连云港市东海高级中学2012-2013学年高三(上)期中数学试卷(文科)

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江苏省东海高级中学高三数学试卷(doc 8页)

江苏省东海高级中学高三第二次调研考试全真模拟数学试卷第Ⅰ卷（必做题部分共160分）参考公式：线性相关系数公式：线性回归方程系数公式：，其中，．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．若集合，满足，则实数= ▲．2．已知虚数z满足等式：，则▲．3．函数的最小正周期是▲．4.某算法的伪代码如右：则输出的结果是▲ .5已知条件p:x≤1，条件q：，则p是q的▲条件.6.甲、乙两同学各自独立地考察两个变量X、Y的线性相关关系时，发现两人对X的观察数据的平均值相等，都是s，对Y t，各自求出的回归直线分别是l1、l2，则直线l1与l2必经过同一点▲.7. .给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若；②若m、l是异面直线，；③若；④若其中为真命题的是▲.8. 已知实数满足则的取值范围是_____ ▲___．9.在0到1之间任取两个实数，则它们的平方和大于1的概率是▲.10. 椭圆，右焦点F（c,0），方程的两个根分别为x1,x2，则点P（x1,x2）在与圆的位置关系是▲.11.已知数列中，，其通项公式= ▲.12.三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视为变量，为常量来分析”.乙说：“寻找与的关系，再作分析”.丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是▲．13. 线段上的一点，直线外一点，满足，，，为上一点，且，则的值为▲ .14. 给出定义：若（其中m为整数），则m 叫做离实数x最近的整数，记作= m. 在此基础上给出下第4题列关于函数的四个命题：①函数y=的定义域为R ，值域为；②函数y=的图像关于直线（）对称；③函数y=是周期函数，最小正周期为1；④函数y=在上是增函数。

其中正确的命题的序号 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内.15、（本小题满分14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，…后画出如下部分．．频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数； (2)估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.16．（本小题满分14分）已知（1）的解析表达式；（2）若角是一个三角形的最小内角，试求函数的值域． 17．（本小题满分14分）如图，四棱柱的底面边长和侧棱长均为1，为中点．（1）求证：；（2）求证：；（3）求四棱柱的体积．18．（本小题满分1６分）有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C ：的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. （1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积.19. （本小题满分16分）已知函数(其中) ,点从左到右依次是函数图象上三点,且. （1）证明: 函数在上是减函数；（2）求证：⊿是钝角三角形;(3) 试问,⊿能否是等腰三角形?若能,求⊿面积的最大值;若不能,请说明理由．20.(本小题16分)已知：集合.（1）证明：不存在，使得1，，既是一个等差数列的前三项，又是一个等比数列的前三项。

数学_2012-2013学年江苏省连云港市某校高三(上)质量检测数学试卷(含答案)

2012-2013学年江苏省连云港市某校高三（上）质量检测数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1. 已知集合A ={x|x 2<3x +4, x ∈R}，则A ∩Z 中元素的个数为________．2. i 是虚数单位，复数1−3i 1−i=________．3. 函数f(x)=log 2(4+3x−x 2)x的定义域为________．4. 连续两次抛掷一枚骰子落在水平面上，则两次向上的点数和等于6的概率是________．5. 已知非零向量a →，b →满足|a →|=|a →+b →|=1，a →与b →夹角为120∘，则向量b →的模为________． 6. 在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a k ＝243，q ＝3，则数列{a n }的前k 项的和S k ＝________． 7. 函数f(x)=ax 2+lnx +1在[e, +∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．8. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k =________．9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =1，A =60∘，c =√33，则△ABC 的面积为________．10. 已知cos(75∘+α)=13，则cos(30∘−2α)的值为________．11. 已知F 1，F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得线段PF 1的中垂线经过焦点F 2，则椭圆离心率的取值范围是________．12. 在平面直角坐标系xy 中，O 是坐标原点，设函数f(x)=k(x −2)+3的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题： ①使△AOB 的面积s =6的直线l 仅有一条； ②使△AOB 的面积s =8的直线l 仅有两条； ③使△AOB 的面积s =12的直线l 仅有三条； ④使△AOB 的面积s =20的直线l 仅有四条．其中所有真命题的序号是________．13. 已知：点P 的坐标(x, y)满足：{x −4y +3≤03x +5y −26≤0x −1≥0.及A(4, 0)，则|OP →|⋅cos∠AOP （O 为坐标原点）的最大值是________．14. 已知三次函数f(x)=a3x 3+b2x 2+cx +d(2a <b)在R 上单调递增，则a+b+cb−2a 的最小值为________．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设函数f(x)=sin(2x+π6)+cos2x+√3sinx⋅cosx．（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期．（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=13，f(C2)=52，求sinA．16.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2)求证：A1B // 平面ADC1．17. 徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，P、Q是椭圆C上的两个动点，M(1,√62)是椭圆上一定点，F是其左焦点，且PF、MF、QF成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）判断线段PQ的垂直平分线是否经过一个定点，若定点存在，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．19. 已知函数f(x)=e x+ae x(a∈R)（其中e是自然对数的底数）（1）若f(x)是奇函数，求实数a的值；（2）若函数y=|f(x)|在[0, 1]上单调递增，试求实数a的取值范围；（3）设函数ϕ(x)=12(x2−3x+3)[f(x)+f′(x)]，求证：对于任意的t>−2，总存在x0∈(−2, t)，满足ϕ′(x0)e x0=23(t−1)2，并确定这样的x0的个数．20. 已知数列{a n}的首项a1＝2a+1(a是常数，且a≠−1)，a n＝2a n−1+n2−4n+2(n≥2)，数列{b n}的首项b1＝a，b n＝a n+n2(n≥2)．（1）证明：{b n}从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设S n为数列{b n}的前n项和，且{S n}是等比数列，求实数a的值；（3）当a>0时，求数列{a n}的最小项．21. 已知矩阵A=[310−1]，求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量a1→，a2→．22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ−π4)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为{x=1+45ty=−1−35t（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．23. 如图，PA⊥平面ABCD，AD // BC，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB 的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B−PC−D的余弦值．24. 理科附加题：已知(1+12x)n展开式的各项依次记为a1(x)，a2(x)，a3(x)，…a n(x)，a n+1(x)．设F(x)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x)，…+na n(x)+(n+1)a n+1(x)．（1）若a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意x1，x2∈[0, 2]，恒有|F(x1)−F(x2)|≤2n−1(n+2)．2012-2013学年江苏省连云港市某校高三（上）质量检测数学试卷答案1. 42. 2−i3. (−1, 0)∪(0, 4)4. 5365. 16. 3647. (−∞,−12e2]8. 119. √3610. 7911. [13，1)12. ②③④13. 891714. 415. 解：（1）函数f(x)=sin(2x+π6)+cos2x+√3sinx⋅cosx=√32sin2x+12cos2x+1+cos2x2+32sin2x=√3sin2x+cos2x+12=2sin(2x+π6)+12，所以函数f(x)的最大值是52，最小正周期为π．（2）f(C2)=2sin(C+π6)+12=52，所以，2sin(C+π6)=1，又C为△ABC的内角，所以C=π3．又因为在△ABC中，cosB=13，所以，sinB=2√23，所以，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2√2+√36．16. 证明：(1)因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD // A1B.因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B // 平面ADC1.17. 解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500v，全程运输成本为y =a ×500v+0.01v 2×500v=500a v+5v …．故所求函数及其定义域为y =500a v+5v ，v ∈(0, 100]…．（2）依题意知a ，v 都为正数，故有500a v+5v ≥100√a ，当且仅当500a v=5v ，即v =10√a时，等号成立…①若10√a ≤100，即0<a ≤100时，则当v =10√a 时，全程运输成本y 最小． ②若10√a >100，即a >100时，则当v ∈(0, 100]时，有y′=−500a v 2+5=5(v 2−100a)v 2<0．∴ 函数在v ∈(0, 100]上单调递减，也即当v =100时，全程运输成本y 最小．…．综上知，为使全程运输成本y 最小，当0<a ≤100时行驶速度应为v =10√a 千米/时；当a >100时行驶速度应为v =100千米/时．… 18. 解：（1）由离心率为√22及点M(1,√62)在椭圆上，可得{ ca =√221a 2+32b 2=1a 2=b 2+c 2，∴ a 2=4，b 2=2， ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 22=1…（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则由椭圆的第二定义可得|PF|=2+√22x 1，|QF|=2+√22x 2，|MF|=2+√22， ∵ |PF|、|MF|、|QF|成等差数列，∴ 2|MF|=|PF|+|QF|，∴ 2(2+√22)=4+√22(x 1+x 2)，∴ x 1+x 2=2…①当x 1≠x 2时，∵ x 12+2y 12=4，x 22+2y 22=4， ∴ 两式相减，整理可得y 1−y 2x 1−x 2=−12⋅x 1+x 2y 1+y 2设线段PQ 的中点为N(1, n)，∴ PQ 的斜率为−12n ， ∴ 线段PQ 的中垂线方程为y −n =2n(x −1) ∴ (2x −1)n −y =0，∴ 该直线恒过定点A(12, 0)；②当x 1=x 2时，P(1, −√62)，Q(1, √62)或Q(1, −√62)，P(1, √62) ∴ 线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点A(12, 0)．综上，线段PQ 的垂直平分线过点A(12, 0)．…19. 解：（1）∵ 函数f(x)是实数集R上的奇函数，∴ f(0)=0，∴ 1+a=0，解得a=−1．∴ f(x)=e x−e−x，经验证函数f(x)是R上的奇函数．故a=−1适合题意．（2）a=0时，y=e x在区间[0, 1]上单调递增，适合题意；当a≠0时，令t=e x，∵x∈[0, 1]，∴ t∈[1, e]．且t=e x单调递增，故y=|t+at|在t∈[1, e]时递增．当a>0时，函数y=t+at在t∈[1, e]时单调递增，得√a≤1，∴ 0<a≤1．当a<0时，y=t+at 在t∈[1, e]时单调递增恒成立，故∀t∈[1, e]，t+at≥0．∴ −1≤a<0．综上可知：−1≤a≤1．（3）∵ f(x)+f′(x)=e x+ae x +e x−ae x=2e x，∴ φ(x)=(x2−3x+3)e x，∴ φ′(x)φ(x)=x2−x．要证明：对于任意的t>−2，总存在x0∈(−2, t)，满足ϕ′(x0)e x0=23(t−1)2．等价于证明：对任意的t>−2，方程x2−x=23(t−1)2在区间(−2, t)内有实数解．令g(x)=x2−x−23(t−1)2，则g(−2)=6−23(t−1)2=−23(t+2)(t−4)，g(t)=13(t−1)(t+2)．所以①当t>4，或−2<t<1时，g(−2)g(t)<0，∴ g(x)=0在(−2, t)内有解，且只有一解．②当1<t<4时，g(−2)>0，且g(t)>0，但g(0)=−23(t−1)2<0，∴ g(x)=0在(−2, t)内有解，且由两解．③当t=1时，有且只有一个解x=0；当t=4时，有且只有一个解x=3．综上所述：对于任意的t>−2，总存在x0∈(−2, t)，满足ϕ′(x0)e x0=23(t−1)2．且当t≥4或−2<t≤1时，有唯一的x0适合题意；当1<t<4时，有两个不同的x0适合题意．20. ∵ b n＝a n+n2∴ b n+1＝a n+1+(n+1)2＝2a n+(n+1)2−4(n+1)+2+(n+1)2＝2a n+2n2＝2b n(n≥2)由a1＝2a+1得a2＝4a，b2＝a2+4＝4a+4，∵ a≠−1，∴ b2≠0，即{b n}从第2项起是以2为公比的等比数列．S n=a+(4a+4)(2n−1−1)2−1=−3a−4+(2a+2)2n当n≥2时，S nS n−1=(2a+2)2n−3a−4(2a+2)2n−1−3a−4=2+3a+4(2a+2)2n−1−3a−4∵ {S n }是等比数列， ∴S n S n−1(n ≥2)是常数，∴ 3a +4＝0，即a =−43．由（1）知当n ≥2时，b n ＝(4a +4)2n−2＝(a +1)2n ，所以a n ={2a +1(a +1)2n −n 2,(n ≥2)，所以数列{a n }:2a +1，4a ，8a −1，16a ，32a +7，… 显然最小项是前三项中的一项．当a ∈(0,14)时，最小项为8a −1；当a =14时，最小项为4a 或8a −1；当a ∈(14,12)时，最小项为4a ；当a =12时，最小项为4a 或2a +1；当a ∈(12,+∞)时，最小项为2a +1．21. 解：矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−3−10λ+1|=(λ−3)(λ+1)，令f(λ)=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=−1．当λ1=3时，由[310−1][xy ]=3[x y ]，得{3x +y =3x −y =3y ，∴ y =0，取x =1，得到属于特征值3的一个特征向量a 1→=[1]；当λ2=−1时，由[310−1][xy ]=−[x y ]，得{3x +y =−x −y =−y ，取x =1，则y =−4，得到属于特征值−1的一个特征向量a 2→=[1−4]．22. 解：将方程ρ=2√2sin(θ−π4)，{x =1+45ty =−1−35t，分别化为普通方程：x 2+y 2+2x −2y =0，3x +4y +1=0，由曲线C 的圆心为C(−1, 1)，半径为√2．所以，圆心C 到直线l 的距离为√9+16=25，故所求弦长为2√2−(25)2=2√465．23. 证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)， D(0, 3, 0)，P(0, 0, 1)，E(12, 0, 12)，∴ AE →=(12, 0, 12)，BC →=(0, 1, 0)，BP →=(−1, 0, 1)．∴ AE →⋅BC →=0，AE →⋅BP →=0，所以AE →⊥BC →，AE →⊥BP →．所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP ⊂平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ．设平面PCD 的法向量为n →=(x, y, z)，则n →⋅CD →=0，n →⋅PD →=0．因为CD →=(−1, 2, 0)，PD →=(0, 3, −1)，所以{−x +2y =03y −z =0．令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．所以n →=(2, 1, 3)是平面PCD 的一个法向量． ...8分因为AE ⊥平面PBC ，所以AE →平面PBC 的法向量．所以cos <AE →，n →>=AE →⋅n→|AE →||n →|=5√714．根据图形可知，二面角B −PC −D 的余弦值为−5√714． ...10分24. 解：（1）依题意a k (x)=C n k−1(12x)k−1，k =1，2，3，…，n +1， a 1(x)，a 2(x)，a 3(x)的系数依次为C n 0=1，C n 1⋅12=n2，C n 2⋅(12)2=n(n−1)8，所以2×n 2=1+n(n−1)8，解得n =8；（2）F(x)=a 1(x)+2a 2(x)+3a 3(x)，…+na n (x)+(n +1)a n+1(x)=C n 0+2C n 1(12x)+3C n 2(12x)2…+nC n n−1(12x)n−1+(n +1)C n n (12x)n F(2)−F(0)=2C n 1+3C n 2...+nC n n−1+(n +1)C n n设S n=C n0+2C n1+3C n2...+nC n n−1+(n+1)C n n，则S n=(n+1)C n n+nC n n−1...+3C n2+2C n1+C n0考虑到C n k=C n n−k，将以上两式相加得：2S n=(n+2)(C n0+C n1+C n2...+C n n−1+C n n)所以S n=(n+2)2n−1所以F(2)−F(0)=(n+2)2n−1−1又当x∈[0, 2]时，F′(x)≥0恒成立，从而F(x)是[0, 2]上的单调递增函数，所以对任意x1，x2∈[0, 2]，|F(x1)−F(x2)|≤F(2)−F(0)=(n+2)2n−1−1<(n+ 2)2n−1．。

江苏省东海高级中学届高三文科数学第一学期期中试题

.
(填序号)．
▲
cos B
，若
AB
sin C sin B
.
1
D1 A1
D A

个单位，得到
cos
▲
C
AC
.
C1 B1
C B
11. 正三棱锥 S ABC 中， BC 2 ， SB 3 ， D、E 分别是棱 SA、SB 上的点，
Q 为边 AB 的中点， SQ 平面CDE ，则三角形 CDE 的面积为______▲_______．
则 ab 的取值范围是
10.
▲
已知 O 是锐角 ABC 的外接圆的圆心，且 A

2m AO ，则 m =
▲
.
．（用表示）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2012-2013学年江苏省四校联考高三(上)期中数学试卷(含解析)

2012-2013学年江苏省四校联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|=．==﹣+故答案为：2．（5分）若函数f（x）=+是偶函数，则实数a的值为2．+，可以求得=是偶函数，，+3．（5分）（2012•盐城二模）已知集合P={﹣1，m}，，若P∩Q≠∅，则整数m=0．4．（5分）（2012•盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．设向量与的夹角为，可得•，再根据，得•﹣2与解：设向量与的夹角为∴•=∵，∴=•﹣2=0，得2cosθ﹣1=0，所以cosθ=，故答案为：本题给出单位向量与向量的差向量垂直于单位向量与5．（5分）（2012•盐城二模）若命题“∀x∈R，x2﹣ax+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是[0，4]．6．（5分）已知三角形的一边长为5，所对角为60°，则另两边长之和的取值范围是（5，10]．所以25≥，所以a+b≤10．7．（5分）（2010•南通模拟）已知数列{a n}为等差数列，若，则数列{|a n|}的最小项是第6项．绝对值的大小．解：∵＜0∵∴，|a5|＞|a6|8．（5分）已知θ是第二象限角，且，则的值为．tan的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数tan的值代入计算，即可求出值．=﹣，，即2﹣3tan﹣tan﹣tan（﹣=．故答案为：9．（5分）已知函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，则函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为6x﹣y﹣5=0．10．（5分）等差数列{a n}中，已知a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是（﹣∞，7]．，故，所以a12=a9+3d，能求出a12的取值范围．∴∴，11．（5分）在锐角△ABC中，若tanA=t+1，tanB=t﹣1，则t的取值范围为t＞．∴＞0，＞，＞12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=﹣x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为．为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出△AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值．解答：解：根据题意设P的坐标为（t，﹣t3+1），且0＜t＜1，求导得：y′=﹣3x2，故切线的斜率k=y′|x=t=﹣3t2，所以切线方程为：y﹣（﹣t3+1）=﹣3t2（x﹣t），令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=，所以△AOB的面积S=（2t3+1）•=，设y=2t2+=2t2++≥3，当且仅当2t2=，即t3=，即t=取等号，把t=代入得：S min=．故答案为：点评：解本题的思路是设出切点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，进而表示出三角形ABC 的面积S，变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值，把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值．要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值．13．（5分）（2012•江苏二模）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，若，且是整数，则n的值为15．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：在中，令n=1可得a1=13b1 ，设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，再分别令n=2，3，解得b1=2d2，d1=7d2 ，a1=26d2．化简为是整数，由此可得n的值．解答：解：由题意可得===13，故a1=13b1．设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，由===，把a1=13b1代入化简可得12b1=59d2﹣5d1①．再由===11，把a1=13b1代入化简可得2b1=11d2﹣d1②．解①②求得b1=2d2，d1=7d2．故有a1=26d2．由于===为整数，∴n=15，故答案为15．点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于中档题．14．（5分）若关于x的方程|e x﹣3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为（0，3﹣e）．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．15．（14分）（2011•东城区二模）已知，．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数的值域．）先利用同角三角函数基本关系式求弦公式将cosA变换为，代入计算即可2，且所以．=所以）可得所以，因为sinx∈[﹣1，1]，所以，当时，f（x）取最大值；）的值域为16．（14分）设，，（x∈R，m∈R）．（Ⅰ）若与的夹角为钝角，求x的取值范围；（Ⅱ）解关于x的不等式．）根据已知中向量的坐标及与的夹角为钝角，根据向量数量积的定义，可得＜）根据利用平方法可得）∵，与的夹角为钝角，解得时，与所以当与的夹角为钝角时，的取值范围为）由知，又∵时，与17．（15分）（2008•湖北模拟）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？分析：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，y=（2a﹣x）（b+0.01bx）﹣0.4bx，配方求y的最大值．则（5分），∴]（1）当，即70＜a≤140时，x=a﹣70，y 取到最大值；（10分））当，即x=当140＜a＜210，公司应裁员为，经济效益取到最大值（15分）18．（15分）已知函数f（x）=xlnx．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（II）若f（x）≥﹣x2+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（III）过点A（﹣e﹣2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．专题：综合题；压轴题．，设，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，从而能求出，故∴∴函数f（x）的单调递减区间是；（4分）即，∴，∴19．（16分）（2012•江西模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减解得）n前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．20．（16分）已知函数f（x）=e x（x2+ax+1）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（2）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；（2）对参数a进行分类，先研究f（x）的单调性，利用导数求解f（x）在R上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得．解答：解：f'（x）=e x[x2+（a+2）x+a+1]（2分）（1）f'（2）=e2[4+2（a+2）+a+1]=0，解得a=﹣3（4分）（2）令f'（x）=0，得x1=﹣1，x2=﹣1﹣a当a=0时，无极值（7分）当a＞0，﹣1＞﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1﹣a），（﹣1，+∞）上递增，（﹣1﹣a，﹣1）上递减极大值为f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2），极小值（10分）当a＜0时，﹣1＜﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1﹣a，+∞）上递增，（﹣1，﹣a﹣1）上递减极大值为，极小值f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2）（13分）点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力．21．（10分）已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．考点：反证法与放缩法．专题：反证法．分析：本题利反证法证明：先假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），平方得a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，导出矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．解答：证明：（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），则a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，∴4n2+4n+1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．点评：此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．22．（10分）已知曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相同，求φ的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：导数的概念及应用．分析：分别求出两函数的导函数，根据导函数的取值范围可求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据曲线在点B处的切线相同，可求出φ的值．解答：解：k=y′=，当且仅当x+2=，即x+2=1，x=﹣1时，取等号…（2分）切又k切=y′=2cos（2x+ϕ）≤2，由题意，k切=2，此时切点A（﹣1，﹣1），切线l：y=2x+1…（5分），又，23．（10分）数列{a n}的前n项和为S n，存在常数A，B，C，使得a n+S n=An2+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{a n}为等差数列，求证：3A﹣B+C=0．n（﹣所以A=d d24．（10分）已知函数f（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x2﹣2x，x∈[0，+∞），求f（x）的最大值．。

[VIP专享]东海中学2012学年期中考试试卷答案

东海中学2012学年期中考试试卷高三语文（考试时间150分钟，满分150分）一、语言文字运用（共25分，其中选择题每小题3分）1、下列词语中加点字的读音，完全正确的一组是（）A、歆（xin）羡懵（měng）懂浸（qīn）润含英咀（jǎ）华B、绮（qǐ）丽着（zháo）装崔嵬（wéi）敷衍塞（sè）责C、岑（cén）寂手帕（pà）飙（biāo）升越俎代庖（bāo）D、杜撰（zhuàn）骸（hái）骨耸（sǒng）立光阴荏苒（rǎn）1、D2、下列句子中书写全部正确的一项是（）A、每年三月，春花烂漫时，我国都要召开全国人民代表大会和全国政治协商会议，全国人大代表和全国政协委员汇集北京，共商国事。

B、2009年10月1日中华人民共和国成立六十周年隆重的阅兵式和国庆晚会，强烈振撼人们的心灵。

C、生活是海，我们是船，纵然有风狂浪猛，也会有晴天碧波；纵然有迷罔苦涩，也会有轻歌曼舞。

D、民族凝聚力是几千年历史中造成民族存在、发展、绵延不绝和与时俱进的最基本、最稳定、最恒久的因素。

2、D3、下列句子中加点的成语运用恰当的一项是（）A、在书店看到周国平散文集《守望的距离》，他爱不释手，可他带的钱不够，只好忍痛割爱。

B、私立学校虽然缺乏教学管理经验，但可以向公办学校学习，可以在亦步亦趋的基础上，渐渐走出自己的路来。

C、只有加强思想教育和人格品质的培养，改革课程设置，倡导科学的教学与考试方法，从根本上解决学以致用的问题，才能对现有的舞弊现象起到釜底抽薪的作用。

D、诚然，这并不意味着所有的烦恼只需哈哈一笑便能涣然冰释，笑只不过是改变情绪的一种方法。

3、C4、下列各句中，没有语病且句意明确的一句是（）A、奥巴马建立平等伙伴关系的主张和他谦恭自省的态度赢得了国际社会的普遍赞誉，是一个真正具有国际视野、能为美国开辟崭新未来的总统。

B、他们经过艰苦劳动，在本来是蛇虫蜿蜒、荆榛遍地的荒凉小岛上面，建起了坚固的营房。

江苏省连云港高级中学高三数学上学期第三次联考试卷(

2012-2013学年江苏省连云港高级中学高三（上）第三次联考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）集合{0，1，2}的所有子集个数为8 ．考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，易得集合M中有3个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案．解答：解：集合{0，1，2}中有3个元素，则其子集有23=8个，故答案为8．点评：本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系，牢记若一个集合有n个元素，则其有2n个子集．2．（5分）设（2+i）z=5i（i为虚数单位），则|z|= ．考点：复数求模．专题：计算题．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法运算化简，最后利用求复数模的公式求模．解答：解：∵复数z满足（ 2+i）z=5i （i为虚数单位），∴z====1+2i．则|z|==．故答案为．点评：本题考查复数的模的定义，考查了复数的乘除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2011•徐州模拟）在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，则中间一组的频数为50 ．专题：计算题．分析：由已知中频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，根据这9个小正方形的面积（频率）和为1，进而求出该组的频率，进而根据频数=频率×样本容量，即可得到中间一组的频数．解答：解：由于中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，这9个长方形的面积和为1故中间一个小长方形的面积等于即中间一组的频率为双有样本容量为300故中间一组的频数为300×=50故答案为：50点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知条件结合频率分布直方图中各矩形面积的和为1，求出中间一组的频率，是解答本题的关键．4．（5分）（2011•南通一模）根据如图的算法，输出的结果是55 ．考点：伪代码．专题：阅读型．分析：先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果．可以看出这是一个for循环结构，循环执行10此，依其特点求解即可．解答：解：程序是一个循环结构，步长是1，每循环一次就加进i，初始i=1，可循环十次，故S=0+1+2+3+…+10=55故答案为：55．点评：本题主要考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值，属于基础题．5．（5分）（2011•西安模拟）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8 ．专题：计算题．分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8解答：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y 为将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣8点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．6．（5分）（2011•江苏模拟）已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分析：直线和平面垂直，平面和平面垂直的判定，二者的关系搞清楚，解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知，m为平面α内的一条直线，如果m⊥β，则α⊥β；反过来m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”可能有m∥β，m∩β=p，可能有m⊥β三种情况．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分点评：考查定理的理解，分析问题时：考虑要全面，有时可以借助实物，动手动脑，简化问题．7．（5分）（2011•江苏二模）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n 作为点P的坐标，共有6×6种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况共有8种结果，求比值得到结果．解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：点评：本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件．8．（5分）已知，则tanα=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知，直接代入tanα=tan[（α+β）﹣β]，利用两角差的正切公式运算求得结果．解答：解：已知，则tanα=tan[（α+β）﹣β]===．故答案为：．点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用以及角的变换，属于基础题．9．（5分）（2011•扬州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则的值是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先由正弦定理，可得=，进而根据双曲线的几何性质，可得|AB|=2c=4，|CB|﹣|CA|=﹣2a=﹣2；代入中，可得答案．解答：解：根据正弦定理：在△ABC中，有=；又由题意A、B分别是双曲线的左、右焦点，则|AB|=2c=4，且△ABC的顶点C在双曲线的右支上，又可得|CB|﹣|CA|=﹣2a=﹣2；故则===﹣；故答案为：﹣．点评：本题考查双曲线的几何性质，注意点C在双曲线的右支上，则有|CA|＞|CB|，即|CB|﹣|CA|=﹣2a，这是一个易错点．10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D为BC边上的点，且•=0，=2，则= 1 ．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°，且易求得AD=1，，而==代入可得结果．解答：解：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°故在直角三角形ABD中可求得AD=1，，∴====1．故答案为：1点评：本题为向量的数量积的运算，把向量适当转化时解决问题的关键，属基础题．11．（5分）已知，若对任意两个不等的正实数m，n都有＞3恒成立，则实数a的取值范围是a≥．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：由题意易得f′（x）＞3恒成立，求导数，分离a，只需求x（3﹣x）的最小值即可．解答：解：因为对任意两个不等的正实数m，n都有＞3恒成立，所以函数f（x）图象上每点切线的斜率＞3恒成立，故f′（x）＞3恒成立，又已知，定义域为（0，+∞）求导数可得，故＞3恒成立，所以a＞x（3﹣x）恒成立，只需求x（3﹣x）的最小值，而当x=时，[x（3﹣x）]min=，故答案为：a≥点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及恒成立问题，属中档题．12．（5分）设，a＞0，函数f（θ）=的最小值为25，则实数a= 16 ．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得cosθ＞0，＞0，函数f（θ）=[]•[cosθ+（1﹣cosθ）]=1+a++，利用基本不等式求得最小值为1+a+2=25，由此求得实数a 的值．解答：解：∵，a＞0，∴cosθ＞0，＞0，∴函数f（θ）==[]•[cosθ+（1﹣cosθ）] =1+a++≥1+a+2，当且仅当=时，取等号，故函数的最小值为1+a+2=25，解得a=16，故答案为 16．点评：本题主要考查基本不等式的应用，求函数的最值，属于中档题．13．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则的值是2014 ．考点：数列的求和．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：先求出b2的值，然后分别判定数列{a n}，{b n}的特征，然后利用求和公式分别求出两数列的和，将2012代入求出所求即可．解答：解：∵对任意的正整数m，n，p，q，当m+n=p+q时，都有a m+b n=a p+b q，∴a2+b1=a1+b2，将a1=1，a2=2，b1=2，代入可得b2=3∵1+（n+1）=2+n∴a1+b n+1=a2+b n，即b n+1﹣b n=1∴数列{b n}是等差数列首项为1，公差为1，则T n=∵（n+1）+1=n+2∴a n+1+b1=a n+b2则a n+1﹣a n=1∴数列{a n}是等差数列首项为2，公差为1，则S n=∴=S2012+T2012=（1006×2015+1006+2013）=2014故答案为：2014点评：本题主要考查了数列的求和，以及数列的判定，同时考查了计算能力，属于中档题14．（5分）（2011•延安模拟）我们把形如的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a=1，b=1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为3π．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；新定义．分析：根据已知中关于“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的定义，根据a=1，b=1我们易求出“囧点”坐标，并设出“囧圆”的方程，根据求出圆心到“囧函数”图象上的最小距离后，即可得到结论．解答：解：当a=1，b=1时，则函数与Y轴交于（0，﹣1）点则“囧点”坐标为（0，1）令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与函数图象的左右两支相切则切点坐标为（±，±）此时r=；令“囧圆”与函数图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2；故所有的“囧圆”中，面积的最小值为3π故答案为：3π点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式，求出“囧圆”的圆心到函数图象距离的最小值是解答本题的关键，属中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2009•台州二模）已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值．考点：正弦函数的单调性；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：先把函数进行化简，f（x）=2sin（）+2（1），解不等式可求（2）把已知代入可得，求解即可．解答：解：（1）=．由；得；．∴函数f（x）的单调增区间为．（2）由f（α）=3，得．∴．∴，或（k1，k2∈Z），即α=k1π或（k1，k2∈Z）．∵α∈（0，π），∴．点评：本题考查了三角函数的性质：单调性，还考查了三角公式中的二倍角及和差角公式的综合运用，在处理三角函数的单调区间的问题时，常用整体思想，类比正（余）弦函数的性质．16．（14分）（2012•南京二模）如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．（1）求证：平面AEC⊥平面ABE；（2）点F在BE上．若DE∥平面ACF，求的值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据平面ABCD⊥平面BCE，利用面面垂直的性质可得AB⊥平面BCE，从而可得CE⊥AB，由CE⊥BE，根据线面垂直的判定可得CE⊥平面ABE，从而可得平面AEC⊥平面ABE；（2）连接BD交AC于点O，连接OF．根据DE∥平面ACF，可得DE∥OF，根据O为BD 中点，可得F为BE中点，从而可得结论．解答：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC．因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面BCE．…（3分）因为CE⊂平面BCE，所以CE⊥AB．因为CE⊥BE，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，AB∩BE=B，所以CE⊥平面ABE．…（6分）因为CE⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE．…（8分）（2）解：连接BD交AC于点O，连接OF．因为DE∥平面ACF，DE⊂平面BDE，平面ACF∩平面BDE=OF，所以DE∥OF．…（12分）又因为矩形ABCD中，O为BD中点，所以F为BE中点，即=．…（14分）点评：本题考查线面、面面垂直的判定与性质，考查线面平行，掌握线面、面面垂直的判定与性质是关键．17．（14分）如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，其中AB长为定值a，BD长可根据需要进行调节（BC足够长）．现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”．（Ⅰ）设∠DAB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（Ⅱ）当BE为多长时，y有最小值，最小值是多少．考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．专题：综合题；函数思想．分析：（1）由于题目中“设∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知识解决“草花比y”；（2）由于式子“”括号中两式的积是定值，故利用二元不等式求其最小值．解答：解：（Ⅰ）因为BD=atanθ，所△ABD的面积为a2tanθ（）（2分）设正方形BEFG的边长为t，则由，得，（4分）解得，则（5分）所以a2tanθ﹣S2，则（8分）（Ⅱ）因为tanθ∈（0，+∞），所以（10分）当且仅当tanθ=1，时取等号，此时BE=．所以当BE长为时，y有最小值1．（12分）点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用、解三角形以及利用二元不等式求函数最值的方法，解决实际问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果，其中关键是建立数学模型．18．（16分）（2011•重庆模拟）已知椭圆E：+=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得=？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：（1）由题易知圆C的圆心为（）而a=，b=2可求出圆心为（﹣4，0）又圆C恰好经过坐标原点O故半径为4所以圆C的方程为（x+4）2+y2=16（2）可利用直线FG与直线l联立求出t点坐标再利用中点坐标公式求出G（﹣3，y G）再代入圆C的方程求出y G进而求出FG的方程为y=（x+2），然后利用圆心到直线的距离公式求出C（﹣4，0）到FG的距离d=再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而求解．（3）假设存在P（s，t），G（x0，y0）使得=成立利用两点间的距离公式化简可得方程3（x02+y02）+（16+2s）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0再结G（x0，y0）在圆C即x02+y02+8x0=o可得（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0对所有的x0，y0．成立故2s﹣8=0，2t=0，16﹣s2﹣t2=0所以s=4，t=0即存在p（4，0）满足题意．解答：解：（1）∵a=，b=2∴c=2∴左准线方程为x==﹣4∴圆心为（﹣4，0）∵圆C恰好经过坐标原点O故半径为4∴圆C的方程为（x+4）2+y2=16（2）由题意知，得G（﹣3，y G），代入（x+4）2+y2=16，得y=所以FG的斜率为K=y=，FG的方程为y=（x+2）所以C（﹣4，0）到FG的距离d=，直线FG被圆C截得弦长为2=7 故直线FG被圆C截得弦长为7．（3）设P（s，t），G（x0，y0），则由，得，整理得3（x02+y02）+（16+2s）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0①又G（x0，y0）在圆C：（x+4）2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=o②②代入①得（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0又G（x0，y0）为圆C上任意一点可知，2s﹣8=0，2t=0，16﹣s2﹣t2=0解得s=4，t=0．所以在平面上存在一点p，其坐标为（4，0）．点评：此题第一问主要考查了利用椭圆的有关知识求圆的方程关键是要知道椭圆的左准线方程是x=．第二问考查了利用圆心到直线的距离公式求出d再利用半径，d，弦长的一半构成直角三角形再采用勾股定理即可求解．对于第三问较难但思路较简单即假设存在P（s，t），G（x0，y0）使得=成立，关键是得出（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0后怎么办是难点！实质上这是恒成立的问题只需系数和常数项为0即可求出s，t．19．（16分）（2010•江苏模拟）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；（3）令g（x）=f（x）﹣nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为﹣3，即f′（2）=﹣3，由函数f（x）=alnx﹣bx2得其导函数，进而得f′（2），由f′（2）=﹣3得关于a、b的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当x=2时分别代入两个函数方程，函数值相等，得第二个关于a、b的方程，求解方程组，得a，b的值；（2）设h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函数h（x）的单调区间，得出h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数m的取值范围；（3）由点A（x1，0），B（x2，0）在g（x）图象上，把点的坐标代入g（x）的解析式得方程组，两式相减得关于x1、x2、n的方程，假设g′（x）=0成立，求导，得关于x0、n的方程，由中点坐标公式转化关于x1、x2、n的方程，两方程消去n，得关于x1、x2的方程，整理此方程，分子分母同除以x2，整理方程，右边为0，设t=，左边得关于t的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于0，所以方程不成立，所以假设不成立，所以g′（x0）≠0．解答：解：（1），所以，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2，解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则=，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m≤e2﹣2．（3）．假设结论成立，则有，（1）﹣（2），得．所以．由（4）得，所以，即，即=，令．则，所以u（t）在0＜t＜1上是增函数，u（t）＜u（1）=0，所以（5）式不成立，与假设矛盾，所以g'（x0）≠0．点评：此题考查函数与方程的综合运用，求未知数的值，几个未知数需几个方程构成方程组求解；注意把方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题，可使问题直观易懂；也可把函数图象的交点个数问题转化为方程组得各量之间的关系，把未知量转化为一种形式，令一边为0，另一边再转化为函数，利用函数单调性解题；用反证法证明问题时，先假设结论不正确，得出与假设相反的结论，从而结论是正确的．20．（16分）已知数列．（I）试证数列是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；（II）在数列{b n}是，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．（III）试证在数列{b n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b1，b r，b s成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．考点：函数与方程的综合运用；数列的应用；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）由a n+a n+1=2n，得a n+1=2n﹣a n，从而可证=﹣1，即可证得数列是等比数列，并可求数列{b n}的通项公式；（II）解：假设在数列{b n}中，存在连续三项b k﹣1，b k，b k+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，则b k﹣1+b k+1=2b k，即2k﹣1=4（﹣1）k﹣1．分类讨论，可得在数列{b n}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列；（III）证明：要使b1，b r，b s成等差数列，只需b1+b s=2b r，即2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3，（﹡），分类讨论，可知存在不小于4的正偶数s，且s=r+1，使得b1，b r，b s成等差数列．解答：（I）证明：由a n+a n+1=2n，得a n+1=2n﹣a n，所以==﹣1又因为a1﹣=，所以数列{a n﹣×2n}是首项为，公比为﹣1的等比数列．所以a n﹣×2n=×（﹣1）n﹣1，即a n=[2n﹣（﹣1）n]，所以b n=2n﹣（﹣1）n．（5分）（II）解：假设在数列{b n}中，存在连续三项b k﹣1，b k，b k+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，则b k﹣1+b k+1=2b k，即[2k﹣1﹣（﹣1）k﹣1]+[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2[2k﹣（﹣1）k]，即2k﹣1=4（﹣1）k﹣1．①若k为偶数，则2k﹣1＞0，4（﹣1）k﹣1=﹣4＜0，所以，不存在偶数k，使得b k﹣1，b k，b k+1成等差数列．（7分）②若k为奇数，则当k≥3时，2k﹣1≥4，而4（﹣1）k﹣1=4，所以，当且仅当k=3时，b k﹣1，b k，b k+1成等差数列．综上所述，在数列{b n}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列．（9分）（III）证明：要使b1，b r，b s成等差数列，只需b1+b s=2b r，即3+2s﹣（﹣1）s=2[2r﹣（﹣1）r]，即2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3，（﹡）（10分）①若s=r+1，在（﹡）式中，左端2s﹣2r+1=0，右端（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3=（﹣1）s+2（﹣1）s﹣3=3（﹣1）s﹣3，要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时．又s＞r＞1，且s，r为正整数，所以当s为不小于4的正偶数，且s=r+1时，b1，b r，b s成等差数列．（12分）②若s≥r+2时，在（﹡）式中，左端2s﹣2r+1≥2r+2﹣2r+1=2r+1，由（II）可知，r≥3，所以r+1≥4，所以左端2s﹣2r+1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”）；右端（﹣1）s﹣2（﹣1）s﹣3≤0．所以当s≥r+2时，b1，b r，b s 不成等差数列．综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s=r+1，使得b1，b r，b s成等差数列．（14分）点评：本题主要考查等比数列的判定和等差数列的应用，考查函数与方程，分类讨论思想，考查推理论证能力．。

【解析版】江苏省连云港市灌南高级中学2013届高三数学上学期期中试题理苏教版

2012-2013学年某某省某某市灌南高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸相应位置上．1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∩B={3} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：找出U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出A补集与B的公共元素，即可求出所求的集合．解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，∴∁U A={3，4，5}，又B={2，3}，则（∁U A）∩B={3}．故答案为：{3}点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．（5分）若复数z=（是虚数单位），则复数z的虚部是．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z等于+i，由此可得它的虚部．解答：解：∵复数z====+i，故它的虚部等于，故答案为．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设S n是等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5= 25 ．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由d=求出公差d，然后代入等差数列的求和公式即可求解解答：解：∵a1=1，a4=7，∴d==2∴=25故答案为：25点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）函数，则f（2）= 1 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：按照分段函数解析式的特点代入数值计算即可．解答：解：由f（x）解析式得，f（2）=f（2+3）=f（5）=5﹣4=1，故答案为：1．点评：本题考查分段函数求值，属基础题．5．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积的定义求出=1，求出=+2+的值，即可求得的值．解答：解：由题意可得||=2，||=1，向量与的夹角为60°，∴=2×1×cos60°=1，∴=+2+=4+2+1=7，∴=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．6．（5分）已知510°角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（m，2），则m= ﹣2．考点：任意角的概念．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式求得cos510°=﹣，再由任意角的三角函数的定义可得m＜0且﹣=，由此求得m的值．解答：解：∵510°=360°+150°，∴cos510°=cos150°=﹣cos30°=﹣．再由510°角的终边经过点P（m，2），可得m＜0，且cos510°=﹣=，解得 m=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，终边相同的角的性质，属于基础题．7．（5分）函数的定义域是．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：欲求函数的定义域，只需找到使函数解析式有意义的x的取值X围，因为函数中有对数，所以真数大于0，因为函数中有二次根式，所以被开方数大于等于0，解不等式组即可．解答：解：要使函数有意义，需满足，解得∴函数的定义域为故答案为点评：本题主要考察了函数定义域的求法，主要是求使函数成立的x的取值X围．8．（5分）（2012•某某）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g （﹣1）= 3 ．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案解答：解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2 ∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3故答案为3点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值9．（5分）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2013的值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论．解答：解：由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x2+x所以f（n）=n（n+1），∴=∴S2013的值为1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=故答案为：点评：本题考查了导函数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题．10．（5分）在锐角△ABC中，若A=2B，则的取值X围是（，）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的X 围，进而确定出cosB的X围，即可得出所求式子的X围．解答：解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，又0＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值X围是（，）．故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11．（5分）已知函数存在单调递减区间，则实数a 的取值X围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：利用导数进行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax2+2x﹣1＞0在正数X围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值X围．解答：解：对函数求导数，得f'（x）=﹣，（x＞0）依题意，得f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax2+2x﹣1＞0在x＞0时有解．∴△=4+4a＞0且方程ax2+2x﹣1=0至少有一个正根．∴a＞﹣1，∴a≠0，∴﹣1＜a＜0，或a＞0．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．…（5分）点评：本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数值为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解方程，同时能结合常用数学思想，来考查同学们灵活运用知识解决问题的能力．12．（5分）（2010•马某某模拟）如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则= 5 ．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；转化思想．分析：先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论．解答：解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5．故答案为5点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及向量的加法运算，是对基础知识的考查，属于基础题目．13．（5分）（2011•某某模拟）已知函数f（x）=|x2﹣6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），则a2b的最小值是﹣16 ．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得 a2﹣6=6﹣b2，即 a2+b2=12，﹣2＜b＜0，故g（b）=a2b=（12﹣b2） b=12b ﹣b3．利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值．解答：解：∵函数f（x）=|x2﹣6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），∴a2﹣6=6﹣b2，即a2+b2=12．∴﹣＜b＜0，∴a2b=（12﹣b2） b=12b﹣b3．设g（b）=12b﹣b3，则 g'（b）=12﹣3b2，令 g'（b）=0，解得b=﹣2，所以，g（b）在（﹣，﹣2）上单调递减，g（b）在[﹣2，0）上单调增，故g（b）最小值是g（﹣2）=﹣24+8=﹣16，故答案为﹣16．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值，属于基础题．14．（5分）（2011•某某模拟）设等差数列{a n}满足：公差d∈N*，a n∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若a1=35，则d的所有可能取值之和为364 ．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先求出数列的通项公式，求出数列{a n}中任意两项之和，根据数列{a n}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=，再结合k，m，n，d∈N*，即可求出d的所有可能取值进而求出结论．解答：解：设等差数列的公差为d，若a1=35，=243，则a n=243+（n﹣1）d．所以数列{a n}中任意两项之和a m+a n=243+（m﹣1）d+243+（n﹣1）d=486+（m+n﹣2）d．设任意一项为a k=243+（k﹣1）d．则由a m+a n=a k可得 243+（m+n﹣k﹣1）d=0，化简可得 d=．再由k，m，n，d∈N*，可得 k+1﹣m﹣n=1，3，9，27，81，243，∴d=243，81，27，9，3，1，则d的所有可能取值之和为 364，故答案为 364．点评：本题主要考查等差数列的性质．解决问题的关键在于利用数列{a n}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=，属于中档题．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）（2011•日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，某某数x的取值X围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，某某数a的取值X围．考点：充分条件；命题的真假判断与应用．分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值X围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a ＜x＜3a，所以，所以1＜a≤2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．16．（14分）（2011•某某二模）已知函数，其中=，．（1）求函数f（x ）在区间上的单调递增区间和值域；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C 的对边，f（A）=﹣1，且b=1△ABC的面积，求边a的值．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．专题：计算题．分析（1）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后结合：余弦函数的单调增区间求函数的单调递增区间，确定函数在上的单调增区间，单调减区间，然后求出函数的最大值最小值，即可确定函数的值域．（2））由于f（A）=﹣1，求得又求得c=4最后由余弦定理得a值即可．解答：解：（1）==（2分）由得，又∴单调增区间为．（4分）由∴﹣1≤f（x）≤2∴f（x）∈[﹣1，2]（6分）（2）∵f（A）=﹣1，∴，（8分）又，∴c=4（10分）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=13（12分）点评：本题是基础题，考查向量数量积的应用，三角函数的化简求值，单调区间的求法，最值的求法，考查计算能力，注意函数值域的确定中，区间的讨论，单调性的应用是解题的易错点．17．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式；（3）设=n （3﹣b n），求数列{}的前n项和为T n．考点：数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）利用数列中a n与 Sn关系解决．（2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n=．利用累加法求b n（3）由上求出=n （3﹣b n）=，利用错位相消法求和即可．解解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．答：因为S n=2﹣a n，即a n+S n=2，所以a n+1+S n+1=2．两式相减：a n+1﹣a n+S n+1﹣S n=0，即a n+1﹣a n+a n+1=0，故有2a n+1=a n．因为a n≠0，所以=（ n∈N*）．所以数列{a n}是首项a1=1，公比为的等比数列，a n=（ n∈N*）．（2）因为b n+1=b n+a n（ n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n=．从而有b2﹣b1=1，b3﹣b2=，b4﹣b3=，…，b n﹣b n﹣1=（ n=2，3，…）．将这n﹣1个等式相加，得b n﹣b1=1+++…+==2﹣．又因为b1=1，所以b n=3﹣（ n=1，2，3，…）．（3）因为=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（ n=1，2，3，…）．点评：本题考查利用数列中a n与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．18．（15分）（2012•某某）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？圆锥曲线的综合．考点：专应用题．题：分（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利析：用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．解解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐答：标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．19．（16分）已知函数．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，某某数a的取值X围；（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，某某数a的值．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=1代入函数解析式，求导后由导函数等于0把定义域分段，判断出各区间段内的导函数的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，从而判断出极值点并求出极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在[2，+∞）大于等于0恒成立得到x﹣2a≥0在[2，+∞）恒成立，分离变量a后即可得到a的取值X围；（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间[1，e]上的单调性，由单调性求得原函数在[1，e]上的最小值，由最小值等于3解得a的值．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+，定义域为（0，+∞），．所以，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以在（0，+∞）上f（x）有极小值，极小值为f（2）=1+ln2；（2）由，所以．若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则在[2，+∞）恒成立，即x﹣2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是在[2，+∞）恒成立，所以a≤1．所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值X围是（﹣∞，1]；（3）由（2）知，以，若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；若a＞0，由f′（x）=0，得x=2a．当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以当2a≤1，即时，f（x）在[1，e]上为增函数，最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；当2a≥e，即a≥时，f（x）在[1，e]上为减函数，最小值为f（e）=1+=3，a=e，符合题意；当1＜2a＜e，即时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=不合题意．综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用分离变量法求参数的X围，解答的关键是会求基本初等函数的导函数和对变量的正确分类，是难题．20．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）设f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（d）的最小值．（2）当a=2，c=﹣1时，①设A=[﹣1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，某某数b的取值X围；②设g（x）=|x﹣t|﹣x2﹣bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．考点：二次函数在闭区间上的最值；集合的包含关系判断及应用；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得方程ax2+bx+c=x存在两等根x1=x2=1，可得 b=1﹣2a，c=a，由此可得f（x）的解析式，可得 h（a）=M+m=f（﹣2）+f（1﹣）=9a﹣﹣1，再利用单调性求出 h（a）的最小值．（2）①由不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，可得，由此解得 b的X围．②根据f（x）+g（x）=x2+|x﹣t|﹣1，分t＜﹣时、当﹣≤t≤时、t＞时三种情况分别求得f（x）+g（x）的最小值．解答：解：（1）由题意可得方程ax2+bx+c=x 存在两等根x1=x2=1，可得 b=1﹣2a，c=a．∴f（x）=a +1﹣，它的对称轴为 x=1﹣∈[，1]．∵x∈[﹣2，2]，∴h（a）=M+m=f（﹣2）+f（1﹣）=9a﹣﹣1，∵a≥1，故函数 h（a）为增函数，∴函数 h（a）的最小值为 h（1）=．（2）当a=2，c=﹣1时，f（x）=2x2+bx﹣1，①由不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，可得，解得 b∈[﹣1，1]．②f（x）+g（x）=x2+|x﹣t|﹣1=．当 t＜﹣时，最小值为﹣t﹣，当﹣≤t≤时，最小值为 t2﹣1，当t＞时，最小值为t﹣．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

江苏省连云港市东海高级中学高三数学上学期期中试卷文(含解析)

2012-2013学年江苏省连云港市东海高级中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）22a的取值范围是（1，3）．3．（5分）若函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（2﹣2ln2，+∞）．4．（5分）函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为 2 ．﹣，可判断，，﹣=5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且为奇函数．给出下列命题：（1）函数f（x）的最小正周期为；（2）函数y=f（x）的图象关于点对称；（3）函数y=f（x）的图象关于y 轴对称．其中真命题有（2）（3）．（填序号）恒成立，故函数周期是6．（5分）已知函数，给定条件p：，条件q：﹣2＜f（x）﹣m＜2，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（3，5）．又∵P={x|7．（5分）已知函数的解集为（0，2）．===1=8．（5分）如图，平面四边形ABCD中，若AC=，BD=2，则（+）•（+）= 1 ．+）•（）+）•（+﹣）•（+），+）•（+）9．（5分）若正六棱锥的底面边长为3cm，侧面积是底面积的倍，则这个棱锥的高是cm．已知中正六棱锥的全面积是底面积的离之间为，∴sin∠PQO=，，中，PO=QO•tan∠PQO==故答案为：10．（5分）设α∈（π，2π），若，则的值为．=5=cos+sin==5=====cos cos2+sin sin2=11．（5分）设关于x的不等式组解集为A，Z为整数集，且A∩Z共有两个元素，则实数a的取值范围为．或的取值范围为12．（5分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．=，即为向量﹣（﹣的坐标为（13．（5分）已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．，再利用△CDE的外接圆的半径，当且仅当时，取“=”，所以，的外接圆的半径的最小值是故答案为：14．（5分）若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是k=4或k＜0 ．二、解答题：（本大题6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣2a﹣5）＜0}，函数的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）已知，且”x∈A”是”x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．，确定集合=的定义域为）∵（2012•枣庄一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，16．（14分）且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．FP=AB=17．（15分）（2012•普陀区一模）已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．），结合正弦定理，可以表示出）由正弦定理有：+1=符合题意，∵，∴）的值域为，解得∴存在实数）的值域恰为18．（15分）（2013•成都模拟）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．（1）令t=，x∈R，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？，再利用导数求出a|+2a+，当＞a≥时，=x+y=x+，∵y′=1﹣，y=x+y=x+，，a|+2a+=，（=a+）﹣=时，]∈（，19．（16分）已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．（1）求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x﹣1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．≤1，则，20．（16分）已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）e x，t∈R．（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．①求t的取值范围；②若a+c=2b2，求t的值．（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．个零点∴∴﹣或﹣（舍∵b∈（﹣。

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2012-2013学年江苏省连云港市东海高级中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．考点：命题的否定．分析：根据命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“＜“改为“≥”即可得答案．解答：解：∵命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题∴￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0故答案为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．2．（5分）若函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是（1，3）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故a＞1，且3﹣a＞0，由此求得a 的取值范围．解答：解：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故a＞1，且3﹣a＞0，∴3＞a ＞1，故答案为：（1，3）．点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，得到a＞1，且3﹣a＞0，是将诶提的关键．3．（5分）若函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（2﹣2ln2，+∞）．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：画出函数f（x）=e x﹣2x﹣a的简图，欲使函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，由图可知，其极小值要小于0．由此求得实数a的取值范围．解答：解：令f，（x）=e x﹣2=0，则x=ln2，∴x＞ln2，f，（x）=e x﹣2＞0；x＜ln2，f，（x）=e x﹣2＜0；∴函数f（x）在（ln2，+∞）上是增函数，在（﹣∞，ln2）上是减函数．∵函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，所以f（ln2）=2﹣2ln2﹣a＜0，故a＞2﹣2ln2．故填：（2﹣2ln2，+∞）．点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．4．（5分）函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为2．考点：奇偶函数图象的对称性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=﹣，可判断g（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．解答：解：f（x）=1﹣，x∈R．设g（x）=﹣，因为g（﹣x）=﹣==﹣g（x），所以函数g（x）是奇函数．奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数．设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为﹣M．所以函数f（x）的最大值为1+M，则f（x）的最小值为1﹣M．∴函数f（x）的最大值与最小值之和为2．故答案为2点评：本题主要考查奇函数图象的性质、函数的最值及分析问题解决问题的能力，解决本题的关键是恰当构造奇函数．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且为奇函数．给出下列命题：（1）函数f（x）的最小正周期为；（2）函数y=f（x）的图象关于点对称；（3）函数y=f（x）的图象关于y 轴对称．其中真命题有（2）（3）．（填序号）考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：本题可先由恒等式得出函数的周期是3，可以判断（1），再由函数是奇函数求出函数的对称点来判断（2）（3），综合可得答案．解答：解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足条件，故有恒成立，故函数周期是3，故（1）错；又函数是奇函数，故函数y=f（x）的图象关于点对称，由此知（2）（3）是正确的选项，故答案为：（2）（3）点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，求解本题的关键是由题设条件把函数的性质研究清楚，解答关键是得出函数是周期函数．6．（5分）已知函数，给定条件p：，条件q：﹣2＜f（x）﹣m＜2，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（3，5）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，及正弦型函数的定义域和值域，由若p是q的充分条件，则满足条件p的x的取值范围P，与满足条件q的x的取值范围Q之间满足P⊊Q，然后结合正弦型函数的定义域和值域即可得到答案．解答：解：∵p是q的充分条件∴P⊊Q，又∵P={x|}∴此时f（x）∈[3，5]又∵Q={x|﹣2＜f （x ）﹣m ＜2} ∴∴m ∈（3，5）故答案为：（3，5）点评：判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 7．（5分）已知函数的解集为（0，2）．考点：运用诱导公式化简求值；指、对数不等式的解法．专题：计算题；三角函数的求值；不等式的解法及应用．分析：根据三角函数的奇偶性得f （x ）是奇函数，从而得到f （﹣1）==1．再用正弦、正切的诱导公式，化简整理可得f（24）=1，原不等式化简为log 2x ＜1，解之即可得到所求解集．解答：解：∵∴=﹣f （x ），可得f （x ）是奇函数∵f （1）==﹣1，∴f （﹣1）==1而f （24）===∴f （24）=1，不等式f （24）＞log 2x 即log 2x ＜1=log 22解之得0＜x ＜2，得原不等式的解集为（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题给出三角函数式，要求根据此函数式解关于x 的不等式，着重考查了三角函数的奇偶性、三角函数诱导公式和对数不等式的解法等知识，属于中档题．8．（5分）如图，平面四边形ABCD中，若AC=，BD=2，则（+）•（+）= 1．考点：平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：先利用向量的加减法运算，化简向量，再利用数量积公式，即可求得结论．解答：解：（+）•（+）=（+）•（+）=（﹣）•（+）=∵AC=，BD=2，∴=1∴（+）•（+）=1故答案为：1点评：本题考查向量的线性运算及数量积运算，化简向量是解题的关键，属于中档题．9．（5分）若正六棱锥的底面边长为3cm，侧面积是底面积的倍，则这个棱锥的高是cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：由已知中正六棱锥的全面积是底面积的倍，得到其侧高与底面中心到对称棱的距离之间为：1，构造直角三角形PQO（其中P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心），解三角形即可得到侧面与底面所成的角，最后利用直角三角形求出棱锥的高．解答：解：由于正六棱锥的全面积是底面积的3倍，不妨令P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心∵侧面积是底面积的3倍，则PQ=3OQ则∠PQO即为侧面与底面所成的角∵cos∠PQO=，∴sin∠PQO=，∴tan∠PQO=，在直角三角PQO中，PO=QO•tan∠PQO=×=故答案为：．点评：本题考查棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题10．（5分）设α∈（π，2π），若，则的值为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正切公式求得tanα=5﹣8，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α和cos2α的值，再由=cos cos2α+sin sin2α，运算求得结果．解答：解：∵==，∴tanα=5﹣8．再由sin2α===，cos2α===，可得=cos cos2α+sin sin2α=，故答案为．点评：本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．11．（5分）设关于x的不等式组解集为A，Z为整数集，且A∩Z共有两个元素，则实数a的取值范围为．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：数形结合．分析：由条件|x+1|＜2得﹣3＜x＜1．A∩Z共有两个元素，说明不等式x2+2ax+3＜0的解的集合的区间长度有着限制．解答：解：由条件|x+1|＜2得﹣3＜x＜1．由分析知，不等式x2+2ax+3﹣a＜0的解的集合的区间长度有着限制，也即方程x2+2ax+3﹣a=0的解的集合的区间长度有着限制，设f（x）=x2+2ax+3﹣a 则有f（0.5）=3.25＞0，结合﹣3＜x＜1和抛物线的图象，得或解之得，实数a的取值范围为故填．点评：本题属于难题了，难在对于条件的转化，难在数形结合思想的应用．12．（5分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．考点：圆的参数方程；平面向量坐标表示的应用．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．解答：解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．13．（5分）已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．考点：解三角形．专题：计算题．分析：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=9﹣3mn，利用基本不等式，可得，再利用△CDE的外接圆的半径，即可得到结论．解答：解：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=CD2+CE2﹣2CD•CEcos∠DCE=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn=9﹣3mn又，当且仅当时，取“=”，所以，又△CDE的外接圆的半径∴△CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：．点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查正弦定理的运用，确定DE的范围是关键．14．（5分）若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是k=4或k＜0．考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数的图像与性质．专题：计算题；转化思想．分析：先将方程lgkx=2lg（x+1）转化为lgkx﹣2lg（x+1）=0，先对参数k的取值范围进行分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围，得出答案．解答：解：由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）当k＞0时，lgkx=2lg（x+1）∴lgkx﹣2lg（x+1）=0∴lgkx﹣lg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+∞）仅有一个解∴x2﹣（k﹣2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解令f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1又当x=0时，f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1=1＞0∴△=（k﹣2）2﹣4=0∴k﹣2=±2∴k=0舍，或4k=0时lgkx无意义，舍去∴k=4当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）函数y=kx是一个递减过（﹣1，﹣k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2在（﹣1，0）递增且过两点（﹣1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意故答案为：k=4或k＜0．点评：本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及其运算法则转化问题．二、解答题：（本大题6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣2a﹣5）＜0}，函数的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）已知，且”x∈A”是”x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件；一元二次不等式的解法；指、对数不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）由a=4，确定集合A，利用对数函数的定义域，确定集合B，从而可求集合A∩B （2）根据已知，确定集合A，B，利用∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，可知B⊆A，从而建立不等式，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=4时，集合A={x|（x﹣2）（x﹣13）＜0}={x|2＜x＜13}，函数=的定义域为{x|8＜x＜18}，∴B={x|8＜x＜18}，∴集合A∩B={x|8＜x＜13}；（2）∵，∴2a+5＞2，∴A=（2，2a+5）∵a2+2＞2a，∴B=（2a，a2+2）∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴B⊆A∴∴1≤a≤3∴实数a的取值范围是[1，3]．点评：本题主要考查了集合的运算，集合之间的关系，考查四种条件的运用，解决本题的关键是要熟练掌握分式不等式与对数函数的定义．16．（14分）（2012•枣庄一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面平面BCE内一直线平行，而AF∥BP，AF⊂平面BCE，BP⊂平面BCE，满足定理条件；（Ⅱ）欲证平面BCE⊥平面CDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCE内一直线与平面CDE垂直，而根据题意可得BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，满足定理条件．解答：证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE（6分）（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD∵AB⊥平面ACD，DE∥AB∴DE⊥平面ACD又AF⊂平面ACD∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D∴AF⊥平面CDE（10分）又BP∥AF∴BP⊥平面CDE又∵BP⊂平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE（12分）点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．17．（15分）（2012•普陀区一模）已知△ABC 中，，记．（1）求f （x ）解析式及定义域；（2）设g （x ）=6m •f （x ）+1，是否存在正实数m ，使函数g （x ）的值域为？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．专题：计算题．分析：（1），结合正弦定理，可以表示出BC 、AB 边的长，根据边长为正，可求出x 的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f （x ）解析式．（2）由（1）的结论写出g （x ）的解析式，并求出g （x ）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．解答：解：（1）由正弦定理有：∴=（2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在实数m符合题意，∵，∴．因为m＞0时，的值域为（1，m+1]．又g（x）的值域为，解得；∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为．点评：本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键．18．（15分）（2013•成都模拟）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．（1）令t=，x∈R，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？考点：函数最值的应用；实际问题中导数的意义．专题：计算题．分析：（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x，再利用导数求出的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；（2）f（x）=g（t）=|t﹣a|+2a+．下面分类讨论：当0＜a＜，当＞a≥，分别求出函数g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）≤2即可求出所求．解答：解：（1）当x=0时，t=0；（2分）当0＜x≤24时，=x+．对于函数y=x+，∵y′=1﹣，∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y=x+单调递减，当1＜x≤24时，y′＞0，函数y=x+单调递增，∴y∈[2，+∞）．综上，t的取值范围是[0，]．（2）当a∈（0，]时，f（x）=g（t）=|t﹣a|+2a+=∵g（0）=3a+，g（）=a+，g（0）﹣g（）=2a﹣．故M（a）==当且仅当a≤时，M（a）≤2，故a∈（0，]时不超标，a∈（，]时超标．点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．19．（16分）已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．（1）求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x﹣1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．考点：函数的值；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由①知：f（0）≥0；由③知f（0）≤0，从而得到f（0）=0．（2）由题设知g（1）=1；由x∈[0，1]知2x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；设x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则，；由此能够证明函数g（x）=2x﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）若f（x0）＞x0，则由题设知f（x0）﹣x0∈[0，1]，且由①知f[f（x0）﹣x0]≥0，由此入手能证明f（x0）=x0．解答：解：（1）由①知：f（0）≥0；由③知：f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0；∴f（0）=0（2 ）证明：由题设知：g（1）=2﹣1=1；由x∈[0，1]知2x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；设x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则，；∴即g （x 1+x 2）≥g （x 1）+g （x 2）∴函数g （x ）=2x﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）证明：若f （x 0）＞x 0，则由题设知：f （x 0）﹣x 0∈[0，1]，且由①知f[f （x 0）﹣x 0]≥0， ∴由题设及③知：x 0=f （f （x 0））=f[（f （x 0）﹣x 0）+x 0]=f[f （x 0）﹣x 0]+f （x 0）≥f （x 0）矛盾；若f （x 0）＜x 0，则则由题设知：x 0﹣f （x 0）∈[0，1]，且由①知f[x 0﹣f （x 0）]≥0， ∴同理得：f （x 0）=f[（x 0﹣f （x 0））+f （x 0）]=f[x 0﹣f （x 0）]+f （f （x 0））≥f （f （x 0））=x 0，矛盾；故由上述知：f （x 0）=x 0．点评：本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答．20．（16分）已知函数f （x ）=（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x，t ∈R ．（1）若函数y=f （x ）依次在x=a ，x=b ，x=c （a ＜b ＜c ）处取到极值． ①求t 的取值范围；②若a+c=2b 2，求t 的值．（2）若存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m ]，不等式f （x ）≤x 恒成立．求正整数m 的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；不等式的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（1）①根据极值点是导函数的根，据方程的根是相应函数的零点，结合函数的单调性写出满足的不等式解出t 的范围，②将三个极值点代入导函数得到方程，左右两边各项的对应系数相等，列出方程组，解出t 值．（2）先将存在实数t ∈[0，2]，使不等式f （x ）≤x 恒成立转化为将t 看成自变量，f （x ）的最小值）≤x ；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m 的范围．解答：解：（1）①f'（x ）=（3x 2﹣12x+3）e x +（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x =（x 3﹣3x 2﹣9x+t+3）e x∵f（x ）有3个极值点，∴x 3﹣3x 2﹣9x+t+3=0有3个根a ，b ，c ．令g （x ）=x 3﹣3x 2﹣9x+t+3，g'（x ）=3x 2﹣6x ﹣9=3（x+1）（x ﹣3）， g （x ）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上递增，（﹣1，3）上递减． ∵g （x ）有3个零点∴∴﹣8＜t ＜24．②∵a ，b ，c 是f （x ）的三个极值点，∴x 3﹣3x 2﹣9x+t+3=（x ﹣a ）（x ﹣b ）（x ﹣c ）=x 3﹣（a+b+c ）x 2+（ab+bc+ac ）x ﹣abc∴∴b=1或﹣（舍∵b∈（﹣1，3））∴∴t=8（2）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）e x≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6．设r（x）=φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r'（x）=e﹣x﹣2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．故r（x）在区间[1，m]上是减函数．又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0．当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0．从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0．所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；故使命题成立的正整数m的最大值为5．点评：本题考查利用导数求函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．。