2019届高三第一次模拟考试卷 文科数学(一)

12019届高三第一次模拟考试卷文 科 数 学（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．[2018·陕西四校联考]已知复数312iz =-（i 是虚数单位），则z 的实部为（ ）A ．35-B ．35C ．15-D ．152．[2018·广西摸底]已知集合{}24A x x x =≤，{}340B x x =->，则A B =（ ）A ．(],0-∞B ．40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(),0-∞3．[2018·资阳一诊]空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市10月1日—20日AQI 指数变化趋势下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI指数值的中位数略高于100 B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4．[2018·长春质监]已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a =（ ） A ．3-B ．5-C ．3D ．55．[2018·曲靖一中]曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为（ ） A B ．2C ．4D ．86．[2018·衡水中学]如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2A E E O =，则ED =A ．1233AD AB -B ．2133AD AB +C ．2133AD AB - D ．1233AD AB +7．[2018·遵义航天中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．438．[2018·黑龙江模拟]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ）A ．83B ．52C ．3D ．29．[2018·曲靖统测]若关于x 的不等式210x kx +->在[]1,2区间上有解，则k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．[2018·广安诊断]在区间[]1,1-上随机取一个数k ，则直线()2y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（） A ．29BC．13D 11．[2018·赣州模拟]在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A B ．2CD 12．[2018·陈经纶中学]已知矩形ABCD ，2AB =，BC x =，将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ） A ．当1x =时，存在某个位置，使得AB CD ⊥B ．当x =AB CD ⊥C ．当4x =时，存在某个位置，使得AB CD ⊥ D ．0x ∀>时，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号13．[2018·三湘名校]已知：x，y满足约束条件1030210x yx yy--≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y=-的最小值为________．14．[2018·拉萨中学]若数列{}n a的前n项和2133n nS a=+，则{}n a的通项公式____________．15．[2018·山东师大附中]已知sinπ164x⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin26πx⎛⎫+=⎪⎝⎭___________．16．[2018·湖北七校联盟]已知()12sin,64πf x x xωω⎛⎫⎛⎫=+>∈⎪⎪⎝⎭⎝⎭R，若()f x的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间()π,2π，则ω的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2018·衡水中学]如图，在ABC△中，P是BC边上的一点，60APC∠=︒，AB=4AP PB+=．（1）求BP的长；（2）若AC=，求cos ACP∠的值．18．（12分）[2018·南昌模拟]中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军．在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员．为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员．2017年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有10000名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收50名学员．培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动”）并记录成绩．10月某次活动中海航班学员成绩统计如图所示：（1）根据图表，试估算学员在活动中取得成绩的中位数（精确到0.1）；（2）根据成绩从[)50,60、[)90,100两组学员中任意选出两人为一组，若选出成绩分差大于10，则称该组为“帮扶组”，试求选出两人为“帮扶组”的概率．19．（12分）[2018·陕西四校联]如图，直三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都是2，D，E分别是AC，1CC的中点．（1）求证：AE⊥平面1A BD；（2）求三棱锥11B A BD-的体积．20．（12分）[2018·南昌期末]已知椭圆C中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过⎛⎝⎭，直线l与椭圆交于A，B两点（A，B两点不是左右顶点），若直线l的斜率为12时，弦AB的中点D在直线12y x=-上．（1）求椭圆C的方程；（2）若以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21．（12分）[2018·南城一中]已知函数()32f x x ax bx c=+++（a，b，c∈R）．（1）若函数()f x在1x=-和2x=处取得极值，求a，b的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x∈-时，()2f x c>恒成立，求c的取值范围．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·齐鲁名校]在直角坐标系xoy中，已知曲线1C、2C的参数方程分别为()12cosn:ixCyθθθ⎧⎪⎨⎪⎩=为参数，()21cos:sinx tC ty tθθ=+=⎧⎨⎩为参数．（1）求曲线1C、2C的普通方程；（2）已知点()1,0P，若曲线1C与曲线2C交于A、B两点，求PA PB+的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2018·陕西四校联考]已知函数()2f x x a x=-++．（1）当1a=时，求不等式()3f x≤的解集；（2）x∃∈R，()03f x≤，求a的取值范围．22019届高三第一次模拟考试卷文科数学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】∵()()()312i 336i 12i 12i 12i 55z +===+--+，∴z 的实部为35，故应选B ． 2．【答案】C【解析】∵集合{}{}2404A x x x x x =≤=≤≤，{}43403B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，∴444,433AB x x ⎧⎫⎛⎤=<≤=⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，故选C ．3．【答案】C【解析】对A ，因为第10天与第11天AQI 指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确； 对B ，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确； 对C ，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误； 对D ，由图知，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上， 所以正确，故选C ． 4．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，()42352S a a ==+，95209S a ==，5209a =，2355252a a a d +==-，联立两式得到718d =，75+23a a d ==，故答案为C ． 5．【答案】B【解析】由()ln 2y f x a x ==-，得()af x x'=，∴()1f a '=，又()12f =-，∴曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线方程为()21y a x +=-， 令0x =，得2y a =--；令0y =，得21x a=+． ∴切线与坐标轴围成的三角形面积为()()12122121422S a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a =，故选B ． 6．【答案】C【解析】()11213333ED EA AD AC AD AD AB AD AD AB =+=-+=-++=-．故选C ．7．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积112122323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．8．【答案】A【解析】设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足为N ，3FP FQ =，23NQ MF∴=，又4MF p ==，83NQ ∴=，NQ QF =，83QF ∴=．故选A ．9．【答案】D【解析】210x kx +->，得1k x x >-，令()1f x x x=-，则()f x 在[]1,2递减， 当2x =时，()f x 取得最小值为32-，所以32k >-．故选D ．10．【答案】D【解析】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆心到直线()2y k x =-()2y k x =-与圆221x y +=相交，1<，解得k <<，∴在区间[]1,1-上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=有公共点的概率为()11P ⎛- ⎝⎭==--，故选D ． 11．【答案】C【解析】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形12F PF 的中位线．因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥．又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =，所以12PF a =，24PF a =． 在12F PF △中，21PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=， 代入得()()()222242a a c +=，所以225c a=，即e ．故选C ．12．【答案】C 【解析】∵BC CD ⊥，∴若存在某个位置，使得直线AB CD ⊥，则CD ⊥平面ABC ，则CD AC ⊥， 在ACD Rt △中，2CD =，AD x =，则由直角边小于斜边可知，AD CD >，即2x >，结合选项可知只有选项C 中4x =时，存在某个位置，使得AB CD ⊥，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】32【解析】画出约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的可行域，如图，由10210x y y --=+≥⎧⎨⎩，可得1212x y ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩， 将2z x y =-变形为2y x z =-，平移直线2y x z =-，由图可知当直2y x z =-经过点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线在y 轴上的截距最大，则2z x y =-有最小值，最小值为1132222z =⨯+=，故答案为32．14．【答案】()12n n a -=-【解析】由题意，当1n =时，1112133a S a ==+，解得11a =，当2n ≥时，111212122333333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即12n n a a -=-，所以12n n aa -=-，所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q =-的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为()12n n a -=-．15．【答案】78【解析】由三角函数诱导公式：1sin cos 63ππ4x x ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22π7sin 2cos 22cos 1638ππ3x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 16．【答案】12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()12sin ,64πf x x x ωω⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭R 的对称轴方程为π,62ππx k k ω+=+∈Z ， 即π,π3k x k ωω=+∈Z ． ()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()π,2π，则12ππ2ω⨯>，1ω<，故114ω<<． 又由()ππππ31π2π3k k ωωωω+≤+⎧⎪+⎨≥⎪⎪⎪⎩，解得13436k k ω++≤≤，则1233ω≤≤．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2BP =；（2）3cos 5ACP ∠=．【解析】（1）由已知，得120APB ∠=︒，又AB =4AP BP +=， 在ABP △中，由余弦定理，得(()()222424cos120BP BP BP BP =+--⨯⨯-︒，整理得2440BP BP -+=．解得2BP =． （2）由（1）知，2AP =，所以在ACP △中，由正弦定理．得sin60sin AC APACP =︒∠，解得4sin 25ACP ∠==．因为2<，所以AP AC <，从而ACP APC ∠<∠，即ACP ∠是锐角，所以3cos 5ACP ∠．18．【答案】（1）中位数：76.5；（2）815P =． 【解析】（1）由频率分布直方图可知：成绩在[)50,60频率为0.04，成绩在[)60,70频率为0.20， 成绩在[)70,80频率为0.40，成绩在[)80,90频率为0.28，成绩在[)90,100频率为0.08， 可知中位数落在[)70,80组中，设其为x ，则()0.04+0.20+700.040.5x -⨯=，得76.5x =． （2）海航班共50名学员，成绩在[)50,60组内有500.042⨯=人，设为1A ，2A ， 成绩在[)90,100组内有500.084⨯=人，设为1E ，2E ，3E ，4E ，选两人有()12,A A 、()11,A E 、()12,A E 、()13,A E 、()14,A E 、()21,A E 、()22,A E 、()23,A E 、()24,A E 、()12,E E 、()13,E E 、()14,E E 、()23,E E 、()24,E E 、()34,E E 共15种；而“帮扶组”有()11,A E 、()12,A E 、()13,A E 、()14,A E 、()21,A E 、()22,A E 、()23,A E 、()24,A E 共8种，故选出两人为帮扶组的概率815P =． 19．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵直三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AA C C ⊥平面ABC ， ∴BD ⊥平面11AA C C ，∴BD AE ⊥．又∵在正方形11AA C C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，∴1A D AE ⊥． 又1A DBD D =，∴AE ⊥平面1A BD ．（2）连结1AB 交1A B 于O ，∵O 为1AB 的中点，∴点1B 到平面1A BD 的距离等于点A 到平面1A BD 的距离．∴1111111121332B A BD A A BD B AA D AA D V V V S BD ---===⨯⨯=⨯⨯⨯．20．【答案】（1）椭圆C 的方程：2214x y +=；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，由题意直线l 的斜率为12，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上，得121212y y x x -=-，121212y y x x +=-+， 再根据22112222222211x y a b x y ab ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，作差变形得2221222212y y b x x a -=--，所以224a b =，又因为椭圆过⎛ ⎝⎭得到2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由题意可得椭圆右顶点()22,0A ，220AA BA ⊥=，①当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为0x x =，此时要使以A ，B 两点为直径的圆过椭圆的02x =-解得065x =或02x =（舍）此时直线l 为65x =． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，则有()121212420x x x x y y +-++=， 化简得()()()2212121240k x x kb x x b ++-+++= ①联立直线和椭圆方程2214y kx b x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，得()222418440k x kbx b +++-=， 22140Δk b =+->，()122841kbx x k -+=+，21224441b x x k -=+ ②把②代入①得()()2222244812404141b kbk kb b k k --++-++=++，即()222222222244448164164k b k b k b kb k b k b -+--+=-+++22121650k kb b ++=，得12k b =-或56k b =-此时直线l 过6,05⎛⎫⎪⎝⎭或()2,0（舍）综上所述直线l 过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）32a =-，6b =-；（2）c 的取值范围为(),10-∞-．【解析】（1）由题可得()232f x x ax b =++'．∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，∴()()132021240f a b f a b -=-+==+'⎧='+⎪⎨⎪⎩，解得326a b =-=-⎧⎪⎨⎪⎩，经验证知32a =-，6b =-满足条件．∴32a =-，6b =-．（2）由（1）知()32362f x x x x c =--+，∴()2336f x x x '=--．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表知当[]2,3x ∈-时，()f x 的最小值为10c -，∵()2f x c >在[]2,3-上恒成立，∴102c c ->，解得10c <-． ∴实数c 的取值范围为(),10-∞-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）见解析；（2）[]3,4．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为22143x y +=，当π,π2k k θ≠+∈Z 时，曲线2C 的普通方程为tan tan y x θθ=-，当π,π2k k θ=+∈Z 时，曲线2C 的普通方程为1x =（或sin cos sin 0x y θθθ--=）． （2）将()21cos : sin x t C t y t θθ=+=⎧⎨⎩为参数代入221:143x y C +=，化简整理得：()22sin 36cos 90t t θθ++-=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+， 则()2236cos 36sin 31440Δθθ=++=>恒成立， 1212212sin 3PA PB t t t t θ∴+=+=-==+，[]2sin 0,1θ∈，[]3,4PA PB ∴+∈．23．【答案】（1）{}|2 1 x x -≤≤；（2）[]5,1-． 【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，所以21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x =， 综上所述，不等式的解集为{}|2 1 x x -≤≤．（2）因为()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+， 因为0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，所以只需23a +≤， 解得51a -≤≤，所以a 的取值范围为[]5,1-．。