折叠问题与勾股定理例题总结资料讲解

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勾股定理在折叠问题中的应用(讲义和习题)含答案

勾股定理在折叠问题中的应用(讲义和习题)含答案

勾股定理在折叠问题中的应用(讲义和习题)含答案勾股定理在折叠问题中的应用(讲义)课前预习1. 观察图形,回顾轴对称的性质:(1)全等变换:对应边________,对应角_________;(2)对应点所连的线段被对称轴_____________.2. 如图,乐乐将△ABC 沿DE ,EF 分别翻折,顶点A ,B 均落在点O 处,且EA 与EB 重合于线段EO ,若∠DOF =139°,则∠C 的度数为() A .38°B .39°C .40°D .41°3. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC =6,BC =8,点D 在BC 边上,将直角边AC 沿直线AD 折叠,点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处.设DE 的长为x ,则CD =__________,BD =_________.(用含x 的代数式表示)知识点睛1. 轴对称(折叠)的思考层次(1)全等变换:对应边_______、对应角_______.(2)对应点与对称轴:①对应点所连线段_____________________;lA'B'C'CBAOFED CB ADEABC②对称轴上的点_______________________.(3)组合搭配:长方形背景下的折叠常出现______三角形.(4)作图:核心是确定_______和_______,有时需要依据不变特征分析转化,然后再补全图形.特征举例:①对应点确定,折痕为对应点连线的垂直平分线;②折痕运动但过定点,则折叠后的对应点在圆上.精讲精练1. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC =6 cm ,BC =8 cm ,点D 在BC 边上,将直角边AC沿直线AD 折叠,点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处,则线段CD 的长为__________.第1题图第2题图2. 如图,在长方形ABCD 中,AB =5 cm ,在DC 上存在一点E ,将△AED 沿直线AE 折叠,使点D落在BC 边上的点F 处,若△ABF 的面积为30 cm 2,则EF 的长为_______.3. 如图,在长方形ABCD 中,点E 在AB 边上,将长方形ABCD 沿直线DE 折叠,点A 恰好落在BC 边上的点F 处.若AE =5,BF =3,则CF 的长为_______.4. 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =2,BC =4,将△ABC折叠,使点B 与点A 重合,折痕分别交AB ,BC 于点D ,E ,则BE=__________,DE=__________.第4题图第5题图5. 如图,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片,将其沿MN 折叠,使点B 落在CD 边上的B'处,点A 的对应点为A'.若B'C =3,则AM 的长为__________.DEA BC F ED C BA BFCDA EDEAB CMCBDAB'A'6. 如图,将长方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边的中点E 处,压平后得到折痕MN ,若AB =2,BC =4,则AM =______.第6题图第7题图7. 如图,在长方形ABCD 中,AB =3,AD =5,现将该长方形沿BD 折叠,使点C 落在点C′处,BC′交AD 于点E ,则AE 的长为________.8. 如图,在长方形ABCD 中,AB =15 cm ,点E 在AD 上,且AE =9 cm ,连接EC ,将长方形ABCD 沿直线BE 翻折,点A 恰好落在EC 上的点A'处,则A'C =_________.9. 如图,在长方形ABCD 中,AB =3,AD =9,将此长方形折叠,使点D 与点B 重合,折痕为EF ,则EF 的长为_________.第9题图第10题图10. 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =BC=2,将△ABC 沿直线l 翻折,点A 落在边BC 的中点D处,直线l 与边AC 交于点E ,则AE 的长为_________.11. 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6,BC =8,点P 在线段AC 上.若将△PBC 沿PB 折叠,使点C 的对应点C ′落在AB 边上,则BP 的长为_________.BC FAENMD EDCBAC′A'B ADCEFCBEDAC'第11题图第12题图12.如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是边BC上一点,BE=5,点F是射线BA上一动点,连接EF,将△BEF沿着EF折叠,使点B的对应点P落在长方形一边的垂直平分线上,连接BP,则BP的长为_________.13.如图,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处.当△B′CE为直角三角形时,BE的长为_________.【参考答案】课前预习1.(1)相等,相等;(2)垂直平分.2. D3.x,8x知识点睛1.(1)相等、相等(2)①被对称轴垂直平分;②到对应点的距离相等(3)等腰(4)对称轴,对应点精讲精练1. 3 cm2.13cm 53.124.5 25.26.138AC BFEDCBAPDCBAEB′7.8 58.8 cm10.5 411.12.13.32或3勾股定理在折叠问题中的应用(习题)例题示范例1:如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC 沿过点A的直线折叠,使点B恰好落在AC边上的点B′处,若折痕交BC于点E,则B′E的长为_________.思路分析:在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4由勾股定理,得AC=5找折痕,转移,表达设B′E=x,由折叠,得BE=B′E=x,AB′=AB=3∴CE=4-x,B′C=2利用勾股定理列方程在Rt△EB′C中,由勾股定理,得x2+22=(4-x)2解得x=32B'ACB复习巩固1. 如图,直角三角形纸片OAB ,∠AOB =90°,OA =1,OB =2,折叠该纸片,使点B 与点A 重合,若折痕交OB 于点C ,交AB 于点D ,则OC 的长为_________.2. 如图,折叠长方形ABCD 的一边AD ,使点D 落在BC 边上的点F 处,若AB =4 cm ,BC =5 cm ,则EF 的长为________.3. 如图,在长方形纸片ABCD 中,AD =8,折叠纸片使点B 落在线段AC 上的点F 处,折痕交BC 于点E ,若EF =3,则AB 的长为_________.4. 如图是一张直角三角形纸片,两直角边AC =6 cm ,BC =8 cm ,现将△ABC 折叠,使点B 与点A 重合,若折痕交BC 于点D ,交AB 于点E ,则CD =________,DE =_________.5. 如图,正方形ABCD 的边长为3,点E ,F 分别在BC ,CD 上,将AB ,AD 分别沿AE ,AF 折叠,点B ,D 恰好都落在点G 处,已知BE =1,则EF 的长为_________.O BCADFCBEDFEABC DDCBA6. 如图,将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠,使点D 落在边AB 上,对应点为D′,点C 落在C′处.若AB =6,AD′=2,则DM =________,CN =_________.7. 如图,长方形ABCD 中,AB =8,BC =4,将长方形沿AC 折叠,点D 落在点D′处,则重叠部分△AFC 的面积为_________.8. 如图,把长方形纸片ABCD 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为EF .若BC =8,AB =4,则AE =_______,EF =________.9. 如图,将长方形ABCD 折叠,使点A 与点C 重合,折痕分别交AD ,BC 于点E ,F ,若AB =3,AD =4,则DE 的长为______.GF E DCBA D'C'NMDAD'D'EABC DF10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,若点D在线段BC上,将△ABC沿AD折叠,使点C的对应点C′恰好落在AB边上,则BD的长为_________.11.如图,长方形ABCD中,AB=10,点P是射线AD上一动点,连接BP,将△ABP沿BP折叠,使点A的对应点A′ 到直线BC的距离等于6,则AP的长为_________.12.如图,长方形ABCD中,AB=12,AD=5,点E是CD边上一点,连接AE,把∠D沿AE折叠,使点D落在点D′处.当△CD′E为直角三角形时,DE的长为____________.【参考答案】例题示范4.3 2复习巩固1.34B CA DAPAB CDA'D'EBCAD2.5 cm 23. 64.7cm4,15cm45.5 26.103,437.109.7 810.5 311.5或2012.103或5。

勾股定理中的折叠问题(分类整理版)

勾股定理中的折叠问题(分类整理版)

勾股定理中的折叠问题
1、如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,
折痕为MN,求线段BN的长.
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示,在△ABC中,AB=20,AC=12,BC=16,把△ABC折叠,使AB落在直线AC上,求重
叠部分(阴影部分)的面积.
变式:如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,
使AC恰好落在斜边AB上,且点C与点E重合,求CD的长。

4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。

6、如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.
7、如图,在长方形ABCD中,将△ABC沿AC对折至△AEC位置,CE与AD交于点F.(1)试说明:AF=FC;
(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长.。

折叠问题中所包含的勾股定理的运用

折叠问题中所包含的勾股定理的运用

折叠问题中所包含的勾股定理的运用
折叠问题是中考的热点也是难点问题,通常与动点问题结合起来,这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠,通过分析折叠前后图形的变换,借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。

此类问题立意新颖,充满着变化,要解决此类问题,除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外,还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。

例1.如图1-1,在Rt A ABC 中,Z A=90°,AB=3, AC=4,现将△ ABC 沿BD 进行翻折,使点A刚好落在BC上,则CD=.。

勾股定理中的折叠问题(分类整理版)

勾股定理中的折叠问题(分类整理版)

勾股定理中的折叠问题
1、如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,
折痕为MN,求线段BN的长.
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示,在△ABC中,AB=20,AC=12,BC=16,把△ABC折叠,使AB落在直线AC上,求重
叠部分(阴影部分)的面积.
变式:如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,
使AC恰好落在斜边AB上,且点C与点E重合,求CD的长。

4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。

6、如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.
7、如图,在长方形ABCD中,将△ABC沿AC对折至△AEC位置,CE与AD交于点F.(1)试说明:AF=FC;
(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长.。

八年级折叠问题解题技巧

八年级折叠问题解题技巧

八年级折叠问题解题技巧一、折叠问题的基本性质1. 对应边相等在折叠过程中,折叠前后重合的边长度相等。

例如,将一个三角形沿着某条直线折叠,那么折叠后重合的两条边是相等的。

例如,在矩形ABCD中,将矩形沿着对角线AC折叠,那么AB = AF(假设F是B折叠后的对应点)。

2. 对应角相等折叠前后重合的角是相等的。

比如将一个四边形进行折叠,原来的角和折叠后对应的角大小相同。

如在上述矩形折叠的例子中,∠B = ∠F,∠BAC = ∠FAC。

3. 对称轴垂直平分对应点连线如果沿着直线l折叠,A点折叠后得到A'点,那么直线l垂直平分AA'。

这一性质在解决折叠问题中常常用于构建直角三角形等。

二、解题技巧与题目解析1. 利用勾股定理求解折叠后的线段长度题目:如图,在矩形ABCD中,AB = 3,BC = 5,将矩形ABCD沿BE折叠,使点A落在边CD上的点F处。

求CF的长。

解析:因为矩形ABCD沿BE折叠,所以AB = BF = 3,AE = EF。

在Rt△BCF中,BC = 5,BF = 3,根据勾股定理公式。

即公式。

2. 利用相似三角形解决折叠问题题目:在Rt△ABC中,∠C = 90°,AC = 6,BC = 8,将△ABC沿AD折叠,使点C落在AB边上的点E处。

求DE的长。

解析:根据勾股定理可得公式。

因为△ABC沿AD折叠,所以△ACD≌△AED,所以AC = AE = 6,CD = DE,那么BE = AB AE=10 6 = 4。

设DE = CD=x,则BD = 8 x。

因为∠DEB = ∠C = 90°,∠B是公共角,所以△BDE∽△BAC。

根据相似三角形的性质公式,即公式,解得公式,所以DE的长为3。

3. 利用折叠性质建立方程求解角度题目:将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点D落在点D'处,若∠EFC = 125°,求∠D'EF的度数。

专题05 勾股定理在折叠问题中的应用(解析版)

专题05 勾股定理在折叠问题中的应用(解析版)

专题05 勾股定理在折叠问题中的应用折叠问题是中考的热点也是难点问题,通常与动点问题结合起来,这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠,通过分析折叠前后图形的变换,借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。

此类问题立意新颖,充满着变化,要解决此类问题,除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外,还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。

下面就从以下的题目中逐一进行论述.题1. 如图1-1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,现将△ABC沿BD进行翻折,使点A刚好落在BC上,则CD=__________.图1-1【答案】5 2 .【解析】∵∠A=90°,AB=3,AC=4∴在Rt△ABC中,由勾股定理得:BC=5. 由折叠的性质知:AB=AB’=3,AD=A’D∴A’C=2设CD=x,则AD=A’D=4-x在Rt△A’DC中,由勾股定理得:CD2=A’C2+A’D2x2=4+(4-x)2解得:52 x .故答案为5 2 .题2. 如图2-1,△ABC是一张纸片,∠C=90°,AC=6,BC=8,现将其折叠.使点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为()A.1.75 B.3 C.3.75 D.4图2-1【答案】C.【解析】∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB=10.由折叠的性质知:AD=BD=3,AE=BE=5.设CD=x,则BD=AD=8-x,在Rt△ADC中,由勾股定理得:AD2=AC2+CD2(8-x)2=36+x2解得:x=1.75 .∴BD=6.25.在Rt△BDE中,由勾股定理得:DE=3.75.故答案为C.题3. 如图3-1,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B 落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,BE的长为.【答案】3或1.5.【解析】分两种情况讨论:ABCDEB'图3-2①当∠CEB ′=90°时,如图3-2所示.由折叠性质得:AB =AB ′,四边形ABE B ′是矩形. 所以四边形ABE B ′是正方形. 此时,BE =AB =3.ABC DEB'图3-3②当∠CB ′E =90°时,如图3-3所示.由折叠性质知,∠AB ′C =90°,所以∠AB ′C+∠CB ′E =180°. ∴点A 、B ′、C 共线在Rt △ABC 中,由勾股定理得AC =5 由折叠得:AB = AB ′=3 所以B ′C =2设BE =x ,则B ′E =x ,EC =4-x在Rt △ABC 中,由勾股定理得:EC 2=B ′E 2+B ′C 2 即:(4-x )2=x 2+22 解得:x =1.5.综上所述,BE 的值为3或1.5.【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论,并作出相应图形利用折叠的性质及勾股定理解题. 题4. 如图4-1,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°, E 为AB 上一点,分别以ED ,EC 为折痕将两个角(∠A ,∠B )向内折起,点A ,B 恰好落在CD 边的点F 处.若AD =3,BC =5,则EF 的值是( )图4-1A.15B.215C.17D.217【答案】A.【解析】由折叠性质知:AE=EF,AD=DF,BE=EF,BC=CF∴CD=CF+FD=8,AE=BE=EF.∵∠AED=∠DEF,∠BEC=∠CEF∠AED+∠DEF+∠BEC+∠CEF=180°∴∠DEC=90°在Rt△BCE中,由勾股定理得:CE2=BE2+BC2同理得:DE2=AD2+AE2CD2=CE2+DE2∴CD2= BE2+BC2 +AD2+AE2即64=2EF2+9+25解得:EF=15.故答案为A.题5. 如图5-1,在长方形ABCD中,将∆DBC沿BD对折至∆DBC’位置,BC’与AD交于点E. (1)试说明:BE=DE;(2)如果AB=6,BC=8,求△EBD的面积.图5-1【答案】见解析.【解析】(1)证明:由折叠性质知:∠EBD =∠DBC , ∵ABCD 是长方形, ∴AD ∥BC ∴∠EDB =∠DBC ∴∠EBD =∠EDB ∴BE =DE .(2)解:设DE =BE =x ,则AE =8-x , 在Rt △ABE 中,由勾股定理得:222BE AB AE =+即()22268x x =+- 解得:x =254. ∴△EBD 的面积为17524DE AB ⨯⨯=. 题6. 如图6-1所示,把长方形纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF . 若CD =6,求AF 的长度.F图6-1【答案】见解析.【解析】由折叠性质知:∠BAF =∠F AE ,AB =AE ∵E 是长方形ABCD 的边CD 的中点, ∴AE =CD =2DE ∴∠DAE =30° ∴∠BAF =∠F AE =30° 设BF =x ,则AF =2x在Rt △ABF 中,由勾股定理得:222AF AB BF =+即()22226x x =+ 解得:x=∴AF =2x=题7. 如图7-1,在矩形OABC 中,OA =5,AB =4,点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA 边上的点E 处,分别以OC ,OA 所在的直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系. 求点D 的坐标.【答案】见解析.【解析】由折叠性质可知:BD =DE , BC =CE =5 ∵OC =AB =4∴在Rt △OCE 中,由勾股定理得:3OE ==.∴AE =OA -OE =2.设AD =x ,则BD =DE =4-x , 在Rt △ADE 中,由勾股定理得:222AD AE DE +=()22224x x +=-解得:x =32. 因为D 点在第三象限,所以D 点坐标为352⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.题8. 如图8-1,在Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,AB AC =,21BC =+,点M ,N 分别是边BC ,AB上的动点,沿MN 所在的直线折叠B ∠,使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MBC ∆为直角三角形,则BM 的长为 .21+ 1. 【解析】通过观察及分析可知,C 点不可能为直角顶点,分两种情况讨论.A (B')BCN图8-2①当∠CM B ′=90°时,如图8-2所示.由折叠知:∠BMN =∠B ′MB =45°,又因为∠B =45°,所以∠BNM =90°,∠MNB ′=90° 即∠BNM +∠MN B ′=180°,所以B 、N 、B ′三点共线,此时B ′与点A 重合. 所以,1212BM BC +==A BCN B'图8-3②当∠CB ′M =90°时,如图8-3所示.由折叠知∠B =∠B ′=45°,因为∠C =45°,可得∠B ′MC =45°,所以△B ′MC 是等腰直角三角形 设BM = B ′M =x ,B ′C =x ,则MC = 2x因为BC 2+1所以x +2x=2+1 解得:x =1,即BM =1.故答案为:212或1. 题9. 如图9-1,AD 是△ABC 的中线,把△ADC 沿直线AD 翻折,点C 落在点C ’的位置,若∠ADC =45°,BC =4. 求BC ’的长.图9-1【答案】见解析. 【解析】由折叠性质得: ∠ADC =∠ADC ’=45°,CD =C ’D ∴∠C ’DC =∠BDC ’=90° 如图9-2所示.CAA (C')BD图9-2△BDC ’为等腰直角三角形,BD =C ’D =2, 根据勾股定理,得BC ’ =22故BC ’的长为22题10. 已知,如图10-1长方形ABCD 中,AB =3cm ,AD =9cm ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则△ABE 的面积为AB CDEF图10-1【答案】6.【解析】由折叠性质得:DE=BE设AE=x,则BE=DE=9-x,在Rt△ABE中,由勾股定理得:222AB AE BE+=()22239x x+=-解得:x=4.所以三角形ABE的面积为:11346 22AB AE⨯⨯=⨯⨯=.故答案为6.题11. 动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5. 如图11-1所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A’处,折痕为PQ,当点A’在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图11-1【答案】2.【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时,A'的位置处于最左端,当点P与点B重合时,点A'的位置处于最右端. 根据分析结果,作出图形,利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度,二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时,A'的位置处于最左端,如图11-2所示.确定点A'的位置方法:因为在折叠过程中,A'Q=AQ,所以以点Q为圆心,以AQ长为半径画弧,与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线,与AB的交点即为点P.AD (Q )C B P A'5534图11-2由折叠性质可知,AD = A 'D =5,在Rt △A 'CD 中,由勾股定理得,2222''534A C A D CD =-=-=②当点P 与点B 重合时,点A '的位置处于最右端,如图11-3所示.AD CB (P )A'Q332图11-3确定点A '的位置方法:因为在折叠过程中,A 'P =AP ,所以以点P 为圆心,以AP 长为半径画弧,与BC 的交点即为点A '. 再作出∠A 'P A 的角平分线,与A D 的交点即为点Q . 由折叠性质可知,AB = A 'B =3,所以四边形AB A 'Q 为正方形. 所以A 'C =BC -A 'B =5-3=2.综上所述,点A 移动的最大距离为4-2=2. 故答案为:2.【点睛】此题难度较大,主要考察学生的分析能力,作图能力。

勾股定理之“图形折叠”模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)

勾股定理之“图形折叠”模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)

重难点:勾股定理之“图形折叠”模型【知识梳理】图形折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系,计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解.翻折变换(折叠问题)1、翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换.2、折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.3、在解决实际问题时,对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,这样便于找到图形间的关系.首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时,我们常常设要求的线段长为x,x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时,应认真审题,设出正确的未知数.【考点剖析】一.选择题(共9小题)1.如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE的长为()A.3B.4C.5D.6【分析】根据折叠前后角相等可知△ABE≌△C′ED,利用勾股定理可求出.【解答】解:设DE=x,则AE=8﹣x,AB=4,在直角三角形ABE中,x2=(8﹣x)2+16,解之得,x=5.故选:C.【点评】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等.2.矩形纸片ABCD的边长AB=4,AD=2.将矩形纸片沿EF折叠,使点A与点C重合,折叠后在其一面着色(如图),则着色部分的面积为()A.8B.C.4D.【分析】着色部分的面积等于原来矩形的面积减去△ECF的面积,应先利用勾股定理求得FC的长,进而求得相关线段,代入求值即可.【解答】解:在Rt△GFC中,有FC2﹣CG2=FG2,∴FC2﹣22=(4﹣FC)2,解得,FC=2.5,∴阴影部分面积为:AB•AD﹣FC•AD=,故选:B.【点评】折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,本题中没有着色的部分为△ECF,利用了矩形和三角形的面积公式,勾股定理求解.3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图折叠,使点A与点B重合,则折痕DE的长是()A.B.C.D.【分析】先通过勾股数得到AB=10,再根据折叠的性质得到AD=DB=5,AE=BE,∠ADE=90°,设AE=x,则BE=x,CE=8﹣x,在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出x,然后在Rt△BDE中利用勾股定理即可计算得到DE的长.【解答】解:∵直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,∴AB=10,又∵折叠,∴AD=DB=5,AE=BE,∠ADE=90°,设AE=x,则BE=x,CE=8﹣x,在Rt△CBE中,BE2=BC2+CE2,即x2=62+(8﹣x)2,解得x=,在Rt△BDE中,DE==故选:D.【点评】本题考查了折叠的性质:折叠前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等.也考查了勾股定理.4.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=32cm,把长方形纸片沿AC折叠,点B落在点E处,AE交DC 于点F,AF=25cm,则AD的长为()A.16cm B.20cm C.24cm D.28cm【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC=∠DCA,根据等角对等边证明FC=AF,则DF即可求得,然后在直角△ADF中利用勾股定理求解.【解答】解:∵长方形ABCD中,AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,又∵∠BAC=∠EAC,∴∠EAC=∠DCA,∴FC=AF=25cm,又∵长方形ABCD中,DC=AB=32cm,∴DF=DC﹣FC=32﹣25=7cm,在直角△ADF中,AD===24(cm).故选:C.【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理,在折叠的过程中注意到相等的角以及相等的线段是关键.5.如图,矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C处,BC交AD于点E,AD=8,AB=4,则BE的长为()A.3B.4C.5D.2【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出∠C′BD=∠DBC=∠BDA,可得DE=BE,设BE=DE=x,则AE=8﹣x.根据勾股定理得出方程,解方程即可.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DBC=∠BDA,由折叠的性质得:∠C′BD=∠DBC,∴∠C′BD=∠BDA,∴DE=BE,设BE=DE=x,则AE=8﹣x.在△ABE中,由勾股定理得:x2=42+(8﹣x)2.解得:x=5,∴BE=5.故选:C.【点评】此题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理;熟练掌握矩形和翻折变换的性质,由勾股定理得出方程是解决问题的关键.6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则的值是()A.B.C.D.【分析】先设CE=x,再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8﹣x,再根据勾股定理求出x的值,进而可得出的值.【解答】解:设CE=x,则AE=8﹣x,∵△BDE是△ADE翻折而成,∴AE=BE=8﹣x,在Rt△BCE中,BE2=BC2+CE2,即(8﹣x)2=62+x2,解得x=,∴==.故选:C.【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理,熟知“折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠7.将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G(如图).如果DM:MC=3:2,则DE:DM:EM=()A.7:24:25B.3:4:5C.5:12:13D.8:15:17【分析】先根据折叠的性质得EM=EA,再根据勾股定理得ME的长,从而求比值.【解答】解:由折叠知,EM=EA,设CD=AD=5a,∴DE=5a﹣EM,DM=3a,MC=2a,在Rt△EDM中,EM2=DE2+DM2,即ME2=(5a﹣ME)2+(3a)2,解得ME=a∴ED=a∴DE:DM:EM=a:3a:a=8:15:17.故选:D.【点评】本题利用了:1、折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;2、通过设适当的参数,利用正方形的性质,勾股定理求解.8.如图,矩形纸片ABCD中,AB=18cm,把矩形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,若AF=13,则AD的长为()A.5cm B.6cm C.10cm D.12cm=FC,在直角三角形ADF中,运用勾股定理求解.【解答】解:根据折叠前后角相等可知△ADF≌△CEF,设DA=x,又AF=13,DF=18﹣13=5,在直角三角形ADF中,x2+52=132,解之得,x=12cm.故选:D.【点评】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等.9.如图,将一个边长分别为4,8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是()A.B.C.D.【分析】根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等和勾股定理求解.【解答】解:根据折叠的性质知,四边形AFEB与四边形CEFD全等,有EC=AF=AE,由勾股定理得,AB2+BE2=AE2即42+(8﹣AE)2=AE2,解得,AE=AF=5,BE=3,作EG⊥AF于点G,则四边形AGEB是矩形,有AG=3,GF=2,GE=AB=4,由勾股定理得EF=.故选:D.【点评】本题利用了:1、折叠的性质;2、矩形的性质.二.填空题(共1小题)10.已知,矩形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为A.6cm2B.8cm2C.10cm212cm2.【分析】根据折叠的条件可得:BE=DE,在直角△ABE中,利用勾股定理就可以求解.【解答】解:将此长方形折叠,使点B与点D重合,∴BE=ED.∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE.∴BE=9﹣AE,根据勾股定理可知:AB2+AE2=BE2.解得AE=4.∴△ABE的面积为3×4÷2=6.故选A.【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力,即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.三.解答题(共1小题)11.如图所示,折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处,已知BC=10厘米,AB=8厘米,求BF与FC的长.【分析】由图形翻折变换的性质可知,AD=AF,设BF=x,则FC=10﹣x,在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF,再由BC=12厘米可得出FC的长度.【解答】解:∵△AEF是△AED沿直线AE折叠而成,AB=8cm,BC=10cm,∴AD=AF=10cm,设BF=x,则FC=10﹣x,在Rt△ABF中,AF2=AB2+BF2,即102=82+x2,解得x=6,即BF=6厘米.∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm.综上可得BF的长为6厘米、FC的长为4厘米.BF,AF的长度,在△ABF中利用勾股定理,难度一般.【过关检测】一.选择题(共11小题)1.(2022秋•大东区校级期末)如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD 于E,AD=8,AB=4,则DE的长为()A.3B.4C.5D.6【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D,∠C=∠C′=90°,再设DE=x,则AE=8﹣x,由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE,可得出BE=DE=x,在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值,进而得出DE的长.【解答】解:∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成,∴CD=C′D=AB=8,∠C=∠C′=90°,设DE=x,则AE=8﹣x,∵∠A=∠C′=90°,∠AEB=∠DEC′,∴∠ABE=∠C′DE,在Rt△ABE与Rt△C′DE中,,∴Rt△ABE≌Rt△C′DE(ASA),∴BE=DE=x,在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,∴42+(8﹣x)2=x2,解得:x=5,∴DE的长为5.故选:C.【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键.2.(2021秋•镇海区校级期中)如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=5厘米,EF=12厘米,则边HF的长是()A.12厘米B.13厘米C.14厘米D.15厘米【分析】利用折叠的性质得出∠HEF=90°,再利用勾股定理即可求解.【解答】解:∵△AEH折叠得到△MEH,△BEF折叠得到△MEF,∴∠AEH=∠MEH,∠BEF=∠MEF,∴∠HEF=∠MEH+∠MEF=(∠AEM+∠BEM)=90°,∴△HEF为直角三角形,在Rt△HEF中,EH2+EF2=HF2,∵EH=5厘米,EF=12厘米,∴HF==13厘米,故选:B.【点评】本题考查折叠的性质,勾股定理,解题的关键是利用折叠性质得到∠HEF=90°.3.(2022春•杭锦后旗期中)如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为()A.cm B.cm C.cm D.无法确定【分析】设CD=xcm,则BD=BC﹣CD=(8﹣x)cm,再根据折叠的性质得AD=BD=8﹣x,然后在△ACD 中根据勾股定理得到(8﹣x)2=62+x2,再解方程即可.【解答】解:设CD=xcm,则BD=BC﹣CD=(8﹣x)cm,∵△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,∴AD=BD=8﹣x,在△ACD中,∠C=90°,∴AD2=AC2+CD2,∴(8﹣x)2=62+x2,解得x=,即CD的长为cm.故选:C.【点评】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.4.(2021春•永嘉县校级期末)如图,将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E 处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是()A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm【分析】根据折叠的性质,只要求出DN就可以求出NE,在直角△CEN中,若设CN=x,则DN=NE=8﹣x,CE=4cm,根据勾股定理就可以列出方程,从而解出CN的长.【解答】解:由题意设CN=x cm,则EN=(8﹣x)cm,又∵CE=DC=4cm,∴在Rt△ECN中,EN2=EC2+CN2,即(8﹣x)2=42+x2,解得:x=3,即CN=3cm.故选:D.【点评】本题考查翻折变换的问题,折叠问题其实质是轴对称,对应线段相等,对应角相等,找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.5.(2021秋•裕华区校级期末)如图是一张直角三角形的纸片.两直角边AC=6cm,BC=8cm将△ABC折叠,使点B与点A DE,则AD的长为()A.cm B.10cm C.cm D.5cm【分析】首先设AD=xcm,由折叠的性质得:BD=AD=xcm,又由BC=8cm,可得CD=8﹣x(cm),然后在Rt△ACD中,利用勾股定理即可求得方程,解方程即可求得答案.【解答】解:设AD=xcm,由折叠的性质得:BD=AD=xcm,∵在Rt△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,∴CD=BC﹣BD=8﹣x(cm),在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2,即:62+(8﹣x)2=x2,解得:x=,∴AD=cm.故选:A.【点评】此题考查了折叠的性质与勾股定理的知识.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用,注意掌握折叠前后图形的对应关系.6.(2021春•漳平市期中)如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为()A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2【分析】首先根据翻折的性质得到ED=BE,再设出未知数,分别表示出线段AE,ED,BE的长度,然后在Rt △ABE中利用勾股定理求出AE AE的长度,就可以利用面积公式求得△ABE的面积了.【解答】解:∵长方形折叠,使点B与点D重合,∴ED=BE,设AE=xcm,则ED=BE=(9﹣x)cm,在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,∴32+x2=(9﹣x)2,解得:x=4,∴△ABE的面积为:3×4×=6(cm2).故选:A.【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力,解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的,相等的,如果想象不出哪些线段相等,可以动手折叠一下即可.7.(2020•饶平县校级模拟)如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在AB边中点E处,点C落在点Q处,折痕为FH,则线段AF的长是()A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm【分析】根据△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可.【解答】解:由折叠可得DF=EF,设AF=x,则EF=8﹣x,∵AF2+AE2=EF2,∴x2+42=(8﹣x)2,解得x=3.故选:A.【点评】本题考查折叠问题;找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.8.(2021春•环翠区校级期中)如图:长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图的方式折叠,使点B与点D重合.折痕为DE长为()A.4.8cm B.5cm C.5.8cm D.6cm【分析】在折叠的过程中,BE=DE,从而设BE=DE=x,即可表示AE,在直角三角形ADE中,根据勾股定理列方程即可求解.【解答】解:设DE=xcm,则BE=DE=x,AE=AB﹣BE=10﹣x,在Rt△ADE中,DE2=AE2+AD2,即x2=(10﹣x)2+16.解得:x=5.8.故选:C.【点评】此题主要考查了翻折变换的问题,解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等,另外要熟练运用勾股定理解直角三角形.9.(2021秋•开福区校级期末)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上.若AB=6,BC=9,则BF的长为()A.4B.3C.4.5D.5【分析】先求出BC′,再由图形折叠特性知,C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF,在Rt△C′BF中,运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解.【解答】解:∵点C′是AB边的中点,AB=6,∴BC′=3,由图形折叠特性知,C′F=CF=BF=9﹣BF,在Rt△C′BF中,BF2+BC′2=C′F2,∴BF2+9=(9﹣BF)2,解得,BF=4,故选:A.【点评】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用,综合能力要求较高.同时也考查了列方程求解的能力.解题的关键是找出线段的关系.10.(2021春•宁明县期中)如图,矩形纸片ABCD中,AB=8cm,把矩形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,若AF=cm,则AD的长为()A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm【分析】由折叠的性质可证AF=FC.在Rt△ADF中,由勾股定理求AD的长.【解答】解:由折叠的性质知,AE=AB=CD,CE=BC=AD,∴△ADC≌△CEA,∠EAC=∠DCA∴AF=CF=cm,DF=CD﹣CF=在Rt△ADF中,由勾股定理得,AD=6cm.故选:C.【点评】本题利用了:①折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;②全等三角形的判定和性质,勾股定理求解.11.(2021秋•东平县期末)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(﹣3,0),点B的坐标是(0,4),点M是OB上一点,将△ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点B'处,则点M的坐标为()A.(,0)B.(0,)C.(,0)D.(0,)【分析】设沿直线AM将△ABM B正好落在x轴上的B'点,则有AB=AB',而AB的长度根据已知可以求出,所以B'点的坐标由此求出;又由于折叠得到B'M=BM,在直角△B'MO中根据勾股定理可以求出OM,也就求出M的坐标.【解答】解:∵将△ABM沿AM折叠,∴AB=AB',又A(﹣3,0),B(0,4),∴AB=5=AB',∴点B'的坐标为:(2,0),设M点坐标为(0,b),则B'M=BM=4﹣b,∵B'M2=B'O2+OM2,∴(4﹣b)2=22+b2,∴b=,∴M(0,),故选:B.【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,也考查了翻折变换,题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键.二.填空题(共6小题)12.(2022秋•江北区期末)如图,有一张直角三角形的纸片,∠ACB=90°,AB=5,AC=3.现将三角形折叠,使得边AC与AB重合,折痕为AE,则CE长为.【分析】解法一:先根据勾股定理求得BC的长,再根据折叠的性质得到CE=DE,AC=AD,∠C=∠EDA=90°,则BD=AB﹣AD,∠EDB=90°,设CE=DE=x,在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程,求解即可.解法二:先根据勾股定理求得BC的长,再根据折叠的性质可推出∠EDB=90°,以此可得△BDE∽△BCA,设CE=DE=x,根据相似三角形的性质即可解答.【解答】解:解法一:在Rt△ABC中,由勾股定理得BC==4,根据折叠的性质可知CE=DE,AC=AD=3,∠C=∠EDA=90°,∴∠EDB=90°,BD=AB﹣AD=5﹣3=2,设CE=DE=x,则BE=4﹣x,Rt△BDE中,DE2+BD2=BE2,即x2+22=(4﹣x)2,解得:,∴CE=.故答案为:.解法二:在Rt△ABC中,由勾股定理得BC==4,根据折叠的性质可知CE=DE,∠C=∠EDA=90°,∴∠EDB=∠C=90°,∵∠B为公共角,∴△BDE∽△BCA,∴,设CE=DE=x,则BE=4﹣x,∴,∴x=,∴CE=.故答案为:.【点评】本题主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质,解题时,我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案13.(2022中,AB=5,BC=12,点E是边AD上的一个动点,把△BAE沿BE折叠,点A落在A'处,当△A'DE是直角三角形时,DE的长为.【分析】当△A'DE是直角三角形时,可分两种情况进行讨论:①当∠EA′D=90°时,此时A′在BD上,由勾股定理可得BD=13,根据折叠的性质可得AE=A′E,AB=A′B=5,A′D=8,设AE=A′E=x,则DE=12﹣x,最后根据勾股定理即可解答;②当∠A′ED=90°时,根据折叠的性质可得∠AEB=∠AEB,以此可推出△ABE为等腰直角三角形,AB=AE=5,再根据DE=AD﹣AE即可求解.【解答】解:①当∠EA′D=90°时,如图,∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=90°,BC=AD=12,AB=5,∴BD=,根据折叠的性质可得,AE=A′E,AB=A′B=5,∴A′D=BD﹣A′B=8,设AE=A′E=x,则DE=12﹣x,在Rt△A'DE中,根据勾股定理得AE2+A′D2=DE2,∴x2+82=(12﹣x)2,解得:,∴AE=,;②当∠A′ED=90°时,如图,∴∠AEA=90°,根据折叠的性质可得,∠AEB=∠AEB,∵∠AEB+∠AEB=90°,∴∠AEB=∠AEB=45°,∴△ABE为等腰直角三角形,AB=AE=5,∴DE=AD﹣AE=12﹣5=7;综上,DE=或7.故答案为:或7.【点评】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、折叠的性质,据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案是解题关键.14.(2021秋•鼓楼区校级期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E,若AC=8,BD=5,则CE的长度是.【分析】连接BE,根据线段垂直平分线的性质得出BE=AE,BD=AD=5,根据勾股定理求出BC,设CE=x,再根据勾股定理得出方程62+(8﹣x)2=x2,求出x,即可得到CE的长.【解答】解:如图所示,连接BE,∵AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E,BD=5,∴BE=AE,AD=BD=5,∴AB=5+5=10,在Rt△ABC中,由勾股定理得:BC===6,设CE=x,则BE=AE=8﹣x,在Rt△CBE中,由勾股定理得:BC2+CE2=BE2,∴62+x2=(8﹣x)2,解得:x=,∴CE=,故答案为:.【点评】本题考查了线段垂直平分线性质和勾股定理等知识点,能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键.15.(2022秋•南关区校级期末)如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为20cm,在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿4cm的点A 处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm,则该圆柱底面周长为.【分析】将容器的侧面展开,建立点A关于CE的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.【解答】解:将圆柱的侧面展开,EC为上底面圆周长的一半,作点A关于CE的对称点A′,连接A′B交EC于点F,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF,即AF+BF=A′F+BF=A′B=25m,延长BC,过A′作A′D⊥BC于点D,∵AE=A′E=DC=4cm,∴BD=20cm,Rt△A′BD中,由勾股定理可得A′D===15cm,则该圆柱底面周长为30cm.故答案为:30cm.【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题关键.16.(2022秋•鼓楼区期中)如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形沿BE折叠,使顶点A落在CD 上的点F处,其中E在AD上,连接AF,则AE=.【分析】首先利用勾股定理求出FC的长,设AE=EF=x,在Rt△DEF中,利用勾股定理构建方程即可解决问题;【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠C=90°,在Rt△BCF中,BF=AB=5,BC=AD=3,∴CF==4,∴DF=CD﹣CF=1,设AE=EF=x,在Rt△DEF中,∵EF2=DE2+DF2,∴x2=(3﹣x)2+12,∴x=,∴AE=.故答案为:.【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题.17.(2022秋•下城区校级期中)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将它的一个锐角翻折,使该锐角顶点落在其对边的中点D处,折痕交另一直角边于点E,交斜边于点F,则DE的长为.【分析】根据题意设DE=x求出CE的长,然后在Rt△ECD中利用勾股定理列方程求解即可.【解答】解:分两种情况:①如图1所示:∵D是BC的中点,∴CD=BC=4,由折叠的性质得:DE=AE,设DE=x,则CE=6﹣x,在Rt△ECD中,DE2=EC2+CD2,即x2=(6﹣x)2+16,解得x=,即DE=.②如图1所示:∵D是BC的中点,∴CD=AC=3,由折叠的性质得:DE=BE,设DE=x,则CE=8﹣x,在Rt△ECD中,DE2=EC2+CD2,即x2=(8﹣x)2+9,解得x=,即DE=;故答案为:或.【点评】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识;熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键.三.解答题(共4小题)18.(2022秋•西湖区校级期中)如图,在等边△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿DE 所在直线对折,点A落在BC边上的点A′处,且DA′⊥BC.(1)求∠AED的度数.(2)若AD=,求线段AB和CE的值.【分析】(1)根据等边三角形的性质得∠A=∠B=∠C=60°,根据折叠的性质得∠A=∠DA′E=60°,∠AED=∠A′ED,进而求得∠EA′C=30°,由三角形的外角性质得∠AEA′=∠EA′C+∠C=2∠AED,以此即可求解;(2)根据折叠的性质可得AD=A′D,根据含30度角的直角三角形性质可A′B=x,则BD=2x,根据勾股定理列出方程解得x=1,则AB=BC=2,由(1)可知∠EA′C=30°,最后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解.【解答】解:(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,根据折叠可知,∠A=∠DA′E=60°,∠AED=∠A′ED,∵∠DA′⊥BC,∴∠DA′C=90°,∴∠EA′C=∠DA′C﹣∠DA′E=90°﹣60°=30°,∴∠AEA′=∠EA′C+∠C=2∠AED=30°+60°=90°,∴∠AED=90°÷2=45°;(2)根据折叠可知,AD=A′D,∵AD=,∴A′D=AD=,由(1)可知,∠B=60°,∠DA′B=90°,∴∠A′DB=30°,∴BD=2A′B,设A′B=x,则BD=2x,在Rt△A′BD中,由勾股定理得A′B2+A′D2=BD2,即,解得:x=1或﹣1(舍去),∴A′B=1,BD=2,∴AB=AD+BD=2,∵△ABC为等边三角形,∴BC=AB=2,∴A′C=BC﹣A′B=,由(1)知,∠EA′C=30°,∴∠A′EC=180°﹣∠EA′C﹣∠C=90°,在Rt△A′EC中,∠EA′C=30°,∴CE==.综上,线段AB=2,CE=.【点评】本题主要考查折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理,熟记30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键.19.(2022秋•和平区期末)在△ABC中,AB=25,,AP垂直直线BC于点P.(1)当BC=25时,求AP的长;(2)当AP=20时,①求BC的长;②将△ACP沿直线AC翻折后得到△ACQ,连接BQ,请直接写出△BCQ的周长为.【分析】(1)设PC=x,则BP=25﹣x,根据勾股定理列出方程求解即可;(2)①分两种情况:Ⅰ.当△ABC为锐角三角形,根据勾股定理求出CP、BP,则BC=CP+BP;Ⅱ.当△ABC为钝角三角形,根据勾股定理求出PC、PB,则BC=PB﹣PC;②分两种情况:Ⅰ.当△ABC为锐角三角形,连接PQ,交AC于点E,过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D,根据折叠的性质可得CP=CQ=10,PE=QE=,且PQ⊥AC,根据等面积法求出PE=,则PQ =2PE=,设CD=a,则DP=10+a,根据勾股定理可得QD2=CQ2﹣CD2=100﹣a2,QD2=PQ2﹣DP2=320﹣(10+a)2,以此列出方程,求解得CD=6,QD=8,则BD=CD+BC=31,根据勾股定理求出BQ,以此即可求解;Ⅱ.当△ABC为锐角三角形,连接PQ,交AC于点E,过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D,根据折叠的性质可得CP=CQ=10,PE=QE=,且PQ⊥AC,根据等面积法求出PE=,则PQ=2PE=,设BD=m,则CD=5+m,PD=15+m,根据勾股定理可得QD2=CQ2﹣CD2=100﹣(5+m)2,QD2=PQ2﹣PD2=320﹣(15+m)2,以此列出方程,求解得BD=1,QD=8,根据勾股定理求出BQ,以此即可求解.【解答】解:(1)如图,设PC=x,则BP=25﹣x,∵AP⊥BC,∴∠APC=∠APB=90°,在Rt△ACP中,由勾股定理得AP2AC2﹣PC2=500﹣x2在Rt△ABP中,由勾股定理得AP2=AB2﹣BP2=625﹣(25﹣x)2,∴500﹣x2=625﹣(25﹣x)2,解得:x=10,∴AP==20;(2)①Ⅰ.当△ABC为锐角三角形,如图,∵AP⊥BC,∴∠APC=∠APB=90°,在Rt△ACP中,AC=,由勾股定理得=10,在Rt△ABP中,AB=25,由勾股定理得BP==15,∴BC=CP+BP=25;Ⅱ.当△ABC为钝角三角形,如图,∵AP⊥BC,∴∠APB=90°,在Rt△APC中,由勾股定理得PC==10,在Rt△APB中,由勾股定理得PB==15,∴BC=PB﹣PC=5;综上,BC的长为25或5;②Ⅰ.当△ABC为锐角三角形,连接PQ,交AC于点E,过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D,如图,由(2)①Ⅰ知,CP=10,PB=15,BC=25,由折叠的性质可知,CP=CQ=10,PE=QE=,且PQ⊥AC,∵,即,∴PE=,∴PQ=2PE=,设CD=a,则DP=10+a,在Rt△QDC中,由勾股定理得QD2=CQ2﹣CD2=100﹣a2,在Rt△QDP中,由勾股定理得QD2=PQ2﹣DP2=320﹣(10+a)2,∴100﹣a2=320﹣(10+a)2,解得:a=6,∴CD=6,QD==8,∴BD=CD+BC=31,在Rt△QDB中,由勾股定理得=,∴△BCQ的周长为CQ+PC+PB+BQ=10+10+15+=35+;Ⅱ.当△ABC为锐角三角形,连接PQ,交AC于点E,过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D,如图,由(2)①Ⅱ知,CP=10,PB=15=5,由折叠的性质可知,CP=CQ=10,PE=QE=,且PQ⊥AC,∵,即,∴PE=,∴PQ=2PE=,设BD=m,则CD=5+m,PD=15+m,在Rt△QDC中,由勾股定理可得QD2=CQ2﹣CD2=100﹣(5+m)2,在Rt△QDP中,由勾股定理得QD2=PQ2﹣PD2=320﹣(15+m)2,∴100﹣(5+m)2=320﹣(15+m)2,解得:m=1,在Rt△QDB中,由勾股定理得BQ=,∴△BCQ的周长为BC+BQ+CQ=5++10=15+.综上,△BCQ的周长为35+或15+.故答案为:35+或15+.【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质、等面积法求三角形的高,解题关键在于根据题意正确画出图形,利用数形结合思想解决问题.20.(2022秋•武侯区校级期中)在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD=10,BC=AD =6,P为射线BC上一点,将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置,使点B落在点E处.(1)若P为BC上一点.①如图1,当点E落在边CD上时,求CE的长;②如图2,连接CE,若CE∥AP,则BP与BC有何数量关系?请说明理由;(2)如果点P在BC的延长线上,当△PEC为直角三角形时,求PB的长.【分析】(1)①以点A为圆心,AB为半径交CD于点E,利用勾股定理求出DE的长即可;②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP=CP,BP=PE,从而BP=PC;(2)由△PEC是直角三角形,当∠EPC=90°时,则四边形ABPE是正方形,得PB=AB=10;当∠ECP=90°时,设BP=x,则PC=x﹣6,在Rt△ECP中,利用勾股定理列方程即可求解,当∠PEC=90°时,点P在线段BC上,不符合题意,舍去.【解答】解:(1)①如图:以点A为圆心,AB为半径交CD于点E,∵AE=AB=10,AD=6,∠D=90°,∴CE=DC﹣DE=10﹣8=2;②BC=2BP,理由如下:∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置,∴∠APB=∠APE,PE=BP,∵CE∥AP,∴∠CEP=∠APE,∠ECP=∠APB,∴∠PEC=∠ECP,∴EP=CP,∴BP=BC,∴BC=2BP;(2)∵△PEC是直角三角形,当∠EPC=90°时,∵∠EPC=∠AEP=∠B=90°,且=BP,∴四边形ABPE是正方形,∴PB=AB=10;当∠ECP=90°时,则∠ECP=∠B=90°,∴EC∥AB,∵DC∥AB,∴点E、D、C三点共线,由翻折知AE=AB=10,根据勾股定理得DE=8,∴EC=18,设BP=x,则PC=x﹣6,在Rt△ECP中,由勾股定理得:182+(x﹣6)2=x2,解得x=30,∴PB=30;当∠PEC=90°时,点P在线段BC上,不符合题意,舍去,综上:BP=10或30.【点评】本题属于几何变换综合题,考查了矩形的性质,翻折变换,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,学会利用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.21.(2022秋•绥德县期中)如图所示,折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处,已知BC=10厘米,AB=8厘米.(1)求BF与FC的长.(2)求EC的长.【分析】(1)由图形翻折变换的性质可知,AD=AF=10,在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF,再由BC =12厘米可得出FC的长度;(2)将CE的长设为x,得出DE=10﹣x=EF,在Rt△CEF中,根据勾股定理列出方程求解即可.【解答】解:(1)∵△ADE折叠后的图形是△AFE,∴AD=AF,∠D=∠AFE,DE=EF.∵AD=BC=10cm,∴AF=AD=10cm.又∵AB=8cm,在Rt△ABF AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102,∴BF=6cm,∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm.(2)设EC的长为xcm,则DE=(8﹣x)cm.在Rt△EFC中,根据勾股定理,得:FC2+EC2=EF2,∴42+x2=(8﹣x)2,即16+x2=64﹣16x+x2,化简,得16x=48,∴x=3,故EC的长为3cm.【点评】本题主要考查了勾股定理的应用,解题时常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.。

勾股定理在折叠问题中的应用讲

勾股定理在折叠问题中的应用讲
本课程讲解了勾股定理在折叠问题中的应用,重点是通过理解折叠的实质,掌握利用勾股定理解决问题的方到同一个直角三角形中,利用勾股定理求解。其次,通过折叠长方形的例题,进一步阐述了在折叠过程中如何应用勾股定理,特别是在出现面积相等的情况下。这些例题和练习不仅有助于理解折叠的实质,即轴对称,还能提升运用勾股定理解决折叠问题的能力。通过学习,可以熟练掌握选择合适的直角三角形,利用勾股定理列方程,从而有效解决折叠问题。

空间几何中的折叠问题例题和知识点总结

空间几何中的折叠问题例题和知识点总结

空间几何中的折叠问题例题和知识点总结在空间几何的学习中,折叠问题是一个较为复杂但又十分有趣的部分。

通过折叠,可以将平面图形转化为立体图形,从而考察我们对空间想象力、几何定理的运用以及逻辑推理能力。

接下来,让我们通过一些具体的例题来深入了解空间几何中的折叠问题,并对相关知识点进行总结。

一、例题展示例 1:有一个矩形 ABCD,其中 AB = 4,AD = 3。

现将矩形沿着对角线 AC 折叠,使得点 B 与点 B'重合,求折叠后形成的三棱锥 B' ACD 的体积。

思路分析:首先,我们需要求出对角线AC 的长度。

根据勾股定理,AC =√(AB²+ AD²) = 5。

然后,由于折叠前后,三角形 ABC 的面积不变,所以三角形 ABC 的面积为 1/2 × AB × AD = 6。

接着,我们需要求出点 B' 到平面 ACD 的距离。

因为 B' 在平面 ACD 上的射影为三角形 ACD 的重心 G,且 AG : GD = 2 : 1,所以 B'G = 2/3 × B'E (E 为 AC 的中点)。

又因为 B'E = 12/5,所以 B'G = 8/5。

最后,根据三棱锥的体积公式 V = 1/3 × S × h(S 为底面积,h 为高),可得三棱锥 B' ACD 的体积为 1/3 × 1/2 × AD × CD × B'G = 8/5。

例 2:已知正方形 ABCD 的边长为 2,E、F 分别为 BC、CD 的中点。

现将正方形沿着 AE、AF 折叠,使 B、D 两点重合于点 P,求三棱锥 P AEF 的外接球表面积。

思路分析:折叠后,三棱锥 P AEF 的三条侧棱 PA、PE、PF 两两垂直。

所以三棱锥 P AEF 的外接球就是以 PA、PE、PF 为棱的长方体的外接球。

专题勾股定理与折叠问题

专题勾股定理与折叠问题

专题:勾股定理在折叠问题中应用一•知识要点(1)折叠的规律是,折叠部分的图形,折叠前后,关于折痕成轴对称,两图形全等.(2)利用线段关系和勾股定理,运用方程思想进行计算.二•典例解析(一)三角形的折叠1・如图,RtZJABC 中,ZC=90° , AC=6, AB=10, D 为BC ±一点,将AC 沿AD 折叠,使点 C 落在AB上,求CD的长2•如图,RtZJABC中,ZC=90° , D为AB上一点,将JABC沿DE折叠,使点B与点A重合, <①若AC=4, BC=8,求CE的长②若AC=24, BC=32,求折痕DE的长C E(二)矩形的折叠1.如图,折叠矩形纸片ABCD,先折岀折痕(对角线)BD,再折叠,使AD落在对角线BD上,得折痕DG,若AB = 2, BC= 1,求AG2•如图,折叠长方形的一边AD, 点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm, BC=10cm, 求EC的长.变式:如图.在直角坐标系中,矩形ABCO的边0A在x轴上,边0C在y轴上,点B的坐标为(1, 3),将矩形沿对角线AC 翻折,B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E.那么点D的坐标为3•如图,矩形纸片ABCD, AB=4cm, BC=8cm,现将A、C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF①求DF的长;②求重叠部分AAEF的面积;③求折痕EF的长.B E C(三)正方形的折叠1 •将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN①求线段CN的长;②求AM:③求折痕MN的长变式:如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点3落在CD边上的/处,点A对应点为且B'C = 3,则4M的长是。

勾股定理折叠问题,方程思想

勾股定理折叠问题,方程思想

第一讲 勾股定理本章知识要点导航 :(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.(2)勾股定理公式a 2+b 2=c 2 的变形有:;;222222b a c a c b b c a +=-=-=及(3)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形就是直角三角形.(4)勾股数:满足a 2+b 2=c 2 的三个正整数,称为勾股数.说明:①三个数必须是正整数,例如:2.5、6、6.5满足a 2+b 2=c 2,但是它们不是正整数,所以它们不是够勾股数.(5)平面展开-最短路径问题,先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.课堂笔记:_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________➢ 知识考点1☆☆☆:在Rt △中,已知两边求第三边;(1)在ABC Rt ∆中,已知ο90=∠C ,8,6==b a ,则c=______________;(2)在ABC Rt ∆中,12,5==b a ,则c=______________;变式1:直角三角形的两直角边分别为5,12,则斜边上的高为______________;变式2:若一个直角三角形两直角边之比为4:3,斜边的长为20,则这个三角形的周长是___________; 变式3:已知在ABC Rt ∆中,ο90=∠C ,4,12==+b c a ,则ABC ∆的面积为___________;➢ 知识考点2☆☆☆:利用勾股定理求面积;思考:“问号正方形”的面积是多少?这个类型的问题还有哪些拓展呢?【经典例题1】有一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形D C B A 、、、的边长分别是3,2,5,3,则最大正方形E 的面积是( )A.13B.26C.47D.94【变式1】如图,直线l 上依次放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形面积分别是3,2,1,正放置的四个正方形的面积是4321,,,S S S S ,则=+++4321S S S S _________________【变式2】如图,已知直角△ABC 的两直角边分别为6,8,分别以其三边为直径作半圆,求图中阴影部分的面积是_____________.(例1) (变1) (变2)➢ 知识考点3☆☆☆:应用勾股定理,求等腰三角形底边上的高;1、一个等腰三角形的腰长为cm 13,底边长为cm 10,这个三角形的面积为_________;2、一个等腰三角形的腰长为5,一腰上的高为3,以底边为边长的正方形的面积为_________;3、等腰中,,是底边上的高,若,求 ①AD 的长;②ΔABC 的面积.➢ 知识考点4☆☆☆:利用方程思想求线段长(含双勾股)1、在ABC ∆中,AD 是高线,若4=AB ,2=AD ,3=AC ,则BC 的长为_____________;2、在ABC ∆中,17=AB ,10=AC ,9=BC ,则BC 边上的高为_____________;3、如图,小溪边有两棵树隔岸相望,一棵树高m 9,另一棵树高m 6,两棵树之间的距离是m 15,在两棵树顶上各停着一只水鸟,两只鸟同时看到水面上有一条小鱼,它们立刻以相同的速度飞去抓鱼,结果同时到达目标,求小鱼离较高那棵树有多远?4、如图,点P 是长方形ABCD 内一点,7,5,1===PC PB PA ,求PD 的长。

第11讲勾股定理折叠问题

第11讲勾股定理折叠问题

第十一讲勾股定理折叠问题一、知识梳理初中数学中,有关折叠的问题也是相对比较难的问题,主要涉及求角的度数、求线段的长度、求周长、面积等,其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理.图形折叠问题核心实质是轴对称性质,即先找出对称轴,再观察元素不变量与变量,然后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。

图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等,考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析式等等,折叠问题中,“折”是过程,“叠”是结果,此题型灵活多变,能考查学生的自主探索能力与空间想象能力以及推理能力,解决折叠问题,首先要对图形折叠有一定准确定位,把握折叠实质,从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系,抓住图形的变量和不变量,其次探索折叠变化规律,充分挖掘图形隐含的几何性质,运用所学知识合理、有序、全面解决问题。

折叠性质:①对应线段相等(能够重合的线段)②对应角相等(能够重合的角)性质记忆:折叠必有角相等、边相等。

处理策略:求什么设什么,找直角三角形,用勾股定理二、典型例题(1)折叠与角度问题例1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=25°,则∠CDE=__________.解:∵将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ECD=45°,∠B=∠CED,∵∠A=25°,∴∠B=90°-25°=65°,∴∠CED=65°,∴∠CDE=180°-45°-65°=70°,故答案为:70°.例2、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,将∠A 折叠,使点A 落在边CB 上的点A′处,折痕为CD ;若∠A′DC=84°,则∠B=________°.解:∵△CDA′与△CDA 关于CD 成轴对称,∴∠ADC=∠A′DC=84°,∵∠ACB=90°,∴∠DCA=∠DCB=45°,∵∠CDA=∠B+∠DCB ,∴∠B=84°-45°=39°故答案为:39.(2)折叠与线段长度例3、如图,有一张直角三角形纸片,90ACB ∠=︒,5cm AB =,3cm AC =,现将ABC ∆折叠,使边AC 与AB 重合,折痕为AE ,则CE 的长为()A .1cmB .2cmC .3cm2D .5cm 2【解析】∵90ACB ∠=︒,5cm AB =,3cm AC =∴4BC ===由折叠可知CE=DE,AC=AD ,90ADE ACE ∠=∠=︒设CE x =,则4,2,BE x BD AB AD =-=-=在Rt BDE 中∵222DE BD BE +=∴2222(4)x x +=-解得32x =故选C例4、如图,在矩形ABCD 中,6,8AB AD ==,点E 是边A D 上一动点,将ABE △沿直线BE 对折,点A 的落点为A ',当A DE ' 为直角三角形时,线段AE 的长为()A .3B .4C .6或3D .3或4【答案】C 【分析】当A DE ' 为直角三角形时,有两种情况:①当点A '在矩形内部时,如图1所示,先利用勾股定理求出BD =10,根据折叠的性质得90BA E DA E ''∠=∠=︒,设AE =x ,则A E x '=,DE =8-x ,然后在Rt A DE ' 中运用勾股定理计算出x 的值即可;②当点A '落在边BC 上时,如图2所示,此时四边形ABA E '是正方形,得出AE =AB =6.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形∴∠A =∠C =90°,AB =6,AD =8∴10BD ===当A DE ' 为直角三角形时,有两种情况:①当点A '在矩形内部时,如图1所示,由折叠的性质得,AE A E '=,6A B AB '==设AE x =,则A E x '=,8DE x =-∴1064DA BD A B ''=-=-=在Rt A DE ' 中,222A E DA DE ''+=∴2224(8)x x +=-解得,x =3∴AE =3;②当点A '落在边BC 上时,如图2所示,此时四边形ABA E '是正方形,∴AE =AB =6故选:C .例5、如图,在Rt ABC 的纸片中,90C ∠=︒,5AC =,13AB =.点D 在边BC 上,以A D 为折痕将ADB △折叠得到AD B ' ,A B '与边BC 交于点E .若D EB ' 为直角三角形,则BD 的长是_______.【答案】7或263【分析】由勾股定理可以求出BC 的长,由折叠可知对应边相等,对应角相等,当△DEB′为直角三角形时,可以分为两种情况进行考虑,分别利用勾股定理可求出BD 的长.【详解】解:在Rt ABC 中,12BC ===,(1)当90ED B ∠'=︒时,如图1,过点B ′作B F AC '⊥,交AC 的延长线于点F ,由折叠得:13AB AB ='=,BD B D C F ='=,设BD x =,则B D CF x '==,12B F CD x '==-,在Rt AFB' 中,由勾股定理得:222(5)(12)13x x ++-=,即:270x x -=,解得:10x =(舍去),27x =,因此,7BD =.(2)当90D EB ∠'=︒时,如图2,此时点E 与点C 重合,由折叠得:13AB AB ='=,则1358B C '=-=,设BD x =,则B D x '=,12CD x =-,在Rt △B CD ¢中,由勾股定理得:222(12)8x x -+=,解得:263x =,因此263BD =.故答案为:7或263.例6、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,将边AC A 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处;再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B'处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则△B'FC 的面积为______________.【答案】9625【分析】由题意可得AB=10,根据面积可得CE=4.8,根据勾股定理可求BE=6.4,由折叠可求∠ECF=45°,可得EC=EF=4.8,即可求BF 的长,可求面积.【详解】解:∵Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴BA==10,∵将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处,∴∠AEC=∠CED ,∠ACE=∠DCE ,∵∠AED=180°,∴∠CED=90°,即CE ⊥AB ,∵S △ABC =12AB×EC=12AC×BC ,∴EC=4.8,在Rt △BCE 中,=6.4,∵将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B′处,∴BF=B'F ,∠BCF=∠B'CF ,∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE=∠ACB=90°,∴ECF=45°,又CE ⊥AB ,∴∠EFC=∠ECF=45°,∴CE=EF=4.8,∵BF=BE-EF=6.4-4.8=1.6,∴△BFC 的面积为:12FB×EC=18249625525⨯⨯=,由翻折可知,△B'FC 的面积=△BFC 的面积=9625故答案为9625.【点睛】本题考查了折叠问题,勾股定理,根据折叠的性质求∠ECF=45°是本题的关键.(2)折叠与最值问题例7、如图,在ABC 中,,904C AC ︒∠==cm ,3BC =cm ,点D 、E 分别在AC 、BC上,现将DCE 沿DE 翻折,使点C 落在点'C 处,连接AC ',则AC '长度的最小值()A .不存在B .等于1cmC .等于2cmD .等于2.5cm【解析】当C′落在AB 上,点B 与E 重合时,AC'长度的值最小,∵∠C=90°,AC=4cm ,BC=3cm ,∴AB=5cm ,由折叠的性质知,BC′=BC=3cm ,∴AC′=AB-BC′=2cm .故选:C .例8、如图,矩形纸片ABCD,3AD=,折叠纸片,使点A落在BC边上的E处,AB=,5折痕为PQ,当点E在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动,若限定点P、Q分别在AB、A D边上移动,则点E在BC边上可移动的最大距离为()A.1B.2C.4D.5【答案】B【分析】根据翻折变换,当点Q与点D重合时,点E到达最左边,当点P与点B重合时,点E到达最右边,所以点E就在这两个点之间移动,分别求出这两个位置时EB的长度,然后两数相减就是最大距离.【详解】解:如图1,当点D与点Q重合时,根据翻折对称性可得ED=AD=5,在Rt△ECD中,ED2=EC2+CD2,即52=(5-EB)2+32,解得EB=1,例9、如图2,当点P与点B重合时,根据翻折对称性可得EB=AB=3,∵3-1=2,∴点E在BC边上可移动的最大距离为2.故选:B .例10、如图,在矩形ABCD 中,10AB =,12AD =,点E 是AB 的中点,点F 是A D 边上的动点,将AEF ∆沿EF 翻折,得到A EF '∆,则A C '的最小值是()A .6B .7C .8D .9【答案】C 【分析】求A C '的最小值,先求出EC 的大小,再根据EA A C EC ''+≥,求出A C '的范围即可.【详解】解析:连接E C 在△A CE '中,可得EA A C EC ''+≥.在Rt EBC ∆中,由勾股定理,得13EC ==.由折叠可知,5EA EA '==,∴8A C '≥故选C .【点睛】本题主要考查了三角形三边的大小关系及勾股定理,正确掌握三角形三边的大小关系及勾股定理是解题的关键.例11、如图在三角形纸片ABC 中,已知∠ABC =90º,AC =5,BC=4,过点A 作直线l 平行于BC ,折叠三角形纸片ABC ,使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处,折痕为MN ,当点P 在直线l 上移动时,折痕的端点M 、N 也随之移动,若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上(包括端点)移动,则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________.【答案】1【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时,AP 取最大值,当点N 与C 重合时,AP 取最小,即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示,当M 与A 重合时,AP 取最大值,此时标记为P 1,由折叠的性质易得四边形AP 1NB是正方形,在Rt △ABC 中,,∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示,当点N 与C 重合时,AP 取最小,过C 点作CD ⊥直线l 于点D ,可得矩形ABCD ,∴CD=AB=3,AD=BC=4,由折叠的性质有PC=BC=4,在Rt △PCD 中,∴AP 的最小值为AD PD=4-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=341----故答案为1例12、如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠ABC =45°,D 是BC 边上的一点,BD =2,将△ACD 沿直线AD 翻折,点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点,则△PEB 的周长的最小值是________.【答案】2【分析】连接CE,交AD于M,根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时,PE+BP的值最小,此时△BPE的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE,先求出BC和BE 长,代入求出即可.【详解】如图,连接CE,交AD于M,∵沿AD折叠C和E重合,∴∠ACD=∠AED=90°,AC=AE,∠CAD=∠EAD,∴AD垂直平分CE,即C和E关于AD对称,BD=2,∴,∴当P和D重合时,PE+BP的值最小,即此时△BPE的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE,∵∠DEA=90°,∴∠DEB=90°,∵∠ABC=45°,∴∠B=45°,∵,∴,即,∴△PEB 的周长的最小值是.故答案为.【点睛】本题考查了折叠性质,等腰三角形性质,轴对称-最短路线问题,勾股定理,含30度角的直角三角形性质的应用,关键是求出P 点的位置.三、课堂练习1.如图所示,将长方形ABCD 沿DE 折叠,使点C 恰好落在BA 边上,得到点C′,若∠C′EB=40°,求∠EDC′的度数.2.在Rt △ACB 中,∠ACB =90°,点D 在边AB 上,连接CD ,将△ADC 沿直线CD 翻折,点A 恰好落在BC 边上的点E 处,若AC =3,BE =1,则DE 的长是_____.【答案】157【分析】过点D 作DHAC ⊥于H ,DF BC ⊥于F ,由折叠的性质可得3AC CE ==,45ACD BCD ∠=∠=︒,由勾股定理可求5AB =,由面积法可求D F 的长,由勾股定理可求D E 的长.【详解】解:如图,过点D 作DHAC ⊥于H ,DF BC ⊥于F ,将ADC ∆沿直线CD 翻折,3AC CE ∴==,45ACD BCD ∠=∠=︒,4BC ∴=,D H AC ⊥ ,DF BC ⊥,45ACD BCD ∠=∠=︒,DF DH ∴=,45DCF FDC ∠=∠=︒,DF CF ∴=,22291625AB AC BC =+=+= ,5AB ∴=,111222ABC S AC BC AC DH BC DF ∆=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ ,127DF ∴=,127DF ∴=,127DF CF ∴==,97EF =,157DE ∴===,故答案为:157.3.如图,矩形ABCD 中,AB=8,BC=4,把矩形ABCD 沿过点A 的直线AE 折叠,点D 落在矩形ABCD 内部的点D′处,则CD′的最小值是()A .4B .C .4-D .4+【答案】C 【解析】【分析】根据翻折的性质和当点D'在对角线AC 上时CD′最小解答即可.【详解】解:当点D'在对角线AC 上时CD′最小,∵矩形ABCD中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处,∴AD=AD'=BC=2,在Rt△ABC中,=4∴,故选:C.4.如图,在长方形ABCD的边CD上适当选定一点E,沿直线AE把△ADE折叠,使点D恰好落在边BC上的点F处.已知AB=6cm,△ABF的面积是24cm2.(1)求BF的长;(2)求AD的长;(3)求点E与点C的距离.【答案】(1)8cm;(2)10cm;(3)83 cm【分析】(1)由在长方形ABCD中,AB=6cm,△ABF的面积是24cm2,即可求得BF的长;(2)由(1),易得AD=AF,DE=EF,即可求得AF的长,然后得出AD的长;(3)首先设EC=xcm,则EF=DE=(6﹣x)cm.由勾股定理得:CE2+CF2=EF2求出x 的值即可得出答案.【详解】(1)∵ABCD是长方形,∴△ABF是直角三角形,∵△ABF面积是24cm2,∴12AB•BF=24.∵AB=6cm,∴BF=8cm;(2)由题意知,△ADE和△AFE重合,则△ADE≌△AFE,则AD=AF,DE=EF.在Rt△ABF中,由勾股定理得10AF===(cm).则AD=10cm;(3)∵BC=AD=10cm,∴CF=BC﹣BF=2cm.设EC =xcm ,则EF =DE =(6﹣x )cm .由勾股定理得:CE 2+CF 2=EF 2,∴x 2+22=(6﹣x )2,解得:83x =,∴点E 与点C 间的距离是83cm.【点睛】此题考查长方形的性质、勾股定理、折叠的性质,(3)是此题的难点,根据(2)求出CF ,由折叠得到EF =DE ,设EC =xcm ,因此利用勾股定理列得关于x 的关系式解出x 的值,由此解答此题.5.在矩形纸片ABCD 中,3AB =,5AD =.如图所示,折叠纸片,使点A 落在BC 边上的'A 处,折痕为PQ ,当点'A 在BC 边上移动时,折痕的端点P ,Q 也随之移动,若限定点P 、Q 分别在线段AB 、A D 边上移动,则点'A 在BC 边上可移动的最大距离为()A .1B .2C .3D .4【答案】B 【分析】根据翻折变换,当点Q 与点D 重合时,点A′到达最左边,当点P 与点B 重合时,点A′到达最右边,所以点A′就在这两个点之间移动,分别求出这两个位置时A′B 的长度,然后两数相减就是最大距离.【详解】解:如图1,当点D 与点Q 重合时,根据翻折对称性可得A’D=AD=5,在Rt △A’CD 中,A’D 2=A’C 2+CD 2,即52=(5-A’B)2+32,解得A’B=1;如图2,当点P与点B重合时,根据翻折对称性可得A’B=AB=3,∵3-1=2,∴点A’在BC边上可移动的最大距离为2.故选B.6.矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E是AB的中点,点F是BC上任意一点,把△EBF沿直线EF翻折,点B落在点P处,则PC的最小值是_______________.【答案】2【详解】连接CE,当点P在CE上时,CP的值最小.CE===∴=-=.CP CE EP2故答案为:2.7.如图,在长方形纸片ABCD 中,3AB =,9AD =,折叠纸片ABCD ,使顶点C 落在边A D 的点G 处,折痕分别交边A D 、BC 于点E 、F .(1)求证:GEF △是等腰三角形(2)求GEF △面积的最大值.【答案】(1)见解析;(2)152【分析】(1)根据翻折的性质得到EFC EFG ∠=∠,根据//AD BC 得到EFC GEF ∠=∠,从而得到EFG GEF ∠=∠,问题得证;(2)根据GEF △高为AB=3,得到当点G 与点A 重合时,GEF △的面积最大.根据勾股定理求出AF=5,进而得到GE=5,即可求出GEF △的面积.【详解】(1)由翻折得:EFC EFG ∠=∠.∵//AD BC ,∴EFC GEF ∠=∠,∴EFG GEF ∠=∠,∴GE=GF ,∴GEF △是等腰三角形.(2)如图,∵GEF △高为AB=3,∴当GE 最大时GEF △的面积最大,∴当点G 与点A 重合时,GEF △的面积最大.在Rt ABF 中,222AF AB BF =+,∴()22239AF AF =+-,解得:5AF =,∴5GE AF ==,∴GEF △的面积最大值=1155322=⨯⨯=.四、举一反三1.如图,EF 是正方形两对边中点的连线段,将∠A 沿DK 折叠,使它的顶点A落在EF 上的G 点,求∠DKG 的度数.2.如图,在Rt ABC 中,90,A AB AC ∠=︒==,点,E F 分别是边,AB BC 上的动点,沿EF 所在直线折叠B Ð,使点B 的对应点B ′始终落在边AC 上,若FB C ' 为直角三角形,则BF 的长为__________.【解析】90,A AB AC ∠=︒==,∴∠C=45°,2BC ==,折叠后,要使FB C ' 为直角三角形,则有:FB C ' 也为等腰直角三角形,①当90B FC '∠=︒时,∴45C FB C '∠=∠=︒,此时点B '与点C 重合,∴E 、F 分别是AB 、BC 的中点,∴112BF BC ==,②当90FB C'∠=︒时,∴45C B FC '∠=∠=︒,∴BF FB B C ''==,在Rt B FC '△中,FC F '=,BC=BF+FC ,∴)12BC BF BF =+=+=,解得:2BF =-;故答案为2-或1.3.如图,Rt △ABC 中,AB =18,BC =12,∠B =90°,将△ABC 折叠,使点A 与BC 的中点D 重合,折痕为MN ,则线段BN 的长为()A .8B .6C .4D .104.如图,长方形纸片ABCD ,10AB =,8BC =,点P 在BC 边上,将CDP 沿DP 折叠,点C 落在E 处,PE ,D E 分别交AB 于点O ,F ,且OP OF =,则A F 长为______.【答案】103【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ,由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ,可得出OE=OB 、EF=BP ,设EF=x ,则BP=x 、DF=10-x 、BF=PC=8-x ,进而可得出AF=2+x ,在Rt △DAF 中,利用勾股定理可求出x 的值,即可得AF 的长.【详解】解:∵将△CDP 沿DP 折叠,点C 落在点E 处,∴DC=DE=10,CP=EP .在△OEF 和△OBP 中,90EOF BOP E B OF OP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△OEF ≌△OBP (AAS ),∴OE=OB ,EF=BP .设EF=x ,则BP=x ,DF=DE -EF=10-x ,又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC ,PC=BC-BP=8-x ,∴AF=AB -BF=2+x .在Rt △DAF 中,AF 2+AD 2=DF 2,∴(2+x )2+82=(10-x )2,∴43x =;∴410233AF =+=.故答案为:103.5.如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,点E 是AD 边上一动点,将△ABE 沿BE 折叠,使点A 的对应点A′恰好落在矩形ABCD 的对角线上,则AE 的长为_______.答案:3924or 6.如图,已知等腰△ABC 中,AB =AC =5,BC =8,E 是BC 上的一个动点,将△ABE 沿着AE 折叠到△ADE 处,再将边AC 折叠到与AD 重合,折痕为AF ,当△DEF 是等腰三角形时,BE 的长是___________.【答案】52或258或74.【分析】分三种情况讨论:DE=DF ,DE=EF ,EF=DF .利用等腰三角形的性质和全等三角形解题.【详解】解:由折叠可知,BE=DE ,DF=CF ,AD=AB=AC=5,当DE=DF 时,如图1,此时DE=DF=BE=CF ,∵AB=AC ,∴∠B=∠C ,在△ABE 和△ACF 中,AB AC B C BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABE ≌△ACF ,∴AE=AF ,∴AD 垂直平分EF ,∴EH=FH ,142BH CH BC ===,∴3AH ===,∴532HD =-=,设BE DE x ==,则4EH x =-,则在直角△DHE 中,()22242x x -+=,解得52x =,当DE=EF 时,如图2,作AH ⊥BC 于H ,连接BD ,延长AE 交BD 于N ,可知BE=DE=EF ,∵AH ⊥BC ,AB=AC ,BC=8∴BH=CH=4,∴3AH ===,设EH m =,则4BE EF m ==-,∴()8242CF m m =--=,即2DF m=∵AB=AD ,∠BAN=∠DAN ,∴AN ⊥BD ,BN=DN ,∴12EN DF m ==,∴EN EH=在△AHE 和△BNE 中,90AHE BNE EH ENAEH BEN ==︒⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△AHE ≌△BNE ,∴AE=BE ,设BE AE x ==,则4EH x =-,在直角△AEH 中,()22243x x -+=,解得258x =,当DF=EF 时,如图3,过A 作AH ⊥BC 于H ,延长AF 交DC 于M,同理258 EF CF==∴252578884 BE=--=故答案为:52或258或74.【点睛】本题考查了折叠问题,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,注意分类讨论是解题的关键.7.如图,等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD平分B A C∠,且AD=8,P,Q分别是AB、AD上的动点,连接BP,PQ,则BP+PQ的最小值为___.【答案】9.6【分析】过C作CQ⊥AB于Q,交AD于P,得到CQ=BP+PQ的最小值,由勾股定理不求得AD=8,再利用等面积法即可求得其值.【详解】∵AB=AC,AD是角平分线,∴AD⊥BC,BD=CD,∴B点,C点关于AD对称,如图,过C作CQ⊥AB于Q,交AD于P,则CQ=BP+PQ的最小值,根据勾股定理得,AD=8,利用等面积法得:AB•CQ=BC•AD,∴CQ=12310BC ADAB⨯==9.6故答案为:9.6.8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,联结CE.(1)求证:AD∥CE;(2)求CE的长.【答案】(1)见解析;(2)75【分析】(1)由折叠的性质可得DE=BD ,AE=AB ,可证EF=BF ,AD ⊥BE ,由等腰三角形的性质可求∠DBE =∠DEB ,∠DEC =∠DCE ,由三角形的内角和定理可求CE ⊥BE ,可得结论;(2)由三角形的面积公式可求BF 的长,由勾股定理可求CE 的长.【详解】证明:(1)∵∠BAC =90°,AB =3,AC =4,∴BC 5==,∵点D 是BC 的中点,∴AD =BD =DE =52,∵将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ,∴DE =BD ,AE =AB ,∴AD 垂直平分BE ,∴EF =BF ,AD ⊥BE ,∵DE =DB =CD ,∴∠DBE =∠DEB ,∠DEC =∠DCE ,∵∠DBE +∠DEB +∠DEC +∠DCE =180°,∴∠DEB +∠DEC =90°,∴∠BEC =90°,∴CE ⊥BE ,∴AD ∥CE ;(2)∵S △ABC =12×AC ×AB =12×3×4=6,且CD =BD ,∴S △ADB =12S △ABC =3,∴12AD ×FB =3,∴FB =125,∴BE =245,∴CE 75==.【点睛】本题考查了翻折变换,直角三角形的性质,平行线的判定,三角形的面积公式,勾股定理等知识,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.五、课后练习一、选择题1.如图,在△ABC 中,AB =10,AC =6,BC =8,将△ABC 折叠,使点C 落在AB 边上的点E 处,AD 是折痕,则△BDE 的周长为()A .6B .8C .12D .14【解析】在Rt △ABC 中,∵AC =6,BC =8,∠C =90°,∴AB ==10,由翻折的性质可知:AE =AC =6,CD =DE ,∴BE =4,∴△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12.故选:C .2.如图,将等腰直角三角形ABC (90ABC ∠=︒)沿EF 折叠,使点A 落在BC 边的中点1A 处,6BC =,那么线段AE 的长度为()A .5B .4C .4.25D .154【解析】由折叠的性质可得AE=A 1E ,∵△ABC 为等腰直角三角形,BC=6,∴AB=6,∵A 1为BC 的中点,∴A 1B=3,设AE=A 1E=x ,则BE=6-x ,在Rt △A 1BE 中,由勾股定理可得32+(6-x )2=x 2,解得x=154,故选:D .3.如图,矩形ABCD ,AB =3,BC =4,点E 是AD 上一点,连接BE ,将△ABE 沿BE 折叠,点A 恰好落在BD 上的点G 处,则AE 的长为()A .2B .52C .32D .3【解析】在Rt △ABD 中,AB=3,AD=BC=4,∴BD=5由折叠得,∠BGE=∠A=90°,BG=AB=3,EG=AE ,∴DG=BD-BG=2,DE=AD-AE=4-AE ,在Rt △DEG 中,EG 2+DG 2=DE 2,∴AE 2+4=(4-AE )2,∴AE=32.故选:C .4.如图,在四边形ABCD 中,∠A =∠B =90°,∠C =60°,BC =CD =8,将四边形ABCD 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为EF ,则BE 的长为()A .1B .2CD .2【解析】作DG ⊥BC ,连接AE ,在Rt △CDG ,∠DCG=60°,得出CG=4,∴DG=4AB=,设BE=x ,则CE=8-x ,根据折叠得AE=CE=8-x ,在Rt △ABE 中,AE 2=AB 2+BE 2,即(8-x)2)2+x 2解得x=1,故选A.5.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边6AC cm =,8BC cm =,现将直角边AC 沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上且与AE重合,则CD等于()A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm【解析】在RT△ABC中,∵AC=6,BC=8,∴AB=10,△ADE是由△ACD翻折,∴AC=AE=6,EB=AB−AE=10−6=4,设CD=DE=x,在RT△DEB中,∵DE2+EB2=DB2,∴x2+42=(8−x)2∴x=3,∴CD=3.故选:B.6.如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上.若AB=6,BC =9,则BF的长为()A.4B.C.4.5D.5【解析】∵点C′是AB边的中点,AB=6,∴BC′=3,由图形折叠特性知,C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF,在Rt△C′BF中,BF2+BC′2=C′F2,∴BF2+9=(9﹣BF)2,解得,BF=4,故选:A.二、填空题7.如图,在矩形ABCD 中,AB =5,BC =6,P 为AD 上一动点,把△ABP 沿BP 翻折,使点A 落在点F 处,连接CF ,若BF =CF ,则AP 的长为_____.【答案】53【分析】过点F 作EN ∥DC 交BC 于点N ,交AD 于点E ,设AP =x ,则PF =x ,得出(3﹣x )2+12=x 2,解方程即可得解.【详解】解:过点F 作EN ∥DC 交BC 于点N ,交AD 于点E ,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =∠D =∠DCB =90°,∴FN ⊥BC ,FE ⊥AD ,∵BF =CF ,BC =6,∴CN =BN =3,由折叠的性质可知,AB =BF =5,AP =PF ,∴4FN ==,∴EF =EN ﹣FN =5﹣4=1,设AP =x ,则PF =x ,∵PE 2+EF 2=PF 2,∴(3﹣x )2+12=x 2,解得,53x =,故答案为:53.【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用;熟练掌握折叠变换的性质、勾股定理是关键.8.如图,三角形纸片ABC 中,∠ACB =90 ,BC =6,AB =10.在AC 边上取一点E ,以BE 为折痕,使AB 的一部分与BC 重合,A 与BC 延长线上的点D 重合,则CE 的长为________.【答案】3【分析】根据折叠得,BD=AB=10,EA=ED,求出CD=4,在直角三角形CDE中,设未知数,利用勾股定理列方程求解即可.【详解】∵∠ACB=90 ,BC=6,AB=10∴8=由折叠得,BD=AB=10,EA=ED,设CE=x,则EA=ED=8−x,在Rt△DCE中,CD=10−6=4,由勾股定理得,x2+42=(8−x)2,解得,x=3故填:3.9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,点E在射线BC上运动,AD=AB=1,则△ADE的周长最小值为______.【答案】1+【分析】作D点关于BC的对称点D’,连接AD’与BC的交点即为E点,此时△ADE的周长为AD+AE+DE=AD+AD’,故可求解.【详解】作D点关于BC的对称点D’,连接AD’与BC的交点即为E点,此时△ADE的周长最小,即△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AD’,∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=1∴四边形ABFD为正方形,∴AD+AD’=1+1+1+.10.如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=2,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE 折叠,使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,BE的长为___________.【答案】12-或1.【分析】当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:①当点B′落在矩形内部时,如答图1所示.连结AC,先利用勾股定理计算出据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°,而当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,所以点A、B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处,则EB=EB′,AB=AB′=1,可计算出-1,设BE=x,则EB′=x,CE=2-x,然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x.②当点B′落在AD边上时,如答图2所示.此时ABEB′为正方形.【详解】解:当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:①当点B′落在矩形内部时,如图1所示.连结AC,在Rt△ABC中,AB=1,BC=2,∴=∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,∴∠AB′E=∠B=90°,当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,∴点A、B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处,∴EB=EB′,AB=AB′=1,∴CB′=1-,设BE=x,则EB′=x,CE=2-x,在Rt△CEB′中,∵EB′2+CB′2=CE2,∴x2+1-)2=(2-x)2,解得x=51 2-,∴BE=1 2;②当点B′落在AD边上时,如图2所示.此时ABEB′为正方形,∴BE=AB=1.故答案为:12-或1.11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,点D是BC边上的点,AB=18,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则BP+EP的最小值是____.【答案】9【分析】根据翻折变换的性质可得点C、E关于AD对称,再根据轴对称确定最短路线问题,BC与AD的交点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置,然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°,再求出∠CAD=30°,然后解直角三角形求解即可.【详解】∵将△ACD沿直线AD翻折,点C落在AB边上的点E处,∴点C、E关于AD对称,∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置,PB+PE=BC,∵∠C=90°,∠BAC=30°,∴BC=12AB,∴BC=9.∴PB+PE的最小值为9.故答案为9.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A=60°,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是_________.【答案】.【分析】延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小.运用勾股定理求解.【详解】解:如图,延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小.∵AC=6,CF=2,∴AF=AC-CF=4,∵∠A=60°,∠AMF=90°,∴∠AFM=30°,∴AM=12AF=2,∴,∵FP=FC=2,∴-2,∴点P到边AB距离的最小值是-2.故答案为:.【点睛】本题考查了翻折变换,涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等,解题的关键是确定出点P 的位置.12.如图,折叠矩形纸片ABCD ,使B 点落在A D 上一点E 处,折痕FG 的两端点分别在AB BC 、上(含端点),且6,10AB BC ==.则AE 的最大值是_____,最小值是_______.【答案】6;2.【分析】点G 在AB 边上,点F 在BC 边上.分别利用当点F 与点C 重合时,以及当点G 与点A 重合时,求出AE 的极值进而得出答案:【详解】解:如图,设AE 的长度为,x 当点F 与点C 重合时,根据翻折对称性可得10,EC BC ==在Rt CDE ∆中,222,CE CD ED =+即()22210106AE =-+,解得2,AE =即2,x =如图,当点G 与点A 重合时,根据翻折对称性可得6,AE AB ==即6x =;所以AE 的最大值是6,最小值为2.故答案是:6,2.三、解答题13.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=10,E 为CD 边上一点,将△ADE 沿AE 折叠,使点D 落在BC 边上的点F 处.(1)求BF 的长;(2)求CE的长.【答案】(1)BF长为6;(2)CE长为3,详细过程见解析.【分析】(1)由矩形的性质及翻折可知,∠B=90°,AF=AD=10,且AB=8,在Rt△ABF中,可由勾股定理求出BF的长;(2)设CE=x,根据翻折可知,EF=DE=8-x,由(1)可知BF=6,则CF=4,在Rt△CEF中,可由勾股定理求出CE的长.【详解】解:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=90°,且AD=BC=10,又∵ AFE是由 ADE沿AE翻折得到的,∴AF=AD=10,又∵AB=8,在Rt△ABF中,由勾股定理得:,故BF的长为6.(2)设CE=x,∵四边形ABCD为矩形,∴CD=AB=8,∠C=90°,DE=CD-CE=8-x,又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的,∴FE=DE=8-x,由(1)知:BF=6,故CF=BC-BF=10-6=4,CF+CE=EF,在Rt△CEF中,由勾股定理得:2224+x=(8-x),解得:x=3,∴222故CE的长为3.14.如图,在△ABC中,∠C=90°,把△ABC沿直线DE折叠,使△ADE与△BDE重合.(1)若∠A=35°,则∠CBD的度数为________;(2)若AC=8,BC=6,求AD的长;(3)当AB=m(m>0),△ABC的面积为m+1时,求△BCD的周长.(用含m的代数式表示)【答案】(1)∠CBD=20°;(2)AD=164;(3)△BCD 的周长为m+2【分析】(1)根据折叠可得∠1=∠A=35°,根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°,进而得到∠CBD=20°;(2)根据折叠可得AD=DB ,设CD=x ,则AD=BD=8-x ,再在Rt △CDB 中利用勾股定理可得x 2+62=(8-x )2,再解方程可得x 的值,进而得到AD 的长;(3)根据三角形ACB 的面积可得112AC CB m =+ ,进而得到AC•BC=2m+2,再在Rt △CAB 中,CA 2+CB 2=BA 2,再把左边配成完全平方可得CA+CB 的长,进而得到△BCD 的周长.【详解】(1)∵把△ABC 沿直线DE 折叠,使△ADE 与△BDE 重合,∴∠1=∠A=35°,∵∠C=90°,∴∠ABC=180°-90°-35°=55°,∴∠2=55°-35°=20°,即∠CBD=20°;(2)∵把△ABC 沿直线DE 折叠,使△ADE 与△BDE 重合,∴AD=DB ,设CD=x ,则AD=BD=8-x ,在Rt △CDB 中,CD 2+CB 2=BD 2,x 2+62=(8-x )2,解得:x=74,AD=8-74=164;(3)∵△ABC的面积为m+1,∴12AC•BC=m+1,∴AC•BC=2m+2,∵在Rt△CAB中,CA2+CB2=BA2,∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC,∴(CA+BC)2=m2+4m+4=(m+2)2,∴CA+CB=m+2,∵AD=DB,∴CD+DB+BC=m+2.即△BCD的周长为m+2.15.如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=10,在边CD上取一点E,将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处(1)求CE的长;(2)在(1)的条件下,BC边上是否存在一点P,使得PA+PE值最小?若存在,请求出最小值:若不存在,请说明理由.【答案】(1)3;(2.【分析】(1)先判断出AF=AD=8,进而利用勾股定理求出BF=6,最后在Rt△ECF,利用勾股定理,即可得出结论;(2)先作出点E关于BC的对称点E,进而求出DE',再利用勾股定理即可得出结论.【详解】解:(1)长方形ABCD中,AB=8,BC=10,∴∠B=∠BCD=90°,CD=AB=8,AD=BC=10,由折叠知,EF=DE,AF=AD=8,在Rt△ABF中,根据勾股定理得,BF6,∴CF=BC﹣BF=4,设CE=x,则EF=DE=CD﹣CE=8﹣x,在Rt△ECF中,根据勾股定理得,CF2+CE2=EF2,∴16+x2=(8﹣x)2,∴x=3,∴CE=3;(2)如图,延长EC 至E '使CE '=CE =3,连接AE '交BC 于P ,此时,PA +PE 最小,最小值为AE ',∵CD =8,∴DE '=CD +CE '=8+3=11,在Rt △ADE '中,根据勾股定理得,AE '.16.如图,在矩形ABCD 中,2,AB AD m ==,动点P 从点D 出发,沿射线DA 以每秒1个单位的速度向点A 方向运动,连接CP ,把PDC △沿PC 翻折,得到PEC V .设点P 的运动时间为()t s .(1)若3m =,当P E B 、、三点在同一直线上时,求t 的值;(2)若点E 到直线BC 的距离等于1,求t 的值;(3)若AE 的最小值为1,直接写出m 的值.【答案】(1)t=3(2)t=;(3)m=【分析】(1)如图1中,设PD=t .则PA=3-t .首先证明BP=BC=6,在Rt △ABP 中利用勾股定理即可解决问题;(2)通过添加辅助线,构造直角三角形再解决问题;(3)当点A,点E ,点C 在同一条直线上时,AE 最短,利用勾股定理求值即可.【详解】解:(1)如图1中,设PD=t .则PA=3-t∵P 、B 、E 共线,∴∠BPC=∠DPC ,∵AD ∥BC ,∴∠DPC=∠PCB ,∴∠BPC=∠PCB ,∴BP=BC=3,在Rt △ABP 中,∵AB 2+AP 2=BP 2,∴22+(3-t )2=32,∴t=3(舍去)或∴当t=3P E B 、、三点在同一直线上.(2)过点E 作MN ⊥BC ,交AD 于点M∵四边形ABCD 是矩形,MN ⊥BC∴MN ⊥AD∵点E 到直线BC 的距离等于1∴EN=1∵MN=AB=2,EC=CD=2,∴EN=MN-EN=2-1=1∴在Rt △ENC 中,∴MD=∵由题意得:-t,ME=MN-EN=2-1=1,EP=PD=t∴在Rt △MPE 中,222=ME MP PE +即:)2221=t +,解得:(3)如图,当点A,点E ,点C 在同一条直线上时,AE 最短.由题意得:AE=1,EC=CD=AB=2∴在Rt△ABC中,BC=∴.【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理,学会构造图形思考问题是解答此题的关键,属于中考压轴题.。

勾股定理与折叠问题实例解析

勾股定理与折叠问题实例解析

勾股定理与折叠问题实例解析1.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=3,BC=4, 将△ABD 沿 AD 折叠,使点B 落在边AC 上的点E 处,则CD 的长是 解:根据题意得:将△ABD 沿AD 折叠,使点B 落在边AC 上的点E 处∴BD=DE,AB=AE,∠B=∠DEA=DEC=90°设DE=BD=x, ∵AB=3,BC=4,∠B=90°∴AC=5CE=AC-AE=AC-AB=5-3=2在Rt △CDE 中,由勾股定理得:DE ²+CE ²=CD ²即x ²+2²=(4-x)²,解得:x=32∴CD=BC-BD=BC-DE=4-32 =522.如图,长方形纸片ABCD 中,已知BC=8,折叠纸片使AB 边与 对角线AC 重合,点B 落在点F 处,折痕为AE,且EF=3,求AB 的长.解:由折叠可知,△ABE ≌△AFE,∴AB=AF,BE=EF=3,∴CE=BC-BE=8-3=5.在Rt △CEF 中,由勾股定理得,CF= √CE 2−EF 2=4设AB=AF=a,则AC=AF+CF=a+4.在Rt △ABC 中,∵AB ²+BC ²=AC ²,∴a ²+8²=(a+4)²解得a=6,∴AB 的长是6。

3.如图,在矩形ABCD 中 ,AB=8,BC=4, 将矩形沿AC 折叠, 点B 落在点B 处,则重叠部分△AFC 的面积为解:由旋转的性质及长方形可得:∠D=∠B ′=90°,AD=CB ′,在△AFD 和△CFB ′中,{∠D =∠B ′=90°∠AFD =∠B′FC AD=CB ′ △AFD ≌△CF B ′∴DF=B ′F设 DF=x,则AF=8-x,在Rt △AFD 中,(8-x)²=x ²+4²解 得 :x=3,∴AF=AB-FB ′=8-3=5,∴S △AFC=12×AF ×B ′C=12×5×4=104. 如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠,使得点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.(1)试说明△ABE≌△C′BF;(2)若AB=4,AD=8,求△BEF的面积;解:(1)∵四边形ABCD 是长方形,∴AB=CD,∠A=∠D=90°∴BC′=AB,∠A=∠C′=90°∵把长方形纸片ABCD沿EF折叠∴BC′=CD,∠D=∠C′,∠DEF=∠BEF∵AD//BC∴∠DEF=∠EFB∴∠BEF=∠BFE∴BE=BF在Rt△ABE与Rt△C′BF中{AB=B C′BE=BF∴△ABE≌△C′BF5. 如图,把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠,使得点D 与点B 重合,点C 落在点C ′的位置上.(1)试说明△ABE ≌△C ′BF;(2)若AB=4,AD=8,求△BEF 的面积;( 2 ) 设AE=x,根据翻折不变性,BE=DE=AD-AE=8-x在Rt △ABE 中,x ²+4²=(8-x)²解得:x =3, 即AE=3,则 D E = 5∵BE=BF=5,∴CF=3, 则S △BEF=S 长方形ABCD-S △ABE-S 梯形CDEF=4×8-12×3×4-12×(5+3)×4=106.如图,在长方形纸片ABCD 中,E 为BC 的中点,连接AE,将△ABE 沿AE 折叠得到△AFE, 连接CF.若AB=4,BC=6,则CF 的长为 解:连接BF, 交AE 于点G, 如下图,由折叠的性质可得,AE 垂直平分BF即AE ⊥BF,BG=FG,∵AB=4,BC=6,E 为BC 的中点,∴BE=CE=BC=3,∴在Rt △ABE 中 ,AE=√AB 2+BE 2+=√42+32 =5∵AE 垂直平分BF,∴S △ABE=12 AB ×BE=12 AE ×BG 即12×4×3=12×5×BG 解得BG=2.4∴BF=2BG∵AE 垂直平分BF∴BE=FE∴BE=CE=FE∴∠EBF=∠EFB,∠EFC=∠ECF,∠BFC=∠EFB+∠EFC=12180°= 90°∴在Rt △BFC 中,CF=√BC 2−BF 2=√62−4.82=3.67.如图,在长方形ABCD中,AD=13,AB=24,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿直线AE折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,则DE的长为解:分两种情况:①如图1,当点F在长方形内部时,∵点F在AB的垂直平分线MN上,∴AN =12;∵AF=AD=13,由勾股定理得FN=5,∴FM=8,设DE为y,则EM=12-y,FE=y,在△EMF 中,由勾股定理得:y2 =(12-y)2+82∴y=263。

折叠中的勾股定理经典例题

折叠中的勾股定理经典例题

折叠中的勾股定理经典例题:
例题1:动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,
AD=5.折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,
当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移
动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动.求:(1)当点
Q与点D重合时,A′C的长是多少?(2)点A′在BC边上
可移动的最大距离是多少?
分析:(1)画出图形,根据折叠的性质得出A1'D=AD=5,在RT△A1DC中利用勾股定理即可得出答案.(2)找出两个
极值点的位置,然后即可判断点A'的移动范围,继而可得出
答案.
例题2:折叠长方形一边AD,点D落在BC边上的点F 处.已知BC=10cm,AB=8cm,(1)EC的长;(2)AE的长.
例题3:已知长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长
方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积
为多少?。

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折叠问题与勾股定理
例题总结
折叠问题与勾股定理例题总结
1.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8。

将矩形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处。

(1)求EF的长;(2)求梯形ABCE的面积。

2.如图所示,在∆ABC中,AB=20,AC=12,BC=16,把∆ABC折叠,使AB落在直线AC 上,求重叠部分(阴影部分)的面积.
3.如图,矩形纸片ABCD的长AD=9 cm,宽AB=3 cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长是多少?
B'
D
C
B
A
C
D B
A E
4如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将三角形ABC 折叠,使
AB 落在斜边AC 上得到线段AB ’,折痕为AD ,求BD 的长为.
5.如图,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边AD ,点D 落在BC 边的点
F 处,已知AB=8cm ,BC=10cm .求EC 的长.
6.如图,将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠,使点D 落在BC 中点E 处,点A 落在点F 处,折痕为MN ,求线段CN 的长.(MN 的长)
A B
C
E 'A ′
第8题图
('B )
D
7.如题,在长方形ABCD 中,将∆ABC 沿AC 对折至∆AEC 位置,CE 与AD 交于点F. (1)试说明:AF=FC
(2)如果AB=3,BC=4,求AF 的长。

8.把一张矩形纸片(矩形ABCD )按如图方式折叠,使顶点B 和点D 重合,折痕为
EF . 若AB = 3 cm ,BC = 5 cm ,
(1)重叠部分△DEF 的面积是多少cm 2? (2)求EF 的长。

9.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,M 为AB 边上中点,将Rt △ABC 绕点M 旋转,
使点C 与点A 重合得到△DEA ,设AE 交CB 于点N .
(1)若∠B=25°,求∠BAE的度数;
(2)若AC=2,BC=3,求CN的长.
10.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B'位置,AB'与CD交于点E.
(1)求证:△AED≌△CEB';
(2) AB=8,DE=3,点P为线段AC上任一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H.求PG
+PH的值,并说明理由.
11.有一边长为2的正方形纸片ABCD,先将正方形ABCD对折,设折痕为EF;再沿过
点D的折痕将角A翻折,使得点A落在EF的H上,折痕交AE于点G,求EG的长。

C
H
D
12.如图,把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,EC与AD相交于
(1)求证:△FAC是等腰三角形;
(2)若AB=4,BC=6,求△FAC的周长和面积.。

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