分枝定界法,割平面法_共51页
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整数规划算法
只要求出（LP3）和（LP4）的最优解即可。
⑵
先求（LP3）,如图所示。 此时D 在点取得最优解。
x2
A 3 B C
⑴
(18/11,40/11)
D ⑶
即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3,
Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8
但x1＝12/5不是整数，可继 续分枝。即 3≤x1≤2。
（三）、整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得倒的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此 枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续 分枝。
如此反复进行，直到得到Z＝Z*＝Z 为止，即得最优解 X* 。
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（IP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0且全为整数 解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（LP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0
⑵
先求（LP3）,如图所示。 此时D 在点取得最优解。
x2
A 3 B C
⑴
(18/11,40/11)
D ⑶
即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3,
Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8
但x1＝12/5不是整数，可继 续分枝。即 3≤x1≤2。
（三）、整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得倒的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此 枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续 分枝。
如此反复进行，直到得到Z＝Z*＝Z 为止，即得最优解 X* 。
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（IP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0且全为整数 解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（LP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0
第五章整数规划
第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1 求解下列整数规划问题211020m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96m ax ,0,8.421===z x x 。
用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z ；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。
现举例说明： 例2 求解A219040m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82,①② ③ ④ ⑤=0z 356（见下图）。
分支定界法和割平面法
分支定界法和割平面法在上学期课程中学习的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或消失，但现实中某些具体的问题，常要求最优解必须是整数，这样就有了对于整数规划的研究。
整数规划有以下几种分类：（1）如果整数规划中所有的变量都限制为（非负）整数，就称为纯整数规划或全整数规划；（2）如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划；（3）整数规划还有一种特殊情形是0-1规划，他的变量取值仅限于0或1。
本文就适用于纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法，做相应的介绍。
一、分支定界法在求解整数规划是，如果可行域是有界的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以定出最优解。
对于小型问题，变量数量很少，可行的整数组合数也是很小时，这个方法是可行的，也是有效的。
而对于大型的问题，可行的整数组合数很大时，这种方法就不可取了。
所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出最有的整数解。
分支定界法就是其中一个。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
在二十世纪六十年代初由Land Doig 和Dakin 等人提出。
由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化的整数规划问题A ，与它相应的线性规划为问题B ，从解问题B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优目标函数必是A 的最优目标函数z *的上界，记作z ；而A 的任意可行解的目标函数值将是z *的一个下界z 。
分枝定界法就是将B 的可行域分成子区域再求其最大值的方法。
逐步减小z 和增大z ，最终求到z *。
现用下例来说明：例1 求解下述整数规划 219040Maxx x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+且为整数0,702075679212121x x x x x x解 （1）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B ，得最优解为：124.81, 1.82,356x x z ===可见它不符合整数条件。
求解整数规划常用的方法有分枝定界法和割平面法
2
寻找割平面方程
（1）由单纯形最终表得到决策变量非整数解方程，设 1 x1 ai k xk bi 为
k
其中bi是基变量的非整数解。 （2）将aik和bi分解为整数N和正真分数f 两部分之和
a ik N ik f ik , bi N ni f bi
2
将（2）代入(1)中,然后将整数置于方程左边，分 数置于方程右变，即
xi
N
k
ik x k
N bi f bi
f
k
ik xk
0
(3)得割平面方程
f bi
f
k
ik x k
0
3
整数线性规划模型的求解——分枝定界法
基本思想 通过分枝枚举来寻找最优解。首先不考虑对变 量的整数要求，求解相应的线性规划模型，如求得 最优解不符合整数要求，则把原模型分解为两部分， 每一部分都增加新的约束条件以减少相应线性规划 模型的可行域。通过不断分解，逐步逼近满足要求 的整数最优解，在这个过程中包括了“分枝”和 “定界”两个关键步骤。
1 1 1 0
利用这一性质，可以使原系数矩阵(cij)变换成含有
很多0元素的新系数矩阵
11 c ij ，而最优解保持不变。
匈牙利法是针对目标要求极小化问题提出的 基本原理：为了实现目标极小，在系数矩阵 元素cij≥0条件下，如果能使矩阵具有一组处于 不同行不同列的零元素cij’＝0，画上圈符号 “◎”，表示对应该元素的决策变量xij=1，未画 圈元素对应的决策变量xij＝0，那么目标的数值 z’＝0为最小，这样的组合解x就是最优解。所以 匈牙利法又称画圈法。 画圈法的关键是如何实现系数矩阵具有一组 处于不同行又不同列的0元素（独立零），并保 证所画的圈的个数等于矩阵的阶数。
寻找割平面方程
（1）由单纯形最终表得到决策变量非整数解方程，设 1 x1 ai k xk bi 为
k
其中bi是基变量的非整数解。 （2）将aik和bi分解为整数N和正真分数f 两部分之和
a ik N ik f ik , bi N ni f bi
2
将（2）代入(1)中,然后将整数置于方程左边，分 数置于方程右变，即
xi
N
k
ik x k
N bi f bi
f
k
ik xk
0
(3)得割平面方程
f bi
f
k
ik x k
0
3
整数线性规划模型的求解——分枝定界法
基本思想 通过分枝枚举来寻找最优解。首先不考虑对变 量的整数要求，求解相应的线性规划模型，如求得 最优解不符合整数要求，则把原模型分解为两部分， 每一部分都增加新的约束条件以减少相应线性规划 模型的可行域。通过不断分解，逐步逼近满足要求 的整数最优解，在这个过程中包括了“分枝”和 “定界”两个关键步骤。
1 1 1 0
利用这一性质，可以使原系数矩阵(cij)变换成含有
很多0元素的新系数矩阵
11 c ij ，而最优解保持不变。
匈牙利法是针对目标要求极小化问题提出的 基本原理：为了实现目标极小，在系数矩阵 元素cij≥0条件下，如果能使矩阵具有一组处于 不同行不同列的零元素cij’＝0，画上圈符号 “◎”，表示对应该元素的决策变量xij=1，未画 圈元素对应的决策变量xij＝0，那么目标的数值 z’＝0为最小，这样的组合解x就是最优解。所以 匈牙利法又称画圈法。 画圈法的关键是如何实现系数矩阵具有一组 处于不同行又不同列的0元素（独立零），并保 证所画的圈的个数等于矩阵的阶数。
整数规划 割平面法 分枝定界法
割平面法的关键在于如何确定切割方程，使之能对可行域进行 真正的切割，而且切去部分不含有整数解点。
下面讨论切割方程的求法。 设与整数规划相对应的线性规划最优解中基变量XBi=（B-1b)i不 是整数，将最优单纯形表中该基变量对应的行还原成约束方程，即 XBi +ΣaijXj=（B-1b)i ⑴ 将（B-1b)i，aij都分解成整数与非负真分数之和的形式，即 （B-1b)i=Ni+fi 其中0＜ fi ＜1 ⑵ aij=Nij+fij 其中0≤ fij ＜1 ⑶ 这里Ni、Nij是整数，将⑵、 ⑶代入⑴，得 XBi +Σ（Nij+fij）Xj=Ni+fi 即 XBi +ΣNijXj-Ni=fi-ΣfijXj ⑷ 当诸Xi都是整数时， ⑷式左端是整数，所以右端亦应是整数，但右 端是两个正数之差，且∵0＜ fi ＜1，∴ fi-ΣfijXj是小于1的整数，从
9x1+ 7x2=56 Z=40x1+90x2 D1
4
7x1+20x2=70
D2
6
10
x1
求解线性规划L1、L2 得最优解为： 问题L1： L+ x1≤4 x1=4.00 x2=2.10 Z1=349 问题L2： L+ x1≥5 x1=5.00 x2=1.57 Z2=341
因为没有得到整数解，所以继续对L1进行分解，增加约束： x2≤2，x2≥3将L1分解成问题L3与L4，并求得最优解如下： 问题L3： L1+ x2≤2 问题L4：L1+x2≥3
例2 求解下面整数规划
x2 8
maxZ=40x1+90x2 ⑴ 9x1+ 7x2≤56 ⑵ 7x1+20x2≤70 ⑶ 4 x1,x2≥0 ⑷ x1,x2 整数 ⑸ 解：先不考虑条件⑸，求解相 0 应的线性规划问题L，得最优解 x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个 非整数变量，如x1=4.81，对问题 L分别增加约束条件： x1≤4，x1≥5 将问题L分解为两个子问题L1，L2 （分枝），也就是去掉问题L不含 整数解的一部分可行域，将原可 行域D变为D1、D2两部分（如图）。
分枝定界法
第8页/共34页
束——缩小可行域;将原整数规划问题分枝——分为两个子 规划,再解子规划的伴随规划……通过求解一系列子规划的 伴随规划及不断地定界 .最后得到原整数规划问题的整数最 优解 . 下面结合一个极大化例题来介绍分枝定界法的主要思路 .
例2 某公司计划建筑两种类型的宿舍.甲种每幢占地0.25 ×103m2, 乙种每幢地0.4×103m2.该公司拥有土地3×103m2. 计划甲种宿舍不超过 8 幢,乙种宿舍不超过4幢.甲种宿舍每 幢利润为10万元，乙种宿舍利润为每幢20万元.问该公司应
x2 3 x1, x2 0
问题 B4
max f 20 x1 10 x2
5x1 8x2 60
x1 8
s.t
x2 4 x1 6
x2 4 x1, x2 0
它们的可行域分别为 K3, K4 ( ). 见图3。
第21页/共34页
x2
因为 K4 ，问题 B4
4
无可行解，此问题已
3
作出问题 A1, 的A2伴随规划 B则1, 问B2题, 的可B1行, B2, 域为 K1, K见2图, 2(b). 以下我们将由同一问题分解出的两
个分枝问题称为"一对分枝".
第15页/共34页
x2
4
x2
3
2 1
O
246
8 x1
O
12 4
6
8
x1
(a)
(b)
图2 ( a )
4. 分别求解一对分枝
在一般情况下,对某个分枝问题(伴随规划)求解时,可能出现 以下几种可能:
x1, x2 0, 整数
（1）
第3页/共34页
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
束——缩小可行域;将原整数规划问题分枝——分为两个子 规划,再解子规划的伴随规划……通过求解一系列子规划的 伴随规划及不断地定界 .最后得到原整数规划问题的整数最 优解 . 下面结合一个极大化例题来介绍分枝定界法的主要思路 .
例2 某公司计划建筑两种类型的宿舍.甲种每幢占地0.25 ×103m2, 乙种每幢地0.4×103m2.该公司拥有土地3×103m2. 计划甲种宿舍不超过 8 幢,乙种宿舍不超过4幢.甲种宿舍每 幢利润为10万元，乙种宿舍利润为每幢20万元.问该公司应
x2 3 x1, x2 0
问题 B4
max f 20 x1 10 x2
5x1 8x2 60
x1 8
s.t
x2 4 x1 6
x2 4 x1, x2 0
它们的可行域分别为 K3, K4 ( ). 见图3。
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x2
因为 K4 ，问题 B4
4
无可行解，此问题已
3
作出问题 A1, 的A2伴随规划 B则1, 问B2题, 的可B1行, B2, 域为 K1, K见2图, 2(b). 以下我们将由同一问题分解出的两
个分枝问题称为"一对分枝".
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x2
4
x2
3
2 1
O
246
8 x1
O
12 4
6
8
x1
(a)
(b)
图2 ( a )
4. 分别求解一对分枝
在一般情况下,对某个分枝问题(伴随规划)求解时,可能出现 以下几种可能:
x1, x2 0, 整数
（1）
第3页/共34页
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
4.3-分枝定界法和割平面法
剪枝 x 3 再分枝： 2
不是问题A解 而z (12 ) z
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z (1) 349 z
z (12 ) 327
4
x2 2
B11 : x1 4.00 x2 2.00 z (11) 340
定界： z 340 z 341
z 340 z 341
分支定界的全过程： B2 : x1 5.00 B1 : x1 4.0 0
x 2 2 .1 0
x2 1.57
x2 2
z
(1)
B11 : x1 4.00 x2 2.00 z
(11)
xx 34 2 最优解： 1
3 49
z ( 2 ) 341
（3）求解
点
求解过程如表4－6所示。
过滤条件 约束 ④ × √ √ √ 4x1＋3x2＋2x3≥5 × √ × √ √ √ √ × √ √ 5 √ 2 ① ② ③ z值
4x1＋3x2＋2x3≥2
（0，0，0）T （0，0，1）T （0，1，0）T （0，1，1）T （1，0，0）T （1，0，1）T
§4 分枝定界法
第二步:定界
记A的目标函数最优值为z*,以z(0)作为z* 的上界,记为 z =z(0).再用观察法找的一个整数可 行解X′,并以其相应的目标函数值z′作为z*的下 界,记为z＝z′,也可以令z＝－∞,则有: *
zz z
§3 分枝定界法
第三步:分枝
在以上界 z 所对应的解 X (b1,, br ,, bm ,0,,0)T 中,任选一个不符合整数条件的变量,例如 br(不 为整数),以 [br ]表示不超过 br 的最大整数.构造 两个约束条件
分枝定界法
§3 分枝定界法 （2）
x2 10 1)不受整数限制，作为 9 8 普通线性规划求解，可 得出最优解为：x1=10/3， 7 6 x2=4/3，z=26/3（ 见 图 5 2-1）。 4 3 该解示如图2-4中的节 2 点①。 1
[解]
2x1+x2=8 最优解 x1+2x2=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图2-1 x1
x1+2x2≥6
x1≤3 x2≥2 x1≥0，全取整。 其图解法见图2-5，最优解为x1=2，x2=2，z=10。
§3 分枝定界法 （9）
x1≤3 1 z =26/3 x1=10/3 x1≥4 x2=4/3 图2-4
2
z =9 x1=3 x2=3/2 3 不可行
x2
8 7 6 5 4 3 x2=2
目标函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 图2-5
§3 分枝定界法 （10）
从对求解[例2-5]的过程，可归纳出求解整数规划的分枝 定界法有下述特点： (i) 既可求解全整数规划，亦可求解混合整数规划。 (ii)求解每个子集的最优整数解，都是首先放弃整数约束， 用线性规划解法求出无约束时的最优解，此时的目标函 数值即为该子集所有可行解的目标下界（对于求极小值 的规划而言）。
§3 分枝定界法 （3）
2）因为x1、x2当前均为非整数，故不满足整数要求，任 选1个进取分枝。设选x1进行分枝，把可行集分成2个子 集： x1≤[10/3]=3及x1≥[10/3]+1=4 3)x1≤3时 目标函数 min z=x1+4x2 约束条件 2x1+x2≤8
x1+2x2≥6
x1≤3 x1，x2≥0且为整数。
(iii)如果子集的非整数最优解的下界超过迄今已得到的最 好可行整数解目标值，或者子集无解，则这个子集将被 剪掉，又称剪枝。
算法讲稿5分枝定界法
Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结 点
15
四、构造最优解
为了在算法结束后能方便 地构造出与最优值相应的 最优解，算法必须存储相 应子集树中从活结点到根 结点的路径。为此目的， 可在每个结点处设置指向 其父结点的指针，并设置 左、右儿子标志。
找到最优值后，可以根据 parent回溯到根节点，找到 最优解。
for (int i = 0; i <= n+1; i++) grid[i][0] = grid[i][m+1] = 1; // 左翼和右翼
for (int i = 0; i < NumOfNbrs; i++) {
}
}
11
6.3 装载问题
一、问题描述 二、队列式分支限界法 三、算法的改进 四、构造最优解 五、优先队列式分支限界法
12
一、问题描述
有 的一轮批船共，个其集 中装 集箱 装要 箱装i的上重2量艘为载w重i，量且分∑别wi为≤CC1+1和C2 C2 装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将
优先队列式分支限界法：
[A] B, C => B(45), C(0) [B, C] D, E => E(45) [E, C] J, K => K(45) [1, 0, 0] [C] F, G => F(25), G(0) [F, G] L, M => L(50), [0, 1, 1] M(25) [G] N, O => N(25), O(0)
在优先队列式分支限界法中，一旦有一个叶结 点成为当前扩展结点，则可以断言该叶结点所 相应的解即为最优解。此时可终止算法。
17
6.4 布线问题
运筹学_分支定界法课件
m ax Z x1 5 x2
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
( IP 1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
1
x 1 , x 2 0 且 为 整 数
x1 x2 2
( IP
2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x 1 , x 2 0 且 为 整 数
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
x1
x1 5x2 Z
运筹学_分支定界法
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
x2
即Z 也是（IP）最大值的上限。
m ax Z x1 5 x2
3
x1 x2 2
5
x1 x1
6
x2
30 4
x 1 , x 2 0
⑵ 5x16x2 30 ⑴ x1 x2 2
＃
运筹学_分支定界法
例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
5
x1
6
x2
30
x1
4
x 1 , x 2 0 且 全 为 整 数
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
5
x1 x1
6
x2
30 4
3
x1
1
x 1 , x 2 0 且 为 整 数
1
⑵ 5x16x2 30 ⑴ x1 x2 2
A
⑶ x1 4
1
组合优化中的割平面法高效实现方案
组合优化中的割平面法高效实现方案组合优化问题是在给定一组约束条件下，寻找最优解或者近似最优解的问题。
割平面法（Cutting Plane Method）是一种常用的解决组合优化问题的方法。
本文将介绍割平面法的基本原理，并提出一种高效实现方案。
一、割平面法基本原理割平面法是一种分步优化策略，通过逐步增加割平面约束来逼近求解组合优化问题的最优解。
其基本思想是在每一步迭代中，利用已经得到的可行解，构造一个新的割平面约束，将问题的可行域进一步缩小，从而得到更加接近最优解的解。
割平面法的核心是如何构造有效的割平面约束。
常用的割平面约束包括线性不等式约束、支撑平面约束和锥形约束等。
这些约束可以通过问题的特定结构和性质进行构造，从而提高算法的效率和收敛速度。
二、高效实现方案为了提高割平面法的实现效率，以下是一种高效的实现方案：1. 初始解的选择割平面法需要一个初始解作为起点。
可以利用问题的特点或者其他启发式算法得到一个较好的初始解。
这有助于缩小求解空间，提高算法的收敛速度。
2. 割平面约束的选择在每一步迭代中，需要选择合适的割平面约束来进一步缩小可行域。
可以利用启发式方法或者问题的特性来选择约束。
例如，可以选择与当前可行解相对应的割平面约束，或者选择与目标函数线性化程度较高的割平面约束。
3. 割平面约束的有效性检验在选择割平面约束后，需要验证该约束是否有效。
一般可以通过求解一个子问题来判断约束是否能够把当前可行域进一步缩小。
如果约束是无效的，则需要重新选择割平面约束。
4. 割平面约束的添加与求解一旦确定了有效的割平面约束，需要将其添加到问题的约束集合中，并重新求解问题。
可以使用线性规划等方法来求解问题，得到一个新的可行解。
然后，再次选择合适的割平面约束，并进行有效性检验，直到满足终止条件。
5. 收敛判据与终止条件割平面法通常需要设置终止条件以避免无限循环。
可以通过设置最大迭代次数、目标函数改进的阈值或者目标函数值的变化率来判断算法是否收敛。
4-3 分枝定界法
B
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP1 : x1 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 max Z = 4 x1 + 3x2
LP1
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
LP2
C o 3 4 10
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP2 : x1 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0
5
x2 A
1.2x1 + 0.8x2 = 10
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B
10
2x1 + 2.5x2 = 25
o
C 8.33
10
6
x1
x2 ① ② 10 A
增加约束x1 ≤ 3及x1 ≥ 4得到两个线性规划
max Z = 4x1 + 3x2
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
4
【例1】用分枝定界法求解 】
max Z = 4 x 1 + 3 x 2 1 . 2 x 1 + 0 . 8 x 2 ≤ 10 2 x 1 + 2 . 5 x 2 ≤ 25 x , x ≥ 0 , 且均取整数 1 2
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）： 先求对应的松弛问题（记为 ）：
第四章 整数规划
4.1 整数规划数学模型和解的特点 4.2 分配问题 4.3 分枝定界法 4.4 割平面法 4.5 应用举例
1
4.3 分支定界法
分支定界法
2
原理： 原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规 首先，不考虑变量的整数约束， 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解， 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则 这个解就是整数规划的最优解。 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 把线性规划的可行域切割成两部分， 把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性 规划的最优解。 规划的最优解。 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解， 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支” 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 过程得到的整数解中， 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“ 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解， 线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个 就停止继续分支。这个过程，叫做“定界” “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。
分枝定界法,割平面法
( 2 8)
割平面法的思想：
割平面法也是通过解伴随规划的方法来解整数规划的.如果 伴随规划的最优解不是整数解,则增加线性约束(割平面),切 掉可行域中不含整数解的部分域,在新的约束条件下再解伴随 规划.不断重复这个过程,直到伴随规划的最优解是整数解为止. 经过割平面对可行域的不断切割,最优整数解最终成为新可行 域的顶点.
第三章 整数规划
3.1 整数规划数学模型 3.2 分枝定界法 3.3 割平面法 3.4 分配问题 3.5 0-1整数规划
第一节 整数规划的数学模型 例： 某工厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每 箱的体积、重量、可获得的利润以及托运限 制如下表：
货物
甲 乙 托运限制
体积 重量 利润 5 20 200 4 50 100 240 1300
x2
S3
6
Z 4
Z
0
max Z x1 x2
9 51 x1 x2 14 14
x1 2或x1 3
max Z x1 x2
s .t .
1
2
3 S7
x1
14
x1
( 2 6)
9 51 x2 14 14
1 2 x1 x2 3 x1 2 0 x2 2
第二节 分枝定界法 例3-1 max Z x x 1 2
s .t .
max Z x1 x2
s .t .
x1
9 51 x2 14 14
伴随规划
x1
9 51 x2 14 14
1 ( 2 1) 2 x1 x 2 3 x1 , x2 0, 整数
1 ( 2 1) 2 x1 x 2 3 x1 , x2 0
整数规划问题的求解
Page 11
以上的求解过程可以 用一个树形图表示如 右：
＃
x2≤3
x2≥4
LP22 无可 行解 x1≥3 LP212 x1=3, x2=5/2 Z(212) ＝－15.5 ＃ ＃
x1≤2
LP21 x1=12/5, x2=3 Z(21) ＝－17.4
LP211 x1=2, x2=3 Z(211) ＝－17 ＃
整数规划问题的求解
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法
Page 1
匈牙利法（指派问题）
分支定界法
分支定界法的解题步骤：
Page 2
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下 一步； 2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0
LP
分支定界法
用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。
x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8) 即Z 也是IP最小值的下限。 对于x1＝18/11≈1.64，
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 21 : x1 4，x 2 6 x1 , x 2 0
第15章 分枝定界法
应用
（2）改进 可通过使用定界函数来改进上述问题的求解过程， 即只有当右孩子对应的重量加上剩余货箱的重量超出 当前最优解时才选择右孩子，如以下程序所示。
如果查找的是具有最小耗费的解，则活结点表可 用最小堆来建立，下一个扩展结点就是具有最小耗 费的活结点；如果查找的是具有最大收益的解，则 可用最大堆来构造活结点表，下一个扩展结点便是 具有最大收益的活结点。
例15-1
下面分别用FIFO分枝定界法和最大收益分枝定界方法解决 例14-1的背包问题并进行比较，即n = 3，w = [20, 15, 15]， p = [40, 25, 25]，c = 30，它们的解空间也与上一章例的解空 间相同。 ① FIFO分枝定界利用一个队列来记录活结点，结点按照 FIFO 顺序从队列中取出。在该方法的搜索过程中，初始以根结点 A 作为扩展结点，活结点队列为空，对A进行扩展时，生成结点B 和 C ，由于这两个结点都是可行的，因此都被加入活结点队列 中，结点A被删除。 下一个扩展结点 B，产生结点 D和 E ，由于 D是不可行的，因此 被删除，而E被加入队列中。下一步选择结点C为扩展结点，生 成结点F和G，两者都是可行结点，加入队列中。下一个扩展结 点E生成结点J和K，J不可行而被删除，K是一个可行的叶结点， 并产生一个到目前为止可行的解，它的收益值为40。
回溯法比分枝定界法占用更少的内存空间，回溯法占用的内 存是O(解空间的最大路径长度 )，而分枝定界所占用的内存为 O(解空间大小 )。对于一个子集空间，回溯法需要O(n)的内存 空间，而分枝定界则需要 O(2n)的空间。对于排列空间，回溯 需要O(n)的内存空间，分枝定界需要 O(n!)的空间。虽然最大 收益（或最小耗费）分枝定界法在许多情况下可能会比回溯法 检查更少的结点，但在实际应用中，它可能在回溯法超出允许 的时间限制之前就超出了内存的限制。
割平面法
运 筹 学
第四章 整数规划
§3 割平面法
割平面法是1958年美国学者R.E.Gomory提出的求解纯整数规 纯 划的一种比较简便的方法，其基本思想是：先不考虑变量的整数限 制求解线性规划，如果得到的解不是整数解，则不断增加适当的约 束，割掉原可行域不含整数解的一部分，最终得到一个具有若干整 数顶点的可行域，而这些顶点中恰有一个顶点是原问题的整数解。 割平面法的基本步骤： 步骤1 不考虑变量的整数限制，求解相应的线性规划问题，如 果该问题无解，或最优解已是整数解，则停止计算，否则转下一步。 步骤2 对上述线性规划的可行域进行“切割”，去掉不含整数 解的一部分可行域，即增加适当的线性约束，然后转步骤1。
C CB 0 0 XB X3 X4 B-1b 1 4 0
1 X1 -1 3 1
1 X2 1 1 1
0 X3 1 0 0
0 X4 0 1 0
σ … …
1 1 X1 X2
…
3/4 7/4
…
1 0 0
…
0 1 0
…
-1/4 3/4 -1/2
…
1/4 1/4 -1/2
σ
表中x1=3/4，不是整数，将表中第一行还原成方程，即 x1-1/4x3+1/4x4=3/4 因为3/4=0+3/4，-1/4=-1+3/4，1/4=0+1/4 所以有 x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4 因而有切割方程： 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4 即 3x3+x4 ≥3 引入松弛变量x5，得方程 -3x3-x4+x5=-3 将新约束方程加到原最优表下面（切割），求得新的最优解如下 ：
C CB 1 1 0 XB X1 X2 X5 B-1b 3/4 7/4 -3
第四章 整数规划
§3 割平面法
割平面法是1958年美国学者R.E.Gomory提出的求解纯整数规 纯 划的一种比较简便的方法，其基本思想是：先不考虑变量的整数限 制求解线性规划，如果得到的解不是整数解，则不断增加适当的约 束，割掉原可行域不含整数解的一部分，最终得到一个具有若干整 数顶点的可行域，而这些顶点中恰有一个顶点是原问题的整数解。 割平面法的基本步骤： 步骤1 不考虑变量的整数限制，求解相应的线性规划问题，如 果该问题无解，或最优解已是整数解，则停止计算，否则转下一步。 步骤2 对上述线性规划的可行域进行“切割”，去掉不含整数 解的一部分可行域，即增加适当的线性约束，然后转步骤1。
C CB 0 0 XB X3 X4 B-1b 1 4 0
1 X1 -1 3 1
1 X2 1 1 1
0 X3 1 0 0
0 X4 0 1 0
σ … …
1 1 X1 X2
…
3/4 7/4
…
1 0 0
…
0 1 0
…
-1/4 3/4 -1/2
…
1/4 1/4 -1/2
σ
表中x1=3/4，不是整数，将表中第一行还原成方程，即 x1-1/4x3+1/4x4=3/4 因为3/4=0+3/4，-1/4=-1+3/4，1/4=0+1/4 所以有 x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4 因而有切割方程： 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4 即 3x3+x4 ≥3 引入松弛变量x5，得方程 -3x3-x4+x5=-3 将新约束方程加到原最优表下面（切割），求得新的最优解如下 ：
C CB 1 1 0 XB X1 X2 X5 B-1b 3/4 7/4 -3
整数规划问题(割平面-分枝定界算例)
x1 3.25;
x2 2.5
分枝定界法思路
第二步：分枝与定界 在x1=3.25；x2=2.5 中，任选一变量的解X2=2.5 ， 可将其分为 x2≤2；x2≥3（去掉小数部分），则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x1 , x2 0
(3.5, 2); z 14.5
X1可分为x1≤3；x1≥4，则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 3 1 x1 , x2 0 (3, 2); z 13
逻辑变量在建立数学模型中的作用
y1 y2 ... ym
中m-k不起作用
（2）割平面法思路
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 且取整数 1 2
第一步：将约束条件决策变量的系数化为整数，用单纯形法求 解出最终单纯形表 找一个分数部
（3）分支定界法
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0束，求解。
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 1 2
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 4 1 x1 , x2 0
(4, 1);
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6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
分枝定界法,割平面法_
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。