北师大九年级数学特殊的平行四边形证明题

1．如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD四边形的中点；（1）当满足条件四边形EFGH是矩形;（2）当满足条件四边形EFGH是菱形；（3）当满足条件四边形EFGH是正方形．

2已知，如图，四边形ABCD是菱形,∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H,在AB边上取点E，使得AE=AH,在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE．

（1)求证：四边形EFGH是矩形；

(2）当∠B为多少度时,四边形EFGH是正方形？并证明．

3如图，根据图形解答下列问题

(1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，证明四边形ADFE是平行四边形．

（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？

（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？

（4）△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是正方形？

4）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE、CD相交于点O,点F、G分别是OB、OC的中点．

（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；

（2)如果把Rt△ABC变为任意△ABC，如图（2）,通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立(不用证明）；

（3）在图（2)中,试想:如果拖动点A，通过你的观察和探究,在什么条件下四边形DFGE是矩形，并给出证明；

（4）在第（3）问中，试想：如果拖动点A,是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形(不用证明）．

5如图1，正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别交正方菜ABCD的边于E、F两点．

（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．

（2)若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD”改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB，其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．

6如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G,则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．

（1）如图②,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立;（请直接回答“成立”或“不成立"）

（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立,请写出证明过程;若不成立，请说明理由．

(3）如图④，在(2）的基础上，连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点,请先判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并写出证明过程．

7如图，E是矩形ABCD边BC的中点,P是AD边上一动点,PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F,H．(1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；(2）在（1)中，动点P运动到什么位置时,矩形PHEF变为正方形？为什么？

8）如图，在正方形纸片ABCD中,对角线AC，BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF．

(1)求∠AGD的度数;

（2）证明四边形AEFG是菱形；

9已知：如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD,BC的中点,E，F分别是线段BM,CM的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM;

(2）判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论；

（3）当AD：AB= ：时,四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．

10如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上，且PE=PB，PE交CD于点F，连接DE．

（1）请判断△PDE的形状，并给予证明；

（2）把正方形ABCD改为菱形,其它条件不变（如图②），若∠ABC=56°，求∠DPE的度数．

11．在综合实践活动课中，王老师出了这样一道题：

如图1，在矩形ABCD中，M是BC的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E,作MF∥BD交AC于点F．求证:四边形OEMF 是菱形．

做完题后,同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其它同学解答．

（1）小明同学说：“我把条件中的‘矩形ABCD'改为‘菱形ABCD’，如图2所示，发现四边形OEMF是矩形．"请给予证明；

（2）小芳同学说:“我把条件中的‘点M是BC的中点’改为‘点M是BC延长线上的一个动点’，发现点F落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系．”请你写出这个结论,并说明理由．

12在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．

（1)如图1,当点G在BC边上时，易证:PG=PC．(不必证明）

（2）如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明;

(3）如图3,当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

13(1)如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1,CN=3，求MN的长．

14已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱形.

14解:∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠DAE，