解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
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解析几何课件(吕林根许子道第四版)
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定理1.4.2 如果向量e1, e2不共线，那么向量 r与
e1 , e2共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示，
或者说向量 r可以分解成e1 , e2的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数x, y被e1 , e2 , r唯一确定. 这时e1 , e2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量e1 , e2 , e3不共面，那么空间
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c).
（3）
a
(a)
0.
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例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且
互相平分.
证 设四面体ABCD一组
D
对边AB,CD的中点E, F的连
线为EF ,它的中点为P1,其余
e3
两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
下只需证P1 , P2 , P3三点重合
就可以了.取不共面的三向量 A
F
P1
e2
C
AB e1 , AC e2 , AD e3 ,
在不全为零的 n个数1 , 2 ,, n使得
1 a1 2 a2 n an＝0,
（1.4 4)
《解析几何》(第四版)吕林根 许子道 编第3章平面与空间直线3.2平面与点的相关位置
容易看出,点与平面间的离差 :
(3.2-1)
当且仅当点
M
和原点在平面
0
的不同侧
(图3
4),
0; 在同一侧(图3 5) 0;
当且仅当点
M
在平面
0
上时,
0.
z
R
M0
P
n
r0
o
q
Q
y
zபைடு நூலகம்
P
o n
R
q
r0
Q
M0
y
x
图3-4
x
图3-5
显然, 即是点M0与平面间的距离d,即
d,
定理3.2.1
MM , M 为垂足,
M
P为上任一点, 则总有
图3-3
MM MP ,
当且仅当点P与M 重合
P
M
时,式中等号成立,所以MM 为点M与平面的距离.
点关于平面的离差
定义3.2.2 若自点M0到平面引垂线,其垂足为
Q, 则QM0在的单位法向量n上的射影叫点M0与
间的离差, 记作
Pr
j
n
QM
0
间的离差与距离, 求出该平面的法式方程,问题迎刃而解.
例 1 求两平面 z x 2y 1, 3x 6y 3z 4间的距离.
解 先判断两平面是否平行.
n1
(1,2, 1),
n2
(3,6,
3),
1 2 1 3 6 3 n1 // n2 .
在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），
则点M
1,
M
2在由
1
,
所构成的相邻的二面角
2
内;
如图(3 8).
《解析几何》(第四版)吕林根许子道编第一章向量与坐标1.8两向量的向量积
j
i
a
bYX(1XX1X12i(2(jiY1kiji))ZY1X1kY1)2Y(2j((iXk2ji)j) YY21XZj
(a
b)
c
a
c
b
c.
(1.8-5)
证
若
a,
b,
c中至少有一个是零矢
,
或a,
b,
c为一组
共线矢, (1.8 5)成立.
现假设不是上述情况.
设c 为c的单(a位矢b )，先c 证
a
c
b
c
.
证明向量积的分配律: (a+b)c=(a c)+(b c)
引理 a c a2
证明 两矢方向: 一致；引入
成立;
若
a
//
b ，则
a
b
a
b
b
sin (a, b )
a
ba
b a sin (a, b ),
即
a
b 与b
a模相等.
又由向量积定义，a
b 与b
a同时垂直于
a与b,
所其以次, a因 从 b与abba的共终线点. 来看
a,
b 决定的平面
,
顺序
b,
a,
b
a构成右手标架
o; b, a,b a
,
所以a
b与
b
a的方向相反 ,
从而得
a b b a.
定理1.8.4 向量积满足数因子的结 合律,即
为数，(a,ab)为 b任 意a向(量b.)
(a
b ).
(1.8-3)
推论 , 为任意实数，则
(a) (b ) ( )(a b ).
《解析几何》(第四版)吕林根 许子道 编第3章平面与空间直线3.1平面的方程
x0 y0 z0 D X1 Y1 Z1 ,
因a,
b 不共线,
X2 所以A,
B,
Y2 Z2 C不全为零
,
这表明
:
任一平面都可用关于 x, y, z的三元一次方程表示 .
反之,可证 : 任一关于x, y, z的一次方程 (3.110)都表示平面.
事实上,因A, B, C不全为零,不妨设A 0,则(3.110)
在空间,
取仿射坐标系
O；e1
,
e2
,
e3
,
并设点
M
的向径
0
OM
0
r0
,
平面上任一点
M的向径OM
r
(图3
1),
则
a,
点 M在平面上 M
b不共线,由 定理 1.4.2知
0M
, a, z
b共面.
又 即
MM0 M0 Muarvrb0 ,, r r0 ua vb.
(3.1-1)
平面 的向量式参数方 x
2 11 3 3 2
问题：说明上式的由来 .
将方程组(*)变形为
A 5B D, 3A 2B D.
由克莱姆法则 , 有
D 5 5 1
D 2 2 1
A
D,
1 5 1 5
32 32
1 D 1 1 B 3 D 1 3 D,
1 5 1 5 32 32
5 1 1 1
2 1 13
A:B:D
D:
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 t 1 ,
《解析几何》(第四版)吕林根 许子道 编第2章轨迹与方程2.2曲面的方程
故动点轨迹为
y 0,
z
0,
x
c.
这是x轴上的线段.
② 当a c时,令b2 a2 c2,则动点轨迹为
x2 a2
y2 b2
z2 b2
1,
(旋转椭球面 ).
例 3 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R
的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
OM r(u,v), 的终点M (x(u, v), y(u, v), z(u, v))所画出的轨迹一般
为一张曲面.(图1) 定义2.2.2 对u, v (a u b, c v d ),若由(2.2 5)
表示的向径r(u, v)的终点M总在曲面上,同时,曲面
上的任意点M总对应着以它为终点的向径, 而这向径
面,如
x2 y2 z2 1 0,
又 三元方程F(x, y, z) 0有时代表一条曲线(包
括直线),如
x2 y2 0,
代表直线 x y 0,即z 轴.
有时代表一个点，如
x2 y2 z2 0, 即坐标原点 (0,0,0). 曲面与方程研究中的两个基本问题： 1) 给定作为点的几何轨迹 的曲面,建立其方程.
（讨论旋转曲面）
2) 给定坐标x, y, z间的方程, 研究这方程的曲面的
形状. （讨论柱面、二次曲面）
以下讨论问题 1)的实例.
例1 求两坐标面 xoz, yoz所成二面角的平分面方 程.
解 因所求平分面是与xoz, yoz面有等距离的点的
轨迹, 所以
点M(x, y, z)在平分面上 y x.
§2.2曲面的方程
1.曲面的方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
《解析几何》(第四版)吕林根许子道编第2章轨迹与方程21平面曲线的方程
线直一同示表都后t 去消在
与 .t � 2 � y � � ,t � 1 � x �
如,程方数参的式形同 不种多有以可线曲条一同① 意注应还,时此
参去消于在键关 , 时 程方通普为程方数参化)1(
.t 数
程方数参的圆椭则 , � � � � � � 且数参为� 取以所
�� nis b� � y �� soc a � x �� nis b � � y
迹轨的点一的上周圆
圆求�动滚地动滑
程方通普得可即) 能可若( t 去消中)5 � 1. 2 ( 从
.0 � ) y , x ( F
无上是线直一在圆个一 1例
)6-1.2( , j ) � soc � 1( a � i ) � nis � �( a � r � � � , j a � CA , i � a � AO 以所 � �
齿为用采被常上业工在 , 线曲种这 , 线展切或
)31 -1. 2(
为程方数
参
式标坐的迹轨该得可则 ,) y , x ( 为标坐的点 P 设
当适择选要仅不 ,时 .3 � y � x
.程方通普成化能都程方数参有所是不并②
. t3 � 2 � y , t3 � 1 � x
程方数参为程方通普化 ) 2 (
三意任上线曲双轴等是 R , Q , P 设 7 例
上线曲双轴等一同在必 H 心垂的 RQP �
参的线曲双轴等知已设 , 图如 证
,
2 1
tc � 0 x
tc � 0 x
�
c � 2 t0y c � 1t 0 y
得, ② ÷ ①
②
,) 2 tc � 0x ( 3 t 2 t1t � c � 2 t 0 y
则
吕林根解析几何(第四版)(完整课件)1.7
cC
AB PC
所以三高交于一点.
直角坐标系下数量积的坐标运算
定理1.7.3 设 a X1i Y1 j Z1k,b X 2i Y2 j Z2 k, 则 a b X1X 2 Y1Y2 Z1Z2.
证明: a b ( X1i Y1 j Z1k )( X 2i Y2 j Z2 k )
若 a,b 中没有 0 ,则(1)和(4)显然成立.
(2) 若 0 ,则等式成立.若 0,则
(a) b | b |射影 (a) | b | ( 射影 a )
b
b
( | b | 射影 b a) (a b) .
又 a (b) (b) a (b a) (a b), 所以
(a) b a (b) (a b).
2
X1X 2 i X1Y2i j X1Z1i k
2
Y1X 2 j i Y1Y2 j Y1Z2 j k
2
Z1X 2 k i Z1Y2 k j Z1Z2 k .
而 i, j,k是两两垂直的单位向量,则有
i j j i 0, j k k j 0, i k k i 0,
于各边平方和.
B
C
证明: 如图, OACB 中,
设 OA a,OB b,OC m, O
A
BA n ,则有 m a b,n a b ,所以
2
2
2
2
2
2
m a 2a b b , n a 2a b b .
所以
2
m
2
n
2
2a
2b2 ,即|
m
|2
|
n
|2
2
|
a
|2
2
|
b
|2
例2 证明: 如果一条直线与一个平面内的
4-4解析几何吕林根第四版
以下我们再取平行于 xOy 坐标面的一组平行平面来截割
椭球面.
以平面 z h 截割椭球面,
得到的截线方程是
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 y2
h2
a
2
b2
1
c2
,
z h,
（4）
表示什么? 当 h c 时，（4）无图形，这表示平面 z h 与 椭球面不相交； 当 h c 时，（4)的图形是 平面 z h 上的一个点 (0,0,c) 或 (0,0,-c)；
z2 c2
1
上.
x
0
x2 y2 z2 1
(*)
a2 b2 c2
这样， 椭球面(*)可以看成是由一个椭圆的变动
(大小位置都改变)而产生的，这个椭圆在变动中保 持所在平面与 xOy 面平行，且两轴的端点分别
在另外两个定椭圆(2)与(3)上滑动.
平行截割法演示 (1) 主椭圆
(2) h c
(3) h c (4) h c
§4.4 椭球面
一、椭球面的概念
1 直接定义法
在直角坐标系下，由 x2 y2 z2 1方程所表示的曲面叫做椭球面（椭圆面）
a2 b2 c2
方程 x 2
a2
y2 b2
z2 c2
1
叫做椭球面的标准方程.其中a 0,b 0,c 0且 a b c
2 轨迹定义法
一直线分别交坐标面 yOz, zOx, xOy 于 A, B,C 三点，当直线变动时，
叫做椭球面(4.4-1)的半轴，当 a b c 时， 2a 2b与 2c 分别叫做椭球面的长轴，中轴与短轴.
z
2b 2a
2c
O
y
x
《解析几何》第二章(吕林根-许子道第四版)
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程 第三章 平面与空间直线
第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程 §2.2 曲面的方程 §2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程 §2.4 空间曲线的方程
§2.2 曲面的方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F(x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程，
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
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由 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
由上述方程可得球面的一般式方程为：
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
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例 2 求与原点O 及M 0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2
的点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
z vt
y 螺旋线的参数方程
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螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
吕林根 许子道等编
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程 第三章 平面与空间直线
第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程 §2.2 曲面的方程 §2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程 §2.4 空间曲线的方程
§2.2 曲面的方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F(x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程，
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
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由 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
由上述方程可得球面的一般式方程为：
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
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例 2 求与原点O 及M 0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2
的点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
z vt
y 螺旋线的参数方程
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螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
解析几何课件(第四版)
交线为椭圆.
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z a2 x2 y2 2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4
解
z a x y
2 2
2
上半球面,
a 2 a 2 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
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§2.2
曲面的方程
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以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM 0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2
.
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y 1 | MP
S
x y2 2zFra bibliotekz1C
o
y1
y
.
x
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f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P M
z
N (0, y1 , z1 )
.
z
x2 2 y
y
o
平面
y
o
x
抛物柱面 抛物柱面方程：
x
y x
平面方程：
x 2y
2
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y x
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只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x , y ) 0 .
解析几何大学数学
§1.5 标架与坐标 §1.7 向量的数量积 §1.9 三向量的混合积
§1.1 向量的概念
• 量的分类 ：标量、向量（矢量）、张量等
定义 集合 相互关系
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量.
向量的几何表示： 有向线段
M2 a
有向线段的长度表示向量的大小,
a2 A2
a1 O
A1 a3 c
A4
an1
An-1
An
这种求和的方法叫做多边形法则.
a4 A3
Back
三、向量的减法
定义1.2.2 当向量 b 与向量 c 的和等于向量 a ，即 b c a 时，我们把向量 c 叫做向量 a 与 b 的差， 并记做 c a b.
向量减法的定义：a b a (b).
相反.我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘.
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1) 0, (2) 0,
aa与a0同向，|
a
|
|
a
|
(3) 0, a与a 反向，| a || | | a |
a
2a
1
a
2
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定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）
B
a
C a (a) 0.
A
a
b
b
c
a
A
O
O a bc a b c C
二、向量加法的运算规律
有限个向量 a1, a2, an 相加可由向量的三角形求和法则推广: 自任意点 O 开始，依次引OA1 a1, A1A2 a2, , An1An an , 由此得一折线 OA1A2 An,于是向量 OAn a 就是 n 个向量 a1, a2 , , an 的和，即OA OA1 A1A2 An1An .
解析几何课件(吕林根+许子道第四版)
从而得
AP1
1 2
1 2
e1
1 2
(e2
e3 )
1 4
(e1
e2
e3 ),
同理可得
APi
1 4
(e1
e2
e3 ),(i
2,3)
所以
AP1＝AP2＝AP3
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从而知P1, P2 , P3三点重合，命题得证 .
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定义1.4.2 对于n(n 1)个向量a1 , a2 ,, an，如果存
叫 做 矢 量a1, a2 ,, an的 线 性 组 合. 定理1.4.1 如果矢量e 0，那么矢量r与矢量e共
线 的 充 要 条 件 是r可 以 用 矢 量e线 性 表 示 ， 或 者 说r
是e的 线 性 组 合 ， 即r＝xe，
(1.4 1)
并且系数x被e, r唯一确定.
这时e称为用线性组合来表示共线矢量的基底.
向M量1为的起大点小，.M| a2|为或终| 点M的1M有2 |向线段.
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单位向量：模为1的向量.
零向量：模为0的向量.0
e
a
或
e
M1M2
相同，定那义a么1.叫1.做2 ＝相如等果向两量个b.向记量为的模a 相b等 且方向
所有的零向量都相等.
定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向
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§1.3 数乘向量
定义1.3.1 实数与矢量a的乘积是一个矢量，记做 a,它的
模是 a a ；a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a
相反.我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘.
解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
空间中点与平面的关系
点在平面内：点 位于平面内满足 平面的定义和性 质
点在平面外：点 不在平面内与平 面平行或与平面 相交
点的轨迹：点按 照某种规律在平 面上移动形成轨 迹
点的射影：点在 平面上的投影与 原点连线与平面 的夹角关系
空间中直线与平面的关系
直线与平面的位置关系：直线要么在平面上要么与平面平行要么与平面相交 直线与平面的交点：直线与平面的交点称为直线在平面上的投影 直线与平面的角度：直线与平面之间的角度称为线面角可以通过几何或向量方法求解 直线与平面的距离：直线到平面的最短距离称为线到面的距离可以通过几何或向量方法求解
05
解析几何中的投影与透视
投影的基本概念
投影的定义：通过光线将物体投射到平面上生成影子。 投影的分类：中心投影、平行投影。 投影的应用：建筑设计、工程制图、动画制作等领域。 投影的性质：与光源、物体和投影面的位置关系有关。
透视的基本概念
透视的定义：通过透明平面观察物体研究物体在平面上的投影从而表现出物体的三维空间 感。
应用：在解析几何中坐标变换被广泛应用于解决各种实际问题如平面几何、 立体几何、曲线和曲面等。 意义：通过坐标变换可以深入理解几何图形的内在性质和规律进一步探索 几何图形的变换和对称等特性。
图形变换
平移变换：将图形在平面内沿某一方向移动一定的距离而不改变其形状和大小。 旋转变换：将图形绕某一点旋转一定的角度而不改变其形状和大小。 伸缩变换：将图形按一定的比例进行放大或缩小而不改变其形状和大小。 对称变换：将图形关于某一直线或点进行翻转或反射而不改变其形状和大小。
第四 版)(精).ppt
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目录
01 课件概览 02 解析几何基础知识 03 解析几何中的曲线与方程 04 解析几何中的平面与空间 05 解析几何中的投影与透视 06 解析几何中的变换与对称
《解析几何》(第四版)吕林根 许子道 编第2章轨迹与方程2.1平面曲线的方程
r
a(
sin )i
a(1 cos ) j , (2.1-6)
(2.1-6) 是P点轨迹的向量式参数方程,参数
( ).
设P点坐标(x, y),由(2.1 6)得P点的坐标式参 数方程
x a( sin ),
y
a(1
cos
),
(
第二章 轨迹与方程
取定相应坐标系后
平面上的点 一一对应 空间上的点 一一对应
二元有序数组 (x, y). 三元有序数组(x, y, z).
将图形看作点的轨迹，本章将建立轨迹与方程的 对应。
2.1平面曲线的方程
曲线上点的特性，在坐标面上，反映为曲线上
点的坐标 x与y 应满足的制约条件，一般用方程表
示为
).
(2.1-7)
取0 时,消去 ,得P点轨迹在0 时
的一段的普通方程 x a arccosa y 2ay y2 . a
(2.1-8)
此方程要比参数方程 (2.1 7)复杂得多. 当圆在直线上每转动一 周时,点P在一周前后 的运动情况是相同的 ,因此曲线是由一系列完 全相 同的拱形组成 (如图),曲线叫旋轮线或摆线 .
F (x, y) 0.
例1 一个圆在一直线是上无 滑动地滚动，求圆 圆周上的一点的轨迹.
解 取直角坐标系,设半径为a的圆在x轴上滚动,
开始时点P恰在原点O
y
(如图),经一段时间的
滚动, 与直线的切点移
P r
Ca
到A点,圆心移到C的位 o A
x
置, 这时有
r OP OA AC CP.
P(x(t), y(t)) r (a)
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
§4.4 椭球面
§4.5 双曲面
第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线
§5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类 §5.7 应用不变量化简二次曲线方程
第一章 向量与坐标
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
1 AM ( AB AC ) 2
证
因为 AM AB BM , AM AC CM 所以 2 AM ( AB AC) (BM CM ), 但 BM CM BM MB 0, 2 AM AB AC 因而
例3 用向量法证明：对角线互相平分的 四边形是平行四边形.
D
C M
b
A
a
B
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
§1.3
数乘向量
定义1.3.1 实数与矢量a 的乘积是一个矢量，记做 a, 它的 模是 a a ； a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a 相反我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘 . .
定 理1.4.1 如 果 矢 量 e0 ，那么矢量 r与 矢 量 e共 线的充要条件是 r可 以 用 矢 量 e线 性 表 示 ， 或 者 说 r 是e的 线 性 组 合 ， 即 r＝x e， 并且系数 x被 e , r唯 一 确 定 . (1.4 1)
这时e称为用线性组合来表示 共线矢量的基底 .
a
b
B O A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个向量 OA 、 OB 为邻边 组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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第一章 向量与坐标 B
C
§1.2 向量的加法
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律： （1）交换律： a b b a .
2a
1 a 2
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： ( a ) ( a ) ( )a （2）第一分配律： ( )a a a （3）第二分配律： (a b ) a b
1 1 AC AB 2 2 M 1 ( AC AB) B 2 1 BC 2
MN 1 BC 2
N
C
所以 MN // BC
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且
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
向量减法 a b a ( b ) b a b b b c a c a (b ) ab
ab ab
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
例1 设互不共线的三矢量 a, b与c，试证明顺次将 它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 它们的和是零矢量.
第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数乘向量
§1.4 向量的线性关系与向量的分解 §1.6 向量在轴上的射影
§1.5 标架与坐标 §1.7 两向量的数性积 §1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积 §1.10 向量的双重向量积
第二章 轨迹与方程
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 平面曲线的方程 曲面的方程 母线平行于坐标轴的柱面方程 空间曲线的方程
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 b a.
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两个向量的平行关系
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
证 充分性显然； b 必要性 设 b ‖ a 取 , a 当 b 与 a 同向时 取正值， 当 b 与 a 反向时 取负值，即有 b a . b 此时 b 与 a 同向. 且 a a a b. a 的唯一性. 设 b a， 又设 b a， 两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0， a 0， 故 0， 即 .
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
定 义1.4.1 由 矢 量a1 , a 2 , , a n与 数 量 1 , 2 , , n 所组成的矢量 a 1 a1 2 a 2 n a n , 叫做矢量 a1 , a 2 , , a n的 线 性 组 合 .
A1 A2 O An-1 An A4 A3
这种求和的方法叫做多边形法则
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
定 义1.2.2 当 矢 量 b与 矢 量 c的 和 等 于 矢 量 a， 即b c a 时，我们把矢量 c叫 做 矢 量 a与b的 差 ， 并 记 做 c a b.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
例2 在平行六面体ABCD-EFGH中， AB = a, AD=b， AE=c，试用a， b， c来表示对角线AG， EC.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a |
a
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.3 两平面的相关位置 §3.5 直线与平面的相关位置 §3.7 空间直线与点的相关位置 §3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.6 空间两直线的相关位置
第四章 柱面锥面旋转曲面
与二次曲面
§4.1 柱面 §4.2 锥面 §4.3 旋转曲面
AB与BA互为反矢量 .
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a
a
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第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念
定义1.1.4 叫做共线向量.
平行于同一直线的一组向量
零向量与任何共线的向量组共线.
定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量 叫做共面向量. 零向量与任何共面的向量组共面.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
§1.1 向量的概念
§1.1
向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小,
M2
a
M 有向线段的方向表示向量的方向. 1 a 或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. 向量的模：向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
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单位向量： 模为1的向量. ea 或 e M M
零向量： 模为0的向量.0
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§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
§4.4 椭球面
§4.5 双曲面
第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线
§5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类 §5.7 应用不变量化简二次曲线方程
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§1.3 数乘向量
例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
1 AM ( AB AC ) 2
证
因为 AM AB BM , AM AC CM 所以 2 AM ( AB AC) (BM CM ), 但 BM CM BM MB 0, 2 AM AB AC 因而
例3 用向量法证明：对角线互相平分的 四边形是平行四边形.
D
C M
b
A
a
B
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§1.3 数乘向量
§1.3
数乘向量
定义1.3.1 实数与矢量a 的乘积是一个矢量，记做 a, 它的 模是 a a ； a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a 相反我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘 . .
定 理1.4.1 如 果 矢 量 e0 ，那么矢量 r与 矢 量 e共 线的充要条件是 r可 以 用 矢 量 e线 性 表 示 ， 或 者 说 r 是e的 线 性 组 合 ， 即 r＝x e， 并且系数 x被 e , r唯 一 确 定 . (1.4 1)
这时e称为用线性组合来表示 共线矢量的基底 .
a
b
B O A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个向量 OA 、 OB 为邻边 组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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第一章 向量与坐标 B
C
§1.2 向量的加法
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律： （1）交换律： a b b a .
2a
1 a 2
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§1.3 数乘向量
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： ( a ) ( a ) ( )a （2）第一分配律： ( )a a a （3）第二分配律： (a b ) a b
1 1 AC AB 2 2 M 1 ( AC AB) B 2 1 BC 2
MN 1 BC 2
N
C
所以 MN // BC
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§1.4向量的线性关系与向量的分解
向量减法 a b a ( b ) b a b b b c a c a (b ) ab
ab ab
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§1.2 向量的加法
例1 设互不共线的三矢量 a, b与c，试证明顺次将 它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 它们的和是零矢量.
第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数乘向量
§1.4 向量的线性关系与向量的分解 §1.6 向量在轴上的射影
§1.5 标架与坐标 §1.7 两向量的数性积 §1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积 §1.10 向量的双重向量积
第二章 轨迹与方程
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 平面曲线的方程 曲面的方程 母线平行于坐标轴的柱面方程 空间曲线的方程
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 b a.
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两个向量的平行关系
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§1.3 数乘向量
证 充分性显然； b 必要性 设 b ‖ a 取 , a 当 b 与 a 同向时 取正值， 当 b 与 a 反向时 取负值，即有 b a . b 此时 b 与 a 同向. 且 a a a b. a 的唯一性. 设 b a， 又设 b a， 两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0， a 0， 故 0， 即 .
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
定 义1.4.1 由 矢 量a1 , a 2 , , a n与 数 量 1 , 2 , , n 所组成的矢量 a 1 a1 2 a 2 n a n , 叫做矢量 a1 , a 2 , , a n的 线 性 组 合 .
A1 A2 O An-1 An A4 A3
这种求和的方法叫做多边形法则
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定 义1.2.2 当 矢 量 b与 矢 量 c的 和 等 于 矢 量 a， 即b c a 时，我们把矢量 c叫 做 矢 量 a与b的 差 ， 并 记 做 c a b.
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§1.2 向量的加法
例2 在平行六面体ABCD-EFGH中， AB = a, AD=b， AE=c，试用a， b， c来表示对角线AG， EC.
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§1.2 向量的加法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a |
a
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.3 两平面的相关位置 §3.5 直线与平面的相关位置 §3.7 空间直线与点的相关位置 §3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.6 空间两直线的相关位置
第四章 柱面锥面旋转曲面
与二次曲面
§4.1 柱面 §4.2 锥面 §4.3 旋转曲面
AB与BA互为反矢量 .
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a
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§1.1 向量的概念
定义1.1.4 叫做共线向量.
平行于同一直线的一组向量
零向量与任何共线的向量组共线.
定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量 叫做共面向量. 零向量与任何共面的向量组共面.
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§1.2 向量的加法
§1.1 向量的概念
§1.1
向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小,
M2
a
M 有向线段的方向表示向量的方向. 1 a 或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. 向量的模：向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
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单位向量： 模为1的向量. ea 或 e M M
零向量： 模为0的向量.0