割平面法

《线性规划》课程设计题目：割平面法及其数值实现院系：数理科学与工程学院应用数学系专业：数学与应用数学姓名学号：*** 1********* 1********* 1********* 1******指导教师：***日期：2015 年 6 月11 日整数规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。

整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系，如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。

所以要想掌握生活中这些解决问题的方法，研究整数规划是必然的路径。

用于解决整数规划的方法主要有割平面法，分支定界法，小规模0-1规划问题的解法，指派问题和匈牙利法。

本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。

割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。

然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底，直到求解出最有整数解。

关键词：最优化；整数规划；割平面法；数值实现；最优解；Matlab软件。

AbstractThe integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming.Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved.Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software.第一章问题描述 (2)1.1 整数规划问题概述 (2)1.2 整数规划的基本定理 (2)第二章求解整数规划问题的割平面法 (3)2.1 基本思想 (3)2.2 算法步骤 (3)2.3 算法流程图 (5)第三章数值实验 (6)3.1算例 (6)3.2 数值实现 (7)总结 (8)参考文献……………………………………………………………………………附录…………………………………………………………………………………第一章 问题描述1.1 整数规划问题概述规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划简称为IP 问题。

依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1 整数规划。

自1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后，整数规划开始形成独立分支，30多年来发展出很多方法解决各种问题。

解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。

对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。

通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。

随即,再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。

其一般数学模型为：∑==nj jj x c Z Z 1)max (min 或()()⎪⎩⎪⎨⎧=≥==∑=且部分或全为整数n j x m i b x a j nj i j ij ...2,10,...2,111.2整数规划问题的基本定理对整数规划问题：（IP ）CX z =max （LP ）CX z =max （IP 问题的松弛问题）⎪⎩⎪⎨⎧≥=为整数jx X bAX t s 0.⇒ ⎩⎨⎧≥=0.X b AX t s (1)IP 的可行解域⊂松弛问题LP 的可行解域⇒若松弛问题LP 无可行解，则IP 问题无可行解。

(2)IP 的最优值≤松弛问题LP 的最优值⇒松弛问题LP 的最优值是原整数规划IP 的目标函数值的上界。

(3)若松弛问题LP 可以找到一个整数解X ，则X 的目标函数值为IP 最优值的下界。

(4) 若松弛问题LP 的最优解*X 为整数解，则*X 也是IP 问题的最优解。

第二章 求解整数规划问题的割平面法2.1基本思想先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。

如果所得到的最优解不满足整数约束条件。

则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。

这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解（包括与已得到的非整数最优解）。

而把所有的整数解都保留下来，故新称增加的约束条件为割平面。

当经过多次切割后，就会使保留下来的可行域上有一个坐标为整数的顶点，它恰好就是所求的问题的整数最优解，即所切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。

割平面法的关键在于如何寻找适当的切割约束条件（即构造一个割平面），且保证切掉的部分不含有整数解。

由于用割平面法求解IP 问题常常会遇到收敛很慢的情况。

所以用它来求解IP 问题的仍然不多，但在理论上是重要的。

2.2 算法步骤（1）用单纯形法求解( IP )对应的松弛问题( LP )：①若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止计算。

②若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。

③若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转入下一步。

（2）从(LP)的最优解中，任选一个不为整数的分量x i ,,将最优单纯形表中该行的系数'ij a 和'i b 分解为整数部分和非负真分数（纯小数）部分之和，并以该行为源行，按下式作割平面方程：∑=≥Nj j ij ijij f x f(其中ij f 是'ij a 的小数部分，i f 是'i b 的小数部分）求割平面方程的一般化描述如下：①设i B x 是伴随规划单纯形表上第i 行约束方程所对应的基变量，其取值为非整数，则其约束方程式为：''i J j jijB b xa x Ni =+∑∈其中N J 为非基变量的下标集。

'',i ij b a 分别为第i 个约束中非基变量j x 的当前系数及第i 个约束的右端项的当前值。

②将'',i ij b a 拆分。

记[][],,''''iiiN ij ij ij f b b J j f a a +=∈+=式中[][]'',iijb a 分别表示不超过'',i ij b a 的最大整数，而10,10<≤<≤i ij f f于是，讲 中的两式代入约束方程式，得[][]i J j i j ijjJ j ijB f b x fx a x NNi +=++∑∑∈∈''或[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=∑∑∈∈N i N J j j ij B i i J j j ij x a x b f x f '' 由于 ∑∈<≤≥N J j i j ij f x f 10,0，及 [][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∑∈ij J j ij B ix a x b N i ''为大于等于0的整数。

因此有i J j j ijf x fN≥∑∈ 或 i J j j ijf x fN-≤-∑∈再加松弛变量s x ，化为等式：i s J j j ijf x x fN-=+-∑∈此即割平面方程的最基本的形式。

（3）将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单纯形表中（同时增加一个单位列向量），用对偶单纯形法求出新的最优解，返回1。

2.3 算法流程图第三章 数值实验3.1 算例用割平面法求解数规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=且为整数0,205462max 21212121x x x x x x x x Z 解：将该问题化为最小化问题（由于我编写的程序用于求解最小化问题，故需要将最大化问题转化为最小化问题）：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+--=-=且为整数0,205462min 21212121x x x x x x x x Z w 增加松弛变量3x 和4x ，得到(LP)的初始单纯形表和最优单纯形表：初始表:最优表:在松弛问题最优解中，1x , 2x 均为非整数解，由上表有： 取割平面：32313143≥+x x 引入松弛变量s 1 后得到下式，将此约束条件加到上表中，继续求解。