整数规划的数学模型分枝定界法割平面法
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整数规划算法
只要求出（LP3）和（LP4）的最优解即可。
⑵
先求（LP3）,如图所示。 此时D 在点取得最优解。
x2
A 3 B C
⑴
(18/11,40/11)
D ⑶
即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3,
Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8
但x1＝12/5不是整数，可继 续分枝。即 3≤x1≤2。
（三）、整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得倒的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此 枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续 分枝。
如此反复进行，直到得到Z＝Z*＝Z 为止，即得最优解 X* 。
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（IP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0且全为整数 解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（LP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0
⑵
先求（LP3）,如图所示。 此时D 在点取得最优解。
x2
A 3 B C
⑴
(18/11,40/11)
D ⑶
即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3,
Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8
但x1＝12/5不是整数，可继 续分枝。即 3≤x1≤2。
（三）、整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得倒的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此 枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续 分枝。
如此反复进行，直到得到Z＝Z*＝Z 为止，即得最优解 X* 。
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（IP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0且全为整数 解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（LP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0
整数规划
比如下面的例子：
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如 下表：
货物 体积（每 箱M3) 5 甲 4 乙 托运限制 24 重量(每箱 50kg) 2 5 13 利润(每 箱百元) 20 10
问两种货物各托运多少箱,可使利润最大?
为了满足整数解得要求，初看，似乎只要把已得到的分 数或小数， “舍入化整”就可以了。但是，这常常是不行的， 因为化整后，不一定是可行解，或者虽是可行解，但不一定 是最优解。
整数规划
§1 整数规划及其解法 §2 0-1型整数规划 §3 指派问题
整数规划
1、理解整数规划、0-1规划和指派问题的数学 模型 2、理解整数规划模型的类型 3、理解整数规划的求解方法:分支定界法和割 平面法、0-1规划的隐枚举法和指派问题的 匈牙利法的思想和步骤
求解方法
1、分支定界法 2、割平面法
a x
i 1 ij
n
j
bi yi M (i 1,, m)
y1 + y2 + „ + ym = m –1， yi = 0 或 1 (i=1，„，m)
3、关于固定费用问题
• 在讨论线性规划时，有些问题是要求使 成本最少的方案，那时总设固定成本为 常数，并在线性规划的模型中不必明显 列出。但有些固定成本的问题不能用一 般线性规划来描述，但可改为混合整数 规划来解决。
aj
值最大？
解：设 x j 为决策变量，且 x j 满足如下限制
xj {
1，携带第j件物品 0，不携带第j件物品
，j 1,2, n
则问题的数学模型为
x c j x j max
j 1
n
第五章整数规划
第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1 求解下列整数规划问题211020m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96m ax ,0,8.421===z x x 。
用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z ；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。
现举例说明： 例2 求解A219040m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82,①② ③ ④ ⑤=0z 356（见下图）。
运筹学第5章：整数规划
1 xj 0 对项目j投资 对项目j不投资 （j 1， ，n） 2，
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
整数规划的数学模型分枝定界法割平面法型整数规
将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
2018/9/17
求解练习题
L1 求解单纯形表 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 0 1 0 0 0 σ 基变量系数向量单位化 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 -1/2 0 0 0 -1/2 -5/2 0 0 -4 -1/2 σ
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束 混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
2018/9/17
分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路 2.第65页例5-1
3.练习题
2018/9/17
分枝定界法的基本思路
2018/9/17
用割平面法解例
x2 +3/4 x3 +1/4 x4 =7/4 现将各系数分成整数和非负真分数两部分，从而可得： (1+0)x2+(0+3/4) x3+(0+1/4) x4 =(1+3/4) 将整数部分的变量移至等式右端有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+（1- x2 ） 非负整数解(1- x2)为整数，左端非负故有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+非负整数 从而： 3/4 x3 +1/4 x4 3/4 或 x2 1 以 x2 1为割平面可使可行域减少一个包括A点在内的三角形。 2018/9/17
整数规划 割平面法 分枝定界法
-x1+x2≤1 3x1+x2≤4 x1,x2≥0
用图解法求得可行域D及最优解点A，见下图：
x2
A（3/4，7/4） 由标准化的约束方程组可得
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
下面以实例来说明算法的步骤。
例2 求解下面整数规划
x2
maxZ=40x1+90x2
⑴8
9x1+ 7x2≤56 7x1+20x2≤70 xx11,,xx22≥0整数
⑵
⑶ ⑷
4
⑸
解：先不考虑条件⑸，求解相 0
应的线性规划问题L，得最优解
x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个
整个分枝定界过程如下图所示：
问题L
Z0=356 x1=4.81x2=1.82
Z 0,Z 356
x1≤4
问题L1 Z1=349 x1=4.00，x2=2.10
x2≤2 问题L3 Z3=340 x1=4.00 x2=2.00
Z※=340
x2≥3
问题L4 Z4=327 x1=1.42 x2=3.00
×
x1≥5
运筹学
整数线性规划
§1 整数规划问题
在前面的线性规划问题中，它的解都假设为可以取连续数值。 但是在许多实际问题中，决策变量仅仅取整数值时才有意义，比如 变量表示的是工人的人数、机器的台数、货物的箱数、装货的车皮 数等等。为了满足整数解的要求，比较自然的简便方法似乎就是把 用线性规划方法所求得的非整数解进行“四舍五入”取整或“舍尾 取整”处理。当然，这样做有时确实也是有效的，可以取得与整数 最优解相近的可行整数解，因此它是实际工作中经常采用的方法。 但是实际问题中并不都是如此，有时这样处理得到的解可能不是原 问题的可行解，有的虽是原问题的可行解，但却不是整数最优解。 （详见后面例1）。因而有必要专门研究只取整数解的线性规划的 解法问题。
用图解法求得可行域D及最优解点A，见下图：
x2
A（3/4，7/4） 由标准化的约束方程组可得
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
下面以实例来说明算法的步骤。
例2 求解下面整数规划
x2
maxZ=40x1+90x2
⑴8
9x1+ 7x2≤56 7x1+20x2≤70 xx11,,xx22≥0整数
⑵
⑶ ⑷
4
⑸
解：先不考虑条件⑸，求解相 0
应的线性规划问题L，得最优解
x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个
整个分枝定界过程如下图所示：
问题L
Z0=356 x1=4.81x2=1.82
Z 0,Z 356
x1≤4
问题L1 Z1=349 x1=4.00，x2=2.10
x2≤2 问题L3 Z3=340 x1=4.00 x2=2.00
Z※=340
x2≥3
问题L4 Z4=327 x1=1.42 x2=3.00
×
x1≥5
运筹学
整数线性规划
§1 整数规划问题
在前面的线性规划问题中，它的解都假设为可以取连续数值。 但是在许多实际问题中，决策变量仅仅取整数值时才有意义，比如 变量表示的是工人的人数、机器的台数、货物的箱数、装货的车皮 数等等。为了满足整数解的要求，比较自然的简便方法似乎就是把 用线性规划方法所求得的非整数解进行“四舍五入”取整或“舍尾 取整”处理。当然，这样做有时确实也是有效的，可以取得与整数 最优解相近的可行整数解，因此它是实际工作中经常采用的方法。 但是实际问题中并不都是如此，有时这样处理得到的解可能不是原 问题的可行解，有的虽是原问题的可行解，但却不是整数最优解。 （详见后面例1）。因而有必要专门研究只取整数解的线性规划的 解法问题。
求解整数规划常用的方法有分枝定界法和割平面法。这两种
1
3
2 ◎0
◎0 6 2 1 √ 0 5 1 0
0
5
3
1
√
0
4
2
0
0 ◎0 0 1
1 0 0 1
1
3
2 ◎0
2
3
2
0
√
做最少直线
（4） 在未被直线覆盖的部分中找出最小元素， 然后在打√行各元素中都减去这最小元素，而在打√ 列的各元素都加上这最小元素。这样得到新的系数 矩阵（它的最优解和原问题相同）。
很多0元素的新系数矩阵 c ij ，而最优解保持不变。
匈牙利法是针对目标要求极小化问题提出的 基本原理：为了实现目标极小，在系数矩阵
元素cij≥0条件下，如果能使矩阵具有一组处于 不同行不同列的零元素cij’＝0，画上圈符号 “◎”，表示对应该元素的决策变量xij=1，未画 圈元素对应的决策变量xij＝0，那么目标的数值
非平衡的指派问题，设两项虚任务，其收益为0， 化为平衡指派问题。
ABCDE F
1
3
5
4
5
0
0
2
6
7
6
8
0
0
3
8
9
8 10 0
0
4 10 10 9 11
0
0
5 12 11 10 12 0
0
6 13 12 11 13 0
0
求最大值问题转化为求最小值问题，利用下式
mZ a x m iZ n
nn
即
minZ
0 4 0 0
◎0
3
1
0
2 ◎0 0 2
2
2
1 ◎0
0 4 ◎0 0
1整数规划的基本特点§2分枝定界法§3割平面法§4分配问题及其解法
将松弛变量加到G1中得到LP问题G2:
G2： max z 3x1 2 x 2 2 x1 3x 2 x3 14 2 x1 x 2 x 4 9 1 1 1 s.t. x3 x 4 x5 2 2 2 1 1 x5 x 6 2 2 x j 0( j 1,,6)
第一步：把问题中所有约束条件的系数均化 为整数，若不考虑变量的整数约束，可写出一般 的线性规划问题G0：
G 0： max z 3 x1 2 x 2 2 x1 3 x 2 14 s.t. 2 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
用单纯形法求得上述问题的最终单纯形表如下：
第5章 整数规划
§1 §2 §3 §4 §5 整数规划的基本特点 分枝定界法 割平面法 分配问题及其解法 整数规划的应用举例
§3 割平面法
• 这是求解整数规划问题最早提出的一种方法， 1958年由Gomory提出。 • 他的基本思想是在整数规划问题的松弛问题中 依次引进线性约束条件，是可行域逐步缩小。 但每次切割只割去问题的部分非整数解，直到 使问题的目标函数值达到最优的整数点成为缩 小后可行域的一个顶点，这样即可用线性规划 问题的方法找出这个最优解。 • 具体步骤如下：
迭代 基变 次数 量 CB x2 x1 2 3 Cj-Zj
x1 3 0 1 0
x2 2 1 0 0
x3 0 1/2 -1/4 -1/4
x4 0 -1/2 3/4 -5/4 b 5/2 13/4
比值 bi/aij
第二步：找出非整数解变量中分数部分最大的一个基变量， 并写下这一行的约束 1 1 1 x3 x4 2 2 2 2 将上式中所有常数写成整数与一个正分数值之和得 x2 1 1 1 x2 (0 ) x3 (1 ) x4 (2 ) 2 2 2 分数项移到等式右端，整数项移到等式左端得到 1 1 1 x2 x4 2 x3 x4 2 2 2 右端也必须取整数值，又因x2 , x4 0，因此有 1 1 1 x3 x4 0 2 2 2 加上松弛变量后得Gomory约束 1 1 1 x3 x4 x5 0 2 2 2
第五章-整数规划
在E点取得最优解。即
x2
x1＝2, x2 =3, Z(211)＝－17
找到整数解，问题已探明，此枝 3
停止计算。
求（LP212），如图所示。此时
F在点取得最优解。即x1＝3, x2
=2.5,
1
Z(212)＝－31/2≈－15.5 > Z(211)
如对LP212继续分解，其最小值
也不会低于－15.5 ，问题探明,
例5.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j 所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定; 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，3),(2 x2
⑴
⑵
，3),(1，4),(2，4)。显然，它们 都不可能是整数规划的最优解。 3
(3/2,10/3)
按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右
图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
考虑纯整数规划问题：
设其中aij和bi皆为整数（若不为整数时，可乘上 一个倍数化为整数）。
割平面法（纯整数）
割平面法是R.E.Gomory于1958年提出的一种方法， 它主要用于求解纯ILP。
割平面法是用增加新的约束来切割可行域，增加的新 约束称为割平面方程或切割方程。其基本思路为：
若其松弛问题的最优解X*不满足整数约束，则从X*的 非整分量中选取一个，用以构造一个线性约束条件，将其加 入原松弛问题中，形成一个新的线性规划，然后求解之。若 新的最优解满足整数要求，则它就是整数规划的最优解；否 则重复上述步骤，直到获得整数最优解为止。
整数规划
7
二、固定成本问题 例2．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器， 所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需 的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费用，每种容器 售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的 金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外 不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用： 小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制 定一个生产计划，使获得的利润为最大。
=0。
这样我们可建立如下的数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。由图表
可看出，整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为14。 一般求整数解的线性规划问题，不可用四舍五入法或去尾法对线性规
划的非整数解加以处理来解决整数规划。
在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则称为纯整数规划问 题；如果有一部分变量为负整数，则称之为混合整数规划问题。在整 数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这样的变量我们称之为0-1 变量。在纯整数规划和混合整数规划问题中，如果所有的变量都为01变量，则称之为0-1规划。
9
三、分布系统设计 例3．某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了 扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固定成本分别为175千元、300千元、375千 元、500千元，另外， A1产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时 销地的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。
整数规划中的割平面法和分枝定界法的研究
二、研究的主要内容和预期目标
研究的主要内容：
1.引言
2.Gomory割平面法
2.1割平面法的基本思想
2.2割平面法步骤
3.分枝定界法
.1分枝定界法的基本思想
.2分枝定界法步骤
4.割平面法和分枝定界法比较
5.一种新型割平面法
6.分枝定界法在最优化问题中的应用
结束语
预期目标：
熟练掌握两种算法，了解各自算法的优点与缺点；会建立整数规划模型，并合理应用算法和计算机解决问题。
and Complexity[M].NewJersey:Prentice-Hall,1982
[3]许志国，马仲蕃.整数规划初步[M].沈阳：辽宁教育出版社，1990
[4]赵玮，王荫清.随机运筹学[M].北京：高等教育出版社，1993
[5]张香云.线性规划[M].浙江：浙江大学出版社，2009
[6]张雅琴，王希云.分枝定界法在最优化问题中的应用[J].经济技术协作信息，2007.17(17):83
三、拟采用的研究方法、步骤
1.研究方法：
主要采用文献资料法对大量文献进行分析，以使对研究课题的研究现状、背
景意义有深刻的理解。
运用描述性研究法研究两种算法的优劣、在模型中的应用等。
2.研究步骤
(1)选定课题：根据对所学专业知识熟练与理解程度评估，选择了自己较为容易
研究的课题。
(2)收集资料：根据所选课题收集大量相关的材料。首先将有关运筹学中整数规划
的内容进行收集、归纳；再则去校图书馆查阅相关的资料，借阅有
关的书籍以及习题讲解；最后利用电脑在网上查阅更多的资料来丰
富论文研究内容。
(3)整合资料：将所收集的资料进行整合，则优而不泛用。
(4)确定题目：在整理好所需资料，大致的方向有所掌握后再确定论文的题目，好
研究的主要内容：
1.引言
2.Gomory割平面法
2.1割平面法的基本思想
2.2割平面法步骤
3.分枝定界法
.1分枝定界法的基本思想
.2分枝定界法步骤
4.割平面法和分枝定界法比较
5.一种新型割平面法
6.分枝定界法在最优化问题中的应用
结束语
预期目标：
熟练掌握两种算法，了解各自算法的优点与缺点；会建立整数规划模型，并合理应用算法和计算机解决问题。
and Complexity[M].NewJersey:Prentice-Hall,1982
[3]许志国，马仲蕃.整数规划初步[M].沈阳：辽宁教育出版社，1990
[4]赵玮，王荫清.随机运筹学[M].北京：高等教育出版社，1993
[5]张香云.线性规划[M].浙江：浙江大学出版社，2009
[6]张雅琴，王希云.分枝定界法在最优化问题中的应用[J].经济技术协作信息，2007.17(17):83
三、拟采用的研究方法、步骤
1.研究方法：
主要采用文献资料法对大量文献进行分析，以使对研究课题的研究现状、背
景意义有深刻的理解。
运用描述性研究法研究两种算法的优劣、在模型中的应用等。
2.研究步骤
(1)选定课题：根据对所学专业知识熟练与理解程度评估，选择了自己较为容易
研究的课题。
(2)收集资料：根据所选课题收集大量相关的材料。首先将有关运筹学中整数规划
的内容进行收集、归纳；再则去校图书馆查阅相关的资料，借阅有
关的书籍以及习题讲解；最后利用电脑在网上查阅更多的资料来丰
富论文研究内容。
(3)整合资料：将所收集的资料进行整合，则优而不泛用。
(4)确定题目：在整理好所需资料，大致的方向有所掌握后再确定论文的题目，好
4.3-分枝定界法和割平面法
剪枝 x 3 再分枝： 2
不是问题A解 而z (12 ) z
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z (1) 349 z
z (12 ) 327
4
x2 2
B11 : x1 4.00 x2 2.00 z (11) 340
定界： z 340 z 341
z 340 z 341
分支定界的全过程： B2 : x1 5.00 B1 : x1 4.0 0
x 2 2 .1 0
x2 1.57
x2 2
z
(1)
B11 : x1 4.00 x2 2.00 z
(11)
xx 34 2 最优解： 1
3 49
z ( 2 ) 341
（3）求解
点
求解过程如表4－6所示。
过滤条件 约束 ④ × √ √ √ 4x1＋3x2＋2x3≥5 × √ × √ √ √ √ × √ √ 5 √ 2 ① ② ③ z值
4x1＋3x2＋2x3≥2
（0，0，0）T （0，0，1）T （0，1，0）T （0，1，1）T （1，0，0）T （1，0，1）T
§4 分枝定界法
第二步:定界
记A的目标函数最优值为z*,以z(0)作为z* 的上界,记为 z =z(0).再用观察法找的一个整数可 行解X′,并以其相应的目标函数值z′作为z*的下 界,记为z＝z′,也可以令z＝－∞,则有: *
zz z
§3 分枝定界法
第三步:分枝
在以上界 z 所对应的解 X (b1,, br ,, bm ,0,,0)T 中,任选一个不符合整数条件的变量,例如 br(不 为整数),以 [br ]表示不超过 br 的最大整数.构造 两个约束条件
整数规划与matlab1
割平面法
计算步骤: (1~3) 1、用单纯形法求解( IP )对应的松弛问题( LP )：
⑴.若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解， 停止计算。
⑵.若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件， 则( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。
⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件， 转入下一步。
aij x j bi yi Mi (i 1,2,...,p)
j 1
p
yi p q
i 1
2. 0-1型整数规划的解法
n个变量有2n种组合，采用隐枚举法。 列出2n种组合，先求出一个可行解，计算
目标函数值，作为当前的最优解。对于其它 组合，先计算目标函数值，若不如当前的最 优解，就不必检验它的可行性。
3
26
满足条件
Z值
是∨ 否×
∨
0
∨
5
∨
－2
∨
3
×
∨
8
×
×
0－1 整数规划求解
由上表可知，问题的最优解为 X*=( x1 =1 x2=0 x3=1 ) 由上表可知： x1 =0 x2=0 x3=1 是一个可行解，为尽快找到最优解，可 将3 x1－2 x2＋5 x3 ≥5 作为一个约束，凡是目标函数值小于5 的组合不必 讨论，如下表。
MATLAB命令 1、整数线性规划命令 intlinprog(c, intcon, A, b, Aeq, beq, VLB, VUB) 例如：intcon=1:2; %x(intcon)为整数.
2、0-1规划命令 *bintprog (c, A, b, Aeq, beq, x0, options)
整数规划方法
xx1132
x22 x23
x32 x33
x42 x43
1 1
x14 x24 x34 x44 1
21
2019年11月22日
2. 指派（或分配）问 题
目标函数：
min z 2x11 15 x12 13x13 4x14 10 x21 4x22 14 x23 15 x24
(B)
n
aij xj (, )bi (i 1, 2, , m)
j1
x
j
0(
j
1, 2,,
n)
！！注意：如果每个松弛问题的最优解不是原问题的可行
解,则这个解对应的目标函数值 z 一定是原问题最优值 z*
的上界(最大化),即 z* z ，或下界(最小化),即 z* z ．
每个人去完成一项任务的约束为
x11 x12 x13 x14 1
x21 x31
x22 x32
x23 x33
x24 x34
1 1
x41 x42 x43 x44 1
每一项任务必有一人完成的约束：
x11 x21 x31 x41 1
5
2019年11月22日
二、整数规划求解方法
1 .整数规划求解的总基本思想
n
max(min)z c j x j j 1
(A)
n
aij x j (, )bi (i 1,2,, m)
j1
x
j
0, x j为整数(
j
整数规划问题的求解策略探讨
整数规划问题的求解策略探讨整数规划问题是指在约束条件下，目标函数为整数线性函数的优化问题。
在实际应用中，整数规划问题广泛存在于生产调度、资源分配、网络设计等领域。
由于整数规划问题的复杂性，其求解过程需要采用合适的策略和方法。
本文将探讨整数规划问题的求解策略，包括分枝定界法、割平面法、启发式算法等，并分析它们的优缺点及适用场景。
一、分枝定界法分枝定界法是求解整数规划问题最常用的方法之一。
其基本思想是通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解为止。
在分枝定界法中，通常采用深度优先搜索或广度优先搜索的方式遍历搜索空间，通过对搜索树的分支进行限界，剪去一些不必要的分支，从而提高求解效率。
分枝定界法的优点在于能够确保找到最优解，尤其适用于规模较小的整数规划问题。
然而，对于规模较大的问题，分枝定界法的计算复杂度会随着搜索空间的增大而急剧增加，导致求解时间过长。
因此，在实际应用中，需要结合问题的特点和求解需求来选择是否采用分枝定界法。
二、割平面法割平面法是另一种常用的整数规划求解方法。
该方法通过引入额外的线性约束（割平面）来逐步逼近整数规划问题的最优解。
割平面法的核心思想是通过不断添加线性不等式约束，将整数规划问题的凸包逼近到凸壳，从而逐步缩小搜索空间，最终找到最优解。
割平面法的优点在于能够有效地提高求解效率，尤其适用于存在大量连续约束的整数规划问题。
然而，割平面法的实现过程较为复杂，需要对问题的线性松弛模型进行求解，并不断生成有效的割平面。
因此，对于一些特定结构的整数规划问题，割平面法可能并不是最优的求解策略。
三、启发式算法除了传统的分枝定界法和割平面法外，启发式算法也被广泛应用于整数规划问题的求解中。
启发式算法是一类基于经验和规则的启发式搜索方法，通过模拟生物进化、群体智能等自然现象，寻找最优解或近似最优解。
常见的启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等。
这些算法在求解整数规划问题时，能够有效地避免陷入局部最优解，提高求解速度和质量。
数学建模中的整数规划与线性规划
数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。
本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。
一、整数规划整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。
在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。
整数规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。
整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。
整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。
二、线性规划线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产计划、资源分配、投资组合等领域。
通过线性规划，可以找到目标函数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。
三、整数规划与线性规划的联系整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线性规划就变成了整数规划。
因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。
在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划来近似求解。
例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到的解来指导实际决策。
当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提供一种可行的解决方案。
四、整数规划与线性规划的求解方法针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。
其中，常用的方法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。
暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最优解。
这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适用于问题规模较小的情况。
整数规划模型的构建及求解方法
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找能够使目标函数最大或最小的整数解。
在实际应用中，整数规划模型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。
本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。
一、整数规划模型的构建方法1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来表示的变量。
这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。
2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的指标。
根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线性组合或非线性函数。
例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润的最大化或成本的最小化。
3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足问题的实际限制。
约束条件可以是等式或不等式。
例如，在物流调度问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。
4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条件和问题的具体要求。
例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。
二、整数规划模型的求解方法1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。
然而，穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。
2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。
通过将整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不断迭代求解，最终找到最优解。
这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。
3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。
它通过添加割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。
这种方法能够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。
4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第6章 整数规划
解为：
表 6-1 问题 B1 z1 = 349 x1 = 4.00 x2 = 2.10
问题 B2 z2 = 341 x1 = 5.00 x2 = 1.57
显然没有得到全部变量是整数的解。现存在两个打开节点 B1 和 B2，因 z1 > z2 ，故将 z 改 为 349，那么必存在最优整数解，得到 z* ，并且
3．定界与剪枝：通过不断的分枝和求解各个子问题，分枝定界法不断修正其上下界的 过程称为定界。上界通常由各打开节点中最大的目标函数值确定，下界则由已经找到的最好 的整数解来确定。求解任何一个子问题都有以下三种可能的结果。
(1)子问题无可行解。此时无需继续向下分枝，该节点因不可行而被关闭。因为与父节 点相比，子节点是一个约束得更紧得的问题（比父节点多一个约束）。如果父节点不可行，
z3 = z = z* = 340 问题 B3 得解 x1 = 4.00 ， x2 = 2.00 为最优整数解。
问题 B
x1=4.81 x2=1.82 z0=356
z=0, z=356
x1 4
问题 B1
明显减少搜索的计算量。所有节点的被关闭表明搜索已经完成。如果此时没有找到任何整数
解，则该问题没有整数解；否则搜索过程中得到的最好的整数解就是该问题的最优解。
6.2.2 分枝定界算法
下面结合一具体例子来说明分枝定界法是如何工作的。
例 2 求解 A
max z = 40x1 + 90x2
①
⎧⎪⎪⎨⎪79xx11x++1,27x02xx2≥2≤0≤5760
0 ≤ z* ≤ 349 继续对问题 B1 和 B2 进行分解，因 z1 > z2 ，故先分解 B1 为两支。增加条件 x2 ≤ 2 者，称为问 题 B3 ；增加条件 x2 ≥ 3 者称为问题 B4 。在图 1-4 中再舍去 x2 > 2 与 x3 < 3 之间的可行域，再 进行第二次迭代。解题过程的结果都列在图 1-5 中。可见问题 B3 的解已都是整数，它的目 标函数值 z3 = 340 ，可取为 z ，而它大于 z4 = 327 。所以再分解 B4 已无必要。而问题 B2 的 z2 = 341，所以 z* 可能在 340 ≤ z* ≤ 341 之间有整数解。于是对 B2 分解，得问题 B5 ，既非整 数解，且 z5 = 308 < z3 ，问题 B6 为无可行解。于是可以断定
整数规划问题(割平面-分枝定界算例)
x1 3.25;
x2 2.5
分枝定界法思路
第二步：分枝与定界 在x1=3.25；x2=2.5 中，任选一变量的解X2=2.5 ， 可将其分为 x2≤2；x2≥3（去掉小数部分），则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x1 , x2 0
(3.5, 2); z 14.5
X1可分为x1≤3；x1≥4，则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 3 1 x1 , x2 0 (3, 2); z 13
逻辑变量在建立数学模型中的作用
y1 y2 ... ym
中m-k不起作用
（2）割平面法思路
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 且取整数 1 2
第一步：将约束条件决策变量的系数化为整数，用单纯形法求 解出最终单纯形表 找一个分数部
（3）分支定界法
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0束，求解。
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 1 2
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 4 1 x1 , x2 0
(4, 1);
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2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
x2
5
9x1+7x2=56
4
3
2
7x1+20x2=70
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
L0 : x* = (4.81, 1.82), Z* =356 2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
2.将L0分解为L1和L2
L1 ：max z = 40x1 + 90x2
例5-1求解过程示意图
L0 (4.81，1.82)
356
L1 (4，2.1)
349
L3 (4，2)
340
2020/7/7
L4 (1.42，3)
327
L2 (5，1.57)
341
L5 (5.44，1)
308
L6 无可行解
练习题
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
x1 + x2 + x3 12
2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
3.分解L1形成L3、L4，其中： L3 = {L1, x22} L4 = {L1, x23} L3 : X* = (4, 2), Z* = 340 L4 : X* = (1.42, 3), Z* = 327
(1)取下界min=340(L3); (2)舍弃L4
整数规划的数学模型
max(min)(c1 x1+ c2 x2 +…+ cn xn ) a11 x1+ a12 x2 +…+ a1n xn (=,) b1 a21 x1+ a22 x2 +…+ a2n xn (=,) b2
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束 混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
0 0
1 0 0
0 x6
0 0 0 1
b
9/2 15/2
7/2 7
0 x6 b
0
9/2
0
15/2
0
7/2
1
-1/2
0
求解练习题
线性规划 L1 的最终单纯形表
cj
254000 0
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7
b
4 x3 1 0 1 1 0 0 -1 5
5 x2 0 1 0 0 0 0
求解练习题
线性规划 L0 的最终单纯形表
cj CB XB
2540
x1
x2 x3
x4
00
x5
x6 b
4 x3 1/2 0 5 x2 1/2 1 0 x6 3/2 0
1 1 -1/2 0 9/2 0 0 1/2 0 15/2 0 -5 5/2 1 7/2
σ
-5/2 0 0 -4 -1/2 0
2020/7/7
17
0 x6 -1 0 0 -5 0 1 5
1
0 x5 1 0 0 0 1 0 -2 1
σ
-2 0 0 -4 0 0 -1
L1 有整数最优解 X* =（0，7，5），Z*=55
2020/7/7
第65页例5-1
2020/7/7
max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 Βιβλιοθήκη 0且取整用分枝定界法解例5-1
1.求解相应的线性规划L0 max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0
求解练习题
将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
2020/7/7
求解练习题
L1 求解单纯形表
cj
25400
CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0
x7
σ
x1
x2
x3
x4
x7
1/2 0 1 1 -1/2
1/2 1 0 0 1/2
3/2 0 0 -5 5/2
2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
4.分解L2形成L5、L6，其中： L5 = {L2, x21} L6 = {L2, x22} L5 : X* = (5.44, 1), Z* = 308 L6 : 无可行解
(1)舍弃L5、L6； (2)得最优解X* = (4, 2), Z* = 340。
2020/7/7
01000
基变量系数向量单位化
cj CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0
x7
σ
2
x1 x7 1/2 1/2 3/2 -1/2 -5/2
5400
x2
x3
x4
0 1 1 -1/2 1 0 0 1/2 0 0 -5 5/2 0 0 0 -1/2 0 0 -4 -1/2
2020/7/7
0 x5
0 0
1 0
0 x5
2020/7/7
分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路 2.第65页例5-1 3.练习题
2020/7/7
分枝定界法的基本思路
利用连续的(线性规划)模型来求解非连续的(整数规划)问题。假设 x r
是一个有取整约束的变量而它的最优连续值
x
r
是非整数，那么下列区间
[xr ]
xr
[xr ]
1 不可能包含任何整数解，这里[ x r
]表示
x
r
的取整值。因此，
xr 的可行整数值必然满足此二条件之一：xr [xr]或 xr [xr] 1。
2020/7/7
分枝定界法的基本思路
把这两个约束条件分别加到原来的解空间上，便产生了两个互斥的子问题。这便是 分枝的含义。由于分枝过程是通过增加约束条件来实现的，因此每一问题的子问题都不 会有比其自身还大（目标函数求极大值）的最优目标值。当所有子问题的解均为非整数 可行解时，应首先选择具有最大最优目标值的子问题来分枝；当得到第一个整数可行解 时，它的相应目标值可作为该整数规划最优值的下界，舍掉所有最优值不大于该下界的 子问题。按最优值的大小顺序对保留下来的子问题进行分枝，如果出现具有更大目标值 的整数可行解，将下界更新为此整数可行解的目标值并进一步剪枝。从复这一过程，最 终保留下来的整数可行解即为整数规划的最优解。
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
x1
4
x1，x2 0
L2 ：max z = 40x1 +
90x2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
x1
5
x1，x2 0
L1 ：X* = (4, 2.10), Z* = 349 L2 ：X* = (5, 1.57), Z* = 341
x1 + 2x2
15
4x1
+ 5x3 26
x1~3 0且取整
2020/7/7
求解练习题
2020/7/7
首先求解线性规划L0 :
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
x1 + x2 + x3 + x 4 = 12
x1 + 2x2 + x5 = 15
4x1
+5x3 + x6 = 26
x1~6 0
用分枝定界法解例5-1
x2
5
9x1+7x2=56
4
3
2
7x1+20x2=70
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
L0 : x* = (4.81, 1.82), Z* =356 2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
2.将L0分解为L1和L2
L1 ：max z = 40x1 + 90x2
例5-1求解过程示意图
L0 (4.81，1.82)
356
L1 (4，2.1)
349
L3 (4，2)
340
2020/7/7
L4 (1.42，3)
327
L2 (5，1.57)
341
L5 (5.44，1)
308
L6 无可行解
练习题
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
x1 + x2 + x3 12
2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
3.分解L1形成L3、L4，其中： L3 = {L1, x22} L4 = {L1, x23} L3 : X* = (4, 2), Z* = 340 L4 : X* = (1.42, 3), Z* = 327
(1)取下界min=340(L3); (2)舍弃L4
整数规划的数学模型
max(min)(c1 x1+ c2 x2 +…+ cn xn ) a11 x1+ a12 x2 +…+ a1n xn (=,) b1 a21 x1+ a22 x2 +…+ a2n xn (=,) b2
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束 混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
0 0
1 0 0
0 x6
0 0 0 1
b
9/2 15/2
7/2 7
0 x6 b
0
9/2
0
15/2
0
7/2
1
-1/2
0
求解练习题
线性规划 L1 的最终单纯形表
cj
254000 0
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7
b
4 x3 1 0 1 1 0 0 -1 5
5 x2 0 1 0 0 0 0
求解练习题
线性规划 L0 的最终单纯形表
cj CB XB
2540
x1
x2 x3
x4
00
x5
x6 b
4 x3 1/2 0 5 x2 1/2 1 0 x6 3/2 0
1 1 -1/2 0 9/2 0 0 1/2 0 15/2 0 -5 5/2 1 7/2
σ
-5/2 0 0 -4 -1/2 0
2020/7/7
17
0 x6 -1 0 0 -5 0 1 5
1
0 x5 1 0 0 0 1 0 -2 1
σ
-2 0 0 -4 0 0 -1
L1 有整数最优解 X* =（0，7，5），Z*=55
2020/7/7
第65页例5-1
2020/7/7
max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 Βιβλιοθήκη 0且取整用分枝定界法解例5-1
1.求解相应的线性规划L0 max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0
求解练习题
将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
2020/7/7
求解练习题
L1 求解单纯形表
cj
25400
CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0
x7
σ
x1
x2
x3
x4
x7
1/2 0 1 1 -1/2
1/2 1 0 0 1/2
3/2 0 0 -5 5/2
2020/7/7
用分枝定界法解例5-1
4.分解L2形成L5、L6，其中： L5 = {L2, x21} L6 = {L2, x22} L5 : X* = (5.44, 1), Z* = 308 L6 : 无可行解
(1)舍弃L5、L6； (2)得最优解X* = (4, 2), Z* = 340。
2020/7/7
01000
基变量系数向量单位化
cj CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0
x7
σ
2
x1 x7 1/2 1/2 3/2 -1/2 -5/2
5400
x2
x3
x4
0 1 1 -1/2 1 0 0 1/2 0 0 -5 5/2 0 0 0 -1/2 0 0 -4 -1/2
2020/7/7
0 x5
0 0
1 0
0 x5
2020/7/7
分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路 2.第65页例5-1 3.练习题
2020/7/7
分枝定界法的基本思路
利用连续的(线性规划)模型来求解非连续的(整数规划)问题。假设 x r
是一个有取整约束的变量而它的最优连续值
x
r
是非整数，那么下列区间
[xr ]
xr
[xr ]
1 不可能包含任何整数解，这里[ x r
]表示
x
r
的取整值。因此，
xr 的可行整数值必然满足此二条件之一：xr [xr]或 xr [xr] 1。
2020/7/7
分枝定界法的基本思路
把这两个约束条件分别加到原来的解空间上，便产生了两个互斥的子问题。这便是 分枝的含义。由于分枝过程是通过增加约束条件来实现的，因此每一问题的子问题都不 会有比其自身还大（目标函数求极大值）的最优目标值。当所有子问题的解均为非整数 可行解时，应首先选择具有最大最优目标值的子问题来分枝；当得到第一个整数可行解 时，它的相应目标值可作为该整数规划最优值的下界，舍掉所有最优值不大于该下界的 子问题。按最优值的大小顺序对保留下来的子问题进行分枝，如果出现具有更大目标值 的整数可行解，将下界更新为此整数可行解的目标值并进一步剪枝。从复这一过程，最 终保留下来的整数可行解即为整数规划的最优解。
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
x1
4
x1，x2 0
L2 ：max z = 40x1 +
90x2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
x1
5
x1，x2 0
L1 ：X* = (4, 2.10), Z* = 349 L2 ：X* = (5, 1.57), Z* = 341
x1 + 2x2
15
4x1
+ 5x3 26
x1~3 0且取整
2020/7/7
求解练习题
2020/7/7
首先求解线性规划L0 :
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
x1 + x2 + x3 + x 4 = 12
x1 + 2x2 + x5 = 15
4x1
+5x3 + x6 = 26
x1~6 0