高中数学必修一知识点总结86947

数学笔记——王以然1 / 23必修一第一章：集合第一节：集合的含义及表示一、定义：（描述性）一定范围内，某些确定的．．．对象的全体．．构成一个集合．．．、不同的二、表示：1.列举法：A={a、b}2.描述法：{x|p（x）}代表元分割线代表元满足的性质3.图示法：（数轴、Venn图）三、特点：确定性、互异性、无序性四、常用数集N自然数集N*、N+正整数集Z整数集Q有理数集R实数集五、元素与集合的关系∉（两者必居其一）∈、a Ma M六、集合相等两个集合所含元素完全相同A B=七、集合的分类1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集∅ 不含有任何元素的集合第二节：子集、全集、补集（一）子集一、定义（文字）A 中的任一元素都属于B（符号）B A ⊆（或)A B ⊇ （图形）B A 或A(B)（二）真子集一、定义（文字）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A （符号）A ≠⊂B （或B ≠⊃A ） （图形）B A注意空集是任何非空集合．．．．的真子集A ≠∅⊂（A 为非空子集）（三）补集一、定义 （文字）设U A ⊆，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集（符号）U A ð={|,}x x U x A ∈∉且 （图形）第二节：子集、全集、补集（一）交集一、定义（文字）由所有属于集合A 且．属于集合B 的元素构成的集合称为A 与B 的交集（符号）{|,x x A ∈且．}x B ∈（图形）BA（二）并集一、 定义（文字）由所有属于集合A 或者．．属于集合B 的元素构成的集合称为A 与B 的交集（符号）{|,x x A ∈或．}x B ∈（图形）1（三）区间设,a b 是两个实数，且a b <，规定闭区间 a x b ≤≤ [,]a b ；开区间 a x b << (,)a b ；半开半闭区间 （左闭右开）a x b ≤< [,)a b（左开右闭）a x b <≤ (,]a b,,,x a x a x b x b ≥>≤<[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．第二章：函数第一节：函数的概念一、定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →二、三要素：定义域、值域和对应法则三、相同函数：定义域相同，且对应法则也相同的两个函数四、函数定义域：1.()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． 2. ()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．3. 对数函数的真数大于零4. 对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零5. tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．6. 零（负）指数幂的底数不能为零．7. 若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．8. 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．9. 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．10. 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．五、求函数值域（最值）：1. 观察法：初等坐标函数2. 配方法：二次函数类3. 判别式法：二次函数类 2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥4. 不等式法：基本不等式5. 换元法：变量代换、三角代换6. 数形结合法：函数图象、几何方法7. 函数的单调性法．8. 分离常数法:反比例类六、函数的表示方法：● 解析法● 列表法● 图象法(不是所有函数都有图像)七、分段函数八、复合函数九、求函数解析式1. 配凑（换元)法2. 待定系数法:已知函数模型3. 方程组法:互为相反数、互为倒数第二节：函数的简单性质(一) 、单调性一、定义如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．注意1. 不在区间．．内谈单调增或单调减都无意义 2. 端点不计入区间3. 一般情况下单调区间不能并4. 单调区间≠区间单调二、证明1. 任取2. 作差3. 变形4. 定号5. 下结论三、证明1. 定义2. 初等坐标函数、已知函数3. 函数图象（某个区间图象）4. 复合函数：同増异减（二）、最值一、定义（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：① 对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤ ② 存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =． （2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数m 满足：① 对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥② 存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =． ● 注意:开区间无最值二、题型● 定函数动区间 ● 动函数定区间● 注意:抓住对称轴和区间的相对关系（二）、奇偶性 一、定义（1）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（2）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．二、证明1. 定义域f(x)的定义域．．．为—— 任意的 ⊆x —— 2. f(－x)与f(x) 3. 下结论正确——严格证明 错误——举出反例奇函数 偶函数 既奇又偶函数非奇非偶函数 两个反例 注意：1. 分段函数要分段讨论2. 0可单独讨论3. 若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f = 三、应用1. 定义（一般到一般）2. 代“0”（特殊到一般） 需检验四、奇偶性●若奇函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调增●若偶函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调减第三节：映射的概念一、定义设A、B是两个非空．．集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个．．的元素和它对应，．．．．元素，在集合B中都有唯一那么这样的对应叫做集合A到B的映射，记作:f A BB●注意可用树状图考虑第三章：指数函数、对数函数和幂函数第一节：指数函数（一）、根式一、定义如果,,,1nx a a R x R n=∈∈>，且n N+∈，那么x叫做a的n次方根➢当n是奇数时，a的n➢当n是偶数时，正数a的正的n负的n次方根用符号➢0的n次方根是0；负数a没有n次方根．根指数根式被开方数●当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a≥．二、性质：(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩n a=；当na=；当n为偶数时，．三、分数指数幂1. (0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈2. ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈3.()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈ （二）指数函数一、定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数二、图像与性质三、图像移动及解析式变化➢ 平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位➢ 伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸➢ 对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去四、指数型复合函数换元 取值范围、单调性同增异减初级坐标函数 值域、单调性五、指数函数的应用1. 审题 归纳2. 建模 注意定义域 “指数型函数”模型3. 求解（解模）4. 还原（结论——答） ● 注意1. 每一个步骤读一遍题2. 注意定义域、精确度第二节：对数函数（一）对数 一、定义如果a （．a ．＞．0．，．a ．≠．1．）．的b 次幂等于N 即a b=N那么就称b 是以a 为底N 的对数 记作log a N=b底数 真数．二、互化log x a x N a N a a N =⇔=>≠> x a x N a N a a N =⇔=>≠ (x a x N a N a a =⇔=>≠ x ax N a a N =⇔=>≠> (a x N N a a N ==>≠>对数 底数 真数 底数 指数 幂 根指数 被开方数 方根三、常用对数与自然对数➢ 常用对数：lg N ，即10log N ；➢ 自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．四、运算1. 加法：log log log ()a a a M N MN +=2. 减法：log log log a a a M M N N-=3. 数乘：log log ()n a a n M M n R =∈4. logaNa N =5. log log (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ 6. 换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且 （二）对数函数一、定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数二、图像与性质过定点（1，0）、（a，1）渐近线y轴三、题型1.比较大小①利用单调性②利用图像（真数相同）③利用中间值2.解不等式3.求值4.判断奇偶性第三节：幂函数一、定义函数y xα=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数一、图像与性质● 定义域：(0,)+∞一定有定义 ● 过定点：(1,1)． ● 单调性：[0,)+∞上➢ 0α>，过原点、(0,)+∞上为增函数． ➢ a=0，常函数➢ 0α<，(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ● 奇偶性：➢ 当α为奇数时，幂函数为奇函数， ➢ 当α为偶数时，幂函数为偶函数．➢ 当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，➢ 若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数， ➢ 若p 为偶数q 为奇数时，则qp y x =是非奇非偶函数． ● 图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，➢ 当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，➢ 当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．第四节：函数的应用（一）、零点一、定义对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点二、意义函数)(x f y =的零点 方程0)(=x f 实数根函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标 ● 注意 1. 零点不是点 2. 穿过零点，y y 值变号，穿过零点（图像连续不断．．．．．．） 三、求法1．（代数法） ① 证单调区间 ② 零点定理1．（几何法）交点（二）、零点定理 一、定义设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续．．，且f(a)× f(b)<0，那么在开区间（a,b ）内至少有函数f(x)的一个零点二、应用（二次函数的实根分布）已知二次函数 2()f x ax bx c =++（a ＞0）设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠（a ＞0）的两实根为12,x x ，①k ＜x 1≤x 2∆ ＞0k ＜2b x a=-f (k )＞0②x 1≤x 2＜k∆ ＞0k ＞2bx a=-f (k )＞0③x 1＜k ＜x 2f (k )＜0④k1＜x1≤x2＜k2∆＞0f(k1)＞0f(k2)＞0k1＜2bxa=-＜k2⑤k1＜x1＜k2f(k1)＞0f(k2)＜0。