修正单纯形法求解约束优化问题
单纯形法的几种特殊情况
单纯形法的几种特殊情况单纯形法是一种线性规划的解法方法，用于寻找最优解。
在实际应用中，存在一些特殊情况，需要对单纯形法进行一些调整或者使用其他方法来解决。
下面将介绍几种特殊情况：1.无解情况（不可行解）：在一些情况下，约束条件可能是冲突的，导致不存在可行解。
例如，所有约束条件加在一起可能无法满足，或者一些约束条件是矛盾的，比如两个约束条件同时要求一些变量分别为正和负。
在这种情况下，单纯形法无法找到最优解，因为没有可行解。
解决方法：可以使用其他的线性规划求解方法，或者对约束条件进行调整，使其变为可行的。
例如，可以通过增加松弛变量或引入人工变量来处理不等式约束条件，在目标函数中增加人工变量的惩罚项，逐步通过单纯形法逼近可行解。
2.多个最优解：在一些情况下，线性规划问题可能存在多个最优解。
这种情况下，目标函数的值相同，但对应的解并不相同。
单纯形法只能找到一个最优解，无法得知是否存在其他最优解。
解决方法：需要使用其他算法或方法来找到额外的最优解。
例如，可以通过改变目标函数的系数或增加一些额外的约束条件，以影响单纯形法的方向，从而找到其他的最优解。
3.无界问题：在一些情况下，线性规划问题可能是无界的，即目标函数可以无限大地增加或无限小地减小。
这种情况下，单纯形法将无法找到有限的最优解。
解决方法：可以通过增加约束条件或调整目标函数的系数，使得问题变为有界的。
另外，也可以使用其他线性规划求解方法来处理无界问题。
4.退化情况：在单纯形法中，可能存在一些情况下的解陷入循环，无法继续优化。
这种情况下，称为退化。
解决方法：可以使用退化处理技术，例如人工变量法、卡工法、两阶段法等，来克服退化问题，并继续求解最优解。
5.基变量的选择：在单纯形法中，需要选择初始基变量，以便进行迭代求解。
但是，对于一些问题，选择合适的初始基变量可能非常困难，并且可能会影响最终的最优解。
解决方法：可以使用启发式的方法，例如字典法，以确定合适的初始基变量。
单纯型法的探究及改进
单纯形法的探究及改机械设计制造及自动化专业机制072 程鸿07030209 摘要：单纯形法是由美国的数学家G.B.Dantzig提出的一种多变量函数的寻优方法。
其优点是对目标函数的解析性没有什么要求，收敛速度快，适用面较广。
但是，单纯形法要求已知一个基本可行解，且线性规划需化典式。
而在一般情况下，线性规划问题并无明显的可行解。
如用两阶段法获得基本可行解，必须增加人工变量，从而增加计算量，也增加计算机的内存量。
针对这一问题，本文提出改进单纯形法，在不增加人工变量的前提下，采用较简单的方法，求出一基本可行解，并在求解过程中剔除多余的约束，判断问题是否有解，同时将线性规划的约束方程化为典式。
此方法减少了比较次数，且简单易行，容易在计算机上实现。
关键词：线性规划、单纯形法、改进的单纯形法、基本可行解、初等变换一．单纯形法1.1单纯形法的提出线性规划是运筹学的一个重要分支。
它的实质是从很多变量中选取一组适应的变量作为解，使这组变量满足一组确定的线性或条件，而且使一个函数达到最优。
线性规划是为了解决二战中的后勤问题而产生的。
自1947年美国的数学家G.B.Dantzig提出了解决线性规划问题的单纯形法以来，线性规划问题无论在理论上、计算方法和拓展新的应用领域中，都获得了长足的进步。
而且它的出现推动了自然科学的许多其它学科的发展。
1.2单纯形法的基本思想与计算步骤㈠、单纯形法的基本思想任何一种单纯形法的迭代算法必须解决三个问题：1．由哪一个顶点开始?2．用一个什么样的“有效”途径，进行由一个顶点向另一个较好的顶点移动? 3．何时停止该过程?单纯形法属于这一范畴。
即从一个粗的解开始，成功地改进现有的解，直到所要求的目标被满足为止．对于一个迭代算法，通常要求有一个停止规则，以检查是否达到目标。
计算上简单的规则将被优先选用，因为它在每次迭代中都要执行。
如果该规则未被满足，则需要去做进一步的改善，以求接近所需的目标。
单纯形法matlab求解有约束优化问题实验报告
单纯形法matlab求解有约束优化问题实验报告一、实验目的本次实验旨在通过使用MATLAB软件中的单纯形法，求解约束优化问题，熟悉单纯形法的基本原理和操作方法，并掌握MATLAB软件中单纯形法的使用。
二、实验原理1.单纯形法基本原理单纯形法是一种线性规划问题的求解方法，其基本思想是通过不断地移动一个n维空间中的“单纯形”（即一个n+1个顶点组成的凸多面体），寻找到目标函数最小值或最大值所对应的顶点。
在每次移动时，都会将当前顶点与其它顶点进行比较，选择一个更优秀的顶点来替换当前顶点，并不断重复这个过程直到找到最优解为止。
2.单纯形法步骤（1）确定初始可行解；（2）检查当前可行解是否为最优解；（3）如果当前可行解不是最优解，则选择一个非基变量进入基变量集合，并确定该变量使目标函数值下降最多；（4）计算新可行解；（5）判断新可行解是否存在并继续执行步骤2-4直到找到最优解。
三、实验步骤1.建立约束优化问题模型本次实验采用如下线性规划问题模型：$max\quad z=2x_1+3x_2$$s.t.\quad x_1+x_2\leq 4$$x_1\geq 0,x_2\geq 0$2.使用MATLAB软件求解（1）打开MATLAB软件，新建一个m文件；（2）输入以下代码：%建立约束优化问题模型f=[-2,-3];A=[1,1];b=[4];lb=zeros(2,1);[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb);（3）保存并运行该m文件，即可得到最优解。
四、实验结果与分析根据上述步骤，我们可以得到该线性规划问题的最优解为：$x_1=3,x_2=1,z=9$。
五、实验总结本次实验通过使用MATLAB软件中的单纯形法，成功求解了一个约束优化问题，并深入了解了单纯形法的基本原理和操作方法。
通过实践操作，加深了对MATLAB软件中单纯形法的使用和应用。
修正单纯形法
单纯形法的解题思路（一）
在单纯形法计算过程中，我们的目的是求出问题 的最优解，判断是否得到最优解的原则是检验数 的符号，当求最大值时，要求Zj-Cj≥0；当求最 小值时，要求Zj-Cj≤0。如果不满足条件，可根 据Zj-Cj的大小找出主元列（∣Zj-Cj∣最大者）， 找出主元列Pj*后，再计算Qi，而后，根据Qi大小 找出主元行（Qi最小者），主元列所对应变量为 调入变量，主元行所对应的变量为调出变量，调 换基变量后，再重新计算检验数进行判断。
单纯形法的一般解题步骤
改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同， 主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基 础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆， 再由此确定检验数。这样做可以减少迭代中的累 积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机 上的存储量。 高斯消去法，又称高斯消元法，实际上就是我们 俗称的加减消元法。它是线性代数中的一个算法， 用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及 决定可逆方矩阵的逆。当用于一个矩阵时，高斯 消去产生“行消去梯形形式”。
迭代2（4）
求检验数
Z j C j CB Pj C j CB B 1 Pj C j Pj C j
1 2 5 0 1 1 0 1 2 0 1 1 0 0 1
C B B 1
迭代2（5）
1 Z 1 C1 P1 C1 0 1 1 4 3 1 0 2
迭代1（5）
1 Z 1 C1 P1 C1 0 M 2 M 1 4 3 1 0 2 2 Z 2 C 2 P2 C 2 0 M 2 M 1 1 1 M 1 0 0
数学优化与约束条件的求解
数学优化与约束条件的求解数学优化是数学的一个重要分支，它研究如何在给定的条件下找到一个最优解。
在现实生活中，我们经常需要解决一些最优化问题，例如如何在一定的资源约束下最大化利润，或者如何在一定的时间约束下找到最短路径等等。
为了解决这些问题，我们需要使用数学工具和方法，其中约束条件是一个重要的考虑因素。
一、数学优化的基本概念数学优化是通过建立数学模型来描述实际问题，并在一定的约束条件下求解最优解。
其基本概念包括目标函数、决策变量和约束条件。
目标函数是我们希望最大化或最小化的量，通常用一个数学函数表示。
例如，如果我们想要最大化利润，那么利润就是目标函数。
决策变量是我们需要做出决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
例如，如果我们希望最大化利润，那么决策变量可能包括生产数量、销售价格等。
约束条件是对决策变量的限制条件，它们反映了现实生活中的实际情况。
例如，生产数量不能超过设备的容量，销售价格必须大于成本等。
二、数学优化的常用方法对于数学优化问题的求解，常用的方法包括可行解法、线性规划法、非线性规划法等。
可行解法是最简单的方法，它通过枚举所有可能的解并逐个验证是否满足约束条件，然后找到其中的最优解。
然而，对于复杂的问题而言，可行解法往往不切实际。
线性规划法是常用的求解数学优化问题的方法之一，它假设目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划法通过构建一个线性规划模型，并应用线性规划算法来求解最优解。
这种方法的优点是计算效率高，对于线性问题有较好的适用性。
非线性规划法则用于解决目标函数和/或约束条件为非线性的问题。
非线性规划法一般包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法的基本思想是通过迭代计算来逐步逼近最优解，直到满足一定的停止准则。
三、约束条件的求解方法约束条件在数学优化问题中起着重要的作用，它们限制了决策变量的取值范围。
对于线性规划问题，约束条件通常采用等式或者不等式的形式表示。
而对于非线性规划问题，约束条件往往比较复杂，可能涉及到多个变量之间的关系。
约束问题的最优化方法
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
min . g k x s.t. x Rn gu x g k x gu x 0
0
0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m
以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不
满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
的选择：
要求： ①
② 方法： ①
在可行域内；
不要离约束边界太近。 人工估算，需要校核可行性；
②
计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法： ③ 搜索方法： 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值： g k ( x 0 ) max{ gu x 0 } u 1,2,..., S； 应用优化方法减少违反约束：
uI
Z
I为违反约束的集合。
g u x ， 当 g u x 0时， maxg u x ,0 { 0 ，当g u x 0时， x, r
(k )
{
f x r k maxg u x ,0 f x
uI
Z
Z一般取2。
k
k
(k )
H [h ( x
线性规划中的单纯形法优化思路
线性规划中的单纯形法优化思路线性规划是一种优化问题的数学建模工具，通过数学模型的建立和求解，寻找使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
而在线性规划中，单纯形法是一种经典的解法，通过迭代比较线性规划问题的可行解，逐步接近最优解的方法。
在本文中，将详细介绍单纯形法的优化思路。
1. 线性规划问题概述在介绍单纯形法之前，先了解线性规划问题的基本概念和常见形式。
线性规划问题由目标函数和约束条件构成，其中目标函数是一个线性函数，约束条件也是一组线性不等式或等式。
线性规划问题的求解目标是找到满足所有约束条件下使目标函数取得最优值的变量取值。
2. 单纯形法的基本思路单纯形法是一种通过不断迭代改进可行解来求解线性规划问题的方法。
其基本思路是从一个初等可行解开始，通过不断地迭代，每次选取一个更优的可行解，最终达到最优解。
3. 单纯形法的步骤3.1 初等可行解的选取单纯形法的第一步是选取一个初等可行解，该可行解必须满足所有约束条件，并且可以通过线性规划问题的约束条件和目标函数来确定。
3.2 进行单纯形表的构造单纯形表是单纯形法中的一种重要表格，通过将线性规划问题的约束条件和目标函数进行整理，能够更清晰地观察问题的结构和计算过程。
3.3 计算单纯形表中的优化函数值在单纯形表的基础上，通过计算表中各行最右侧的数值，可以得出当前目标函数的值，并判断是否满足最优解的条件。
3.4 确定进入变量和离开变量单纯形法中，每一次迭代都需要选择一个进入变量和一个离开变量来进行优化。
进入变量被选取为能够提高目标函数值最多的变量，而离开变量则是根据约束条件限制来确定的。
3.5 更新单纯形表通过选择好进入变量和离开变量后，需要对单纯形表进行更新，以得出下一次迭代的最优解。
3.6 终止条件的判断在每一次迭代过程中，都需要判断是否满足终止条件，即最优解的判断。
如果不满足终止条件，则继续进行下一次迭代，直到达到最优解。
4. 单纯形法的优化思路单纯形法的优化思路在于不断地找到使目标函数值更优的可行解，通过迭代的方式逐步接近最优解。
修正单纯形法求解约束优化问题
修正单纯形法求解约束优化问题姓名王铎学号2007021271班级机械078日期2010/6/23 一．问题分析求解约束优化问题中，假如目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束函数和目标函数都是线性函数的优化问题称作线性规划问题。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：1. 根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2. 由决策变量和所在大道目的之间的函数关系确定目标函数；3. 有决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件；求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，而本文研究的是修正单纯形法。
1965 年由J.A.Nelder 等提出。
是在基本单纯形优化法的基础上，引入了反射、扩展与收缩等操作规则，变固定步长推移单纯形为可变步长推移单纯形，在保证优化精度的条件下，加快了优化速度。
是各种单纯形优化法在分析测试中应用最广的一种。
二．数学模型1、线性规划问题的formalization问题(1.1) 称为线性规划问题：x= arg min_x c A T xs.t. Ax=bx>=0 (1.1)其中x为n维列向量，A为m*n的矩阵，b和c分别为m,n维的常数向量。
任意一个线性不等式组约束下求解线性函数的最大最小值问题都可以归结到问题(1.1) 来。
比如A(i,:) x <= b(i)<=>A(i,:) x + y(i) = b(i)y(i)>=0 (1.2)A(i,:) x >= b(i)<=>A(i,:) x - y(i) = b(i)y(i)>=0 (1.3)x<=>x=x'-x"x'>=0x">=0 (1.4)2、单纯形法设m<n即变量个数大于约束的个数。
(否则若m=n则(1.1)的约束可能唯一确定X,最优问题就没有意义，若m>n则可能符合约束的x 不存在，最优问题同样没有意义。
不等式约束条件的最优化问题
不等式约束条件的最优化问题概述在数学和经济学等领域中，最优化问题是一个常见的研究课题。
在解决最优化问题时，我们通常会面临各种约束条件，其中一种常见的约束条件是不等式约束条件。
本文将深入探讨不等式约束条件的最优化问题，包括其定义、求解方法以及应用领域等。
定义不等式约束条件的最优化问题是指在一组不等式条件下，寻找使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
不等式约束条件可以是单个不等式，也可以是多个不等式的组合。
一般来说，最优化问题可以分为线性最优化问题和非线性最优化问题，而不等式约束条件可以存在于两种类型的最优化问题中。
线性不等式约束条件的最优化问题求解方法线性不等式约束条件的最优化问题可以通过线性规划方法求解。
线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优化问题。
在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的，可以用线性代数的方法进行求解。
线性不等式约束条件的最优化问题可以通过单纯形法、内点法等方法进行求解。
单纯形法是一种基于顶点的搜索算法，通过不断移动顶点以搜索最优解。
内点法是另一种常用的求解线性规划问题的方法，它通过将问题转化为一个等价的无约束问题来求解。
应用领域线性不等式约束条件的最优化问题在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们常常需要在一组资源有限的条件下，最大化产出或最小化成本。
在供应链管理中，我们需要在供应商、生产能力、运输成本等多个因素的约束下，优化供应链的效率和利润。
线性不等式约束条件的最优化问题也在金融投资、交通规划等领域中得到广泛应用。
非线性不等式约束条件的最优化问题求解方法非线性不等式约束条件的最优化问题相对复杂，求解方法也更加多样化。
常见的求解方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通常需要对目标函数进行求导或近似求导，以找到函数的极值点。
应用领域非线性不等式约束条件的最优化问题在实际应用中也非常常见。
例如，在机器学习和人工智能领域中，我们常常需要通过调整模型参数来最小化损失函数，以提高模型的准确性。
单纯形法解决无约束优化问题
分数: ___________【1】任课教师签字：___________课程作业学年学期：2017——2018学年第二学期 课程名称：优化理论 作业名称：作业三 学生姓名： 学号：提交时间：一、问题重述形如的min (x),x R nf ∈问题称为无约束优化问题，常用下降算法来解决这类问题。
下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。
步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取，而搜索方向算法可以分为两大类，解析法和直接法。
解析法借助了目标函数的导数进行搜索，这类算法搜索速度快、效率高，但是对目标函数的要求更为严格。
常用的方法有最速下降法、Newton 法、共轭梯度法、拟Newton 法等。
直接法不使用导数，也不需要得到目标函数的明确解析式，只需要能够得到某些函数上的点即可。
因此直接法的适用范围更广，但相应的收敛速度会较慢，计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。
常用的方法有单纯形法、Powell 方向加速法以及Powell 改进算法。
本作业以直接法的Powell 法为例，解决具体的无约束优化问题，并对将Powell 方向加速法和Powell 改进算法解决结果进行对比。
二、算法原理对于n 维正定二次函数(x)0.5TTf x Gx b x c =++，设011,,...(k n)k p p p -<关于G 共轭，0x 与1x 为任意不同点。
分别从0x 与1x 出发，依次沿011,,...k p p p -作一维搜索。
如果最后找到两个互不相同的极小点x a 与x b ，则x b a x -与011,,...k p p p -关于G 共轭。
Powell 方向加速法正是基于这一原理，每次迭代过程作n+1次一维搜索。
第一次沿给定的n 个线性无关的方向011,,...n p p p -依次作一维搜索，之后沿由这一阶段的起点到第n 次搜索所得到的点的方向P 再做一次一维搜索，并把这次所得点作为下一阶段的起点，下一阶段的n 个搜索方向为011,,...,n p p p p -。
工程实际应用中优化问题的三种分析求解方法的比较
工程实际应用中优化问题的三种分析求解方法的比较优化问题來源于求某一广义的设计的最优结果，用数学观点來说就是求某一个指标或某儿个指标描述的设计的最大值或最小值的问题。
“优化”既是一个专业术语，乂是一个通俗词汇，说明优化设计问题同时具有其存在范用的广泛性及探讨问题的难度，其解决盂要专门的理论与技巧。
设计的决策包含优化的过程, 其中有通过以往经验判断得出的决策，有通过枚举或者多方案比较得出的决策, 而经济的做法则是通过对设计建立数学模型，通过解析或数值计算寻找到决策的依据，用以指导设计的实施。
例如.某设计的模型可用一元函数f(x)来表示，对其进行最优化设计就是求该一元函数的最大值或者最小值。
如果一元函数是单调函数，则函数的最大値或最小值会在变量X的边界上取得；如果一元函数是高次多项式，函数曲线有多个极值点，则求函数的最大值或最小值问题就变得复杂起來，对多元函数的极值问题更是如此。
本文将对优化问题从简单的儿何方法、线性规划单•纯形法进行分析计算的比较。
引用课程中所接触到的一个简单算例进行初步阐释。
【算例一】某工程在计划内要安排生产1、11两种产品。
而这两种产品分别要在A、B、C、D 四种不同的设备上加工。
按工艺规定，产品I、II每一件在四种不同设备上加工的工时如表1所示。
已知设备在计划期内有效台数分别是12、& 16、12(1台设备工作lh称为1台时)•该工厂每生产一件产品I可获利润2元，每生产一件产品II可得利润3元。
问在计划期内如何安排生产I、II两种产品的产量获得利润最多。
表1两类产品在设备A、B、C、D上加工的台时数表【解析】首先按照线性规划的方法把上述问题简化为数学问题：假设变量X「X2分别表示该丁厂在计划期内所生产的产片T和n的产量，A设备的有效台数是12 台，这是一个限制产量的约束条件。
所以在确定两种产品的产量时，要考虑到不能超出设备A的有效台时数，其他三种设备与此类似：然后按照传统的几何线性规划方法进行函数的儿何图形分析，找出符合算例条件的最优解，将线性规划单纯形法的计算结果与线性规划几何图形分析结果进行初步比较。
01.10单纯形法的算法步骤
01.10单纯形法的算法步骤单纯形法是一种常用的线性规划算法，用于求解有约束的优化问题，它可以将约束条件和目标函数相统一，形成一个等价的线性规划模型，并通过一系列的运算来逐步逼近最优解。
具体的算法步骤如下：1. 确定线性规划问题的标准形式将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数和约束条件都转化成等式或不等式，使得目标函数的系数都非负，又或者是通过将变量加入松弛变量或人工变量来实现。
2. 制成初始表格将标准形式的线性规划问题制成表格，即单纯形表，表格的第一行为目标函数，后续的行为约束条件，其中每一个变量都对应一列。
表格中的每一个元素表示对应变量的系数，因此目标函数中的系数都应该是非负的。
同时，我们需要引入一个额外的列，表示对应原问题中的每一个约束条件的松弛变量或人工变量。
3. 选择进入变量用以下规则在单纯形表中选择进入变量：1) 如果目标函数还有正系数，则选择系数最大的变量作为进入变量。
2) 如果目标函数中的系数都小于等于0，那么这个线性规划问题已经达到最优解，算法结束。
选择离开变量时，需要对每一个约束条件的系数进行检查，从而找到可以成为离开变量的基变量。
选择方法如下：1) 计算每一个约束条件右边的值（也就是 b / a）。
2) 如果所有的右边的值都为负数，则这个线性规划问题是无界的，算法结束。
3) 选择右端表格值最小的那个作为离开变量。
5. 进行单纯形运算选择进入变量和离开变量之后，利用单纯形运算来更新单纯形表。
1) 首先计算离开变量所在的行，找出离开变量系数所在的列，得到进入变量的系数。
2) 将这个进入变量的系数代入其他行，消去其他行中入选列的系数，以得到新的、更新后的表格。
3) 重复第3步至第5步，直到找到最优解或无解。
6. 检验最优性或无解性如果经过多次迭代之后算法得到了最优解，那么需要检验是否还有其他可行解；如果算法得出无解，则需要找到原问题的对偶问题并运用对偶原理加以检验。
以上就是单纯形法的算法步骤，虽然此算法可以求解一些复杂的优化问题，但是它的复杂度在一些大型问题上可能非常高，因而有时候需要寻找更有效率的算法来求解线性规划问题。
工程实际应用中优化问题的三种分析求解方法的比较
产品
设备A
设备B
设备C
设备D
I
2
1
4
0
II
2
2
0
4
【解析】首先按照线性规划的方法把上述问题简化为数学问题：假设变量 、 分别表示该工厂在计划期内所生产的产片I和II的产量，A设备的有效台数是12台，这是一个限制产量的约束条件。所以在确定两种产品的产量时，要考虑到不能超出设备A的有效台时数，其他三种设备与此类似；然后按照传统的几何线性规划方法进行函数的几何图形分析，找出符合算例条件的最优解，将线性规划单纯形法的计算结果与线性规划几何图形分析结果进行初步比较。
1
0
0
8
0
4
0
0
0
1
0
16
0
0
4
0
0
0
1
12
f
1
2
3
0
0
0
0
0
按照课程中所学的单纯形表优化方法，先对该表格通过假设初始解求解出一组可行解，因此这里首先假设 ，可以同时求出如下一组解向量：
随即求出该解向量下的目标函数值为：
可以看出，这里求得的可行解并非最优解，因此有必要对其进行优化，具体优化过程如下所示：
0
0
0
-4
1
2
8
0
0
1
0
0
0
0.25
3
f
1
0
0
0
-2
0
-2
-13
此时通过观察可以看到，经过两次优化，表4中的f行中除f列外所有的数均为非正，目标函数值已经不能再改善，于是可以得到本算例线性规划的最优解为：
约束优化问题的求解方法
约束优化问题的求解方法约束优化问题（Constrained Optimization Problem）是指在一个给定的约束条件下，在所有可行的解中找到最优解的问题。
这类问题在现实中广泛存在，包括物流配送、资源分配、工程设计等领域。
如何有效地求解约束优化问题是科学研究和工程实践中的一个重要问题。
求解约束优化问题的基本方法是利用数学模型和优化算法。
数学模型是对问题的抽象和表达，它将问题中的各种因素、变量、约束、目标函数都用数学符号和方程式来描述。
优化算法则是根据数学模型对解进行求解的方法和技术。
具体来说，一个典型的约束优化问题可以描述为：$$\min f(\mathbf{x})$$$$s.t. \quad g_j(\mathbf{x}) \leq 0, j=1,2,...,m$$$$h_k(\mathbf{x})=0, k=1,2,...,p$$其中，$f(\mathbf{x})$是目标函数，$\mathbf{x} = [x_1, x_2, ..., x_n]$是决策变量向量，$g_j(\mathbf{x})$是不等式约束，$h_k(\mathbf{x})$是等式约束，$m$和$p$分别是不等式约束和等式约束的数量。
对于约束优化问题，大致有以下几种求解方法。
1. 等式约束和不等式约束均为线性约束的约束优化问题可以使用线性规划方法求解。
线性规划是指目标函数和所有约束均为线性函数的优化问题。
线性规划具有较好的求解效率且有高度的理论成熟度。
目前已经有很多线性规划求解器可供使用。
例如OpenSolver、Gurobi等。
2. 不等式约束为凸函数的约束优化问题可以使用凸优化方法求解。
凸优化问题是指其目标函数和不等式约束均为凸函数的优化问题。
凸优化具有全局最优性和求解效率高的特点，其求解方法有许多，例如基于梯度的方法、基于内点的方法等。
凸优化库MATLAB Optimization Toolbox和Python库CVXPY都提供了凸优化的求解工具。
修正单纯形法例题详解
修正单纯形法例题详解今天咱们聊聊修正单纯形法，这个听起来有点高大上的东西，其实没那么复杂，咱们可以把它想象成一道数学小菜。
你要知道，数学就像做饭，有时候得加点调料，才能让菜更好吃。
单纯形法就是这样的一道大菜，而修正单纯形法则是它的调味剂。
让我们慢慢捋一捋，看看这个数学的“厨艺”到底是怎么一回事。
单纯形法的基本理念就是通过逐步改进，找到最优解。
想象一下你在超市买东西，目标是花最少的钱买到最多的商品。
这时候你可能会拿个购物清单，逐一检查，逐步调整，直到找到最合适的组合。
修正单纯形法正是这种逐步改进的过程，不过它在做这些事的时候，用的是数学的方式。
这种方法特别适合解决线性规划问题，哎，别被这名字吓到，实际上就是帮助我们在一定条件下优化资源的分配。
假设你是一位小老板，想要最大化你的利润。
你手里有一堆原材料，能做出不同的产品，顾客也特别挑剔。
这个时候你就得用修正单纯形法来帮你，设定目标函数，限制条件，一个个地捋清楚，然后一步步调整，直到找到最完美的方案。
就像你在市场上挑水果，想要挑到最甜的那个，得一个个尝，才知道哪个更好。
再说到修正这个词，它的意思是调整，优化。
生活中，我们都需要修正，比如你开车的时候发现偏离了方向，得及时调整过来。
修正单纯形法就像是给你指路的导航，告诉你该往哪个方向走，才能顺利到达目的地。
在这条修正的路上，我们要不断地评估现有的方案，看看是不是有更好的选择。
这个过程就像给你的决策加了个放大镜，仔细审视每一个可能性。
说到这里，咱们得用个例子来说明。
假设你要生产两种产品，A和B。
每种产品的利润不同，A的利润高，B的利润低。
你得考虑原材料、工时、市场需求等等因素。
通过修正单纯形法，你能计算出在这些条件下，生产多少A和B才能使总利润最大化。
这个时候，你就能把每个因素考虑进去，像个精打细算的家庭主妇，绝不能浪费每一分钱。
这个方法的好处在于它的灵活性。
我们可以根据实际情况，随时调整我们的方案。
就像你出门时，如果发现天气变了，突然下雨了，你肯定得赶紧找个地方躲躲，或者换条路走。
线性规划中的单纯形法求解问题
线性规划中的单纯形法求解问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它的应用范围非常广泛，包括经济、工程、网络、交通等领域。
在实际问题中，我们通常会需要求解一个线性规划问题，而单纯形法是解决线性规划问题的一种常用方法。
1. 线性规划线性规划是一类优化问题，通常在最小化或最大化某个线性函数的同时，满足一组线性约束条件。
一个线性规划问题可以表示为：$$\begin{array}{lll}\textrm{min/max} & c^Tx & \\ \textrm{s.t.} & Ax &\leq b \\ & x &\geq 0\end{array}$$其中，$c$ 是一个 $n$ 维列向量，$A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$b$ 是一个 $m$ 维列向量，$x$ 是一个 $n$ 维列向量，代表问题的决策变量。
我们称 $Ax\leq b$ 是问题的约束条件，称 $x\geq0$ 是问题的非负性条件。
线性规划问题的求解可以分为两种基本方法，分别为单纯形法和内点法。
其中，单纯形法是一种经典的方法，应用广泛，是大多数线性规划软件的基础算法之一。
2. 单纯形法基本思想单纯形法的基本思想是通过对问题中的决策变量进行调整，使得目标函数值不断减小（最小化问题）或增大（最大化问题），并且在满足约束条件的前提下，最终找到最优解。
单纯形法的具体步骤如下：步骤1：初始化。
我们从一组基本解开始，即 $m$ 个基本变量和 $n-m$ 个非基本变量构成的向量 $x$。
在最初的阶段，我们需要选择一组基变量，并计算出它们的取值。
这个基变量集合构成了问题的起始基。
步骤2：检查最优性。
首先，我们需要对当前解进行检验，判断它是否为最优解。
如果是最优解，则停止算法；否则，进行下一步。
步骤3：选择进入变量。
我们需要选择一个非基变量，使得将它加入到基变量集合后，目标函数值有最大的增长量。
如果这个增长量为负数，则问题无界。
数学建模中的优化问题与约束条件的求解
数学建模中的优化问题与约束条件的求解数学建模是一门研究如何将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法解决这些问题的学科。
在数学建模中，优化问题是一类常见且重要的问题。
优化问题的目标是在给定的约束条件下，找到使某个指标达到最优的解。
而约束条件则是对解的限制，限制了解的取值范围。
在数学建模中，优化问题的求解可以通过多种方法来实现。
其中，最常用的方法之一是数学规划。
数学规划是一种通过建立数学模型来描述优化问题，并利用数学方法求解的技术。
常见的数学规划方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
线性规划是一种常见且简单的数学规划方法。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。
线性规划的求解过程可以通过图形法、单纯形法等方法来实现。
图形法通过绘制目标函数和约束条件的图形来找到最优解。
而单纯形法则是一种通过迭代计算来逐步逼近最优解的方法。
非线性规划是一种更为复杂的数学规划方法。
非线性规划的目标函数和约束条件可以是非线性的，因此求解过程需要使用更为复杂的数学方法。
常见的非线性规划方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过计算目标函数的梯度或者黑塞矩阵来实现迭代求解。
除了数学规划方法外，还有一些其他的优化方法可以用于求解优化问题。
其中，遗传算法是一种常见的启发式优化方法。
遗传算法通过模拟生物进化的过程，利用选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。
遗传算法适用于一些复杂的优化问题，尤其是那些没有明确的数学模型的问题。
在数学建模中，约束条件的求解也是一个重要的问题。
约束条件可以分为等式约束和不等式约束两种。
等式约束是指解必须满足的等式条件，而不等式约束则是指解必须满足的不等式条件。
约束条件的求解可以通过拉格朗日乘子法来实现。
拉格朗日乘子法通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将含约束的优化问题转化为无约束的优化问题。
除了拉格朗日乘子法外，还有一些其他的约束条件求解方法。
探讨单纯形法的改进
探讨单纯形法的改进单纯形法是一种用于线性规划问题的解法，它通过不断地移动问题的可行解来寻找最优解。
在过去的几十年里，单纯形法已经成为了解决线性规划问题的标准方法，但它并不是完美的。
在实际应用中，单纯形法可能会遇到一些问题，比如对于某些特定的问题，单纯形法可能需要大量的迭代次数才能找到最优解。
研究人员一直在努力寻找单纯形法的改进方法，以提高其效率和可靠性。
在本文中，我们将探讨一些关于单纯形法的改进方法，包括内点法、高斯-牛顿法、模糊单纯形法等。
这些改进方法都是在单纯形法的基础上进行一定的改进和优化，以解决单纯形法存在的一些缺陷和局限性。
我们将分别对这些方法进行介绍和比较，以期为线性规划问题的求解提供更多的选择和可能性。
我们要介绍的是内点法。
内点法是一种基于对偶问题的求解方法，它通过将问题转化为对偶问题，并在对偶空间中寻找最优解。
内点法相对于单纯形法而言，更加稳定和高效，特别是对于大规模线性规划问题。
内点法的基本思想是在可行解的内部寻找最优解，而不是像单纯形法那样在可行解的表面移动。
内点法能够避免在可行解空间中的“盲目搜索”过程，而是通过寻找对偶空间中的“路径”来找到最优解。
内点法在实际应用中已经取得了很大的成功，成为了解决大规模线性规划问题的重要方法之一。
另外一个重要的改进方法是高斯-牛顿法。
高斯-牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化算法，它通过利用目标函数的二阶导数信息来进行参数的更新和优化。
在线性规划问题中，高斯-牛顿法可以结合单纯形法来进行迭代求解，从而加速收敛速度和提高求解的稳定性。
高斯-牛顿法的优点在于它是一种非常快速的收敛算法，特别是对于高度非线性的问题。
高斯-牛顿法在线性规划问题的求解中具有很大的潜力，可以作为单纯形法的有力补充。
还有模糊单纯形法等一系列改进方法。
模糊单纯形法是一种基于模糊理论的线性规划求解方法，它可以有效地处理问题中的不确定性和模糊性。
在实际应用中，问题往往伴随有各种各样的不确定因素，而传统的线性规划方法往往难以处理这些不确定性。
探讨单纯形法的改进
探讨单纯形法的改进单纯形法是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它是由乔治·达克斯特拉和乌尔里希·尤冈斯于1947年发明的。
单纯形法通过不断地在可行解空间中移动，逐步逼近最优解，是线性规划领域中最常用的方法之一。
尽管单纯形法在实际应用中表现良好，但它也存在一些潜在的问题和局限性。
人们一直在努力寻求单纯形法的改进方案，以提高其求解效率和稳定性。
一些关于单纯形法的改进工作主要集中在以下几个方面：寻找更好的初始基础解、提出快速的优化算法、解决稀疏矩阵求解问题、改进数值稳定性和处理不等式约束问题。
本文将分别对这些方面进行探讨，并介绍一些已有的改进方法和未来的发展方向。
单纯形法在求解过程中需要一个初始的基础解来进行迭代计算，而初始基础解的选择可能影响到算法的效率和稳定性。
传统的单纯形法通常使用人工选取的基础解或者通过单纯形表进行初始基础解的构造，这种方法有时可能导致算法陷入不良的迭代路径，从而影响到算法的收敛性和计算效率。
研究者们提出了一些自动寻找初始基础解的方法，比如随机选择初始基础解、使用启发式算法进行初始基础解的搜索等。
还有一些基于预处理技术和凸包理论的改进方案，这些方法可以帮助单纯形法更快地找到一个合适的初始基础解，从而提高算法的求解效率。
针对单纯形法在处理大规模问题时存在的计算复杂度较高的问题，一些研究者提出了一些快速优化算法来加快单纯形法的收敛速度。
这些算法包括预测步长法、快速迭代法、分布式优化算法等。
这些方法主要是基于对单纯形法迭代思想的改进和优化，通过引入新的迭代策略和快速收敛技术，使得单纯形法在求解大规模问题时能够更快地收敛到最优解。
由于线性规划问题通常具有大规模、稀疏的特点，因此单纯形法在处理这类问题时往往会面临矩阵求解计算复杂度过高的问题。
为了解决这一问题，研究者们提出了一些基于稀疏矩阵的优化技术，比如稀疏LU分解、多级矩阵分解等。
这些技术能够帮助单纯形法更快地进行矩阵求解，从而降低算法的计算复杂度，提高求解效率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
修正单纯形法求解约束优化问题姓名王铎学号 2007021271班级机械078日期 2010/6/23一．问题分析求解约束优化问题中，假如目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束函数和目标函数都是线性函数的优化问题称作线性规划问题。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在大道目的之间的函数关系确定目标函数；3.有决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件；求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，而本文研究的是修正单纯形法。
1965 年由J.A.Nelder 等提出。
是在基本单纯形优化法的基础上，引入了反射、扩展与收缩等操作规则，变固定步长推移单纯形为可变步长推移单纯形，在保证优化精度的条件下，加快了优化速度。
是各种单纯形优化法在分析测试中应用最广的一种。
二．数学模型1、线性规划问题的formalization问题(1.1)称为线性规划问题：x= arg min_x c^T xs.t. Ax=bx>=0 (1.1)其中x为n维列向量，A为m*n的矩阵，b和c分别为m,n维的常数向量。
任意一个线性不等式组约束下求解线性函数的最大最小值问题都可以归结到问题(1.1)来。
比如A(i,:) x <= b(i)<=>A(i,:) x + y(i) = b(i)y(i)>=0 (1.2)A(i,:) x >= b(i)<=>A(i,:) x - y(i) = b(i)y(i)>=0 (1.3)x<=>x=x'-x"x'>=0x">=0 (1.4)2、单纯形法设m<n，即变量个数大于约束的个数。
（否则若m=n，则(1.1)的约束可能唯一确定x,最优问题就没有意义，若m>n，则可能符合约束的x不存在，最优问题同样没有意义。
）此时记A=[B,N],B为m*m的方阵，N为m*(n-m)的矩阵，假设B 非奇异，（奇异的情况后面会讨论）则x=[x_B,x_N]^T=[B^-b,0]^T满足(1.1)的约束。
所有这样的x(因为对A进行列重排可得到不同的B,也就有不同的N)组成的集合称为问题(1.1)的基解。
理论基础：线性规划问题(1.1)的满足约束Ax=b , x>=0的所有x的集合F 称为(1.1)的可行解，则有F是凸多边形，且问题(1.1)的最优解如果存在必定可以在F的顶点处找到，且F 的顶点是基解的子集，也就是说，穷举基解，则必定可以找到(1.1)的最有解单纯形法在已知一个基解的情况下，通过一个规则来搜索其他基解得到最优解，步骤如下：1、用非基元素x_N通过约束表出x_B2、将x代入目标函数c^T x 得到关于x_N的线形函数z_0 + z^T x_N3、任取x_N中系数z_i<0的项 z_i x_i ，增加x_i（因为此时x_N=0 => c^Tx=z_0,增加x_i可以使c^Tx=z_0+x_i z_i减小），若z>=0则该解为最优解，结束。
（此时算法得到最优解，有关证明见《线性规划》P36定理3.1）4、x_i增加的步长必须满足x>=0的约束。
此时x_N不必考虑，因为x_N>=0，而x_B用x_N表出，所以选择的步长必须保证x_B>=0，若x_B>=0对任意的l成立，那么，该问题无最优解，因为l可以任意大，意味着z_0可以任意小）否则选取的最大步长将使得x_B中的一个元素x_r 变为0（详细过程如下），此时得到了另一个基解：以x_B\x_r 并上 x_i 为基的基解。
这个基解得到的函数值_0'=z_0-z_i*l<z_0 l为x_i增加的步长。
这样目标函数就减小了单纯形法每次搜索都保证目标函数的非增性。
（也有可能不变，这时采用最小下标法避免循环）。
详细过程：[B,N][x_B =bx_N]假设一个基解已知：B x_B + N x_N= b => x_B= B^- b - B^- N x_N (1.5)代入c^T x: z=c^Tx =c_B^T B^- b - c_B^T B^- N x_N + c_N^T x_N (1.6)选择z_i<0的x_i增加其值，所增加的步长l满足x_B>=0，（若不存在这样的z_i，则得到最优解，算法结束）则有x_B= B^- b - B^- N x_N - (B^-N)(i,:)*l = B^- b - B^ -(B^-N)(i,:)*l >=0 （若B^ - (B^-N)(i,:)<=0则对任意的l有x_B>=0，此时该问题无最优解）=>l=min{ (B^- b)(j)/(B^-N)(i,j) , j=1,2,...,m }若l=(B^- b)(r)/(B^-N)(i,r)，则x_r=0,x_i=l把x_i添入x_B，把x_r添入x_N，再用上述过程进行计算3、有效单纯形法每次将x_i入基x_r出基时，B要变动，此时导致无论用x_N表示x_B(1.5)还是c^Tx(1.6)都要重新计算一遍B^-，如何利用B变动前后的关系有效计算(1.5,1.6)就是有效单纯形法所要解决的问题。
假设变动后的B为B'，B^-为已知。
因为B' x'_B + N' x'_N= b'所以B^- B' x'_B + B^- N' x'_N = B^- b'=>x'_B = (B^- B')^- (B^- b' - B^- N' x'_N)记A=[A1,A2..,Am,...,An]则B=[A1,.Ar.,Am],B'=[A1..,Ai,..Am]因此B^- B'= [B^- A1,B^- A2,..,B^- Ai,..B^- Am] =[ e1,e2,..B^- Ai,..,em ]（e_i为第i分量为1，其余分量为0的向量）(B^- B')^- = [ e1,e2,..B^- Ai,..,em ]^-我们有[1,0,...,a_1r,...0,0 ^-0,1,...,a_2r,...0,0 .....................0,0,...,a_mr,...0,1]=[1,0,...,-a_1r/a_rr,...0,00,1,...,-a_2r/a_rr,...0,00,1,..., 1/a_rr,...0,00,0,...,-a_mr/a_rr,...0,1]因此计算(B^- B')^- 很快，同理(1.6)也可以同样处理。
4、初始可行解的计算上面的单纯形法假设初始给定一个基解。
如果没有给出一个基解（比如B不可逆），如何获得第一个基解就是这里要解决的问题。
两阶段法：问题(1.1)变为：y= arg min_y e^T ys.t. Ax+y=bx,y>=0 (1.7)e为全1的向量，由于Ax+y=[A,I][x,y]^T，因此，可取B=I,基解可以证明如果(1.1)存在可行解x0,则x=x0,y=0为(1.7)的最优解，min e^Ty=0如果(1.7)的最优解为x=x0,y=0，则x0必定是(1.1)的一个基解（为何不是一般解？，[A,I]秩为m, x,y中至多m项不为0）。
若(1.7)的最优解中e^Ty>0则意味着Ax!=b,(1.1)无解求出基解后做法和前面一样5、对偶定理minimize c^Txs.t. Ax>=b,x>=0 (1.8)的对偶问题为maximize b^Tws.t. A^Tw<=c,w>=0 (1.9)(1.8)称为原问题，(1.9)称为对偶问题。
考察(1.9)的对偶问题，(1.9)等价于minimize (-b)^Tws.t. (-A^T)w>=-c,w>=0根据(1.8,1.9)的关系，(1.9)的对偶问题为maximize (-c)^Txs.t. (-A)x<=-b,x>=0就是(1.8)，因此(1.8,1.9)互为对偶问题(1.1)等价于minimize c^Txs.t. Ax>=b-Ax>=-bx>=0即minimize c^Txs.t. [A [b-A]x>= -b]x>=0其对偶问题为maximize [b^T,-b^T][w';w"]s.t. [A^T,-A^T][w';w"]<=c[w';w"]>=0令w=w'-w"则maximize b^Tws.t. A^Tw<=c (1.10)弱对偶定理：注意Ax>=b,x>=0,A^Tw<=c,c>=0 则c^Tx>=(A^Tw)^Tx=w^TAx>=w^Tb也就是说(1.8,1.9)的任意解x,w满足c^Tx>=b^Tw这就是对偶定理，下面证明原问题有最优解时，对偶问题也一定有最优解，假设线性规划问题都标准化为(1.1)，最优解为x=[x_B,x_N]=[B^-b,0]。
考察w=B^-T c_B，根据z=c^Tx =c_B^T B^- b - c_B^T B^- N x_N + c_N^T x_N (1.6)x_N的系数全部为正，此时达到最优，则-c_B^T B^- N + c_N^T >=0=>c_N - N^Tw >=0=>A^Tw=[B , N]^T w=[B^Tw;N^Tw]<=[c_B;c_N]=c因此，w也是(1.10)的可行解。
进一步由x=[x_B,x_N]=[B^-b,0] w^Tb=c_B^TB^-b=c^Tx由弱对偶定理，w^Tb总是小于c^Tx的，因此当它们相等时，w 必为对偶问题的最优解对偶定理：原问题和对偶问题中若一方有最优解，则另一方也有最优解，且两个问题的最优值一致。
6、灵敏度分析。
主要一个结论：在(1.1)中b的微小变化不影响最优基的选择，而b的增加将引起c^Tx的增加，其增加的比例dc^Tx/db_i=w_i，b的减小将引起c^Tx 的减小。
下面说明这一点假设(1.1)变为x= arg min_x c^T xs.t. Ax=b+dbx>=0 (1.11)若，此时仍成立B^-(b+db)>=0，即x'=[x'_B,x'_N]=[B^-(b+db),0]>=0则有c_N^T-c_N^TB^-N>=0，最优条件仍旧满足（就是c^Tx用x_N表出后，所有系数非负仍旧成立），因此B仍为扰动之后的最优基。