对顶角 余角和补角
对顶角余角和补角的定义
对顶角余角和补角的定义
顶角、余角和补角是在几何学和三角学中常见的概念。
顶角指的是两条直线相交时，形成的相对的两个角，这两个角的顶点是同一个点。
余角是指一个角的补角，即与该角相加为90度的角。
而补角则是两个角的和为90度的角。
从几何学的角度来看，顶角是指两条直线相交时形成的相对的两个角，它们共享一个公共顶点。
例如，在一个三角形中，顶角通常指的是三角形的顶点所对的角。
余角是指一个角的补角，也就是与该角相加为90度的角。
例如，如果一个角的度数是x度，那么它的余角就是90度减去x度。
补角是指两个角的和为90度的角。
例如，如果一个角的度数是x度，那么它的补角就是90度减去x度。
从三角学的角度来看，顶角、余角和补角也有特定的定义。
在三角函数中，余角是指角A的余角是90度减去角A的度数。
补角是指两个角的和为90度的角，例如，如果角A的度数是x度，那么角A的补角就是90度减去x度。
这些概念在解题和推导三角函数的过程中经常被用到。
总的来说，顶角、余角和补角是几何学和三角学中非常基础和
重要的概念，它们帮助我们理解角的关系，解决各种几何和三角学问题。
通过理解这些概念，我们能更好地应用它们解决实际问题，并且在数学推导和证明中起到重要的作用。
对顶角、余角和补角
为___互__为__余__角__. （3）已知∠α ＝32°，则∠α 的补角为
_____1_4__8_°__，余角为_____5_8_°___.
小试牛刀
1.下列说法正确的是( A )
(A)一个锐角的余角是一个锐角 (B)任何一个角都有余角 (C)若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余 (D)一个角的补角一定大于这个角
1
2
E
D
F
1
2
A
B
C
合作探究
由题目知，∠1=∠2， ∠EDC=90º，小组讨论并回 答下列问题；
问题一：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题二： ∠3与∠4有打什么关系？为什么？
问题三： ∠ADF与BDE有什么关系？为什么？
E
D
F
性质：
1
2
34
等角或同角的补角相等. A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
等角或同角的余角相等.
C
巩固练习
第2章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、余角和补角
学习目标
1.掌握两条直线的位置关系。 2.了解余角，补角，对顶角的定义。 3.掌握余角，补角，对顶角的性质。
请同学们观察这几张图片，图中的线段所在的直线呈 现的位置关系是什么？
探究定义
在生活中，你常见的两条直线有哪些位 置关系？你你能给它下定义吗？
课堂小结
1、对顶角的概念和性质; 2、余角、补角的概念和性质.
谢 谢!
1、∠1与∠2有公共顶A 点O 2、角的两边互为反向 延长线
对顶角,余角和补角
3.反思解惑。
A
D BE
归纳总结
同角或等角 的余角相等
因为∠1+∠3=90º ∠2+∠3=90º
所以∠1= ∠2
因为∠1=∠2 ∠1+∠3=90º ∠2+∠4=90º
所以 ∠3= ∠4
同角或等角 的补角相等
因为∠1+∠3=180º ∠2+∠3=180º
所以 ∠1= ∠2
因为∠1=∠2 ∠1+∠3=180º ∠2+∠4=180º
∠1+∠4=180° 它们都互为补角
70°1
2 110°
注意：互补是指两个角之间的数量关 系，与它们的位置无关。
如果两个角的和是900， 那么称这两个角互为余角，简称互余。
∠1+∠2=90°
∠1与∠2互为余角
┐1 2
30°1
注意：互余是指两个角之间的数量关 系，与它们的位置无关。
2 60°
1、什么是等角？
所以 ∠3= ∠4
1、对顶角相等； 2、同角或等角的补角相等； 3、同角或等角的余角相等。
（1）因为∠1+∠2=90º，∠2+∠3=90º，所以
∠1= ，理由是
.
（2）因为∠1+∠2=180º，∠2+∠3=180º，所以
∠1= ，理由是
.
（3）如图，∠1=
，理由是
；
2 1 43
第三环节
学以致用，步步为营
巩固练习
问题2：①用你手中的三角板，画一个直角三角
行两种
在同一平面内， 不相交的两条直
线叫平行线。
第一环节 走进生活 引入课题
m n ba
第二环节 动手实践、探究新知
6.3余角、补角、对顶角教学设计
（二）讲授新知
在这一环节，教师将系统地讲授余角、补角、对顶角的定义、性质和应用。
1.余角：讲解余角的定义，即两个角的和为90度时，这两个角互为余角。通过具体例子，让学生理解余角的概念。
2.补角：介绍补角的定义，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角。结合生活实例，解释补角的意义。
-针对学生空间想象力、逻辑推理能力的差异，设计不同难度的教学任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-对基础薄弱的学生，进行个别辅导，的学生，提供拓展性学习资源，引导他们进行更深入的探讨和研究。
3.突破重难点，强化训练
-针对重难点内容，设计具有针对性的例题和练习，帮助学生巩固所学知识。
1.学生在空间想象力方面的发展水平不一，部分学生对图形的认识和角度的把握可能不够准确。教师应针对这一情况，设计丰富的教学活动，帮助学生建立清晰的空间概念。
2.学生在逻辑推理能力方面存在差异，对几何证明的掌握程度不同。教师应关注学生的个体差异，提供适当的引导和提示，帮助学生逐步掌握证明方法。
3.学生在解决实际问题时，可能难以将所学知识灵活运用。教师应结合生活实例，引导学生发现生活中的几何问题，培养学生学以致用的能力。
6.3余角、补角、对顶角教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解余角、补角、对顶角的定义，能够识别并正确标记图形中的余角、补角和对顶角。
2.学会运用余角、补角和对顶角的性质进行相关角度的计算，解决实际问题。
3.能够运用余角、补角和对顶角的性质，推导和证明几何图形中的相关结论。
4.能够运用所学的角度知识，解决生活中的实际问题，提高解决问题的能力。
（五）总结归纳
余角、补角、对顶角的概念和习题答案
余角和补角和对顶角余角：假如两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说个中一个角是另一个角的余角.∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A补角：假如两个角的和是一个平角,那么这两个角叫互为补角．个中一个角叫做另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A对顶角：一个角的双方分离是另一个角的反向延伸线,这两个角是对顶角.两条直线订交后所得的只有一个公共极点且两个角的双方互为反向延伸线,如许的两个角叫做互为对顶角.两条直线订交,构成两对对顶角.对顶角相等.对顶角与对顶角相等.对顶角是对两个具有特别地位的角的名称;对顶角相等反应的是两个角间的大小关系.补角的性质：同角的补角相等.比方：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B.等角的补角相等.比方：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B.余角的性质：同角的余角相等.比方：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B.等角的余角相等.比方：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B.留意：①钝角没有余角;②互为余角.补角是两个角之间的关系.如∠A+∠B+∠C=90°,不克不及说∠A.∠B.∠C互余;同样：如∠A+∠B+∠C=180°,不克不及说∠A.∠B.∠C互为补角;③互为余角.补角只与角的度数相干,与角的地位无关.只要它们的度数之和等于90°或180°,就必定互为余角或补角.余角与补角概念熟悉提醒：（1）界说中的“互为”一词若何懂得？假如∠1与∠2互余,那么∠1的余角是∠2 ,同样∠2的余角是∠1 ;假如∠1与∠2互补,那么∠1的补角是∠2 , 同样∠2的补角是∠1.（2）互余.互补的两角是否必定有公共极点或公共边？两角互余或互补,只与角的度数有关,与地位无关.（3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能说∠1 .∠2. ∠3 互余（互补）吗？不克不及,互余或互补是两个角之间的数目关系.已知∠A与∠B互余,∠B与∠C互补,若∠A=50°,则∠C的度数是[ D ] A．40°B．50°C．130°D．140°假如∠A的补角是它的余角的4倍,则∠A=______度．设∠A为x,则∠A的余角为90°-x,补角为180°-x,依据题意得,180°-x=4（90°-x）,解得x=60°．故答案为：60．已知∠ α=50°17',则∠α的余角和补角分离是[ B ]A．49°43',129°43'B．39°43',129°43'C ．39°83',129°83'D．129°43′,39°43′两个角的比是6：4,它们的差为36°,则这两个角的关系是（ ）A ．互余B ．相等C ．互补D ．以上都不合错误设一个角为6x,则另一个角为4x, 则有6x-4x=36°,∴x=18°,则这两个角分离为108°,72°, 而108°+72°=180°∴这两个角的关系为互补． 故选C ．假如∠A=35°18′,那么∠A 的余角等于______．假如∠A=35°18′,那么∠A 的余角等于90°-35°18′=54°42′． 故填54°42′．已知∠1和∠2互补,∠3和∠2互余,求证：∠3= =21（∠1-∠2）．证实：由题意得：∠2+∠3=90°,∠1+∠2=180°,∴2（∠2+∠3）=∠1+∠2, 故可得：∠3=21（∠1-∠2） 如图,∠1的邻补角是[ ]A.∠BOCB.∠BOC 和∠AOFC.∠AOFD.∠BOE 和∠AOF两个角互为补角,那么这两个角大小 [ D ]假如两个角互为补角,那么这两个角必定互为邻补角,证实此命题真——加原因 假如两个角互为补角,那么这两个角必定互为邻补角,这是假命题.假如两个角互为领补角,那么这两个角必定互为补角,这是真命题.譬如说,两直线平行,同旁内角互补,但互为同旁内角的两个角必定不互为领补角.假如两个角互补,那它们是邻补角”——————为什么说这个是假命题?两条平行线切出的同旁内角也互补,但是它们不是邻补角.所以说：“假如两个角互补,那它们是邻补角”是假命题!因为邻补角是相邻的两个角互补,那么这两个角是互为邻补角,而互补的两个角有不相邻的,比方四边形的两个对角互补,则这四点共圆假如一个角是36°,那么 [ D ]．它的余角是64° B．它的补角是64° C．它的余角是144° D．它的补角是144°下列说法中：①同位角相等;②两点之间,线段最短;③假如两个角互补,那么它们是邻补角;④两个锐角的和是锐角;⑤同角或等角的补角相等．准确的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个①同位角相等,说法错误;②两点之间,线段最短,说法准确;③假如两个角互补,那么它们是邻补角,说法错误;④两个锐角的和是锐角,说法错误;⑤同角或等角的补角相等,说法准确;说法准确的共有2个,故选：A．下列说法准确的是（）A．小于平角的角是锐角B．相等的角是对顶角C．邻补角的和等于180°D．同位角相A.小于平角的角有：锐角.直角.钝角,故本选项错误;B.对顶角相等,相等的角不必定是对顶角,故本选项错误;C.邻补角的和等于180°准确,故本选项准确;D.只有两直线平行,才有同位角相等,故本选项错误．故选C．下列说法准确的是（） A．相等的角是对顶角 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．锐角大于它的余角A.相等的角是对顶角,说法错误;B.对顶角相等,说法准确;C.同位角相等,说法错误;D.锐角大于它的余角,说法错误;故选：B．下列说法中,准确的是（）A．对顶角相等B．内错角相等C．锐角相等D．同位角相等A.对顶角相等,说法准确;B.内错角相等,说法错误,只有两直线平行时,内错角才相等;C.锐角相等,说法错误,例如30°角和20°角;D.同位角相等,说法错误,只有两直线平行时,同位角才相等;故选：A．三条直线订交于一点可以构成几对对顶角？两条直线消失 2*（2-1）=2对对顶角三条直线消失 3*（3-1）=6对对顶角四条直线消失 4*（4-1）=12对对顶角依次类推,n条直线订交于一点有n*(n-1)对对顶角三条直线订交于一点,共可构成______对对顶角．如图,单个的角是对顶角的有3对,两个角的复合角是对顶角的有3对,所以,共有对顶角3+3=6对．故答案为：6．三条直线订交与一点,能构成几对对顶角？四条呢？五条呢？N条呢？我要办法和答案！三条直线订交与一点,6对;四条直线订交与一点,12对;五条直线订交与一点,20对;N条直线订交与一点,N(N-1)对;假如有n条直线订交于一点,有若干对对顶角？n的平方减去2条数个数2 2=2x13 6=3x24 12=4x35 20=5x4…………n n(n-1)三条直线订交于一点,对顶角最多有______对．把三条直线订交于一点,拆成三种两条直线交于一点的情形,因为两条直线订交于一点,形成两对对顶角,所以三条直线订交于一点,有3个两对对顶角,共6对对顶角两条直线订交,有一个交点.三条直线订交,最多有若干个交点？四条直线呢？你能发明什么纪律吗？这个其实就是组合问题.因为两条线构成一个交点,所以三条线时,从三条线中取两条线,有3*2/2=3种取法,所以有3个交点.四条线中取两条,有4*3/2=6种取法,所以有6个交点.n条线中取两条,有n(n-1)/2种取法,所以有n(n-1)/2个交点.邻补角是互补的角是真命题吗当然是,邻补角相加等于180度就是互补啊互补的角是邻补角是真命题照样假命题若是真命题,请举反例两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延伸线,具有这种关系的两个角称为互为邻补角.可以随意画两个没有公共边的角,比方1个60度,另一个120度,显然它们是互补的,但是其实不是邻补角所以互补的角是邻补角这是一个假命题应当说邻补角是互补的角,这才是真命题既相邻又互补的两个角是邻补角吗两条平行线切出的同旁内角也互补,但是它们不是邻补角.所以说：“假如两个角互补,那它们是邻补角”是假命题！成互补关系的两个角互为邻补角是对照样错不合错误相邻的两个角互补称之为邻补角像两直线平行,同旁内角互补（这两个互补的角不相邻）.互补的两个角是邻补角用因为所以答因为两个角是邻补角所以两个角互补反过来不成立。
七年级数学上册知识讲义-6.3认识余角、补角、对顶角-苏科版
初中数学认识余角、补角、对顶角精讲精练【考点精讲】1. 互为余角与互为补角（1）概念：若，则称、互为余角；若则称、互为补角。
（2）记法的余角记作；的补角记作。
2. 余角（补角）的性质同角或等角的余（补）角相等。
3. 对顶角：如下图中，我们把叫做对顶角，也是对顶角。
OADBC4. 对顶角的性质：对顶角相等。
【典例精析】例题1 如图所示，O是直线AB上的一点，，平分，平分，则图中互为补角的对数有（）A. 6对B. 7对C. 8对D. 9对思路导航：是直线AB上的一点，，又，，平分，，，，。
答案：互补的角有：，，，，，共8对。
答案选C。
点评：本题涉及互补的角较多，根据题意计算有关角的度数，再根据互为补角的定义，按照一定的顺序来写，做到既不重复又不遗漏。
例题2 一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，请你求出这个角的度数。
思路导航：可以直接设元（题中问什么就设什么，直接求出结果），也可以间接设元（先求出这个角，再求出它的余角），然后列方程求解。
答案：设这个角的度数为，则它的补角、余角分别为，（），根据题意得，解得，所以这个角的度数为60度。
点评：有关余角和补角的计算题目，常设未知数，根据题意列方程求解。
所设的未知数不同，所得到的方程也不同。
例题3 如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线。
D（1）求∠2和∠3的度数；（2）OF平分∠AOD吗？为什么？思路导航：（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；（2）根据OF分得∠AOD的两部分角的度数即可说明。
答案：（1）∵∠BOC+∠2=180°，∠BOC=80°，∴∠2=180°－80°=100°；∵OE是∠BOC的角平分线，∴∠1=40°。
∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠3=180°－∠1－∠2=180°－40°－100°=40°。
6.3余角、补角、对顶角优秀教学案例
3.利用多媒体手段：通过PPT展示生动形象的余角、补角和对顶角的图形，帮助学生直观理解概念，增强记忆。
（二）问题导向
1.设计层次化问题：提出由浅入深、循序渐进的问题，引导学生逐步深入学习，如先问“什么是余角？”再问“余角和补角之间有何关系？”；
2.强调重点难点：教师强调本节课的重点和难点，提醒学生注意；
3.总结数学与生活的联系：强调数学知识在实际生活中的应用，激发学生学习兴趣。
（五）作业小结
1.布置具有针对性的作业：布置一些有关余角、补角和对顶角的练习题，帮助学生巩固所学知识；
2.鼓励学生自主学习：鼓励学生自主完成作业，培养学生的自主学习能力；
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例导入：以一个简单的日常生活中的情景为例，如判断两个角的余角和补角关系，提出问题：“你们知道这两个角有什么特殊关系吗？”引发学生的思考和兴趣；
2.利用多媒体手段：通过PPT展示生动形象的余角、补角和对顶角的图形，帮助学生直观理解概念，为学习新知识做好铺垫。
（二）讲授新知
3.设置具有针对性的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力；
4.鼓励学生自主学习，培养学生的探究精神和合作能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，树立自信心，激发学习动力；
2.培养学生勇于探究、积极思考的科学精神，以及面对困难时不轻言放弃的意志品质；
3.使学生认识到数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；
2.自己的观点，培养学生的团队协作能力；
3.小组代表展示：各小组代表上台展示讨论成果，其他小组成员可进行补充和评价，提高学生的表达能力和批判性思维。
8第二章余角,补角,对顶角
第二章余角，补角，对顶角和平行的判定和性质一、定义：1、余角：如果两个角的和是90度，那么这两个角互为余角。
2、补角：如果两个角的和是180度，那么这两个角互为补角。
3、对顶角：如果两个角的两边互为反向延长线，那么这样的两个角叫对顶角二、性质定理：1、同角的余角或补角相等。
2、 对顶角相等。
三、解题方法：一般的，利用性质定理，结合三角形内角和定理，平角性质等，建立所求未知角的方程，即可解得所求角度。
四、概念：同位角，内错角，同旁内角五、两直线平行的判定定理：1.同位角相等，两直线平行2.内错角相等，两直线平行3.同旁内角互补，两直线平行4.如果两直线都平行于另一条直线，那么两直线也平行（推论）六、两直线平行的性质定理：1. 两直线平行，同位角相等2. 两直线平行，内错角相等3. 两直线平行，同旁内角互补例题1.已知∠α是它的余角的2倍，则∠α＝________.2.互为补角的两个角的度数之比为2∶7,则这两个角分别是________.3.如果一个角的余角和它的补角互补，那么这个角的度数为________4.如果两个角互为补角，以下说法不正确的是（）A．不可能都是锐角 B. 不可能都是钝角C. 不可能都是直角D. 可能都是直角5.2条直线相交 3条直线相交于一点 4条直线相交于一点n条直线相交于一点，对顶角有____对对顶角有____对对顶角有_____对对顶角有_______对(用含n的式子表示)6．如图所示，直线AB与CD相交于O点，A B⊥EO，则∠EOD与∠AOC的关系是（ ）A 对顶角B互补的角C互余的角D相等的角7．如图，直线a，b，c两两相交，∠1=2∠3，∠2=60度，求∠4.8．如图,∠A=50°,∠1＝∠2,则∠ACD等于___________9. 下列四个图形中,存在对顶角的是10. 一个角的余角比它的补角的还少12°，请求出这个角.11. 如图16,A、O、B在一条直线上,OC是射线,OE平分∠AOC, OF平分∠BOC.求∠EOF12. 如图，，求∠CAE的度数．课堂练习：1、若∠AOB=65015’，则它的余角是_________，它的补角是________．2、若∠α与∠β是对顶角，且∠α+∠β=1200 ，则∠α= ，∠β=3、如图：已知：，则4、一个角的补角等于这个角的余角的4倍，这个角是________．5．如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5:1，则∠DBA＝________度，∠CBD 的补角是_________度.6．如图2，AC⊥BC，CD⊥AB，∠A的余角有______个，与∠A相等的角有_______个.7、 两条直线被第三条直线所截，则（ ）． A．同位角必相等 B．内错角必相等C．同旁内角必互补 D．同位角不一定相等8、如图，与是对顶角的为（ ）9、命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。
余角、补角、对顶角
余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】已知：∠A= 30○，则∠A的补角是________度．解：150○点拨：此题考查了互为补角的性质．【考题1－2】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF 平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角B ．一个角的补角一定比这个角大C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D ．相等的角一定互余4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ）A ．南偏西32○B ．东偏南32○C ．南偏西58○D ．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=_8．如图 l －2－2，AB ⊥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有（ ）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个9．如果一个角的补角是150○ ，那么这个角的余角是____________10．已知∠A 和∠B 互余，∠A 与∠C 互补，∠B 与∠C 的和等于周角的13 ，求∠A+∠B+∠C 的度数．11．如图如图1―2―3，已知∠AOC 与∠B 都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD 的度数；（2）求∠AOB 和∠DOC 的度数；（3）∠A OB 与∠DOC 有何大小关系；（4）若不知道∠BOC 的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？。
对顶角、余角和补角
探讨一
1、归纳对顶角的概念与性质. 定义：有_公__共__顶点,且两边互为反向延长线的两个 角叫做_对__顶__角___. 性质：对顶角_相__等__.
例题分析：
下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°， ∠BOC＝110°，求∠2的度数．
2、两直线的位置关系与对顶角
【归纳】 1.概念：(1)如果两个角的和是_9_0_°__,那 么称这两个角互为余角. (2)如果两个角的和是_1_8_0_°__,那么称这两个角互为 补角. 2.性质：同角或等角的余角_相__等__,同角或等角的补 角_相__等__.
【思考】 1.任何角都有余角吗？ 提示：由余角的定义可知，只有小于直角的角才有余角. 2.“相等的角是对顶角”这句话对吗？ 提示：不对，对顶角是与两角的位置有关系的，必须是 有公共顶点,且两边互为反向延长线的两个角叫对顶角.
巩固训练 1.同一平面内有三条直线，如果只有两条互相平 行，那么它们的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选C.同一平面内有三条直线，如果只 有两条互相平行，那么第三条直线与这两条直 线相交,所以共有2个交点.
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2.下列各图中,∠1与∠2互为对顶角的是( )
【解析】选C.对顶角必备的两个要素：有公共的 顶点，两边互为反向延长线.
分线吗？并简述理由；
(2)如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE
与∠DCB是否相等？并简述理由；
(3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由 解析：(1)首先根据直角三角板的特点得到 ∠ACD＝90°，∠ECB＝90°.再根据角平 分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数 即可； (2)∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角 相等”即可得到答案； (3)根据角的和差关系进行等量代换即可．
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北师大版七年级下册第二章第一节
教学设计
一．教学目标：
1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。
2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。
3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。
二．教学重难点
重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。
三．教学准备图片、PPT课件。
四．学情分析
本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。
在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。
本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫.
从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大.
五．教学过程
1.创设情境，引入新课
教师活动：
向同学们展示一些生活中的图片：桥梁，楼梯，电线杆等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。
【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。
】
2.动手实践，探索新知
互动探究一、平行线、相交线的概念：
师生活动：
1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？(板书：①平行、②相交，并给出相交和平行的定义)
同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种。
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
【设计意图：让学生用两支笔动手操作，不但培养了学生的动手能力，还能让学生更深层次的体会到平行线的含义，进一步明确同一平面内两条直线的位置关系。
】
巩固练习
问题1：在2.1─1中，直线m和n 的关系是；a和b是；a和n是。
互动探究二、对顶角的概念和性质：
教师活动：进入七年级学习以来，大家都有这样的感受：“生活中处处有----数学。
”现在请各位同学看一组生活中的图片，你们觉得这些图片有什么共同点吗？（多媒体展示X型晾衣架、栅栏、剪刀、小孔成像原理等图片）
学生活动：在纸上任意画两条相交直线，分别度量所成的四个角的大小，你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系？（教师板书，给出对顶角定义）
两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角。
教师应关注：（1）对顶角只有在两条直线相交时才出现。
（2）对顶角是指两个角的位置关系。
出示剪刀在运动过程中夹角的变化，引导学生认真观察，自己得出结论，教师板书对顶角的性质：
对顶角相等。
巩固练习
问题1：下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）
互动探究三、余角、补角的概念和性质：
师生活动：画出两个角使它们的和为90°，画出两个角使它们的和为180°.
A:出示一组互余角B:出示一组互补角
学生通过观察，回答教师提出的问题.师生总结互为余角的概念.然后，类比互为余角学习互为补角的概念.
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
教师应关注：
（1）学生的语言表达.
（2）学生是否能独立思考并积极参与到数学的问题中.
（3）学生是否真正理解了这两个概念.
【设计意图：教师演示，让学生通过观察，从直观的角度去感受互为余角、补角的概念.并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力. 】
巩固练习
问题1下列说法正确的有。
（填序号）
①已知∠A+∠B=90º，则∠A为余角
②若∠1+∠2=180º，则∠1和∠2互为补角。
③若∠1+∠2+∠3=180º，则∠1、∠2、∠3互补
④若∠A=40º26′，则∠A的补角=139º34′
⑤一个角的补角必为钝角。
小组合作交流，解决下列问题：
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图2.1—4抽象成图2.1—5，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2 则：
问题1：在图中哪些角互为补角？哪些角互为余角？
小组讨论，合作交流，得出结论：
互为补角
∠DON+∠CON=180°∠AOC+∠1 =180°∠BOD+∠2=180°4
D C
O
1
2 3
A
N B
互为余角
∠1+∠3=90°∠2+∠4=90°∠1+∠4=90°∠2+∠3=90°
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
∠1+∠3=90°
∠2+∠4=90°⇒∠3=∠4⇒等角的余角相等
∠1=∠2
问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
∠AOC+∠1 =180°
∠BOD+∠2=180°⇒∠AOC=∠BOD⇒等角的补角相等
∠1=∠2
教师归纳总结：
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
教师应关注：
（1）学生对余角和补角概念的理解，是否会用含有未知数的代数式表示一个角的余角和补角.
（2）学生是否真正理解余角的性质，并能在具体的问题中进行应用.学生的几何语言是否规范、标准.
【设计意图：学生有了探究余角的经验，会主动迁移到补角上来，类比余角的性质进行自主探究，从而达到“由扶到放”的目的.从而培养学生独立思考的习惯，以及迁移知识的能力.】
巩固练习
问题1：①.因为∠1+∠2=90º，∠2+∠3=90º，所以∠1= ，理由是 .
②因为∠1+∠2=180º，∠2+∠3=180º，所以∠1= ，理由是 .
问题2：①用你手中的三角板，画一个直角三角形，如图.则∠A是∠B的。
变式训练：在①的基础上，做∠CDA=90°，则∠A的余角有哪几个？为什么？
问题3：如右图: ∠AOB=∠COD=90°
因为∠1+∠2=90º，∠2+∠3=90º，所以∠1= ，
理由是 .
②因为∠AOC+∠COE=180º，∠EOF+∠COE =180º，
所以∠AOC= ，理由是 .
③若∠3=50º，则∠1= 度。
∠2= 度
∠EOF= 度。
∠DOE= 度
3.归纳小结，认知升华：
学生思考，谈自己的收获和体会.教师给以补充.总结一下内容：
（1）同一平面内两条直线的位置关系：平行、相交。
（2）概念：（1）对顶角；（2）余角；（3）补角.
（3）性质：（1）对顶角性质；（2）余角性质；（3）补角性质。
六．作业布置
课本习题2.1知识技能数学理解解决问题联系拓广
七．教学反思
本课教学是非常成功的一节课，学生的积极性、主动性完全崩发，整个课堂完全就是和谐统一的有机整体.
细细思想从中得出：对于新旧知识具有类似的内容可以用类比的方法，这样省时高效；对于几何的命题的验证，可通过多种方法证明，如本节的“等角的余角相等”，可以通过测量、叠合法、逻辑证明，这样可以让不同的学生得到清晰而深刻的理解；更重要的是通过本课学习知道说明一个几何命题的过程是怎样的，须经历“猜想—推理—结论”这样一个过程，为以后的学习做了铺垫.。