最小二乘法原理和算例培训课件

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n
i1 k 0
k
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k
i
m
( )
j
i
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i

(
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Leabharlann Baidu
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)


0
若引入记号
m
x x : ,
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j
k
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j
i
k
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x y , f
()
j

i1
j
i
i
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。
n
a 则有 :
, , f
k
j
k0
k j

可得矩阵
( j 0 ,1,..., n )
, , ...
0 0
0
1
, , ...


1
0
...
n , 0
4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
12
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。
• 从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
• 解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最
小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令
势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和
m
m
| 2 i|(
(xi)yi)2
i1
i1
最小,此即称为最小二乘原理
•最小二乘法的求法 文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。
设近似方程为
: ( 共有 m 组数据且 m n)
a a a y *

x
• 解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x
一 问题的提出 文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的，它 要求插值函 数与被插函数在插值节点上函数值相同 ，而在其他点上没有要求。在非 插值节点上有时函数值会相差很大 。若要求在被插函数的定义区间上， 所选近似函数都能与被插函数有较好的近似，就是最佳逼近问题。 最佳逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
1. 作为曲线拟合的一种常 见情况 , 拟合函数常为代数多项 式: ,
即拟合函数 :
( x ) a 0 a1 x a 2 x2 ... a n xn
则以同样原理 ,的相应法方程组 (共有 m组数据且 m n)
m


xi
xi

x2 i
... ...

xn i
a0
1
1
...
...
, ...
n
1
, 0
, 1 ...
, n

a n 0
a n

1 ...



a n n
,f
0
,f
1
...

•
Q=n∑δi2
•
i=1
为最小 ，即求使
y x) ••
• ••
(a,b)=
24
24
2 ( ab
2
i
i
i
i1
i1
有最小值的a和b的值。
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• 计算出它的正规方程得
24a12.57b11.13 12.57a82.69b173.610
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实例讲解
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直 接关系，下表是实际测定的24个纤维样 品的强度与相应拉伸倍数的记录。
• 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座 标纸上标出各点，可以发现什么?
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(x)
( x ) ...
(x)
0
0
1
1
n
n
a a a y y ( , ,...,
0
1
m
*
) (
n
i
) 2 min
i
i1
对函数 求偏导数并令其为零
, 可得 : 0
aj
m
n

2(
a k
x( )
k
i
y ) i
x( )
j
i
0
i1
k0
a x x y x 得
i0
它们都可用最小二乘法求解。
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•曲线拟合的最小二乘法
• 最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 ( x)
在数据点(
xi
,
y) i
处的偏差,即
i (xi)yi (i=1,2,…,m)
严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋
,
n
f

可知
a 当 ( x ), ( x ),... ( x ) 线性无关时 存, 在唯一解
0
1
n
i ( i 0 ,1,..., n )
n
a i i ( x )就是所求的拟合函数
i0
•最小二乘法的几种特例 文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。
拉伸倍数
5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0
强度 kg/mm2
5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
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9 8 7 6 5
mfa (x)x p (x)m in(*)
a x b
但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为
a b(x)(f(x ) p (x )2d ) xmin
来讨论 ，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 ,而离散的最佳平方逼 进问题就是常说的曲线拟合
m i(f(xi)p(xi)2 )min
数据表格
编号 拉伸倍数
1
1.9
2
2.0
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4.0
10 4.0
11
4.5
12 4.6
强度 kg/mm2
1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5
编号
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24