【VIP专享】锐角三角函数仰角俯角应用题
人教版九年级下册数学作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
＝
3
3）
＝(30
3
＋45)米，
3
∴DG＝EH＝AH－AE＝(30 3 ＋45)－15＝(30 3 ＋30)米，(30 3 ＋30)÷5＝(6 3
＋6)秒，∴经过(6 3 ＋6)秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
2．如图，在高为 2 m，倾斜角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 (C )
A．[2பைடு நூலகம்( 3 ＋1)] m B．4 m C．2( 3 ＋1) m D．2( 3 ＋3) m
3．(威海中考)小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的 河流宽度．他先在河岸设立 A，B 两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点 M.测得 AB＝50 米，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°.请你依据所测数据求出这段河流的 宽度．(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin22°≈38 ，cos22°≈1156 ，tan22°≈25 ，sin67°≈1123 ， cos67°≈153 ，tan67°≈152 )
2
∴x ＝ 17 ≈0.82 ， ∴OD ＝ 0.82 m ， ∴DH ＝ OH － OD ＝ OA － OD ＝ 3.4 － 0.82 ＝
5
2.58≈2.6(m)，答：最大水深约为 2.6 m.
13．(广元中考)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到 一定高度 D 点处时，无人机测得操控者 A 的俯角为 75°，测得小区楼房 BC 顶端点 C 处的俯角为 45°.已知操控者 A 和小区楼房 BC 之间的距离为 45 米，小区楼房 BC 的高 度为 15 3 米．
解：如图，过点 D 作 DG⊥AE 于点 G，得矩形 GBFD，∴DF＝GB，在 Rt△GDE 中，DE＝80 cm，∠GED＝48°，∴GE＝DE·cos 48°≈80×0.67＝53.6(cm)，∴GB＝ GE＋BE≈53.6＋110＝163.6≈164(cm).∴DF＝GB≈164(cm).答：活动杆端点 D 离地面 的高度 DF 约为 164 cm
专题28.17 锐角三角函数(中考常考考点专题)(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级
专题28.17 锐角三角函数（中考常考考点专题）（基础篇）（专项练习）一、单选题【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是（ ）A ．sin AB BC α= B ．sin BC AB α= C ．sin AB AC α=D ．sin AC AB α= 2．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，BD 是斜边AC 上的高，AB BC ≠，则下列比值中等于sin A 的是（ ）．A ．AD AB B ．BD ADC ．BD BC D ．DC BC【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值3．（2022·浙江宁波·三模）如图，将ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是（ ）A B C ．2 D ．124．（2022·福建省厦门第二中学模拟预测）如图，在Rt ABC 中，90,2C BC AC ∠=︒=，则sin B =（ ）A ．12 B ．2 C D 【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长5．（2020·四川雅安·中考真题）如图，在Rt ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（ ）A ．8B ．12C ．D ．6．（2022·吉林·长春市赫行实验学校一模）如图要测量小河两岸相对的两点P 、A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得50PC =米，44PCA ∠=︒，则小河宽PA 为（ ）米A ．50sin44︒B ．50cos44︒C ．50tan 44︒D ．50tan46︒【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值7．（2016·江苏无锡·中考真题）sin30°的值为（ ）A ．12 B C ．2 D 8．（2021·广东深圳·中考真题）计算|1tan 60|-︒的值为（ ）A ．1B ．0C 1D ．1【考点二】函数值➽➸特殊锐角9．（2022·河南焦作·()101α+︒=，则锐角α的度数为（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°10．（2021·江苏无锡·一模）已知cos A A =∠是锐角，则A ∠的度数为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式11．（2021·山东泰安·模拟预测）计算：202122sin 60|1(1)2-︒----的结果是（ ）A ．74B ．4C ．14D ．1412．（2021·山东省日照市实验中学二模）计算（tan30°）﹣1﹣2|）0的结果是（ ）A ．6B ．12C ．2D ．2＋【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状13．（2021·贵州黔西·模拟预测）在ABC 中，若A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，1cos 2B =，则ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形14．（2020·山东德州·二模）如果△ABC 中，sin A =cos B 2，则下列最确切的结论是（ ） A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形15．（2022·陕西·中考真题）如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．16．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，△C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．52B ．3C ．D ．103【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之17．（2019·河北石家庄·二模）在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货船从B 港口沿北偏西60︒方向出发，2h 后相遇在点P 处，如图所示．问A 港与B 港相距（ ）海里．A．B ． C ．10+D ．2018．（2019·重庆·一模）缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心D 处水平向前走14米到A 点处，再沿着坡度为0.75的斜坡AB 走一段距离到达B 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在B 点观察到观景塔顶端的仰角为45︒再往前沿水平方向走27米到C 处，观察到观景塔顶端的仰角是22︒，则观景塔的高度DE 为（ ）（tan22°≈0.4）A ．21米B ．24米C ．36米D ．45米【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之19．（2019·重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯AB ，扶梯总长为度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建AC 、DE 两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯AC 和平台CD 形成的ACD ∠为135°，从E 点看D 点的仰角为36.5°，AC 段扶梯长则DE 段扶梯长度约为（ ）米（参考数据：3sin 36.55︒≈，4cos36.55︒≈，3tan 36.54︒≈）A ．43B ．45C ．47D ．4920．（2018·河北·模拟预测）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD ．若六角星纸板的面积为2，则矩形ABCD 的周长为（ ）A ．18cmB ．C ．（）cmD ．（）cm【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角21．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为45︒，在点B 处测得树顶C 的仰角为60︒，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若16m AB =，则这棵树CD 的高度是（ ）A ．8(3B ．8(3+C ．6(3D ．6(3+22．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，结果保留整数）（ ）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m【考点二】解直角三角形➽➸方位角23．（2022·河北·模拟预测）从观测点A 测得海岛B 在其北偏东60°方向上，测得海岛C 在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B 出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C 海岛，则C 海岛到观测点A 的距离是（ ）A．20海里B．40海里C．60海里D．80海里24．（2022·山东·济南市市中区泉秀学校一模）如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是（）B．（15）海里A．C．（）海里D．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比25．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高5mBC=的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为AB的长度为（）A．10m B．C．5m D．26．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为︒≈︒≈︒≈）（）．（sin370.6,cos370.8,tan370.75A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【考点四】解直角三角形➽➸其他问题27．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB 的长为12米，AB 与AC 的夹角为α，则高BC 是（ ）A ．12sin α米B ．12cos α米C ．12sin α米D ．12cos α米 28．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB ，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC 长为m ，则大树AB 的高为（ ）A ．()cos sin m αα-B ．()sin cos m αα-C ．()cos tan m αα-D ．sin cos m m αα- 二、填空题 【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析29．（2022·上海市青浦区教育局二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A 点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B 点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为________米．30．（2021·福建厦门·一模）在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝AB＝10，则△B＝_____．【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值31．（2021·四川乐山·三模）如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin△BAC的值等于_____．32．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，若sin A＝45，则cos B＝_____．【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长33．（2022·广东深圳·二模）如图，直角ABC中，90C∠=︒，根据作图痕迹，若3cmCA=，3tan4B=，则DE=________cm．34．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值35．（2021·西藏·中考真题）计算：（π﹣3）0＋（﹣12）﹣2﹣4sin30°＝___． 36．（2020·湖南湘潭·中考真题）计算：sin 45︒=________． 【考点二】函数值➽➸特殊锐角37．（2022·陕西·西安辅轮中学三模）若sin(α+15°)=1，则△α等于_____________度． 38．（2020·湖北·武汉二中广雅中学三模）若sin A ＝12，则tan A ＝_____． 【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式39．（2022·重庆·模拟预测）计算：sin45°+212-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．40．（2022·湖北荆门·一模）计算：)02112sin 45()2-+-︒--=________． 【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状41．（2020·江苏淮安·三模）在ABC ∆中,若21 02sinA tanB -+⎛ ⎝⎭= ，则ABC ∆是_____三角形．42．（2019·四川自贡·一模）在△ABC 中，（cos A ﹣12）2+|tan B ﹣1|＝0，则△C ＝_____． 【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形43．（2019·辽宁大连·中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD．若2AB=，则AD的长为_____．44．（2015·广西玉林·中考真题）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则O分斜边AB为BO：OA=1△AQC=___________．【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之45．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，则自动扶梯的垂直高度BD=___________m． 1.732，结果精确到0.1米）46．（2020·安徽阜阳·二模）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之47．（2021·湖北湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s，同时在地面C处分别测得A处的仰角为75︒，B处的仰角为30︒．则这架无人机的飞行高度大约是_______m 1.732≈，结果保留整数）48．（2019·辽宁辽阳·中考真题）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车_____（填“超速”或“没有超速”） 1.732）【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角49．（2021·山东烟台·中考真题）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米， 1.41≈ 1.73）50．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30︒，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【考点二】解直角三角形➽➸方位角51．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）一艘轮船位于灯塔P 的南偏东60︒方向，距离灯塔30海里的A 处，它沿北偏东30︒方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东67︒方向上的B 处，此时与灯塔P 的距离约为________海里．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）52．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30°方向．请问船继续航行______海里与钓鱼岛A 的距离最近．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比53．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝35，堤坝高BC ＝30m ，则迎水坡面AB 的长度为 ____m ．54．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．【考点四】解直角三角形➽➸其他问题55．（2022·山东泰安·中考真题）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC ∠=︒，已知窗户的高度2m AF =，窗台的高度1m CF =，窗外水平遮阳篷的宽0.8m AD =，则CP 的长度为______（结果精确到0.1m ）．56．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A 到桥的距离是40米，测得△A ＝83°，则大桥BC 的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）参考答案1．D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．解：△BC△AC，△△ABC 是直角三角形， △△ABC =α， △sin ACABα=， 故选：D ．【点拨】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角△A 的对边与斜边之比叫做△A 的正弦，记作sin△A ．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．2．D【分析】由同角的余角相等求得△A =△DBC ，根据正弦三角函数的定义判断即可； 解：△△ABD +△A =90°，△ABD +△DBC =90°， △△A =△DBC ， A ．ADAB=cos A ，不符合题意； B ．BDAD=tan A ，不符合题意； C ．BDBC=cos△DBC =cos A ，不符合题意； D ．DCBC=sin△DBC =sin A ，符合题意； 故选： D ．【点拨】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．3．D【分析】首先构造以△A 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 解：连接BD ，如图所示：根据网格特点可知，BD AC ⊥， △90ADB ∠=︒，△BD AD =△在Rt△ABD 中，tan A ＝BD AD 12=，故D 正确． 故选：D ．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．4．C【分析】根据勾股定理，可得AB 与BC 的关系，根据正弦函数的定义，可得答案． 解：△△C =90°，2BC AC =，△AB ，sinAC B AB ==C 正确． 故选：C ．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB 与AC 的关系，再利用正弦函数的定义．5．C【分析】利用正弦的定义得出AB 的长，再用勾股定理求出BC. 解：△sinB=ACAB=0.5， △AB=2AC ， △AC=6， △AB=12，故选C.【点拨】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB 的长. 6．C【分析】在直角三角形APC 中根据△PCA 的正切函数可求小河宽P A 的长度． 解：△P A △PB ， △△APC =90°，△PC =50米，△PCA =44°，△tan44°=PA PC，△小河宽P A=PCtan△PCA=50•tan44°米．故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：△将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．△根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7．A【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：sin30°=12故答案为：A．【点拨】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．8．C【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．解：|1tan60||11-︒==故选C．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．9．C【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：（α+10°）=1，△tan（α+10°）△α为锐角，△α+10°=30°，α=20°．故选C．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10．A【分析】根据特殊角的三角函数值以及三角函数的定义，即可得到答案．解：△cos A A =∠是锐角， △A ∠=30°， 故选A ．【点拨】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 11．A【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，乘方的意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．解：原式121)(1)4=--- 1114=+-74=． 故选：A ．【点拨】本题考查实数的运算，掌握运算顺序是解决为题的关键，先乘方、再乘除、最后加减，注意牢记特殊角的三角函数值．12．D【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．解：原式＝1-⎝⎭﹣（2+3+1＝． 故选：D ．【点拨】本题考查实数的运算，掌握正确的运算顺序是解决问题的关键. 13．D【分析】根据特殊角的三角函数值可判断30A ∠=︒，=60B ∠︒，从而可求出90C ∠=︒，即证明ABC 的形状是直角三角形．解：△A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，1cos 2B =， △30A ∠=︒，=60B ∠︒，△180180306090C A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，△ABC 的形状是直角三角形． 故选D ．【点拨】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．14．C解：△sin A =cos B ， △△A =△B =45°，△△ABC 是等腰直角三角形． 故选：C ． 15．D【分析】先解直角ABC 求出AD ，再在直角ABD △中应用勾股定理即可求出AB ． 解：△26BD CD ==， △3CD =，△直角ADC 中，tan 2C ∠=， △tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=，△直角ABD △中，由勾股定理可得，AB = 故选D ．【点拨】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．16．A【分析】由题意易得MN 垂直平分AD ，AB =10，则有AD =4，AF =2，然后可得4cos 5AC A AB ∠==， 进而问题可求解．解：由题意得：MN 垂直平分AD ，6BD BC ==， △1,902AF AD AFE =∠=︒， △BC ＝6，AC ＝8，△C ＝90°，△10AB =，△AD =4，AF =2，4cos 5AC AF A AB AE ∠===， △5cos 2AF AE A ==∠； 故选A ．【点拨】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．17．B【分析】先作PC AB ⊥于点C ，根据甲货船从A 港沿东北的方向以5海里/小时的速度出发，求出PAC ∠和AP ，从而得出PC 的值，得出BC 的值，即可求出答案．解：作PC AB ⊥于点C ，甲货船从A 港沿东北的方向以5海里/小时的速度出发，45PAC ∴∠=︒，5210AP =⨯=，PC AC ∴==乙货船从B 港沿西北方向出发，60PBC ∴∠=︒，BC ∴=AB AC BC ∴=+=，答：A 港与B 港相距海里，故选：B ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口.18．A【分析】作BN DA ⊥交DA 的延长线于N ，延长CB 交DE 于M ，则四边形DMBN 是矩形,根据AB 的坡度，设3,4,BN k AN k ==表示出144,3,MB DN k DM BN k ==+==414,CM k =+在Rt EBM 中，144,EM BM k ==+ 在Rt ECM 中， 根据tan 0.4,EM C CM == 列出式子，求出k 的值，即可求解.解：如图，作BN DA ⊥交DA 的延长线于N ，延长CB 交DE 于M ，则四边形DMBN 是矩形,:3:4,BN AN =可以假设3,4,BN k AN k ==则，144,3,MB DN k DM BN k ==+== 414,CM k =+在Rt EBM 中， 90,45,EMB EBM ∠=∠=144,EM BM k ∴==+在Rt ECM 中， tan 0.4,EM C CM== 1440.4,414k k +∴=+ 解得：1,k =3,18,DM EM ∴==21.DE DM EM =+=答：观景塔的高度DE 为21米.故选A.【点拨】考查解直角三角形，坡度问题，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.19．B【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG ，即可得解.解：作AH△EB 于H ，延长DC 交AH 于N ，作DG△EB 于G ，如图所示：△△ACD=135°△△ACN=45°在Rt△ACN 中，AC=△ACN=45°△AN=CN=18在Rt△ABH 中，AB=AH ：BH=3:2，设3,2AH k BH k ==△()()(22232k k +=解得15k =或15k =-（不符合题意，舍去）△AH=45△HN=AH -AN=45-18=27△四边形DGHN 是矩形△DG=HN=27在Rt△DEG 中，sin sin 36.5DG DEB DE ︒==∠ △274535DE ≈≈故选：B.【点拨】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.20．D【分析】过点E 作EF△AB 于点F ，设AE=x cm ，则AD=3x ,则=AB ,然后利用AB•AD=x 的值，即可得到AD,AB 的长度，则周长可求．解：如图，过点E 作EF△AB 于点F ，△六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，△设AE=x cm ，则AD=3x ，△△AEB=120°，△△EAB=30°，△AB=2AF=2cos30x︒，△六角星纸板的面积为2，△AB•AD=3393x x=解得x△AD=AB=3，△矩形ABCD的周长=3)26)⨯=cm．故选:D．【点拨】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键．21．A【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，△A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD 中，用△B的正切函数值即可求解．解：设CD=x，在Rt△ADC中，△A=45°，△CD=AD=x，△BD=16-x，在Rt△BCD中，△B=60°，△tanCDBBD =，即：16xx= -解得8(3x=，故选A．【点拨】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．22．C【分析】根据题意易得OA△MN，△N=43°，△M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．解：由题意得：OA△MN，△N=43°，△M=35°，OA=135m，AB=40m，△95mOB OA AB=-=，△135==150mtan0.9OAONN=∠，95=136mtan0.7OBOMM=≈∠，△286mMN OM ON=+=；故选C．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．23．D【分析】利用平行线性质得出：△ABD=△EAB=60°，进而得出△ABC=△BAC=20°，得出BC=AC，进而得出答案．解：由题意可得出：△EAC=80°，△EAB=60°，△DBC=40°，BC=40×2=80（海里），△△BAC=80°-60°=20°，△BCA=60°，△AE△BD，△△ABD=△EAB=60°，△△DBC=40°，△△ABC=60°-40°=20°，△△ABC=△BAC=20°，△BC=AC=80（海里）．△C海岛到观测点A的距离是80海里．故选D.【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用方向角得出BC=AC是解题的关键．24．B【分析】题中利用特殊角度，做辅助线过S作SC△AB于C，在AB上截取CD＝AC，设CS＝x+2x＝AB，可得：x，可知AS＝（15）海里．解：过S作SC△AB于C，在AB上截取CD＝AC，△AS ＝DS ，△△CDS ＝△CAS ＝30°，△△ABS ＝15°，△△DSB ＝15°，△SD ＝BD ，设CS ＝x 海里，在Rt △ASC 中，△CAS ＝30°，△AC（海里），AS ＝DS ＝BD ＝2x （海里），△AB ＝30海里，+2x ＝30，解得：x △AS ＝（15）海里．故选：B ．【点拨】本题主要考查方位角问题，熟练运用特殊角三角函数是解题的关键．25．A【分析】直接利用坡度的定义得出AC 的长，再利用勾股定理得出AB 的长．解：△i =5BC m =， △5BC AC AC ==解得：AC =，则10AB m =．故选：A ．【点拨】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC 的长是解答本题的关键． 26．D【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．解：根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ △6BC =米 △6100.60.6BC AB ===米 故选：D ．【点拨】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．27．A【分析】在Rt △ACB 中，利用正弦定义，sin α=BC AB ，代入AB 值即可求解． 解：在Rt △ACB 中，△ACB =90°，△sin α=BC AB， △BC = sin α⋅AB =12 sin α（米），故选：A ．【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．28．A【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．解：如图，过点C 作水平线与AB 的延长线交于点D ，则AD △CD ，△△BCD =α，△ACD =45°．在Rt △CDB 中，CD =m cos α，BD =m sin α，在Rt △CDA 中，AD =CD ×tan45°=m ×cos α×tan45°=m cos α，△AB =AD -BD=（m cos α-m sin α）=m （cosα-sin α）．故选：A ．【点拨】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．29．100tan tan tan tan αββα- 【分析】由正切的定义分别确定tan ,tan αβ的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．解：如图，CD 为树高，点C 为树顶，则,CAD CBD αβ∠=∠=，BD =AD -100△依题意，有tan tan 100CD AD CD AD αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩①② 由△得tan CDAD α=③将△代入△，解得100tan tan =tan tan CD αββα- 故答案为：100tan tan tan tan αββα-． 【点拨】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键．30．60°【分析】利用正弦定义计算即可．解：如图，△sinB ＝AC AB == △△B ＝60°，故答案为：60°．【点拨】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．31．23【分析】利用CD ∥AB ，得到△BAC =△DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，可得sin△ACD =AD AC =23，从而可得答案． 解：如图：△CD ∥AB ，△△BAC ＝△DCA ．△同圆的半径相等，△AC ＝AB ＝3．在Rt ACD △中，sin△ACD ＝23AD AC ． △sin△BAC ＝sin△ACD ＝23．故答案为：23．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用图形的性质进行角的等量代换．32．45【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45． 解：在Rt△ABC 中，△C ＝90°，△sin A ＝BC AB ＝45， △cos B ＝BC AB ＝45． 故答案为：45． 【点拨】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若△A +△B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．33．158【分析】先解直角三角形ABC 求出BC 的长，从而求出AB 的长，再由作图方法可知DE 是线段AB 的垂直平分线，即可得到BE 的长，再解直角△BED 即可得到答案．解：△△C =90°，AC =3cm ，3tan =4B ， △3tan ==4AC B BC ， △BC =4cm ，△AB ，由作图方法可知DE 是线段AB 的垂直平分线，△DE △AB ，522AB AE BE cm ===， △3tan =4DE B BE =， △31548DE BE cm ==， 故答案为：158． 【点拨】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE 是线段AB 的垂直平分线是解题的关键．34．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==165AE ∴=125DE ∴=== DE AC ⊥90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD ∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠== 534CD DE ∴=⋅= 在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．35．3【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝1＋4﹣4×12＝1＋4﹣2＝3．故答案为：3．【点拨】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．36【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．解：sin 45︒=． 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可求解．解：△sin （α+15°）=1，△α+15°=90°，△α=75°，故答案为：75．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出△A 的度数，然后求出tanA 的值．解：△sinA ＝12，△△A ＝30°，则tanA【点拨】本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是检查学生能否熟练地运用进行计算．394##42+ 【分析】根据特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．解：sin45°+2142-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，+4．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和负整数指数幂，相关公式有：sin 452=°，()10p pa a a -=≠． 403【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质即可求解．解：原式124=-14=3=．3．【点拨】本题主要考查了绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质．41．等腰【分析】根据绝对值和平方的非负性求出sinA和tanB的值，再根据锐角三角函数的特殊值求出△A和△B的角度，即可得出答案.解：△210 2sinA tanB-+⎛⎝⎭=△12sinA=，tanB=△△A=30°，△B=30°△△ABC是等腰三角形故答案为等腰.【点拨】本题考查的是特殊三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值. 42．75°．【分析】先根据非负数的性质确定cosA=12，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．解：△（cos A﹣12）2+|tan B﹣1|＝0，△cos A﹣12＝0，tan B﹣1＝0，则cos A＝12，tan B＝1，△△A＝60°，△B＝45°，△△C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为75°．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理43．【分析】AB=AC=BC=CD，即可求出△BAD=90°，△D=30°，解直角三角形即可求得．解：△ABC∆是等边三角形，△60B BAC ACB︒∠=∠=∠=，△CD AC=，。
人教版九年级数学下册作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
AF的高度约为9.0米
【素养提升】 11．(18分)(广州中考)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的 高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD， 标杆CD的影子为CE，CD＝1.6 m，BC＝5CD. (1)求BC的长； (2)从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度． 条件①：CE＝1.0 m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°. 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58，tan 54.46°≈1.40.
A．8(3－ 3 ) m B．8(3＋ 3 ) m C．6(3－ 3 ) m D．6(3＋ 3 ) m
8．(5分)(广西中考)如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼 顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高 CD是__4_0__3____m．(结果保留根号)
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例
第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
仰角与俯角问题 1．(5分)(玉林中考)如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( ) D A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
2．(5分)(教材P78习题T3变式)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道 (点A，B在同一水平面上).为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发， 垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为 _____t_a8_n0_0_α__米．
3．(5分)如图，甲，乙两座建筑物相距30 m，从甲顶部点A测得乙顶部点D的仰角为 37°，若甲建筑物AB的高为40 m，则乙建筑物CD的高约为____m6．3 (结果取整数， 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
锐角三角函数应用题训练全
锐角三角函数应用题训练(全)锐角三角函数应用题训练1．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。
请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）。
（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）2．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C 点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．3．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈）．4．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．EA CDB5．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A 、B ，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C ，求此时船C 与船B 的距离是多少．（结果保留根号）6．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC ，如图所示，他先在点B 测得山顶点A 的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D 点，在测得山顶点A 的仰角为60°（B 、C 、D 三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC （结果精确的1米，参考数值：2 1.4≈，3 1.7≈）7．如图，我省在修建泛亚铁路时遇到一座山，要从A 地向B 地修一条隧道(A ，B 在同一水平面上)，为了测量A ，B 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从M 地出发垂直上升150 米到达C 处，在C 处观察A 地的俯角为60°，然后保持同一高度向前平移200米到达D 处，在D 处观察B 地的俯角为45°，则A 、B 两地之间的距离为多少米？(参考数据：3 1.73；结果保留整数)60°N 45°D C8．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．9．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一中是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客同时从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为45m/min．乙开始从A乘缆车到B，在B处停留5min后，再从B匀速步行到C，两人同时到达．已知缆车匀速直线运动的速度为180m/min，山路AC长为2430m，经测量，∠CAB=45°，∠CBA=105°．（参考数据： 1.4，1.7）（1）求索道AB的长；（2）为乙的步行速度．10．某中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在C点测得旗杆顶端A的仰角为30°，向前走了6米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角为60°(测角器的高度不计).（1）AD 米；（2）求旗杆AB的高度（结果保留1位小数，3 1.73≈）.11．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）12．如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）13．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）14．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）15．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．（1）计算AB的长度．（2）通过计算判断此车是否超速．16．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O 的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．17．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A 的距离最近？18．如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A –C －B 行驶，全长68 km ．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知∠A ＝30°，∠B ＝45°，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果精确到0．1 km ）（参考数据：4.12≈，7.13≈）19．水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ，如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 的长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米．(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度．20．如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坝底宽AD.（i ＝CE ∶ED ，单位：m ）ABC30° 45°本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
湘教版九年级上册数学第4章 锐角三角函数 与仰角、俯角有关的应用题
【点拨】如图，过点 A 作 AE⊥BD，交 BD 于点 E， 在 Rt△ABE 中，AE＝CD＝30 米，∠BAE＝30°， ∴BE＝30×tan30°＝10 3米， ∴AC＝ED＝BD－BE＝(36－10 3)米． ∴甲楼高度为(36－10 3)米．
【答案】D
11．有一棵较高的树(如图)，无法直接量出它的高度，可以先用 测角器在离树底部不远处的地面上找一点 B，使此时测得树 顶 A 的仰角为 60°，再用皮尺测得 BC 之间 的距离为 a，请你求出这棵树的高度． 解：∵BC⊥AC，BC＝a，∠ABC＝60°， ∴tan ∠ABC＝ABCC，∴AC＝BC·tan 60°＝ 3a. 答：这棵树的高度为 3a.
5．如图是数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度
的示意图，在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角∠ADE 为 55°，D
距旗杆的距离 DE 为 6 m，测角仪 CD 的高度为 1 m，设旗杆
AB 的高度为 x m，则下列关系式正确的是( )
A．tan 55°＝x－6 1 C．sin 55°＝x－6 1
C．500 3 m
D．1 000 3 m
3．【中考·长春】如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修
一条隧道(点 A，B 在同一水平面上)．为了测量 A，B 两地之
间的距离，一架直升机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C
处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距离
tan 37°≈0.75， 2≈1.41)
解：在 Rt△ABC 中，tan A＝BACC， 则 BC＝AC·tan A≈121×0.75＝90.75(m)， 在 Rt△ECD 中，∠EDC＝45°，∴∠CED＝∠EDC＝45°. ∵AD＝23.5 m，∴CD＝AC－AD＝121－23.5＝97.5(m)， ∴EC＝CD＝97.5 m，∴BE＝EC－BC≈97.5－90.75＝6.75≈6.8(m)， 答：塔冠 BE 的高度约为 6.8 m.
2020年中考复习《锐角三角函数》——坡度坡角仰角俯角方位角专题训练(解析版 )
2020中考复习《锐角三角函数》——坡度坡角仰角俯角方位角专题训练（1）姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为45°和60°(山脚和塔底在同一水平面内)，则塔高为()m．A. 400√23B. 400√33C. 200(3+√3)3D. 200(3−√3)32.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为()海里A. 20B. 10√3C. 20√2D. 303.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，√2≈1.414)()A. 34.14米B. 34.1米C. 35.7米D. 35.74米4.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1:2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为()A. 56米B. 66米C. (56+20√3)米D. (50√2+20√3)米5.如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为()A. 50米B. 100米C. 150米D. 100√3米6.如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是()A. 3√3mB. 27√3m)mC. (3√3+32)mD. (27√3+327.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为()A. 30米 B. 30sinα米 C. 30tanα米 D. 30cosα米tanα8.若斜坡AB的坡度i=1:√3，则它的坡角α的度数是A. 30°B. 45°C. 60°D. 无法确定9.如图，从位于O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇要到达哨所东南方向的B处，则A，B间的距离是()米．A. 300+300√3B. 300+300√2C. 150+150√3D. 150+150√210.如图所示，某幼儿园为了加强安全管理决定将园内滑梯的倾斜角由45°降为30°，已知滑梯高AC为2米，点D，B，C在同一水平地面上，请问改善后的滑梯比原滑梯水平方向占地加长(即BD的长)多少()(√2=1.4,√3=1.7)A. 0.8米B. 1.4米C. 4.8米D. 5.4米二、填空题11.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑至B.已知AB=200m，这名滑雪运动员的高度下降了______m．12.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是m.13.如图所示，某水库迎水坡AB的坡度i=1:√3，则该坡的坡角α=________°．14.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=__________米(用根号表示)．15.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45∘，坡长AB=6√2米，背水坡CD的坡度i=1：√3(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为______米．三、解答题16.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．(结果精确到1米，参考数据：sin33°=0.54，cos33°≈0.84，tan33°=0.65，√2≈1.41)17.如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°.为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？(精确到0.1米)(参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60)18.如图，甲、乙两楼相距30m，甲楼高40m.自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为28°，请问乙楼有多高？(结果精确到0.1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)19.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m.根据测量数据，求旗杆CD的高度。
1.4.1+三角函数的应用+方位角、仰角和俯角问题+同步练2024学年北师大版九年级下册
方位角、仰角和俯角问题【知识要点导航】1.方位角方位角是以观测点为中心(方向角的顶点)以正北或正南方向为始边，以旋转到观测目标所在的方向为终边所成的锐角.2.仰角与俯角视线与水平线方向的夹角中,视线在水平线上方的角叫做____________，视线在水平线下方的角叫做____________.注:水平线与铅垂线是互相垂直的，这为构造直角三角形提供了条件.通常，用水平线与铅垂线上的线段作为直角边，视线上的线段作为斜边，通过解这个直角三角形，解决实际问题.典型例题精析题型1 方位角的应用例1.如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向上的点A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的点B处.若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)变式练习1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（）A.35海里B.35cos37°海里C.35tan37°海里D.35sin37°海里2.如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12n mile 到达点C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.则小岛A到航线BC的距离约是__________n mile.(参考数据:√3≈1.73，结果精确到0.1)3.人工海产养殖合作社安排甲乙两组人员分别前往海面A、B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC=3600米，如图.参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)(1)求养殖场B与灯塔C的距离；(结果精确到个位)(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/分，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处.题型2 仰角、俯角的应用例2(1)数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度.如图，已知无人机的飞行高度为37米，当无机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°则旗杆的高度为（）A.15√3米B.(37−15√3)米C.(45−15√3)米D.22.5米(3)如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，在山下的点A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC 方向前进60m到达山脚点B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°.求塔ED的高度.(结果保留根号)变式练习4.如图，某校教学楼AB与CD的水平间距BD=a m，在教学楼CD的顶部C测得教学楼AB的顶部A的仰角为α，测得教学楼AB的底部B的俯角为β，则教学楼AB的高度是（）A.(atanα+atanβ)mB.(atanα+atanβ)mC.(asinα+asinβ)mD.(acosα+acosβ)m5.如图，一座古塔座落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°，点A、B、C、0在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中点O处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC=75°，求小李到古塔的水平距离(即BC)的长.(结果精确到1 米，参考数据:√2≈1.41，√3≈1.73)基础过关精练1.如图，海中有一小岛A，在点B测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从点B出发由西向东航行10 n mile到达点C，在点C测得小岛A恰好在正北方向上此时渔船与小岛A的距离为（）A.10√33n mile B.20√33n mile C.10 n mile D.10√3n mile2.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A.140√3mB.160√3mC.180√3mD.200√3m3.如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长度为20m，DE的高度为10m，则树AB的高度为（）A.20√3mB.30 mC.30√3mD.40 m4.如图，一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至点C处时发生了侧翻沉船事故.一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，则海警船大约需要________小时达到事故船C处.（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）5.某数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°.已知AB=10m，AD=30m，则灯塔CF 的高约为_________m.（结果保留整数；参考数据:tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，√2≈1.41)6.如图为某体育公园的部分示意图，C为公园大门，A、B、D分别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园.经测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向.(1)求B、D两地的距离；(结果精确到0.1米)(2)大门C在儿童乐园D的南偏西60°方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据线到大门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用(接头忽略不计).(参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)能力提升演练7.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C港在A港北偏东20°方向，则A、C两港之间的距离为（）A.(30+30√3)kmB.(30+10√3)kmC.(10+30√3)kmD.30√3km8.如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D处时，地面目标此时运动到点E处，从点E看点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为________米.（参考数据：tan37°≈34，tan47.4°≈109）9.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD(坡角∠DCE=45°)，在它们之间有一片水域.现要测量大楼AB的高度，小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为60°，当热气球探测器竖直上升到点F处时，测得楼顶点B处的仰角为30°.已知CD=30米，DF=60米，其中点A、C、E在同一直线上.(结果精确到0.1米；参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度.拓展探究训练10.如图，五边形ABCDE是一个公园沿湖的健身步道(步道可以骑行)，BD是仅能步行的跨湖小桥.经勘测，点B在点A的正北方935米处，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东74°，且在点区的正北方，∠C=90°，BC=800米，CD=600米.(参考数据:sin74°≈0.96，cos74°≈0.27，tan74°≈3.55)(1)求AE的长度；(结果精确到1米)(2)小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点A出发沿路线A→B→C→D→E→A的方向骑行，爸爸以150 米/分的速度从点B出发沿路线B→D→E→A的方向跑步前行.两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达A点？请说明理由.。
专题1.6解直角三角函数应用-仰角俯角问题(专项训练)(原卷版)
专题1.6 解直角三角函数应用仰角俯角问题（专项训练）1．（2022•西藏）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．2．（2022•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．（1）索道车从A处运行到B处的距离约为300米；（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）3．（2022•河池）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．4.（2022•大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD为1000m，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：≈1.4142，≈1.7321）．5．（2022•广元）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E 处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F 点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．6．（2022•天津）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC 的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．7．（2021•阿坝州）如图，平地上两栋建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的顶部测得建筑物CD底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD 的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）8.（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m 的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）9．（2021•枣庄）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果保留整数，参考数据：≈1.732，≈1.414）10．（2021•襄阳）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.41）．11.（2022•襄阳）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）12．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）13．（2022•海南）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．（1）填空：∠APD＝度，∠ADC＝度；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面BC的高度．。
中考数学 中档题突破 专项训练三 解直角三角形的实际应用 类型一：仰角、俯角问题
0.81)
( B)
A．16.8 m
B．28.8 m
C．40.8 m
D．64.2 m
2．如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达 点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000 m，仰角 为30°，3 s后，火箭直线上升到达点B处，此时 地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D 在同一直线上，已知C，D两处相距460 m，求火箭从A处到B处的平均 速度．(结果精确到个位，参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)
专项训练三 解直角三角 形的实际应用
类型一：仰角、俯角问题 1．★如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52 m，
坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60 m的点D处向上爬 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m到达观景 台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度
AB约为(参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈
解：由题意，得AD＝4 000 m，∠ADO＝30°， CD＝460 m，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4 000 m， ∠ADO＝30°，∴OA＝12AD＝2 000 m，OD＝ 23AD＝2 000 3 m， 在Rt△BOC中，∠BCO＝45°， ∴OB＝OC＝OD－CD＝(2 000 3－460) m，∴AB＝OB－OA≈1 004(m)， ∴火箭的速度为1 004÷3≈335(m/s)． 答：火箭从A处到B处的速度约为335 m/s.
7.6用锐角三角函数解决问题(仰角、俯角问题)
7.6 锐角三角函数的简单应用——仰角、俯角问题一、画一画 根据题意，画出仰角或俯角（1）人看气球 （2）在飞机上看地面控制中心二、实际问题问题1: “小机灵”在飞行高度为180米的飞机A 上看到上海浦东国际机场地面指挥中心B 的俯角为30°，求此时飞机A 在地面上的投影点C 离B 点的水平距离。
（结果保留根号）变式：“小机灵”在离中国馆AB 120米的C 处，用高为1米的测角仪测得中国馆的最高处A的仰角为30°，已知测角仪CD 垂直于地面，求中国馆AB 的高。
（结果保留根号）AB问题2：在南浦大桥AB 的上方有一只热气球停在P 点处，此时热气球离桥面的高度为1200米，“小机灵”在大桥的两端A 、B 分别测得热气球的仰角为27°、40°，求南浦大桥的AB 。
参考数据：sin27°≈0.5，cos27°≈0.9， tan27°≈0.5，sin40°≈0.6， cos40°≈0.8，tan40°≈0.8PB A人的眼睛 P · 0· A · 地面控制中心 B · A ·B · D C变式1：已知南浦大桥的主桥AB长900米，热气球由西向东飞行，一段时间后到达C处，此时“小机灵”在大桥两端A、B分别测得热气球的仰角为30°、45°，求此时热气球距桥面的高度。
（结果保留根号）CB A变式2：热气球继续向东飞行至D处，此时“小机灵”在大桥两端A、B分别测得热气球的仰角为40°、27°，已知主桥AB的长为900米，求此时热气球距桥面的高度。
参考数据：sin27°≈0.5，cos27°≈0.9，tan27°≈0.5，sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8DB A三、数学活动室思考：1、如何测量得到旗杆的高度？（图1 ）2、怎样从地面测量小山的高度呢？（图2 ）仪器：卷尺，高度为h的测角仪；要求：画出图形，测得的角用α、β等表示，测得的长度用a、b、c等表示。
锐角三角函数最新模拟押题预测40道(俯角仰角、方向角、坡度、解三角形)-中考数学重难题型押题【学生】
锐角三角函数最新模拟押题预测40道(俯角仰角、方向角、坡度、解三角形)类型一、锐角三角函数的应用：俯角仰角问题1.(2023·河南安阳·统考一模)某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊AB的高度．如图，在C处测得字坊顶端B的仰角为37°，然后沿CA方向前进6.3m到达点D处，测得字坊顶端B的仰角为45°，求字坊AB的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，2≈1.41)2.(2023·山东菏泽·一模)某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．(结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)3.(2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考一模)如图，为了测量校园内旗杆顶端到地面的高度AD，九年级数学应用实践小组了解到国旗的宽度AB=1.6m，小组同学在地面上的C处测旗杆上国旗A、B 两点的仰角，测得∠ACD=48.5°，∠BCD=45.0°，求旗杆顶端到地面高度AD．(结果精确到0.1)参考数据：(sin48.5°=0.75，cos48.5°=0.66，tan48.5°=1.13)4.(2023·黑龙江绥化·校考一模)小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小李登上斜坡CF的D处测得无人机A的仰角为31°．若小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG=3米(点E，G，C，B在同一水平线上)．(1)小王和小李两人之间的距离CD；(2)此时无人机的高度AB．(sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米)5.(2023·河南新乡·校联考一模)如图是人民英雄纪念碑，它位于北京天安门广场中心，是为了纪念在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄，碑体正面是毛泽东亲笔题词“人民英雄永垂不朽”八个鎏金大字．右图是纪念碑的示意图，小丽在A处测得碑顶D的仰角为30°，沿纪念碑方向前进37.1m后，在B处测得碑顶D的仰角为53°(点A，B，D，E，F在同一平面内，且点A，B，E，F在同一水平线上)求纪念碑的高度．(结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73，sin53°≈45；cos53°≈35，tan53°≈43)6.(2023·陕西宝鸡·统考一模)如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25米，求楼下公园的湖宽BD．(结果精确到1米，参考数据:sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，tan65°≈2.14)7.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，西安市某居民楼南向的窗户用AB表示，其高度为2.5米(A，B，D三点共线)，此地一年冬至正午时刻太阳光与地平面的最小夹角α为32.3°，一年夏至正午时刻太阳光与地平面的最大夹角β为79.2°，并且在冬至的正午时刻阳光刚好全部射入窗户，求遮阳棚中BD的高(结果精确到0.1m，参考数据：cos79.2°≈0.2，tan79.2°≈5.2，cos32.3°≈0.8，tan32.3°≈0.6)．8.(2023·江苏淮安·统考一模)如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度(结果保留整数，参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710，3≈1.7)．9.(2023·广东深圳·校考模拟预测)消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC(20米≤AC≤30米)是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动张角∠CAE90°≤∠CAE≤150°，转动点A距离地面的高度AE为4米．(1)当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE=120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为米．(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由(参考数据：3≈1.7)(提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度)10.(2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模)大雁塔是古城西安的标志性建筑(如图1)．某学习小组为测量大雁塔的高度，在梯步A处(如图2)测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7:24的斜坡AE前行100米到达平台E处，测得此时楼顶D的仰角为60°，请同学们根据学习小组提供的数据求大雁塔的高度DC(结果保留根号)．类型二：锐角三角函数的应用：方向角问题11.(2023·河南驻马店·统考一模)在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372km，此时，我方军舰沿着AC方向以30km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？(参考数据：3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)12.(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，一条高速公路在城市A的东偏北30°方向直线延伸，县城M在城市A东偏北60°方向上，测绘员从A沿高速公路前行4000米到达C，测得县城M位于C的北偏西60°方向上．现要设计一条从县城M进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点N，使修建到县城M的道路最短，试确定N点的位置并求出最短路线长？(结果取整数，3≈1.732)13.(2023·福建厦门·厦门一中校考一模)如图，一艘海轮自西向东航行，在点B处时测得海岛A位于北偏东67°，航行12海里到达C点，又测得小岛A在北偏东45°方向上．已知位于海岛A的周围8海里内有暗礁，如果海轮不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tm67°≈125)14.(2023·山西晋中·统考一模)通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积为S△ABC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD中，∵sin B=ADAB∴AD=AB⋅sin B∴S△ABC=12BC⋅AD=12BC⋅AB⋅sin B=12ac sin B同理可得，S△ABC=12bc sin A，S△ABC=12ba sin C即S△ABC=12bc sin A=12ac sin B=12ba sin C⋯⋯⋯⋯⋯①由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．又∵abc≠0∴将等式12bc sin A=12ac sin B=12ba sin C两边同除以12abc，得，sin Aa=sin Bb=sin Cc∴a sin A =bsin B=csin C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．理解应用：如图，甲船以302海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D 处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距102海里．(1)求：△ADC的面积；(2)求：乙船航行的速度(结果保留根号)．15.(2023·安徽滁州·校考一模)在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为O0，0、B(12，0)、C(12，16)，由三个观测点确定的圆形区域是“利剑-2016”中国多军种军事演习区，如图所示．(1)求圆形区域的面积．(2)某时刻海面上出现一艘可疑船A，在观测点O测得A位于北偏东45°方向上，同时在观测点B测得A位于北偏东30°方向上，求观测点B到可疑船A的距离，结果保留根号；(3)当可疑船A由(2)中的位置向正西方向航行时，是否会进入演习区？请通过计算解释．16.(2023·广西河池·校考一模)如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行206nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程BC是多少nmile(结果保留根号)？17.(2023·湖南湘潭·湘潭县云龙中学校考一模)如图，AB是湘江段江北岸滨江路一段，长度为2km，C为南岸一渡口．为了解决两岸交通困难，在渡口C处架桥，CD⊥AB垂足为点D．经测量点C在A点的东偏南45°方向，在B点的西偏南60°方向．问：桥长CD为多少km？(结果精确到0.01，参考数据：2≈1.414，3≈1.732．)18.(2023·浙江嘉兴·校考一模)小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，(点A、B、C、D在同一平面内)(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．(结果保留根号)19.(2023·新疆·统考一模)如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向，求此时货轮与A港口的距离(结果取整数)．(参考数据：sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192,2≈1.414)20.(2023·河南洛阳·统考一模)如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度(精确到个位)；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)类型三：锐角三角函数的应用：坡度坡角问题21.(2023·天津武清·校考模拟预测)如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶D点处测得条幅顶端A的仰角为36.5°，朝着条幅的方向走到台阶下的E点处，测得条幅顶端A的仰角为64°，已知台阶DE的坡度为1:2，DC=2米，则条幅AB的长度为多少米．(结果精确到0.1米，参考数据sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.9，tan64°≈2.1)22.(2023·山西忻州·统考一模)绵山是中国清明节(寒食节)的发源地，相传春秋时期晋国介子推携母隐居被焚在山上．绵山入口处有一座雄伟高大的介子推铜像，当地某校的综合与实践小组的同学们想要测出这座铜像有多高．他们先制订了测量方案，随后又进行了实地测量．如图，铜像MN建在坡比为1∶2.4的楼梯BM顶端，同学们在A处测得铜像顶点N的仰角为30°，然后沿着AC方向走了12m到达B处，此时在B处测得铜像顶点N的仰角为63.4°，其中点A，B，C，D，M，N均在同一平面内．请根据以上数据求出铜像MN的高度．(结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00)23.(2023·陕西榆林·校考一模)延安宝塔，是革命圣地延安的标志和象征，融历史文物和革命遗址为一脉，集人文景观和自然景观为一体．某数学兴趣小组在确保无安全隐患的情况下，开展了测量延安宝塔的高度的实践活动，具体过程如下：如图，CN是坡度i=3:4的斜坡，CN的长为15米，BC=32米．MN是测角仪，长为2米，从点M测得该塔顶部A处的仰角为37°，已知MN⊥BC，AB⊥BC，求该塔AB的高度．(参考数据：tan37°≈3 4 )24.(2023·陕西西安·校考三模)开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚P处，测得铁塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走35m到达D处，测得铁塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i=3:4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME(结果精确到1m，参考数据：3≈1.7)．25.(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为8米，落在广告牌上的影子CD的长为5米，求铁塔AB的高．(AB、CD均与水平面垂直，结果保留根号)26.(2023·河北衡水·校考二模)如图，有两个长度相同的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．(1)求证：△ABC≅△DEF；(2)若滑梯的长度BC=10米，DE=8米，分别求出滑梯BC与EF的坡度；(3)在(2)的条件下，由于EF太陡，在保持EF长不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．①若点E向下移动的距离为1米，求滑梯EF底端F向右移动的距离；②在移动的过程中，直接写出△DEF面积的最大值．27.(2023·江苏宿迁·统考一模)如图，梯形ABCD是某水坝的横截面示意图，其中AB=CD，坝顶BC=2m，坝高CH=5m，迎水坡AB的坡度为i=1:1．(1)求坝底AD的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽0.5m，背水坡坡角改为α=30°．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？(参考数据：π≈3.14,2≈1.41,3≈1.73；结果精确到0.1m3)28.(2023·上海崇明·统考一模)如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i=1:43的斜坡CD，如果高为3米的标尺EF竖立地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．(1)当影子全在水平地面BC上(图1)，求标尺与路灯间的距离；(2)当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上(图2)，求此时标尺与路灯间的距离为多少米？29.(2023·海南儋州·统考一模)如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．(1)求坡顶A到地面PQ的距离；(2)计算古塔BC的高度(结果精确到1米)．(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4)30.(2023·山东济南·一模)在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1∶3，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为45°，假山坡脚C与楼房水平距离BC=30米，与亭子距离CE=40米．(1)求点E距水平地面BC的高度；(2)求楼房AB的高．(结果精确到整数，参考数据2≈1.414，3≈1.732)类型四、锐角三角函数与解直角三角形31.(2023·福建漳州·统考一模)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，作BF⊥BD交AC延长线于点F．(1)求证：△OBE∽△OFB；(2)求证：OC⋅CF=EC⋅OF．32.(2023·河南安阳·统考一模)如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD是⊙O的直径，E是DA长线上一点，且∠CED=∠CAB．(1)判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若DE=35，tan B=12，求线段CE的长．33.(2023·安徽安庆·统考一模)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14,AD=12,tan∠BAD=34，求cos C的值．34.(2023·浙江舟山·校联考一模)如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上的一动点(点E不与点A，B重合)，连接DE，过点C作CF⊥DE，垂足为F．(1)求证：△ADE∽△FCD；(2)若AD=6,tan∠DCF=13，求AE的长．35.(2023·上海静安·统考一模)如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B=513，AB=13,BC=21．(1)求AC的长；(2)求∠BAC的正弦值．36.(2023·广东深圳·统考一模)(1)如图1，纸片▱ABCD中，AD=10，S▱ABCD=60，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为．(从以下选项中选取)A．正方形 B．菱形 C．矩形(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=8，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②连接DF，求sin∠ADF的值．37.(2023·广东梅州·校考模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．(1)若∠A=60°，求BC的长；(2)若sin E=35，求AD的长．38.(2023·上海崇明·统考一模)如图，D是△ABC边上的一点，CD=2AD,AE⊥BC，垂足为点E，若AE=9，sin∠CBD=34．(1)求BD的长；(2)若BD=CD，求tan∠BAE的值．39.(2023·上海浦东新·统考一模)如图，在Rt△EAC中，∠EAC=90°，∠E=45°，点B在边EC上，BD⊥AC，垂足为D，点F在BD延长线上，∠FAC=∠EAB，BF=5，tan∠AFB=34．求：(1)AD的长；(2)cot∠DCF的值．40.(2023·浙江湖州·统考一模)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H．(1)当AB<AD时，①求证：BE=CD，②猜想∠BDF的度数，并说明理由．=k时，求tan∠CDF的值(用含k的代数式表示)．(2)若ABAD。
锐角三角函数的实际应用
锐角三角函数的实际应用一、仰角、俯角问题例1. 某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)例2.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)二、坡度、坡角问题例3. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)例4. 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)三、测量问题例5、为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)例6、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于A B的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)四、方向角问题例7：某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．例8：如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？巩固练习：1、如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)2. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)3.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．5、如图，某军港有一雷达站，军舰停泊在雷达站的南偏东方向36海里处，另一艘军舰位于军舰的正西方向，与雷达站相距海里．求：（1）军舰在雷达站的什么方向？（2）两军舰的距离．（结果保留根号）6、（某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。
九年级数学锐角三角函数28.2应用举例28..2仰角、俯角与解直角三角形
[解析] B 如图，过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D.
在 Rt△ACD 中，AD＝CD·tan∠ACD＝CD·tan33°，
在 Rt△DCO 中，OD＝CD·tan∠DCO＝CD·tan21°.
∵AB＝110 米，∴AO＝55 米，∴AO＝AD－OD＝CD·tan33°－CD·tan21°
∵山顶 A 处高出水面 50 m，∴OE＝50 m，
∴OP′＝OP＝PE＋OE＝(x＋50)m.
∵∠P′AE＝60°，∴P′E＝tan60°·AE＝ 3x m，
∴OP′＝P′E－OE＝( 3x－50)m.∴x＋50＝ 3x－50，
解得 x＝50( 3＋1)，
∴OP＝PE＋OE＝50( 3＋1)＋50＝(50 3＋100)m.
C.s8i0n0α米
2021/12/10
D.t8a0n0α米
第三页，共二十五页。
图K－21－1
课时 第2
(kèshí)
仰角、俯角与解直角三角形
[解析] D 在 Rt△ABC 中，∵∠CAB＝90°，∠ABC＝α，AC＝800 米， AC
∴tanα＝AB， ∴AB＝taAnCα＝t8a0n0α米． 故选 D.
2021/12/10
第二十一页，共二十五页。
图K－21－10
第2课时(kèshí) 仰角、俯角与解直角三角形
解：如图，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E. ∵∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝90°. 在 Rt△ABC 中，∵AB＝6 km，∴AC＝3 km，BC＝3 3 km. 在 Rt△ABD 中，∵AB＝6 km，∠BAD＝30°， ∴BD＝AB·tan30°＝2 3 km. ∵∠DBE＝∠ABD－∠ABC＝60°，∠DEB＝90°， ∴BE＝ 3 km，DE＝3 km，∴CE＝BC－BE＝2 3 km. 在 Rt△CDE 中，CD＝ CE2＋DE2＝ 21 km. 答：山头 C，D 之间的距离是 21 km.
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。
xx 。
]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________． 【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二 ：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ． 在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ． 答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。
7.6用锐角三角函数解决问题(仰角、俯角问题)
B
900
A
总结：
利用锐角三角函数的知识解决实际问题的
一般过程是:
实际问题
画出平面图形 数学问题
构造直角三角形
正确选择
三角函数
实际问题
回归
解决数学问题
数学活动室
1、如何测量得到旗杆的高度？
仪器：卷尺，高度为h的测角仪； 要求：画出图形，测得的角用α、β等表示， 测 得的长度用a、b、c等表示。
数5°
20°
C 水平线
E
B 视线
根据题意，画出仰角或俯角
（1）人看气球
（2）在飞机上看地面控制中心
A· 0·
· 人的眼睛P
· 地面控制中心B
锐角三角函数的简单应用
——仰角、俯角问题
问题1:
“小机灵”在飞行高度为180米的飞机 A上看到上海浦东国际机场地面指挥中心
B的俯角为 4300°°，求此时飞机A在地面上的
2、怎样从地面测量小山的高度呢？
仪器：卷尺，高度为h的测角仪； 要求：画出图形，测得的角用α、β等表示，测 得的长度用a、b、c等表示。
H
我的收获
1、什么是仰角、俯角？
2、用锐角三角函数的方法来 解决实际问题的关键是什么？
仰角、俯角问题中的基本图形
A
Dα
E
h
C
a
B
P
A α°
C β°
G
h
a
B
D
参考数据：sin27°≈0.5，cos27°≈0.9，tan27°≈0.5， sin40 ≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8
P
B
A
变式1:
已知南浦大桥的主桥AB长900米，热气球由 西向东飞行，一段时间后到达C处，此时“小机 灵”在大桥两端A、B分别测得热气球的仰角为 30°、45°，求此时热气球距桥面的高度。 （结
2015九年级数学解直角三角形仰角俯角、方位角、坡度专项复习题(DOC)
解直角三角形应用练习卷（1）仰俯角问题一、知识回顾：1.锐角三角函数定义正弦sinA=；余弦cosA=；正切tanA=2.特殊三角函数值sin30°= sin45°= sin60°=cos30°= cos45°= cos60°=tan30°= tan45°= tan60°=二、应用练习1.如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30，旗杆底部BBE=米，旗杆台阶高1米，则求点的俯角为45．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离9旗杆顶点A离地面的高度（结果保留根号）．Array2.天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们在点A处测得天塔的最高点C的仰角为45︒，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54︒，AB＝112m．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD （tan360.73≈°，结果保留整数）．AB3.如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，从点B 测得D 点的仰角α为60°，从点A 测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高AB =36米. （Ⅰ）求乙建筑物的高DC ；（Ⅱ）求甲、乙两建筑物之间的距离BC （结果精确到0.01米）.（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）4.如图，甲楼AB 的高度为123m ，自甲楼楼顶A 处，测得乙楼顶端C 处的仰角为45︒，测得乙楼底部D 处的俯角为30︒，求乙楼CD 的高度（结果精确到0.1m1.73）．5.如图，从山顶A 处看到地面C 点的俯角为60°，看到地面D 点的俯角为45°，测得3150=CD 米，求山高AB .（精确到0.1米，732.13≈）解直角三角形的应用练习（二） 姓名一、小试身手1．sin 45︒= ， 60cos = tan 30°=60sin = 2sin 30°= ，45cos 45sin += , 60tan = 二、挑战中考1．在一次数学活动中，兴趣小组的同学为了测量一棵银杏树AB 的高，他们来到与银杏树在同一平地且相距8米的建筑物CD 上的C 处观察，如图，测得树顶部A 的仰角为30°，树底部B 的俯角为60°，求银杏树AB 的高．（精确到0.1米）（参考数据：73.13,41.12≈≈）.2. 天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们在点A 处测得天塔的最高点C 的仰角为45︒，再往天塔方向前进至点B 处测得最高点C 的仰角为54︒，AB ＝112m ．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD （tan 360.73≈°，结果保留整数）．ACBD3.如图，一艘海轮位于灯塔C 的东北方向，距离灯塔240海里的A 处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东30°方向上的B 处. （Ⅰ）求灯塔C 到航线AB 的距离；（Ⅱ）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A 处到B 处所用的时间（结果精确到0.1小时）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）4．如图所示，A 、B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：1.414）5．如图，在小山的东侧A 村有一热气球，由于受西风影响，以每分钟35米的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40分钟时到达C 处，此时气球上的人发现气球与山顶P 点及小山西侧的B 村在一条直线上，同时测得B 村的俯角为30°.求A 村与B 村的距离（精确到0.1米，参考数据： 2 1.414）.75° 30°A BPC30°ABF E P45°解直角三角形的应用练习（三） 姓名一、小试身手1．sin 45︒= ， 60cos = tan 30°=60sin = 2sin 30°= ，45cos 45sin += , 60tan = 二、挑战中考1．在一次数学活动中，兴趣小组的同学为了测量一棵银杏树AB 的高，他们来到与银杏树在同一平地且相距12米的建筑物CD 上的C 处观察，如图，测得树顶部A 的仰角为30°，树底部B 的俯角为60°，求银杏树AB 的高．（精确到0.1米）（参考数据：73.13,41.12≈≈）.2. 2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A 、B 两个探测点探测到C 处有生命迹象. 已知A 、B 两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30︒和45︒，试确定生命所在点C 的深度.（精确到0.1米，参1.41≈1.73≈）ACBD3.钓鱼岛自古以来就是中国领土。
仰俯角问题
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，b =2 3 ，c =4，则a = 2 ∠B= 60 ° ，∠A= 30° 。 A c
，
B a C
b
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线
视线
仰角 水平线 俯角
视线
应用新知
P 450米 α β
O
B
A
AB OA OB (450 3 450)(m) 答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
展你风采
任你驰骋
如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处， 且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机 的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
3
DE
B
30°
E D
10 3 30= 1.
A E A D
30 45° ° 2 1 30
=1.2+ 7 3 （ m ） 30 10 3 （m） ∴BC=BE+CE= 2 C 答：电线杆AB高1.2+ 7 3 答：这两座建筑物高分别为 30米 米和 3010 3 米
C
展你风采
任你驰骋
已知：如图，甲、乙两楼相距78米，从乙楼底C望甲楼顶A 的仰角为45º ，从甲楼顶A望乙楼顶D的俯角为30º ，则甲楼 和乙楼高为？ A 30º D
知识回顾
一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中,∠C=90° A的对边 a sin A 斜边 c A的邻边 b cos A 斜边 c A的对边 a tan A A的邻边 b 直角三角形三边关系：
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1. (2008 安徽省芜湖市) 在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ,小丽同学在点A 处,测得条幅顶端D 的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后, 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°,已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D
点距离地面的高度.(计算结果精确到0.1米, 参考数据.) 1.732≈≈
2. (2008 湖北省荆门市) 如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米）（已知sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°≈0.18， sin15°≈0.26， cos15°≈0.97， tan15°≈0.27．）
3. (2008 四川省成都市) 如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实
践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山上，测量湖中两个小岛间的距离．从AB C D ，山顶处测得湖中小岛的俯角为，测得湖中小岛的俯角为．已知小山的A C 60 D 45
AB 高为180米，求小岛间的距离．（计算过程和结果均不取近似值）C D ，A
B C D
4. (2008 浙江省) 如图，小明用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小明30
离树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）
5. (2009 四川省广安市) 在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的测量方案及数据如下：（1）在大树前的平地上选择一点A ，测得由点A 看大树顶端C 的仰角为30°；（2）在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；（3）量出A 、B 间的距离为4米．请你根据以上数据求出大树CD 的高度．（精确到0.1，参考数据：≈1.41 ≈1.73）23
6. (2009 安徽省芜湖市) 如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方A 30°的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在点处测得俯角为B 正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子点处距离海面的深度？（精确到米，
60°C
）
1.414
1.732
2.23630°60°B A D C
海面
7. (2010 云南省昆明市) 热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？
≈≈）
（结果精确到0.1m 1.732
8. (2010 重庆市綦江县) 据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在l
到公路的距离为0.1千米的P处．这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此车
1
从A处行驶到B处所用的时间为3秒（注：3秒=小时），并测得∠APO=59°，
1200
∠BPO=45°.试计算AB并判断此车是否超速？（精确到0.001）．
（参考数据：sin59°≈0.8572，cos59°≈0.5150，tan59°≈1.6643）．
A B
9. (2010 湖北省襄樊市) 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的俯
30°C60°A
角为，看这栋大楼底部的俯角为，热气球的高度为240米，求这栋大楼的高度.
A
B
C
10. (2009 安徽省芜湖市) 如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方A 30°的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在点处测得俯角为B 正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子点处距离海面的深度？（精确到米，60°C
）1.414 1.732 2.23612. (2008 湖北省荆门市) 如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米）（已知sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°≈0.18， sin15°≈0.26， cos15°≈0.97， tan15°
≈0.27．）2.已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．3.建筑物BC 上有一旗杆AB ，由距BC40m 的D 处观察旗杆顶部A 的仰角为60°，观察底部B 的仰角为45°
，求旗杆的高度
.1、张华同学在学校某建筑物的点处测得旗杆顶部点的仰角为，C A 30 30°60°B A
D C
海面
旗杆底部点的俯角为．若旗杆底部点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶B 45 B 9BE 高1米，则旗杆顶点离地面的高度为多少米？（结果保留根号）．A 2.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案精确到0.1米)．3.某学校一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°（如图②）.若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．（结果保留根号）．
4.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，求该高楼的高度.（精确到0.1
米）
②①。