7.4 切割平面法
割平面法——精选推荐
3 割平面法割平面法是通过生成一系列的平面割掉非整数部分来得到最优整数解的方法。
目前，割平面法有分数割平面法，原始割平面法，对偶整数割平面法，混合割平面法等。
我们介绍Gomory割平面法（纯整数规划割平面法）用例子说明割平面法基本思想。
例5-8求下列问题：Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 ≤25x 1≤82x 2 ≤10x 1,x 2 ≥0,且取整数值化成标准问题Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0,且取整数值松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0松驰问题(P)用单纯形法求解得到最优解：B（8，9/4）Z=22（3/4）但不是原问题（IP）的解，（IP）可行域是OABDE内的全部方格点组成。
BD E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 1X 2引进割平面法l 1: x 1+ x 2=10割去非整数部分FBG l 2: x 1+2x 2=12 割去非整数部分HDGFGB F D E l 1O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12l 2G B F H D E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12GH E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12形成新的凸可行域OAGHE （整点凸包），它的极点G （方格点）是原规划（IP ）的最优解（8，2）Z=22。
约束条件：l 1: x 1+ x 2≤10l 2: x 1+2x 2≤12称为割平面。
问题是如何寻找割平面？松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0初始单纯形表C 2 3 0 0 0bΘC B X B X1X2X3X4X50 X3 2 4 1 0 0 250 X4 1 00 1 0 80 X50 20 0 1 10σC2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4最终单纯形表:最优解（8,9/4,0,0,11/2）Z =91/4C2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4X 2相应的方程：x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4把所有系数分解成整数和非负真分数之和。
割平面法的原理
割平面法的原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠割平面法的原理。
你说这割平面法啊，就像是一个神奇的魔法棒！它能把那些看似复杂得让人头疼的问题一点点给捋顺咯。
咱可以把要解决的问题想象成一团乱麻，而割平面法呢，就是那把能把乱麻割断、整理清楚的剪刀。
它通过巧妙地构造一些额外的约束条件，就好像是给乱麻划上一道道清晰的界限，让我们能更清楚地看到问题的本质。
比如说吧，我们在面对一个整数规划问题的时候，那些整数的要求就像是一道道坎儿，让我们不容易跨过去。
但割平面法可不怕，它勇敢地冲上去，把这些坎儿都给标记出来，然后一点点地把问题给拆解开来。
你想想看，这多厉害呀！就好像我们在走迷宫，突然有了一盏明灯照亮了正确的道路。
割平面法就是这盏明灯，指引着我们找到最优解。
它不是那种生硬的方法，而是充满了智慧和灵活性。
它能根据不同的问题，巧妙地构造出合适的割平面，就像是一个经验丰富的老工匠，总能找到最合适的工具来解决问题。
而且哦，割平面法还特别有耐心。
它不会一下子就把问题解决了，而是一步一步地，慢慢地，就像绣花一样，精细地处理每一个细节。
有时候我们可能会觉得进展好慢呀，但别着急，等它最后把答案呈现在我们面前的时候，你就会惊叹，哇，原来这么神奇！咱再打个比方，割平面法就像是一个厨艺高超的大厨。
面对一堆杂乱无章的食材，它能巧妙地搭配、切割、烹饪，最后做出一道美味可口的佳肴。
这过程可能有点复杂，有点漫长，但最后出来的成果绝对让你惊艳。
总之呢，割平面法就是这么一个神奇又实用的东西。
它能帮我们解决那些看似不可能解决的问题，让我们在数学的海洋里畅游无阻。
所以啊，大家可别小瞧了它哟！以后遇到难题的时候，不妨想想割平面法，说不定它就能帮你打开思路，找到那把解开难题的钥匙呢！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
分支定界法和割平面法
分支定界法和割平面法分支定界法和割平面法在上学期课程中学习的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或消失，但现实中某些具体的问题，常要求最优解必须是整数，这样就有了对于整数规划的研究。
整数规划有以下几种分类：（1）如果整数规划中所有的变量都限制为（非负）整数，就称为纯整数规划或全整数规划；（2）如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划；（3）整数规划还有一种特殊情形是0-1规划，他的变量取值仅限于0或1。
本文就适用于纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法，做相应的介绍。
一、分支定界法在求解整数规划是，如果可行域是有界的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以定出最优解。
对于小型问题，变量数量很少，可行的整数组合数也是很小时，这个方法是可行的，也是有效的。
而对于大型的问题，可行的整数组合数很大时，这种方法就不可取了。
所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出最有的整数解。
分支定界法就是其中一个。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
在二十世纪六十年代初由Land Doig和Dakin等人提出。
由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界，记作z；而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界z。
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域再求其最大值的方法。
逐步减小z和增大z，最终求到z*。
现用下例来说明：例1 求解下述整数规划 Maxz?40x1?90x2?9x1?7x2?56? ?7x1?20x2?70?x,x?0且为整数?12解（1）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B，得最优解为：x1?4.81,x2?1.82,z?356可见它不符合整数条件。
割平面法
§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。
3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。
如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。
这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。
而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。
当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。
即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。
下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。
3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。
如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。
3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。
下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。
例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。
为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。
为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。
据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。
割平面法
31/7=4+3/7 于是，（1）式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7
⑵
将所有整数项放在等式的左边，非整数值项放 在右边，得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7
⑶
⑶式左边是一个整数值，右边是一个小于１的 数。由于是等式，所以，右边应该是一个小于 或等于０的整数值，即
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中，设 b的分量bko不是 整数，将其分成整数与非负分数之和，即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数， fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基 变量xj的系数分成整数与非负分数两部分：
ako , j Nko , j fko , j
１、求出松弛问题的最优解，若全部变量为整数解， 停止计算；否则转２。
２、构造割平面方程 •构造方法 割平面约束具备两个性质： ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束， 从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束，从而保 证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所 形成的、新的线性规划问题的可行域中。 我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束 的思路。
第二节 解纯整数规划的割平面法
一、 割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、 割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想： 在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束（称 Gomory约束或割平面），使问题的可行域逐步缩 小，所割去的区域仅包含问题的部分非整数解；当 规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶 点时，算法结束。 •求解步骤
割平面法-经典
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题. 其基本的步骤是: (1) 把约束条件中所有的系数整数化; (2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只 包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
1 3 x3 x4 0 4 4 4 3 即 3x 3 x 4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所得等
式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的 松驰问题.
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 x4 1 4
k k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
f i - f ik x k 0
k
上式即为所要求的切割方程 割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广 泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其 收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
3x 3 x 4 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最优单纯
形表之中,得 cj 1 1 0 0 0
CB
1
XB
b
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4 x5
1/4 0
x1 3/4
1
0
x2 7/4
x5 -3
0
0 0
1
0 0
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也
割平面法-运筹学整数规划
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1
运筹学__割平面法
x1
1 0 0 0 x1 1 0 0 0
x2
0 1 0 0 x2 0 1 0 0
x3
1/6 1/4 -1/4 -1/4 x3 0 0 1 0
x4
-1/6 1/4 -1/4 -1/4 x4 -1/3 0 1 0
s1
0 0 1 0 s1 2/3 1 -4 -1
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
1 1 1 ( x 3 x4 ) 0 2 4 4
1 1 1 x3 x4 s1 4 4 2
Cj CB 0 1 0 σj XB x1 x2 s1 b 1 3/2 -1/2 -3/2 0 x1 1 0 0 0 1 x2 0 1 0 0 0 x3 1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 x4 -1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 s1 0 0 1 0
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
x1
1 0 0
x2
0 1 0
x3
0 0 1
x4
-1/3 0 1
s1
2/3 1 -4
σj
-1
0
0
0
0
-1
CB 0
XB x1
b 2/3
x1 1
x2 0
x3 0
x4 -1/3
s1 2/3
1
0
x2
x3
1
2
0
0
1
0
0
1
0
1
1
-4
σj -1 0 0 0 0 -1 此时，X1 ＝(2/3, 1), Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割 2 2 2 平面，其条件为：
割平面法解题思路的判断题
割平面法解题思路一、引言割平面法是数学中一种常用的解题方法，特别适用于解决几何问题。
它通过将平面割分为多个部分，并分析每个部分的性质来解决问题。
本文将对割平面法的解题思路进行详细探讨。
二、割平面法的基本概念2.1 平面的割分割平面法的核心思想是将平面划分为不同的区域，通常通过绘制直线或曲线来实现。
这样做的目的是将问题转化为对单一区域进行研究，从而简化问题的复杂性。
2.2 区域的性质分析每个区域都具有一些特定的性质，例如形状、面积、角度等。
通过对区域性质的分析，可以找到与问题相关的关键信息，从而解决问题。
三、割平面法的解题步骤3.1 理解问题在应用割平面法解题之前，首先要对问题进行充分理解。
了解问题的背景、条件和要求，明确需要求解的对象。
3.2 选择适当的割平面根据问题的性质和要求，选择适合的割平面。
这需要考虑到平面的位置、方向和形状，以及是否与已知条件相符。
3.3 剖析区域性质对每个区域进行详细的性质分析。
可以借助几何性质、角度关系、对称性等知识，找到有助于解题的性质。
3.4 推导解答利用区域性质进行推导，得出问题的解答。
这一步需要运用几何、代数等知识，进行具体的计算和推理。
3.5 检验解答将得到的解答与问题的条件和要求进行比较，确保解答的正确性。
可以使用数值计算、几何作图等方法进行检验。
四、实例分析：割平面法在几何问题中的应用4.1 问题描述一道常见的几何问题：如何确定一个不规则多边形的面积？4.2 解题思路4.2.1 割平面选择选择一条割线将多边形切割为两个较简单的几何图形，通常可以选择水平线或垂直线作为割线。
4.2.2 区域性质分析分析切割后得到的两个图形的性质。
对于一个矩形，可以直接应用矩形面积公式计算面积；对于一个三角形，可以利用底边和高进行计算。
4.2.3 推导解答根据切割后得到的图形，分别计算其面积。
然后将两个图形的面积相加，得到整个多边形的面积。
4.2.4 检验解答将计算得到的面积与问题中给出的条件进行比较，确保解答的正确性。
割平面法的基本思想
割平面法的基本思想割平面法主要用于求解整数规划问题的方法。
1958年由美国格莫理提出。
基本思路是：先不考虑整数性约束，求解相应的线性规划问题。
若线性规划问题的最优解恰好是整数解，则此解即为整数规划问题的最优解。
否则，就增加一个新的约束条件,称为割平面。
割平面必须具有两条性质：（1)从线性规划问题的可行域中至少割掉目前的非整数最优解；（2)不割掉任何整数可行域，然后在缩小的可行域上继续解线性规划问题。
重复以上做法，经有限次切割后，必可在缩小的可行域的一个整数极点上达到整数规划问题的最优解。
混合整数线性规划（MILP）的割平面法通过将整数问题线性松弛为非整数线性问题，并对其进行求解，来求解MILP 问题。
线性规划理论说明，在温和的假定下（如果线性规划存在最优解，并且可行域不包含一条线），总存在一个极值点或顶点是最优的。
检验所获的最优解是否为整数解。
如否，则必然存在一线性不等式将最优点和真可行集的凸包分离。
找到这样的不等式是分离问题，而这样的不等式就是切割。
切割可以被加入到被松弛的线性规划中，使得当前的非整数解对松弛不再可行。
该过程不断重复，直到找到最优整数解。
用于普遍的凸连续优化和变体的割平面法有不同的名称：Kelley 法，Kelley-Cheney-Goldstein 法和捆绑法。
它们常用于不可微的凸最小化问题。
对于这类问题，通常的可微优化的梯度法无法使用，而使用这些方法可以高效地得到凸目标函数及其次梯度。
这种情况最常出现在双拉格朗日函数的凹优化中。
另一种常见情形是Dantzig-Wolfe分解应用于结构优化问题中，这类问题通常有含有指数级变量的表达式。
通过延迟列生成法按需生成这些变量等同于在对应的对偶问题上切割平面。
图1.割平面法例，如上图1，单位立方体与切割平面。
在三节点的旅行推销员问题中，该（弱）不等式表明每次旅行必须连接至少两个点。
2Gomory 切割切割平面法由Ralph Gomory 在19 世纪50 年代提出，用于解决整数规划和混合整数规划问题。
割平面法_精品文档
从而
fi-ΣfijXj≤0
⑸
取⑸式作为切割方程。因为任何整数可行解都满足这个方程，所以 把它加到原问题的约束中，它能够对原可行域进行切割，而不会切 割掉整数解。
例3 用割平面法求解
maxZ=x1+x2 -x1+x2≤1 3xx1,1x+2x≥20≤，4 整数
解：将问题标准化得
maxZ=x1+x2
⑴
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
1
x1
即 x2≤1，将此切割方程 加入原约 束中，就等于切掉原可行域得
A1B部分，如图。 显然在A1B区域不含整数解点，对原可行域切割的结果是产生了一
下面讨论切割方程的求法。
设与整数规划相对应的线性规划最优解中基变量XBi=（B-1b)i不 是整数，将最优单纯形表中该基变量对应的行还原成约束方程，即
XBi +ΣaijXj=（B-1b)i
⑴
将（B-1b)i，aij都分解成整数与非负真分数之和的形式，即
（B-1b)i=Ni+fi 其中0＜ fi ＜1 ⑵
aij=Nij+fij
其中0≤ fij ＜1 ⑶
这里Ni、Nij是整数，将⑵、 ⑶代入⑴，得
XBi +Σ（Nij+fij）Xj=Ni+fi
即
XBi +ΣNijXj-Ni=fi-ΣfijXj
⑷
当诸Xi都是整数时， ⑷式左端是整数，所以右端亦应是整数，但右
组合优化中的割平面法求解实现
组合优化中的割平面法求解实现割平面法是一种常用的求解组合优化问题的方法。
它通过不断添加割平面的方式，逐步逼近最优解。
这种方法可以用于解决各种组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
本文将介绍割平面法的基本思想和实现方法。
一、割平面法的基本思想割平面法通过添加一系列线性约束来逼近最优解。
它的基本思想是，在每一次迭代中，根据问题的特点找到一个在当前解空间内的有效割平面，并将其添加到原问题的线性规划模型中。
通过这样的迭代过程，逐步缩小解空间，最终获得最优解。
二、割平面法的实现步骤（一）建立初始线性规划模型首先，需要将原始的组合优化问题转化为一个线性规划模型。
以旅行商问题为例，假设有n个城市，需要找到一条最短路径经过所有城市。
可以建立如下的线性规划模型：目标函数：min ∑∑cijxiji j约束条件：∑xij = 1 ∀i ∈{1,2,...,n} //每个城市只能被访问一次∑xij = 1 ∀j ∈{1,2,...,n} //每个城市只能被访问一次xij ∈{0,1} ∀i,j∈{1,2,...,n} //路径变量为0或1（二）求解线性规划模型利用现有的线性规划求解算法，求解上述线性规划模型，得到一个初始解。
（三）添加割平面根据当前解空间的特点，找到一个有效的割平面。
比如在旅行商问题中，可以通过约束∑xij ≤ |S|-1，其中S为当前解中经过的城市集合，|S|表示集合S的元素个数。
这样的割平面可以有效地剪枝，将问题进一步限制在更小的解空间内。
将新的割平面添加到原线性规划模型中，并重新求解线性规划模型。
重复这个过程，直到无法继续添加有效的割平面为止。
（四）判断终止条件判断当前解是否满足终止条件。
可以根据问题的具体情况来确定终止条件，比如设定一个误差精度，当最优解的改进值小于该精度时，终止求解。
三、割平面法的优化割平面法在实际求解过程中可能会面临维数灾难，即解空间的规模过大，导致求解时间过长。
为了克服这个问题，可以结合其他优化方法，例如分支定界算法或者启发式算法，来加速求解过程。
组合优化中的割平面法高效实现方案
组合优化中的割平面法高效实现方案组合优化问题是在给定一组约束条件下，寻找最优解或者近似最优解的问题。
割平面法（Cutting Plane Method）是一种常用的解决组合优化问题的方法。
本文将介绍割平面法的基本原理，并提出一种高效实现方案。
一、割平面法基本原理割平面法是一种分步优化策略，通过逐步增加割平面约束来逼近求解组合优化问题的最优解。
其基本思想是在每一步迭代中，利用已经得到的可行解，构造一个新的割平面约束，将问题的可行域进一步缩小，从而得到更加接近最优解的解。
割平面法的核心是如何构造有效的割平面约束。
常用的割平面约束包括线性不等式约束、支撑平面约束和锥形约束等。
这些约束可以通过问题的特定结构和性质进行构造，从而提高算法的效率和收敛速度。
二、高效实现方案为了提高割平面法的实现效率，以下是一种高效的实现方案：1. 初始解的选择割平面法需要一个初始解作为起点。
可以利用问题的特点或者其他启发式算法得到一个较好的初始解。
这有助于缩小求解空间，提高算法的收敛速度。
2. 割平面约束的选择在每一步迭代中，需要选择合适的割平面约束来进一步缩小可行域。
可以利用启发式方法或者问题的特性来选择约束。
例如，可以选择与当前可行解相对应的割平面约束，或者选择与目标函数线性化程度较高的割平面约束。
3. 割平面约束的有效性检验在选择割平面约束后，需要验证该约束是否有效。
一般可以通过求解一个子问题来判断约束是否能够把当前可行域进一步缩小。
如果约束是无效的，则需要重新选择割平面约束。
4. 割平面约束的添加与求解一旦确定了有效的割平面约束，需要将其添加到问题的约束集合中，并重新求解问题。
可以使用线性规划等方法来求解问题，得到一个新的可行解。
然后，再次选择合适的割平面约束，并进行有效性检验，直到满足终止条件。
5. 收敛判据与终止条件割平面法通常需要设置终止条件以避免无限循环。
可以通过设置最大迭代次数、目标函数改进的阈值或者目标函数值的变化率来判断算法是否收敛。
第七章3-割平面法
第三节 割平面法
2、将bi和aik都分解成整数部分 与非负真分数 之 、 都分解成整数部分N与非负真分数 都分解成整数部分 与非负真分数f之 和，即： bi = Ni+fi 其中 0<fi <1 aik =Nik + fik 其中 0≤fik <1 表示不超过b的最大整数 而N表示不超过 的最大整数。例如： 表示不超过 的最大整数。例如： 若 b=2.35 ， 则N=2，f=0.35 ， 若 b=- 0.35 ，则N=-1，f=0.65 ，
第三节 割平面法
分别代入（ 分别代入（3）式，得：
k
xi + ∑ N ik xk − N i = f i − ∑ f ik xk
k
3 、 现在提出变量 （ 包括松弛变量 ） 为整数的条件 现在提出变量（ 包括松弛变量） 当然还有非负的条件） 这时， （当然还有非负的条件），这时，上式由左边看 必须是整数， 但由右边看， 因为0 必须是整数 ， 但由右边看 ， 因为 0<fi<1 ， 所以不 能为正， 能为正，即
第三节 割平面法
就是图（ ） 中域R的极点 的极点A， 就是图 （ a） 中域 的极点 ， 它不符合整数条 我们想，如能找到象BC那样的直线去切割 件。我们想，如能找到象 那样的直线去切割 域 R（ 图 (b)） ， 去掉三角形域 （ ） 去掉三角形域ACB， 那么具有 ， 整数坐标C 整数坐标 点（1,1）就是新域的一个极点，如 ）就是新域的一个极点， 在新域上求解线性规划， 在新域上求解线性规划 ， 而得到的最优解又恰 巧在C点就得到原问题的整数解 点就得到原问题的整数解， 巧在 点就得到原问题的整数解 ， 所以解法的 关键就是怎样构造一个这样的“割平面” ， 关键就是怎样构造一个这样的“割平面”BC， 尽管它可能不是唯一的， 尽管它可能不是唯一的 ， 也可能不是一步能求 到的。下面仍就本例说明： 到的。下面仍就本例说明：
割平面法
第四章 整数规划
§3 割平面法
割平面法是1958年美国学者R.E.Gomory提出的求解纯整数规 纯 划的一种比较简便的方法，其基本思想是：先不考虑变量的整数限 制求解线性规划，如果得到的解不是整数解，则不断增加适当的约 束，割掉原可行域不含整数解的一部分，最终得到一个具有若干整 数顶点的可行域，而这些顶点中恰有一个顶点是原问题的整数解。 割平面法的基本步骤： 步骤1 不考虑变量的整数限制，求解相应的线性规划问题，如 果该问题无解，或最优解已是整数解，则停止计算，否则转下一步。 步骤2 对上述线性规划的可行域进行“切割”，去掉不含整数 解的一部分可行域，即增加适当的线性约束，然后转步骤1。
C CB 0 0 XB X3 X4 B-1b 1 4 0
1 X1 -1 3 1
1 X2 1 1 1
0 X3 1 0 0
0 X4 0 1 0
σ … …
1 1 X1 X2
…
3/4 7/4
…
1 0 0
…
0 1 0
…
-1/4 3/4 -1/2
…
1/4 1/4 -1/2
σ
表中x1=3/4，不是整数，将表中第一行还原成方程，即 x1-1/4x3+1/4x4=3/4 因为3/4=0+3/4，-1/4=-1+3/4，1/4=0+1/4 所以有 x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4 因而有切割方程： 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4 即 3x3+x4 ≥3 引入松弛变量x5，得方程 -3x3-x4+x5=-3 将新约束方程加到原最优表下面（切割），求得新的最优解如下 ：
C CB 1 1 0 XB X1 X2 X5 B-1b 3/4 7/4 -3
割平面法的解题步骤__补充说明
割平面法的解题步骤补充说明1. 引言1.1 概述:本文将介绍割平面法的解题步骤。
割平面法是一种常用的解决几何、优化和约束问题的数学工具。
通过确定割平面方程、求解割线与图形交点坐标以及确定割线与图形交点个数及位置关系，可以有效地求解各种复杂问题。
1.2 文章结构:本文主要分为四个部分：引言、割平面法的解题步骤、实例分析和结论。
在引言中，将简要介绍本文主题并提供一个概览。
然后，在割平面法的解题步骤部分，我们将详细讨论该方法的具体步骤。
接着，在实例分析部分，我们将通过三个不同领域的实例来展示割平面法在实际问题中的应用。
最后，在结论中，我们将总结该方法的优势和局限性，并对未来研究进行展望。
1.3 目的:本文旨在帮助读者了解割平面法并掌握其解题步骤。
通过阅读本文，读者将了解如何使用割平面法来解决各种几何、优化和约束问题，并对该方法在未来研究中的潜力和局限性有更深入的了解。
2. 割平面法的解题步骤：2.1 理解割平面法:割平面法是一种通过不断添加割平面（即直线或超平面）来逼近解集的方法。
它常用于几何问题中，以及某些最优化问题和约束条件下的求解过程中。
该方法通过将多个割线与待求图形进行交点计算，进而获得关于交点位置和数量的信息。
2.2 准备工作:在使用割平面法之前，我们需要先明确待求图形的性质和要求。
具体而言，在开始解题之前，我们应该详细了解如下内容：- 待求图形的类型和特征：对于几何问题，需要明确图形的类型（例如圆、矩形等）以及边界条件或限制。
- 目标函数或约束函数：对于最优化问题和带有约束条件的问题，需要定义目标函数和约束函数，并了解这些函数与待求图形之间的关系。
- 约束条件：如果存在限制条件，则需要明确这些约束对应的方程式或不等式。
2.3 步骤一：确定割平面方程:通过观察待求图形及其特征，并结合已知信息，我们可以推导出一条直线或超平面的方程。
这个割线将帮助我们定位图形的交点，从而逐步逼近解集。
为了确定割平面方程，我们可以采取不同的方法。
割平面法例题及讲解
割平面法例题及讲解割平面法是一种求解整数线性规划问题的有效方法。
以下是使用割平面法求解整数线性规划问题的步骤和例题：首先，让我们简要介绍一下割平面法的概念。
割平面法的基本思想是在原始可行域的基础上，通过添加割平面来缩小可行域，直到找到整数最优解。
割平面是通过考察非整数最优解的某一分量，并构造一个线性约束条件来得到的。
接下来，我们通过一个具体的例题来演示割平面法的应用。
例题：目标函数：最大化 Z = 3x1 + 4x2约束条件：1. x1 + x2 <= 42. x1 + 2x2 <= 63. x1, x2 属于整数集合首先，我们不考虑整数约束，使用单纯形法求解线性规划问题。
得到最优解为：x1 = 2, x2 = 1, Z = 11。
这个解不是整数解，因此我们需要使用割平面法来找到整数最优解。
观察最优解的x1分量为2，它不是整数。
我们可以根据x1的取值构造一个割平面：x1 >= 3。
这意味着我们可以添加一个线性约束条件来限制x1的值大于等于3。
现在，我们再次使用单纯形法求解线性规划问题，同时考虑新添加的割平面。
得到新的最优解为：x1 = 3, x2 = 1, Z = 14。
这个解是整数解，满足问题的整数约束条件。
通过上述步骤，我们成功地使用割平面法找到了整数最优解。
总结：割平面法是一种求解整数线性规划问题的有效方法。
它通过在原始可行域上添加割平面来缩小可行域，直到找到整数最优解。
在应用割平面法时，需要注意选择正确的变量和对应的线性约束条件来构造割平面。
此外，在使用单纯形法求解线性规划问题时，需要注意处理变量的取值范围和整数约束条件。
【运筹学】割平面法课件
问题：如何寻找割平面？
增加的约束方程须满足什么条件才能使： 1、割掉松弛规划的最优解 2、保留所有的整数解
二、割平面法
对整数规划问题 IP：max z CX
s.t
AX b X 0
x j为整数
其松弛问题L0 max z CX
s.t
AX X
b 0
设L0的
最优
解X
不
0
是
整数
解
不妨设
X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0
0 f im j 1
X1 X2 X3 X4 X5 X6
b
j 1,2,n m
0 0 -0.5 0 0 -1.5 z-9 x2 0 1 0.5 0 0 -0.5 1 x4 0 0 -1.75 1 0 3.25 5.5
x5 0 0 -1 0 1 1 3
nm
fim j xm j fi0
j 1
bi0 fi0
对源方程：xi aim1xm1 aim j xm j ain xn bi0
nm
xi aim j xm j bi0 j 1
[aim j ] f im j 0 f im j 1
bi0 fi0
0 fi0 1
nm
xi
( aim j fim j ) xm j bi0 fi0
L0 (x1 3)得L1：
max z 8x1 5x2
2x1 3x2 12
s.t
2x1 x2 x1 3 x1 0, x2
6 0
割平面
IP的可行解 IP的可行解
L0的整数解 L1的整数解
2x1 3x2 12
L1的最优解：x1 3, x2 2 得IP的最优解：x1 3, x2 2
割平面法判定条件
割平面法判定条件
咱先说这个割平面法，它可不是个简单事儿。
这判定条件啊，就像一把钥匙，你得找到那把对的钥匙才能开锁。
我记得有一次，我和这朋友在一个小破屋子里研究这个。
那屋子小得很，光线也暗，就一盏昏黄的灯在那儿晃悠，还时不时地闪两下，跟闹鬼似的。
我一听，觉得也有点道理。
这判定条件，就像是在迷宫里找出口的指示牌。
比如说，你看到一个不等式，就像是看到一个牌子写着“此路不通”，那你就得换个方向。
而等式呢，可能就是那个正确的通道。
他又说：“你看啊，这个系数之间的关系也很重要，就像人与人之间的关系一样。
如果关系不对，那就不行。
”我就打趣他说：“那你和这割平面法的关系咋样啊？是不是像你和你那唠叨的老妈一样啊？”他被我气得直跺脚，说：“你这是啥比喻，这能一样吗？”
这判定条件还得考虑到变量的取值范围，就像每个人都有自己的活动范围一样。
你不能让变量超出它该在的范围，不然就乱套了。
我那朋友一边挠着头，一边说：“这个取值范围啊，就像给这些变量画了个圈，它们只能在这个圈里活动。
”我就说：“那这个圈要是破了呢？”他瞪着我，说：“那还能有好吗？就像羊圈破了，羊都跑了，你还咋管理？”。
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x2
x2
O （a）
x1
O
x1
（b）
7
OR:SM
五、割平面法求解举例
例：某厂拟购进甲、乙两类机床生产新产品。已知甲、乙机床进价分别为 2万元和3万元；安装占地面积分别为4m2和2m2；投产后的收益分别为3百元 /日和2百元/日。厂方仅有资金14万元，安装面积18m2。为使收益最大，厂 方应购进甲、乙机床各多少台？
将（5）式标准化:
1 2
x5
x6
1 2
加到前面单纯形表最终表中，有：
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x2
0
1
0
-1
1
0
x1
1
0
0
1
-1/2
0
x3
0
0
1
1
-2
0
x6
0
0
0
0
-1/2
1
Z
0
0
0
-1
-1/2
0
用对偶
x2
0
1
0
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2
单纯形
x1
1
0
0
1
0
-1
法求解， 得：
x3 x5
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1
（5）式用决策变量表达的割平面方程为 6x1 5x2 29 6
x2
图示切 割过程
15
6x1+5x2=31
6
4x1+2x2=18
5
4
(3.25,2.5)
3
(3.5,2)
2 1
(4,1) 2x1+3x2=14
0
6x1+5x2=2x91
1 2 34 5 6 7 8 9
OR:SM
五、割平面法求解举例
20
OR:SM
一、选择题（续）
2、当你应用切割平面法，（ ）。
A）在处理每一块切割平面时，也要应用标准 线性规划方法
B）因为可以切去部分无用可行集，利用整数 规划方法可以得到比利用标准线性规划方法更 好的答案
C）因为削去了一些约束条件，实际上减少了 问题的约束条件。
D）因为加了约束，原最优解还起作用。
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第四节 切割平面法
算法和流程
1、切割平面法原理 2、切割平面法算法
3、切割平面法计算 步骤
切割方程
1、切割方程构造 2、计算实例1 3、计算实例2
注意事项
1、切割平面法的优点 和不足 2、切割平面法使用注 意事项
2
OR:SM
一、割平面法的创立
割平面法是1958年由美国学者 R.E.Gomory提出来的，它是为克服分枝
xi N ik xk N bi fbi fik xk 0
k
k
（3）得割平面方程 fbi fik xk 0
k
6
OR:SM
四、割平面法的切割原理
由以上三式可知：
（1）切割方程真正进行了切割，至少把非整数最优解这一点割掉了。 （2）没有割掉整数解，这是因为相应的线性规划的任意整数可行解都满 足切割方程的缘故。
五、割平面法求解举例
对线性松弛问题，借用单纯形法，经迭代得最终表
XB
x1
x2
x3
x4
b
x2
0
1
1/2 -1/4 5/2
x1
1
0 -1/4 3/8 13/4
Z
0
0 - 1/4 -5/8 59/4
x1,x2均为 非整数
最优解： x1=13/4，x2=5/2， Z=59/4
任选一个构造 割平面方程
9
OR:SM
x3 x4
14 18
2 x1 4 x1
3x2 2x2
x2
6x1+5x2=31
6x1 5x2 31 （4） 6
4x1+2x2=18
5
（4）式是用决策 4
变量表达的割平 3
面方程。
2
(3.25,2.5) (3.5,2)
1
图示切 割过程
2x1+3x2=14
0
x1
1 2 34 5 6 7 8 9
12
OR:SM
五、割平面法求解举例
（3）对原数模引入割平面约束，将（3）式标准化：
1 2
x3
1 2
x4
x5
1 2
加到前面单纯形表中
XB
x1
x2
x3
x4
x5
b
对
x2
0
1
1/2 -1/2 0
5/2
偶
x1
1
0
-1/4 3/4
0
13/4
单 纯
x5
0
0
-1/2 -1/2
1
-1/2
形
Z
0
0
- 1/4 -5/4
（1）从单纯形最终表中抄下决策变量非整数解方程，
设为： xi aik xk bi
k
（1）
其 中bi是 基变量 的非整数解。
（2）将aik和bi分解为整数N和正的真分数f 两部分之和
aik Nik fik , bi Nni fbi
2
将（2）代入(1)中,然后将整数置于方程左边，分 数置于方程右变，即
五、割平面法求解举例
（2）寻找割平面方程（上表中非整数解）
x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
1
将（1）式所有系数和常数分解为整数和正的真分数之和
1
0x2
0
1 2
x3
1
1 2
x 4
2
1 2
1
（1 ）′式中整数系数项归于方程左边，真分数项归于
右边，有：
x2
x4
2
1 2
1 2
x3
1 2
返回目录
17
OR:SM
E-mail：lijun@
18
OR:SM
课堂练习
你明白了一点吗？
19
一、选择题
1、切割平面法（ ）。
A）也称为Gomory方法 B）有时称为戈尔斯基方法 C）只在0-1整数规划问题中应用 D）即使线性规划算法提供了初始整数解，我们也
要采用这一方法
OR:SM
一、选择题（续）
3、下列说法正确的是（ ）。
A）用分枝定界得到松弛问题的多个可行解，可任 取一个为整数规划问题目标函数值的上界。
B）整数规划问题的目标函数值优于其相应的松弛 问题解的目标函数值
C）割平面有可能割去非最优解的整数解 D）割平面方程是决策变量取整数的一个必要条件
22
OR:SM
0
59/4
法
13
OR:SM
五、割平面法求解举例
x2
0
1
0
-1
1
2非
x1
1
0
0
1
-1/2 7/2 整
x3
0
0
1
1
-2
1数
Z
0
0
0
-1 -1/2 58/4
转入第二步，求割平面方程。
x1
x4
1 2
x5
7 2
整理
x1
x4
x5
3
1 2
1 2
x5
0
即
1 2
1 2
x5
0
即-
1 2
x5
-
1 2
5
14
OR:SM
五、割平面法求解举例
-4 -2
返回目录
Z
0
0
0
-1
0
-1
16
b 2 7/2 1 -1/2 58/4
1 4 3 1 14
OR:SM
六、割平面法的优点和不足
优点： ①适于中小型整
数规划问题，也可 解混合整数规划问 题。
②学术性较强
切割平面法
不足： ①收敛较慢，舍入
误差大； ②割平面法取法不
唯一； ③不便于计算机求
解
割平面法在学术界影响较大
x4
2
10
OR:SM
五、割平面法求解举例
x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
1
正真分数
x2
x4
2
1 2
1 2
x3
1 2
x4
2
整数
因此有
1 2
（1 2
x3
1 2
x4）
0
正数
小于0的 整数
即有
1 2
x3
1 2
x4
1 2
3
（3）式即为为割平面方程。
11
OR:SM
五、割平面法求解举例
从标准规范形中得 代入(3)式中得：
界法的不足提出来的，基本思想是通过添加切割方程使整数解由内点变 为顶点。
3
OR:SM
算 法 步 骤
4
二、割平面法的算法
求松弛问题的 最优基可行解
判断是否
是
为整数解
否
在单纯性表中加入一列 利用对偶单纯性算法
求最优解
得到最优解
停止
如何构 造割平 面程？
OR:SM
二、割平面法计算步骤
step1
对整数规划问题 ，去掉整数约束 ，用单纯形法求 解。若最优解是 整数，停止计算 ，否则转第（2 ）步。