最新人教版九年级全一册数学同步培优课件第24章 第6课时 点和圆的位置关系
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人教版九年级上册数学《点和圆的位置关系》圆培优说课教学复习课件
C
A
24.2.1 点和圆的位置关系
要点归纳
在同一个平面内,点与圆有三种位置关系:
点在圆外、点在圆上和点在圆内.
点P与☉O的位置关系如图所示.
24.2.1 点和圆的位置关系
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在
点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
根据d与r的数量关系能得到对应的位置关系吗？
24.2.1 点和圆的位置关系
P
d
P d
d
r
r
点P在⊙O内
P
r
d < r
点P在⊙O上
d = r
点P在⊙O外
d > r
数形结合： 位置关系
数量关系
符号“ ”读作“等价于”，
它表示从符号“ ”的左
端可以推出右端，从右
端也可以推出左端.
24.2.1 点和圆的位置关系
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，
A.大圆内
B.小圆内
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
o
2.如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
(1) 以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
解：AD=4= r，故D点在⊙A上，
A
D
B
C
AB=3< r， 故B点在⊙A内，
AC= 32 + 4²=5> r，故C点在⊙A外.
解得r1＝2 2 ，r2＝－2 2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 2 .
还有其他的思路吗？
24.2.1 点和圆的位置关系
获取新知
知识点三：反证法
人教版九年级数学上册 第24章 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 课件
（1）以C 心作 ,当半径 多少 ，AB与⊙C相切
？
（2）以C 心，分 以2cm和4cm的 半径作两个
， 两个 与AB分 有怎 的位置关系？
解：（1）解过点C作AB的垂线段CD
AD
∵AC=4cm， AB=8cm，
∴cosA=AC/AB=1/2 ∴∠A=60°
C
温馨提示：在实际应用中，常采用第二种
方法判定。
O
O
r ┐d
l
d
┐
l
O
d
┐
l
直线与圆的位置关系判定方法：
直线和圆的位置关系 相交
公共点个数
2
圆心到直线距离
d 与半径 r 关系
d<r
公共点名称
交点
直线名称
割线
相切 1
d=r 切点 切线
相离 0
d>r 无 无
例1:在Rt△ABC中∠C= 90°，AB=8cm，AC=4cm，
B
解∴CD=AC·sinA=4sin60 °=2√3（cm）
因此，当半径的长为2√3cm ， AB与 ⊙C相切。
（2）由（1）知，圆心C到AB的距离d= 2√3cm，
∴当r=2cm时，d＞r， ⊙C与AB相离；
当r=4cm时，d＜r， ⊙C与AB相交。
思考于例1（1），有其他解 法？
在RT△ABC中，由勾股定理得BC=4√3， 由三角形面 公式得AB·CD=AC·BC 8×CD=4×4 √3 CD=2 √3
⑵当⊙A与y 相切 ，a的取 范 是____________
⑶当⊙A与y 相交 ，a的取 范 是____________
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， O是AB上的一点，OA=m， ⊙o的半径 r，当r与m 足怎 的关系 ，
人教版数学九年级上册第二十四章《24.点和圆的位置关系》课件
三角形外接圆的作法： 1.作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； 2.以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，
视察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
锐角三角形的外心位于三角形内；
课堂练习
1.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关 系只能是( D )
A.点在圆内 C.点在圆心上
B.点在圆上 D.点在圆上或圆内
2.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠ACB的度数是__7_0_°__．
解：∵∠OAB=20°，OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=20°， ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=140°， ∴∠ACB=12∠AOB=70°．
A
B
C
PQ R M
2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与 本来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( D )
A．第①块 C．第③块
B．第④块 D．第②块
3.如图，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦.
求证：AB与CD不能互相平分.
合作探究
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以 作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在 线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直 平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l， l2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一 条直线上的三点不能作圆．
人教版初中九年级上册数学精品课件 第二十四章 圆 点和圆、直线和圆的位置关系 点和圆的位置关系
拓广探索题
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定 其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；
(2)连接AB、BC；
B
C
A
(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；
(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
课堂小结
点与圆的 位置关系
作 圆
三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立．
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
．
巩固练习
6. 利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个 锐角不大于45°”时，应先假设（ D ）
A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一锐角都大于45°
巩固练习
探究新知
点和圆的位置关系
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内
d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外
d>r
数形结合： 位置关系
数量关系
探究新知
素养考点 1 判定点和圆的位置关系
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
⊙A的位置关系如何？
A
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
探究新知 (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90° ，
∴AD为直径. 又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝ 3 3
因此圆的半径为3．点A的坐标( 3 3， 0) ∴△AOB外接圆的面积是9π. 解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外 接圆的直径(或半径)长度．
最新人教版九年级全一册数学第24章圆第6课时 点和圆的位置关系
心作圆，使 A，B，C 三点其中有两点在圆内，一点在圆外，
则⊙D 的半径 r 的取值范围为( C )
A．3<r<4
B．3<r<5
C．4<r<5
D．4≤r≤5
九年级全一册（RJ） 数学
3．如图，△ABC 外接圆的圆心坐标是( B ) A．(2,5) B．(5,2) C．(2,6) D．(6,2)
九年级全一册（RJ） 数学
九年级全一册（RJ） 数学
第二十四章 圆
第6课时 点和圆的位置关系
九年级全一册（RJ） 数学
1．已知⊙O 的半径为 5 cm，OM＝4 cm，则点 M 与⊙O 的位
置关系是( B )
A．点 M 在⊙O 上
B．点 M 在⊙O 内
C．点 M 在⊙O 外
D．不能确定
2．有一个矩形 ABCD 的长为 4 cm，宽为 3 cm，以 D 点为圆
谢谢观看
4．下列命题中正确的有( B ) ①每个三角形都只有一个外心；
②三角形的外心到三角形各边的距离相等；
③四边形不一定有外接圆；
④三确定一个圆．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
九年级全一册（RJ） 数学
5．已知点 P 在半径为 5 的⊙O 外，如果设 OP＝x，那么 x 的 取值范围是 x>5 . 6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则它的外 接圆的半径为 6.5 .
新人教版九年级上册数学24.2.1点和圆的位置关系优质课件
直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.
第二十九页，共三十三页。
总结
(1)反证法适用情形：①命题的结论的表述为“肯定”或“否定”， 且用直接法证较困难；②证明一个定理的逆命题，用直接法证
较困难．使用反证法的前提条件是“结论”的反面可列举出来． (2)反证法使用要经历：反设→归谬→结论这三步，反设是推理归
导引：要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆 心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求 出相关点到圆心的距离．
第七页，共三十三页。
解：如图，连接OR，OP，OQ. ∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l，
知1－练
OP PD2 OD2 42 32 5(cm) r, ∴点P在⊙O上；
求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心与三 角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径变为直径，将 求半径转化为直角三角形中求边的长．
第二十四页，共三十三页。
1 下列说法中，正确的是( D) A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．三角形有且只有一个外接圆
第二十六页，共三十三页。
总结
知4－讲
上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法 与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结 论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的 三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定 所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
D，B，C可以分别确定一个圆．故过这4个点中的任意3
个点，能画圆的个数是3.故选C.
第十五页，共三十三页。
总结
这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.
第二十九页，共三十三页。
总结
(1)反证法适用情形：①命题的结论的表述为“肯定”或“否定”， 且用直接法证较困难；②证明一个定理的逆命题，用直接法证
较困难．使用反证法的前提条件是“结论”的反面可列举出来． (2)反证法使用要经历：反设→归谬→结论这三步，反设是推理归
导引：要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆 心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求 出相关点到圆心的距离．
第七页，共三十三页。
解：如图，连接OR，OP，OQ. ∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l，
知1－练
OP PD2 OD2 42 32 5(cm) r, ∴点P在⊙O上；
求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心与三 角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径变为直径，将 求半径转化为直角三角形中求边的长．
第二十四页，共三十三页。
1 下列说法中，正确的是( D) A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．三角形有且只有一个外接圆
第二十六页，共三十三页。
总结
知4－讲
上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法 与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结 论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的 三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定 所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
D，B，C可以分别确定一个圆．故过这4个点中的任意3
个点，能画圆的个数是3.故选C.
第十五页，共三十三页。
总结
九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系课件 新人教版
第二十四章 圆
24.2.1 点和圆的位置关系
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量关系，探求过点画圆的过程，掌握 过不在同一直线上的三点画圆的方法．
课堂导入 如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆构成的，你知道击中靶上不同位 置的成绩是如何计算的吗？
∵CD 为斜边上的中线，
∴CD＝12AB＝525(cm)．
∵AC＝10
55 cm> 2
cm，∴点
A
在⊙C
外；
∵BC＝5
55 cm< 2
cm，∴点 B 在⊙C 内；
∵CD＝5
5 2
cm，∴点
D
在⊙C
上．
类型之二 反证法 用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
已知：△ABC. 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°.
图 24-2-3
5．已知 A，B，C 三点，根据下列条件，说明 A，B，C 三点能否确定一个圆．如 果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由．
(1)AB＝2 3＋1，BC＝4 3，AC＝2 3－1； (2)AB＝AC＝10，BC＝12.
解：(1)∵2 3＋1＋2 3－1＝4 3， ∴AB＋AC＝BC， ∴A，B，C 三点共线， ∴不能确定一个圆． (2)∵10＋10＝20>12， ∴A，B，C 三点不共线，
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知识管理
1．点和圆的位置关系 规 律：设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有： (1)点在圆外⇔ d>r ； (2)点在圆上⇔ d＝r ； (3)点在圆内⇔ d<r . 总 结：这个关系式既是点和圆的位置关系的一种判别方法，又是点和圆 的位置关系的一个性质．
24.2.1 点和圆的位置关系
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量关系，探求过点画圆的过程，掌握 过不在同一直线上的三点画圆的方法．
课堂导入 如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆构成的，你知道击中靶上不同位 置的成绩是如何计算的吗？
∵CD 为斜边上的中线，
∴CD＝12AB＝525(cm)．
∵AC＝10
55 cm> 2
cm，∴点
A
在⊙C
外；
∵BC＝5
55 cm< 2
cm，∴点 B 在⊙C 内；
∵CD＝5
5 2
cm，∴点
D
在⊙C
上．
类型之二 反证法 用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
已知：△ABC. 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°.
图 24-2-3
5．已知 A，B，C 三点，根据下列条件，说明 A，B，C 三点能否确定一个圆．如 果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由．
(1)AB＝2 3＋1，BC＝4 3，AC＝2 3－1； (2)AB＝AC＝10，BC＝12.
解：(1)∵2 3＋1＋2 3－1＝4 3， ∴AB＋AC＝BC， ∴A，B，C 三点共线， ∴不能确定一个圆． (2)∵10＋10＝20>12， ∴A，B，C 三点不共线，
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知识管理
1．点和圆的位置关系 规 律：设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有： (1)点在圆外⇔ d>r ； (2)点在圆上⇔ d＝r ； (3)点在圆内⇔ d<r . 总 结：这个关系式既是点和圆的位置关系的一种判别方法，又是点和圆 的位置关系的一个性质．
人教版九年级上册数学同步教学课件-第24章-24.2.1 点和圆的位置关系
数学课堂教学课件设计
新课讲解
问题2： 设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点
和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
p
d
d
Pd
r
r
p
r
点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外
d＜ r d =r d＞r
数学课堂教学课件设计
新课讲解
● ●O ●● O ●O
OA ● O
能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这 点与点A的距离.
数学课堂教学课件设计
回顾线段垂直平分线的尺规作图的方法 1．分别以点A和B为圆心，以 大于二分之一AB的长为半径 作弧，两弧相交于点M和N；
2.作直线MN.
A
新课讲解
M B
N
数学课堂教学课件设计
合作探究
3.直角三角形的两条直角边分别是6、8，则这个直角三角形外 接圆的半径是 5 .
数学课堂教学课件设计
随堂即练
4.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于 或等于3cm的点组成的图形.
1
2cm · O
数学课堂教学课件设计
拓展提升
如图，是一块圆形镜片破碎后的部分残片，试找出它的圆心. B
A C
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的 位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
数学课堂教学课件设计
学习目标
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点） 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. （重点） 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 4.了解反证法的证明思想.
数学课堂教学课件设计
新课讲解
问题2： 设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点
和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
p
d
d
Pd
r
r
p
r
点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外
d＜ r d =r d＞r
数学课堂教学课件设计
新课讲解
● ●O ●● O ●O
OA ● O
能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这 点与点A的距离.
数学课堂教学课件设计
回顾线段垂直平分线的尺规作图的方法 1．分别以点A和B为圆心，以 大于二分之一AB的长为半径 作弧，两弧相交于点M和N；
2.作直线MN.
A
新课讲解
M B
N
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合作探究
3.直角三角形的两条直角边分别是6、8，则这个直角三角形外 接圆的半径是 5 .
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随堂即练
4.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于 或等于3cm的点组成的图形.
1
2cm · O
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拓展提升
如图，是一块圆形镜片破碎后的部分残片，试找出它的圆心. B
A C
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的 位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
数学课堂教学课件设计
学习目标
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点） 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. （重点） 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 4.了解反证法的证明思想.
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人教版九年级上册24点和圆的位置关系课件
根据：圆上所有点到圆心的距离都等于半径 .
A
O·
C
r B
设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
也就是说，圆的_______确定圆的大小，圆的_______确定圆的位置；
又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝
如图， ▲ABC中AB=AC，∠ABC=70°，点O是▲ABC的外心，则∠BOC的度数为 ( )
钝角三角形的外心位于三角形外.
点P在⊙O内 设⊙O的半径为r，说出来点A，点B，点C到圆心O的距离与半径的关系：
13 cm 或 5 cm
D.
点P在⊙O内
d＜r
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ).
∴△AOB外接圆的面积是9π.
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
∠DOA＝90°，
圆心是确定的一个点，半径也是确定 的
点P在⊙O的外左端可以得到d右＞端r ,从P
dP O
r
Od
r
P
dO
右端也可以得到左端．
r
点和圆的位置关系
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内
d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外
d>r
数形结合： 位置关系
数量关系
点与圆的位置关系
思考：平面上的一个 圆把平面上的点分成 哪几部分？
圆外的点
圆上的点
圆内的点
1.点与圆的位置关系
点P在⊙O内
d＜r
dP O
r
点P在⊙O上
d=r
Od
r
P
点P在⊙O外
d＞r P d O
r
2、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.
A
O·
C
r B
设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
也就是说，圆的_______确定圆的大小，圆的_______确定圆的位置；
又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝
如图， ▲ABC中AB=AC，∠ABC=70°，点O是▲ABC的外心，则∠BOC的度数为 ( )
钝角三角形的外心位于三角形外.
点P在⊙O内 设⊙O的半径为r，说出来点A，点B，点C到圆心O的距离与半径的关系：
13 cm 或 5 cm
D.
点P在⊙O内
d＜r
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ).
∴△AOB外接圆的面积是9π.
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
∠DOA＝90°，
圆心是确定的一个点，半径也是确定 的
点P在⊙O的外左端可以得到d右＞端r ,从P
dP O
r
Od
r
P
dO
右端也可以得到左端．
r
点和圆的位置关系
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内
d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外
d>r
数形结合： 位置关系
数量关系
点与圆的位置关系
思考：平面上的一个 圆把平面上的点分成 哪几部分？
圆外的点
圆上的点
圆内的点
1.点与圆的位置关系
点P在⊙O内
d＜r
dP O
r
点P在⊙O上
d=r
Od
r
P
点P在⊙O外
d＞r P d O
r
2、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.
九年级数学上册第24章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系习题课件(新版)新人教版
C．点A在⊙O外
D．点A不在⊙O上
分析
解方程x2-6x+8=0, 得 x1=2, x2=4
R=2, d=4 R=4, d=2
点A在⊙O外 点A在⊙O内
锦囊妙计
理解点和圆的位置关系的“两点”技巧
(1)
心的距离(d)和半
径(r)的大小关系.
(2)数形结合：解决点与圆的位置关系的捷 径是利用数形结
合的方法, 借助图形进行判断.
题型三 有关三角形外接圆的计算和证明
例题3 如图24- 2-10, ⊙O是△ABC的外接圆, ∠B=60°, OP⊥AC于点
P, OP= 2 , 则⊙������ O的半径为( A ).
A．4 ������ B．6
������
C．8
D．12
分析 ∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为弧AC , 且∠B=60°, ∴∠AOC=2∠B=120°. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=30°. ∵OP⊥AC, ∴∠APO=90°. ∵在Rt△AOP中, OP=2 ���,���∠OAP=30°, ∴OA=2OP=4 ���,���即⊙O的半径为4 .������
锦囊妙计
在使用反证法证明命题时, 一定要遵循反 证法的证明步骤, 假 设原结论不成立, 就是假设 原结论的反面成立, 当原结论的反面不 止一种 情形时, 要考虑结论的反面的所有情况, 并一一 否定, 从而 得出原命题成立. “一定”“可能”“全都是”的否定分别 为“不 一定” “不可能”“不全是”；特别注 意“一定”的否定不是 “一定不”.
锦囊妙计 在圆中证明线段相等的常用方法
(1)利用弧、弦、圆心角、圆周角的关系证 明；(2)利用垂径定 理证明；(3)利用等角对等边 证明；(4)利用直角三角形斜边上的中 线的性质 证明.
人教版数学九年级上册第二十四章《24.2.2 直线和圆的位置关系》课件(共31张PPT)
人教版数学九年级上册
第二十四章 圆的有关性质
24.2.2 直线和圆的位置关系
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
导入新知
A
A
P
O.
P
O
B
B
现在我们学会了过圆上一点作已知圆的切线(如图所示)，如果 点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的 切线，可以作几条？
合作探究
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． A
切线长与切线的区别在哪里？
O P
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和 切点，可以度量．
PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗？
A
PB是☉O的切线吗？
A
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点， O. M
P
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB，
B
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，
∴OP垂直平分AB.
若延长PO交⊙O于点C，连接CA,CB，你又能得出什么新的结论？并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
3.如图，PA, PB, DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上. (1) 若PA=10，求△PDE的周长； (2) 若∠P=50°，求∠DOE的度数.
解：(1) 因为PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
所以PA=PB，DA=DC， EC=EB，
所以PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20， 所以△PDE的周长为20.
第二十四章 圆的有关性质
24.2.2 直线和圆的位置关系
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
导入新知
A
A
P
O.
P
O
B
B
现在我们学会了过圆上一点作已知圆的切线(如图所示)，如果 点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的 切线，可以作几条？
合作探究
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． A
切线长与切线的区别在哪里？
O P
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和 切点，可以度量．
PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗？
A
PB是☉O的切线吗？
A
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点， O. M
P
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB，
B
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，
∴OP垂直平分AB.
若延长PO交⊙O于点C，连接CA,CB，你又能得出什么新的结论？并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
3.如图，PA, PB, DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上. (1) 若PA=10，求△PDE的周长； (2) 若∠P=50°，求∠DOE的度数.
解：(1) 因为PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
所以PA=PB，DA=DC， EC=EB，
所以PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20， 所以△PDE的周长为20.
人教版九年级上册数学：第24章 圆 24.2.1-点和圆的位置关系 课件资料
垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平
C
分线EF，交MN于点O； 3、以O为圆心，OB为半径作圆。 所以⊙O就是所求作的圆.
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘 复原了吗？ 方法: 1、在圆弧上任取三点A、 B、C; 2、作线段AB、BC的垂 直平分线,其交点O即为 圆心; 3、以点O为圆心，OC长 为半径作圆. ⊙O即为所求.
分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的 位置关系是：点A在 圆内 ；点B在 圆上 ；点 C在 圆外 . 2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若 OP= 3 ，则点P在（ D ） A.大圆内 C.小圆外 B.小圆内 D.大圆内，小圆外 o
要点归纳 点和圆的位置关系 P d P d P个圆？过两点可以作多少
个圆？
作线段AB的垂直平分线，以其 上任意一点为圆心，以这点和 点A或B的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆.
·
A
· · ·
B
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ 经过A,B两点的圆的圆心在线段
AB的垂直平分线上. 经过B,C两点的圆的圆心在线段 BC的垂直平分线上.
A
B
C
O
针对训练 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们 分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要 想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相 等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确
定这个位置呢？
A ● C
B ●
●
三 三角形的外接圆及外心
试一试： 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、 B、C三点的圆.
点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°；
人教版数学九年级上册第二十四章《24.2.2 直线和圆的位置关系》课件(共22张PPT)
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
O
l A
Or
d
A
l
O
A
l
证切线时辅助线的添加方法： (1) 有交点，连半径，证垂直； (2) 无交点，作垂直，证半径.
典型例题
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D =
30°.求证：CD是⊙O的切线.
解：如图，连接OC.
性质定理 有1个公共点 d=r
圆的切线垂直于 经过切点的半径
有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直
中考实题
1.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C,连接AC,
AB=10,∠P=30° ,则AC的长度是( A )
D
115
3.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线 上一点，且AP=AC.求证：PA是⊙O的切线.
解：如图，连接OA. 因为∠B=60°， 所以∠AOC=2∠B=120°. 因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA=30°. 又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°, 所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°. 所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切线.
再见
A O
C
应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外 端；二是垂直于这条半径.
判断下面的直线是不是圆的切线：
O.
A l
(1)
O.
A
l
B
(2)
O
A
l
(3)
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径， 即d=r；
O
l A
Or
d
A
l
O
A
l
证切线时辅助线的添加方法： (1) 有交点，连半径，证垂直； (2) 无交点，作垂直，证半径.
典型例题
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D =
30°.求证：CD是⊙O的切线.
解：如图，连接OC.
性质定理 有1个公共点 d=r
圆的切线垂直于 经过切点的半径
有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直
中考实题
1.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C,连接AC,
AB=10,∠P=30° ,则AC的长度是( A )
D
115
3.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线 上一点，且AP=AC.求证：PA是⊙O的切线.
解：如图，连接OA. 因为∠B=60°， 所以∠AOC=2∠B=120°. 因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA=30°. 又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°, 所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°. 所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切线.
再见
A O
C
应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外 端；二是垂直于这条半径.
判断下面的直线是不是圆的切线：
O.
A l
(1)
O.
A
l
B
(2)
O
A
l
(3)
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径， 即d=r；
人教版九年级数学上册第24章_24.2.1+点和圆的位置关系_教学课件
边可以推
d>r
出 左边.
新课讲解
例 1 画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm并且小
于或等于3知cm识的点点组成的图形.
解：如图所示
2cm
O·
∴阴影部分就是所求图形.
新课讲解
练一练
(湘西州)⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距
离OA＝3 cm，则点A与圆O的位置关系为( B )
A．点A在圆上
新课讲解
知识点
活学巧记
过一点可作无数圆；
过两点可作圆无数，
圆心全在一直线；
过三点能作一个圆，
前提是三点不共线.
新课讲解
练一练
如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个 点中的任意3个点画圆，能画圆的个数是( C )
A.1
B.2
C.3
D.4
新课讲解
知识点3 三角形的外接圆
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三
1. 外接圆与内接三角形 ⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形.
2.三角形的外心
B
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图：三角形三边垂直平分线的交点. 性质：到三角形三个顶点的距离相等.
A
●O C
一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.
P l1
A
B
l2
l C
新课讲解
反证法的定义 先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾(常与公 理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正 确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤
① 假设命题的结论不成立， ② 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾， ③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
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在Rt△OBD中，由勾股定理得OD＝ 52－42＝3(cm)，
∴AD＝AO－OD＝5－3＝2(cm)， ∴S△ABC＝12×BC×AD＝21×8×2＝8(cm2)．
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如图2，当O在△ABC内部时，连接AO，交BC于D，连接
OB，由勾股定理易得OD＝3 cm， ∵AD＝AO＋OD＝5＋3＝8(cm)， ∴S△ABC＝12×BC×AD＝21×8×8＝32(cm2).
(1)点A与⊙O的位置关系是 点A在⊙O外 ； (2)点B与⊙O的位置关系是 点B在⊙O上 ； (3)点C与⊙O的位置关系是 点C在⊙O内 ．
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7.【例3】如图，用尺规作图． (1)已知点A，求作⊙O，使它经过A点； (2)已知线段BC，求作⊙E，使它经过B，C两点．
略
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解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝ 32＋42＝5，
∵12BD·AF＝12AB·AD，
∴AF＝3×5 4＝152，
同理可得DE＝152，
在Rt△ADE中，AE＝ 42－1522＝156.
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(2)∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC， ∴若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个 点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D，C 在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围为152＜r＜4.
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知识要点 知识点一：点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则： (1)点P在圆外⇔d > r； (2)点P在圆上⇔d = r； (3)点P在圆内⇔d < r
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对点训练 1.已知⊙O 的半径为 4 cm，点 A 到圆心 O 的距离为 3 cm，则 点 A 与⊙O 的位置关系是( A ) A．点 A 在⊙O 内 B．点 A 在⊙O 上 C．点 A 在⊙O 外 D．不能确定
小结：注意分类讨论.
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15.等腰三角形ABC的外接圆为⊙O，底边BC＝8 cm，⊙O半 径为5 cm，求S△ABC. 解：分为两种情况：
如图1，当O在△ABC外部时，连接AO，交BC于D，连接
OB，
∵⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC， ∴AO⊥BC，BD＝CD＝12×8＝4(cm)，
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13.如图，已知三点A，B，C，用尺规作⊙O，使⊙O经过点 A，B，C.
略
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8.【例4】如图，已知△ABC，∠A＝60°，BC＝6. (1)用尺规作△ABC的外接圆⊙O； (2)求∠BOC的度数； (3)求⊙O的半径．
(1)略 (2)120° (3)2 3
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14.如图，已知△ABC，∠C＝90°，BC＝16，AC＝12. (1)用尺规作△ABC的外接圆⊙O； (2)求⊙O的面积．
(1)略 (2)100π
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9.【例5】已知等腰三角形ABC的外接圆⊙O的直径为10，如 果圆心O到底边BC的距离为3，求△ABC的面积． 8或32
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10.【例6】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC ＝8，CD⊥AB于点D，O为AB的中点．
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(1)以C为圆心，6为半径作圆，试判断点A，D，B与⊙C的位 置关系； (2)当⊙C的半径为多少时，点O在⊙C上？ (3)若以点C为圆心作圆，使A，O，B三点至少有一点在圆 内，至少有一点在圆外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？
2.下列结论正确的是( D ) A．三点确定一个圆 B．过同一直线上的三点可确定一个圆 C．三角形的外心到三角形各边距离相等 D．任意三角形一定有一个外接圆
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知识点三：外心的位置 (1)锐角三角形的外心在三角形 内部 ； (2)直角三角形的外心在三角形 斜边 ； (3)钝角三角形的外心在三角形 外部 .
(2)连接OC，在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵O为AB的中点，∴OC＝21AB＝5，
∴当⊙C的半径为5时，点O在⊙C上．
(3)∵AC＝6，OC＝5，BC＝8， ∴OC＜AC＜BC， ∴当5＜r＜8时，A，O，B三点至少有一点在圆内，至少有一 点在圆外.
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★16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，作DE⊥AC于 点E，作AF⊥BD于点F. (1)求AF，AE的长； (2)若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个 点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范 围．
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解：(1)在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝6，∴A 在⊙C 上， ∵CD⊥AB，∴S△ABC＝12AC·BC＝21AB·CD，
即 6×8＝10CD，
∴CD＝4.8＜6，∴D 在⊙C 内， ∵BC＝8＞6，∴B 在⊙C 外．
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6.【例 2】在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，5 为半径作圆，
下列各点，一定在圆上的是( B )
A．(2,3)
B．(4,3)
C．(1,4)
D．(2，－4)
小结：依据坐标求出点到圆心的距离.
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12.已知⊙O的圆心O的坐标为(0,0)，半径为5，点A(－6，0)， 点B(3,4)，点C(0,4)，则：
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3.直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆 直径为 16或20 .
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知识点四：反证法 假设命题的结论 不成立 ，由此经过推理得出 矛盾 ， 由矛盾断定所作假设 不成立 ，从而得到原命题成立.
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A．点 A 在⊙O 内
B．点 B 在⊙O 上
C．点 C 在⊙O 外
D．点 A 在⊙O 外
小结：熟记结 数学
变式练习
11.已知⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 d＝6. (1)若 r＝3，则点 P 在 圆外 ； (2)若 r＝ 6 ，则点 P 在圆上； (3)若 r >6 ，则点 P 在圆内．
4.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与 圆的位置关系只能是( D ) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
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精典范例
5.【例 1】已知⊙O 的半径为 6 cm，A，B，C 为射线 OM 上
三个点，OA＝9 cm，OB＝3 cm，OC＝6 cm，则( D )
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知识点二：外接圆、外心 (1)不在同一直线上的 三 个点确定一个圆； (2)外接圆：经过三角形的 三个顶点 可以作一个圆，这个圆 叫做三角形的外接圆； (3)外心：外接圆的圆心是三角形三条边的 垂直平分线 的交点，叫做这个三角形的外心.
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第二十四章 圆
第6课时 点和圆的位置关系
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目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
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学习目标 1．了解点和圆的三种位置关系，掌握“不在同一直线上的 三点确定一个圆”，并能作出这个圆． 2．体验数形结合的数学思想和建模思想，提高解决实际问 题的能力.
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在Rt△OBD中，由勾股定理得OD＝ 52－42＝3(cm)，
∴AD＝AO－OD＝5－3＝2(cm)， ∴S△ABC＝12×BC×AD＝21×8×2＝8(cm2)．
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如图2，当O在△ABC内部时，连接AO，交BC于D，连接
OB，由勾股定理易得OD＝3 cm， ∵AD＝AO＋OD＝5＋3＝8(cm)， ∴S△ABC＝12×BC×AD＝21×8×8＝32(cm2).
(1)点A与⊙O的位置关系是 点A在⊙O外 ； (2)点B与⊙O的位置关系是 点B在⊙O上 ； (3)点C与⊙O的位置关系是 点C在⊙O内 ．
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7.【例3】如图，用尺规作图． (1)已知点A，求作⊙O，使它经过A点； (2)已知线段BC，求作⊙E，使它经过B，C两点．
略
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解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝ 32＋42＝5，
∵12BD·AF＝12AB·AD，
∴AF＝3×5 4＝152，
同理可得DE＝152，
在Rt△ADE中，AE＝ 42－1522＝156.
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(2)∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC， ∴若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个 点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D，C 在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围为152＜r＜4.
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知识要点 知识点一：点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则： (1)点P在圆外⇔d > r； (2)点P在圆上⇔d = r； (3)点P在圆内⇔d < r
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对点训练 1.已知⊙O 的半径为 4 cm，点 A 到圆心 O 的距离为 3 cm，则 点 A 与⊙O 的位置关系是( A ) A．点 A 在⊙O 内 B．点 A 在⊙O 上 C．点 A 在⊙O 外 D．不能确定
小结：注意分类讨论.
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15.等腰三角形ABC的外接圆为⊙O，底边BC＝8 cm，⊙O半 径为5 cm，求S△ABC. 解：分为两种情况：
如图1，当O在△ABC外部时，连接AO，交BC于D，连接
OB，
∵⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC， ∴AO⊥BC，BD＝CD＝12×8＝4(cm)，
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13.如图，已知三点A，B，C，用尺规作⊙O，使⊙O经过点 A，B，C.
略
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8.【例4】如图，已知△ABC，∠A＝60°，BC＝6. (1)用尺规作△ABC的外接圆⊙O； (2)求∠BOC的度数； (3)求⊙O的半径．
(1)略 (2)120° (3)2 3
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14.如图，已知△ABC，∠C＝90°，BC＝16，AC＝12. (1)用尺规作△ABC的外接圆⊙O； (2)求⊙O的面积．
(1)略 (2)100π
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9.【例5】已知等腰三角形ABC的外接圆⊙O的直径为10，如 果圆心O到底边BC的距离为3，求△ABC的面积． 8或32
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10.【例6】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC ＝8，CD⊥AB于点D，O为AB的中点．
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(1)以C为圆心，6为半径作圆，试判断点A，D，B与⊙C的位 置关系； (2)当⊙C的半径为多少时，点O在⊙C上？ (3)若以点C为圆心作圆，使A，O，B三点至少有一点在圆 内，至少有一点在圆外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？
2.下列结论正确的是( D ) A．三点确定一个圆 B．过同一直线上的三点可确定一个圆 C．三角形的外心到三角形各边距离相等 D．任意三角形一定有一个外接圆
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知识点三：外心的位置 (1)锐角三角形的外心在三角形 内部 ； (2)直角三角形的外心在三角形 斜边 ； (3)钝角三角形的外心在三角形 外部 .
(2)连接OC，在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵O为AB的中点，∴OC＝21AB＝5，
∴当⊙C的半径为5时，点O在⊙C上．
(3)∵AC＝6，OC＝5，BC＝8， ∴OC＜AC＜BC， ∴当5＜r＜8时，A，O，B三点至少有一点在圆内，至少有一 点在圆外.
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★16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，作DE⊥AC于 点E，作AF⊥BD于点F. (1)求AF，AE的长； (2)若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个 点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范 围．
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解：(1)在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝6，∴A 在⊙C 上， ∵CD⊥AB，∴S△ABC＝12AC·BC＝21AB·CD，
即 6×8＝10CD，
∴CD＝4.8＜6，∴D 在⊙C 内， ∵BC＝8＞6，∴B 在⊙C 外．
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6.【例 2】在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，5 为半径作圆，
下列各点，一定在圆上的是( B )
A．(2,3)
B．(4,3)
C．(1,4)
D．(2，－4)
小结：依据坐标求出点到圆心的距离.
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12.已知⊙O的圆心O的坐标为(0,0)，半径为5，点A(－6，0)， 点B(3,4)，点C(0,4)，则：
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3.直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆 直径为 16或20 .
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知识点四：反证法 假设命题的结论 不成立 ，由此经过推理得出 矛盾 ， 由矛盾断定所作假设 不成立 ，从而得到原命题成立.
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A．点 A 在⊙O 内
B．点 B 在⊙O 上
C．点 C 在⊙O 外
D．点 A 在⊙O 外
小结：熟记结 数学
变式练习
11.已知⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 d＝6. (1)若 r＝3，则点 P 在 圆外 ； (2)若 r＝ 6 ，则点 P 在圆上； (3)若 r >6 ，则点 P 在圆内．
4.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与 圆的位置关系只能是( D ) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
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精典范例
5.【例 1】已知⊙O 的半径为 6 cm，A，B，C 为射线 OM 上
三个点，OA＝9 cm，OB＝3 cm，OC＝6 cm，则( D )
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知识点二：外接圆、外心 (1)不在同一直线上的 三 个点确定一个圆； (2)外接圆：经过三角形的 三个顶点 可以作一个圆，这个圆 叫做三角形的外接圆； (3)外心：外接圆的圆心是三角形三条边的 垂直平分线 的交点，叫做这个三角形的外心.
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第二十四章 圆
第6课时 点和圆的位置关系
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目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
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学习目标 1．了解点和圆的三种位置关系，掌握“不在同一直线上的 三点确定一个圆”，并能作出这个圆． 2．体验数形结合的数学思想和建模思想，提高解决实际问 题的能力.