整数规划的数学模型分枝定界法割平面法
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2020/7/7
分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路 2.第65页例5-1 3.练习题
2020/7/7
分枝定界法的基本思路
利用连续的(线性规划)模型来求解非连续的(整数规划)问题。假设 x r
是一个有取整约束的变量而它的最优连续值
x
r
是非整数，那么下列区间
[xr ]
xr
[xr ]
1 不可能包含任何整数解，这里[ x r
x1 + 2x2
15
4x1
+ 5x3 26
x1~3 0且取整
2020/7/7
求解练习题
2020/7/7
首先求解线性规划L0 :
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
x1 + x2 + x3 + x 4 = 12
x1 + 2x2 + x5 = 15
4x1
+5x3 + x6 = 26
x1~6 0
求解练习题
将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
2020/7/7
求解练习题
L1 求解单纯形表
cj
25400
CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0
x7
σ
x1
x2
x3
x4
x7
1/2 0 1 1 -1/2
1/2 1 0 0 1/2
3/2 0 0 -5 5/2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
x1
4
x1，x2 0
L2 ：max z = 40x1 +
90x2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
x1
5
x1，x2 0
L1 ：X* = (4, 2.10), Z* = 349 L2 ：X* = (5, 1.57), Z* = 341
17
0 x6 -1 0 0 -5 0 1 5
1
0 x5 1 0 0 0 1 0 -2 1
σ
-2 0 0 -4 0 0 -1
L1 有整数最优解 X* =（0，7，5），Z*=55
0 0
1 0 0
0 x6
0 0 0 1
b
9/2 15/2
7/2 7
0 x6 b
0
9/2
0
15/2
0
7/2
1
-1/2
0
求解练习题
线性规划 L1 的最终单纯形表
cj
254000 0
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7
b
4 x3 1 0 1 1 0 0 -1 5
5 x2 0 1 0 0 0 0
2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
4.分解L2形成L5、L6，其中： L5 = {L2, x21} L6 = {L2, x22} L5 : X* = (5.44, 1), Z* = 308 L6 : 无可行解
(1)舍弃L5、L6； (2)得最优解X* = (4, 2), Z* = 340。
2020/7/7
2020/7/7
第65页例5-1
2020/7/7
max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0且取整
用分枝定界法解例5-1
1.求解相应的线性规划L0 max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0
求解练习题
线性规划 L0 的最终单纯形表
cj CB XB
2540
x1
x2 x3
x4
00
x5
x6 b
4 x3 1/2 0 5 x2 1/2 1 0 x6 3/2 0
1 1 -1/2 0 9/2 0 0 1/2 0 15/2 0 -5 5/2 1 7/2
σ
-5/2 0 0 -4 -1/2 0
2020/7/7
例5-1求解过程示意图
L0 (4.81，1.82)
356
L1 (4，2.1)
349
L3 (4，2)
340
2020/7/7
L4 (1.42，3)
327
L2 (5，1.57)
341
L5 (5.44，1)
308
L6 无可行解
练习题
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
x1 + x2 + x3 12
01000
基变量系数向量单位化
cj CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0
x7
σ
2
x1 x7 1/2 1/2 3/2 -1/2 -5/2
5400
x2
x3
x4பைடு நூலகம்
0 1 1 -1/2 1 0 0 1/2 0 0 -5 5/2 0 0 0 -1/2 0 0 -4 -1/2
2020/7/7
0 x5
0 0
1 0
0 x5
]表示
x
r
的取整值。因此，
xr 的可行整数值必然满足此二条件之一：xr [xr]或 xr [xr] 1。
2020/7/7
分枝定界法的基本思路
把这两个约束条件分别加到原来的解空间上，便产生了两个互斥的子问题。这便是 分枝的含义。由于分枝过程是通过增加约束条件来实现的，因此每一问题的子问题都不 会有比其自身还大（目标函数求极大值）的最优目标值。当所有子问题的解均为非整数 可行解时，应首先选择具有最大最优目标值的子问题来分枝；当得到第一个整数可行解 时，它的相应目标值可作为该整数规划最优值的下界，舍掉所有最优值不大于该下界的 子问题。按最优值的大小顺序对保留下来的子问题进行分枝，如果出现具有更大目标值 的整数可行解，将下界更新为此整数可行解的目标值并进一步剪枝。从复这一过程，最 终保留下来的整数可行解即为整数规划的最优解。
整数规划的数学模型
max(min)(c1 x1+ c2 x2 +…+ cn xn ) a11 x1+ a12 x2 +…+ a1n xn (=,) b1 a21 x1+ a22 x2 +…+ a2n xn (=,) b2
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束 混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
x2
5
9x1+7x2=56
4
3
2
7x1+20x2=70
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
L0 : x* = (4.81, 1.82), Z* =356 2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
2.将L0分解为L1和L2
L1 ：max z = 40x1 + 90x2
2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
3.分解L1形成L3、L4，其中： L3 = {L1, x22} L4 = {L1, x23} L3 : X* = (4, 2), Z* = 340 L4 : X* = (1.42, 3), Z* = 327
(1)取下界min=340(L3); (2)舍弃L4
分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路 2.第65页例5-1 3.练习题
2020/7/7
分枝定界法的基本思路
利用连续的(线性规划)模型来求解非连续的(整数规划)问题。假设 x r
是一个有取整约束的变量而它的最优连续值
x
r
是非整数，那么下列区间
[xr ]
xr
[xr ]
1 不可能包含任何整数解，这里[ x r
x1 + 2x2
15
4x1
+ 5x3 26
x1~3 0且取整
2020/7/7
求解练习题
2020/7/7
首先求解线性规划L0 :
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
x1 + x2 + x3 + x 4 = 12
x1 + 2x2 + x5 = 15
4x1
+5x3 + x6 = 26
x1~6 0
求解练习题
将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
2020/7/7
求解练习题
L1 求解单纯形表
cj
25400
CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0
x7
σ
x1
x2
x3
x4
x7
1/2 0 1 1 -1/2
1/2 1 0 0 1/2
3/2 0 0 -5 5/2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
x1
4
x1，x2 0
L2 ：max z = 40x1 +
90x2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
x1
5
x1，x2 0
L1 ：X* = (4, 2.10), Z* = 349 L2 ：X* = (5, 1.57), Z* = 341
17
0 x6 -1 0 0 -5 0 1 5
1
0 x5 1 0 0 0 1 0 -2 1
σ
-2 0 0 -4 0 0 -1
L1 有整数最优解 X* =（0，7，5），Z*=55
0 0
1 0 0
0 x6
0 0 0 1
b
9/2 15/2
7/2 7
0 x6 b
0
9/2
0
15/2
0
7/2
1
-1/2
0
求解练习题
线性规划 L1 的最终单纯形表
cj
254000 0
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7
b
4 x3 1 0 1 1 0 0 -1 5
5 x2 0 1 0 0 0 0
2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
4.分解L2形成L5、L6，其中： L5 = {L2, x21} L6 = {L2, x22} L5 : X* = (5.44, 1), Z* = 308 L6 : 无可行解
(1)舍弃L5、L6； (2)得最优解X* = (4, 2), Z* = 340。
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2020/7/7
第65页例5-1
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max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0且取整
用分枝定界法解例5-1
1.求解相应的线性规划L0 max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0
求解练习题
线性规划 L0 的最终单纯形表
cj CB XB
2540
x1
x2 x3
x4
00
x5
x6 b
4 x3 1/2 0 5 x2 1/2 1 0 x6 3/2 0
1 1 -1/2 0 9/2 0 0 1/2 0 15/2 0 -5 5/2 1 7/2
σ
-5/2 0 0 -4 -1/2 0
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例5-1求解过程示意图
L0 (4.81，1.82)
356
L1 (4，2.1)
349
L3 (4，2)
340
2020/7/7
L4 (1.42，3)
327
L2 (5，1.57)
341
L5 (5.44，1)
308
L6 无可行解
练习题
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
x1 + x2 + x3 12
01000
基变量系数向量单位化
cj CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0
x7
σ
2
x1 x7 1/2 1/2 3/2 -1/2 -5/2
5400
x2
x3
x4பைடு நூலகம்
0 1 1 -1/2 1 0 0 1/2 0 0 -5 5/2 0 0 0 -1/2 0 0 -4 -1/2
2020/7/7
0 x5
0 0
1 0
0 x5
]表示
x
r
的取整值。因此，
xr 的可行整数值必然满足此二条件之一：xr [xr]或 xr [xr] 1。
2020/7/7
分枝定界法的基本思路
把这两个约束条件分别加到原来的解空间上，便产生了两个互斥的子问题。这便是 分枝的含义。由于分枝过程是通过增加约束条件来实现的，因此每一问题的子问题都不 会有比其自身还大（目标函数求极大值）的最优目标值。当所有子问题的解均为非整数 可行解时，应首先选择具有最大最优目标值的子问题来分枝；当得到第一个整数可行解 时，它的相应目标值可作为该整数规划最优值的下界，舍掉所有最优值不大于该下界的 子问题。按最优值的大小顺序对保留下来的子问题进行分枝，如果出现具有更大目标值 的整数可行解，将下界更新为此整数可行解的目标值并进一步剪枝。从复这一过程，最 终保留下来的整数可行解即为整数规划的最优解。
整数规划的数学模型
max(min)(c1 x1+ c2 x2 +…+ cn xn ) a11 x1+ a12 x2 +…+ a1n xn (=,) b1 a21 x1+ a22 x2 +…+ a2n xn (=,) b2
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束 混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
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用分枝定界法解例5-1
x2
5
9x1+7x2=56
4
3
2
7x1+20x2=70
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
L0 : x* = (4.81, 1.82), Z* =356 2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
2.将L0分解为L1和L2
L1 ：max z = 40x1 + 90x2
2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
3.分解L1形成L3、L4，其中： L3 = {L1, x22} L4 = {L1, x23} L3 : X* = (4, 2), Z* = 340 L4 : X* = (1.42, 3), Z* = 327
(1)取下界min=340(L3); (2)舍弃L4