割平面法

《线性规划》课程设计

题目：割平面法及其数值实现

院系：数理科学与工程学院应用数学系

专业：数学与应用数学

姓名学号：*** 1******

*** 1******

*** 1******

*** 1******

指导教师：***

日期：2015 年 6 月11 日

整数规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系，如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。所以要想掌握生活中这些解决问题的方法，研究整数规划是必然的路径。用于解决整数规划的方法主要有割平面法，分支定界法，小规模0-1规划问题的解法，指派问题和匈牙利法。本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。

割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底，直到求解出最有整数解。

关键词：最优化；整数规划；割平面法；数值实现；最优解；Matlab软件。

Abstract

The integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming.

Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved.

Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software.

第一章问题描述 (2)

1.1 整数规划问题概述 (2)

1.2 整数规划的基本定理 (2)

第二章求解整数规划问题的割平面法 (3)

2.1 基本思想 (3)

2.2 算法步骤 (3)

2.3 算法流程图 (5)

第三章数值实验 (6)

3.1算例 (6)

3.2 数值实现 (7)

总结 (8)

参考文献……………………………………………………………………………附录…………………………………………………………………………………

第一章 问题描述

1.1 整数规划问题概述

规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划简称为IP 问题。依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1 整数规划。

自1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后，整数规划开始形成独立分支，30多年来发展出很多方法解决各种问题。解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。随即,再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。 其一般数学模型为：

∑==n

j j

j x c Z Z 1

)max (min 或

()()⎪⎩

⎪⎨⎧

=≥==∑=且部分或全为整数n j x m i b x a j n

j i j ij ...2,10,...2,11

1.2整数规划问题的基本定理

对整数规划问题：

（IP ）CX z =max （LP ）CX z =max （IP 问题的松弛问题）

⎪⎩⎪

⎨⎧≥=为整数

j

x X b

AX t s 0.⇒ ⎩⎨⎧≥=0.X b AX t s (1)IP 的可行解域⊂松弛问题LP 的可行解域⇒若松弛问题LP 无可行解，则IP 问题无可行解。

(2)IP 的最优值≤松弛问题LP 的最优值⇒松弛问题LP 的最优值是原整数规划IP 的目标函数值的上界。

(3)若松弛问题LP 可以找到一个整数解X ，则X 的目标函数值为IP 最优值的下界。

(4) 若松弛问题LP 的最优解*X 为整数解，则*X 也是IP 问题的最优解。