(完整word版)直线与圆的方程典型例题

∴所求圆的方程为 (x 1)2 ( y 3)2 5 或 ( x 5) 2 ( y 15)2 125 ．
说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到 圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．
例 4、 设圆满足： (1)截 y 轴所得弦长为 2； (2) 被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为 3 :1 ，在满足条件
y 3 x 2即 x y 1 0．
又知圆心在直线 y 0 上，故圆心坐标为 C ( 1 , 0)
∴半径 r AC (1 1)2 42 20 ． 故所求圆的方程为 (x 1)2 y 2 20 ． 又点 P (2 , 4) 到圆心 C ( 1 , 0) 的距离为
d PC (2 1)2 42 ∴点 P 在圆外．
圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解： ∵圆和直线 x 2y 0与 2x y 0 相切， ∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 x 2y 0 和 2x y 0 的距离相等．
x 2y x 2y
∴
．
5
5
∴两直线交角的平分线方程是
x 3y 0 或 3x y 0 ．
第 2 页 共 21 页
类型一：圆的方程
高中数学圆的方程典型例题
例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关
系．
分析： 欲求圆的标准方程， 需求出圆心坐标的圆的半径的大小， 而要判断点 P 与圆的位置关系， 只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系， 若距离大于半径， 则点在圆外； 若距离等于半径，
若两圆相切，则 CA 4 3 7 或 CA 4 3 1． (1) 当 C1(a , 4) 时 ， (a 2)2 (4 1)2 7 2 ， 或 (a 2)2 (4 1) 2 12 ( 无 解 ) ， 故 可 得
a 2 2 10 ． ∴所求圆方程为 ( x 2 2 10 )2 ( y 4)2 4 2 ，或 (x 2 2 10)2 ( y 4) 2 4 2 ． (2) 当 C 2( a , 4) 时 ， (a 2)2 ( 4 1)2 7 2 ， 或 (a 2) 2 ( 4 1) 2 12 ( 无 解 ) ， 故
25 r ．
例 2 求半径为
4，与圆
2
x
2
y
4x 2y
4
0 相切，且和直线
y
0 相切的圆的方程．
第 1 页 共 21 页
分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解： 则题意，设所求圆的方程为圆 C：( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 ． 圆 C 与直线 y 0相切，且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 C1( a , 4) 或 C 2(a , 4) ． 又已知圆 x2 y2 4 x 2 y 4 0 的圆心 A 的坐标为 (2 ,1) ，半径为 3．
上述误解只考虑了圆心在直线 y 0 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 y 0 下方的情形．另外，误
解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．
例 3 求经过点 A( 0 , 5) ，且与直线 x 2 y 0 和 2x y 0 都相切的圆的方程． 分析：欲确定圆的方程． 需确定圆心坐标与半径， 由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标． 又
又∵圆过点 A(0 , 5) ，
∴圆心 C 只能在直线 3x y 0 上．
设圆心 C (t , 3t )
∵ C 到直线 2x y 0 的距离等于 AC ，
2t 3t
∴
5
t 2 (3t 5) 2 ．
化简整理得 t 2 6t 5 0 ． 解得： t 1或 t 5 ∴圆心是 (1, 3) ，半径为 5 或圆心是 (5 ,15) ，半径为 5 5 ．
则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为 (x a )2 ( y b) 2 r 2 ．
∵圆心在 y 0上，故 b 0 ．
∴圆的方程为
(x
2
a)
2
y
2
r．
又∵该圆过 A(1, 4) 、 B (3 , 2) 两点．
(1 a ) 2 16 r 2
∴
(3 a) 2 4 r 2
解之得： a 1 ， r 2 20 ．
所以所求圆的方程为 ( x 1)2 y2 20 ．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过 A(1 , 4) 、 B (3 , 2) 两点，所以圆心
C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为
k AB 4 2 13
1 ，故 l 的斜率为 1，又 AB 的中点为 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分线 l 的方程为：
(1)(2) 的所有圆中，求圆心到直线 l： x 2 y 0 的距离最小的圆的方程．
分析： 要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个 条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线 的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方 程．
a 2 2 6． ∴所求圆的方程为 (x 2 2 6 ) 2 ( y 4) 2 42 ，或 ( x 2 2 6 ) 2 ( y 4) 2 42 ．
说明： 对本题，易发生以下误解：
由 题 意 ， 所 求 圆 与 直 线 y 0 相 切 且 半 径 为 4 ， 则 圆 心 坐 标 为 C( a , 4) ， 且 方 程 形 如
解法一： 设圆心为 P (a , b) ，半径为 r ．
则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a ．
由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ，故圆截 xFra Baidu bibliotek轴所得弦长为 2 r ．
∴ r 2 2b2 又圆截 y 轴所得弦长为 2． ∴ r 2 a2 1．
2
2
2
2
2
2
2
2
( x a) ( y 4) 4 ．又圆 x y 4 x 2 y 4 0 ，即 (x 2) ( y 1) 3 ，其圆心为
A(2 ,1) ，半径为 3．若两圆相切， 则 CA 4 3 ．故 (a 2) 2 (4 1)2 72 ，解之得 a 2 2 10 ．所
以欲求圆的方程为 ( x 2 2 10 )2 ( y 4)2 42 ，或 (x 2 2 10 )2 ( y 4)2 4 2 ．