分数裂项
1、分数的裂项
分数的裂项——分数裂差知识点睛（一）单位分数1. 单位分数是指分子为1的分数，每个分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，例如：3016151613121+=+=， 2. 61321322-32331-21=⨯=⨯⨯=，31-2161= （二）分数裂差的基本形式1. 分子为11n 1-11n n 1541431321211+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯）（ 2. 分子不为1）（）（1n 1-121n n 2542432322212+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯3. 分母两数之差不为12n 1-12n n 2972752532312+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯）（ （三）分数裂差的三大特征1. 当分数数列满足“母积子差”可以直接裂项，如果不满足，就要去构造成“母积子差”的形式；2. 分子全部相同，最基本的形式是分子为1，如果是不为1，则需要转化为1；3. 分母之间的差是一个定值，而且是两个自然数乘积的形式，首尾相接。
例题精讲【例1】 求100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。
【例2】 求420120112161++++ 的值。
【例3】 求23212752532312⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。
即学即练【练1】 求901421301201++++ 的值。
【练2】 求20181861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。
【练3】 两个自然数的倒数的和是 2411，这两个自然数中较小的是多少？【练4】 求1412151210141081386126411⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值。
课后作业【作业1】 求1111101541431321⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。
【作业2】 求99163135115131++++的值。
【作业3】 求119199717751553133111⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值。
【作业4】 求136115110161311++++++ 的值。
分数裂项法总结.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两 个分数单位的差，消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
n
1 1
n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
11 2 5 7 35
分数裂项课件
CONTENTS
目录
• 分数裂项简介 • 分数裂项的技巧 • 分数裂项的实例解析 • 分数裂项的练习题及解析 • 分数裂项的总结与展望
CHAPTER
01
分数裂项简介
分数裂项的定义
01
分数裂项是一种数学技巧，用于 将一个分数拆分成两个或多个分 数的和或差，以便于计算或简化 表达式的形式。
绩。
分数裂项在数学竞赛和高考中具 有广泛应用，是数学学习的重要
内容之一。
分数裂项的未来发展方向
随着数学教育的不断发展和改革，分数裂项技巧的教学方法和手段也需要不断更新 和完善。
未来可以探索更多分数裂项在实际问题中的应用，例如在物理、化学等其他学科中 的应用。
可以通过开展跨学科的研究，将分数裂项与其他数学技巧和方法进行结合，以更好 地解决各种复杂的数学问题。
解析：这道题是分数裂项的基础题， 通过将两个分数相乘，得到一个新的
分数。
答案：$frac{1}{4}$
题目：计算 $frac{3}{4} times frac{4}{3}$
解析：这道题同样是分数裂项的基础 题，通过将两个分数相乘，得到一个 新的分数。
答案：$1$
进阶练习题
题目
计算 $frac{1}{2} times frac{3}{5} + frac{2}{3} times frac{4}{7}$
分数裂项在日常生活中的应用
分数裂项不仅仅在数学题目中有应用，在日常生活中也有广泛的应用。
例如，在购物时经常会遇到折扣和优惠券的问题，这时可以通过分数裂项来计算 最优的购买方案。例如，对于折扣$frac{3}{10}$，可以将其拆分为$frac{1}{3} + frac{2}{10}$，分别代表直接折扣和满额折扣，从而帮助消费者更好地理解优惠 方案。
分数裂项的知识点总结
分数裂项的知识点总结一、分数裂项的定义在数学中，分数裂项指的是将一个分数表达成若干个较小的分数之和的形式。
通俗来讲，就是把一个分数分解成几个更小的分数相加的形式。
分数裂项有两种常见的形式，一种是分母为线性函数的形式，另一种是分母为二次函数的形式。
1. 分母为线性函数的分数裂项当分数的分母为线性函数的形式时，我们可以使用部分分式分解的方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行因式分解，得到一些线性因式和重数为1的线性因式。
然后，将这些线性因式和重数为1的线性因式分别拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{(x-1)(x-2)}$，我们可以进行部分分式分解，得到$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
2. 分母为二次函数的分数裂项当分数的分母为二次函数的形式时，我们可以使用平方配方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行平方配，得到一些平方项。
然后，将这些平方项拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{x^2-1}$，我们可以进行平方配，得到$\frac{1}{x^2-1} =\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
二、常见的分数裂项技巧在分数裂项的过程中，我们常常会遇到一些特殊的情况，这时需要灵活运用一些分数裂项的技巧来处理。
下面列举一些常见的分数裂项技巧：1. 使用齐次化简：当分母中含有根式或者复杂的二次函数时，我们可以使用齐次化简的方法，将其化为一般的二次函数，便于进行分数裂项。
2. 对待定系数进行适当取值：在进行部分分式分解时，我们可以通过适当取值来简化未知数的计算，例如取特殊值或者代入简单的方程组。
分数裂项分子不一样拜
分数裂项分子不一样拜
【原创实用版】
目录
I.分数裂项的基本概念
II.分数裂项的方法
III.如何解决分数裂项问题
IV.分数裂项的注意事项
正文
一、分数裂项的基本概念
分数裂项是一种数学方法，用于解决分数相减或分数相除中的问题。
具体来说，分数裂项将一个分数拆分为两个分数的和或差，从而简化计算。
二、分数裂项的方法
1.分子分母同时乘以同一个数，使原分数变为两个分数的和或差。
2.分子分母同时除以同一个数，使原分数变为两个分数的和或差。
3.分子分母同时乘以不同的数，使原分数变为两个分数的和或差。
三、如何解决分数裂项问题
1.列出原分数，并分析其能否进行裂项。
2.根据题目要求，选择合适的裂项方法进行拆分。
3.计算拆分后的分数，并得出结果。
四、分数裂项的注意事项
1.必须保证拆分后的两个分数都为真分数，且分子和分母的大小关系不变。
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六年级分数简算——分数裂项
分数裂项分数裂项是分数加减法计算的逆向过程分数裂差a与b互质1a－1b＝1×b a×b－1×a b×a＝b－a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的差，那么这个分数就可以写成两个分数单位相减的形式。
b－a a×b＝b a×b－a b×a＝1a－1b分数裂和a与b互质1a＋1b＝1×b a×b＋1×a b×a＝b＋a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的和，那么这个分数就可以写成两个分数单位相加的形式。
b＋a a×b＝b a×b＋a b×a＝1a＋1b例1：11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋⋯⋯＋19×10＝11－12＋12－13＋13－14＋14－15＋⋯⋯＋19－110＝1－110＝91021×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝1－111＝1011例3：11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋19×11＝21×3×12＋23×5×12＋25×7×12＋27×9×12＋29×11×12＝12×21×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝12×11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝12×1－111＝12×1011＝511例4：31×2－52×3＋73×4－94×5＋115×6＝11＋12－12＋13＋13＋14－14＋15＋15＋16＝1＋12－12－13＋13＋14－14－15＋15＋16＝1＋16＝116+16+112+120+130+142+156+172+190+1110（1）12（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50（3）1－14＋120＋130＋142＋156（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11（5）12×5＋15×8＋18×11＋⋯⋯＋120×23（6）113－712＋920－1130＋1342－1556（7）712－920＋1130－1342练习答案：（1）12+16+112+120+130+142+156+172+190+1110＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＋18×9＋19×10＋110×11＝1－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋19－110＋110－111＝1－111＝1011（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50＝11－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋149－150＝1－150＝4950（3）1－14＋120＋130＋142＋156＝1－14＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＝1－14＋14－15＋15－16＋16－17＋17－18＝1－18＝78（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11观察发现，每一个分数的分子都是2002，分母都是差值位2的两个数的乘积。
《分数裂项法总结》课件
随着计算机技术的发展，可以开发更高效的算法和工具来支持分数裂 项法的应用，提高计算效率和精度。
拓展分数裂项法的应用领域
除了数学和物理领域，分数裂项法还可以拓展应用到其他领域，如金 融、经济、生物等，为解决实际问题提供更多有效的工具。
加强教学方法的改进
针对分数裂项法的教学，可以进一步改进教学方法，提高教学效果， 帮助学生更好地掌握这一重要的数学技能。
感谢您的观看
THANKS
02
整数裂项法是将整数拆 分成易于计算的形式， 如将2n拆分成n+n。
03
差商裂项法是将分数的 分子和分母分别拆分成 两个部分，然后进行化 简。
04
分母有理化是将分数的 分母化为有理数的形式 ，以便进行计算。
03 分数裂项法的实例解析
分数裂项法在数学题目中的应用实例
分数裂项法在数学题目中有着广泛的应 用，可以帮助我们简化复杂的分数计算 。例如，我们可以将一个分数拆分成两 个或多个分数的和或差，从而简化计算
提高解题效率。
03
分数裂项法的优点和局限性
分数裂项法的优点在于能够简化复杂问题，提高计算效率和准确性。然
而，该方法也存在一定的局限性，如对于某些特殊形式的分数，可能无
法找到合适的拆分方式。
对分数裂项法的展望和未来发展方向
继续深入研究分数裂项法
未来可以进一步深入研究分数裂项法的理论和应用，探索更多适用于 该方法的数学模型和实际应用场景。
分数裂项法的练习题
练习题1
将分数1/6进行裂项，使其变为两 个分数之和。
练习题2
将分数2/7进行裂项，使其变为三 个分数之和。
练习题3
将分数3/8进行裂项，使其变为四个 分数之和。
1、分数的裂项(裂差)
第1讲 分数的裂项（裂差）【内容综述】在分数裂项中可能用到整数的裂项公式，如：1）1+2+3+⋯+n =()12n n +； 2）1⨯2+2⨯3+⋯+n ⨯(n +1)=()()123n n n ++； 3）1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+⋯+n ⨯(n +1)⨯(n +2)=()()()1234n n n n +++； 4）1⨯n +2⨯(n -1)+3⨯(n -2)+⋯+(n -1)⨯2+n ⨯1=()()126n n n ++； 5）()()()()222222+12+224626n n n n ⨯⨯++++= ；（n 为偶数） 6）()()()22222122+1135216n n n n -⨯⨯++++-= ；（n 为奇数） 7）2222123n ++++ =()()1216n n n ++； 8）3333123n ++++ =()2123n ++++ =()2214n n +； 这节课我们学习分数的裂项——裂差，这种方法是分数多项计算常用方法，我们的目的能够达到下面的“咔咔算式”：（中间项可以咔咔抵消，剩下首尾有限项的算式命名为“咔咔算式”）11111111111223341n n n n n --+-+-++-=-=-裂差口诀：连加必裂差，裂差变咔咔，采用“撕分母”的方法．11b a a b a b -=-⨯，()11111n n n n =-++，()1111n n p p n n p ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭． 例1. 计算：111112233499100++++⨯⨯⨯⨯ =________； 【分析】整体共99个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式．【解答】原式=1111111112233499100-+-+-++- =111100- =99100【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！例2. 计算：123101224474656++++⨯⨯⨯⨯ =_______； 【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题．【解答】原式=1224474656++++⨯⨯⨯⨯ =111111111224474656-+-+-++- =11156- =5556【评注】在分数裂差中，注意一定要把分子变成分母两个分数的之差，这时候大胆去“撕分母”，就可以得到咔咔算式的效果．例3. 计算：1111255881198101++++⨯⨯⨯⨯ =__________； 【分析】整体共49个分数连加，分母中两个因数之差都是3，可以提取13，然后裂差吧． 【解答】原式=133333255881198101⎛⎫++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭=1111111113255881198101⎛⎫-+-+-++- ⎪⎝⎭=11132101⎛⎫- ⎪⎝⎭=33202【评注】如果分子不是分母两个因数之差，一定先通过扩倍变成裂项公式的条件，然后才可以去裂项．例4. 计算：11111353575799799101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________； 【分析】整体连加，且每个分母都是三个因数，不用裂差为三个分数，请你仔细观察，相邻两个分数的分母有哪些公共的因数，把公共的因数作为裂差后的分母，就到达咔咔算式的目的啦，本题应该先把分子都变为4，才可以撕分母，想想为什么？【解答】原式=1111111114133535575779979999101⎛⎫-+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭=11141399101⎛⎫- ⎪⨯⨯⎝⎭=8339999【评注】如果分母是三个因数的乘积，可以裂差：11(2)111(1)(2)2(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n ⎛⎫+-=⨯=⨯- ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⎝⎭； ()()11()()111()2()2()()n p n p n p n n p p n p n n p p n p n n n p ⎛⎫+--=⨯=⨯- ⎪-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎝⎭．1）1111122334(1)1n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯++ ； 2）111111112323434(1)(2)22(1)(52)n n n n n ⎛⎫++++=- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯++⨯+⎝⎭ ．例5. 计算：11111121231234123100+++++++++++++++ =_________； 【分析】分母先使用公式：1+2+3+⋯+n =()12n n +，尽量不要约去分母中的2，分母就是分数裂项的敏感数列：1⨯2，2⨯3，3⨯4，4⨯6，……，可以直接裂项了．【解答】原式=11111251223103441001⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭=101121⎛⎫- ⎪⎝⎭=200101【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则可以找不到规律．例6. 计算：222222221223342012016122334201201556++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________； 【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带分数，以便，整数部分和小数部分分别计算．【解答】原式=1111222212233420120165⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（共2015项） =11112201122334201552016⎛⎫⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝+⎭ =1403012016⎛⎫- ⎪⎝⎭+ =201540302016【评注】一般地，2222222(1)212()111122(1)(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++===+=+-+++++，抱定必是裂差的思路，再次提醒大家：分数裂差分子一定是分母中两个因数之差才能顺利撕分母哦．同时裂差法不单单只用于分数的连加裂项，也适用于整数的裂项，以及分数的特殊裂项，如1）1+2+3+4+⋯+100（使用裂差法）=_________；（提示：(1)(1)2n n n n n +--=） 2）232012222+++++ （使用裂差法）=_________；（提示：2n n n =-）3）1239121231234123410++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________；华数知识点点击破 陈拓老师讲义 （提示：1111123123123(1)!!n n n n n n n -=-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯- ）【练习题】1. 计算：11111223344950++++⨯⨯⨯⨯ =__________；2. 计算：1111144771097100++++⨯⨯⨯⨯ =__________；3. 计算：()()()()()2310011212123129912100+++⨯++⨯+++++⨯+++ =__________；4. 计算：2341011212231223341223100101++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯++⨯ =__________；5. 计算：()()()()22221223349910012233499100++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________；【参考答案】1、4950； 2、33100； 3、50495050；、 4、27573434； 5、99396100；。
分数裂项PPT课件
4/5。
练习题二及答案
练习题二
计算1/3+1/15+1/35+1/63的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到1/3=1/1-1/3, 1/15=1/3-1/5, 1/35=1/5-1/7, 1/63=1/7-1/9。然后将这些分数相加，得到原式 =1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9=1-1/9=8/9。
裂项的局限性
分数裂项法虽然可以化简一些复杂的分 数，但是其适用范围有限，不能解决所
有数学问题。
在实际应用中，需要根据具体问题选择 合适的数学方法，综合考虑各种方法的
优缺点。
另外，裂项法在处理一些特殊情况时可 能会遇到困难，例如分子中含有未知数
的情况，需要谨慎处理。
05
分数裂项的练习题与答案
练习题一及答案
答案
5/6。
THANKS
感谢观看
其次，要确保分子经过裂项后能 够相互抵消，留下非零常数。
最后，要确保整个等式在裂项后 仍然成立，可以通过代入法进行
验证。
裂项的适用范围
分数裂项法适用于有理函数的计算，特别是有理函数求极限、求积分等 问题。
对于一些难以直接化简的复杂有理函数，分数裂项法可以将其转化为容 易处理的形式，简化计算过程。
需要注意的是，裂项法并不适用于所有函数，特别是无理函数、三角函 数等。
答案
8/9。
练习题三及答案
练习题三
计算(2^2)/(2^2+4^2)+(3^2)/(3^2+4^2)+(4^2)/(4^2+4^2)的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到(2^2)/(2^2+4^2)=2/(2+4), (3^2)/(3^2+4^2)=3/(3+4), (4^2)/(4^2+4^2)=4/(4+4)。然后将这些分数相加，得到 原式=2/(2+4)+3/(3+4)+4/(4+4)=5/6。
分数裂项公式大全
分数裂项公式大全
分数裂项公式是指将一个分数写成两个或多个分数之和的表达式。
以下是常见的分数裂项公式大全：
1. 一个分数的裂项公式：如果a、b、c均为整数且c ≠ 0，则有：
a/b = (a \cdot c + b \cdot c)/(b \cdot c)
这个公式可以将一个分数拆分为两个分数之和。
2. 分数的倒数裂项公式：如果a、b、c均为整数且b ≠ 0，则有：
1/(a/b) = b/a
这个公式可以将一个分数的倒数拆分为等值的另一个分数。
3. 分数的和的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd)
这个公式可以将两个分数的和拆分为一个分数。
4. 分数的差的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) - (c/d) = (ad - bc)/(bd)
这个公式可以将两个分数的差拆分为一个分数。
5. 分数的积的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)
这个公式可以将两个分数的积拆分为一个分数。
6. 分数的商的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) ÷ (c/d) = (ad)/(bc)
这个公式可以将两个分数的商拆分为一个分数。
这些是常见的分数裂项公式，可以帮助你在计算和简化分数的过程中进行分数的拆分和合并。
分数裂项法总结
裂项法的注意事项
在使用裂项法时，需要注意以下几点：首先，要确保拆分 的分数是正确的，即拆分后的分数之差或商等于原分数； 其次，要注意运算的优先级，确保计算的准确性；最后， 要注意简化计算过程，尽可能减少计算的复杂度。
此外，对于一些特殊的分数，如分母为平方数或立方数的 分数，可以使用特定的裂项法进行计算，以简化计算过程 。
分数裂项法之立方差法
立方差法的概念
立方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个分数的立方差，可以简化计 算过程。
立方差法的应用
立方差法在数学和工程等领域中都有广泛的应用。例如，在解决几何问题时，立方差法可以帮助我们更好地理解和计 算立体图形的体积。
立方差法技巧
在使用立方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需要注意保持拆 分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
平方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个 分数的平方差，可以简化计算过程。
平方差法的应用
平方差法在数学和物理等领域中都有广泛的应用。例如，在解决代数问题时，平方差法可 以帮助我们更好地理解和计算表达式的值。
平方差法的技巧
在使用平方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需 要注意保持拆分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
分数裂项法在日常生活中的应用
在日常生活中，我们也会遇到许多涉及到分 数的问题，如时间、金钱等。通过运用分数 裂项法，我们可以更好地理解和处理这些问 题。
例如，在时间管理中，可以将一天的时间拆 分成小时、分钟等部分，以便更好地安排工 作和休息时间；在理财中，可以将一笔钱拆 分成不同的用途和投资方式，以便更好地实
1、分数的裂项(裂差)
例2. 计算：
1 2 3 10 _______； 1 2 2 4 4 7 46 56
【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题。 2 1 4 2 7 4 56 46 【解答】原式 1 2 2 4 4 7 46 56
1 1 1 1 __________； 2 5 5 8 8 11 98 101
1 【分析】整体共 49 个分数连加，分母中两个因数之差都是 3，可以提取 ，然后裂差吧。 3
1 3 3 3 3 【解答】原式 3 2 5 5 8 8 11 98 101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 5 8 8 11 98 101 1 1 1 3 2 101 33 202
1 1 1 1 11 1 ba 1 1 。 a b a b ， n n 1 n n 1 ， n n p p n n p
例1. 计算：
1 1 1 1 ________； 1 2 2 3 3 4 99 100
【分析】整体共 99 个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式。 1 1 1 1 1 1 1 1 【解答】原式 1 2 2 3 3 4 99 100
1 1 1 100
99 100
【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！
9799101分析整体连加且每个分母都是三个因数不用裂差为三个分数请你仔细观察相邻两个分数的分母有哪些公共的因数把公共的因数作为裂差后的分母就到达咔咔算式的目的啦本题应该先把分子都变为4才可以撕分母想想为什么
分数裂项法总结.知识讲解
若干个分数连加，如果每个分数的 分母，都是两个相邻自然数相乘， 且分子是1时，就可以利用裂项法 式，把每个分数拆成两个分数单位
的差，消去中间留下两边.
一、两个相邻数裂项：
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
判断：
判断：
判断：
1111111 2 6 12 20 30 42 56
1＋ 1＋ 1＋ L＋ 1 1 2 2 33 4 2 0 1 0 2 0 1 1
总结：
1 1 1 1
1 2 23
(n 1) n n (n 1)
1 1 n 1
n n 1
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消 去 中 间 留 下 两 边 .即 ：
第四讲补充知识点 分数的裂项
第四讲简便运算（四）补充知识点——分数裂项计算分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂项分数公式(一)
裂项分数公式(一)
裂项分数公式
什么是裂项分数公式
裂项分数公式是一种用于表示分数的公式，其特点是分母为连续递增或递减的整数。
裂项分数公式通常用于解决数学问题中的分数运算或数列问题。
常见的裂项分数公式
1. 裂项分数的递增分母公式
当分母递增时，裂项分数可以表示为以下形式：
[F1](
•例子：
假设分母是递增的等差数列，公差为d，首项为a，裂项分数可以表示为：
[F2](
2. 裂项分数的递减分母公式
当分母递减时，裂项分数可以表示为以下形式：
[F3](
•例子：
假设分母是递减的等差数列，公差为d，首项为a，裂项分数可以表示为：
[F4](
3. 裂项分数的特殊公式
有些裂项分数具有特殊公式，如：
•连续奇数分母的裂项分数：
[F5](
•连续偶数分母的裂项分数：
[F6](
4. 裂项分数的收敛性
裂项分数的部分公式可以收敛于一个确定的值，例如：
•连续奇数分母的裂项分数：
[F7](
可以证明，当n趋向于无穷大时，该分数收敛于π/4。
总结
裂项分数公式是一种用于表示分数的特殊形式，可以用于解决数学问题中的分数运算和数列问题。
常见的裂项分数公式包括分母递增
和递减的情况，以及具有特殊公式的情况。
部分裂项分数具有收敛性，可以收敛于一个确定的值。
裂项十个基本公式
裂项十个基本公式1. 分数裂项基本公式一：(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)- 例如：计算∑_n = 1^100(1)/(n(n + 1))，根据这个公式可以将每一项裂项为(1)/(n)-(1)/(n + 1)，则∑_n = 1^100(1)/(n(n + 1))=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+·s+((1)/(100)-(1)/(101)) = 1-(1)/(101)=(100)/(101)。
2. 分数裂项基本公式二：(1)/(n(n + k))=(1)/(k)((1)/(n)-(1)/(n + k))- 例如：对于∑_n = 1^50(1)/(n(n+3))，这里k = 3，根据公式裂项为(1)/(3)((1)/(n)-(1)/(n + 3))。
- 那么∑_n = 1^50(1)/(n(n+3))=(1)/(3)[(1-(1)/(4))+((1)/(2)-(1)/(5))+·s+((1)/(50)-(1)/(53))]。
3. 分数裂项基本公式三：(1)/((2n - 1)(2n+1))=(1)/(2)((1)/(2n - 1)-(1)/(2n+1))- 例如：计算∑_n = 1^20(1)/((2n - 1)(2n+1))，利用这个公式裂项后得到(1)/(2)[(1-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(5))+·s+((1)/(39)-(1)/(41))]=(1)/(2)(1-(1)/(41))=(20)/(41)。
4. 分数裂项基本公式四：(n)/(n(n + 1)) = 1-(1)/(n + 1)- 例如：求∑_n = 1^30(n)/(n(n + 1))，根据公式可得∑_n = 1^30(1-(1)/(n +1))=(1-(1)/(2))+(1-(1)/(3))+·s+(1-(1)/(31)) = 30-( (1)/(2)+(1)/(3)+·s+(1)/(31))。
知识点分数裂项
知识点分数裂项()
介绍一下分数裂项的基本公式。
一般在分数求和时，利用分数的裂项把一个分数拆成两个分数的差，这样可以消去中间项，只剩下前一项和后一项，达到简化计算的目的。
例如：1/(2×3)+1/(3×4)+1/(4×5)+1/(5×6)
=1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6
=1/2-1/6=1/3
分数裂项最基础的是下面这种分母是连续两个自然数的乘积
(一)1/n(n+1)=1/n - 1/(n+1)
下面视频中讲解公式的推导方法，有助于我们理解或者记忆公式，要弄清楚分母中的两个数的差与分子的关系，然后拓展到1/n(n+m)。
把分母扩展到三个数的乘积
（二）1/n(n+1)(n+2)=1/2 (1/n(n+1) - 1/(n+1)(n+2))
例如1/(2×3×4)+1/(3×4×5)+1/(4×5×6)
=1/2 (1/(2×3)-1/(3×4)+1/(3×4)-1/(4×5)+1/(4×5)-1/(5×6))
=1/2 (1/6-1/30)=1/15
以上两种都是裂差，即分成两个分数的差，上节课我们还讲过把分数拆分成两个分数单位的和，例如5/6=1/2+1/3，7/12=1/3+1/4等等，如果题目中有减法，有时可以利用裂和消去中间项。
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分数裂项
（一）“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。
常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-⨯- （2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+
（3）裂差型裂项的三大关键特征：
1，分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
2，分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
3，分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
11a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ 2222a b a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯
二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简。
三、常用公式：
（1） 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯++++
+=； （2） ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=+++
+=； （3） 2123421n n ++++++++=；
（4） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；
（5） 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；
（6） 等差数列：求和=(首项+末项)×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+（项数-1）×公差
（8）123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆）
711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆）
（9）101ab abab ⨯=
10101ab ababab ⨯=。