2020届湖南师大附中高三第六次月考数学(理)试题

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2020届湖南师大附中高三第六次月考数学（理）试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题
1．设集合x
A {y |y 2,x R}==∈，
B {x |y x R}==∈，则A B (⋂= )
A ．{}1
B ．()0,∞+
C ．()0,1
D ．(]
0,1 答案：D
化简集合,A B ，根据交集的定义计算A B ⋂． 解：
因为集合{}
()|2,0,x
A y y x R ==∈=+∞，
化简{}
(]|1B x y x R ，
==∈=-∞， 所以(]
0,1A B ⋂=，故选D ． 点评：
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合．
2．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
答案：C
由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 解：
解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+=
===-+--+Q ，11
22
z i ∴=--， 对应点为11(,)22
--，在第三象限．
故选：C ． 点评：
本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．
3．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 答案：D 解：
选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强．C 选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大．D 选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.
4．已知函数()(1)()f x =x - a x+b 为偶函数且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f -x <的解集为（ ） A ．(2,4) B ．(,2)(4,)-∞⋃+∞ C ．(-1,1) D ．(,1)(1,)-∞-+∞U
答案：B
根据函数奇偶性的定义，求出a ，b 的关系，结合函数的单调性判断a 的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．
解：
∵f （x ）=（x-1）（ax+b ）=ax 2
+（b-a ）x-b 为偶函数， ∴f （-x ）=f （x ），
则ax 2-（b-a ）x-b=ax 2+（b-a ）x-b ， 即-（b-a ）=b-a ， 得b-a=0，得b=a ， 则f （x ）=ax 2
-a=a （x 2
-1）， 若f （x ）在（0，+∞）单调递减， 则a ＜0，
由f （3-x ）＜0得a[（3-x ）2
-1）]＜0，即（3-x ）2
-1＞0， 得x ＞4或x ＜2，
即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞）， 故选B ． 点评：
本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，b 的关系是解决本题的关键．
5．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A B C += B ．2B AC =
C ．()2
A B C B +-=
D ．()2
2
A B A B C +=+
答案：D
分析：由等比数列的性质，可知其第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，化简即可得结果. 详解：由等比数列的性质可知，
等比数列的第一个n 项和，第二个n 项和， 第三个n 项和仍然构成等比数列， 则有,,A B A C B --构成等比数列，
()()2
B A A
C B ∴-=-，即222B AB A AC AB -+=-，
()22A B A B C ∴+=+，故选D.
点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.
6．将函数2n 2)3(si f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐
标不变，再将所得图像向左平移
12
π
个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的
所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．24
x π
=-
B ．4
x π
=
C ．524
x π
=
D ．12
x π
=
答案：A
分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 再将所得图象向左平移12
π
个单位得到函数()g x 的图象，
即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫
=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
， 由24,32x k k Z ππ
π+
=+∈， 得1,424
x k k Z π
π=-
∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24
x π
=-
，故选A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2π
ω
；由2
x k π
ωϕπ+=+
可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对
称中心横坐标.
7．如图正方体1111ABCD A B C D -，点M 为线段1BB 的中点，现用一个过点,,M C D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）
A．B．
C．D．
答案：B
画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．
解：
上半部分的几何体如图：由此几何体可知，
所得的侧视图为
故选：B．
点评：
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
8．如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）
A．1
π
B．
1
2π
C．
11
42π
-D．11
2π
-
答案：D
先设出圆O 的半径，然后算出阴影部分的面积，再计算出圆O 的面积，最后利用几何概型公式求出概率. 解：
设圆O 的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S ,则
2112111424
S ππ-=⋅-⨯⨯=，圆O 的面积为224ππ⋅=，在圆O 内随机取一点，则
此点取自阴影部分的概率是P ，则82411442S P ππππ
-===-,故本题选D. 点评：
本题考查了几何概型，正确计算出阴影部分的面积是解题的关键，考查了数学运算能力.
9．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>与函数)0y x =≥的图象交于点P ，若函
数y =
P 处的切线过双曲线左焦点()4,0F -，则双曲线的离心率是
（ ）
A B C D 答案：D
设P 的坐标为(m ，用导数表示P 点处切线斜率，再由,P F 两点坐标表示斜率，由此可求得m ，即P 点坐标，写出左焦点坐标，由双曲线定义求得a ，从而可得离心率． 解：
解析：设P 的坐标为(m ，由左焦点()4,0F -，函数的导数'()
f x =
，
则在P 处的切线斜率'()
4k f m m ===+， 即42m m +=，得4m =
则()4,2P ，设右焦点为()4,0A ，
则)
22
1a PF PA =-=
=，即1a =，
4c =Q ∴双曲线的离心率14
c e a =
=
． 故选：D ． 点评：。