新版新人教版八年级数学下册第十九章一次函数
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解: (3)在第三阶段: 40÷2＝20 24＋20 ＝44
∴ y＝ 40－2(x－24)
即 y＝－2x ＋88 (24 ≤ x ≤ 44)
小结
函数的解析式是用自变量的一次整式表示的,我们 称它们为一次函数.
一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式,其中k、 b是常数,k≠0.
特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做 正比例函数.
分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化.
要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的 值,显然,应该探究这两个量之间的变化规律.为此,我们设 汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程 为s千米,则不难得到s与t的函数关系式是
s＝570－95t (1)
问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他
应用拓展 1.已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时， y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例 函数？
解：（1）因为y是x的一次函数， 所以m+1 ≠ 0，解得m≠-1.
（2）因为y是x的正比例函数, 所以m2-1=0,解得m=1或-1. 又因为 m≠-1,所以m=1.
2.已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1,若它是一次函数,求k的 取值范围;若它是正比例函数,求k的值. 解: 若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,
它是一次函数,也是正比例函数.
(4) y =1+9x
(5) y = 8
x
（6）y = -0.5x-1
它是一次函数. 它不是一次函数. 它是一次函数.
1.已知下列函数:y=2x+1; y 1 x
y x 1 x ;s=60t;y=100-25x,其中表示 2
一次函数的有( D )
(A )1个
( B)2个
正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.
第十九章 一次函数
19.2.2 一次函数
第2课时
1、正比例函数的表达式为：y= kx(k≠0) 当x=0时，y= 0 ；当x=1时，y= k 所以，它的图像必经过点（ 1,k ）， ( 0,0 )。 2、一次函数的表达式为：y=kx+b(k≠0)
3、正比例函数的图象是什么？ （直线） 如何画出正比例函数的图象？ （描两点并画出直线） （0,0）（1,k）
(2) y是x的一次函数. (3)当x ＝2.5时, y ＝ 3×2.5－9 ＝－1.5.
4.已知A、B两地相距30千米, B 、C两地相距48千米,某 人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发,经过B地 到达C地.设此人骑车时间为x(时)离B地距离为y(千米). (1)当此人在A、B两地之间时,求 y与x之间的函数关系式 及自变量x的取值范围; (2)当此人在B 、C两地之间时,求 y与x之间的函数关系 式及自变量x的取值范围. 分析:
已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的 存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式.
分析 同样,我们设从现在开始的月份数为x,小张的存
款数为y元,得到所求的函数关系式为
y＝__5_0_＋__1_2_x_(2)
细心观察:
(1) c = 7t - 35 (3) y = 0.01x+22 (5) y=0.5x+3
一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式,其中k、b 是常数,k≠0.
特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做 正比例函数.
正比例函数是一种特殊的一次函数.
巩固概念
下列函数中,哪些是一次函数
(1) y =-3x+7 (2) y =6x2-3x
它是一次函数. 它不是一次函数.
(3) y =8x
教学课件
数学 八年级下册 人教版
第十九章 一次函数
19.2.2 一次函数
第1课时
问题1
小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观 察里程碑,发现汽车的平均速度是95千米/时.已知A地直达北京 的高速公路全程570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北 京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根 据时间估计自己和北京的距离.
分析: 解: (1)在第一阶段: 24÷8＝3 ∴ y＝ 3x
(0≤x ≤8) (0≤ x ≤ 8)
解: (2)在第二阶段: (8≤x ≤8＋16) 设每分钟放出油m吨, 则 16×3－16m ＝40－24 ,得m ＝2.
∴ y＝ 24＋(3－2)(x－8),
即 y＝ 16＋x (8≤ x ≤24)
6、下列一次函数中，ｙ随着ｘ的增大而减 小的是（ Ｃ）
A.y 3x 2 B.y 3 3x
C.y 1 x 1 D.y 3 1 x 3
7、已知一个正比例函数和一个一次函数， 它们的图象都经过点P（-2，1），且一次函 数图象与y轴交于点Q（0，3）。
（1）求出这两个函数的表达式；
（2）在同一个坐标系内，分别画出这两个 函数的图象。
.3 Q
2 o P
一次函数的表达式y=kx+b（k,b为常数，k ≠ 0）， 要求出一次函数的表达式，关键是要确定k,b的值 （即待定的系数。）
因为P（0，-1），Q（1，1）都在该函数图象上，
所以它们的坐标应满足y=kx+b,将这两点坐标代入
该式，得到一个关于k,b的的二元一次方程组：
{k ·0+b=-1 k+b=1 {k=2 解这个方程组，得
C （－2，2） D (2，一2) 3、若直线y=kx+b平行于直线y=-3x+2，且 在y轴上的的交点坐标为(0,-5)，则k= -3， b=-5 。
4、 根据图象，求出相应的函数表达式：
y
y
4
（2，1） 0
xBiblioteka Baidu
x 02
y1x 2
y 2x 4
5、将直线 y＝3x向下平移２个单位长度， 得到直线 y=3x-2 。
4、一次函数的图象是什么？ （直线） 如何画出一次函数的图象？ （描两点并画出直线）
1．如下画出的是函数y= 1 x，y=3x－1的图象
2
y
3. .
-3 0 2
x
y
3.
. -3 0 2
x
2．反思：作这两个函数图象时，分别描了哪几点？ 为何选取这几点？ 可以有不同取法吗？
如图，已知一次函数 的图象经过P（0，-1）， Q（1，1）两点。怎样 确定这个一次函数的表 达式呢？
略解: (1) y＝30－12x (0≤ x ≤2.5) (2) y＝12x－30 (2.5≤x ≤6.5)
5.某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只开进 油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管和出油管 同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关 闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单 位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这 段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数 式及相应的x取值范围.
例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油 并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与 工作时间x(h)之间为一次函数关系，函数图 象如图。 （1）求y关于x的函数表达式； （2）一箱油可供拖拉机工作几小时？ y/L
40
O
8 x/h
运用待定系数法的一般步骤：
（1）写出函数表达式的一般形式，其中包 括未知的系数（需要确定这些系数，因此叫 作待定系数法）；
( C)3个 ( D)4个
2.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满 足 n=2 , m≠2 .
3.下列说法不正确的是( D ) (A)一次函数不一定是正比例函数 (B)不是一次函数就一定不是正比例函数 (C)正比例函数是特定的一次函数 (D)不是正比例函数就不是一次函数
4.若函数y=(m-1)x|m|+m是关于x的一次函数,试求m的值.
5.某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只开进 油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管和出油管 同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关 闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单 位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这 段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数 式及相应的x取值范围.
则k－2≠0, 即k ≠ 2.
若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,
则
k－2≠0, 2k＋1＝0,
解得 k＝－
1 2
3.已知y与x－3成正比例,当x＝4时, y＝3 . (1)写出y与x之间的函数关系式; (2) y与x之间是什么函数关系式; (3)求x ＝2.5时, y的值
解: (1) ∵ y与x－3成正比例, ∴可设y ＝ k(x－3) (k ≠ 0) 又∵当x＝4时, y＝3, ∴3 ＝ k(4－3), 解得k ＝3, ∴y ＝ 3(x－3) ＝ 3x－9
（2）把自变量与函数的对应值代入函数表 达式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程（方程组）求出待定系数的值， 从而写出函数表达式。
1．已知一次函数y=kx+2，当x=5时y值为4，求 k的值. 2．若一次函数y=3x-b的图象经过点P(1，－1)， 则该函数图象必经过点（ B）
A （－1，1） B (2，2)
b=-1 所以这个一次函数的表达式为y=2x-1.
像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模 型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求 出函数的表达式的方法称为待定系数法。
例1 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度。 在1个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，用华氏 温度度量为212 °F；水的冰点是0 ℃，用华氏温 度度量为32 °F。已知摄氏温度与华氏温度满足一 次函数关系，你能不能想出一个办法将华氏温度换 算成摄氏温度？
(2) G = h - 105 (4) y = -5x+ 50 (6) y= -6x+5
1、在这些函数关系式中，是关于自变量的几次式？ 2、关于x的一次式的一般形式是什么？
分析:1.是关于自变量的一次式. 2.y = kx+b
概括
一次函数的定义
上述函数的解析式都是用自变量的一次整式表示
的,我们称它们为一次函数.
∴ y＝ 40－2(x－24)
即 y＝－2x ＋88 (24 ≤ x ≤ 44)
小结
函数的解析式是用自变量的一次整式表示的,我们 称它们为一次函数.
一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式,其中k、 b是常数,k≠0.
特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做 正比例函数.
分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化.
要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的 值,显然,应该探究这两个量之间的变化规律.为此,我们设 汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程 为s千米,则不难得到s与t的函数关系式是
s＝570－95t (1)
问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他
应用拓展 1.已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时， y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例 函数？
解：（1）因为y是x的一次函数， 所以m+1 ≠ 0，解得m≠-1.
（2）因为y是x的正比例函数, 所以m2-1=0,解得m=1或-1. 又因为 m≠-1,所以m=1.
2.已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1,若它是一次函数,求k的 取值范围;若它是正比例函数,求k的值. 解: 若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,
它是一次函数,也是正比例函数.
(4) y =1+9x
(5) y = 8
x
（6）y = -0.5x-1
它是一次函数. 它不是一次函数. 它是一次函数.
1.已知下列函数:y=2x+1; y 1 x
y x 1 x ;s=60t;y=100-25x,其中表示 2
一次函数的有( D )
(A )1个
( B)2个
正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.
第十九章 一次函数
19.2.2 一次函数
第2课时
1、正比例函数的表达式为：y= kx(k≠0) 当x=0时，y= 0 ；当x=1时，y= k 所以，它的图像必经过点（ 1,k ）， ( 0,0 )。 2、一次函数的表达式为：y=kx+b(k≠0)
3、正比例函数的图象是什么？ （直线） 如何画出正比例函数的图象？ （描两点并画出直线） （0,0）（1,k）
(2) y是x的一次函数. (3)当x ＝2.5时, y ＝ 3×2.5－9 ＝－1.5.
4.已知A、B两地相距30千米, B 、C两地相距48千米,某 人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发,经过B地 到达C地.设此人骑车时间为x(时)离B地距离为y(千米). (1)当此人在A、B两地之间时,求 y与x之间的函数关系式 及自变量x的取值范围; (2)当此人在B 、C两地之间时,求 y与x之间的函数关系 式及自变量x的取值范围. 分析:
已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的 存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式.
分析 同样,我们设从现在开始的月份数为x,小张的存
款数为y元,得到所求的函数关系式为
y＝__5_0_＋__1_2_x_(2)
细心观察:
(1) c = 7t - 35 (3) y = 0.01x+22 (5) y=0.5x+3
一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式,其中k、b 是常数,k≠0.
特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做 正比例函数.
正比例函数是一种特殊的一次函数.
巩固概念
下列函数中,哪些是一次函数
(1) y =-3x+7 (2) y =6x2-3x
它是一次函数. 它不是一次函数.
(3) y =8x
教学课件
数学 八年级下册 人教版
第十九章 一次函数
19.2.2 一次函数
第1课时
问题1
小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观 察里程碑,发现汽车的平均速度是95千米/时.已知A地直达北京 的高速公路全程570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北 京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根 据时间估计自己和北京的距离.
分析: 解: (1)在第一阶段: 24÷8＝3 ∴ y＝ 3x
(0≤x ≤8) (0≤ x ≤ 8)
解: (2)在第二阶段: (8≤x ≤8＋16) 设每分钟放出油m吨, 则 16×3－16m ＝40－24 ,得m ＝2.
∴ y＝ 24＋(3－2)(x－8),
即 y＝ 16＋x (8≤ x ≤24)
6、下列一次函数中，ｙ随着ｘ的增大而减 小的是（ Ｃ）
A.y 3x 2 B.y 3 3x
C.y 1 x 1 D.y 3 1 x 3
7、已知一个正比例函数和一个一次函数， 它们的图象都经过点P（-2，1），且一次函 数图象与y轴交于点Q（0，3）。
（1）求出这两个函数的表达式；
（2）在同一个坐标系内，分别画出这两个 函数的图象。
.3 Q
2 o P
一次函数的表达式y=kx+b（k,b为常数，k ≠ 0）， 要求出一次函数的表达式，关键是要确定k,b的值 （即待定的系数。）
因为P（0，-1），Q（1，1）都在该函数图象上，
所以它们的坐标应满足y=kx+b,将这两点坐标代入
该式，得到一个关于k,b的的二元一次方程组：
{k ·0+b=-1 k+b=1 {k=2 解这个方程组，得
C （－2，2） D (2，一2) 3、若直线y=kx+b平行于直线y=-3x+2，且 在y轴上的的交点坐标为(0,-5)，则k= -3， b=-5 。
4、 根据图象，求出相应的函数表达式：
y
y
4
（2，1） 0
xBiblioteka Baidu
x 02
y1x 2
y 2x 4
5、将直线 y＝3x向下平移２个单位长度， 得到直线 y=3x-2 。
4、一次函数的图象是什么？ （直线） 如何画出一次函数的图象？ （描两点并画出直线）
1．如下画出的是函数y= 1 x，y=3x－1的图象
2
y
3. .
-3 0 2
x
y
3.
. -3 0 2
x
2．反思：作这两个函数图象时，分别描了哪几点？ 为何选取这几点？ 可以有不同取法吗？
如图，已知一次函数 的图象经过P（0，-1）， Q（1，1）两点。怎样 确定这个一次函数的表 达式呢？
略解: (1) y＝30－12x (0≤ x ≤2.5) (2) y＝12x－30 (2.5≤x ≤6.5)
5.某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只开进 油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管和出油管 同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关 闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单 位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这 段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数 式及相应的x取值范围.
例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油 并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与 工作时间x(h)之间为一次函数关系，函数图 象如图。 （1）求y关于x的函数表达式； （2）一箱油可供拖拉机工作几小时？ y/L
40
O
8 x/h
运用待定系数法的一般步骤：
（1）写出函数表达式的一般形式，其中包 括未知的系数（需要确定这些系数，因此叫 作待定系数法）；
( C)3个 ( D)4个
2.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满 足 n=2 , m≠2 .
3.下列说法不正确的是( D ) (A)一次函数不一定是正比例函数 (B)不是一次函数就一定不是正比例函数 (C)正比例函数是特定的一次函数 (D)不是正比例函数就不是一次函数
4.若函数y=(m-1)x|m|+m是关于x的一次函数,试求m的值.
5.某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只开进 油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管和出油管 同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关 闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单 位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这 段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数 式及相应的x取值范围.
则k－2≠0, 即k ≠ 2.
若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,
则
k－2≠0, 2k＋1＝0,
解得 k＝－
1 2
3.已知y与x－3成正比例,当x＝4时, y＝3 . (1)写出y与x之间的函数关系式; (2) y与x之间是什么函数关系式; (3)求x ＝2.5时, y的值
解: (1) ∵ y与x－3成正比例, ∴可设y ＝ k(x－3) (k ≠ 0) 又∵当x＝4时, y＝3, ∴3 ＝ k(4－3), 解得k ＝3, ∴y ＝ 3(x－3) ＝ 3x－9
（2）把自变量与函数的对应值代入函数表 达式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程（方程组）求出待定系数的值， 从而写出函数表达式。
1．已知一次函数y=kx+2，当x=5时y值为4，求 k的值. 2．若一次函数y=3x-b的图象经过点P(1，－1)， 则该函数图象必经过点（ B）
A （－1，1） B (2，2)
b=-1 所以这个一次函数的表达式为y=2x-1.
像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模 型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求 出函数的表达式的方法称为待定系数法。
例1 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度。 在1个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，用华氏 温度度量为212 °F；水的冰点是0 ℃，用华氏温 度度量为32 °F。已知摄氏温度与华氏温度满足一 次函数关系，你能不能想出一个办法将华氏温度换 算成摄氏温度？
(2) G = h - 105 (4) y = -5x+ 50 (6) y= -6x+5
1、在这些函数关系式中，是关于自变量的几次式？ 2、关于x的一次式的一般形式是什么？
分析:1.是关于自变量的一次式. 2.y = kx+b
概括
一次函数的定义
上述函数的解析式都是用自变量的一次整式表示
的,我们称它们为一次函数.