正方体截面的直观图的作法3
直观图的画法 PPT
▪ 什么叫直观图 ?
▪ 把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又 能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 的图形．
便 获 得 正 六 边 形 A B C D E F 水 平 放 置 的 直 观 图 A B C D E F
y
F ME
A
O
Dx
B NC
y
F M E
A
O
D x
B N C
大家好
7
3 连 接 A B , C D , E F , F A , 并 擦 去 辅 助 线 x 轴 和 y 轴 ,
便 获 得 正 六 边 形 A B C D E F 水 平 放 置 的 直 观 图 A B C D E F
4成 图 .顺 次 连 接 A,B,C,D,并 加 以 整 理
去 掉 辅 助 线 ,将 被 遮 挡 住 的 部 分 改 为 虚 线 ,
就 可 得 到 长 方 体 的 直 观 图 .
Z
D
Cy
A D
B
Q
C
MO
Nx
AP B
大家好
14
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 A B C D A B C D 的直观图
4成 图 .顺 次 连 接 A,B,C,D,并 加 以 整 理
去 掉 辅 助 线 ,将 被 遮 挡 住 的 部 分 改 为 虚 线 ,
就 可 得 到 长 方 体 的 直 观 图 .
立体图形直观图的画法
⽴体图形直观图的画法平⾯图形直观图的画法先观察下⾯的图形，总结投影变化规律。
投影规律：1.平⾏性不变;但形状、长度、夹⾓会改变；2.平⾏直线段或同⼀直线上的两条线段的⽐不变3.在太阳光下，平⾏于地⾯的直线在地⾯上的投影长不变表⽰空间图形的平⾯图形，叫做空间图形的直观图画空间图形的直观图，⼀般都要遵守统⼀的规则，1．斜⼆测画法我们常⽤斜⼆测画法画空间图形及⽔平放置的平⾯多边形的直观图．斜⼆测画法是⼀种特殊的平⾏投影画法．2．平⾯图形直观图的画法斜⼆测画法的步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O .画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝_45°(或135°)_，它们确定的平⾯表⽰_⽔平⾯．(2)已知图形中平⾏于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成_平⾏于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平⾏于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变_，_垂直于x轴的线段，长度为原来的_⼀半_．注意点：1．斜⼆测画法中的“斜”和“⼆测”分别指什么？提⽰：“斜”是指在已知图形的xOy平⾯内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“⼆测”是指两种度量形式，即在直观图中，平⾏于x′轴或z′轴的线段长度不变；平⾏于y′轴的线段长度变为原来的⼀半。
2．圆的斜⼆测画法，其图形还是圆吗？提⽰：不是圆，是⼀个压扁了的“圆”，即椭圆。
3．⽴体图形直观图的画法由于⽴体图形与平⾯图形相⽐多了⼀个z轴，因此，⽤斜⼆测画法画⽴体图形的直观图时，图形中平⾏于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成平⾏于x′轴、y′轴或z′轴的线段．平⾏于x轴和z轴的线段，在直观图中长度不变，平⾏于y轴的线段，长度为原来的⼀半．例１．⽤斜⼆测画法画⽔平放置的六边形的直观图解：第⼀步：在六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为X 轴，对称轴MN 所在的直线为Y 轴，两轴交于点O 。
立体图形的直观图_课件
立体几何中常用中学学过的平行投影(斜投影)来画空间图形 的直观图，这种画法叫斜二测画法．
投影规律
平行性不变，但形状、长度、夹角会改变 ；平行直线段或同一直线上的两条线段的比 不变； 在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的 投影x轴和y轴，两轴相交于点O；
② 作x'轴，y'轴，两轴相交于O'，且使∠x'O'y'＝45'或135' ；
③ 已知图中平行于x轴的线段仍与x'轴平行，且保持原长度不
变；平行于y轴的线段仍与y'轴平行，长度变为原来的一半；
④ 连接其余线条，擦去多余的辅助线．
斜二测画法的主要作用是为了画空间几何体
．
四个步骤：取面、画轴、平行性、长
(1)矩形;
(2)平行四边形:
(3)正三角形;
(4)正五边形.
斜二测画法画几何体的主要步骤 ：
四个步骤：取面、画轴、平行性、长 度
2.已知长方体的长、 宽、高分别是3cm, 2cm, 1. 5 cm,用斜 二测画法画出它的直观图.
分析:画棱柱的直观图，通常将其底 面水平放置.利用斜二测画法画画出 底面，再画出则棱，就可以得到棱 柱的直观图.长方体是一种特殊的棱 柱，为画图简便，可取经过长方体 的一个顶点的三条棱所在直线作为x 轴、y轴、z轴.
(3)画侧棱.在心轴正半轴上取线段AA'.使AA'=1.5cm.过B，C，D各点分别 作二轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段BB', cC', DD'. (4) 成图.顺次连接A'. B'. C". D'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部 分改为虚线)。就得到长方体的直观图了.
直观图画法
巩固训练
1、判断： （1）水平放置的正方形的直观图可能是 梯形； （×） （2）两条相交直线的直观图可能是平行 直线； （×）
2、课本P16练习1—3
回顾反思
斜二测画法的规则关键是：
“平行性不变；横不变纵半”。
谢 谢 再 见
•； 加工中心 数控铣床 加工中心 数控铣床 ；
数学运用
例2、画水平放置的圆的直观图。
Y Y’
Oபைடு நூலகம்
X
0
X’
数学运用
例3、画棱长为2cm的正方体的直观图
D〞
z C〞
D〞
C〞
B〞
A〞
B〞
A〞
y
D′ C′ D′ C′
o
A′ B′
x
A′
o
B′
数学运用
例4、如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，哪一条 线段最长。
3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投 影长不变；等等。
建构数学
先讨论水平放置的平面图形的画法。
例1、画水平放置的正六边形的直观图
F Y
M
E F1
M1
y1
E1
D1
A
0
D
X
A1
01
N1
B1 B
N
x1
C1
C
• 总结画法规则：
1、在已知图形中取互相垂直的轴x轴、y轴；
2、作对应的x’轴、y’轴，夹角∠ x’o’y’=45°； 3、已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直 观图中分别画成平行于x’轴、y’轴的线段 （即平行性不变）； 4、已知图形中平行于x轴的线段，在直观图 中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度 为原来的一半(即横不变纵拆半）。 • 斜二侧画法中如何找一般位置下的点？ • 已知直观图如何画水平放置的平面图形？
8.2 立体图形的直观图-
总结
简单几何体直观图的画法规则：
(1)画轴：通常以高所在直线为 z 轴建系.
(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点：利用与 z 轴平行或在 z 轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
跟踪训练2 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为 2 cm)
题型三 直观图的还原与计算
例3如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若 O′B′＝ 2，则这个平
面图形的面积是( )
A．1
B． 2
C．2 2
D．4 2
C 解由题图知，△OAB 为直角三角形．∵O′B′＝ 2，∠A′O′B′＝45°，∴A′B′＝ 2，O′A′＝2.
总结
直观图的还原技巧： 由直观图还原为平面图的关键是找与 x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于
解析：正方形的直观图 A′B′C′D′如图：
因为
O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点
B′到
x′轴的距离为
1×sin
45°＝
2 2.
总结
平面图形的直观图的技巧 1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要 使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. 2.画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段平行性不变，与坐标轴 不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.
3 4
cm，连接
A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图.
(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.
题型二 画空间几何体的直观图 例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体 ABCD－A′B′C′D′的直观图.
三视图和直观图的画法最新版本
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,
xOz 90 .
Z
y
O
x
2画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在
轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
特殊的平行投影画法——斜二测画法
1、平面图形的直观图画法
y
（1）画轴.
y’
o
x
( 450或1350 )
o’
x’
（2）确定平行线段. 平行x轴的线段平行于x’ 轴 平行y轴的线段平行于y’ 轴
（3）确定线段长度.
确定点位置的画 法: 在斜坐标系 里横坐标保持不 变,纵坐标变为原 来的一半.
平行x轴的线段的长度保持不变.
正 视 图
侧 视
俯
图
俯视图
直三棱柱
小结：
1、 三视图之间的投影规律：
正视图与俯视图------长对正。 正视图与侧视图------高平齐。 俯视图与侧视图------宽相等。
2、画几何体的三视图时，能看得见的轮廓线
或棱用实线表示，不能看得见的轮廓线 或棱用虚线表示。
柱体
锥体
台体
球体
空间几何体的直观图
分别用8,9,10,11个相同的小方块搭 成一个几何体,它的正视图和俯视图 如图所示.则一共有几种不同形状的 搭法? (你可以用实物模型动手试一 试) 你能用三视图表示你探究的结果 吗?（补出这个几何体的侧视图）
正视图
俯视图
Z
D
C y
A
D
BQ C
空间几何体的直观图 斜二测画法课件
高平齐,
宽相等.
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什么叫直观图 ?
把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又 能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 的图形．
D
A
C
B
D A
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C B
思 画一个正方形的直观图。 考
思考：怎样画才 更形象准确？
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.....
斜二测画法
y
.
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D C x’
练习
已知几何体的三视图如下，画出它的直观图.
p
.
O′
.正视图 O
p
.
O′
.侧视图 O
.
俯视图
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.pz
y′ y
.p
.O′
x′
.O′
o
x
.o
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归纳整理
直观图最常用的画法是斜二测法，由其规则能画出水平放置的的直观图，其实质就是 在坐标系中确定点的位置的画法，其基本步骤如下：
３、长度规则： 已知图形中平于Ｘ轴的的线段，在直观 图中保持长度不变；平行于Ｙ轴的线段，长度变为原来 的一半。在空间坚直方向您上的教学的资源长库 度也不变。
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１、建系：在已知图形中取互相垂直的的Ｘ轴和Ｙ轴，得到 直角坐标系ＸＯＹ，直观图中画成斜坐标系Ｘ‘Ｏ’Ｙ ‘，两轴的夹角为４５０，Ｘ’轴水在平空．间坚直方向上的 线段画成垂直于Ｘ’轴需要画立体图时，过Ｏ‘点画Ｚ ‘轴，且使其垂直于Ｘ’轴
２、平行不变： 已知图形中平行于Ｘ轴或Ｙ轴的线段， 在直观图中分别画成平行于Ｘ’轴或Ｙ‘的线段。
B N C
B NC
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3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
15.2 正方体截面的直观图的作法(3)
D1
C1
A1
B1
D1
F
C
D1C 2a ME
M
2 a 2
A
E
B
5 a 过M 作MF DC D1M 1 于F C 2 2 3 2 D1F a MF a 4 4 9 S截面 a 2 8
*3(1)如图所示,已知正方体ABCD ABC D 中,画出 E，F，G所确定的平面
** 两个面的公共点 ** ** 两个面的交线 **
** 截面的多边形 **
1、画出如下图所示的几何体中过三点M、N、P的截面.
M
M
N
P N
P
M
P N
A
A
M
N
P
B
2、正方体ABCD A1B1C1D1的边长为a，M 是AA1的中点，请作出过C, D1 , M 三点的截面,且计算它的面积.
M E
D A B F C
D
GM H C
A
E
B
*(2)画出如下图所示的多面体中过三点M,N,P的截面α.
D A M B N C A B M
C
D
A
P
C
O
A
P
N
C
B
N
B
M
A B
C
P
*(3)如图所示,在正方体 ABCD ABC D 中,根据给 出的条件,分别画出有关的图形.
(1)过三点 B, A, C 的截面. (2)过三点 B, A, C 的截面. (3)上述两个截面的交线.
A B C
*分析: *探求平面与平面的交线 关键在于找到两个平面的 A 两个公共点.
D
C
B
**由公理1:这两个公共点可确定出两个平面的交线.
立体几何第四课时 直观图画法
诚西郊市崇武区沿街学校第四课时直观图画法
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．初步理解中心投影和平行投影的区别。
2．初步掌握程度放置的平面图形的直观图的画法和空间几何体的直观图的画法
3．初步理解斜二测画法
【课堂互动】
自学评价
1．消点的定义：
.
2．斜二测画法步骤⑴
⑵
⑶
⑷
【精典范例】
一、怎样画程度放置的正三角形的直观图
例1：画程度放置的正三角形的直观图。
解答：见书14页例1点评：在条件“平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半〞之下，正三角形的直观图为斜三角形。
追踪训练一
画程度放置的正五边形的直观图。
解答：略
例2.画棱长为2cm的正方体的直观图.
解答：见书15页例2
点评：空间图形的直观图的画法。
规那么是：图形中平行于x轴，y轴和z轴的线段，在直观图中保持平行性不变；平行于x轴，z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半。
追踪训练二
用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图
仿照例２作图
听课随笔
听课随笔。
立体图形的直观图(优秀经典公开课课件)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
解析 因为 A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以 AB⊥AC．又 AC＝
2A′C′＝2AB，所以△ABC 是直角三角形，不是等腰三角形． 答案 B
4.如图所示的直观图△A′O′B′，其原平面图形的面积为____________． 答案 6
(3)原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应 点后，用平滑曲线连接而画出．
[触类旁通] 1．用斜二测画法画出如图所示边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图．
解析 (1)如图①所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴．
(2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在 y′轴上取 O′A′ ＝12OA，连接 A′B′，A′C′，则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观 图，如图②所示．
题型二 空间几何体的直观图的画法 [例 2] 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
A．14 C．28
B．10 2 D．14 2
[解析] ∵A′D′∥y′轴， A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′， ∴原图形是一个直角梯形． 又 A′D′＝4， ∴原直角梯形的上、下底及高分别是 2,5,8， 故其面积为 S＝12×(2＋5)×8＝28. [答案] C
[母题变式] 若将例题变为“梯形 A1B1C1D1 是平面图形的直观图，若 A1D1∥O′y′，A1B1 ∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1”，试求原四边形 ABCD 的面积．
(3)画侧棱．过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分 别截取 2 cm 长的线段 AA′，BB′，CC′，DD′.
高中数学空间几何体的直观图
y
F ME
A
O
Dx
B NC
y
F M E
A
O
D x
B N C
空间几何体的斜二测画法
3 连 接 A B , C D , E F , F A , 并 擦 去 辅 助 线 x 轴 和 y 轴 ,
便 获 得 正 六 边 形 A B C D E F 水 平 放 置 的 直 观 图 A B C D E F
y
对 称 轴 MN所 在 直 线 为 Y轴 ,两 轴 交 于 点 O。 画 相 应
F
M E 的 X轴 和 Y轴 ， 两 轴 相 交 于 点 O,使 xOy=45
A
O
Dx
y
O
x
B NC
空间几何体的斜二测画法
2以O为中心,在X上取AD=AD，在y轴上取
MN=1MN.以点N为中心,画BC平行于x轴, 2
（3）平面图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
小结：“横同，竖半4，5 0 ”
关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画
法．在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．
空间几何体的斜二测画法
思考: 那么对于立体的图形我们该如何画呢？
D
A
空间几何体的斜二测画法
空间几何体的直观图是一种平行投影下的图像，一般我们采用斜二测画法来作
空间几何体的直观图。下面就让我们通过一个具体的例子来看下什么是斜二测画法 以及它的作图要点和步骤。
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
1在 六 边 形 A B C D E F 中 ， 取 AD所 在 的 直 线 为 X轴 ，
分别画成平行于Ｘ’轴或Ｙ‘的线段。
必修二1.2空间几何体直观图的画法
简单组合体的三视图
正视图
侧视图
俯视图 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出。
正视图
侧视图
俯视图
由三视图想象几何体
练习2：一个几何体的三视图如下,你能说出它 是什么立体图形吗?
四棱锥
练习3：画下列几何体的三视图
练习4：指出下面三个平面图形是右面这个 物体的三视图中的哪个视图。
(1)
(2)
( 正视图 )
Z
D
A D
MO
C y
B
Q
C
Nx
AP B
D
A D
A
C B
C
B
思考2:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影
是底面中心的三棱锥？
zS
C
A
B
y C
M
A
OBx
S
C
A
B
练习:用斜二测画法画底面边长为2cm,侧 棱长为√11cm的正四棱锥的直观图.
画棱柱、棱锥的直观图大致可分以下几 个步骤
画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法．在
实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．
练习:P21 EX1、2
斜二测画法的步骤（空间几何体）
步骤：
（2）画轴（画 o' x', o' y', o' z' 轴，使 x'o' y' 450 或135 0 ,x'o' z' 900. x'o'
一.水平放置的平面图形的直观图 例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
1 在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X 轴，
立体图形的直观图
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第八章 立体几何初步
6
用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来平行的直线还平行吗？原 来长度相等的线段长度还相等吗？
提示：用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来平行的直线仍然平 行；原来长度相等的线段长度不一定相等，因为与x轴平行的线段，长度 不变，与y轴平行的线段，长度减半．
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第八章 立体几何初步
34
本部分内容讲解结束
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第八章 立体几何初步
12
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
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第八章 立体几何初步
13
关于斜二测画法作图
(1)首先在原图中建立直角坐标系，一般采用对称建系，或尽可能将图形 中的边、顶点落在坐标轴上． (2)建立斜二测坐标系，先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段，原则 是“横不变、纵减半”． (3)对于不与坐标轴平行的线段，可通过在原图中作辅助线的方法确定在 直观图中的位置．
第八章 立体几何初步
8．2 立体图形的直观图
数学
第八章 立体几何初步
1
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
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第八章 立体几何初步
2
学习指导
核心素养
1.数学抽象：斜二测画法的概念及
能用斜二测画法画出简单空间图形(长 步骤．
方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简 2.直观想象：利用斜二测画法画出
8.2立体图形的直观图
& 2立体图形的直观图考点学习目标核心素养会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直直观想象平面图形的直观图观图会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简简单几何体的直观图直观想象单组合体的直观图直观图的还原与计算会根据斜二测画法规则进行相关运算直观想象、数学运算1 •画简单几何体的直观图的步骤是什么？2.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？3•用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？《［新知初探1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1) 建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点0',且使/ x O y = 45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.(2) 平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y＞的线段.⑶长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.2. 空间几何体直观图的画法(1) 与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z轴.(2) 直观图中平面x 0 y表示水平平面，平面y O z和x，0，z，表示竖直平面.(3) 已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.⑷成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线____ .■名师点拨(1) 画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.(2) 用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°（或135°.，自我检厠》O 判断（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）用斜二测画法画水平放置的/ A时，若/ A的两边分别平行于x轴和y轴，且/ A = 90°,则在直观图中，/ A= 45° .（）（2）用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行.⑶相等的角在直观图中仍相等. （）答案：（1）X ⑵V ⑶X@根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox, Oy, Oz轴画成对应的O x；O' y',O z ；则/ x 'O y与/x 'O z的度数分别为（A. 90°, 90°B. 45 ° , 90°C. 135° , 90°D. 45° 或135° , 90°解析：选D.根据斜二测画法的规则，/ 的度数应为45°或135 ° ,%O z '指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°&下列关于直观图的说法不正确的是（）A •原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y轴，长度不变B •原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x轴，长度不变C.画与直角坐标系xOy对应的x O y时，/ x ' O ' y'可以画成45°D .在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同解析：选A.平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错.O利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的@如图所示的直观图△ A O B '，其原平面图形的面积为答案：6探究点画水平放置的平面图形的直观图【解】 ⑴在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边0B 所在直线为 于0B 的腰0D 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系•如图 ①所示.⑵画相应的x 轴和y 轴，使/x O y = 45°,在x 轴上截取O 'B = 0B ,在y 轴上截取O 'D ' = 2°D ，过点D 作x 轴的平行线I ，在I 上沿x 轴正方向取点 C 使得D C = DC.连接B C ', 如图②.⑶所得四边形 O B C D '就是直角梯形 OBCD 的直观图•如图 ③.画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项(1) 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图.⑵画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化. 图.(其中O , E 分别为线段AB , DC 的中点)解：⑴画对应的坐标系 x O y '，使/x O y = 45°.1⑵以0为中点在 x 轴上取 A B = AB ,在y 轴上取 O E = 2°E ，以E '为中点画 C D ' // x ' 轴，并使C D = CD.⑶连接B C ', D A '，所得的四边形A 'B 'C D 就是水平放置的等 腰梯形ABCD 的直观图，如图.画简单几何体的直观图瑟口 已知一个正四棱台的上底面边长为 2,下底面边长为6,高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【解】 ⑴画轴.如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 0,使/ x°y = 45°,/咂］画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示.训练用斜二测画法画出图中等腰梯形 探究点ABCD 的直观xOz= 90°①⑵画下底面•以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF = 6,在y轴上取线段GH ,使得GH = 3,再过G, H分别作AB綊EF, CD綊EF，且使得AB的中点为G, CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.(3) 画上底面.在z轴上截取线段OO i = 4,过O i作O i x' Ox, O i y' Oy，使/ xO i y'=45 建立坐标系x'O i y',在x'O i y'中仿照2)的步骤画出上底面A i B i C i D i的直观图.⑷连接AA i、BB i、CC i、DD i,擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②).画空间图形的直观图的原则⑴用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x轴、y轴、z轴的线段.(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的2.由如图所示几何体的三视图画出直观图.正视團解：⑴画轴.如图①，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O,使/ xOy = 45°,J xOz =90 °ABC.（3）画侧棱.过A, B, C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA；BB ',CC '，且AA'= BB = CC ；如图①.⑷成图，顺次连接 A ', B ' ,C '，并加以整理（擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示），得到的图形就是所求的几何体的直观图，如图②.疔B r①②探究点直观图的还原与计算例可如图所示，梯形A I B I C I D I是一平面图形ABCD的直观图.若A i D i// O ' y ',A1B1// C1D1, A i B i= 3C I D I= 2, A i D i = O'D i= 1•试画出原四边形，并求原图形的面积.【解】如图，建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD = O D i=1, OC = O C i= 2.在过点D与y轴平行的直线上截取DA = 2D i A i = 2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB = A i B i = 2.连接BC,便得到了原图形（如图）.由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB= 2, CD = 3,直角腰长度为AD = 2.2 + 3所以面积为S=—厂X 2= 5.（i）直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线ABC.段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.（2）直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为s,其直观图的面积为S',则有S'=¥s 或S =町2s'•利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.已知正三角形 ABC 的边长为a ，那么△ ABC 的平面直观图△ A B C 的面积为（）B./解析：选D.如图①②所示为实际图形和直观图.由②可知，B C ，=BC = a , O A ，g oA ^^a ,在图②中作A 'D 丄B C 于点D',贝U A ，D ， 2 ;6 1 1 6 '6 2 ~O 'A ' =f a.所以 B C '= 2B 'C ' AD ' = x a x 〒a =花a 2i •用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是 （）A .原来相交的仍相交B .原来垂直的仍垂直C .原来平行的仍平行D .原来共点的仍共点答案：B 2.如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（解析：选C.由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的 边平行于y 轴，故选C.I®'站鋼A.C 远 C.8 a 2'6解析：选C.法一：设O'C'= h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h , C'B'=CB , O'A '=OA •过C 作C 'D 丄O A 于点D (图略),则C 'D'=¥h.由题意知1C 'D (C B '+ O 'A )= S , 即 ：^2h(C 'B '+ O A ) = S.又原直角梯形面积为1 4S l S 7 = 2h(CB + OA) = h(C B '+ O A )=強=2^2S. 所以梯形OABC 的面积为2 . 2S.故选C.4S 厂可得S 梯形OABC = 2= 2 . 2S ,故选 C. 4.若把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在 x O y 平面上，则圆柱的高应画成 （）A .平行于z 轴且大小为10 cmB .平行于z 轴且大小为5 cmC .与z 轴成45°且大小为10 cmD .与z 轴成45°且大小为 5 cm解析：选A.平行于z 轴（或在z 轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持 致. 5.画一个正四棱锥（底面为正方形，侧面为全等的等腰三角形）的直观图（尺寸自定）.解：步骤：（1）画轴.如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使/xOy = 45°,*Oz = 90°.⑵画底面.以 O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形的直观图 ABCD. ⑶画顶点.在 Oz 轴上截取OS ,使OS 等于已知正四棱锥的高.⑷画棱.连接SA , SB , SC , SD ,擦去辅助线（坐标轴），得到正四棱锥 S-ABCD 的直观3•如图是一梯形 A • 2SC . 2 2SOABC 的直观图，其直观图面积为S,则梯形OABC 的面积为（由S 直观图= 原图B. 2S[A 基础达标]1 •对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是 （ ）A •等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B •正方形的直观图为平行四边形C .梯形的直观图不是梯形D •正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：选B.根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形. 2•如图，A ' B '// O ' y ', B ' C '// O ' x ',则直观图所示的 平面图形是（ ）A •任意三角形B •锐角三角形C .直角三角形D .钝角三角形解析：选 C.因为 A B '// O y '，且 B C '// O x :所以原平面图形中 AB 丄BC.所以△ ABC 为直角三角形.3. 已知两个圆锥，底面重合在一起 （底面平行于水平面），其中一个圆锥顶点到底面的 距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离 为（）A • 2 cmB . 3 cmC . 2.5 cmD . 5 cm解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为 2 + 3= 5（cm ），在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm ，故选D.4.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为 4，则此正方形的面积是（）A.16C . 16 或 64图，如图②所示.巩固提升确代•堆供•谢先 ■B . 64 D .都不对① ②解析：选C •根据直观图的画法，平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段变为原来的一半，于是长为 4的边如果平行于 x 轴，则正方形边长为 4，面积为16,边长为4 的边如果平行于y 轴，则正方形边长为 8,面积是64.5•正方形O AB C 的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直 观图，则原图形的周长是 ()A . 6 cmB . 8 cmC . (2 + 3 .'2)cm解析：选B.如图，OA = 1 cm ,在 Rt △OAB 中，0B = 2 ；2 cm , 所以 AB = ■ ； OA 2 + 0B 2= 3 (cm). 所以四边形OABC 的周长为8 cm. 6. 如图所示为一个平面图形的直观图,/X 2 fl J解析：因为/ D A B = 45°，由斜二测画法规则知/ DAB = 90°,又因四边形 A B C D '为 平行四边形，且 A B = 2B C '，所以AB = BC ,所以原四边形 ABCD 为正方形.答案：正方形7. 如图是四边形 ABCD 的水平放置的直观图 A B C D '，则原四边形 ABCD 的面积是解析：因为A D ' // y '轴, A 'B ' / D ' ,A 'B '宅'D ' 又 A D '= 4,所以原直角梯形的上、下底及高分别是 2, 5, 8,故其面积为 S = 2^ (2 + 5) X 8 = 28.答案：28D . （2 + 2；：3）cm则它的原图形四边形 ABCD 的形状为 __________所以原图形是一个直角梯形，如图所示.n1°p8•如图所示的是一个水平放置的正方形 ABCO,它在直角坐标系xOy 中，丸川点B 的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B '到x'轴的距离为 _________ .—\d 一c.解析：在直观图中四边形 A'B'C'O 是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边 形，所以顶点B 到x 轴的距离为¥•答案：孑(1)线段AB i 在图中、实物中长度各为多少？/ AB 1A 1在图中、实物 中的度数各为多少?⑵在实物中，/ ABC 、/ AEB 、/ BEC 、/ ABD 、/ CBD 的度数是多少？ ⑶线段BC 在图中、实物中的长度各是多少？/ AD 1A 1、/ CB 1C 1在实物中的度数是多 少？解：(1)平面AA 1B 1B 处在铅直状态下， 其内部的图形为真实图形，由已知AA 1 = A 1B 1= 2cm , AA 1丄A 1B 1，所以AB 1=J22 + 22= 2 .'2 (cm).所以线段 AB 1在图中，实物中的长度都 是2 .'2 cm , /AB 1A 1在图中、实物中度数都是45°(2) 在实物中，/ ABC = / AEB = / BEC = 90°,/BD = / CBD = 45°. (3)线段BC 在图中、实物中的长度分别是 1 cm , 2cm ,/AD 1A 1、/ CB 1C 1在实物中的 度数都是45°10.如图所示，四边形 ABCD 是一个梯形，CD // AB , CD = BO = 1, 三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形 ABCD 水平 放置的直观图的面积.解：法一： 在梯形 ABCD 中，AB = 2,高OD = 1,由于梯形 ABCD 水 平放置的直观图仍为梯形， 且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示,1W2于是梯形AB'C D 的面积为2 X (1+ 2) X 才=〒■ 法二：梯形 ABCD 的面积 S = ^(DC + AB) X OD9.如图是上、下底面处在水平状态下的棱长为 直观图，比例尺为 1 : 1，回答下列问题:在直观图中，O'D '^OD = 2，梯形的高D2 cm 的正方体的=-x (1 + 2) x 1 = 32 、)2所以梯形ABCD直观图的面积为S “ 2=哮11 •如图所示的是水平放置的三角形是AC的中点，在原三角形ABC中，BD的长相等的线段有（）A • 0条C. 2条D. 3条解析：选C•先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段.把三角形A'B'C还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD = DC = BD.故选C.12. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）1 ：2J2B. 1 +2C. 1 + .-'2D. 2+ '2解析：选D.因为A D '// B C '，所以AD // BC.因为 / A B C = 45°,所以 / ABC = 90 °所以AB丄BC.所以四边形ABCD是直角梯形，如图所示.其中，AD = A D = 1, BC= B C = 1 + 2, AB= 2,即S 梯形ABCD = 2+ ,'2.13. 水平放置的△ ABC的斜二测直观图如图所示，已知 B ' C' = 4, A ' C' = 3, B 'C ' // y '轴，则△ ABC中AB边上的中线的长度为（）B. .73 5 D ・5解析：选A.由斜二测画法规则知 AC 丄BC ,即△ ABC 为直角三角形，其中 AC =3, BC=8，所以AB = 73 , AB 边上的中线长度为一^3，故选A.14. 如图是一个边长为 1的正方形A ' B ' C ' D ',已知该正方形是某个水 平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求 出其面积.解：四边形ABCD 的真实图形如图所示, 因为AC 在水平位置， A 'B 'C 'D '为正方形， 所以 / D A C = / A C B = 45所以在原四边形 ABCD 中，AD 丄AC , AC 丄BC , 因为 AD = 2D A = 2, AC = A C = ；2,所以S 四边形ABCD = AC AD = 2詁2.[C 拓展探究]15. 已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm).解：画法:⑴建系：如图①，画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点 0,使/xOy = 45°,&Oz = 90°.⑵画底：在x 轴上取线段 OB = 8 cm ,在y 轴上取线段 OA '= 2 cm ,以OB 和OA 为邻边 作平行四边形OBB A '.(3) 定点：在z 轴上取线段OC = 4 cm ,过C 分别作x 轴，y 轴的平行线，并在平行线上 分别截取CD = 4 cm , CC ' = cm.以CD 和CC 为邻边作平行四边形 CDD C '4 4（4）成图：连接AC', BD , B'D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）,就得到该几何体的直观图（如图②）•A H②。
立体图形的直观图 课件
8.2 立体图形的直观图
【观察】如图成块的农田在无人机的垂直视角之下，是什么 形状?站在地面眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼 里又是什么形状?
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，
这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同， 要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体.
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了 将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面 图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识。 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图 形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内 的点表示，因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。在立体 几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
反思与感悟
(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图
形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线
段，这样可得出所求图形相应的高.
(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝
2ห้องสมุดไป่ตู้4
S.
练习 斜二测画法画直观图的综合应用
1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变； 平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
简记为：横（轴）不变纵（轴）减半
练习1：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图
y
y′
D
C
D′
C′
OA
Bx
O′ A′
B′ x′
练习2 斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个 圆水平放置，看起来像什么图形？画出水平放置的圆的直观图． 答 看起来像椭圆．画法如下图：
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的具体方法.
F D
A R
G
E P
D
Q C
A
F
B
例7：正方体中,试画出过其中三条棱的中点
P,Q,R的平面截得正方体的截面形状．
归纳总结
①作平面与正方体的截面的关键是:作出平面与平面 的交线,而作平面与平面的交线的关键是找到两个平 面的两个公共点.
②注意结合例题举例说明:只有共面的直线才有交点, 异面直线是没有交点的,具体在作图时要有空间的方 位感.
M
E
D1
C1
A1
M
A
E
B1
D1
F
C
D1C
2a ME 2 a 2
C
D1M
5 2
a 过M 作MF
D1C于F
B
D1F
2 a MF 3 2 a
4
4
S截面
9 a2 8
*3(1)如图所示,已知正方体ABCD ABCD 中,画出
E，F，G所确定的平面
D
C
A
D A
A
B
分析 作平面与正方体的截面的关键是:作出平面与
平面的交线;而作平面与平面的交线的关键是:找到
两个平面的两个公共点.
D A
R
D A
G CH
E B
P
Q C
F
B
D A
R
G C
R
E B
P
G C E
B P
Q
D
Q C
F
A
B
** 结合所作直观图总结:
作由截面将正方体分割而
成的两个多面体的直观图
(3)利用复制正方体与截面的直观图.采用擦除截面一 侧图形的方法就可得到由截面将正方体分割而成的两 个多面体.
(4)结合所作图形说明两个多面体的各个面的多边形的 特征.
D
D
C
A
B
D A
D C A D
B
A
(4)结合所作图形,说明被截 面截得的两个多面体的各个 面的多边形的特征.
A
C
C B
课堂练习
** 课本(P30) 练习15.2(3): 1 , 2 .
课堂小结 请根据你在这节课所学的知识谈谈你的收获与体会.
** 两个面的公共点 ** ** 两个面的交线 ** ** 截面的多边形 **
1、画出如下图所示的几何体中过三点M、N、P的截面.
M
P N
M
N P
M P
N
A
A
M
N
PB
2、正方体ABCD A1B1C1D1的边长为a，M是AA1的中点，请作出过C, D1, M 三点的截面,且计算它的面积.
(3)上述两个截面的交线. D
C
A
B
D A
C B
n个平面最多可将空间 分成 n3 5n 6 个部分
6
如图,在正方体中,画出经过C, D', E三点的截面.
如图,在正方体中,画出经过P, M, N三点的截面.
E
B F
GM
H C
B
*(2)画出如下图所示的多面体中过三点M,N,P的截面α.
D
C
M
A
C
A
B
B
M
N
D
C
P
A
C
A
N B
O
P B
N M
A B
C
P
*(3)如图所示,在正方体 ABCD ABCD中,根据给
出的条件,分别画出有关的图形.
(1)过三点 B, A,C的截面.
(2)过三点 B, A,C 的截面.
C B
例题讲解
例题6 如图所示,已知正方体 ABCD ABCD.
点P和点Q位于平面 BBCC 上,(PQ与BC不平行),
点R位于棱AB上.
D
C
(1)作出由点P,Q,R所确定的 A 平面β截正方体所得的截面. R
B P
(2)平面β将正方体分割成
两个多面体,作出这两个多
D
Q C
面体的直观图.
四、截面是六边形
形状 三角形 四边形 五边形 六边形
特殊情形
等
等
腰
边
三
三
角
角
形
形
长
正
梯
四
方
方
形
边
形
形
形
(二期课改)
复习引入 一.回顾并简述空间几何的公理体系的具体内容:
**公理 1:
**公理 3:
**公理 2:
**公理 4:
新课讲解
一.已知平面截长方体所得的截面的具体作法:
例题5 如图所示,已知正方体 ABCD ABCD.
(二期课改)
一、截面是三角形
一、截面是三角形
常见的截图为三角形的图形 演 示
二、截面是四边形
二、截面是四边形
二、截面是四边形
常见的截图为四边形的图形
二、截面是四边形
演 示
三、截面是五边形
三、截ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是五边形
四、截面是六边形
特 当平面与正方体 别 各棱的交点为中 注 点时，截面为正 意 六边形
(1)作出由点 A,C, D所确定的 D
平面α与正方体表面的交线;
A
(2)试说明平面α将正方体分割
C B
为怎样的两个多面体.
*分析: *探求平面与平面的交线
D
关键在于找到两个平面的 A 两个公共点.
C B
**由公理1:这两个公共点可确定出两个平面的交线.
新课讲解
(2)平面截多面体的截面--- 当一个平面截多面体时, 多面体的表面与平面的交线所围成的平面图形就叫 做平面截多面体的截面.