最小二乘法原理和算例培训课件
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第3章4节最小二乘法(课堂PPT)
§4 曲线拟合的最小二乘法
1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 f (x) C如[a果, b],
f (x)
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,上给, m定}，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 {(xi , yi ),i 0的,1, , m} 曲线拟合.
1
问题为利用 yi f (xi ),i 求0出,1一,个, m函,数 y S * (x) 与所给数据{(xi , yi ),i 0,拟1,合. , m}
7
Ga d ,
其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T ,
(0 ,0 ) (0 ,1)
G
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
.
n (n ,0 ) (n ,1) (n ,n )
(k , j )a j dk (k 0,1, , n).
6
若记
m
( j ,k ) ( xi ) j ( xi )k ( xi ), i0 m
( f ,k ) (xi ) f (xi )k (xi ) dk i0 (k 0,1, , n).
上式可改写为
n
(k , j )a j dk
j 0
(k 0,1, , n).
这个方程称为法方程，可写成矩阵形式
要使j法0 方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇G异，
而 0 (x),1(x),在 ,n上(x线) 性[无a,关b]不能推出
矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
例如
（0 x) sin x,（1 x) sin 2x,显然（0 x)，（1 x)线性无关。 取X {x0,...,x4} {0, ,2 ,3 ,4}, （0 x j ) （1 x j ) 0; j 0,...,4
1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 f (x) C如[a果, b],
f (x)
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,上给, m定}，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 {(xi , yi ),i 0的,1, , m} 曲线拟合.
1
问题为利用 yi f (xi ),i 求0出,1一,个, m函,数 y S * (x) 与所给数据{(xi , yi ),i 0,拟1,合. , m}
7
Ga d ,
其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T ,
(0 ,0 ) (0 ,1)
G
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
.
n (n ,0 ) (n ,1) (n ,n )
(k , j )a j dk (k 0,1, , n).
6
若记
m
( j ,k ) ( xi ) j ( xi )k ( xi ), i0 m
( f ,k ) (xi ) f (xi )k (xi ) dk i0 (k 0,1, , n).
上式可改写为
n
(k , j )a j dk
j 0
(k 0,1, , n).
这个方程称为法方程，可写成矩阵形式
要使j法0 方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇G异，
而 0 (x),1(x),在 ,n上(x线) 性[无a,关b]不能推出
矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
例如
（0 x) sin x,（1 x) sin 2x,显然（0 x)，（1 x)线性无关。 取X {x0,...,x4} {0, ,2 ,3 ,4}, （0 x j ) （1 x j ) 0; j 0,...,4
8 最小二乘估计 (共25张PPT)
分步计算减 少出错
第十五页，共25页。
于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x 2)由回归方程知，当某天的气温是-3℃时，卖
出的热茶杯数为
57.557-1.648×(-3)≈63(杯）
第十六页，共25页。
1.利用最小二乘估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点 图观察数据是否具有线性关系
8 最小二乘估计 (共25张PPT)
第一页，共25页。
1、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程； 2、知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式
建立线性回归方程.
第二页，共25页。
上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性关系，用了 很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依 据. 问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？ 想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）.
程y=a+bx必经过点 (
（A）（2，2）
)D
（B）（1.5，0）
（C）（1，2）
（D）（1.5，4）
x0123 y1357
第十八页，共25页。
2、某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
（1）画出销售额和利润额的散点图； （2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的 线性回归方程.
4
49
28
5
81
45
17
200 112
利用试验数据进行拟合时，所用数据越多，拟合效果越好.但即使选取相同 的样本数，得到的直线方程也可能是不相同的，这是由样本的随机性造成
的,样本量越大，所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系.
第二十一页，共25页。
第十八讲全面最小二乘法
Y
V H ，其中σ 1 ≥ σ 2 ≥ ≥ σ r > 0 。又设 0 m×n σ 1 Vn (s < r ) 则 U σs 0 m×n
z∈C rankz = s F
min X − Y= X −Z F m×n
H
首先来考虑 F-范数。设 Pm×n = UQV ,U、V 分别为 m 阶、n 阶酉
r
r
n
1 i= r +1 j =
∑ ∑ tij
m
n
2
对任意 Z 矩阵而言，各 tij 之间完全独立，则 X − Z 于零的。但是 rank ( Z )= s < r 。故 X − Z
F
F
是可能等
不可能为零。详细论证
F
可知 tij = 0(i ≠ j ), tii = 0(i > s ), tii = σ i (i = 1, 2,, s ) 时， X − Z 小 下 面 仅 考 虑 在 实 际 应 用 中 非 常 常 见 的 一 种 情 况 ： A ∈ Cn
14
= min ∆ F =
显然满足
rank ( C +∆ ) =n
rank ( C +∆ )< n +1
min
C − (C + ∆ )
F
min
= C− ( C + ∆ ) σ n+1
0 H ∆ =U 0 V σ + n 1 O
15
定理 2： 设σ n +1 为 C 的 n-k+1 重奇异值，且 vk +1 , vk + 2 , vn +1 相应的为
最小二乘估计课件(43张)
栏目导航
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
最小二乘法-PPT课件
请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程.
解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
-
19
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
36
204
x2 i
xi yi
1
1
4
8
9
27
16
64
25
125
36
216
49
343
d bxi yi a b2 1
方法二:
xi,abix
yi a bxi 2 0 -
yabx
x
4
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离， 而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者 之间的接近程度.
-
5
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2， y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直 线y=a+bx的接近程度：
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
-
7
思考3：怎样使 [y1 (a bx1)]2 [yn (a bxn )]2 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
…………………①
-
8
3 a 2 - 2 （ a y - b x ) ( y 1 - b x 1 ) 2 ( y 2 - b x 2 ) 2 ( y 3 - b x 3 ) 2
解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
-
19
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
1
2
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x2 i
xi yi
1
1
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16
64
25
125
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216
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343
d bxi yi a b2 1
方法二:
xi,abix
yi a bxi 2 0 -
yabx
x
4
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离， 而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者 之间的接近程度.
-
5
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2， y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直 线y=a+bx的接近程度：
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
-
7
思考3：怎样使 [y1 (a bx1)]2 [yn (a bxn )]2 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
…………………①
-
8
3 a 2 - 2 （ a y - b x ) ( y 1 - b x 1 ) 2 ( y 2 - b x 2 ) 2 ( y 3 - b x 3 ) 2
最小二乘参数辨识方法及原理PPT学习课件
Gauss（1777-1855）
m
使 w(k ) | z(k ) y最(k小) |2 k 1
1、问题的提出
1795年，高斯提出的最小二乘的基本原理是
未知量的最可能值是使各项实际观测值和计 算值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和 为最小。
z(k) y(k) v(k)
Gauss（1777-1855）
Z m H m Vm
2.2 一般最小二乘法原理及算法
最小二乘的思想就是寻找一个 的估计值ˆ ，使得各次测量 的 Z i (i 1, m) 与由估计ˆ 确定的量测估计 Zˆi Hiˆ 之差的平方
和最小，即
J (ˆ) (Zm Hmˆ)T (Zm Hmˆ) min
J
ˆ
2H
T m
(Z
m
H mˆ)
i1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
u(k )
y(k )
G(k )
v(k ) z(k )
图 3.4 SISO 系统的“灰箱”结构
G(z)
y(z) u(z)
b1z 1 b2 z 2 1 a1z 1 a2 z 2
bn z n an z
n
n
n
y(k ) ai y(k i) biu(k i)
i 1
0 0
J a J b
a b bˆ
aˆ
N
2 (Ri a bti )
i 1 N
2 (Ri a bti )ti
i 1
0 0
Naˆ
N
bˆ
N i 1
ti
N
N i 1
Ri
N
aˆ
i 1
ti
bˆ
t
2 i
i 1
高中数学必修课件最小二乘估计
03
非线性回归模型与最小二乘估计
非线性回归模型概述
1 2
非线性回归模型定义
描述因变量与自变量之间非线性关系的回归模型 。
常见非线性回归模型
指数回归、对数回归、幂回归等。Βιβλιοθήκη 3非线性回归模型特点
模型参数估计复杂，但拟合效果可能更优于线性 回归。
最小二乘估计在非线性回归中应用
01
02
03
最小二乘法原理
参数估计性质与评价标准
参数估计性质
最小二乘估计具有线性性、无偏性、有效性等优良性质，是 实际应用中最常用的参数估计方法之一。
评价标准
评价最小二乘估计效果的标准包括残差图、均方误差、决定 系数等。其中，残差图用于直观判断模型拟合效果，均方误 差用于量化模型预测误差大小，决定系数用于衡量自变量对 因变量的解释程度。
通过介绍非线性回归模型的案例，如指数增长、周期性变化等，引 导学生理解最小二乘法在非线性回归中的推广和应用。
多重共线性问题
通过实际案例，让学生理解多重共线性对最小二乘估计的影响，以 及如何处理多重共线性问题。
实验设计与数据收集
实验设计
指导学生设计实验方案，明确实验目的、实验对象和实验 方法，确保数据的有效性和可靠性。
拓展应用
将最小二乘法应用于金融、生物、医学等领域的实际问题中，如股票价格预测、基因表达数据分析等。同时，可 以探索最小二乘法与其他数据分析方法的结合，如主成分分析、聚类分析等，以提高数据分析的准确性和效率。
THANKS
感谢观看
数据收集
教授学生如何收集和整理实验数据，包括直接观测、问卷 调查、实验测量等方法，强调数据的真实性和完整性。
预处理与探索性分析
引导学生对收集到的数据进行预处理，如数据清洗、缺失 值处理、异常值检测等，并进行探索性分析，初步了解数 据的分布和特征。
最小二乘法
最小二乘法1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。
举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta _nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。
矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。
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拉伸倍数
5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0
强度 kg/mm2
5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。
9 8 7 6 5
(x)
( x ) ...
(x)
0
0
1
1
n
n
a a a y y ( , ,...,
0
1
m
*
) (
n
i
) 2 min
i
i1
对函数 求偏导数并令其为零
, 可得 : 0
aj
m
n
2(
a k
x( )
k
i
y ) i
x( )
j
i
0
i1
k0
a x x y x 得
• 解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x
一 问题的提出 文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的，它 要求插值函 数与被插函数在插值节点上函数值相同 ，而在其他点上没有要求。在非 插值节点上有时函数值会相差很大 。若要求在被插函数的定义区间上， 所选近似函数都能与被插函数有较好的近似，就是最佳逼近问题。 最佳逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
i0
它们都可用最小二乘法求解。
主页
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•曲线拟合的最小二乘法
• 最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 ( x)
在数据点(
xi
,
y) i
处的偏差,即
i (xi)yi (i=1,2,…,m)
严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋
1
1
...
...
, ...
n
1
, 0
, 1 ...
, n
a n 0
a n
1 ...
a n n
,f
0
,f
1
...
数据表格
编号 拉伸倍数
1
1.9
2
2.0
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4.0
10 4.0
11
4.5
12 4.6
强度 kg/mm2
1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5
编号
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
mfa (x)x p (x)m in(*)
a x b
但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为
a b(x)(f(x ) p (x )2d ) xmin
来讨论 ，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 ,而离散的最佳平方逼 进问题就是常说的曲线拟合
m i(f(xi)p(xi)2 )min
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实例讲解
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直 接关系，下表是实际测定的24个纤维样 品的强度与相应拉伸倍数的记录。
• 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座 标纸上标出各点，可以发现什么?
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:
2
m
n
i1 k 0
k
()
k
i
m
( )
j
i
i1
i
(
j
i
)
0
若引入记号
m
x x : ,
() ()
j
k
i1
jLeabharlann ikim
x y , f
()
j
i1
j
i
i
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势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和
m
m
| 2 i|(
(xi)yi)2
i1
i1
最小,此即称为最小二乘原理
•最小二乘法的求法 文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。
设近似方程为
: ( 共有 m 组数据且 m n)
a a a y *
•
Q=n∑δi2
•
i=1
为最小 ，即求使
y x) ••
• ••
(a,b)=
24
24
2 ( ab
2
i
i
i
i1
i1
有最小值的a和b的值。
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• 计算出它的正规方程得
24a12.57b11.13 12.57a82.69b173.610
,
n
f
可知
a 当 ( x ), ( x ),... ( x ) 线性无关时 存, 在唯一解
0
1
n
i ( i 0 ,1,..., n )
n
a i i ( x )就是所求的拟合函数
i0
•最小二乘法的几种特例 文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。
4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
12
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• 从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
• 解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最
小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令
1. 作为曲线拟合的一种常 见情况 , 拟合函数常为代数多项 式: ,
即拟合函数 :
( x ) a 0 a1 x a 2 x2 ... a n xn
则以同样原理 ,的相应法方程组 (共有 m组数据且 m n)
m
xi
xi
x2 i
... ...
xn i
a0
x
n
a 则有 :
, , f
k
j
k0
k j
可得矩阵
( j 0 ,1,..., n )
, , ...
0 0
0
1
, , ...
1
0
...
n , 0