I 2
32 -2 32 -22
e
同轴电缆的磁场分布
上页 下页
4.真空中的磁场方程
B (r)40 VJR 2R ˆd V '
磁矢位
注意 1 A是从矢量恒等式得出，是引入的辅助计算 量，无明确的物理意义；
2 A适用于整个磁场区域；
③因
mBdSAdS Stokes’ A dl
S
S
l
m Adl
l
A的单位 Wb/m （韦伯/米）
④ 恒定磁场中A满足库仑规范
A0
2 . 磁矢位 A 的求解
应用磁矢位A求解恒定磁场问题也可以分为 场源问题和边值问题。
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
上页 下页
安培力定律
真空中
描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
l1
电磁场理论(柯亨玉)答案第三章静态电磁场.pdf
由B A
得： Az Ay 0 y z
Ax Az 0 z x
Ay x
Ax y
B0
可得一解为： Az Ay 0
还可得另一解为： Ax Az 0
还存在其它解。 两者之差的旋度：
Ax B0 y Ay B0 x
eˆx eˆy eˆz
( Ayeˆy Axeˆx ) (B0 xeˆy B0 yeˆx )
磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示其中引入的条件是无传导电流的单连通区域如电流是环形分布的磁标势适合的区域只能是挖去环形电流所围成的壳形之后剩下的区域
第三章 静态电磁场
1. 静电场中，电位函数满足的方程及其边界条件 电位函数的引入及其方程的推导过程。我们以图解的方式表示
D
E
x
0 y z
B0 y B0 x 0
3-10. 证明：设线圈中的电流分别为 I1, I 2
线圈 1 对线圈 2 的作用力为
f12
0 4
I
2
dl2
(I1
dl1r12 )
L1 L2
r132
0 I1I2
dl2
(dl1r12 )
4
L1 L2
r132
0 I1I 2
[(dl2 r12 )dl1 (dl1 dl2 )r12 ]
设介质被抽出的一段长为 x ， C 便等于无介质部分的电容 C1 与有介质部分的电容
C2 的迭加，即
C
C1
C2
2 0 x ln(b a)
2 (L x) ln(b a)
2 [L ln(b a)
(
0
)x]
则 W V2 C 2
V2 2
2 [L ( ln(b a)
第3章 3.1 麦克斯韦的电磁场理论+3.2 电磁波的发现
第3章 3.1 麦克斯韦的电磁场理论+3.2 电磁波的发现3.1 麦克斯韦的电磁场理论3.2 电磁波的发现学习目标知识脉络1.理解麦克斯韦电磁理论的两个要点，了解电磁场与电磁波的联系与区别，以及电磁波的特点.(重点)2.了解麦克斯韦理论在物理发展史上的意义.3.了解LC振荡电路中电磁振荡的产生过程.(难点)4.了解电磁振荡的周期和频率，会求LC电路的周期和频率.(重点)麦克斯韦电磁场理论[先填空]1.英国物理学家麦克斯韦创立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在.2.变化的磁场产生电场不均匀变化的磁场产生变化的电场；均匀变化的磁场产生稳定的电场.3.变化的电场产生磁场不均匀变化的电场产生变化的磁场；均匀变化的电场产生稳定的磁场.4.电磁场理论——伟大的丰碑(1)不均匀变化的磁场和电场相互耦连，形成不可分离的统一的电磁场.(2)变化的电场与变化的磁场相互激发，由近及远地向周围空间传播，就形成了电磁波.麦克斯韦在理论上预言了电磁波的存在.(3)在电磁波的传播过程中，电场和磁场方向相互垂直并都垂直于传播的方向，即电磁波是横波.(4)电磁波在真空中的传播速度等于光速.[再判断]1.变化的电场一定产生变化的磁场.(×)2.恒定电流周围产生磁场，磁场又产生电场.(×)1.关于电磁场理论的叙述，正确的是()A.变化的磁场周围一定存在着电场，与是否有闭合电路无关B.周期性变化的磁场产生同频率变化的电场C.变化的电场和变化的磁场相互关联，形成一个统一的场，即电磁场D.电场周围一定存在磁场E.磁场周围一定存在电场【解析】【答案】ABC2.根据麦克斯韦的电磁场理论，以下叙述中正确的是()A.教室中亮着的日光灯周围空间必有磁场和电场B.工作时的电磁打点计时器周围必有磁场和电场C.稳定的电场产生稳定的磁场，稳定的磁场产生稳定的电场D.电磁波在传播过程中，电场方向、磁场方向和传播方向相互垂直E.均匀变化的电场周围一定产生均匀变化的磁场【解析】教室中亮着的日光灯、工作时的电磁打点计时器用的振荡电流，在其周围产生振荡磁场和电场，故选项A、B正确；稳定的电场不会产生磁场，故选项C错误；电磁波是横波，电场方向、磁场方向和传播方向相互垂直，故选项D正确.均匀变化的电场周围会产生恒定不变的磁场，E错误.【答案】ABD3.如图3-1-1所示，在变化的磁场中放置一个闭合线圈.图3-1-1(1)你能观察到什么现象？(2)这种现象说明了什么？【解析】(1)灵敏电流计的指针发生偏转，有电流产生.(2)变化的磁场产生了电场，使闭合线圈的自由电荷发生了定向运动而形成了电流.【答案】见解析判断是否产生电场或磁场的技巧1.变化的电场或磁场能够产生磁场或电场.2.均匀变化的场产生稳定的场.3.非均匀变化的场产生变化的场.4.周期性变化的场产生同频率的周期性变化的场.5.稳定不变的场不能产生新的场.赫兹实验与电磁振荡[先填空]1.赫兹实验(1)实验分析和高压感应线圈相连的抛光金属球间产生电火花时，空间出现了迅速变化的电磁场，这种变化的电磁场以电磁波的形式传到了导线环，导线环中激发出感应电动势，使与导线环相连的金属球间也产生了电火花.这个导线环实际上是电磁波的检测器.(2)实验结论赫兹实验证实了电磁波的存在，检验了麦克斯韦电磁场理论的正确性.2.电磁振荡(1)振荡电流：大小和方向都随时间做周期性迅速变化的电流.(2)振荡电路：能够产生振荡电流的电路.最基本的振荡电路为LC振荡电路.(3)电磁振荡：在LC振荡电路中，电容器极板上的电荷量，电路中的电流，电场和磁场周期性相互转变的过程也就是电场能和磁场能周期性相互转化的过程.(4)电磁振荡的周期与频率①周期：电磁振荡完成一次周期性变化需要的时间.②频率：1 s内完成周期性变化的次数.振荡电路里发生无阻尼振荡时的周期和频率分别叫做固有周期、固有频率.③周期和频率公式：T＝2πLC，f＝12πLC.[再判断]1.在振荡电路中，电容器充电完毕磁场能全部转化为电场能.(√)2.电容器放电完毕，电流最大.(√)3.L和C越大，电磁振荡的频率越高.(×)[后思考]1.在LC振荡电路一次全振动的过程中，电容器充电几次？它们的充电电流方向相同吗？【提示】充电两次，充电电流方向不相同.2.在电磁振荡的过程中，电场能与磁场能相互转化，什么时候磁场能最大？【提示】放电刚结束时，电场能全部转化成了磁场能.[核心点击]1.各物理量变化情况一览表时刻(时间)工作过程q E i B 能量0→T4放电过程q m→0E m→00→i m0→B mE电→E磁T 4→T2充电过程0→q m0→E m i m→0B m→0E磁→E电T 2→3T4放电过程q m→0E m→00→i m0→B mE电→E磁3T4→T 充电过程0→q m0→E m i m→0B m→0E磁→E电2.(如图3-1-2所示)图3-1-23.板间电压u、电场能E E、磁场能E B随时间变化的图像(如图3-1-3所示)图3-1-3u、E E规律与q-t图像相对应；E B规律与i-t图像相对应.4.分类分析(1)同步关系在LC振荡回路发生电磁振荡的过程中，电容器上的物理量：电量q、电场强度E、电场能E E是同步变化的，即：q↓→E↓→E E↓(或q↑→E↑→E E↑)振荡线圈上的物理量：振荡电流i、磁感应强度B、磁场能E B也是同步变化的，即：i↓→B↓→E B↓(或i↑→B↑→E B↑)(2)同步异变关系在LC振荡过程中，电容器上的三个物理量q、E、E E与线圈中的三个物理量i、B、E B是同步异向变化的，即q、E、E E同时减小时，i、B、E B同时增大，且它们的变化是同步的，也即：q、E、E E↑同步异向变化,i、B、E B↓.注意：自感电动势E的变化规律与q-t图像相对应.4.LC振荡电路中，某时刻磁场方向如图3-1-4所示，则下列说法正确的是()图3-1-4A.若磁场正在减弱，则电容器上极板带正电B.若电容器正在充电，则电容器下极板带正电C.若电容器上极板带正电，则线圈中电流正在增大D.若电容器正在放电，则自感电动势正在阻碍电流增大E.若电容器正在充电，则自感电动势正在阻碍电流增大【解析】本题考查各物理量发生变化的判断方法.由电流的磁场方向和安培定则可判断振荡电流方向，由于题目中未标明电容器两极板的带电情况，可分两种情况讨论：(1)若该时刻电容器上极板带正电，则可知电容器处于放电阶段，电流增大，则C对，A错；(2)若该时刻电容器下极板带正电，可知电容器处于充电状态，电流在减小，则B对，由楞次定律可判定D对，E错.故正确答案为B、C、D.【答案】BCD5.如图3-1-5所示，LC电路的L不变，C可调，要使振荡的频率从700 Hz 变为1 400 Hz，则把电容________到原来的________.图3-1-5【解析】由题意，频率变为原来的2倍，则周期就变为原来的12，由T＝2πLC，L不变，当C＝14C0时符合要求.【答案】减小1 46.如图3-1-6所示，L为一电阻可忽略的线圈，D为一灯泡，C为电容器，开关S处于闭合状态，灯D正常发光，现突然断开S，并开始计时，画出反映电容器a极板上电荷量q随时间变化的图像(q为正值表示a极板带正电).图3-1-6【解析】开关S处于闭合状态时，电流稳定，又因L电阻可忽略，因此电容器C两极板间电压为0，所带电荷量为0，S断开的瞬间，D灯立即熄灭，L、C组成的振荡电路开始振荡，由于线圈的自感作用，此后的T4时间内，线圈给电容器充电，电流方向与线圈中原电流方向相同，电流从最大逐渐减为0，而电容器极板上电荷量则由0增为最大，根据电流流向，此T4时间里，电容器下极板b带正电，所以此T4时间内，a极板带负电，由0增为最大.【答案】LC振荡电路充、放电过程的判断方法1.根据电流流向判断：当电流流向带正电的极板时，电容器的电荷量增加，磁场能向电场能转化，处于充电过程；反之，当电流流出带正电的极板时，电荷量减少，电场能向磁场能转化，处于放电过程.2.根据物理量的变化趋势判断：当电容器的带电量q(电压U、场强E)增大或电流i(磁场B)减小时，处于充电过程；反之，处于放电过程.3.根据能量判断：电场能增加时充电，磁场能增加时放电.电磁波的发射和电磁波的特点[先填空]1.发射条件有效地发射电磁波，振荡电路必须具有两个特点：第一，要有足够高的振荡频率，频率越高，发射电磁波的本领越大；第二，应采用开放电路，振荡电路的电场和磁场必须分散到足够大的空间.2.电磁波的特点(1)电磁波中的电场E与磁场B相互垂直，而且二者均与波的传播方向垂直.因此电磁波是横波.(2)电磁波在真空中的传播速度等于光速c，光的本质是电磁波.(3)电磁波具有波的一般特征，波长(λ)、周期(T)或频率(f)与波速(v)间关系为v＝λT＝λf.(4)电磁波和其他波一样也具有能量，电磁波的发射过程就是辐射能量的过程.[再判断]1.振荡频率足够高的开放电路才能发射电磁波.(√)2.电磁波的传播速度等于光速c.(×)3.电磁波的传播不需要介质，可以在真空中传播.(√)[后思考]1.怎样才能形成开放电路?【提示】在振荡电路中，使电容器变成两条长的直导线，一条深入高空成为天线，另一条接入地下成为地线，形成开放电路.2.雷雨天气，从调至中波段的收音机中，会不断地传出很响的“咔嚓”声，这是为什么？【提示】雷雨天形成闪电时会发出很强的电磁波，收音机接收到后会感应出电流，引起扬声器发出声响，形成很响的“咔嚓”声.[核心点击]1.机械波与电磁波的共性机械波与电磁波是本质上不同的两种波，但它们有共同的性质：①都具有波的特性，能发生反射、折射、干涉和衍射等物理现象；②都满足v＝λT＝λf；③波从一种介质传播到另一种介质，频率都不变.2.电磁波与机械波的区别电磁波机械波不同点本质电磁现象力学现象产生机理由电磁振荡产生由机械振动产生周期性变化的量场强E与磁感应强度B随时间和空间作周期性变化质点的位移x、加速度a随时间和空间作周期性变化波的性质横波即有横波，又有纵波传播介质不需要介质，可在真空中传播只能在弹性介质中传播速度特点由介质和频率决定仅由介质决定A.机械波的频率、波长和波速三者满足的关系，对电磁波也适用B.机械波和电磁波都能产生干涉和衍射现象C.机械波的传播依赖于介质，而电磁波可以在真空中传播D.机械波只有横波E.电磁波只有纵波【解析】机械波和电磁波有相同之处，也有本质区别，但v＝λf都适用，A说法对；机械波和电磁波都具有干涉和衍射现象，B说法对；机械波的传播依赖于介质，电磁波可以在真空中传播，C说法对；机械波有横波和纵波，而电磁波是横波，D、E说法错.【答案】ABC8.下列关于电磁波的叙述中，正确的是()A.电磁波是电磁场由发生区域向远处的传播B.电磁波在任何介质中的传播速度均为3×108 m/sC.电磁波由真空进入介质传播时，波长变短D.电磁波不能产生干涉、衍射现象E.电磁波具有波的一切特征【解析】电磁波是交替产生呈周期性变化的电磁场由发生区域向远处传播而产生，故A项正确；电磁波只有在真空中传播时，其速度为3×108m/s，故B项不正确；电磁波在传播过程中其频率f不变，由波速公式v＝λf知，由于电磁波在介质中的传播速度比在真空中的传播速度小，所以可得此时波长变短，故C正确；电磁波是一种波，具有波的一切特性，能产生干涉、衍射等现象，故E项正确，D项不正确.【答案】ACE电磁波的特点1.电磁波有波的一切特点：能发生反射、折射现象；能产生干涉、衍射等现象.2.电磁波是横波.在电磁波中，每处的电场强度和磁感应强度方向总是互相垂直的，并且都跟那里的电磁波的传播方向垂直.3.电磁波可以在真空中传播，向外传播的是电磁能.第 11 页。
《电磁场理论》3.1 唯一性定理
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
01:52 11
例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C
V
2 ( ) dV 0
高等电磁场理论第三章课后作业
第三章3-2 在Coulomb 规范条件下，矢量位和标量位满足微分方程： （1） （2）可得：又由电荷守恒定律可知：0t J ρ∂∂∇∙+=(r)J j ωρ∴∇∙=-所以， （3）将（3）带入（1）可得：即证明之 3-4 （1）电流元产生的电磁场求解电Hertz 位满足其中(r)(r)e J P j ω=s=I J dS∙⎰又所以可得：电Hertz 位与场量之间的关系为：2(r)j (r)(r)(r)(r)e e e e eH E ωεωμε=∇⨯∏=∇∇∙∏+∏22()()()j ()k μωμε∇+=-∇ΦA r A r J r +r ()()ρε∇Φ=-2r r ()()4V dV ρπε''Φ='-⎰r r |r r |1()()j 4V dV ωπε'∇⋅'Φ=-'-⎰J r r |r r |22()()()()4Vk dV μμπ'∇⋅'∇+=--∇'-⎰J r A r A r J r |r r |e 2e2e()()()k ε∇+=-P r Πr Πr e j ||j ||e j ()11()4||j 4||j 4k k krzz Vl e Ie Il dV dz er επωεπωεπ''-----''==≈''--⎰⎰r r r r P r Πr e e r r r r代入可得： 其中cos e sin z r e e θθ-θ=（2）磁流元产生的电磁场求解 由对偶原理可得：3-13 y11,εμZ22,εμ如图所示，由边界条件 1212(E )0(H H )Sn E n J⨯-=⨯-=e e j j 2j 221()j ()j j 4sin j 1cos sin 44z kr kr krr Il r Il e e k Il e r r kr k r θφωεωεωεπθθθππ---⎛⎫=∇⨯=∇⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=∇⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭H r Πr e e e e e e33j j 22332233()()j cos j 1sin 1j 1j j 24kr krr k Il k Il e e k r k r kr k r k r θωεθθπωεπωε--∇⨯=⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭H r E r e e m mmj m j j 2m j 221()j ()j j 4sin j 1cos sin 44kr z kr kr krr I l e r I l e e k I l er r kr k r θφωμωμωμπθθθππ----⎛⎫=-∇⨯=-∇⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-∇⨯-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E r Πr e e e e m m33j j 22332233()()j cos j1sin 1j 1j j 24m m kr kr rk I l k I l e e k rk r kr k rk r θωμθθπωμπωμ--∇⨯=-⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E r H r e e又因为(y)z J e I =δ所以可知磁场H 方向为x 方向，电场E 方向为z 方向。
电磁场课件第三章圆截面金属波导
色散特性
01
02
03
色散是指波在不同频率 下具有不同的相速度或
群速度的现象。
在圆截面金属波导中， 色散特性取决于波型、 波长和波导的几何参数
。
色散特性对于通信系统 、雷达系统和微波测量 系统等应用非常重要， 因为它们会影响系统的
性能和设计。
损耗特性
1
损耗是指波在传播过程中能量逐渐减少的现象。
通过实验测量传输损耗、电磁场分布 等参数，与理论计算结果进行对比验 证。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
圆截面金属波导的传播 特性
传播常数
01
传播常数是描述波在波导中传播特性的重要参数，它决定了波 的传播速度和方向。
02
在圆截面金属波导中，传播常数由波型、波长和波导的几何参
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
圆截面金属波导的设计 与优化
设计原则与步骤
要点一
高效传输
波导应能尽量减少电磁波的能量损失，保证信号的完整性 。
要点二
模式纯度
应能限制电磁波只沿单一模式传输，避免模式杂散。
设计原则与步骤
• 结构紧凑：在满足功能的前提下，尽量减小波导的体积和 重量。
数决定。
传播常数的大小决定了波的相位和幅度在传播过程中的变化。
03
相速度与群速度
相速度是指波的相位在波导中传 播的速度，而群速度是指波包的
包络在波导中传播的速度。
在圆截面金属波导中，相速度和 群速度可能不同，这取决于波型
和波长。
电磁场与电磁波(第三章)
dS
O
S S1
eR
4 Ω= 0
Ω2
O 点在闭合曲面内
O 点在闭合曲面外
Ω1
O
二、静电场的散度
q
r'
r
qer 4 R
2
R r r'
P
o
设真空中存在某点电荷 q r ，则 P 点的电位移 D 0
对任意闭合曲面S 积分
S
D0 dS
4 R
S
qer
2
dS
其正电荷的中心与负电荷的中心不再重合。
电子极化：电子云与原子核发生位移而出现电矩。 ◇ 分类 离子极化：正负离子发生位移而出现电矩。 取向极化：分子固有电矩在外电场作用时产生合成电矩。
三、极化强度
◇ 定义：单位体积内的电偶极矩数。用p 表示极化的程度，即
P
lim
0
P
i
N p av
例：电荷按体密度 r 0 1 r 2 / a 2 分布于半径为a 的球形区域内，其中 0 为 常数，试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。 解：由于电荷分布具有球对称性，则电场也具有球对称性，E 和D0 方向均为径向。 根据电位移的表达式 D r 当 r≤a
则
aU e E r e r r r2 r 0
r a r a
3.7 唯一性定理
◇ 静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。
s f 1 第一类边界条件 第二类边界条件 f2 ◇ 实际边值问题的边界条件分为三类 s n 第三类边界条件 s f3 n
第3章 静电场分析
《电磁场理论》课件3
B
R1
R3
心圆。
当ρ＜R1时，内导体中电流密度
图3-4 （a）
I J R12
取一半径小于R1的圆周为积分回路，则穿过圆面积的电流I‟为
I I' R12
根据安培环路定律
0
2
0
dd I
2
R12
B dl
l
2
0
I 2 B d 0 2 R1 I 2 2B 0 2 R1 0 I B 2R12
L L
( z z' ) I ' d l ' e Idz 'e e Idz ' e R
I ' d l ' Idz 'e z , R
R z
2
2
R
0 I zL zL e 4 2 ( z L) 2 ] 2 ( z L) 2 ]
dV '
（1） （2） （3）
B x, y , z
e 1 R RR2
0 4 V '
1 J R dV '
（1）、（2）式中（x,y,z）为场点的坐标；（x‟,y‟,z‟）为源点的 坐标。对（2）式取散度,有
B
0 4
V'
1 J R dV ' （4）
当R1＜ρ＜R2时，以ρ为半径，取一圆周为积分回路，应用 安培环路定律，得
B dl
l
2
0
B d 0 I
0 I B 2
当R2＜ρ＜R3时，采用同样的方法，这时穿过半径为ρ的圆
电磁场理论基础 第3章
− 0 −
第三章 静 电 场 应用叠加原理, P点的电位应是
φ ( P) = φ + φ
+
− + 0 + − 0 −
ρl ρ ρl ρ = 1n − 1n 2πε 0 ρ 2πε 0 ρ
+ ρ− ρl ρl ρ0 = 1n + + 1n − 2πε 0 ρ 2πε 0 ρ0
上式中的ρ+和ρ-分别表示观察点到+ρl和-ρl的垂直距离。当参考点 选在两线电荷连线的中点, 即
ρs a ρs = ∫0 z 2 + ρ 2 dρ 2ε 0 ρs = 2ε 0
[z
2
+ a2 − z
]
第三章 静 电 场 例 3.6 设有两条电荷均匀分布的无限长直线电荷, 线电荷密 度分别为±ρl(C/m), 二者相距d(m), 如图3 - 9所示。试求空间任 意点P(x, y)的电位。
图 3 - 9 两无限长平行直线的电位
2
d x − + y2 2
d x − + y2 ρl 2 = 1n (V ) 2 4πε 0 d x + + y2 2
第三章 静 电 场 例 3.7 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度
为ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε０, 如图3-10所示。试 求: (1)球内外的电场强度E; (2) 验证静电场的两个基本方程 ▽×E=0及▽ ·E=ρ/ε0; (3) 球内外的电位分布; (4) 画出球内外的E、 φ随半径r的分布图。 r ［解］ (1) 因为电荷分布为均匀球体, 所以电场有球对称性, 即 解 在与带电球同心, 半径为r的高斯面上, E是常数,方向是径向, 可以 应用高斯定理求距球心r处的电场强度。
电磁场与电磁波第3章
介质中的麦克斯韦方程
本章将讨论一般介质中的麦克斯韦方程，这首先 需要了解介质的电与磁的性能以及一些简单概念。
通过分析发现，如果引入极化矢量 P 和磁化矢 量 M ，就可以很方便地来描述普通介质中麦克斯韦
方程的一般形式。本章还将引入介质中相对介电常数 的定义,而且会看到与介质折射率n之间存在着直接的 联系。
解：由高斯定律，可以求得：
3.4
1、概念
介质的磁化
介质中的电子和原子核都是束缚电荷，它们进行的轨 道运动和自旋运动都是微观运动，由束缚电荷的微观运动 形成的电流，称为束缚电流(bound current)，也称磁化电 流（Magnetization current）。在没有外加磁场的作用下， 绝大部分材料中所有原子的磁偶极矩(magnetic dipole moment)的取向是杂乱无章的，结果总的磁矩为，对外不呈 现磁性。
是反映分子固有特性的一个函数，同时也是所施加 E 场强 的角频率 的函数。对于单个分子来说，上 述各种关系式就是我们对介质进行微观描述的基础知识。
p
3.2 电介质及其极化 1. 极化的概念
电介质
一般来讲电介质可分为两大类：一类是无极 分子电介质，当没有外电场作用时，这类电介质 中正负电荷的中心是重合的，处于电中性状态， 对外不显电性，如Ｈ2、Ｎ2等气体物质。第二类是 有极分子电介质，当没有外电场作用时，这类电 介质中的正负电荷中心不重合，每个分子可等效 为一个电偶极子，但由于分子的无规则热运动， 使得电偶极子的分布排列是无规则的。因此，整 体仍呈电中性，对外也不显电性。
即
0 P f (E )
0
0
修改后的麦克斯韦 第一方程
0
0
工程电磁场导论第三章-PPT精品
图3.2.17 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？
有磁介质存在时，重答上问。
图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系
图3.2.17 H 的分布与磁介质有关
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5. B 与 H 的关系 实验证明，在各向同性的线性磁介质中
B0(HM ) 0H(1m)0rHH
m — 磁化率。 r—相对磁导率。
B
02Kex
y0
0K 2
e
x
y0
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3.2 安培环路定律
Ampere’s Circuital Law
3.2.1 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem ) 1. 恒定磁场的散度
B (x,y,z)4 π 0V J(x,y R ,2 z)eR d V
sin
4π(R2 x2)
BBxex
4π(R 20Ix2)sinldlex
图3.1.4 圆形载流回路轴线上的 磁场分布
4π(R 2 0Ix2)
R
R2x22πRex
0IR2
2(R2 x2)3/2
ex
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例 3.1.3 无限大导体平面通有面电流 K K ez , 试求磁感应强度 B 分布。
恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时， 注意类比法的应用。
返回 上页 下页
本章要求 深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度 的概念。 掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。 了解磁位及其边值问题。
熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方 法。了解磁路及其计算方法。
B0
4π
电磁场理论第三章精品PPT课件
q 4 0
1 ( RP
1 )
RQ
若 电 位 参 考 点 选 在 无 穷 远 处 ， 即 RQ ， 则
V
＝
P
q 4 0RP
式 中 RP r r '
说明：若电荷分布在有限区域内，一般选择无穷远处为 电位参考点。
（2）、分布电荷体系在空间中产生的电位
体电荷：V(r) 1 (r ')dV，
40 V R
电偶极矩，p Qd ，方向由负电荷指向正电荷。
选 取 如 图 所 示 的 球 坐 标 系 ， 则 P点 的 电 位 为
V Q ( 1 1 ) Q R R 4 0 R R 4 0 R R
V
Qd cos 4 0 R 2
p aR 4 0 R 2
(R
d)
电场强度为
E
V
aR
2 p cos 4 0 R 3
电荷密度分别为 l 。求空间任一点p处的电位。
解：线电荷+l在P点产生的电位：
V
p0 p
E
•
dl
p0 A
E
•
dl
r0 r
l 2 0r
dr电荷-l在P点产生的电位：
V
p0 B
E
•
dl
r0 r
l 2 0r
dr
l 2 0
ln
r0 r
P点的总电位为
Vp
质可以看作内部存在大量不规则且方向迅速变 化的分子极矩的电荷系统。 2. 热平衡时，分子无规则运动，分子极矩取向各 方向概率相同，介质在宏观上不显出电特性。 3. 电介质的极化：在外加电场的作用下，无极分 子变为有极性分子，有极分子的取向一致，宏 观上出现电偶极矩，表现出电特性。
电磁场导论 第3章 恒定电场
2
2
例3-1 铜和铝的电导率分别为 1=5.8107S/m和2=3.82107S/m， 介电常数102 ，铜中J1=1A/m 穿过分界面时与法线的夹角1=45 求：1）铝中的J2离开分界面时2=？ 2）分界面上的自由电荷密度。 解：
1 1=45 J1
2 J2 2 =？
A m2
分布的体电荷以速度v作匀速运动形成
I
S
J dS
2）电流线密度
分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流 K v Am
电流是积分量
I
(K e
l
n
)dl
e 是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量 n
工程意义： • 同轴电缆的外导体可视为电流线密度分布 • 媒质表面产生磁化电流可用电流线密度表示 • 高频电流的集肤效应可用电流线密度表示 3）线电流 分布的线电荷沿导线以速度 v 运动形成的电流
必须依靠非静电力将B极板的正电 荷抵抗电场力搬到A极板。这种提
供非静电力将其它形式的能量转为
电能装置称为电源。 电源内部局外场强 电源电动势
Ee dl
l
fe Ee q
恒定电流的形成
(V )
电源电动势与有无外电路无关，是表示电源本身的特征量
3.2.2
电场强度
考虑局外场强 Ee
J ( E Ee )
I v
4）元电流的概念： 元电流是指沿电流方向上一个微元段上的电流
vdq vdv, vds, vdl
Jdv, Kds, Idl
3.1.3 欧姆定律的微分形式 电场是维持恒定电流的必要条件，可以证明
J E
式中：为电导率，单位：西门子/米（S/m) • 恒定电流场与恒定电场相互依存，电流J与电场E方向一致 • 欧姆定律的微分形式，电路理论中的 U=RI 由它积分而得 1）在各向同性导电媒质中，电位移矢量D 线与电流密度J 线 方向是否一致？ 2）电流线密度 K E 是否成立？
金电磁场理论第3章完整打印版
JC
0
0
磁化电流激发的磁场
BM 0 J M BM 0
KM
M
J M JC
单位：A / m 磁场强度 0 表明静磁场中任一点上磁场强度的旋度等于该 则 H JC 点的传导电流面密度。
H dl I
3.1 磁感应强度
一. 安培力定律
3.1 磁感应强度
两载流回路之间的作用力，电流 I 对 I
Idl ( I dl eR ) F 0 l 4π l R2
本节内容： 一. 安培力定律 二. 比奥—沙伐定理 三. 磁通连续定理—恒定磁场的无源性
I
dl
3.2 安培环路定律—恒定磁场的旋度方程
本节内容： 一. 真空中的安培环路定律 二. 媒质的磁化 1. 磁化强度 2. 磁化电流 三. 介质中的安培环路定律 四. 磁介质的物性方程
1 0 J C ( r ) dV | r 4π V r|
V
静磁场有旋性的直接证明
R r r
1 2 4π (r r ) | r r|
磁场是有旋场(涡旋场)，与磁场的散度方程一致； 磁感线与电流垂直并相互交链。
2015/4/14 电工基础教研室金钊 13
由于所有电流分布被包含在积分区域内，因此没有电 流通过界面S，故而上述面积分为零，从而有 A 0
媒质的磁化
3.2 安培环路定律—恒定磁场的旋度方程
二. 媒质的磁化
1. 磁化强度 —反映媒质被磁化的程度 磁化强度就是单位体积内所有分子磁矩的矢量和
3.2 安培环路定律—恒定磁场的旋度方程
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微分形式：
E 0
E f /
vv
积分形式：
Ñl E dl 0
v
ÑS E
v dS
f
d
Qf Qp
0
边界条件：
根据时变电磁场中边界条件的一般形式：
nnnn0000((((HBDE1111BDHE222)2)))00Jssff
对于介质（1）和导体（2）分界面：
E2 0 E2t 0 E1t 0
所以，电力线垂直于导体表面，沿导体表面电场力 不做功，导体表面为等位面。
二、电位函数
电位函数是求解电磁场问题的辅助函数。
1、定义：
E 0
E
2、电位 的微分方程：
2 f / （静电场电位的泊松方程） 当 f 时0 ：
e
sin
)
（伏特/米）
特点：
E
p
4r 3
(er 2 cos
e
sin
)
1) E只有 E和r 分E量，没有 分E量 ，而且两分量与坐标
无关（ 轴对称）。
2) 电位与距离的平方成反比，电场强度与距离的立
方成反比。（单个点电荷：电位与距离成反比；
电场强度与距离的平方成反比。）
en
1
在静电场中：
2
et
nv0 nv0
vv (vE1 vE2 (D1 D2 )
)0
sf
1) 当媒质1为介质，媒质2为导体时：
D1n sf
E1n sf /
2) 当媒质1、2均为介质时
sf 0 D1n D2n 但 E1n E2n 在任意媒质分界面上， E的切向分量连续。
如果电偶极子的中心不在坐标原点，而在空间任一
点，其矢径为 ，r' 也不平行于z轴，则空间任一点的
电位函数为：
p (r r' )
4 r r' 3
此处
p
q
四、静电场的能量
离散分布电荷：We
1 2
N
qkk
k 1
体分布电荷：
We
1 2
d
面分布电荷：
We
1 2
s sds
电场能量密度：
we
1 2
DE
1
2
E2
电场能量：
We
1 2
D Ed
1 2
E 2d
五、导体的电容
电容是导体的基本属性。电容的大小只与导体的形 状、尺寸、相对位置以及导体间介质的介电常数有 关，与导体间所加电压无关。
对于双导体系统，电容的计算式为：
2) 在两种不同介质分界面上：
sf 0
2
2
n
1
1
n
4、已知电荷分布情况下的 的表达式：
1) 对于点电荷q，位于 r点' ，空间任一点的电场强度：
E(r) q
4 0
R q
R3 40
r r' r r' 3
利用矢量恒等式：
x
为了反映电偶极子的强度，定义：
z
电偶极矩
p
q
q •
由负电荷指向正电荷
0 •
q x
y
沿z轴放置、中心在坐标原点的电偶极子，空间
任一点的电位为：
p er p cos （伏特） 4r 2 4r 2
空间任一点的电场强度为：
E
p
4r 3
(er 2 cos
第三章 静态电磁场
研究静态场的意义： •静态场本身在实际问题中非常有用，如用静态场 方法所求得的电容、电感和电阻可近似地应用于高 频电路分析中。 •静态场的基本特性和解法对学习时变电磁场奠定 基础。
§1 静电场理论
静电场：静止且量值不随时间变化的电荷产生的电场。 静电场是一种相对状态，是时变场的极限情况。
C Q Q
A B U AB
B A
A
B
例：同心导体球壳，半径分别为a和b（b>a）。在 a<r<b中充满介电常数为 的理想介质。设外球电位
为零，内球电位为U0，求内外球之间的 和 。E
0
a
b
U0
§2 静电场计算
本节的内容可以分为三大部分： • 已知电荷分布求场强（电位）； • 已知电位或场强求电荷分布； • 电容的计算。
d
v '
1
4 0
v'
1 rv rv'
f d
'
E
3、高斯定律：
r r'
d
'
C
面分布：(r) 1
40
s' rs(rr'') ds' C
线分布：(r) 1
40
' r(rr'') d' C
三、电偶极子
电偶极子的定义：由相距一个小距离的等值异号
的点电荷所组成的系统。
z
q •
0 •
y
q
一、静电场的基本方程和边界条件
微分形式： 积分形式：
E 0
D f
l
E
dl
0
DdS S
f d
Qf
在均匀、线性、各向同性媒质（简单媒质）中，基本
物理量 E和辅助物理量 之D 间满足本构关系： D。由E
此可以得出限定形式的基本方程：
1 r
r'
r r' r r' 3
E(r)
q
4 0
1 r
r'
(r)
(r) q 40
1 r
r'
C
2) 对于体分布、面分布、线分布电荷：
体分布：(r)
1
40
'
(r' )
2 0 （静电场电位的拉普拉斯方程）
3. 电位 的边值关系
en
P•
1
h0
2
P0 •
et
(P) (P0 )
2
2
n
1
1
n
sf
1) 在介质与导体分界面上：
nv0
v (D1
v D2
)
sf
D2n 0
1
1
n
sf
此式经常用于确定导体表面的面电荷密度
一、已知电荷分布求场强
1、直接法：适用于已知电荷分布的具体形式，而且 积分和求和比较容易的静电场问题。
E
1
4
N i 1
qi r ri '
r ri ' 3
v
E
v
v'
rv rv'
rv rv' 3
f
d
'
2、间接法：适用于已知电荷分布的具体形式，但直接积 分和求和求场强比较困难的静电场问题。