最新七年级的动态几何图形问题
动点问题七年级上册解题技巧
动点问题七年级上册解题技巧动点问题就像是一场神秘的冒险，那些点就像调皮的小精灵，在数轴或者几何图形里跳来跳去。
咱们七年级刚接触的时候，可能感觉像是在迷雾里抓蝴蝶，看着好像就在眼前，但就是不容易抓住解题的关键。
先来说说数轴上的动点问题。
你可以把数轴想象成一条长长的贪吃蛇的身体，每个点就是蛇身上的一块鳞片。
而动点呢，就像是一只不安分的小跳蚤，在这些鳞片上跳来跳去。
当题目告诉你动点的运动方向和速度的时候，这就好比是小跳蚤的行动路线和速度都被规定好了。
那怎么抓住这个小跳蚤呢？咱们得找个参照点，这个参照点就像是小跳蚤的家。
比如说，一个动点从某一个数开始向右以一定速度移动，那这个开始的数就是它的家。
我们要根据时间算出它离家有多远，就像计算小跳蚤跳了多少步离它的家有多远一样。
再看看几何图形中的动点问题，这就更有趣了。
几何图形像是一个大迷宫，动点就是在迷宫里乱窜的小老鼠。
如果是三角形里的动点，这个三角形就像是小老鼠的游乐场。
要解决这类问题呀，我们要先把已知条件都找出来。
这就好比是在迷宫里先找到所有的路标。
然后呢，利用图形的性质，像是三角形的内角和是180度啦，就像迷宫里的固定规则一样。
有时候，我们要根据动点的运动情况列出方程。
这方程就像是一把神奇的钥匙，可以打开迷宫里藏着答案的宝箱。
可别小看这一步，就像你不能拿错钥匙开宝箱一样，方程列错了，答案就找不到啦。
还有哦，当有多个动点的时候，那就像是一群调皮的小猴子在树林里玩耍。
我们要分别搞清楚每只小猴子的行动轨迹，然后看它们之间的关系，是相遇啦，还是距离保持不变之类的。
动点问题虽然一开始看起来很让人头疼，但只要我们把这些调皮的动点想象成有趣的小生物，把题目中的条件当成它们的活动规则，再加上耐心和细心这两大法宝，就一定能像超级侦探一样，破解这些动点谜题。
千万不要被它们吓倒，就像不要被那些看似凶猛实际很可爱的小动物吓倒一样，加油，小伙伴们！。
冀教版数学七年级上册第5课时几何图形及动点问题同步课件
解得y=5或15 ，
故5或
1 5
秒钟后QA=2QB．
随堂演练
1.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面 积相等，则这个长方形的周长为 （ D ）
A.12cm B.18cm C.24cm D.30cm
2.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳
池,且游泳池的宽比长短10 m,设游泳池的长
Q
4
解得 t=3.
A P
B
答：当t =2(s)时，AQ=AP；当t =3(s)时，AQ+AP等于
长方形ABCD周长的 1 . 4
问题 在例1的情境中，如果点P到达点B后沿BC方向继续运动，点Q到
达点A后沿AB方向继续运动，如图所示．当点P到达点C时，点P和点
Q同时停止运动．试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段CP长度
的一半．
D
C
P
A Q
B
解：设再运动t s时，有
AQ 1 CP，AQ t，CP=6-2t. 2
依题意，得
t= 1 (6 2t) 2
D
C
解得
Q
t=1.5.
答：当t=1.5时，线段AQ的长度等于线段 A P
B
CP长度的一半．
几何图形问题
归 纳： 将几何图形赋予了代数元素，便产生了一类
新问题，解决这类问题时，通常要用到图形的性 质以及几何量之间的关系.
2
因为点N在CQ上，CQ＝3CN，所以CN＝3t，
2
所以在数轴上点N表示的数是7－3t，
2
所以MN＝7－3t－(－13＋5t)＝20－19t.
2
2
6
(3)当t为何值时，原点O恰好为线段PQ的中点？
部编数学七年级上册培优专题12角中的动点问题解析版含答案
培优专题12 角中的动态问题类型一：运动的三角尺问题1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．【解决问题】（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②t=2，3，4，9，12【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；（2）分别计算出角的度数可得结论；（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．【详解】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，（2）有，理由如下：射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°∴15t ＝180，解得t ＝12．综上，t ＝2，3，4，9，12．【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°中，乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号）(2)在探究过程中，爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1，她先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB ）的顶点，与60°角（∠COD ）的顶点互相重合，且边OA ，OC 都在直线EF 上．固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB 第一次落在射线OF 上时停止，是否存在一个时间t （秒）使∠BOC ＝3∠AOD ？若存在，请求出所有符合题意的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①④(2)存在当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠，理由见解析【分析】（1）根据三角板的特点求解即可；（2）分两种情况当OA 在∠DOE 内时，当OA 在∠DOE 外部时，利用角之间的关系求解即可．（1）解：∵一副三角板有的度数为30°，45°，60°，90°，∴用一副三角板可以画出的角的度数为15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°等等，不能画出25°，35°，65°，故答案为：①④；（2）解：存在当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠，理由如下：由题意得：=5AOE t °∠，=45AOB а，60COD Ð=°，∴=180=1355BOC AOE AOB t °--°-°∠∠∠，=180=120DOE COD °-°∠∠，分两种情况：当OA 在∠DOE 内时，如图2-1所示，∴1205AOD DOE AOE t Ð=Ð-Ð=°-°，∵=3BOC AOD ∠∠，∴()135531205t t °-°=°-°，解得22.5t =，∵22.55120´°<°，∴22.5t =符合题意；当OA 在∠DOE 外部时，如图2-2所示∴5120AOD DOE AOE t Ð=Ð-Ð=°-°，∵=3BOC AOD ∠∠，∴()135535120t t °-°=°-°，解得24.75t =，∵24.755120´°>°，∴24.75t =符合题意；∴当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠．【点睛】本题主要考查了三角板和几何中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角尺（分别含∠B ＝∠AOB ＝45°，∠A ＝90°和∠D ＝30°，∠COD ＝60°，∠C ＝90°）按如图所示摆放使得B 、O 、D 三点共线．将三角尺ABO 绕点O 以每秒4°的速度顺时针旋转，当边AO 与OD 重合时停止运动，设三角尺ABO 的运动时间为t 秒．(1)当t＝10时，∠AOD＝°．(2)求出当t为何值时，边AO平分∠COD．(3)若在三角尺ABO开始旋转的同时，三角尺OCD也绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABO停止旋转时，三角尺OCD也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．(3)存在，理由是：在旋转过程中，当OB在OC右侧时，∠BOC+∠AOD=60°-45°=15°∴∠AOD=23×15°=10°，综上：t的值为21秒或27【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键．．（福建三明七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动.设三角尺ABP的运动时间为t （秒）（1）当5t=秒时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;（2）t=秒时，边PB平分CPDÐ;（3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1o的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，①当t为何值时，边PB平分CPDÐ;②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得:3:2BPD APC ÐÐ=.若存在，请求出t 的值;若不存在，请说明理由.综上所述：18t =秒或25.2秒时，:3:2BPD APC ÐÐ=．【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差倍分关系的综合，根据等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．类型二：角的动线问题5．（2020·河南平顶山·七年级期末）如图①，直线PQ 上依次有A 、O 、B 三点，若射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图②，设旋转时间为t 秒（045££t ）．（1）POA Ð=__________度，QOB Ð=__________度．（用含t 的代数式表示）（2）在运动过程中，当AOB Ð等于60°时，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得射线OB 平分AOQ Ð或AOP Ð (AOQ Ð，AOP Ð均为小于180°的角)？如果存在，直接写出t 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2POA t Ð=度，4QOB t Ð=度；（2）当AOB Ð等于60°时，t=20或40；（3）射线OB 平分AOQ Ð或AOP Ð时，t=18或36.【分析】（1）∠POA 的度数等于OA 旋转速度乘以旋转时间，∠QOB 的度数等于OB 旋转速度乘以旋转时间；（2）分OA 与OB 相遇前，∠AOB=60°，和OA 与OB 相遇后，∠AOB=60°，两种情况，列出关于t 的等式，解出即可；（3）分OB 平分∠AOQ 和OB 平分∠AOP 两种情况，列出关于t 的等式，解出即可.【详解】（1）22POA t t Ð=´=度，44QOB t t Ð=´=度；（2）①OA 与OB 相遇前，∠AOB=60°，2604180t t ++=6120t =20t =；②OA 与OB 相遇后，∠AOB=60°，2460180t t +-=6240t =40t=，综上，当AOBÐ等于60°时，t=20或40；（3）①OB平分∠AOQ时，∠AOQ=2∠BOQ，-=´t t180224-=-t10180t=；18②OB平分∠AOP时，∠AOP=2∠BOP，()=´-t t221804t t=-23608t=10360t=，36综上，射线OB平分AOQÐ时，t=18或36.Ð或AOP【点睛】本题是对角度动态问题的考查，熟练掌握角的计算和角平分线性质的运用，准确根据题意列出方程是解决本题的关键，难度相对较大.6．（2017·福建泉州·七年级阶段练习）如图，点A，B在以点O为圆心的圆上，且∠AOB=30°，如果甲机器人从点A出发沿着圆周按顺时针方向以每秒5°的速度行驶；乙机器人同时从点B出发沿着圆周按逆时针方向行驶，速度是甲机器人的两倍，经过一段时间后，甲、乙分别运动到点C，D，当以机器人到达点B时，甲乙同时停止运动，设运动时间为t，(1)当t=2秒时，则∠COD的度数是________；并请你直接写出用含t的代数式表示∠BOC，则∠BOC=________(2)探究：当时间为多少秒时，点C与点D相遇？(3)在机器人运动的整个过程中，若∠COD是∠AOB的3倍，求甲运动的时间．【答案】(1)60° ；30+5t(2)22秒(3)4秒，16秒，28秒【分析】（1）根据角的和差定义计算即可；（2）根据∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°，构建方程即可解决问题；（3）分三种情形讨论，分别构建方程即可解决问题；（1）当t=2秒时，∠AOC=20°，∠BOD=10°，∴∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=60°，∠BOC=（30+5t）°，故答案为60°，（30+5t）°；（2）甲机器人的运动速度每秒为5°，乙机器人的运动速度为每秒10°，∴∠AOC=5t，则∠BOD=10t，∵∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°∴5t+10t+30=360，解得：t=22．所以，当时间为22秒时，点C与点D相遇．（3）分三种情况讨论：①当OC，OD运动到如图1所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t=90，解得：t=4；②当OC，OD运动到如图2所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t+90=360，解得：t=16；③当OC，OD运动到如图3所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t﹣90=360，解得：t=28；综上，甲运动的时间分别为4秒，16秒，28秒符合题意．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．7．（2022·湖北武汉·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝1∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的2伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝12∠AOD，称射线OD是射∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝12线OB的伴随线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC 的度数是 ．（用含α的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA 重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t （秒），使得∠COD 的度数是20°，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．②当t 为多少秒时，射线OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．Q 同理，若∠AOB 的度数是11BON AOB a \Ð=Ð=故答案为：40,6a°OC是OA的伴随线时，则OC是OD的伴随线时，OD是OC的伴随线时，OD 是OA 的伴随线时，则的上方．MON 为直角三角板，O 为直角顶点，30M Ð=°，ON 在射线OC 上．将三角板MON 绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，与此同时，射线OC 绕点O 以每秒11°的速度沿逆时针方向旋转，当射线OC 与射线OA 重合时，所有运动都停止．设运动的时间为t 秒，（1）旋转开始前，∠MOC ＝°，∠BOM ＝ °；（2）运动t 秒时，OM 转动了°，t 为 秒时，OC 与OM 重合；（3）t 为何值时，∠MOC =35°？请说明理由．【答案】（1）90°，60°；（2）108°，18；（3）11秒或25秒.【分析】（1）根据30AOC Ð=°，MON 为直角三角板，ON 在射线OC 上，即可得出答案；（2）根据MON 为直角三角板，得90MON Ð=°，构建方程求出t 即可解决问题；（3）分两种情况分别构建方程解决问题即可.【详解】（1）旋转前，MON 为直角三角板，ON 在射线OC 上\90MOC MON Ð=Ð=°Q 30AOC Ð=°\30AON Ð=°，\18060BOM MON AON Ð=°-Ð-Ð=°；故答案为：90°；60°.（2）Q 90MON Ð=°由题意得：90611t t °+=，18t =，故OM 转动：186108´°=°；故答案为：108°；18.（3）35MOC Ð=°Q ，由题意：()1206301135t t °+-°+=°或()3011120635t t °+-°+=°，解得：11t =或25，\11t s =或25s 时，35MOC Ð=°.【点睛】本题考查旋转变换，角的和差定义，一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.。
数轴上的九类动态模型(学生版)--七年级数学几何模型全归纳
数轴上的九类动态模型数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。
解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。
即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解(要检验解是否符合动点的运动时间范围)。
模型1.动态规律(左右跳跃)模型模型2.单(多)动点匀速模型模型3.单(多)动点变速模型模型4.动点往返运动模型模型5.动态中点与n等分点模型模型6.动态定值(无参型)模型模型7.动态定值(含参型)模型模型8.数轴折叠(翻折)模型模型9.数轴上的线段移动模型【知识储备】①若A、B两点在数轴上对应的数字是a、b，则AB两点间的距离AB=a-b；AB的中点对应的数字是：a+b2。
②数轴动点问题主要步骤：1)画图--在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；2)写点--写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；3)表示距离--右-左，若无法判定两点的左右需加绝对值；4)列式求解--根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。
③分类讨论的思想：(1)数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。
(2)对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。
模型1.动态规律(左右跳跃)模型模型(1)：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可；模型(2)：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。
例1.(23-24七年级上·广西南宁·阶段练习)在数轴上，点O表示原点，现将点A从O点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动2个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动3个单位长度到达点A3，第四次将点A3向右移动4个单位长度到达点A4，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，当n=100时，点A100与原点的距离是个单位．例2.(2023·山东·七年级期中)一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，x n表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3=3；②x5=1；③x108<x104；④x2019>x2020．其中，正确结论的序号是．变式1.(23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习)已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+ 6|+(b+3)2=0，又b，c互为相反数．(1)求a，b，c的值．(2)若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度⋯依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数．变式2.(23-24七年级上·福建泉州·期中)如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，⋯以此类推，移动5次后该点对应的数为．这样移动2023次后该点到原点的距离为．模型2.单(多)动点匀速模型模型(1):动点P从点A(点A在数轴上对应的数是a)出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B 点，B点对应的数是：a+vt。
七年级数学专题02 化动为静,破解几何动态问题(解析版)
专题02 化动为静，破解几何动态问题遇动点，心莫慌，细思量，找到不变与变量；画出图，细讨论，动变静，将线段（角度）逐一标上；列方程，细求解.【动点问题解题步骤】1. 分析题目找到不动的点，动点，将动点运动方向及速度标记图上；2. 寻求表达式利用动点速度及运动时间表示出线段长度（角度大小）等；3. 找等量关系，列方程判断是否需要分类讨论，如果存在多种情况，逐一绘制图形，寻求各自的等量关系，列出方程求解.题型一：线段上的动点问题AC=厘【例1-1】（2020·成都市锦江区期中）（1）如图，己知点C在线段AB上，线段10 BC=厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．求线段MN的长度；米，6-=，（2）己知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC AC a请根据题意画出图形并求MN的长度；（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC=5厘米，CN=12BC=3厘米，∴MN=CM+CN=8厘米；（2）作图如下，∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC，CN=12BC，∴MN=CN-CM=12（BC-AC）=12a．（3）以C为数轴原点，向右为正方向建立数轴，则A点表示的数为：-10，B点表示的数为：+6，设运动时间为t s，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点，则P点表示的数为：-10+2t，Q点表示的数为：6-t，分三种情况讨论：①当C为P、Q中点时，-10+2t+6-t=0，解得：t=4，②当P为C、Q中点时，0+6-t=2（-10+2t），解得：t= 265，③当Q为C、P中点时，0-10+2t=2（6-t）解得：t=112，综上所述：t=4或265或112时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．【例1-2】（2020·丹东市期中）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若8,6AC cm CB cm ==，求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上一动点，满足AC CB acm +=，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？ 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC=8cm ，BC=6cm ， ∴CM=12AC=4cm ，CN=12BC=3cm ， ∵点C 在线段AB 上， ∴MN=CM+CN=4+3=7cm ， （2）由（1）知CM=12AC ，CN=12BC ， ∵点C 在线段AB 上， ∴MN=CM+CN=12AC +12BC =12（AC+BC ） =a cm ，∴无论点C 在线段上移动到哪里，线段MN 的长度等于线段AB 长度的一半．【变式1-1】（2020·江西南昌市期末）已知：如图1，点M 是线段AB 上一定点，AB ＝12cm ，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）（1）若AM ＝4cm ，当点C 、D 运动了2s ，此时AC ＝ ，DM ＝ ；（直接填空） （2）当点C 、D 运动了2s ，求AC +MD 的值．（3）若点C 、D 运动时，总有MD ＝2AC ，则AM ＝ （填空） （4）在（3）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求MNAB的值． 【答案】（1）2，4；（2）6 cm ；（3）4；（4）13或1． 【解析】解：（1）根据题意知，CM ＝2cm ，BD ＝4cm ， ∵AB ＝12cm ，AM ＝4cm ， ∴BM ＝8cm ，∴AC ＝AM ﹣CM ＝2cm ，DM ＝BM ﹣BD ＝4cm ， 故答案为：2cm ，4cm ；（2）当点C 、D 运动了2 s 时，CM ＝2 cm ，BD ＝4 cm ∵AB ＝12 cm ，CM ＝2 cm ，BD ＝4 cm∴AC +MD ＝AM ﹣CM +BM ﹣BD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝12﹣2﹣4＝6 cm ； （3）根据C 、D 的运动速度知：BD ＝2MC ， ∵MD ＝2AC ，∴BD +MD ＝2（MC +AC ），即MB ＝2AM ， ∵AM +BM ＝AB ， ∴AM +2AM ＝AB ， ∴AM ＝13AB ＝4， 故答案为：4； （4）分两种情况讨论： ①当点N 在线段AB 上时，∵AN ﹣BN ＝MN ， ∵AN ﹣AM ＝MN ∴BN ＝AM ＝4∴MN ＝AB ﹣AM ﹣BN ＝12﹣4﹣4＝4 ∴13MN AB =； ②当点N 在线段AB 的延长线上时，∵AN ﹣BN ＝MN ， 又∵AN ﹣BN ＝AB ∴MN ＝AB ＝12∴1MNAB=； 故答案为13MN AB =或1． 【变式1-2】（2020·河南南阳市期中）如图一，点C 在线段AB 上，图中有三条线段AB 、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）（问题解决）和40，点C是线段AB的巧点，求（2）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是20点C在数轴上表示的数.（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线t s的所有可能值．段的巧点时，直接写出运动时间()【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3)见解析．【解析】解：（1）线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．综上所述，C点表示的数为10或0或20；（3）由题意得，AP=2t，P点表示数为2t-20，AQ=60-4t，Q点表示的数为40-4t，∴PQ=|40-4t-2t+20|=|60-6t|,①当A为P、Q两点的“巧点”时，AQ=2AP，60-4t=2×2t，解得：t=7.5或AP=2AQ，2t=2（60-4t），解得：t=12 ②当P为A、Q两点的“巧点”时，PA=2PQ，2t=2|60-6t|，解得：t=607或t=12或PQ=2PA，|60-6t|=2×2t，解得：t=6或t=30（舍）③当Q为A、P两点的“巧点”时，QA=2PQ，60-4t=2|60-6t|，解得：t=7.5或t=45 4或QP=2AQ，|60-6t|=2（60-4t），解得：t=907或t=30（舍）综上所述，运动时间的可能值为7.5、12、607、6、454、907.题型二：折线上的动点问题【例2-1】（2020·镇江市月考）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．【答案】见解析．【解析】解：（1）动点P 从点A 运动至C 分成三段，分别为AO 、OB 、BC ， AO 段时间为5s ，OB 段时间为10s ，BC 段时间为4s ， ∴动点P 从点A 运动至C 点需要时间为5+10+4=19（秒）；（2）点Q 经过8秒后从点C 运动到OB 段，再经进x 秒与点P 在OB 段相遇，此时P 所处点为3，依题意得：3+x+2x=10， 解得：x=73， 此时相遇点M 对应的数是为716333+=； （3）分四种情况讨论①当点P 在AO ，点Q 在BC 上运动时，依题意得： 10-2t=8-t ， 解得：t=2，②当点P 、Q 两点都在OB 上运动时， t-5=2（t-8） 解得：t=11，③当P 在OB 上，Q 在BC 上运动时， 8-t=t-5， 解得：t=132； ④当P 在BC 上，Q 在OA 上运动时， t-8-5+10=2（t-5-10）+10， 解得：t=17；即PO=QB 时，运动的时间为2秒或132秒或11秒或17秒． 【变式2-1】（2020·浙江模拟）如图，数轴上，点A 表示的数为7-，点B 表示的数为1-，点C 表示的数为9，点D 表示的数为13，在点B 和点C 处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A 和点D 在数上相距20个长度单位，动点P 从点A 出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q 从点D 出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA 和射线CD 上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B 到C 速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：（1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒；（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数．【答案】（1）15；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）由题意知：点A表示的数为-7，点B表示的数为-1，点C表示的数为9，点D表示的数为13，∴AB=6，BC=10，CD=4故动点P从点A运动到点D所需时间为6104212++=15（秒），故答案为：15；（2）由题意，PO=QO，分以下六种情况：①当点P在AB，点Q在CD时，点P表示的数为-7+2t，点Q表示的数为13-2t，∴-7+2t+13-2t=0，无解.②当点P在AB，点Q在CO时，点P表示的数为-7+2t，点Q表示的数为17-4t，∴-7+2t+17-4t=0，解得t=5，此时点P表示的数为3，不在AB上，舍去；③当点P在BO，点Q在CO时，点P表示的数为t-4，点Q表示的数为17-4t t-4+17-4t=0解得t=133，此时点P表示的数为13，不在BO上，舍去；④当点P、Q相遇时，点P、Q均在BC上，t-4=17-4t解得t=215，此时点P表示的数为15，点Q表示的数为15；⑤当点P在OC，点Q在OB时，点P表示的数为t-4，点Q表示的数为17-4t，∴t-4+17-4t=0解得t=133，此时点P表示的数为13，点Q表示的数为13-，符合题意；⑥当点P在OC，点Q在BA时，点P表示的数为t-4，点Q表示的数为8-2t，t-4+8-2t=0解得t=4，此时点Q表示的数为0，不在BA上，不符题设，舍去；综上所述，点P表示的数为15或13；（3）点Q到达点A所需时间为4106242++=7.5（秒），此时点P到达的点是3.5，点P到达点C所需时间为61021+=13（秒），此时点Q到达的点是6，故点Q在CD上追上点P，此时点P表示的数为2t-17，点Q表示的数为3t-34.5，2t-17=3t-34.5，解得t=17.5，此时点P表示的数为18，点Q表示的数为18．【变式2-2】（2019·武汉月考）如图1，在数轴上有一条线段AB，A，B表示的数分别是-2和-7．（1）若将线段AB的一端平移到原点处，则平移的距离为；（2）如图2，C为线段AB上一点，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的左边且15AB BC=，求C点对应的数；（3）移动线段AB，使A对应的数为15，则B对应的数为（直接填空），此时数轴上的动点M，N分别从A，B出发向左作匀速运动，速度分别为4单位长度/秒和2单位长度/秒，请问数轴上是否存在定点P，当动点M在线段OA上移动过程中始终满足OM=2PN，若存在求点P对应的数；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2或7;(2)见解析；（3）B对应的数为10，见解析．【解析】解：（1）∵数轴上有一条线段AB，表示的数分别是-2和-7，∴平移的距离为2或7；故答案为：2或7；（2）设点C对应的数为x，则对折后B表示的数是2x+7∴BC=2x+7，∵AB=15 BC，∴2x+7-（-2）=15(x+7)，解得：x=389 -，即C点对应的数是389 -；（3）移动线段AB，使A对应的数为15，则AB向右移动17个单位长度，B对应的数为10，故答案为：10；设点P对应的数是y，t秒时满足OM=2PN，点M表示的数是：15-4t，点N表示的数是：10-2t，∵OM=2PN，∴15-4t=2|y-10+2t|，①15-4t=2（y-10+2t），2y=35-8t，y随t的变化而变化，不符合题意，②15-4t=2（-y+10-2t），化简为15-4t=-2y+20-4t，即y=52，故存在，点P对应的数是52．题型三：角度中的动点问题【例3-1】（2020·江苏盐城市月考）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒（t＞0），请你试着解决他们提出的下列问题：（1）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝秒时，OA与OB第一次重合；（2）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝3秒时，∠AOB＝°；（3）若他们同时顺时针转动，t为何值时，OA与OB的夹角为20°？（4）若他们同时顺时针转动，t为何值时，ON平分OA与OB的夹角？OA平分OB与ON 的夹角?【答案】（1）9；（2）120；（3）16或20；（4）9，14.4．【解析】解：（1）设t秒后，OA与OB第一次重合，根据题意可得：15t+5t=180，解得t=9，故答案为：9；（2）当t=3秒时，∠AOM=45°，∠BON=15°，∴∠AOB=120°故答案为：120；（3）设t秒后，OA与OB的夹角为20°，①当OA与OB重合之前，由题意：180+5t-15t=20，解得t=16；②当OA与OB重合之后，由题意：15-5t-180=20，解得t=20，∴当运动16或20秒时，OA与OB的夹角为20°；（4）由题意知：0≤t≤24，∴∠BON=5t，∠AON=|180－15t|，当ON平分OA与OB的夹角时，即∠AON=∠BON，即5t=180-15t，解得t=9；当OA平分OB与ON的夹角时，即∠AON=∠AOB,即5t=2（15t-180），解得t=14.4．【变式3-1】（2020·焦作市月考）已知数轴有A、B两点，分别表示的数为a、b，且|a+12|+|b ﹣18|＝0．（1）a＝，b＝，点A和点B之间的距离为；（2）如图1，动点P沿线段AB自点A向点B以2个单位长度/秒的速度运动，同时动点Q 沿线段BA自点B向点A以4个单位/秒的速度运动，经过秒，动点P，Q两点能相遇；（3）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，点Q沿线段BA自点B向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过几秒P，Q两点相距6个单位长度；（4）如图2，AO＝4厘米，PO＝2厘米，∠POB＝60°，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B向点A运动，假若点P，Q两点能相遇，直接写出点Q运动的速度．【答案】（1）﹣12，18，30；（2）5；（3）（4）见解析．【解析】解：（1）∵|a+12|+|b﹣18|＝0，∴a+12＝0，b﹣18＝0，解得，a＝﹣12，b＝18，∴AB＝|﹣12﹣18|＝30，故答案为：﹣12，18，30；（2）30÷（2+4）＝5（秒），故答案为：5；（3）设再经过x秒后点P、点Q相距6个单位长度，当P点在Q点左边时，2（x+3）+4x+6＝30，解得，x＝3；当点P在点Q右边时，2（x+3）+4x﹣6＝30，解得，x＝5；即再经过3或5秒后，点P、Q两点相距6个单位长度；（4）设点Q的运动速度为x cm，当P、Q两点在点O左边相遇时，120÷60x＝30﹣6，解得，x＝14；当P、Q两点在点O右边相遇时，240÷60x＝30﹣2，解得，x＝6；即点P，Q两点能相遇，则点Q的运动速度为每秒14cm或6cm．【变式3-2】（浙江月考）已知：如图1，点A、O、B依次在度线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿进时针方向以每秒6°的速度前转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤60秒）．（1）用含t 的代数式表示下列各角的度数：MOA ∠=______，NOB ∠=______． （2）在运动过程中，当0秒30t ≤≤秒时，AOB ∠=45°，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得射线OB 是由射线OM ．射线OA 、射线ON 中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）3t ，6t 或 360-6t ；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∠MOA=3t ，∠NOB=6t 或360-6t ，故答案为：3t ，6t 或 360-6t ；（2）若OA ，OB 相遇前，∠AOB=45°，∴3t+6t+45°=180°，∴t=15s若OA ，OB 相遇后，∠AOB=45°，∴3t+6t-45°=180°，∴t=25s∴t 为15秒或25秒时，∠AOB=45°；（3）分三种情况：①OB 平分∠AOM 时， 由12∠AOM=∠BOM 得32t=180-6t ， 解得t=24②OB 平分∠MON 时，由∠BOM=12∠MON ，即∠BOM=90°， 得6t=90，或6t-180=90，解得：t=15，或t=45；③OB 平分∠AON 时，由∠BON=12∠AON，得6t=12（180-3t），解得：t=12；综上所述，当t的值分别为12、15、24、45秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．。
七年级动点问题三角形
七年级动点问题三角形【最新版】目录1.引言：介绍七年级动点问题三角形的概念和意义2.动点问题的基本概念：解析动点、定点、轨迹等基本概念3.三角形的性质：详述三角形的性质及其在动点问题中的应用4.七年级动点问题三角形的解题方法：解析几何法、代数法等解题技巧5.案例分析：通过具体案例分析七年级动点问题三角形的解题思路6.总结：回顾七年级动点问题三角形的学习要点和解题技巧正文【引言】七年级动点问题三角形是初中数学中一个重要的知识点，它涉及到动点问题、几何图形和代数计算等多个方面。
掌握好七年级动点问题三角形，不仅可以提高学生的数学思维能力，还可以为以后的数学学习打下良好的基础。
本文将从动点问题的基本概念入手，详细解析七年级动点问题三角形的性质、解题方法以及具体案例分析。
【动点问题的基本概念】动点问题是指在平面直角坐标系中，已知一个点的位置随时间变化而变化，求该点的轨迹问题。
在动点问题中，有两个基本的概念，分别是解析动点和定点。
解析动点是指在平面直角坐标系中，一个点的坐标随时间变化而变化，它的轨迹是一条曲线。
而定点则是指在平面直角坐标系中，一个固定位置的点，它的坐标不随时间变化而变化。
在动点问题中，三角形也是一个重要的概念。
三角形是由三条线段组成的封闭图形，它有三个顶点和三个内角。
在动点问题中，三角形的性质和计算方法与静态几何中的三角形有很大的不同。
【三角形的性质及其在动点问题中的应用】在七年级动点问题三角形中，三角形的性质主要体现在它的三条边和三个顶点上。
三角形的三条边有长短之分，三个顶点有角度大小之分。
在动点问题中，三角形的性质主要体现在它的三条边和三个顶点的变化上。
在动点问题中，三角形的应用主要体现在求解三角形的周长、面积以及三角形的形状等。
例如，在求解一个三角形的周长时，可以利用解析几何法求解；在求解三角形的面积时，可以利用代数法求解。
【七年级动点问题三角形的解题方法】在七年级动点问题三角形中，解题方法主要有解析几何法和代数法两种。
2024年七年级数学上册第二章几何图形的初步认识复习题及答案解析微探究小专题3与线段有关的计算
点 C 在线段 AB 上两种情况.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
微探究小专题3
与线段有关的计算
4. 已知线段 AB ＝20 cm， C 为直线 AB 上一点，且 AC ＝4 cm， M ， N
分别是线段 AC ， BC 的中点，则线段 MN 的长为(
因为 E 是线段 BD 的中点，所以 DE ＝ BE ＝ BD ＝2
cm.
所以 CE ＝ CD ＋ DE ＝4＋2＝6(cm).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
微探究小专题3
与线段有关的计算
3. 已知线段 AB ，点 C 在直线 AB 上， AB ＝9， BC ＝5，若 M 是线段
AC 的中点，则线段 AM 的长为(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
微探究小专题3
B
)
C. 4 cm
D. 5 cm
cm， M 是 AB 的中点，所以 MB ＝ AB ＝5
所以线段 MN ＝ MB － NB ＝5－2＝3(cm).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
cm.
微探究小专题3
2.
与线段有关的计算
如图， C ， D 为线段 AB 上的两点， AC ＝ CD ＝ DB ， E 是线段
人教版七年级上册第四章：几何图形动点问题压轴题总结
动点问题压轴大题一、线段上的动点问题1．(1)如图①，D是线段AB上任意一点，M，N分别是AD，DB的中点，若AB＝16，求MN的长．(2)如图②，AB＝16，点D是线段AB上一动点，M，N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．(3)如图③，AB＝16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？2．如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为－2，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x.(1)PA ＝______，PB ＝______(用含x 的式子表示)．(2)在数轴上是否存在点P ，使PA ＋PB ＝10？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．(3)点P 以1个单位长度/s 的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位长度/s 的速度向左运动，点B 以20个单位长度/s 的速度向右运动，在运动过程中，M ，N 分别是AP ，OB 的中点，问：AB －OP MN 的值是否发生变化？请说明理由．3．如图，线段AB ＝24，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 运动，M 为AP 的中点，设P 的运动时间为x 秒．(1)当PB ＝2AM 时，求x 的值．(2)当P 在线段AB 上运动时，试说明2BM －BP 为定值．(3)当P 在AB 延长线上运动时，N 为BP 的中点，下列两个结论：①MN 长度不变；②MA ＋PN 的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．4、如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14.动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t s(已知O为原点，以向右为正)．(1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数____(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?(3)若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明变化规律；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；(4)若D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x＋6|＋|x－8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，请说明理由．5、定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB=1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P 同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．二、角动的问题1、如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板(∠M＝30°)的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．(1)将图①中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图②，经过t s后，OM恰好平分∠BOC.①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图③，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；(3)在(2)问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．2、如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.(1)若∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数？(2)若∠AOB＝α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)；(3)若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”改为“∠EOB＝1 3∠COB，∠COF＝2 3∠COA，且∠AOB＝α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)．3、如图，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；（2）若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）在（1）的条件下，∠BOC的内部有一射线OG，射线OG将∠BOC分为1：4两部分，求∠DOG的度数．4、一副三角板ABC 、DEF ，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°） （1）求∠DBA 的度数．（2）若三角板DBE 绕B 点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM 、BN 分别平分∠DBA 、∠EBC ，则∠MBN 如何变化？（3）若三角板BDE 绕B 点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？答案线段上的动点问题1．解：(1)MN ＝DM ＋DN ＝12AD ＋12BD ＝12(AD ＋BD)＝12AB ＝8. (2)能．MN ＝DM ＋DN ＝12AD ＋12BD ＝12(AD ＋BD)＝12AB ＝8. (3)能．MN ＝MD －DN ＝12AD －12BD ＝12(AD －BD)＝12AB ＝8.(4)若点D 在线段AB 所在直线上，点M ，N 分别是AD ，DB 的中点，则MN ＝12AB.2．解：(1)|x＋2|；|x－6|(2)分三种情况：①当点P在A，B之间时，PA＋PB＝8，故舍去；②当点P在B点右边时，PA＝x＋2，PB＝x－6，因为(x＋2)＋(x－6)＝10，所以x＝7；③当点P在A点左边时，PA＝－x－2，PB＝6－x，因为(－x－2)＋(6－x)＝10，所以x＝－3.综上，当x＝－3或7时，PA＋PB＝10.(3)AB－OPMN的值不发生变化．理由如下：设运动时间为t s，则OP＝t，OA＝5t＋2，OB＝20t＋6，AB＝OA＋OB＝25t＋8，AB－OP＝24t＋8，AP＝OA＋OP＝6t＋2，AM＝12AP＝3t＋1，OM＝OA－AM＝5t＋2－(3t＋1)＝2t＋1，ON＝12OB＝10t＋3，所以MN＝OM＋ON＝12t＋4.所以AB－OPMN＝24t＋812t＋4＝2.3．解：(1)当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24－2x，AM＝x，所以24－2x ＝2x，即x＝6；当点P在点B右边时，PA＝2x，PB＝2x－24，AM＝x，所以2x－24＝2x，方程无解．综上可得，x的值为6.(2)当P在线段AB上运动时，BM＝24－x，BP＝24－2x，所以2BM－BP＝2(24－x)－(24－2x)＝24，即2BM－BP为定值．(3)①正确．当P在AB延长线上运动时，PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x－24，PN＝12PB＝x－12，所以①MN＝PM－PN＝x－(x－12)＝12.所以MN长度不变，为定值12.②MA＋PN＝x＋x－12＝2x－12，所以MA＋PN的值是变化的．4、（1）-6；8-5t(2)点Q表示的数为－6－3t，当点P追上点Q时，8－5t＝－6－3t，解得t＝7，∴点P运动7 s时追上点Q；(3)没有变化．分两种情况．①当点P在A，B两点之间运动时(如答图①)：变形4答图①MN＝MP＋NP＝12AP＋12BP＝12(AP＋BP)＝12AB＝7；②当点P运动到点B的左侧时(如答图②)：变形4答图②MN＝MP－NP＝12AP－12BP＝12(AP－BP)＝12AB＝7.综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7；(4)式子|x＋6|＋|x－8|有最小值，最小值为14.提示：当x＞8时，原式＝2x－2＞14，当x＜－6时，原式＝2－2x＞14，当－6≤x≤8时，原式＝x＋6－x＋8＝14，∴|x＋6|＋|x－8|有最小值14.也可通过数形结合，求D到A，B距离之和的最小值来解．5、解：（1）当DP＝2PE时，DP＝DE＝10cm；当2DP＝PE时，DP＝DE＝5cm．综上所述：DP的长为5cm或10cm．（2）①根据题意得：（1+2）t＝15，解得：t＝5．答：当t＝5秒时，点P与点Q重合．②（I）点P、Q重合前：当2AP＝PQ时，有t+2t+2t＝15，解得：t＝3；当AP＝2PQ时，有t+t+2t＝15，解得：t＝3.75；（II）点P、Q重合后，当AP＝2PQ时，有t＝2（t﹣5），解得：t＝10；当2AP＝PQ时，有2t＝（t﹣5），解得：t＝﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3秒、3.75秒或10秒时，点P是线段AQ的三等分点．二、角动的问题1、解：（1）①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，∵∠AOC=30°，∴∠BOC=2∠COM=150°，∴∠COM=75°，∴∠CON=15°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，解得：t=15°÷3°=5秒；②是，理由如下：∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC；（2）15秒时OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，∵∠MON=90°，∴∠CON=∠COM=45°，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∵∠AOC﹣∠AON=45°，可得：6t﹣3t=15°，解得：t=5秒；（3）OC平分∠MOB∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∴∠COM为（90°﹣3t），∵∠BOM+∠AON=90°，可得：180°﹣（30°+6t）=（90°﹣3t），解得：t=23.3秒；2、(1)∵OF平分∠AOC，∴∠COF ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝120°－30°＝90°，∵OE 平分∠BOC ，∴∠EOC ＝12∠BOC ＝45°，∴∠EOF ＝∠COF ＋∠EOC ＝60°；(2)∵OF 平分∠AOC ，∴∠COF ＝12∠AOC ，同理∠EOC ＝12∠BOC ，∴∠EOF ＝∠COF ＋∠EOC＝12∠AOC ＋12∠BOC＝12(∠AOC ＋∠BOC)＝12∠AOB ＝12α；(3)∵∠EOB ＝13∠COB ，∴∠EOC ＝23∠COB ，∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF＝23∠COB ＋23∠COA＝23∠AOB ＝23α.4、。
(word完整版)七年级下册数学三角形全等动点问题
初一数学全等三角形之动点问题专题（B类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。
动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。
动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。
《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。
本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。
对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。
本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。
二、典型例题1、单动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角 三角形？2、双动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?BCPA CQBPA QDBCPAA变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，连接CP 、AQ 交于M ，如果动点P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。
北师大版七年级上册动角问题应用题
北师大版七年级上册动角问题应用题
动角问题是一个经典的数学问题，通常涉及到角度的变化和相关的几何图形。
以下是几个北师大版七年级上册动角问题的应用题示例，这些题目将帮助你理解和解决这类问题。
示例1：时钟指针问题
1. 一个钟表的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了多少度？
2. 如果分针在30分钟内转过90度，那么它转过180度需要多少时间？
示例2：角度变化问题
1. 一个三角形的一个内角为60度，这个角按逆时针方向每分钟旋转1度，那么经过多少分钟这个内角会变成30度？
2. 一个等腰三角形的顶角和一个底角的角度比是3:2，这个三角形的顶角是多少度？
示例3：角的比较与计算
1. 两个角的比是1:3，它们的差是90度，较大的角是多少度？
2. 两个角的比是3:4，它们的和是180度，较大的角是多少度？
示例4：多边形内角和问题
1. 一个n边形的内角和是多少度？
2. 一个n边形的外角和是多少度？
示例5：角度与方位问题
1. 在一个方位标尺上，北方的角度是0度，东方的角度是90度。
请问南方的角度是多少度？西方的角度是多少度？
2. 一个方位标尺上，北方的角度是0度，东方的角度是90度。
如果一个物体从北方移动到东方，它转过了多少度？
示例6：角度与图形变换问题
1. 一个正方形绕其中心旋转一定的角度后与原图重合，这个旋转的角度至少是多少度？
2. 一个正方形顺时针旋转90度后与原图重合，那么逆时针旋转多少度也能与原图重合？。
线段上的动点与几何图形动角的探究问题之六大题型(解析版)
线段上的动点与几何图形动角的探究问题之六大题型线段上动点求时间问题1(2023上·山西太原·七年级校考期末)如图，直线上有A，B，C，D四个点，BC=2CD，AD=8CD，CD =4cm．(1)线段AB=cm(2)动点P，Q分别从A点，D点同时出发，点P沿线段AC以3cm/秒的速度，向右运动，到达点C后立即按原速向A点返回；点Q沿线段DA以1cm/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t(单位：秒)①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值；②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离．【答案】(1)20cm(2)8、20cm【分析】(1)根据BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm算出BC,AD，再根据AB=AD-BC-CD即可解答；(2)①根据P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是DA的长列方程即可求解；②根据P，Q两点第二次相遇时，P点所走的路程与AC的差和Q所走的路程与CD的差相等列方程即可求解；【详解】(1)∵CD=4cm,BC=2CD,AD=8CD∴BC=2×4=8cm,AD=8×4=32cm∴AB=AD-BC-CD=32-8-4=20cm故线段AB的长为20cm．(2)①P，Q两点第一次相遇时根据题意可得：3t+t=32解得：t=8秒故P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值是8秒；②由(1)得AC=AB+BC=28cm当P，Q两点第二次相遇时：3t-28=t-4解得：t=12秒∴PC=3×12-AC=36-28=8cm∴AP=28-8=20cm故P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离是20cm【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键．【变式训练】1(2023上·江西吉安·七年级统考期末)如图，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t(s)．(1)当点P在MO上运动时，t为何值，能使OP=OQ？(2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由；(3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线OB上，t为何值时，它们相距1cm．【答案】(1)t=3.6(2)不能，见解析(3)t=17或t=19【分析】(1)根据题意可得OP=18-3t,OQ=2t，然后由OP=OQ可得关于t的方程，解方程即得答案；(2)先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的路程，再比较即得结论；(3)根据题意可得：OP-OQ=1，由此构建关于t的方程求解即可．【详解】(1)运动时间是t(s)时，OP=18-3t,OQ=2t，若OP=OQ，则18-3t=2t，解得：t=3.6；(2)点Q停止运动时，用的时间为16÷2=8秒，此时点P运动的路程为3×8=24，24-18=6<16，∴点P不能追上点Q；(3)当P、Q均在射线OB上，它们相距1cm时，根据题意得：PQ=OP-OQ=1，即3t-18-2t=1，解得：t=17或t=19．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、善于动中取静、得到相关线段关于t的表达式是解题的关键．线段上动点定值问题2(2023上·湖北武汉·七年级统考期末)线段AB 和CD 在数轴上运动，A 开始时与原点重合，且CD =2AB +3(1)若AB =10，且B 为线段AC 的中点，求线段AD 的长．(2)在(1)的条件下，线段AB 和CD 同时开始向右运动，线段AB 的速度为5个单位/秒，线段CD 的速度为3个单位/秒，经过t 秒恰好有BD =8，求t 的值．(3)在(1)的条件下，若线段AB 和CD 同时开始向左匀速运动，线段AB 的速度为m 个单位/秒，线段CD 的速度为n 个单位/秒，设M 为线段AC 中点，N 为线段BD 中点，此时线段MN 的长为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由．【答案】(1)43(2)t =20.5或t =12.5(3)线段MN 的长为定值，定值为16.5【分析】(1)根据线段的和差求解；(2)根据题意列出方程求解即可；(3)设运动时间为t ，再用t 表示M ，N 表示的数，再利用中点公式求解．【详解】(1)解：∵B 为线段AC 的中点，∴BC =AB =10，∴CD =2AB +3=23，∴AD =AB +BC +CD =10+10+23=43；(2)由题意得：B 点表示的数为：10+5t ，D 点表示的数为：43+3t ，则：43+3t -10+5t =8，解得：t =20.5或t =12.5；(3)设运动时间为t ，由题意得：A 点表示的数为：-mt ，B 点表示对数为：10-mt ，C 点表示的数为：20-nt ，D 点表示的数为：43-nt ，则：M 点表示的数为：-mt +20-nt 2=-m +n 2t +10，N 点表示的数为：10-mt +43-nt 2=-m +n2t +26.5，∴MN =-m +n 2t +26.5 --m +n2t +10 =16.5，所以线段MN 的长为定值，定值为16.5．【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及中点的计算，一元一次方程的应用，理解题意，熟练运用数轴上两点之间的距离是解题关键．【变式训练】2(2023上·福建泉州·七年级校考期末)【概念与发现】当点C 在线段AB 上，AC =nAB 时，我们称n 为点C 在线段AB 上的“点值”，记作d ACAB=n ．例如，点C 是AB 的中点时，即AC =12AB ，则d AC AB=12；反之，当d AC AB =12时，则有AC =12AB ．因此，我们可以这样理解：“d ACAB=n ”与“AC =nAB ”具有相同的含义．(1)【理解与应用】如图，点C 在线段AB 上．若AC =3，AB =4，则d ACAB=；若d AC AB=2m ，则BCAB=．(2)【拓展与延伸】已知线段AB =10cm ，点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，向点B 运动．同时，点Q 以3cm/s 的速度从点B 出发，先向点A 方向运动，到达点A 后立即按原速向点B 方向返回．当P ，Q 其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t (单位：s )．①小王同学发现，当点Q 从点B 向点A 方向运动时，d APAB +m ⋅d AQ AB的值是个定值，求m 的值；②t 为何值时，dAQ AB-d AP AB=35．【答案】(1)34，m -2m (2)①13；②1或8【分析】(1)根据“点值”的定义得出答案；(2)①设运动时间为t ，再根据d APAB +m ⋅d AQ AB的值是个定值即可求出m 的值；②分点Q 从点B 向点A 方向运动时和点Q 从点A 向点B 方向运动两种情况分析即可．【详解】(1)解：∵AC =3，AB =4，∴AC =34AB ，∴d AC AB=34，∵d AC AB =2m，∴AC =2mAB ，∴∴BC =AB -AC =AB -2m AB =m -2mAB ，∴BC AB=m -2m 故答案为：34，m -2m；(2)①设运动时间为t ，则AP =t ，AQ =10-3t ，根据“点值”的定义得：d AP AB =t 10，d AQ AB=10-3t10，∵d APAB +m ⋅d AQ AB的值是个定值，∴t 10+m ⋅10-3t10=10m +1-3m t 10的值是个定值，∴m =13；②当点Q 从点B 向点A 方向运动时，∵d AQ AB-d AP AB =35，∴10-3t10-t10=35，∴t=1；当点Q从点A向点B方向运动时，∵dAQAB-d AP AB=35，∴3t-1010-t10=35，∴t=8，∴t的值为1或8．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．几何图形中动角定值问题3(2023上·湖北武汉·七年级统考期末)已知∠AOB=108°，∠COD=42°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE-∠BOF的值；(2)如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒时(0<t<10)，在旋转过程中∠AOE-∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值：若发生变化，请说明理由．(3)在(2)的条件下，当∠COF=18°时，求t的值．【答案】(1)33°(2)不变，∠AOE-∠BOF=33°是定值．(3)2【分析】(1)首先根据角平分线的定义求得∠AOE=12∠AOC=12×108°=54°，∠BOF=12∠BOD=12×42°=21°，然后求解即可；(2)首先由题意可得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得出∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，然后由角平分的定义解答即可；(3)根据题意可得∠BOF=3t+18°，得出3t+18=21+32t，解方程即可得出答案．【详解】(1)解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=12∠AOC=12×108°=54°，∠BOF=12∠BOD=12×42°=21°，∴∠AOE-∠BOF=54°-21°=33°；(2)解：∠AOE-∠BOF=33°是定值．理由如下：由题意：∠BOC=3t°，则∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=12∠AOC=12108°+3t°=54°+32t°，∠BOF=12∠BOD=1242°+3t°=21°+32t°，∠AOE-∠BOF=54°+32t°-21°+32t°=33°．∴∠AOE-∠BOF的值是定值，定值为33°；(3)解：根据题意得：∠BOF=3t+18°，∴3t+18=21+32t，解得：t=2．故答案为2．【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．【变式训练】3(2023上·湖北武汉·七年级校考期末)如图，∠AOB=100°，∠COD=40°，射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD(本题中的角均为大于0°且小于180°的角)．(1)如图，当OB，OC重合时，求∠EOF的度数；(2)当∠COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度0<n<40时，∠AOE-∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE-∠BOF的值，若不是，请说明理由．(3)当∠COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度0<n<220时，∠AOE与∠BOF具有怎样的数量关系？【答案】(1)70°(2)为定值，理由见解析(3)当0<n<80时，∠AOE-∠BOF=30°；当80≤n<140时，∠AOE-∠BOF=110°；当140≤n<220时，∠BOF-∠AOE=30°【分析】(1)根据角平分线的定义知∠EOB =12∠AOB 、∠BOF =12∠COD ，再根据∠EOF =∠EOB +∠BOF 可得答案；(2)由题意知∠AOC =∠AOB +∠BOC =100°+n °、∠BOD =∠BOC +∠COD =n °+40°，根据角平分线的定义得∠AOE =12∠AOC =100°+n °2、∠BOF =12∠BOD =n °+40°2，代入计算可得答案；(3)分情况计算，利用n 表示出∠AOC ，∠BOD ，再根据角之间的关系即可求解．【详解】(1)解：∵∠AOB =100°，∠COD =40°，射线OE 平分∠AOC ，射线OF 平分∠BOD ，∴∠EOB =12∠AOB =12×100°=50°、∠BOF =12∠COD =12×40°=20°，∴∠EOF =∠EOB +∠BOF =50°+20°=70°；(2)解：∠AOE -∠BOF 的值为定值，理由如下：如图：∵∠COD 从图中所示位置绕点O 顺时针旋转n 度0<n <40∴∠AOC =∠AOB +∠BOC =100°+n °，∠BOD =∠BOC +∠COD =n °+40°，点C 、D 在直线AO 的右侧，∵射线OE 平分∠AOC ，射线OF 平分∠BOD ，∴∠AOE =12∠AOC =100°+n °2，∠BOF =12∠BOD =n °+40°2，∴∠AOE -∠BOF =100°+n °2-n °+40°2=30°，∴∠AOE -∠BOF 的值为定值；(3)解：当0<n <80时，如图2：由(2)知，∠AOE -∠BOF =30°；当80≤n <140时，如图3所示，∠AOC =360°-∠AOB -∠BOC =360°-100°-n °=260°-n °，∠BOD =∠BOC +∠COD =n °+40°，∵射线OE 平分∠AOC ，射线OF 平分∠BOD ，∴∠AOE =12∠AOC =260°-n °2，∠BOF =12∠BOD =n °+40°2，∴∠AOE -∠BOF =260°+n °2-n °+40°2=110°；当140≤n <220时，如图4所示，∠AOC =360°-∠AOB -n °=360°-100°-n °=260°-n °，∠BOD =360°-n °-∠COD =360°-n °-40°=320°-n °，∵射线OE 平分∠AOC ，射线OF 平分∠BOD ，∴∠AOE =12∠AOC =260°-n °2，∠BOF =12∠BOD =320°-n °2，∴∠BOF -∠AOE =320°-n °2-260°-n °2=30°；综上，∠AOE 与∠BOF 具有的数量关系为：当0<n <80时，∠AOE -∠BOF =30°；当80≤n <140时，∠AOE -∠BOF =110°；当140≤n <220时，∠BOF -∠AOE =30°．【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．几何图形中动角数量关系问题4(2023上·甘肃白银·七年级统考期末)【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O 在直线AB 上，OC ，OD 分别平分∠AOE ，∠BOE ，可求得∠OOD =90°．(不用求解)【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．【答案】(1)∠DOE=25°；(2)∠DOE=12∠AOC．【分析】(1)先求∠COB，利用角平分线定义再求∠COE，最终求∠DOE的度数；(2)设∠AOC=α，再根据(1)的求解过程，用含α的式子表示两个角的数量关系．【详解】(1)∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∵∠AOC=50°，∴∠BOD=40°．∴∠COB=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°．∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC=12×130°=65°．∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-65°=25°．(2)设∠AOC=α，则∠BOC=180°-α．∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC=12×180°-α=90°-12α．∵∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-180°-α=α-90°，∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=α-90°+90°-12α=12α．∴将图2中的∠COD按图3所示的位置放置时，∠AOC与∠DOE度数间的等量关系为∠DOE=12∠AOC．【点睛】本题考查了角的和差，角的平分线，平角的性质；关键是弄清角之间的关系，利用数形结合的思想求解．【变式训练】4(2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期末)如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．(1)①探究∠AOD与∠BOC的关系：因为∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOB+∠BOD=∠COD+∠BOD，即∠AOD∠BOC．②探究∠AOC与∠BOD的关系：因为∠AOB=∠COD=90°，∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠COD= 360°，所以∠AOC+∠BOD=．(2)若将这副三角尺绕点O旋转到如图乙的位置：①直接写出∠AOC与∠BOD的关系：；②探究∠AOD与∠BOC的关系，并仿照(1)①中的探究写出推过程．【答案】(1)①=；②180°(2)①∠AOC+∠BOD=180°；②见解析【分析】(1)①证明∠AOB+∠BOD=∠COD+∠BOD，从而可得答案；②利用周角的含义及角的和差运算可得答案；(2)①由∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠BOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°，可得∠AOC+∠BOD =180°．②证明∠AOD+∠BOD=∠BOC+∠BOD，可得∠AOD=∠BOC．【详解】(1)解：①∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOD=∠COD+∠BOD，即∠AOD=∠BOC．②∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠COD=360°，∴∠AOC+∠BOD=180°．(2)①∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠BOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°，即∠AOC+∠BOD=180°．②∠AOD=∠BOC；理由如下：∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOD+∠BOD=∠BOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC．【点睛】本题考查的是角的和差运算，熟练的理解几何图形中角的和差关系是解本题的关键．几何图形中动角求运动时间问题5(2023上·四川成都·七年级统考期末)如图，点O是直线MN上一点．将射线OM绕点O逆时针旋转，转速为每秒5°，得到射线OA；同时，将射线ON绕点O顺时针旋转，转速为OM转速的3倍，得到射线OB．设旋转时间为t秒(0≤t≤12)．(1)当t =4秒时(如图1)，求∠AOB 的度数；(2)当射线OA 与射线OB 重合时(如图2)，求t 的值；(3)是否存在t 值，使得射线OB 平分∠AOM ？如果存在，请求出t 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)100°(2)9(3)存在t 值，使得射线OB 平分∠AOM ，t 的值为727．【分析】(1)当t =4时，∠AOM =20°，∠BON =60°，然后根据平角的列式求解即可；(2)根据射线OA 与射线OB 重合时，列出方程求解即可；(3)由射线OB 平分∠AOM ，得5t =2180-15t 求解即可．【详解】(1)解：当t =4时，∠AOM =4×5°=20°，∠BON =4×3×5°=60°，∴∠AOB =180°-∠AOM -∠BON =100°，∴当t =4秒时，∠AOB 为100°．(2)解：根据题意得：5t +3×5t =180，解得t =9，∴当射线OA 与射线OB 重合时，t 的值是9．(3)解：存在t 值，使得射线OB 平分∠AOM ，如图：∵∠BON =3×5t °=15t °,∴∠BOM =180°-15°t ,∵射线OB 平分∠AOM ，∴5t =2180-15t ，解得t =727，∴t 的值为727．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、平角的定义、角的运用等知识点，解题的关键是读懂题意列出一元一次方程解决问题．【变式训练】5(2023上·湖北黄石·七年级统考期末)如图，直线CD 与EF 相交于点O ，∠COE =60°，将一直角三角尺AOB (含30°和60°)的直角顶点与O 重合，OA 平分∠COE ．(1)求∠BOD 的度数；(2)图中互余的角有对；(3)将三角尺AOB 以每秒3°的速度绕点O 顺时针旋转，同时直线EF 以每秒9°的速度绕点O 顺时针旋转，设运动时间为ts(0≤t≤40)．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB．②当t=时，直线EF平分∠BOD．【答案】(1)60°(2)5(3)①2.5s或32.5s；②12s或36s【分析】(1)根据∠COE=60°，OA平分∠COE，可得∠AOC=∠AOE=30°，再根据∠AOB=90°，即可得到∠BOD的度数；(2)根据余角的定义求解即可；(3)①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB；当OF平分∠AOB时；②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时；当OF平分∠BOD时．【详解】(1)解：∵∠COE=60°，OA平分∠COE，∴∠AOC=∠AOE=30°，又∵∠AOB=90°，∴∠BOD=180°-30°-90°=60°；(2)∵∠AOB=90°，∠AOC=∠AOE，∴∠A+∠B=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∠AOC+∠BOE=90°，∠AOE+∠BOD=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∴互余的角有5对．故答案为：5；(3)①分两种情况：当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°，即9t+30-3t=45解得t=2.5；当OF平分∠AOB时，∠AOF=45°，即9t-150-3t=45，解得t=32.5；综上所述，当t 的值为2.5s 或32.5s 时，直线EF 平分∠AOB ；②分两种情况：当OE 平分∠BOD 时，∠BOE =12∠BOD ，即9t -60-3t =12(60-3t )，解得t =12；当OF 平分∠BOD 时，∠DOF =12∠BOD ，即9t -300=12(3t -60)，解得t =36；综上所述，若直线EF 平分∠BOD .，t 的值为12s 或36s ．故答案为：12s 或36s ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及一元一次方程的应用，应用方程的思想和分类思想是解决问题的关键．线段与角中动态的新定义型问题6(2022上·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末)如图①，点C 在线段AB 上，图中共有3条线段：AB ,AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”．(1)①一条线段的中点这条线段的“巧点”；(填“是”或“不是”)②若线段AB =m ，C 是线段AB 的“巧点”，则BC =．(用含m 的代数式表示出所有可能的结果)(2)如图②，A 、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为-40，点B 所表示的数为20．动点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿AB 向终点B 匀速移动．点Q 从点B 出发，以每秒3cm 的速度沿BA 向终点A 匀速移动，点P ，Q 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t 秒，求当t 为何值时，点Q恰好是线段AP 的“巧点”．【答案】(1)①是；②23m 或13m 或12m (2)10或607或609或15或18013或18011【分析】(1)①由中点可知这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，结合“二倍点”的定义进行判断；②由“二倍点”的定义知当点C 是线段AB 的“二倍点”时，可分BC =2AC ，AC =2BC ，AB =2AC =2BC 三种情况，根据AB =m 计算，即可求解；(2)由题意知AB =60cm ，然后分两类讨论：当点P 在点Q 的左侧时，当点P 在点Q 的右侧时，结合“巧点”的定义，求解即可．【详解】(1)解∶ ① 根据题意得：这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，∴一条线段的中点是这条线段的“巧点”；故答案为：是②线段AB =m ，C 是线段AB 的“巧点”，∴当BC =2AC 时，BC =23AB =23m ；当AC =2BC 时，BC =13AB =13m ；当AB =2AC =2BC 时，BC =12AB =12m ；综上所述，BC =23m 或13m 或12m ；故答案为：23m 或13m 或12m (2)解∶∵点A 所表示的数为-40，点B 所表示的数为20，∴AB =60cm ，根据题意得：点P 所对应的数为2t -40，点Q 所对应的数为20-3t ，当t =602+3=12时，点P ，Q 相遇，当点P 在点Q 的左侧时，AP =2tcm ,AQ =60-3t cm ，PQ =60-2t -3t =60-5t cm ，此时0<t <12，若AP =2PQ ，则有2t =260-5t ，解得：t =10；若AQ =2PQ =2AP ，则有2t =60-5t ，解得：t =607；若PQ =2AP ，则有2×2t =60-5t ，解得：t =609；当点P 在点Q 的右侧时，AP =2tcm ,AQ =60-3t cm ，PQ =2t -3t -60=5t -60 cm ，此时12<t≤20，若AP =2PQ =2AQ ，则有60-3t =5t -60，解得：t =15；若AQ =2PQ ，则有60-3t =25t -60 ，解得：t =18013；若PQ =2AQ ，则有260-3t =5t -60，解得：t =18011；综上所述，当t 为10或607或609或15或18013或18011时，点Q 恰好是线段AP 的“巧点”．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键．【变式训练】6(2023上·山东济南·七年级统考期末)新定义：如果∠MON 的内部有一条射线OP 将∠MON 分成的两个角，其中一个角是另一个角的n 倍，那么我们称射线OP 为∠MON 的n 倍分线，例如，如图1，∠MOP =4∠NOP ，则OP 为∠MON 的4倍分线．∠NOQ =4∠MOQ ，则OQ 也是∠MON 的4倍分线．(1)应用：若∠AOB =60°，OP 为∠AOB 的二倍分线，且∠BOP >∠POA 则∠BOP =°；(2)如图2，点A ，O ，B 在同一条直线上OC 为直线AB 上方的一条射线．①若OP ，OQ 分别为∠AOC 和∠BOC 的三倍分线，(∠COP >∠POA ，∠COQ >∠QOB )已知，∠AOC =120°，则∠POQ =°；②在①的条件下，若∠AOC =α，∠POQ 的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．③如图3，已知∠MON =90°，且OM ，ON 所在射线恰好是分别为∠AOC 和∠BOC 的三倍分线，请直接写出∠AOC 的度数．【答案】(1)40(2)①135；②不变，理由见解析；③90°【分析】(1)根据题意可得：∠BOP =2∠AOP ，∠BOP +∠AOP =60°，进而得出答案；(2)①由题意可得：∠COP =3∠AOP ，∠COQ =3∠BOQ ，根据∠AOC =120°，得出∠AOP =90°，∠BOQ =45°，再求解即可；②不变，根据题意得出∠COP =34∠AOC ，∠COQ =34∠BOC ，再代入即可得出答案；③设∠MOC =α，则∠NOC =90°-α，根据题意得出∠COM =3∠AOM ，∠BON =3∠CON ，列出方程13α+α+90°-α+390°-α =180°，求得∠MOC =67.5°，∠MOA =22.5°，进而得出答案．【详解】(1)解：∵∠AOB =60°，OP 为∠AOB 的二倍分线，且∠BOP >∠POA ，∴∠BOP =2∠AOP ，∠BOP +∠AOP =60°，∴∠AOP =20°，∴∠BOP =40°，故答案为：40；(2)解：①∵OP ，OQ 分别为∠AOC 和∠BOC 的三倍分线(∠COP >∠POA ，∠COQ >∠QOB )，∴∠COP =3∠AOP ，∠COQ =3∠BOQ ，∵∠AOC =120°，∴∠BOC =60°，∴∠AOP =30°，∠BOQ =15°，∴∠COP =90°，∠COQ =45°，∴∠POQ =∠POC +∠COQ =135°，故答案为：135；②不变，∵OP ，OQ 分别为∠AOC 和∠BOC 的三倍分线，∠COP >∠POA ，∠COQ >∠QOB ，∴∠COP =34∠AOC ，∠COQ =34∠BOC ，∴∠POQ =∠COP +∠COQ ，=34∠AOC+34∠BOC，=34∠AOC+∠BOC，=34∠AOB，=34×180°，=135°；③解：设∠MOC=α，∵∠MON=90°，∴∠NOC=90°-α，∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∴∠COM=3∠AOM，∠BON=3∠CON，∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON=180°，∴1 3α+α+90°-α+390°-α=180°，∴α=67.5°，∴∠MOC=67.5°，∠MOA=22.5°，∴∠AOC=90°．【点睛】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键．一、解答题1(2022上·江苏南京·七年级统考期末)如图，O是直线AB上一点，射线OC绕点O顺时针旋转，从OA出发，每秒旋转10°，射线OD绕点O逆时针旋转，从OB出发，每秒旋转20°，射线OC与OD同时旋转，设旋转的时间为t秒，当OC旋转到与OB重合时，OC、OD都停止运动．(1)当t=2时，∠COD=°；(2)当射线OC与OD旋转到同一条直线上时，求t的值；(3)当t=时，OC⊥OD．【答案】(1)120(2)6秒或12秒或18秒(3)3秒或9秒或15秒【分析】(1)根据旋转时间为t=2，可得∠AOC=20°，∠BOD=40°，然后代入∠COD=180°-∠AOC-∠BOD计算即可；(2)当OC旋转到与OB重合时，t=180°÷10°=18，然后分当OC与OD重合时和OC与OD互为反向延长线时进行讨论即可；(3)分三种情况进行讨论即可．【详解】(1)解：∵射线OC绕点O顺时针旋转，从OA出发，每秒旋转10°，射线OD绕点O逆时针旋转，从OB出发，每秒旋转20°，射线OC与OD同时旋转，∴当t=2时，∠AOC=10°×2=20°，∠BOD=20°×2=40°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠BOD=180°-20°-40°=120°．故答案为：120．(2)当OC旋转到与OB重合时，t=180°÷10°=18(秒)，当射线OC与OD旋转到同一条直线上时，设旋转的时间为t秒，有以下几种情况：当OC与OD重合时，①当OD到达OA之前时，∴∠AOC+∠BOD=180°，∵∠AOC=10°×t=10°t，∠BOD=20°×t=20°t，∴10°t+20°t=30°t=180°，解得t=6，②当OC与OB重合时，t=18，∵20°t=20°×18=360°，∴OD绕点O旋转360°与OB重合，此时OC与OD重合，符合题意；当OC与OD互为反向延长线时，OD到达OA之后继续旋转且OC到达OB之前时，∴∠BOC+∠BOD=180°，∵∠BOC=180°-10°t，∠BOD=360°-20°t，∴180°-10°t+360°-20°t=180°，解得：t=12，∴综上所述，当射线OC与OD旋转到同一条直线上时，t的值为6秒或12秒或18秒．(3)①当OC与OD重合之前，即t≤6，则∠AOC=10°t，∠BOD=20°t，∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∴∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∴10°t+20°t+90°=180°，解得：t=3；②当OC与OD重合之后但OD到达OA之前，即6<t≤9，则∠AOC=10°t，∠BOD=20°t，∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∵∠AOC-∠COD+∠BOD=180°，∴10°t-90°+20°t=180°解得：t=9；③当OC与OD重合之后，OD到达OA之后继续旋转且OC到达OB之前，即9<t≤18，则∠BOD=360°-20°t，∠BOC=180°-10°t，∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∵∠COD=∠BOC+∠BOD=180°-10°t+360°-20°t=540°-30°t，∴540°-30°t=90°，解得：t=15．综上所述，当t=3秒或9秒或15秒时，OC⊥OD．故答案为：3秒或9秒或15秒．【点睛】本题考查角的计算，一元一次方程的应用，运用了分类讨论的思想和方程的思想．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2(2023上·湖南株洲·七年级统考期末)如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线．(1)若∠BOC=40°，∠BOA=60°，求∠DOE的度数；(2)若∠AOC=130°，求∠DOE的度数；(3)你发现∠DOE与∠AOC有什么等量关系？请你给出结论并予以说明．【答案】(1)50°(2)65°(3)∠DOE=12∠AOC，详见解析【分析】(1)根据角的平分线和角的和计算即可．(2)根据角的平分线和角的和计算即可．(3)根据角的平分线和角的和计算即可．【详解】(1)∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，∴∠DOB=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，∵∠BOC=40°，∠BOA=60°，∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=12∠AOB+12∠BOC=1260°+40°=50°．(2)∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，∴∠DOB=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，∵∠AOC=130°，∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOB+∠BOC=12∠AOC=12×130°=65°．(3)∠DOE 与∠AOC 的等量关系为：∠DOE =12∠AOC ．理由如下：∵OD 是∠AOB 的平分线，OE 是∠BOC 的平分线，∴∠DOB =12∠AOB ，∠BOE =12∠BOC ，∵∠AOC =∠AOB +∠BOC ，∴∠DOE =∠DOB +∠BOE =12∠AOB +12∠BOC =12∠AOB +∠BOC =12∠AOC ．故∠DOE =12∠AOC ．【点睛】本题考查了角的平分线即把一个角分成相等两个角的射线，两个角的和，熟练掌握定义和运算是解题的关键．3(2023上·福建福州·七年级统考期末)如图，在数轴上点A 表示的数是a ，点B 表示的数是b ，且a -8 +b +6 2=0，(1)填空：a =，b =；(2)在线段AB 上有一点C ，满足AC =12BC ，求点C 表示的数；(3)动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t 秒，当t <7时，QP +QA QM的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．【答案】(1)8，-6(2)103(3)QP +QA QM的值不会发生变化，详见解析【分析】(1)根据非负数的性质，可得a -8=0,b +6=0，即可求解；(2)先求出AB =14，可得BC =283，即可求解；(3)根据题意可得依题意得：AP =6t ,AQ =4t +14,AM =3t ，从而得到PQ =AQ -AP =14-2t ，QM =AQ -AM =14+t ，即可求解．【详解】(1)解：∵a -8 +b +6 2=0，∴a -8=0,b +6=0，解得：a =8,b =-6；故答案为：8，-6(2)解：∵a =8,b =-6，∴AB =8--6 =14，∵AC =12BC ，∴AB =AC +BC =32BC =14，∴BC =283，∴点C 表示的数为-6+283=103；(3)解：QP +QA QM的值不会发生变化，依题意得：AP =6t ,AQ =4t +14,AM =3t ，∴PQ=AQ-AP=4t+14-6t=14-2t，QM=AQ-AM=4t+14-3t=14+t，∴QP+QAQM=14-2t+4t+1414+t=28+2t14+t=2，∴QP+QAQM的值不会发生变化．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．4(2023上·福建莆田·七年级统考期末)如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起．观察分析：(1)若∠DCE=35°，则∠ACB=；若∠ACB=150°，则∠DCE=；(2)请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系，并说明理由；(3)如图2，若将两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，请说明理由；(4)如图3，如果把任意两个锐角∠AOB、∠COD的顶点O重合在一起，已知∠AOB=α，∠COD=βα、β都是锐角)，请你直接写出∠AOD与∠BOC的关系．【答案】(1)145°；30°(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析(3)∠DAB+∠EAC=120°，理由见解析(4)∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解析【分析】(1)已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；(2)根据前个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前问的解决思路得出证明；(3)根据(1)(2)解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明；(4)先计算∠AOD=β+∠COA，再加上∠BOC可得结果．【详解】(1)∵∠ACD=90°，∠DCE=35°，∴∠ACE=90°-35°=55°，∵∠BCE=90°，∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=55°+90°=145°；∵∠BCE=90°，∠ACB=150°，∴∠ACE=150°-90°=60°，∵∠ACD=90°，∴∠DCE=90°-60°=30°，故答案为：145°，30°；(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由：∵∠ACE+∠ECD=90°，∠ECD+∠DCB=90°，∴∠ACE+∠ECD+∠ECD+∠DCB=180°，∵∠ACE+∠ECD+∠DCB=∠ACB，∴∠ACB+∠ECD=180°；(3)∠DAB+∠EAC=120°，理由：∵∠DAE+∠EAC=60°，∠EAC+∠CAB=60°，∴∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB=120°，∵∠DAE+∠EAC+∠CAB=∠DAB，∴∠DAB+∠EAC=120°．(4)∠AOD+∠BOC=α+β，理由是：∵∠AOD=∠DOC+∠COA=β+∠COA∴∠AOD+∠BOC=β+∠COA+∠BOC=β+∠AOB=α+β【点睛】本题考查了角的计算，角的和差，余角和补角，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．5(2023上·贵州黔东南·七年级统考期末)已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)【解决问题】：①当t=1秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数；②问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)【探索问题】：若M为AQ的中点，N为BP的中点，直接写出线段MN与线段PQ的数量关系．【答案】(1)①点P表示的数为5；点Q所表示的数为-2；②点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度；(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12．【分析】(1)①根据已知可得B点表示的数为8-12；根据点的运动方式即可得出点P、Q表示的数t；②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ =AB+3，列出方程求解即可；(2)根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论．【详解】(1)①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8-12=-4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8-3×1=5．动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，-4+2×1=-2点P表示的数为5；点Q所表示的数为-2．②设点P运动x秒时，则AP=3x，BQ=2x，当Q在P左侧时，与Q相距3个单位长度，如图：∵AP +BQ =AB -3，∴3x +2x =12-3，解得：x =1.8，当Q 在P 右侧时，与Q 相距3个单位长度，如图：∵AP +BQ =AB +3，∴3x +2x =12+3解得：x =3．∴点P 运动1.8秒或3秒时与点Q 相距3个单位长度．(2)2MN +PQ =12或2MN -PQ =12；理由如下：P 在Q 右侧时，如图，有：MN =MQ +NP -PQ=12AQ +12BP -PQ =12(AQ +BP -PQ )-12PQ =12AB -12PQ =12(AB -PQ )，∴MN =12(AB -PQ )即：2MN +PQ =12．同理P 在Q 左侧时有：2MN -PQ =12．【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．6(2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末)如图1，平面上顺时针排列射线OA ，OB ，OC ，OD ，∠BOC =90°，∠AOD 在∠BOC 外部且为钝角，∠AOB :∠COD =6:7，射线OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠AOD (题目中所出现的角均小于180°且大于0°)．(1)若∠AOD =140°，∠AOM =，∠CON =；(2)6∠CON -∠AOM 的值是否随着∠AOD 的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由；(3)在(1)的条件下，将∠AOB 绕点O 以每秒2°的速度顺时针旋转得到∠A 1OB 1(OA ，OB 的对应边分别是OA1，OB1)，若旋转时间为t秒(0<t<180)，当∠A1OC+6°=∠B1OD时，求出t的值．【答案】(1)75°，140°；(2)6∠CON-∠AOM的值不会随着∠AOD的变化而变化，理由见解析；(3)76或者169【分析】(1)由周角求出∠AOB+∠COD=130°，根据∠AOB:∠COD=6:7求得∠AOB=60°，∠COD= 70°，从而求出∠AOC=150°，再根据角平分线定义求出∠DON和∠AOM，从而可得出结论；(2)设∠AOD=a，则∠AOB=613270°-a，∠COD=713270°-a，再用含a的式子表示∠CON，∠AOC，代入6∠CON-∠AOM可得结论；(3)求出∠AOC=150°，∠BOD=160°，分五种情况讨论求解即可．【详解】(1)解∶∵∠BOC=90°，∠AOD=140°，∴∠AOB+∠COD=130°，∵∠AOB:∠COD=6:7，∴∠AOB=60°，∠COD=70°；∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°，∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD，∴∠AOM=12∠AOC=75°，∠DON=12∠AOD=70°，∴∠CON=∠DON+∠COD=140°，故答案为∶75°，140°；(2)解：6∠CON-∠AOM的值不会随着∠AOD的变化而变化，理由如下∶设∠AOD=a，∵∠BOC=90°，∠AOD=a，∴∠AOB+∠COD=270°-a，∵∠AOB:∠COD=6:7，∴∠AOB=613270°-a，∠COD=713270°-a，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=613270°-a+90°=2790°-6a13，∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD，∴∠AOM=12∠AOC=1395°-3a13，∠DON=12∠AOD=12a，∴∠CON=∠DON+∠COD=12a+713270°-a=3780°-a26，∴6∠CON-∠AOM=6×3780°-a26-1395°-3a13=765°，∴6∠CON-∠AOM的值不会随着∠AOD的改变而改变；(3)解：∠AOC=90°+60°=150°，∠BOD=70°+90°=160°，且题目中所出现的角均小于180°且大于0°，①当∠A1OC=150°-2°t，∠B1OD=160°-2°t(0<t<75)时，∵∠A1OC+6°=∠B1OD，∴150°-2°t+6°=160°-2°t，此时，无解；②当∠A1OC=2°t-150°，∠B1OD=160°-2°t(75<t<80)时，∵∠A1OC+6°=∠B1OD，∴2°t-150°+6°=160°-2°t，解得，t=76；③当∠A1OC=2°t-150°，∠B1OD=2°t-160°(80<t<165)，∵∠A1OC+6°=∠B1OD，∴2°t-150°+6°=2°t-160°，此时无解．④当∠A1OC=360°-2°t+150°=510°-2°t，∠B1OD=2°t-160°(165<t<170)，∵∠A1OC+6°=∠B1OD，∴510°-2°t+6°=2°t-160°，解得：t =169．⑤当∠A 1OC =360°-2°t +150°=510°-2°t ，∠B 1OD =360°-2°t +160°=520°-2°t (170<t <180)，∵∠A 1OC +6°=∠B 1OD ，∴510°-2°t +6°=520°-2°t ，此时无解．综上：t 的值为76或者169．【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差以及一元一次方程在几何方面的运用，是学习方程之后接触平面几何中一道典型的数型结合题，有利于对数学学科本质的认识．在计算时易出错不会用一个式子代入表示另一个式子，隐含了数学消元思想，熟练掌握各知识点是解题的关键．7(2023上·四川成都·七年级统考期末)在同一平面内，以点O 为公共顶点的∠AOB 和∠POQ ，满足2∠AOQ =∠BOP ，则称∠POQ 是∠AOB 的“二倍关联角”．已知∠AOB =60°(本题所涉及的角均小于平角)．(1)如图1，若∠AOQ =45°，OQ 在∠AOB 内，且∠POQ 是∠AOB 的“二倍关联角”，则∠AOP =；(2)如图2，若射线OP 、OQ 同时从射线OB 出发绕点O 旋转，射线OP 以10°/秒的速度绕点O 逆时针方向旋转，到达直线BO 后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线OQ 以6°/秒的速度绕点O 逆时针方向旋转，射线OQ 到达直线BO 时，射线OP 、OQ 同时停止运动，设运动时间t 秒，当t 为何值时，∠POQ 是∠AOB 的“二倍关联角”；(3)如图3，∠POQ 保持大小不变，在直线BO 上方绕点O 旋转，若∠POQ 是∠AOB 的“二倍关联角”，设∠POQ =m °，请直接用含m 的代数式表示∠BOP 的大小．【答案】(1)30°或150°；(2)t =6011或24011；(3)120°+2m 3或2m +120°．【分析】(1)根据“二倍关联角”的概念，得到∠BOP =90°，分两种情况讨论即可得到答案；(2)分三种情况讨论：①当0≤t <10时；②当10<t <18时；当18<t <30时，分别用含t 的式子表示出∠AOQ 和∠BOP ,再利用“二倍关联角”的概念列方程求解即可得到答案；(3)分三种情况讨论：①当∠POQ 在∠AOB 内部时；②当OA 在∠POQ 内部时；③当∠POQ 在∠AOB 外。
冀教版七年级上册数学第5章 一元一次方程 几何图形及动点问题
②当2＜t≤6时，|3t－6－2t|＝2，解得t3＝4，t4＝8. t4＝8＞6不符合题意舍去．
综上，t＝45或 t＝85或 t＝4 时满足题意． 【答案】45或85或 4
(1)运动t秒时，点P和点Q的运动路程 分别为______和________． (2)当t等于多少t 时，点Q2和t 点P第一次相遇？
解：根据题意，得2t＝t＋6，解得t＝6， 所以当t＝6时，点P和点Q第一次相遇．
(3)当t等于多少时，点Q和点P第二次相遇？当t等于多少 时，点Q和点P第n次相遇？
【点拨】因为点C表示的数为6，点A表示的数为－4，
依所题以意点可B知表，示运的动数t是秒6时－2，4＝P1表. 示的数为－4＋2t，Q表示
的数为1－t，点P与点Q之间的距离为2个单位长度时，分 两种情况： ①P在Q的左边， 因为PQ＝2，所以(1－t)－(－4＋2t)＝2，解得t＝1；
②P在Q的右边，
【答案】3；C
8 ． 如 图 ， 用 10 张 相 同 的 长 方 形 纸 条 拼 成 一 个 大 长 方 形．设长方形纸条的长为xcm，求x的值．
解：由题图知长方形纸条的宽为13x cm， 所以13x·2＋x＝75， 解得 x＝45，即 x 的值为 45.
9.如图，一块长5cm、宽2cm的长方形纸板，一块长4cm、 宽1cm的长方形纸板与一块正方形纸板以及另两块长 方形的纸板，恰好拼成一个
(1)若点A表示的数为0，求点B，点C表示的数；
解：因为0－4＝－4，所以点B表示的数为－4. 因为－4＋7＝3，所以点C表示的数为3.
(2)在(1)的条件之下，若小虫P从点B出发，以每秒0.5个单 位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一只小虫Q恰 好从点C出发，以每秒0.2个单位长度的速度沿数轴向 左运动，设两只小虫在数轴上的D点相遇，求D点表 示的数是多少？
七年级下册数学立体几何中的动线问题
七年级下册数学立体几何中的动线问题引言立体几何是数学中的一个分支，探讨的是三维空间中的几何图形和物体。
在七年级下册的数学课程中，我们将研究立体几何中的动线问题，通过分析和解决这些问题，帮助学生进一步理解立体几何的概念和应用。
动线问题的解决方法动线问题是指在给定的几何图形或物体中，某一点或物体运动时所经过的路径。
我们可以通过以下方法来解决这类问题：1. 观察和分析：首先，我们需要仔细观察几何图形或物体，并分析其特点。
我们可以关注其形状、边界、交点等信息，从而确定运动路径的可能性。
2. 坐标系的应用：在解决动线问题时，我们可以引入坐标系的概念。
通过将几何图形或物体的运动用坐标表示，我们可以更直观地理解动线的轨迹和关系。
3. 利用几何属性：在立体几何中，许多图形具有特殊的几何属性，比如平行、垂直、对称等。
我们可以利用这些属性来推导出动线的路径。
4. 应用数学工具：除了几何的方法外，我们还可以应用一些数学工具来解决动线问题，比如代数方程、三角函数等。
这些工具可以帮助我们建立模型和推导出运动路径的表达式。
实例分析让我们通过一个实例来进一步理解动线问题的解决方法。
假设有一个正方体，一只蚂蚁从正方体的一个顶点出发，沿着边缘移动，最终回到起点。
我们可以利用观察和分析的方法来解决这个问题。
首先，我们观察正方体的形状和边界，发现正方体有6个边，每个边上都有一个顶点。
根据正方体的对称性，我们可以得出蚂蚁只能沿着正方体的边缘移动。
接着，我们引入坐标系，令正方体的一个顶点为原点，边长为1。
沿着正方体的边缘移动可以表示为一系列的坐标点，我们可以建立一个坐标列表。
根据正方体的性质，蚂蚁移动的轨迹应该是一个闭合回路，即最终回到原点。
通过观察坐标列表，我们可以发现蚂蚁移动的路径是一个正方形。
通过实例分析，我们可以看到在解决动线问题时，观察和分析的方法非常重要。
结合几何属性和数学工具，我们能够更好地理解和解决动线问题。
总结动线问题是数学中立体几何的一个重要概念，通过解决这类问题，我们可以加深对立体几何的理解。
七年级上册数学动点问题
七年级上册数学动点问题
动点问题是指在几何图形中，点的坐标发生变化时，研究图形的变化规律的问题。
在七年级上册数学中，动点问题主要包括以下几种类型：
1. 动点轨迹问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点的轨迹。
例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A的轨迹。
2. 动点距离问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点到另一个固定点的距离。
例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A到定点P(a, b)的距离。
3. 动点面积问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点与另一个固定点围成的图形的面积。
例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A与定点P(a, b)围成的三角形的面积。
4. 动点角度问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点与另一个固定点连线与某个方向的夹角。
例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A与定点P(a, b)连线与x轴的夹角。
5. 动点对称问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点关于某个固定点的对称点的坐标。
例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A关于定点P(a, b)的对称点的
坐标。
解决动点问题的关键是找出动点的坐标变化规律，然后根据题目要求求解相应的几何量。
在解题过程中，要注意运用所学的几何知识，如平行线、垂直线、相似三角形等性质。
3.3 第1课时 几何图形问题与行程问题课件 2024-2025学年沪科版(2024)数学七年级上册
则3.1(x－20)＝1798.
因此，无风时飞机的航速为600 km/h，这两个城市之间的距离为
1798 km.
例4 兄弟两人进行晨练，欲从家门口出发到公园去，哥哥每分钟
跑250米，弟弟每分钟跑200米，哥哥因找跑鞋比弟弟晚出发3分
钟，最终两人同时到达终点，求两人所跑的路程.
时50分，逆风飞行要3小时，求两城市之间的距离．
解：设飞机在无风时的速度为x km/h，则在顺风中的速度为(x＋24)
km/h ，在逆风中的速度为(x－24)km/h.
根据题意，得
解得
17
( x＋24)＝3( x－24) .
6
x=840.
两城市的距离为3×(840－24)=2448 (km).
答：两城市之间的距离为2448 km.
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
通过例题的学习，你能总结列方程解应用题的一般步骤吗？
1、审：审题，分析题中各数量之间的关系
2、设：设未知数
3、找：找出能够表示题中全部含义的一个等量关系
4、列：根据等量关系列出方程
5、解：解方程，求出未知数的值
6、答: 检验所求的解，写出答案
例2 某县举办越野赛,选手从起点出发,先沿着山区公路跑步到达补给
所以：15×200=3000（米）.
答：两人所跑的路程为3000米.
随堂演练
1.要锻造直径为50 cm，高为40 cm 的圆柱毛坯， 需要截取边长
为20 cm的方钢多长?设需要截取边长为20 cm 的方钢 x cm， 根
据题意得方程
50
π·( ) ×40＝202x
2
七年级下册数学动角问题
七年级下册数学动角问题七年级下册数学动角问题引言在七年级下册的数学学习中，我们接触到了一种特殊的数学问题，即动角问题。
这种问题对于许多同学来说可能有些难度，但只要理解了其中的思想和技巧，解决这类问题将变得十分简单。
什么是动角问题动角问题是指在平面直角坐标系中，根据已知条件推导出未知角的问题。
我们在解决这类问题时，可以通过运用几何图形的性质和数学定理来寻找解答的方法。
解决动角问题的方法为了解决动角问题，我们可以采用以下步骤:•观察问题：首先，观察题目中给出的已知条件和所要求的未知角的性质。
这样可以帮助我们对问题进行定量分析。
•利用几何图形性质：根据题目中给出的图形，我们可以利用几何图形的性质来分析角度关系。
例如，利用直角三角形的特性或平行线之间的关系等。
•应用数学定理：根据已知条件和观察得到的几何图形性质，我们可以运用数学定理来推导和解决问题。
例如，根据三角形内角和定理来求解未知角的数值。
•验证答案：在得到解答后，务必进行验证。
通过将解答代入原问题中，可以判断是否符合题目的要求。
动角问题的练习为了更好地理解和掌握动角问题的解决方法，我们可以进行一些练习。
以下是一些例题：1.已知直角三角形的一个内角为30度，求另一个内角的数值。
2.若两条直线平行，其中一条直线与另一条直线成60度的夹角，求其他夹角的度数。
3.在一个等边三角形中，每个内角的度数相等，求每个内角的度数。
4.若两直线相交，四个内角的度数之和为多少度？5.已知一个内角的度数为120度，另一个内角是它的一半，求每个内角的度数。
结论通过对动角问题的学习和练习，我们可以更好地理解几何图形的性质和数学定理，并能够运用它们来解决问题。
希望同学们通过不断练习和思考，能够在数学学习中掌握动角问题的解决方法，提升自己的数学能力。
拓展思考除了以上列举的例题外，我们还可以通过一些拓展思考来深入理解动角问题的解决方法：1.如何确定一条直线与坐标轴之间的夹角？2.如何利用反演方法解决动角问题？3.如何使用动角问题解决实际生活中的几何问题？动角问题的应用动角问题在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在建筑、设计和工程等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
七年级的动态几何图形问题摘要：动态几何这类问题，已成为初中生他们日常学习中的重难点以及考试中的失分点。
本文将通过一些具体的实例重点介绍七年级动态几何问题的分类、特点以及解题方法，并对这类问题进行归纳与总结，从解决几个典型例子中找出解决七年级动态几何问题的一般规律，帮助他们解决数学的一大障碍。
关键词：动点；数形结合；数轴；类比七年级的动态几何问题主要有“点动”和“角动”这两类。
例1.已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x.（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_____（2）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，N的距离相等？分析：这是一道典型的数轴上的动点问题，如果能利用数轴上的“中点”公式（）、和动态点的数量表示即起始点数a，向右（左）运动，速度为b，时间为t，就可表示为a+bt（a-bt），解决起来就容易得多。
解析：（1）点P到点M，点N的距离，P即为MN的中点，点P对应的值即为（2）此题如果用一般的方法去解决，即先画图再分析数量关系，势必要画出运动过程的点的动态图形，例如图（2）而图2只是其中一种图形而已，三个动点运动之后，还会出现图（3）、图（4）、图（5）但是如果利用数轴上的中点公式和点的数量表示，P到点M，N的距离即分为两种情况，其1运动后的点P是点M’和N’的中点，，t=2；其2就是M’与N’两点重合，.总结：解决动点问题要数形结合，巧用数轴“中点”公式和动态点的数量表示。
例2.如图1，A是数轴上一定点，A表示的数是5，B是数轴上一动点，B从原点O出发沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，点C在点B的右侧，BC=1，点D在点B的左侧，BD=2AC，设B运动的时间为t秒。
（1）若点B在线段OA上运动，且CD=2，求t 的值.（2）整个运动过程中，当OD=AC时，写出点D 所表示的数。
分析：（1）如果先画图，图形情况不一，C在A 的左边，C在A的右边，两种情况下D可能在O的左边，也可能在O的右边，学生需要先算出各种临界值，来判断各种情况是否存在。
如果利用前面例1提到的数轴上点的数量表示法，先表示出C，D，马上就能迎刃而解。
解析：点C：t+1，由题意点D即可表示为：t-1，那么BD=t-（t-1）=1，AC=0.5，再根据C有两种可能的位置，t+1=4.5，t+1=5.5，求出t=3.5或4.5.分析：（2）类似于（1），如果先考虑图形，将会有四种可能的情况，同样情况复杂，如果利用数轴上的距离公式即，先一网打尽，再分类求解即可。
解析：C：t+1，，BD=2AC，BD=2t-4，D=t-2t-4，OD=t-2t-4-0，即可得方程：t-2t-4-0=t-4，然后再分类讨论解决绝对值方程。
总结：七年级的动态问题，不必急于画图，学会用绝对值方程一网打尽。
例3 如图，教室里挂的时钟，时针、分针、秒针均按时匀速转动，分别用OB，OA，OC来表示，（1）秒针的速度为____度/秒；分针的速度为____度/秒；时针的速度为_____度/秒（2）从4点到6点有几次∠AOB等于60°，分别是几时几分？（3）从4点整开始，若秒针OC从12的位置上开始，经过多少秒，OC第一平分∠AOB.分析：第（2）中，根据OA和OB的运动速度，它们的位置关系一定会出现两种情况，再根据4点到5点，5点到6点两个时间段，将出现4种可能。
每一种图形中，根据其中角的和差关系建立方程，对于七年级的学生来说难度是比较大的。
但是如果把射线的运动类比作“追及问题”，那么解决起来就一点都不难了。
解析：追及问题的公式：，4点整即为初始位置，∠AOB为120°，若∠AOB变为60°，“路程差”即为60°或180°，，或是.如果换成5点到6点之间，那么起始位置的∠AOB=150°，或是。
分析：第（3）题中，OA，OB，OC三条射线都在运动，由图像得出角的和差关系，显然难度很大，如果把角的角平分线类比作“中点”，将12时的位置看作数轴上的原点，那么问题就很好解决。
秒针的速度为6度/秒，分针的速度为0.1度/秒，时针的速度为度/秒，类比于数轴上点的表示，可以把射线OA表示作：0+0.1t，射线OB表示作：，射线OC表示为：0+6t，射线OC平分∠AOB即可类比作C是A和B的中点，利用“中点公式”，可得，即可解得。
总结：角的动态问题即射线运动，可以类比为点的“追及问题”；角平分线问题也可类比为“中点问题”。
例4：如图1，∠AOB=30°，∠BOC为∠AOB外的一个锐角，且∠BOC=80°（1）如图2若OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数。
（2）如图，射线OP从OC处以10°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，求多少分钟时，∠MON的度数是30°？直接写出答案。
[注：本题所涉及的角都是小于180°的角]分析：（1）可以根据角平分线的和差关系解决；第（2）问，很多同学也是先画出图形，然后再根据角的和差关系去解决，难度是相大的，因为有两条动态的射线，进而又产生两条动态的角平分线，图形虽然已有，但角的和差关系还是十分复杂。
在解决完第（1）后，如果能进一步推导∠MON的角度的规律，∠MON 的度数一定等于∠AOB的一半，那么将可以非常简单地解决第（2）问。
解析：不妨先来推导一下（1）的一般规律：设∠AOB=a，∠BOC=b，∠AOC=a+b，，，那么，也就是说：原来两个角的差为a，各自的角平分线所形成的角的度数即为；其实还可推广到：原来两个角的和为a，各自的角平分线所形成的角的度数也为。
有了这个规律，第（2）中∠MON的度数是30°，可以反推出∠AOQ=60°，那么本来是要考虑4条动态射线的问题只要考虑OQ一条即可。
OQ可以表示为：30+10t，∠AOQ=60°，30+10t=60或者30+10t=300.总结：两条角平分线的问题经常会存在规律，如果根据数量关系将规律总结出来，可以帮助解复杂的动态问题。
通过对以上四道题的分析，七年级的动态几何图形显然不同于中考复习中的动点问题，不要急于画出动态的分类图形，而是要学会数形结合，灵活运用数轴的中点公式、动点的数量表示，距离公式绝对值方程等代数方法去解决，而动态角的问题，图形更为复杂，巧用类比方法和探究数量规律，问题便可迎刃而解。
参考文献：[1]王中文.初中数学动点问题的解题策略.读与写：教育教学刊，2012[2]姚万里，丁艳芳.动点入题心旷神怡[J].中学生数理化，2012（5）：17-18.2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）英语第Ⅰ卷（选择题共50分）第一部分听力（共两节，满分30分）回答听力部分时，请先将答案标在试卷上。
听力部分结束前，你将有两分钟的时间将您的答案转涂到客观答题卡上。
第一节（共5小题：每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项选出最佳选项，并标在试卷的相应位置，听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下小题，每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. ξ19.15.B. ξ9.15.C. ξ9.18答案是B。
1.Where does this conversation probably take place?A. In a bookstore.B. In a classroomC. In a library2. At what time will the film begin?A. 7:20B. 7:15C.7:003.What are the two speakers mainly talking about?A. Their friend Jane.B. A weekend tripC.A radio programme4.What will the woman probably do?A. Catch a trainB. See the man offC. Go shopping5. Why did the woman apologize?A. She made a late deliveryB. She went to the wrong placeC. She couldn’t take the cake back第二节（共15小题：每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话。
每段对话有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出的最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的做答时间。
每段对话读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6. Whose CD is broken?A. Kathy’sB. Mun’sC. Jack’s7. What dose the boy promise to do for the girl?A. Buy her new CD.B. Do some cleaning.C. Give her 10 dollars.听第7段材料，回答第8、9题。
8．What did the man think of the meal?A. Just so-so.B. Quite satisfactoryC.A bit disappointing.9. What was the 15% on the bill paid for ?A. The foodB. The drinksC. The service.。