应用多元统计分析课后答案 (2)

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=L 的联合分布密

度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=L 的子向量的概率分布，其概率密度

函数的维数小于p 。 2.2设二维随机向量1

2()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。

解：设1

2()X X '的均值向量为()1

2μμ'=μ，协方差矩阵为21

122212σσσσ⎛⎫ ⎪

⎝⎭

，则其联合分布密度函数为

1/2

12

2

2112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪

'=---⎨⎬ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭⎪⎪⎩⎭

x x μx μ。 2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为

12121222

2[()()()()2()()]

(,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=

--

其中1a

x b ≤≤，2c x d ≤≤。求

（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；

（3）判断

1X 和2X 是否相互独立。

（1）解：随机变量

1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；

11212122

2[()()()()2()()]

()()()d

x c

d c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰

1221222222

2()()2[()()2()()]()()()()

d

d c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 121

222202()()2[()2()]()()()()

d

d c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=

+----⎰ 221212222

2()()[()2()]

1()()()()d c

d

c d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a

------=+=

----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a

+，方差为

()2

12

b a -。

同理，由于

2X 服从均匀分布

[]2121,()0

x x c d f x d c

⎧∈⎪

=-⎨⎪⎩其它

，则均值为

2

d c

+，方差为

()2

12

d c -。

（2）解：随机变量

1X 和2X 的协方差和相关系数；

12cov(,)

x x

12121212222[()()()()2()()]22()()d

b

c

a d c x a

b a x

c x a x c a b

d c x x dx dx b a d c --+-----++⎛

⎫⎛⎫=-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭

⎰

⎰

()()

36

c d b a --=

1

2

12cov(,)

13

x x

x x ρσσ=

=

（3）解：判断

1X 和2X 是否相互独立。

1X 和2X 由于121212(,)()()x x f x x f x f x ≠，所以不独立。

2.4设

12(,,)p X X X X '=L 服从正态分布，已知其协方差矩阵∑为对角阵，证明其分量是相互独立的随

机变量。

解： 因为

12(,,)p X X X X '=L 的密度函数为

1/21

11(,...,)exp ()()2p

p f x x --⎧⎫'=---⎨⎬⎩⎭Σx μΣx μ 又由于2

12

22p σσσ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

ΣO 222

12p

σσσ=ΣL

21212

211

1p σσσ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

ΣO

则1(,...,)p f x x

211/22

2221

2

12211

1exp ()()21p

p p σσσσσσ--⎧⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪'==--=-⎨⎬ ⎪

⎪⎪

⎪

⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪⎪⎪

⎪⎝⎭⎩

⎭

Σx μΣx μL O

()2221231112222

12()()()111exp ...222p p p p p x x x μμμσσσσσσ-⎧⎫---⎪⎪

=----⎨⎬⎪⎪⎩⎭

L

212

1()()...()2p

i i p i i x f x f x μσ=⎧⎫-=-=⎨⎬⎩

⎭ 则其分量是相互独立。 2.6 渐近无偏性、有效性和一致性； 2.7 设总体服从正态分布，~(,)p N X

μΣ，有样本12,,...,n X X X 。由于X 是相互独立的正态分布随

机向量之和，所以X 也服从正态分布。又

()11

1()n n

n

i i i i i E E n E n n ===⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑∑X X X μμ

()2211

111()n n

n i i i i i D D n D n n n ===⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑∑ΣX X X Σ 所以~(,)p N X μΣ。

2.8 方法1：

11ˆ()()1n i i i n ='=---∑ΣX X X X 1

11n

i i i n n =''=--∑X X XX

11ˆ()()1n

i i i E E n n =''=--∑ΣX X XX ()()111n i i i E nE n =⎡⎤''=-⎢⎥-⎣⎦

∑X X XX 111

(1)11

n i n n n n n =⎡⎤=-=-=⎢⎥--⎣⎦∑ΣΣΣΣ。