运筹学3.2 割平面算法

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割平面法

31/7=4+3/7 于是，（1）式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7
⑵
将所有整数项放在等式的左边，非整数值项放在右边，得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7
⑶
⑶式左边是一个整数值，右边是一个小于１的数。由于是等式，所以，右边应该是一个小于或等于０的整数值，即
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中，设 b的分量bko不是整数，将其分成整数与非负分数之和，即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数， fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基变量xj的系数分成整数与非负分数两部分：
ako , j Nko , j fko , j
１、求出松弛问题的最优解，若全部变量为整数解，停止计算；否则转２。
２、构造割平面方程 •构造方法割平面约束具备两个性质： ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束，从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束，从而保证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所形成的、新的线性规划问题的可行域中。我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束的思路。
第二节解纯整数规划的割平面法
一、割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想：在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束（称 Gomory约束或割平面），使问题的可行域逐步缩小，所割去的区域仅包含问题的部分非整数解；当规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶点时，算法结束。 •求解步骤

割平面法-经典

解纯整数规划的割平面法
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题. 其基本的步骤是: (1) 把约束条件中所有的系数整数化; (2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
1 3 x3 x4 0 4 4 4 3 即 3x 3 x 4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所得等
式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的松驰问题.
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 x4 1 4
k k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
f i - f ik x k 0
k
上式即为所要求的切割方程割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
3x 3 x 4 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最优单纯
形表之中,得 cj 1 1 0 0 0
CB
1
XB
b
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4 x5
1/4 0
x1 3/4
1
0
x2 7/4
x5 -3
0
0 0
1
0 0
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也

割平面法Gommoy

割平面法Gommoy算法步骤：① 求解原整数规划对应的线性规划 min f （x ）=cx ， .⎩⎨⎧≥≤为整数xi x b A t s x .0.，设最优解为x*。

② 如果最优解的分量均为整数,则x ＊为原整数规划的最优解:否则任选一个x ＊中不是整数的分量,设其对应的基变量为x p ，, 定义包含这个基变量的切割约束方程∑=+jcom j ij b x r p x ，其中x j 为非基变量。

③ 令][b b b ],[r com com com ij ij ij r r -=-=,其中［]为高斯函数符号,表示不大于某数的最大整数. 将切割约束方程变换为∑∑-=-+jj ij j j ijp x r x r x com com b ][b ][,由于10,1r 0<≤<≤com ij b ,所以有∑-j ij com x r b 〈1,因为自变量为整数，则∑-j ij com x r b 也为整数,所以进一步有∑-j ij com x r b 〈=0.④ 将切割方程加入约束方程中,用对偶单纯算法求解线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤=∑00b b Ax .,)(min com x x r t s cx x f j j ij ，转。

算法MATLAB 实现代码：function ［intx ，intf ］=Gomory(A,c ，b ，base ）%约束矩阵:A ；%目标函数系数向量：c％约束右端向量:b%初始基向量base%目标函数取最小化时的自变量值:x％目标函数的最小值：minfsz=size（A）;nVia=sz(2）;n=sz（1)；xx=1:nVia；if length(base）~=ndisp(’基变量的个数要与约束矩阵的行数相等!');mx=NaN;mf=NaN;return;endM=0；sigma=—［transpose（c） zeros（1，（nVia—length（c）))]；xb=b;while 1［maxs,ind]=max(sigma）;if maxs〈=0vr=find(c~=0，1，’last')；for l=1:vrele=find（base==l,1)；if（isempty（ele))mx（l）=0;elsemx(l）=xb(ele)；endendif max(abs(round(mx）—mx））<1.0e—7intx=mx;intf=mx＊c；return；elsesz=size（A);sr=sz（1）;sc=sz（2）；［max_x,index_x］=max（ads（round（mx)—mx)）； [isB,num]=find(index_x==base）；fi=xb（num）-floor（xb（num)）；for i=1：(index_x—1）Atmp（1,i)=A(num，i)-floor（A(num，i)）；endfor i=（infex_x+1):scAtmp（1，i)=A（num，i)-floor（A(num,i）);end%构建对单纯形法的初始表格Atmp（1,index_x)=0;A=［A zeros(sr,1）;-Atmp(1，:） 1]；xb=［xb;-fi]；base=［base sc+1］；sigma=［sigma 0］;％对偶单纯形法迭代过程while 1if(xb)>=0if max（abs（round(xb）—xb）)<1。

python割平面法

python割平面法割平面法是一种用于求解凸多面体的优化问题的方法，它通过不断割平面来逼近最优解。

本文将介绍割平面法的基本原理和应用，并通过一个简单的例子来说明其具体操作过程。

割平面法是一种求解凸多面体的线性规划问题的有效方法。

在线性规划中，我们需要找到满足一组线性约束条件的目标函数取得最优值的变量取值。

而割平面法则通过不断添加新的线性约束条件来逼近最优解。

我们需要将线性规划问题转化为标准形式。

标准形式的线性规划问题可以写成如下形式：max c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c是目标函数的系数向量，x是变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量。

割平面法的基本思想是通过不断添加新的线性约束条件来逼近最优解。

具体操作过程如下：1. 初始化：将原始约束条件转化为等式形式，并添加一个非负约束条件x ≥ 0。

将初始可行解设为x^0。

2. 求解：使用线性规划求解器求解当前的线性规划问题，得到最优解x^*和对应的目标函数值z^*。

3. 检验：判断当前解x^*是否满足所有约束条件，如果满足则终止算法，输出最优解x^*和对应的目标函数值z^*；否则转到下一步。

4. 割平面：添加一个新的线性约束条件，将当前解x^*加入约束条件中，得到一个新的约束条件。

将新的约束条件添加到线性规划问题中，得到一个新的线性规划问题。

5. 更新：更新线性规划问题，将新的线性规划问题转化为标准形式。

6. 转到步骤2，继续迭代求解新的线性规划问题，直到找到最优解。

通过不断割平面的过程，割平面法可以逐步逼近最优解。

由于每次迭代都添加了一个新的约束条件，所以割平面法可以保证每次迭代的解都更接近最优解。

割平面法在实际应用中有很多优点。

首先，它可以解决一般的线性规划问题，不需要对问题进行特殊的处理。

其次，割平面法可以适用于高维问题，具有较好的扩展性。

此外，割平面法还可以用于求解整数规划问题，通过将整数规划问题转化为线性规划问题，然后使用割平面法求解。

运筹学__割平面法

x1
1 0 0 0 x1 1 0 0 0
x2
0 1 0 0 x2 0 1 0 0
x3
1/6 1/4 -1/4 -1/4 x3 0 0 1 0
x4
-1/6 1/4 -1/4 -1/4 x4 -1/3 0 1 0
s1
0 0 1 0 s1 2/3 1 -4 -1
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2

1 1 1 ( x 3 x4 ) 0 2 4 4
1 1 1 x3 x4 s1 4 4 2
Cj CB 0 1 0 σj XB x1 x2 s1 b 1 3/2 -1/2 -3/2 0 x1 1 0 0 0 1 x2 0 1 0 0 0 x3 1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 x4 -1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 s1 0 0 1 0
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
x1
1 0 0
x2
0 1 0
x3
0 0 1
x4
-1/3 0 1
s1
2/3 1 -4
σj
-1
0
0
0
0
-1
CB 0
XB x1
b 2/3
x1 1
x2 0
x3 0
x4 -1/3
s1 2/3
1
0
x2
x3
1
2
0
0
1
0
0
1
0
1
1
-4
σj -1 0 0 0 0 -1 此时，X1 ＝(2/3, 1), Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割 2 2 2 平面，其条件为：

分支定界法和割平面法

分支定界法和割平面法在上学期课程中学习的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或消失，但现实中某些具体的问题，常要求最优解必须是整数，这样就有了对于整数规划的研究。

整数规划有以下几种分类：（1）如果整数规划中所有的变量都限制为（非负）整数，就称为纯整数规划或全整数规划；（2）如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划；（3）整数规划还有一种特殊情形是0-1规划，他的变量取值仅限于0或1。

本文就适用于纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法，做相应的介绍。

一、分支定界法在求解整数规划是，如果可行域是有界的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以定出最优解。

对于小型问题，变量数量很少，可行的整数组合数也是很小时，这个方法是可行的，也是有效的。

而对于大型的问题，可行的整数组合数很大时，这种方法就不可取了。

所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出最有的整数解。

分支定界法就是其中一个。

分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。

在二十世纪六十年代初由Land Doig 和Dakin 等人提出。

由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。

目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。

设有最大化的整数规划问题A ，与它相应的线性规划为问题B ，从解问题B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优目标函数必是A 的最优目标函数z *的上界，记作z ；而A 的任意可行解的目标函数值将是z *的一个下界z 。

分枝定界法就是将B 的可行域分成子区域再求其最大值的方法。

逐步减小z 和增大z ，最终求到z *。

现用下例来说明：例1 求解下述整数规划 219040Maxx x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+且为整数0,702075679212121x x x x x x解（1）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B ，得最优解为：124.81, 1.82,356x x z ===可见它不符合整数条件。

割平面法

§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。

3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。

如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。

这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。

而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。

当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。

即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。

下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。

3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。

如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。

3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。

下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。

例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。

为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。

为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。

据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。

割平面算法

割平面算法
割平面算法是一种计算几何的算法，主要用于求解多边形的内部或外部区域。

该算法的基本思想是通过构造一些直线（称为割平面）将多边形划分成一些简单的区域（称为小区域），然后根据小区域的情况确定多边形的内部或外部区域。

具体而言，该算法的步骤如下：首先确定一个多边形和一些割平面，然后将多边形和割平面进行求交，得到一些线段和点。

接着，根据这些线段和点将多边形划分成一些小区域，再根据每个小区域的情况判断其是否在多边形的内部或外部。

最后将所有在多边形内部的小区域合并在一起，就得到了多边形的内部区域。

割平面算法的优点是可以处理一些复杂的多边形，而且算法复杂度比较低。

不过该算法也存在一些缺点，比如对于一些具有孔洞的多边形，需要额外的处理，并且对于一些不规则的多边形，该算法的结果可能不准确。

- 1 -。

割平面法

§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。

3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。

如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。

这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。

而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。

当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。

即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。

下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。

如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。

3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。

下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。

为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。

割平面法_精品文档

从而
fi-ΣfijXj≤0
⑸
取⑸式作为切割方程。因为任何整数可行解都满足这个方程，所以把它加到原问题的约束中，它能够对原可行域进行切割，而不会切割掉整数解。
例3 用割平面法求解
maxZ=x1+x2 -x1+x2≤1 3xx1,1x+2x≥20≤，4 整数
解：将问题标准化得
maxZ=x1+x2
⑴
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
1
x1
即 x2≤1，将此切割方程加入原约束中，就等于切掉原可行域得
A1B部分，如图。显然在A1B区域不含整数解点，对原可行域切割的结果是产生了一
下面讨论切割方程的求法。
设与整数规划相对应的线性规划最优解中基变量XBi=（B-1b)i不是整数，将最优单纯形表中该基变量对应的行还原成约束方程，即
XBi +ΣaijXj=（B-1b)i
⑴
将（B-1b)i，aij都分解成整数与非负真分数之和的形式，即
（B-1b)i=Ni+fi 其中0＜ fi ＜1 ⑵
aij=Nij+fij
其中0≤ fij ＜1 ⑶
这里Ni、Nij是整数，将⑵、 ⑶代入⑴，得
XBi +Σ（Nij+fij）Xj=Ni+fi
即
XBi +ΣNijXj-Ni=fi-ΣfijXj
⑷
当诸Xi都是整数时， ⑷式左端是整数，所以右端亦应是整数，但右

运筹学3.2割平面算法

jS
i 0,1,L , m
若对所有的 i 0,1,L , m, bi均为整数 STOP ! x0已经是( IP )的最优解
XJTU
第三章整数线性规划
OR
否则, 至少存在某一个l : 0 l m,使得bl不是整数 .
xBl aljxj bl
jS
诱导(生成)方程
bl bl fl , 0 fl 1, alj alj flj, 0 alj 1, j S
称为割平面条件)
费用减小
o o
o
o
o o
ox1 o
oo ox2 o
x0
该割平面条件将(P0)的可行域割掉一部分, 且使这个非整数
向量 x0恰好在被割掉的区域内
但原( IP )的任一可行解均未被切割掉
新的松弛问题改进的松弛问题 ( P1 )
XJTU
第三章整数线性规划
OR
按上述增加约束、逐步迭代的过程中, 若某步所得的松弛
令 h 1 , 1
bl
jS
alj
xj
1
bl
jS
1
al j x j
1
xBl
0
引入松弛变量 Sl 0
Sl
jS
alj
xj
bl
整数割平面
XJTU
第三章整数线性规划
导出有效不等式的方法 :
取整方法
合并方法
同余方法
超加函数法
OR
§ 3.3 分解算法
它对应的是新松弛问题的一个原始基本解, 但不可行 .
XJTU
第三章整数线性规划
OR
Gomory 割平面算法计算步骤 :
S 1 : (用单纯形法)求解整数规划问题( IP )的松弛问题( P0) 若( P0)没有最优解, STOP ! ( IP )也没有最优解 .

割平面法_实用运筹学：案例、方法及应用_[共3页]

88 实用运筹学：案例、方法及应用由于LP 1已得到整数解，所以该分枝停止继续计算。

而2116z z >=，原问题可能有比16更大的最优解，此时*1656z z z ==≤≤，但210/3x =不是整数解，故针对2x 对问题LP 2增加约束条件23x ≤，24x ≥，进行分枝得到LP 21和LP 22。

LP 22无可行解，故该枝剪掉。

而z (21)＞z (1)，故对问题LP 21进行分枝，得到问题LP 211和LP 212。

z (212)＜z (211)=17，故对LP 212分枝已无必要，剪掉改枝。

整数解z (212)＞z (1)，故该问题最优值为z *＞z (212)=17，最优解为 *T (2,3)X = 上述求解计算过程如图4-4所示。

图4-4 分支定界法图解用分枝定界法比穷举法优越，因为它仅在一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比穷举法小。

但若变量数目很大，其计算量也是相当可观的。

4.3.2 割平面法整数规划的割平面法（Cutting Plane Algorithm ）是1958年由R.E .Gomory 提出的，更方便于纯整数规划问题的求解，其基础仍然是用解LP 的方法去解整数规划问题。

割平面法的基本思想是：在松弛问题中逐次增加一个新约束（即割平面），割掉原可行域的一部分（只含非整数解），使得切割后最终得到这样的可行域（不一定一次性得到），它的一个有整数坐标的顶点恰好是问题的最优解，如图4-5所示。

第二节Gomory割平面法

1
0
x3
x4
0
-1
1
1
0
-1
-4/3 -7/3 1/3 1/3
1/3 -2/3
0
-1
RHS
4 4 4 -4/3 4/3 16/3
5
在上表中加入割平面方程 -1/3x3-1/3x4+s1=-1/3,
继续迭代，
x1 x2 x3 x4 s1 RHS z 0 0 -4/3 -7/3 0 -4/3
用对偶单纯 x2 0 1 1/3 1/3 0 4/3 形法求解 x1 1 0 1/3 -2/3 0 16/3
f rn
fr
fr 0
用对偶单纯形法求解
定理3.2.1 如果把割平面 frj x j s fr jN
加到松弛问题的最优单纯形表里，那么没有割
掉原ILP的任何整数可行点；当bi不是整数时，新表是一个原始基本不可行解和对偶可行
解。
2. Gomory 割平面法计算步骤
max x2
3x1 2 x2 x3 6
s.t. 3x1 2x2 x4 0

x1
,
x2 ,
x3 ,
x4

0
x1 x2 x3 x4
z 0 1 0 0 0
x3 3 2 1 0 6 x4 3 2 0 1 0
x1 x2 z 1.5 0
x3 6 0
x2 1.5 1
xr arj x j br jN
xr arj x j br jN
arj arj frj , 0 frj 1
arj arj
br br fr ,
0 fr 1
br br

割平面算法简介

割平面法在纯整数规划中的应用1、摘要：割平面法是整数规划问题中常用的一种重要方法。

割平面法解整数规划问题的基本思路是：首先根据单纯形法，画出单纯形表格,利用迭代法求出不考虑整数约束条件时的松弛问题的最优解，如果得到的解是整数则即为问题的整数解，运算停止。

但是在大多数情况下得到的解不完全是整数，其中会出现非整数的形式，也就是这个松弛问题的最优解中存在某个或者某几个基变量为非整数的形式，这就需要进一步的运算：从最优表格中提取出关于非整数基变量的约束等式，再从这个约束等式出发构造出一个割平面方程添加到原来的约束条件中去，再进行单纯形表格的迭代运算，求出最优解，如果得到的最优解是整数则即为所要求的问题的最优解，运算停止。

如果得到的解仍然不完全是整数，就需要继续进行运算，重复以上步骤，一直求解出满足条件的最优解则运算停止。

这就是割平面法的整数求解的一般步骤。

Cutting plane method which is used in an integer programming problem is a kind of important method. Cutting plane method solution in integer programming problem is the basic train of thought: first according to the simplex method, draw the simplex form, using iterative algorithm to find the integer constraint conditions do not consider the relaxation of the optimal solution of the problem, given the solution is for the problem that is the integer solutions, stop operations. But in most cases thesolution doesn't get completely integer, which could not be the integer form, also is the relaxation of the optimum solution of the existence of a or certain base the variable is not the integer form, this needs further operation: the optimal form from the extract about the base variables the constraint equation integer variables, and again from the constraint equation is constructed on a cutting plane equation added to the original conditions to, and then to simplex form iterative operation, to work out the optimal solution, if we get the optimal solution is required for the integer is the problem of optimal solution, stop operations. If the solution have still not quite integer, it needs to continue operations, repeat the above steps, has been worked out to meet the conditions of the optimal solution is to stop operations. This is cutting plane method of solving the integral general steps.1、整数规划的简要介绍整数规划是指在一类问题中要求其解的全部或者一部分变量为整数的数学规划。

割平面法的解题步骤__补充说明

割平面法的解题步骤补充说明1. 引言1.1 概述:本文将介绍割平面法的解题步骤。

割平面法是一种常用的解决几何、优化和约束问题的数学工具。

通过确定割平面方程、求解割线与图形交点坐标以及确定割线与图形交点个数及位置关系，可以有效地求解各种复杂问题。

1.2 文章结构:本文主要分为四个部分：引言、割平面法的解题步骤、实例分析和结论。

在引言中，将简要介绍本文主题并提供一个概览。

然后，在割平面法的解题步骤部分，我们将详细讨论该方法的具体步骤。

接着，在实例分析部分，我们将通过三个不同领域的实例来展示割平面法在实际问题中的应用。

最后，在结论中，我们将总结该方法的优势和局限性，并对未来研究进行展望。

1.3 目的:本文旨在帮助读者了解割平面法并掌握其解题步骤。

通过阅读本文，读者将了解如何使用割平面法来解决各种几何、优化和约束问题，并对该方法在未来研究中的潜力和局限性有更深入的了解。

2. 割平面法的解题步骤：2.1 理解割平面法:割平面法是一种通过不断添加割平面（即直线或超平面）来逼近解集的方法。

它常用于几何问题中，以及某些最优化问题和约束条件下的求解过程中。

该方法通过将多个割线与待求图形进行交点计算，进而获得关于交点位置和数量的信息。

2.2 准备工作:在使用割平面法之前，我们需要先明确待求图形的性质和要求。

具体而言，在开始解题之前，我们应该详细了解如下内容：- 待求图形的类型和特征：对于几何问题，需要明确图形的类型（例如圆、矩形等）以及边界条件或限制。

- 目标函数或约束函数：对于最优化问题和带有约束条件的问题，需要定义目标函数和约束函数，并了解这些函数与待求图形之间的关系。

- 约束条件：如果存在限制条件，则需要明确这些约束对应的方程式或不等式。

2.3 步骤一：确定割平面方程:通过观察待求图形及其特征，并结合已知信息，我们可以推导出一条直线或超平面的方程。

这个割线将帮助我们定位图形的交点，从而逐步逼近解集。

为了确定割平面方程，我们可以采取不同的方法。

运筹学第二版3.2 整数规划的求解

max Z c j x j ,
j 1 n
与它对应的线性规划问题即松弛问题（B）为：
max Z c j x j ,
j 1 n
n aij x j bi (i 1,2,, m), j 1 x j 0且是整数( j 1,2,...n).
n aij x j bi (i 1,2,, m), j 1 x j 0( j 1,2,..., n).
xi
j m 1
j m 1
n
b
n
ij x j
bi 0 , 称为割平面的来源行．
[b
f
n
ij ] x j
[bi 0 ] f i 0
j m 1
f
n
ij x j .
为了使x i（i=1,2，…，m）是整数，上式右端必须是整式．又注意到 f ij 0, x j 0
（2.25，3.75）
B2
B1
( B1 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 3, x1 , x2 0.
( B2 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 , x2 0.
解（1）设（A）的松弛问题为（B0），不考虑整数约束，利用单纯形法求解（B0），其可行解域如图1所示，解得最优解为： x 1=2.25，x 2=3.75，且Z0=41.25．．
（2.25，3.75）
图1
图2

因x 1，x 2都是小数，可任选一个进行分枝．今选 x 2=3.75，对问题（B0）分别增加约束条件： x 2[3.75]=3 和 x 2[3.75]+1=4, 将（B0）分解成为两个子问题（B1）和（B2）．

§3.2Gomory割平面法

§3.2Gomory割平⾯法§3.2 G o m o r y 割平⾯法1、G o m o r y 割平⾯法的基本思想≥=为整数向量x x bAx t s xc T 0..min （P ） ≥=0..min x b Ax t s x c T （P 0）称（P 0）为（P ）的松弛问题。

记（P ）和（P 0）的可⾏区域分别为D 和D 0 , 则（1）0D D ?；（2）若（P 0）⽆可⾏解，则（P ）⽆可⾏解；（3）（P 0）的最优值是（P ）的最优值的⼀个下界；（4）若（P 0）的最优解 0x 是整数向量，则 0x 是（P ）的最优解。

基本思想：（1）⽤单纯形法求解松弛问题（P 0），若（P 0）的最优解 0x 是整数向量，则 0x 是（P ）的最优解。

计算结束。

(2) 若（P 0）的最优解 0x 不是整数向量，则对松弛问题（P 0）增加⼀个线性约束条件（称它为割平⾯条件），新增加的约束条件将（P 0）的⾏区域D 0割掉⼀块，且这个⾮整数向量 0x 恰在被割掉的区域内，⽽原问题（P ）的任何⼀个可⾏解（格点）都没有被割去。

记增加了割平⾯的问题为（P 1），称（P 1）为（P 0）的改进的松弛问题。

（3）⽤对偶单纯形法求解（P 1），若（P 1）的最优解 1x 是整数向量，则 1x是（P ）的最优解。

计算结束。

否则转（2）割平⾯的⽣成：对给定的（P ），⽤单纯形法求解它的松弛问题（P 0），得到（P 0）的最优基本可⾏解 0x ，设它对应的基为 ),,(1m B B A A B Λ=， m B B x x ,,1Λ为 0x 的基变量，记基变量的下标集合为 S ，⾮基变量的下标集合为 S 。

则松弛问题（P 0）的最优单纯形表为∑∈=+Sj j j z x z 0ξm i b x a x Sj i j ij B i ,,1,Λ==+∑∈（3.2.1）为了使符号简便，令000,,0z b a z x j j B ===ξ。

割平面法例题及讲解

割平面法例题及讲解割平面法是一种求解整数线性规划问题的有效方法。

以下是使用割平面法求解整数线性规划问题的步骤和例题：首先，让我们简要介绍一下割平面法的概念。

割平面法的基本思想是在原始可行域的基础上，通过添加割平面来缩小可行域，直到找到整数最优解。

割平面是通过考察非整数最优解的某一分量，并构造一个线性约束条件来得到的。

接下来，我们通过一个具体的例题来演示割平面法的应用。

例题：目标函数：最大化 Z = 3x1 + 4x2约束条件：1. x1 + x2 <= 42. x1 + 2x2 <= 63. x1, x2 属于整数集合首先，我们不考虑整数约束，使用单纯形法求解线性规划问题。

得到最优解为：x1 = 2, x2 = 1, Z = 11。

这个解不是整数解，因此我们需要使用割平面法来找到整数最优解。

观察最优解的x1分量为2，它不是整数。

我们可以根据x1的取值构造一个割平面：x1 >= 3。

这意味着我们可以添加一个线性约束条件来限制x1的值大于等于3。

现在，我们再次使用单纯形法求解线性规划问题，同时考虑新添加的割平面。

得到新的最优解为：x1 = 3, x2 = 1, Z = 14。

这个解是整数解，满足问题的整数约束条件。

通过上述步骤，我们成功地使用割平面法找到了整数最优解。

总结：割平面法是一种求解整数线性规划问题的有效方法。

它通过在原始可行域上添加割平面来缩小可行域，直到找到整数最优解。

在应用割平面法时，需要注意选择正确的变量和对应的线性约束条件来构造割平面。

此外，在使用单纯形法求解线性规划问题时，需要注意处理变量的取值范围和整数约束条件。

组合优化中的割平面法求解实现

组合优化中的割平面法求解实现割平面法是一种常用的求解组合优化问题的方法。

它通过不断添加割平面的方式，逐步逼近最优解。

这种方法可以用于解决各种组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。

本文将介绍割平面法的基本思想和实现方法。

一、割平面法的基本思想割平面法通过添加一系列线性约束来逼近最优解。

它的基本思想是，在每一次迭代中，根据问题的特点找到一个在当前解空间内的有效割平面，并将其添加到原问题的线性规划模型中。

通过这样的迭代过程，逐步缩小解空间，最终获得最优解。

二、割平面法的实现步骤（一）建立初始线性规划模型首先，需要将原始的组合优化问题转化为一个线性规划模型。

以旅行商问题为例，假设有n个城市，需要找到一条最短路径经过所有城市。

可以建立如下的线性规划模型：目标函数：min ∑∑cijxiji j约束条件：∑xij = 1 ∀i ∈{1,2,...,n} //每个城市只能被访问一次∑xij = 1 ∀j ∈{1,2,...,n} //每个城市只能被访问一次xij ∈{0,1} ∀i,j∈{1,2,...,n} //路径变量为0或1（二）求解线性规划模型利用现有的线性规划求解算法，求解上述线性规划模型，得到一个初始解。

（三）添加割平面根据当前解空间的特点，找到一个有效的割平面。

比如在旅行商问题中，可以通过约束∑xij ≤ |S|-1，其中S为当前解中经过的城市集合，|S|表示集合S的元素个数。

这样的割平面可以有效地剪枝，将问题进一步限制在更小的解空间内。

将新的割平面添加到原线性规划模型中，并重新求解线性规划模型。

重复这个过程，直到无法继续添加有效的割平面为止。

（四）判断终止条件判断当前解是否满足终止条件。

可以根据问题的具体情况来确定终止条件，比如设定一个误差精度，当最优解的改进值小于该精度时，终止求解。

三、割平面法的优化割平面法在实际求解过程中可能会面临维数灾难，即解空间的规模过大，导致求解时间过长。

为了克服这个问题，可以结合其他优化方法，例如分支定界算法或者启发式算法，来加速求解过程。

生成割平面条件的方法_运筹学_[共2页]

95第3章整数规划由此可见，整数规划的可行解是离散的、可数的点集，它是相应的松弛问题的可行集的子集，整数规划对应的松弛问题的可行集是凸集，而整数规划的可行集不一定为凸集。

在目标函数求最大化（或最小化）时，整数规划的松弛问题的最优解对应的目标函数值要大于（或小于）该整数规划的最优解对应的目标函数值，即整数规划的最优解不优于相应的线性规划问题的最优解。

下面两节分别讨论求解整数规划的割平面方法和分支定界方法。

§3.2 割平面方法3.2.1 割平面法的基本思想解整数线性规划问题的割平面法有多种类型，但它们的基本思想是来自Gomory 割平面算法，它在理论上是重要的。

考虑纯整数线性规划问题：1112,,max ,1,2,,s.t.0,1,2,,,n j jj n ij j i j j n z cx a x b i mx j n x x x ==⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=∑===∑"""≥全部为整数（3.2.1）其中不妨假设ij a ，1,2,,1,2,,i m j n ==""；，均为整数，否则在等式约束条件中乘上相应的倍数，使其转化为整数。

若式（3.2.1）中不考虑决策变量的整数条件，则称这样的规划问题为纯整数线性规划的松弛问题（记为P 0）。

割平面法求解纯整数线性规划的基本思想是：用单纯形法求解其松弛问题（P 0），若松弛问题（P 0）的最优解均为整数解，则该最优解即为原纯整数线性规划问题（P ）的最优解，此时计算结束；若松弛问题（P 0）的最优解不全是整数解，则可以考虑对松弛问题（P 0）增加一个线性约束条件，该条件称为割平面条件。

新增加的这个割平面条件要求将松弛问题（P 0）的可行区域“切掉”一块，且这个不满足整数解要求的最优解恰在被“切掉”的区域内，而原纯整数线性规划问题（P ）的任何一个可行解都不能被“切掉”。

此时把增添了割平面条件的问题记为P 1，可将P 1视为原纯整数线性规划问题（P ）的一个改进的松弛问题，用对偶单纯形法求解LP 问题P 1。