1 第1节 简谐运动

第1节简谐运动1.了解什么是机械振动．2.理解平衡位置、回复力、位移、简谐运动的概念．(重点) 3．掌握简谐运动、回复力的特征以及回复力、加速度、速度随位移变化的规律．(重点＋难点)一、什么是机械振动1．定义：物体(或物体的一部分)在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，简称振动．2．平衡位置：振动物体所受回复力为零的位置．3．回复力(1)方向：总是指向平衡位置．(2)作用效果：总是要把振动物体拉回到平衡位置．(3)来源：回复力是根据力的效果命名的力．可能是几个力的合力，也可能是由某一个力或某一个力的分力来提供．1．(1)小鸟飞走后树枝的往复运动不是机械振动．()(2)平衡位置即速度为零时的位置．()提示：(1)×(2)×二、弹簧振子的振动1．弹簧振子是一种理想模型，其主要组成部分是一个质量可以忽略不计的弹簧和一个质量为m的物体．2．如图所示，弹簧振子运动过程中，各物理量变化情况：振子运动A→O O→A′A′→O O→A位移x方向、大小变化向右、减小向左、增大向左、减小向右、增大弹力F方向、大小变化向左、减小向右、增大向右、减小向左、增大加速度a方向、大小变化向左、减小向右、增大向右、减小向左、增大速度v方向、大小变化向左、增大向左、减小向右、增大向右、减小三、简谐运动1．定义：物体所受回复力的大小跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，则物体的运动叫做简谐运动．2．特征(1)受力特征：回复力满足F＝－kx，其中k为比例系数，负号表示力与位移的方向相反，x 为物体偏离平衡位置的位移．(2)运动特征：加速度满足a＝－km x，即做简谐运动的物体加速度的大小与位移的大小成正比，方向与位移方向相反．2．(1)所有的振动都可以看做简谐运动．()(2)简谐运动是匀速运动．()(3)简谐运动的轨迹是一条正弦曲线．()提示：(1)×(2)×(3)×对简谐运动中x、v、a的理解1．简谐运动的位移、速度、加速度(1)位移振动中的位移都是从平衡位置指向振子所在的位置．位移的表示方法是：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振子的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示．且振子通过平衡位置，位移的方向改变．这与一般运动中的位移不同，一般运动中的位移都是由初位置指向末位置．(2)速度跟运动学中的含义相同．在所建立的坐标轴上，速度的正负号表示速度方向与坐标轴的正方向相同或相反．需要说明的是，速度和位移是彼此独立的两个物理量．如振动物体通过同一个位置，其位移的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能(两个“端点”除外)：指向或背离平衡位置，且振子在两“端点”速度的方向改变．(3)加速度做简谐运动的物体加速度a＝－kxm，可见简谐运动是变加速运动．振子在通过平衡位置时加速度的方向改变．2．简谐运动中位移、速度、加速度的变化规律(1)变化规律：当物体做简谐运动时，它偏离平衡位置的位移x、回复力F、加速度a、速度v、动能E k、势能E p及振动能量E，遵循一定的变化规律，可列表如下：物理量过程x F a v E k E p E远离平衡位置运动增大增大增大减小减小增大不变最大位移处最大最大最大零零最大不变靠近平衡位置运动减小减小减小增大增大减小不变平衡位置零零零最大最大最小不变(2)两个转折点①平衡位置是速度大小、位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点；②最大位移处是速度方向变化的转折点．(3)一个守恒：简谐运动过程中动能和势能之间相互转化，但总的能量守恒．(1)简谐运动的位移都是相对于平衡位置的位移．(2)位移、加速度(回复力)大小的变化规律是：向着平衡位置运动时，越来越小，平衡位置处为零，最大位移处最大．(3)速度(动能)大小的变化规律是：向着平衡位置运动，越来越大；平衡位置处最大，最大位移处为零．(4)判断物体是否做简谐运动，要看回复力是否满足F＝－kx.一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是()A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同[思路点拨]解答本题应注意以下两点：(1)在同一位置时，位移、加速度相同，但速度不一定相同．(2)在平衡位置时，加速度为零，速度最大，但速度方向有可能相反．[解析]如图所示．设弹簧振子在A、B之间振动，O是它的平衡位置，并设向右为正．在振子由O向A运动过程中，振子的位移、速度为负值，加速度为正值，故A错．振子通过平衡位置时，加速度为零，速度最大，故B错．当振子每次通过同一位置时，速度大小一样，方向可能向左也可能向右，但加速度相同，故C错，D对．[答案] D(1)在分析简谐运动中各物理量的特点及关系时，可画出振子实际运动的草图，使问题更具体，便于分析．(2)分析简谐运动中各物理量的变化时，一定以位移为桥梁，理清各物理量间的关系：回复力、加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，速度大小随位移的增大而减小，方向有时和位移相同，有时相反.对简谐运动对称性的理解简谐运动是物体在平衡位置附近所做的往复性运动．因此它具有往复性的特点(也可认为，做简谐运动的物体每隔一定时间将重复原先的运动，具有周期性的特点)．它又是以平衡位置为中心的振动，因此又具有对称性的特点．如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，任取关于O点对称的C、D两点，则有：1．时间对称t OB＝t BO＝t OA＝t AO，t OD＝t DO＝t CO＝t OC，t DB＝t BD＝t AC＝t CA.2．速率对称(1)物体连续两次经过同一点(非最大位移的点)(如图中的D点)的速度大小相等，方向相反．(2)物体经过关于O点对称的两点(非最大位移的点)(如图中的C与D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．3．动能对称(1)物体连续两次经过同一点(如图中的D点)的动能相等．(2)物体经过关于O点对称的两点(如图中的C与D两点)的动能相等．4．位移、回复力、加速度对称(1)物体连续两次经过同一点(如图中的D点)的位移、回复力、加速度大小相等，方向相同．(2)物体经过关于O点对称的两点(如图中的C与D两点)的位移、回复力、加速度大小相等，方向相反．(1)由于简谐运动具有往复性的特点，这样就形成了简谐运动的多解问题．分析简谐运动问题时，应认真审题，找出该问题是多解还是唯一解，以保证解答的完整性．(2)关于平衡位置对称的两点，弹性势能或重力势能并不一定相等，即某种形式的势能并不一定具有对称性．如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同．那么，下列说法正确的是()A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同C．振子在M、N两点加速度大小相等D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动[解析]由题意和简谐运动的对称性特点知：M、N两点关于平衡位置O对称．因位移、速度、加速度和力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等，方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反，由此可知，A、B选项错误．振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确．振子由M到O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O到N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D 选项错误．[答案] C简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、加速度、速度、动能等均是等大的(位移、加速度的方向相反，速度的方向不确定)；振子经过平衡位置两侧的两段对称路径时间相等；通过平衡位置一侧的一段路径的往返时间也相等.弹簧振子运动的过程中，有A、A′两点关于平衡位置对称，则下列说法错误的是()A．小球在A点和A′点的位移相同B．小球在两点处的速度可能相同C．小球在两点处的加速度大小一定相同D．小球在两点处的动能一定相同解析：选A.A和A′关于平衡位置对称，小球在A和A′点时位移大小相等，方向相反；小球在两处的速度可能相同，也可能速度大小相等，方向相反；小球在两处的加速度大小相等，方向相反．典型问题——简谐运动规律与力学知识的综合如图所示，质量为m的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，振动过程中，物体对弹簧的最大压力是物重的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是多少？[思路点拨]首先确定物体对弹簧有最大压力和最小压力的位置，然后对物体进行受力分析，最后根据回复力的实质及竖直方向简谐运动的对称性求解．[解析]物体做简谐运动时在最低点物体对弹簧的压力最大，在最高点时物体对弹簧的压力最小．物体在最高点的加速度与在最低点时的加速度大小相等，回复力的大小也相等．物体在最低点时：F回＝1.5mg－mg＝ma ①物体在最高点时：F回′＝mg－N＝ma ②由①②两式联立解得：N ＝12mg .由牛顿第三定律可知物体对弹簧的最小压力是12mg .[答案] 12mg(1)根据回复力的实质，结合物体的受力情况，分别列出物体在最高点和最低点时的回复力方程，联立求解．(2)求解简谐运动规律与力学知识的综合问题时，在正确对物体进行受力分析的基础上，灵活运用简谐运动的对称性，可收到事半功倍的效果.[随堂检测]1．(多选)下列几种运动属于机械振动的是( ) A ．篮球在地面上的上下运动 B ．弹簧振子在竖直方向的上下运动 C ．秋千在空中来回运动D ．浮于水面上的圆柱形玻璃瓶上下振动解析：选BCD.机械振动是物体在平衡位置两侧做往复运动，篮球的上下运动不是在平衡位置两侧的往复运动，A 错误，B 、C 、D 正确． 2．下列振动是简谐运动的有( ) A ．手拍乒乓球的运动B ．弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定组成的振动系统C ．摇摆的树枝D ．从高处下落到光滑水泥地面上的小钢球的运动解析：选B.手拍乒乓球，球向上和向下运动过程中受重力，球在到达地面时发生形变，球下移，故乒乓球的运动为机械振动，但因受恒力，不是简谐运动，A 错；B 为弹簧振子，为简谐运动，B 对；C 中树枝摇摆，受树的弹力，但弹力的变化无规律，C 错；D 既不是机械振动，也不是简谐运动，D 错．3．某弹簧振子沿x 轴的简谐振动图象如图所示，下列描述正确的是( )A．t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值B．t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值C．t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零D．t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值解析：选A.t＝1 s时，振子在正的最大位移处，振子的速度为零，由a＝－kx/m知，加速度为负的最大值，A项正确；t＝2 s时，振子位于平衡位置，由a＝－kx/m知，加速度为零，B 项错误；t＝3 s时，振子在负的最大位移处，由a＝－kx/m知，加速度为正的最大值，C项错误；t＝4 s 时，振子位于平衡位置，由a＝－kx/m知，加速度为零，D项错误．4．(多选)如图所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，当振子从最大位移a处向平衡位置O运动过程中()A．加速度方向向左，速度方向向右B．位移方向向左，速度方向向右C．加速度不断增大，速度不断减小D．位移不断减小，速度不断增大解析：选BD.当振子从最大位移a处向平衡位置O运动时，振子受到的合外力向右且不断减小，加速度向右且不断减小，速度方向向右且不断增大，A、C错误；位移由平衡位置指向振子所处位置，方向向左，位移不断减小，故B、D正确．5.如图所示，一轻弹簧上端系于天花板上，下端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k.将小球从弹簧为自由长度时的竖直位置放手，则：(1)小球从放手运动到最低点，下降的高度为多少？(2)小球运动到最低点时的加速度的大小是多少？解析：(1)设放手后弹簧伸长了x后到达平衡位置O点，则有mg＝kx，所以x＝mgk；小球从平衡位置又下降高度x后运动到最低点，x即为振动过程中球离开平衡位置的最大距离，所以小球由放手到最低点，下降高度为h ＝2x ＝2mgk.(2)小球刚放手时，只受重力作用，加速度为g ，球在最高点和最低点关于平衡位置对称，所以在最低点时的加速度大小为g ，方向竖直向上． 答案：(1)2mgk(2)g[课时作业]一、单项选择题1．在水平方向上振动的弹簧振子如图所示，小球受力情况是( )A ．重力、支持力和弹簧的弹力B ．重力、支持力、弹簧弹力和回复力C ．重力、支持力和回复力D ．重力、支持力、摩擦力和回复力解析：选A.本题主要对弹簧振子进行受力分析，应当注意，回复力是以效果命名的力，是由弹簧的弹力提供的，故A 正确．2．某一弹簧振子做简谐运动，在下面的四幅图象中，能正确反映加速度a 与位移x 的关系的是( )解析：选B.回复力F ＝－kx ，又由F ＝ma 可知应选B 项．3.如图所示，在光滑的水平桌面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k .开始时，振子被拉到平衡位置O 的右侧A 处，此时拉力的大小为F ，然后释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t 后，第一次到达平衡位置O 处，此时振子的速度为v ，则在这一过程中振子的平均速度( ) A ．等于 v 2B ．等于 FktC ．小于 v2D ．等于不为零的某值，但根据题设条件无法求出解析：选B.时间t 内的位移x ＝F k ，则平均速度v ＝x t ＝Fkt，故选B 项．4.如图所示，一轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将该物块向下拉一小段距离放手，此后振子在平衡位置上下做简谐运动，不计空气阻力，则( )A ．振子速度最大时，振动系统的势能为零B ．振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等C ．振子经过平衡位置时，振动系统的重力势能最小D ．振子在振动过程中，振动系统的机械能守恒解析：选D.当振子的速度最大时，振子处于平衡位置，弹力与重力大小相等，方向相反，弹性势能不为零，而重力势能为零，A 、B 错；由于系统能量守恒，振子在平衡位置时的速度最大，动能最大，势能最小，但不是重力势能最小，C 错，D 对． 5.如图所示，弹簧振子的质量为0.2 kg ，做简谐振动，当它运动到平衡位置左侧2 cm 时，受到的回复力是4 N ，当它运动到平衡位置右侧4 cm 时，它的加速度( ) A ．大小为20 m/s 2，向右 B ．大小为20 m/s 2，向左 C ．大小为40 m/s 2，向左D ．大小为40 m/s 2，向右解析：选C.在平衡位置左侧时，F 1＝－kx 1，在平衡位置右侧时，F 2＝－kx 2，得F 2＝8 N ，又a 2＝F 2m ＝80.2m/s 2＝40 m/s 2，方向向左，C 正确．6.如图所示，质量为m 的物体A 放在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A 、B 之间无相对运动．设弹簧的劲度系数为k ，当物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于( ) A ．kx B ．m M kxC.m m ＋Mkx D ．0解析：选C.A 、B 一起做简谐运动，对A 、B 组成的系统而言，回复力是弹簧的弹力，而对于A而言，回复力则是B对A的静摩擦力．利用整体法和牛顿第二定律求出整体的加速度，再利用隔离法求A受到的静摩擦力．对A、B组成的系统，由牛顿第二定律得F＝(M＋m)a.又F＝kx，则a＝kxM＋m.对A由牛顿第二定律得f＝ma＝mM＋mkx.由以上分析可知：做简谐运动的物体A由它所受的静摩擦力提供回复力，其比例系数为mM＋m k，不再是弹簧的劲度系数k.二、多项选择题7．做简谐运动的振子每次通过同一位置时，一定相同的物理量是()A．速度B．加速度C．位移D．动能解析：选BCD.振子通过同一位置时，位移、加速度的大小和方向、动能都相同．速度的大小相同，但方向不一定相同，故选BCD.8．做简谐运动的弹簧振子，下述说法中正确的是()A．振子通过平衡位置时，速度最大B．振子在最大位移处时，加速度最大C．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同D．振子在连续两次通过同一位置时，速度相同，动能相同解析：选ABC.在平衡位置处速度最大，由a＝－km x知，在最大位移处加速度最大，连续两次通过同一位置时，位移大小、方向均相同，速度大小相同，动能相同，但速度方向有可能相反，A、B、C正确，D错误．9.如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统．用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是()A．钢球静止时的位置为平衡位置B．钢球所受弹力为零的位置为平衡位置C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cmD．钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm解析：选AC.小球的回复力由重力与弹力的合力提供，平衡位置是重力与弹力合力为零的位置，即钢球原来静止时的位置，A 正确、B 错误，在平衡位置下方位移为正，在平衡位置上方位移为负，C 正确，D 错误．10.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O 在A 、B 间振动，如图所示，下列结论正确的是( )A ．小球在O 位置时，动能最大，加速度最小B ．小球在A 、B 位置时，动能最大，加速度最大C ．小球从A 经O 到B 的过程中，回复力一直做正功D ．小球从A 经O 到B 的过程中，系统机械能不变解析：选AD.小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，因此A 选项正确．小球靠近平衡位置时，回复力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功．振动过程中总能量不变，因此B 、C 选项错误，D 选项正确．三、非选择题11.如图所示，一质量为M 的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A 和B ，m A＝m B ＝m .剪断A 、B 间的细线后，A 做简谐运动，则当A 振动到最高点时，木箱对地面的压力为多大？解析：本题考查简谐运动的特点及物体受力情况的分析．剪断细线前A 的受力情况：重力：mg ，向下；细线拉力：F ＝mg ，向下；弹簧对A 的弹力：N ＝2mg ，向上．此时弹簧的伸长量为Δx ＝N k ＝2mg k .剪断细线后，A 做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为Δx ′＝mg k处，最低点即刚剪断细线时的位置，离平衡位置的距离为mg k ，由简谐运动的对称性知最高点离平衡位置的距离也为 mg k，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处．此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为Mg .答案：Mg12.如图所示，一质点以O 点为中心在AB 之间做简谐运动，质点从O点开始运动，经过5 s 第一次经过M 点，继续运动，又经过2 s 第二次经过M 点，求质点第三次经过M 点用多长时间？解析：设N 为M 关于O 点的对称点，设从O 到M 用时间t 1，从M 到A 用时间t 2，根据简谐运动的对称性得t ON ＝t 1，t NB ＝t 2.(1)若质点开始时向OM 方向运动则有：⎩⎪⎨⎪⎧5 s ＝t 12 s ＝2t 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝5 s t 2＝1 s ，质点第三次经过M 点用时间 t ＝4t 1＋2t 2＝22 s.(2)若质点开始时向ON 方向运动则有：⎩⎪⎨⎪⎧5 s ＝3t 1＋2t 22 s ＝2t 2，所以t 1＝t 2＝1 s 质点第三次经过M 点用时间t ＝4t 1＋2t 2＝6 s.答案：22 s 或6 s。