割平面法求解整数规划问题实验报告

运筹学与最优化MATLAB 编程

实验报告

割平面法求解整数规划问题

一、 引言：

通过对MATLAB 实践设计的学习，学会使用MATLAB 解决现实生活中的问题。该设计是在MATLAB 程序设计语言的基础上，对实际问题建立数学模型并设计程序，使用割平面法解决一个整数规划问题。经实验，该算法可成功运行并求解出最优整数解。 二、 算法说明：

割平面法有许多种类型，本次设计的原理是依据Gomory 的割平面法。Gomory 割平面法首先求解非整数约束的线性规划，再选择一个不是整数的基变量，定义新的约束，增加到原来的约束中，新的约束缩小了可行域，但是保留了原问题的全部整数可行解。

算法具体设计步骤如下：

1、首先，求解原整数规划对应的线性规划

,*)(min x c x f =⎩⎨⎧≥≤0

..x b

Ax t s ，设最优解为x*。

2、如果最优解的分量均为整数，则x*为原整数规划的最优解；否则任选一个x*中不为整数的分量，设其对应的基变量为x p ，定义包含

这个基变量的切割约束方程con j

j ij p b x r x =+∑，其中x p 为非基变量。

3、令][ij ij ij r r r -=，][con con con b b b -=，其中[]为高斯函数符号，表示不大于某数的最大整数。将切割约束方程变换为

∑∑-=-+j

j

ij con con j

j ij p x r b b x r x ][][，由于0

1<-∑j

j ij con x r b ，因为自变量为整数，则∑-j

j ij con x r b 也为整数，所以进一

步有0≤-∑j

j ij con x r b 。

4、将切割方程加入约束方程中，用对偶单纯形法求解线性规划

⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧≥≤-≤=∑00..,*)(min x x r b b Ax t s x c x f j j ij con ，然后在转入步骤2进行求解，直到

求出最优整数解停止迭代。 三、 程序实现：

程序设计流程图如图1，具体设计代码(见附录)。

图1

四、 算例分析：

已知AM 工厂是一个拥有四个车间的玩具生产厂商，该厂商今年新设计出A 、B 、C

、D 、E 、F 六种玩具模型，根据以前的生产情况及市场调查预测，得知生产每单位产品所需的工时、每个车间在一季度的工时上限以及产品的预测价格，如下表所示。问：每种设计产品在这个季度各应生产多少，才能使AM 工厂这个季度的生产总值达到最大？

1、问题分析并建立模型：

由题意可知这是一个求解产量使产值最大的整数规划问题。根据上述问题和已知数据,可以假设每种产品在这个季度各应生产产量分别为：x 1、x 2、x 3、x 4、x 5、x 6，则有以下线性方程组

maxZ=20x 1+14x 2+16x 3+36x 4+32x 5+30x 6

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧=≥≤+≤+≤+≤+++++6

,,1i ,0900

08.003.0100

05.002.0700

05.002.085003.003.003.001.001.001.0..6

35241654321 且为整数，i x x x x x x x x x x x x x t s 2、实验步骤：

首先引入松弛变量x 7、x 8、x 9 、x 10，使其化为标准型 minZ=-20x 1-14x 2-16x 3-36x 4-32x 5-30x 6

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++=++++++10

,,1i ,0900

08.003.010005.002.0700

05.002.085003.003.003.001.001.001.0..10

639528417654321 且为整数，i x x x x x x x x x x x x x x x x x t s

其次从标准型可表示出约束系数矩阵、右端项常数矩阵、目标系数矩阵分别为A 、b 、c 。 然后调用DividePlane 函数，使用割平面法进行求解。

在MATLAB的命令窗口输入一下命令：

>> A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03 1 0 0 0;0.02 0 0 0.05

0 0 0 1 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0 0 0 1 0;0 0 0.03 0 0 0.08 0 0 0

1];

>> c=[-20;-14;-16;-36;-32;-30];

>> b=[850;700;100;900];

>> [intx,intf]=DividePlane(A,c,b,[7 8 9 10])

3、实验结果及分析：

intx =

35000 5000 30000 0 0 0

intf =

-1250000

实验结果求出的目标函数值是化为标准型的最小值，则转化为原问题的目标函数值应取相反数，所以从实验结果可知：生产各种产品的产量分别应为为，生产A 35000、生产B 5000、生产C 30000、生产D 、E、F均为0，此时的季度产值为最大即1250000元。该结果是可信的，故通过该实例说明该程序能够运用于实际，用来解决实际生活中求解整数规划的问题。

五、结束语：

Matlab是个很强大的软件，提供了大量的函数来处理各种数学、工程、运筹等的问题，并且含有处理二维、三维图形的功能，使用matlab能够解决许多实际生活中的问题。通过这个学期的学习，仅是