【数学】湖北省武汉市新洲一中2019-2020学年高一下学期6月月考试题
2019-2020学年湖北省武汉市新洲一中高一下学期6月月考数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖北省武汉市新洲一中高一第二学期6月月考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设m∈R，向量＝（1，﹣2），＝（m，m﹣2），若⊥，则m等于（）A．B．C．﹣4D．42．已知△ABC中，a＝1，，A＝30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|＞|b|B．C．D．b2﹣a2＜04．已知直线l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay+2＝0．若l1⊥l2，则实数a的值是（）A．0B．2或﹣1C．0或﹣3D．﹣35．若直线（a＞0，b＞0）过点（1，2），则a+2b的最小值等于（）A．9B．8C．D．6．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的多少移动次数，数列{a n}满足a1＝1，且，则解下5个环所需的最少移动次数为（）A．7B．10C．16D．227．在△ABC中，若a（b2+c2﹣a2）sin A＝b（a2+c2﹣b2）sin B（a，b，c分别是角A，B，C 的对边），则此三角形的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．如图，O为△ABC的外心，，，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•等于（）A．2B．3C．4D．5二、多选题（共4小题）.9．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A．已知A、B、C是平面中三点，若不能构成该平面的基底，则A、B、C共线B．若•＝•且≠0，则＝C．若点G为△ABC的重心，则＝D．已知＝（1，﹣2），＝（2，λ），若，的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为λ＜110．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍11．以下四个命题表述正确的是（）A．直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣3（m∈R）恒过定点（5，﹣2）B．圆x2+y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+1＝0的距离都等于C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为m＞4D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为212．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，sin B＝2sin C，有以下四个命题中正确的是（）A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形B．△ABC面积的最大值为C．当A＝2C时，△ABC的周长为D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为三、填空题（每小题5分，共20分）13．若向量、、两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝3，则||＝．14．已知圆C过点（2，0），圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x﹣2被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．15．在△ABC中，D是BC上一点，满足，其中{a n}为等差数列，前n项和为S n，则S2020＝．16．已知直角三角形ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且不等式恒成立，则实数m的最大值是．四、解答题（共70分，其中17题10分，其余各小题12分）17．现给出两个条件：①，②．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，_____．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知||＝1，||＝2，且与夹角是120°．（1）求|+|的值；（2）当k为何值时，（+3）⊥（k﹣）？19．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n+n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n．20．已知圆C：x2+y2+mx+ny+4＝0关于直线x+y+1＝0对称，圆心C在第四象限，半径为1．（1）求圆C的标准方程；（2）是否存在直线与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．21．如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝3，AD＝4．点P为材料ABCD内部一点，PE ⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝2．现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝135°，点M、N分别在边AB，AD上．（1）设∠FPN＝θ，试将四边形材料AMPN的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．22．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a n2＝4S n﹣2a n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若正项等比数列{b n}满足b1＝a1，b3＝a4，且c n＝a n+1b n，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*，均有λT n≥4n2﹣12n恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设m∈R，向量＝（1，﹣2），＝（m，m﹣2），若⊥，则m等于（）A．B．C．﹣4D．4【分析】根据⊥，然后利用向量数量积为0得到关于m的方程，直接求解即可．解：＝（1，﹣2），＝（m，m﹣2），∵⊥，∴，m＝4．故选：D．2．已知△ABC中，a＝1，，A＝30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【分析】根据题意和正弦定理求出sin B的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B．解：由题意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，由得，sin B＝＝＝，则B＝60°或B＝120°，故选：D．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|＞|b|B．C．D．b2﹣a2＜0【分析】由a＜b＜0，可得|a|＞|b|，，a2﹣b2＞0，，即可判断出正误．解：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，，即，a2﹣b2＞3，因此A，C，D正确．对于B：∵0＞a﹣b＞a，∴，即，因此B不正确．故选：B．4．已知直线l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay+2＝0．若l1⊥l2，则实数a的值是（）A．0B．2或﹣1C．0或﹣3D．﹣3【分析】由垂直可得a+a（a+2）＝0，解方程可得．解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1＝2，l2：x+ay+2＝0，且l1⊥l6，∴a+a（a+2）＝0，解得a＝0或a＝﹣3故选：C．5．若直线（a＞0，b＞0）过点（1，2），则a+2b的最小值等于（）A．9B．8C．D．【分析】利用1的巧妙代换，利用基本不等式求出即可．解：直线（a＞0，b＞0）过点（1，2），则，故选：A．6．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的多少移动次数，数列{a n}满足a1＝1，且，则解下5个环所需的最少移动次数为（）A．7B．10C．16D．22【分析】直接利用数列的通项公式的应用求出结果．解：数列{a n}满足a1＝1，且，所以：a2＝1，a3＝4，a4＝7，a5＝16．故选：C．7．在△ABC中，若a（b2+c2﹣a2）sin A＝b（a2+c2﹣b2）sin B（a，b，c分别是角A，B，C 的对边），则此三角形的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】直接利用三角形的解法的应用和余弦定理的应用求出结果．解：在△ABC中，若a（b2+c2﹣a2）sin A＝b（a2+c5﹣b2）sin B，利用余弦定理的应用b2+c2﹣a2＝2bc cos A，a2+c2﹣b2＝2ac cos B，整理得sin2A＝sin4B．所以△ABC为等腰三角形和直角三角形．故选：D．8．如图，O为△ABC的外心，，，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•等于（）A．2B．3C．4D．5【分析】取AB、AC的中点D、E，连接OD、OE，利用中点的性质和数量积的定义计算即可．解：取AB、AC的中点D、E，连接OD、OE，如图所示；所以OD⊥AB，OE⊥AC；所以•＝（+）•＝•+•＝•+•，而||×cos＜，＞＝||，所以•＝＝；所以•+•＝+＝2，故选：A．二、多选题（每小题5分，共20分，每题有两个或两个以上正确选项，漏选得3分，错选或不选不得分）9．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A．已知A、B、C是平面中三点，若不能构成该平面的基底，则A、B、C共线B．若•＝•且≠0，则＝C．若点G为△ABC的重心，则＝D．已知＝（1，﹣2），＝（2，λ），若，的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为λ＜1【分析】对于A：直接利用平面基底和共线向量的应用判定结论．对于B：直接利用向量垂直的特例得到结论．对于C：直接利用向量线性运算的应用和相反向量的应用求出结果．对于D：直接利用向量的夹角为锐角的充要条件的应用求出结果．解：对于A：已知A、B、C是平面中三点，若不能构成该平面的基底，则可能由一个为可能为共线向量，则A、B、C共线，故正确．对于B：若•＝•且≠0，当垂直，垂直时，满足•＝•，但是≠，故错误．，对于D：已知＝（1，﹣2），＝（2，λ），所以2×1﹣5×λ＞0，解得λ＜1，且λ+4≠0，即λ≠﹣4．故λ的取值范围为λ＜6且λ≠﹣4，故错误．故选：AC．10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【分析】设此人第一天行走x里，由题意可得：x+x+x+x+x+x＝378，化为：x＝378，解得x．进而判断出结论．解：设此人第一天行走x里，由题意可得：x+x+x+x+x+x＝378，化为：x＝378，解得x＝192．A．此人第六天只走了×192＝6里路，因此不正确；C．此人第二天走的路程比全程的还多＝×192﹣×378＝2.5里，正确；故选：BCD．11．以下四个命题表述正确的是（）A．直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣3（m∈R）恒过定点（5，﹣2）B．圆x2+y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+1＝0的距离都等于C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为m＞4D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为2【分析】对于A，整理直线方程，可化为m（x+2y﹣1）+3﹣x﹣y＝0，当x+2y﹣1＝0且3﹣x﹣y＝0时，无论m取何值，方程恒成立，解方程组即可解得定点，即可判断正误；对于B，求出圆心（0，0）到直线1：x﹣y+1＝0的距离，结合圆的半径，得出到直线x ﹣y+1＝0距离为的两条直线与圆的位置关系，即可得出结论；对于C，根据两圆有四条公切线，所以两圆相离，即圆心距大于半径之和，解出m的范围即可判断；对于D，当P为圆心到直线垂线与直线交点时，切线PA最短，根据勾股定理求出即可判断正误．解：对于A，直线方程可化为m（x+2y﹣1）+3﹣x﹣y＝0，令x+2y﹣6＝0，且3﹣x﹣y ＝0，解得x＝5，y＝﹣2，所以直线恒过定点（4，﹣2），∴A正确；对于B，因为圆心（0，0）到直线1：x﹣y+1＝0的距离等于，所以直线与圆相交，而圆的半径为，因此圆上有三个点到直线1：x﹣y+1＝5的距离等于，∴B正确；所以，圆心距为5，即1+＞5，解得m＜7，∴C错误；圆心C到直线的距离d＝＝，圆的半径r＝，故选：ABD．12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，sin B＝2sin C，有以下四个命题中正确的是（）A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形B．△ABC面积的最大值为C．当A＝2C时，△ABC的周长为D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为【分析】考虑勾股定理的逆定理，即可判断，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；运用正弦定理可得b＝2c，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积．解：A：∵a＝2，sin B＝2sin C即b＝2c，设b＝2t，c＝t，由4+t2＝4t2，可得t＝，满足条件的△ABC可能是直角三角形，故A错误；∵sin B＝2sin C，可得b＝2c，化简得m2+n2+m+1＝0，化为（m+）2+n2＝（）2，C：∵a＝2，sin B＝8sin C，A＝2C，可得B＝π﹣3C，由＝，可得：＝＝，sin C＝＝，可得sin A＝2sin C cos C＝2××＝，D：S△ABC＝bc sin A＝×××＝S△ABO＝cR＝××＝．故D对．故选：BCD．三、填空题（每小题5分，共20分）13．若向量、、两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝3，则||＝2或5．【分析】由题意可得每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由，，，再将所求平方展开求值，得到所求．解：、、两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由||＝1，||＝1，||＝4，①若平面向量、、两两所成的角相等，且都等于120°，∴＝1×1×cos120°＝﹣，＝1×5×cos120°＝﹣，＝1×3×cos120°＝﹣．||2＝1+1+2﹣1﹣3﹣3＝4，所以||＝2．②平面向量、、两两所成的角相，且都等于0°，则＝1×5＝1，＝1×3＝3，＝1×7＝3，．||2＝1+1+9+2+6+7＝25，．||＝5；故答案为：2或5．14．已知圆C过点（2，0），圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x﹣2被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+y2＝4．【分析】根据题意，设圆心为C（a，b），算出点C到直线y＝x﹣2的距离，根据垂径定理建立方程，再由圆C过点（2，0），得（2﹣a）2+（0﹣b）2＝r2，结合圆心在x轴的正半轴上，得b＝0，a＞0，求解a与r值，即可得到所求圆的方程．解：设所求的圆的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，则圆心（a，b）到直线l：y＝x﹣2的距离为，由于圆C过点（2，0），又∵圆心在x轴的正半轴上，联立①②③，a＞0，解得a＝4，b＝0，r2＝4，故答案为：（x﹣4）2+y5＝4．15．在△ABC中，D是BC上一点，满足，其中{a n}为等差数列，前n项和为S n，则S2020＝1010．【分析】本题先结合图象进行向量的运算可推导出a1010+a1011＝1，然后根据等差数列的求和公式和等差中项的性质应用进行计算可得结果．解：由题意，可设＝λ，＝+＝+λ（﹣）∵，又∵数列{a n}为等差数列，＝＝1010．故答案为：1010．16．已知直角三角形ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且不等式恒成立，则实数m的最大值是6+4．【分析】由题意可得m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得其最小值，注意检验等号成立的条件，即可得到所求最大值．解：不等式恒成立，即为m≤[（a+b+c）（++）]min，≥（•+•+）2＝（1+1+）2＝6+4，则[（a+b+c）（++）]min＝6+4，即m的最大值为7+4，故答案为：6+4．四、解答题（共70分，其中17题10分，其余各小题12分）17．现给出两个条件：①，②．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，_____．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】若选择条件①：（Ⅰ）由余弦定理可得cos B的值，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择条件②：（Ⅰ）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求得sin A＝2sin A cos B，结合sin A＞0，可求cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：选择条件：①，（Ⅰ）∵由余弦定理可得2c﹣a＝2b cos A＝7b•，∵B∈（2，π），（Ⅱ）∵b＝2，B＝，∴4＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，可得：ac≤8+4，当且仅当a＝c时等号成立，选择条件：②，∴由正弦定理可得：sin A﹣sin A cos B+sin B cos A＝sin C，∴整理可得：sin A＝2sin A cos B，∴cos B＝，∴B＝．∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：4＝a2+c2﹣2ac•，∴S△ABC＝ac sin B≤4×＝，即△ABC面积的最大值为．18．已知||＝1，||＝2，且与夹角是120°．（1）求|+|的值；（2）当k为何值时，（+3）⊥（k﹣）？【分析】（1）由题意根据求向量的模的方法，两个向量数量积的定义，求得|+|的值．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求出k的值．解：（1）∵已知||＝1，||＝2，且与夹角是120°，∴•＝1×2×cos120°＝﹣8，∴|+|＝＝＝＝．求得k＝﹣．19．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n+n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】本题第（Ⅰ）题先将递推公式转化之后逐项代入，然后运用累加法即可计算出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和S n．解：（Ⅰ）由题意，可知a n+1﹣a n＝n+1，n∈N*，a2﹣a1＝2，••各项相加，得＝1+（1+4+3+…+n）＝n2+n+1，（Ⅱ）由（Ⅰ），知∴S n＝b1+b2+…+b n＝6•（1﹣+﹣+…+﹣）＝．20．已知圆C：x2+y2+mx+ny+4＝0关于直线x+y+1＝0对称，圆心C在第四象限，半径为1．（1）求圆C的标准方程；（2）是否存在直线与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）求出圆心坐标，根据圆心在直线上以及圆的半径建立方程关系即可求圆C 的方程；（2）按直线经过原点、不经过原点两种情况加以讨论，分别设出直线方程，根据点到直线的距离公式建立关于参数k、a的等式，解之即可得到满足条件的直线方程．解：（1）圆C：x2+y2+mx+ny+4＝0的坐标C（﹣，﹣），∵圆C关于直线x+y+1＝0对称，即﹣﹣+5＝0，即m+n＝2，①即m2+n2＝20，②①②联立，解得或，所以圆心为（﹣2，1）或（1，﹣4），则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+8）2＝1．可得＝1，解得k＝﹣，得直线方程为y＝﹣x，可得＝1，解得a＝﹣1+或﹣1﹣，综上所述，存在直线与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，直线方程为y＝﹣x或x+y＝﹣1+＝0或x+y﹣1﹣＝0．21．如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝3，AD＝4．点P为材料ABCD内部一点，PE ⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝2．现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝135°，点M、N分别在边AB，AD上．（1）设∠FPN＝θ，试将四边形材料AMPN的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．【分析】（1）分别计算出S△APN，S△APM，则S＝S△APN+S△APM，即可求出，（2）化简S，利用函数的单调性，即可求得最值．解：（1）在直角△NFP中，因为PF＝2，∠FPN＝θ，所以NF＝2tanθ，在直角△MEP中，∠EPM＝﹣θ，所以S△APM＝MA•PE＝（4+tan（﹣θ））×1．（2）因为S＝2tanθ+tan（﹣θ）+2＝2tanθ++2．所以S＝2（t﹣1）+＝2t+，此时，N与F重合，即AN＝1时，S min＝．答：当AN＝1时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为．22．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a n2＝4S n﹣2a n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若正项等比数列{b n}满足b1＝a1，b3＝a4，且c n＝a n+1b n，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*，均有λT n≥4n2﹣12n恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】本题第（Ⅰ）题先代入n＝1计算出a1的值，当n≥2时利用公式a n＝S n﹣S n﹣1，进一步转化计算即可发现数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，从而可计算出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先设正项等比数列{b n}的公比为q（q＞0），然后根据第（Ⅰ）题的结果计算出正项等比数列{b n}公比q的值，即可计算出数列{b n}的通项公式，进一步可计算出数列{c n}的通项公式，然后运用错位相减法计算出数列{c n}的前n项和为T n的表达式，然后代入不等式进行化简整理，并分离参量变量可得λ≥，并构造数列{h n}：令h n＝，通过对数列{h n}进行单调性分析并找到最大项，即可得到实数λ的取值范围．解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a12＝4S6﹣2a1＝4a1，解得a1＝5（舍去），或a1＝2，a n﹣16＝4S n﹣1﹣3a n﹣1，a n2﹣a n﹣16＝4S n﹣4S n﹣1﹣2a n+2a n﹣3，（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝7，即a n﹣a n﹣1＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n，n∈N*．b1＝a1＝2，b3＝a8＝2×4＝8，解得q＝﹣4（舍去），或q＝2，∴c n＝a n+1b n＝2（n+1）•4n＝（n+1）•2n+1，＝2•72+3•23+4•84+…+（n+1）•2n+1，两式相减，可得＝8+﹣（n+3）•2n+2∴T n＝n•2n+2，化简整理，得λ•2n≥n﹣5，构造数列{h n}：令h n＝，令＞5，解得n＜4，令＜0，解得n＞4，当n＝4时，h n+1＝h n，即有h1＜h2＜h3＜h4＝h5＞h6＞…∵对任意n∈N*，均有λT n≥4n2﹣12n恒成立，∴λ≥，∴实数λ的取值范围为[，+∞）．。
湖北省武汉市新洲一中2019_2020学年高一数学6月月考试题
湖北省武汉市新洲一中2019-2020学年高一数学6月月考试题考试时间：6月6日 07：50――09：50一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设m R ∈，向量()1,2a =-，(),2b m m =-，若b a //，则m 等于（ ）A. 23-B.23C. -4D. 42. 在ABC △中，已知1=a ，3=b ，︒=30A ，则角B 等于（ ）A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒3. 如果实数a ，b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ）A. a b >B.11b a < C. 11a b a>-D. 220b a -< 4. 已知直线02:,01)2(:21=++=+++ay x l y a ax l ，若21l l ⊥，则实数a 的值为 （ ）A. -3B. -3或0C. 2或-1D. 0或-1 5. 若直线)0,0(1>>=+b a bya x 过点)2,1(，则b a 2+的最小值等于 （ ） A ．9B ．28C ．225+D ．56. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数. 在某种玩法中，用n a 表示解下),9(*N n n n ∈≤个圆环所需的最少移动次数，数列{}n a 满足11=a ，且⎩⎨⎧+-=--为奇数为偶数n a n a a n n n ,22,1211，则解下5个环所需的最少移动次数为 （ ）A. 7B. 10C. 16D. 317．在ABC ∆中，若222222()sin ()sin a b c a A b a c b B +-=+-（a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边），则此三角形的形状为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8. 如图，O 为△ABC 的外心，5=AB ，3=AC ，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则→→⋅AO AM 等于( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5二、多选题（每小题5分，共20分，每题有两个或两个以上正确选项，漏选得3分，错选或不选不得分）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是 （ ）A. 已知A 、B 、C 是平面中三点，若AC AB ,不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线B. 若a·b=b·c 且c≠0，则a=cC. 若点G 为ΔABC 的重心，则=++0D.已知a =(1，-2)，b =(2，λ)，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1<λ 10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 11. 以下四个命题表述正确的是 （ ）A. 直线)(3)12()1(R m m y m x m ∈-=-+-恒过定点)2,5(-B. 圆222=+y x 上有且仅有3个点到直线01:=+-y x l 的距离都等于22 C. 曲线02:221=++x y x C 与曲线084:222=+--+m y x y x C 恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4>mD. 已知圆2:22=+y x C ，P 为直线032=++y x 上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则PA 的最小值为212. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2=a ，C B sin 2sin =，有以下四个命题中正确的是（ ）A. 满足条件的ABC ∆不可能是直角三角形B. ABC ∆面积的最大值为34 C. 当A=2C 时，ABC ∆的周长为322+D. 当A=2C 时，若O 为ABC ∆的内心，则AOB ∆的面积为313- 三、填空题（每小题5分，共20分）13. 若向量，，1=1=3=，则=++|| ． 14. 若圆C 过点（2,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线02=-+y x 被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为____________________.15. 在ABC ∆，D 是BC 上一点，满足AC a AB a AD 10111010+=，其中{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，则=2020S _________.16．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2π=C ，且不等式c b a 211++cb a m++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________． 四、解答题（共70分，其中17题10分，其余各小题12分）17. 现给出两个条件：①22cos c b A -=，② 222sin2cos 22B Aa b b c +=+．从中选出 一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2，求△ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 已知|a |=1，|b |=2，且a 与b 夹角是120︒． （1）求|a +b |的值；（2）当k 为何值时，(a +3b )⊥(k a -b )？19. 已知数列{}n a 满足21=a ，11++=+n a a n n . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11-=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20. 已知圆C ：0422=++++ny mx y x 关于直线01=++y x 对称，圆心C 在第四象限，半径为1.（1）求圆C 的标准方程；（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.21. 如图，长方形材料ABCD 中，已知AB=3，AD=4.点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥ 于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，PF=2. 现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN=135°，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； （2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.22. 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：n n n a S a 242-=，n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n *∈N ，均有n n T n 1242-≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213、5或2 14、4)4(22=+-y x 15、1010 16、246+ 17、【解析】若选择条件①：（1）因为A b a c cos 232=-，所以由余弦定理可得bc a c b b a c 2232222-+⋅=-，整理可得ac b a c 3222=-+，所以232cos 222=-+=ac b c a B ∵),0(π∈B ，6π=∴B …………5分（2）∵b=2，,6π=B ∴由余弦定理得ac a c 3422=-+又ac c a 222≥+，故423-≥ac ac （当且仅当a=c 时取等号） ，∴)32(4+≤ac 所以3241sin 21+≤==∆ac B ac S ABC 故当且仅当a=c 时ABC ∆面积的最大值为32+ …………10分 若选择条件②： （1）由条件可知，c b Ab B a +=+⋅+-⋅2cos 122cos 12， ∴c A b B a a =+-cos cos 由正弦定理得 )sin(cos sin cos sin sin B A A B B A A +=+- ∴ B A A cos sin 2sin = 又0sin ≠A ，所以21cos =B 又),0(π∈B 所以3π=B …………5分（2）∵b=2，,3π=B ∴由余弦定理得ac a c =-+422又ac c a 222≥+，故42-≥ac ac （当且仅当a=c 时取等号） ∴4≤ac 所以343sin 21≤==∆ac B ac S ABC 故当且仅当a=c 时ABC ∆面积的最大值为3 …………10分18、【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得12121120cos ||||-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=︒=⋅，故3)1(221||22=-⨯++==+. …………6分（2）因为(a +3b )⊥(k a -b )，所以0)13(3)()3(22=⋅-+-=-⋅+k k k ，整理得0)1()13(12=-⨯-+-k k ，解得211-=k ． 即211-=k 当值时，(2)()a b ka b +⊥-． …………12分 19、解：（1）因为11++=+n a a n n ，所以)2(1≥=--n n a a n n ，累加得)2(321≥+++=-n n a a n ，所以)2(222≥++=n n n a n ，又21=a 符合上式，所以222++=n n a n ……6分（2）由（1）知⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=1112)1(2n n n n b n所以121112111312121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=n n n n n S n ……12分20、（1）将圆C 化为标准方程，得416)2()2(2222-+=+++n m n y m x∴ 圆心C （2,2nm --），半径21622-+=n m r由已知得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+--24421216012222n m n m n m nm 或 又C 在第四象限， ∴ )2,1(-C∴ 圆C 的标准方程为1)2()1(22=++-y x ……6分 （2）当直线过原点时，若l 斜率不存在显然满足若l 斜率存在，则设kx y l =: ，则4311|2|2-=⇒=++k k k此时直线方程为xy 43-=或0=x ； ……9分当直线不过原点时，设0:=-+t y x l ，则12|21|=--t 解得 21±-=t 此时直线方程为：021021=-++=+++y x y x 或 综上，所求直线的方程为：x y 43-=或0=x 或21±--=x y ……12分 21、【解析】 解：（1）在直角NFP ∆中，因为PF=2，FPN θ∠=， 所以θtan 2=NF ， 所以θθtan 212)tan 21(2121+=⨯+=⨯=∆PF NA S NAP ， 在直角MEP ∆中，因为1PE =，θπ-=∠4EPM ， 所以⎪⎭⎫⎝⎛-=θπ4tan ME ， 所⎪⎭⎫⎝⎛-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⨯=∆θπθπ4tan 2111)4tan 2(2121PE AM S NAP ， 所以NAP AMP S S S ∆∆=+ 24tan 21tan 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θπθ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πθ. …… 5分 （2）因为2)tan 1(2tan 1tan 224tan 21tan 2++-+=+⎪⎭⎫⎝⎛-+=θθθθπθS ， 令θtan 1+=t ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πθ，得[]2,1∈t ， 所以2112222-+=-+=t t t t t S ， 易得t t y 12+=在[1,2]单调递增，所以当t=1，即0=θ时S 取得最小值25 此时，N 与F 重合，即AN=1时，25min =S ， 答：当1=AN 时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为25. ……12分 22、【详解】（Ⅰ）因为n n n a S a 242-=，所以112124----=n n n a S a （n ≥2）， 两式相减得：)(222411212---+=+-=-n n n n n n n a a a a a a a （n ≥2），又因为数列{a n }的各项均为正数，所以)2(21≥=--n a a n n ，故数列{a n }是公差为2的等差数列 又因为11121224a a S a =-=，可得a 1＝2， 所以22(1)2na n n =+-=； ……4分（Ⅱ）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以正项等比数列{}n b的公比为：2q ==， 因此b n ＝2n ；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅ ……8分故n n T n 1242-≥λ恒成立，等价于)3(422-≥⨯+n n n n λ恒成立，所以223-≥n λ恒成立. 设n n n k 23-=，则111242322+++-=---=-n n n nn nn n k k ， 所以当n<4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ，当n=4时，45k k = 所以 >>>=<<<7654321k k k k k k k 所以当k n 的最大值为16154==k k ，故161≥λ， 即实数λ的取值范围是：⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,161． ……12分。
2019-2020学年高一数学六月月考试题
2019-2020学年高一数学六月月考试题本试卷分第I卷（选择题)和第II卷（非选择题)两部分，共页．全卷满分分，考试时间分钟．第I卷（选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2. 函数的零点所在的大致区间是（）A． B． C． D．3．若直线，是异面直线，直线，则与的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交4．下列函数中，周期为，且在上为减函数的是( ) A． B． C． D.5．已知是两个不共线的平面向量，向量，（），若，则有（）A． B．C． D．6．在等比数列中，，且，，则( )A．B．C．D．7．已知,给出下列四个不等式:①; ②; ③; ④.其中一定成立的不等式为( )A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④8．一条直线经过点,且两点到直线的距离相等,则直线的方程是（）A.或B.C.或D.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( )A．B． C． D．10．已知点,,，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（）A． B． C． D．11．若，，，，则（）A． B． C．D．12．如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论中错误的是（）A．对于任意的点，都有；B．存在点，使得为等腰直角三角形；C．对于任意的点，四边形不可能为平行四边形；D．存在点，使得直线平面.第II卷（非选择题共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．若非零向量与满足，则．14.若直线与直线相互垂直，则．15. 已知等差数列,若点在经过点的定直线上，则数列的前9项和．16.已知的内角的对边分别为，且满足.若，则当取得最小值时,的外接圆的半径为．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，若，，判断的形状．18．（本小题满分12分）已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点.求：（Ⅰ）过点且与平行的直线方程；（Ⅱ）过点的直线，且点到它的距离为2的直线方程．19．（本小题满分12分）已知等比数列的各项均为正数，，且的等差中项为.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，数列的前项和为，证明：．20.（本小题满分12分）已知关于的不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．21.（本小题满分12分）如图，四边形是平行四边形，平面, //, ，，．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．22．（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：数列是等比数列；（Ⅲ）设，求数列的前项和为，并求满足的最小自然数的值．2019-2020学年高一数学六月月考试题本试卷分第I卷（选择题)和第II卷（非选择题)两部分，共页．全卷满分分，考试时间分钟．第I卷（选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2. 函数的零点所在的大致区间是（）A． B． C． D．3．若直线，是异面直线，直线，则与的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交4．下列函数中，周期为，且在上为减函数的是( )A． B． C． D.5．已知是两个不共线的平面向量，向量，（），若，则有（）A． B．C． D．6．在等比数列中，，且，，则( ) A．B．C．D．7．已知,给出下列四个不等式:①; ②; ③; ④.其中一定成立的不等式为( )A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④8．一条直线经过点,且两点到直线的距离相等,则直线的方程是（）A.或B.C.或D.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( )A．B． C． D．10．已知点,,，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（）A． B． C． D．11．若，，，，则（）A． B． C．D．12．如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论中错误的是（）A．对于任意的点，都有；B．存在点，使得为等腰直角三角形；C．对于任意的点，四边形不可能为平行四边形；D．存在点，使得直线平面.第II卷（非选择题共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．若非零向量与满足，则．14.若直线与直线相互垂直，则．15. 已知等差数列,若点在经过点的定直线上，则数列的前9项和．16.已知的内角的对边分别为，且满足.若，则当取得最小值时,的外接圆的半径为．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，若，，判断的形状．18．（本小题满分12分）已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点.求：（Ⅰ）过点且与平行的直线方程；（Ⅱ）过点的直线，且点到它的距离为2的直线方程．19．（本小题满分12分）已知等比数列的各项均为正数，，且的等差中项为.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，数列的前项和为，证明：．20.（本小题满分12分）已知关于的不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．21.（本小题满分12分）如图，四边形是平行四边形，平面, //, ，，．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．22．（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：数列是等比数列；（Ⅲ）设，求数列的前项和为，并求满足的最小自然数的值．。
2019-2020年高一6月月考数学含答案
2019-2020年高一6月月考数学含答案本试卷共2页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在ABC ∆中，若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)-- 2.1tan 751tan 75+︒-︒等于A. 33-3. 已知两个非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则下面结论正确的是 A. //a b B. a b ⊥ C ．a b = D. a b a b +=-4. 已知角α的终边上一点(8,15)P m m -（0m <），则cos α的值是 A.817 B. 817- C. 817或817- D. 根据m 确定 5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为A ．18B ．36C ．54D ．726. 圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线y x =-的最小距离为A ．1B ．．17．已知向量,a b 满足6)()2(-=-⋅+b a b a，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．2π C ．3πD ．6π8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15 9．函数3sin(2)3y x π=+，则下列关于它的图象的说法不正确的是A ．关于点(,0)6π-对称 B ．关于点(,0)3π对 C ．关于直线712x π=对称 D ．关于直线512x π=对称 10．下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是A ．cos()2y x π=+B ．cos(2)2y x π=+C ．sin()2y x π=+ D. sin(2)2y x π=+11．如果函数()sin()3f x x a π=++在区间5[,]36ππ-a 的值为ACD 12．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为7cm ，把一枚半径为2cm 的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 A.27 B. 47 C ．37 D. 57第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用钢笔或圆珠笔答在答题卡指定的位置上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填在答题纸的横线上．13．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵. 为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的 数量为 .14．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则_____b =15．如右下图是一个算法的程序框图，最后输出的S = . 16已知1010)sin(-=+απ，20πα<<，552)2sin(-=-βπ，23πβπ<<，则βα+ 的值是 三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=-．（Ⅰ）化简函数()f x 的解析式，并求定义域；（Ⅱ）若4()3f α=，求sin 2α的值． 18．（本小题满分12分）设向量→1e ,→2e 的夹角为060且︱1e ︱=︱2e ︱=1，如果→→→+=21e e AB ，→→→+=2182e e BC ，)(321→→→-=e e CD .（Ⅰ）证明：A 、B 、D 三点共线；（Ⅱ）试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量→→+212e e 与向量→→+21e k e 垂直.19.（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见右表：某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数， 甲 乙并由此判断哪个小区的空气质量较好一些；（Ⅱ）若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率．20、（本小题满分12分）已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，]2,2[ππ-∈x ， (1)求证：()a b -⊥()a b +； (2)13a b +=，求cos x 的值。
2019-2020学年高一数学下学期月考考试试题(含解析)
2019-2020学年高一数学下学期月考考试试题（含解析）一、选择题（每题5分，共75分.1-13为单选题，14-15为多选题）1.已知向量=（3，1），=（k，7），若，则k=（）A. -21B. 21C. 23D. 20【答案】B【解析】【分析】直接根据向量平行公式得到答案.【详解】向量=（3，1），=（k，7），若，则，即.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，属于简单题.2.在△ABC中，若，c=3，∠B=30°，则=（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：，解得.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.3.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于第（）象限A 一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】A【解析】【分析】计算共轭复数为，得到答案.【详解】复数共轭复数为，对应的点位于第一象限.故选：.【点睛】本题考查了共轭复数，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的灵活运用.4.已知，，则（）A. B. 7 C. D. -7【答案】A【解析】先求出tan的值，再利用和角的正切求的值.【详解】因为，，所以，所以=.故选A【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正切的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算，，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】，，故，，则，.故选：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.6.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等于（）A B. 5 C. D. 25【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出，然后利用余弦定理求出即可．【详解】由题意可知，，解得，由余弦定理知，所以，所以.故选B.【点睛】解三角形常与三角形的面积结合在一起考查，考查综合运用知识解决问题的能力，解题时注意各个公式间的联系，同时还要注意公式中的常用变形.7.已知非零向量满足，且，则的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围，即可得到．【详解】∵，∴，即，又∵，∴，解得，结合，所以，故选C.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题.8.将函数的图像沿轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图像，则的一个可能取值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意平移后得到，故，，得到答案.【详解】函数的图像沿轴向右平移个单位后，得到为奇函数，故，.故选：.【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数奇偶性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.9.在△ABC中，则m＋n等于( )A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由题意可得：结合：，则：，据此可得方程组：，解得：，据此可得： .本题选择B选项.10.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为（）A. 1：1B. 2：1C. 1：2D. 3：1【答案】B【解析】【分析】分别计算圆柱和圆锥的表面积，相比得到答案.【详解】圆柱的表面积；圆锥的表面积，故.故选：.【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则△ABC是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得到，根据余弦定理得到，得到答案.【详解】根据正弦定理：，即，即，；根据余弦定理：，即，，故.故△ABC是等边三角形.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案.【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中为直角梯形，，，.故.故选：.【点睛】本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.13.要得到函数的图像，只需将的图像所有的点（）A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位【答案】B【解析】【分析】变换，再根据三角函数平移伸缩变换法则得到答案.【详解】，故需将的图像所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），变为；再向右平行移动个单位长度得到.故选：.【点睛】本题考查了三角函数平移伸缩变换，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.14.（多选）下列各式中值为的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依次计算每个选项得到答案.【详解】A. ，正确；B. ，不正确；C. ，正确；D ，故，不正确.故选：【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.15.设函数的图象为C，则下列结论中正确的是（）A. 图象C关于直线对称B. 图象C关于点对称C. 函数在区间内是增函数D. 把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C【答案】AC【解析】【分析】运用三角函数图象和性质来判断四个选项中函数图象的对称性、单调性及图象平移是否正确.【详解】对于,函数的对称轴方程为,解得,当时可得,所以图象关于直线对称正确.对于,函数的对称中心为,解得,当时可得,所以图象关于点对称,而不是关于点对称,故选项不正确.对于,函数的单调增区间为,解得当时,所以函数在区间内是增函数正确.对于,把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到函数的图象,不是图象,故选项不正确.综上正确故选【点睛】本题考查了三角函数图象与性质,求解三角函数图象的轴对称性和中心对称问题以及三角函数的单调性,需要熟练掌握基础知识并运算正确,依据图象的平移能够得到平移后的图象解析式.本题较为综合.二、填空题（每题5分，共15分）16.的虚部为__________【答案】【解析】【分析】化简得到，得到复数虚部.【详解】，故虚部为.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.17.已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________．【答案】.【解析】.18.已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16，侧棱长为，则这个棱锥的斜高为_____，高为_____【答案】 (1). (2).【解析】【分析】如图所示：为中点，在等边三角形中，，在平面的投影为正方形中心，计算得到答案.【详解】如图所示：为中点，在等边三角形中，，在平面的投影为正方形中心，正四棱锥V-ABCD的底面面积为16，则底面边长为.，.故答案为：；.【点睛】本题考查了四棱锥的高和斜高，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题（每题15分，共60分）19.已知复数z=3+bi（b R），且（1+3i）·z纯虚数（1）求复数z（2）若w=z·(2+i)，求复数w的模|w|【答案】（1）z=3+i（2）【解析】【分析】（1）计算得到，得到答案.（2），再计算模长得到答案.【详解】（1），则为纯虚数，故，解得，故.（2），故.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，复数的模，意在考查学生的计算能力.20.（1）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为4π，求球的表面积（2）正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高【答案】（1）（2）侧棱长；斜高【解析】【分析】（1）截面圆的半径r=2，球半径R=，得到球表面积.（2）如图所示：计算，，，，根据勾股定理计算得到答案.【详解】（1）截面圆的半径r=2，球半径R=，（2）正三棱台中，高，底面边长为，，故，，侧棱长=，又，，斜高=.【点睛】本题考查了球的表面积，三棱台的相关计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21.已知，=1，=2且向量与不共线（1）若与的夹角为45°，求（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）直接展开计算得到答案.（2）根据题意且不反向平行，计算得到答案.【详解】（1）（2）根据题意：且不反向平行.，解得，反向平行时，设，，得，综上，.【点睛】本题考查了向量数量积，向量夹角，意在考查学生的计算能力和转化能力.22.已知函数的最小正周期为（1）求的值（2）求函数的对称轴和单调增区间（3）求函数在区间上的值域【答案】（1）（2）对称轴；增区间（3）【解析】【分析】（1）化简得到，根据周期得到答案.（2）令，得到对称轴，令，得到单调区间.（3），，，得到答案.【详解】（1），，得.（2），令，得对称轴.令，得增区间，（3），，，值域.【点睛】本题考查了三角函数周期，单调性，对称轴，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.2019-2020学年高一数学下学期月考考试试题（含解析）一、选择题（每题5分，共75分.1-13为单选题，14-15为多选题）1.已知向量=（3，1），=（k，7），若，则k=（）A. -21B. 21C. 23D. 20【答案】B【解析】【分析】直接根据向量平行公式得到答案.【详解】向量=（3，1），=（k，7），若，则，即.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，属于简单题.2.在△ABC中，若，c=3，∠B=30°，则=（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：，解得.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.3.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于第（）象限A 一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】A【解析】【分析】计算共轭复数为，得到答案.【详解】复数共轭复数为，对应的点位于第一象限.故选：.【点睛】本题考查了共轭复数，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的灵活运用.4.已知，，则（）A. B. 7 C. D. -7【答案】A【解析】【分析】先求出tan的值，再利用和角的正切求的值.【详解】因为，，所以，所以=.故选A【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正切的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算，，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】，，故，，则，.故选：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.6.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等于（）A B. 5 C. D. 25【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出，然后利用余弦定理求出即可．【详解】由题意可知，，解得，由余弦定理知，所以，所以.故选B.【点睛】解三角形常与三角形的面积结合在一起考查，考查综合运用知识解决问题的能力，解题时注意各个公式间的联系，同时还要注意公式中的常用变形.7.已知非零向量满足，且，则的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围，即可得到．【详解】∵，∴，即，又∵，∴，解得，结合，所以，故选C.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题.8.将函数的图像沿轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图像，则的一个可能取值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意平移后得到，故，，得到答案.【详解】函数的图像沿轴向右平移个单位后，得到为奇函数，故，.故选：.应用.9.在△ABC中，则m＋n等于( )A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由题意可得：结合：，则：，据此可得方程组：，解得：，据此可得： .本题选择B选项.10.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为（）A. 1：1B. 2：1C. 1：2D. 3：1【答案】B【解析】【分析】分别计算圆柱和圆锥的表面积，相比得到答案.【详解】圆柱的表面积；圆锥的表面积，故.故选：.11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则△ABC是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得到，根据余弦定理得到，得到答案.【详解】根据正弦定理：，即，即，；根据余弦定理：，即，，故.故△ABC是等边三角形.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案.【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中为直角梯形，，，.故.故选：.【点睛】本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.13.要得到函数的图像，只需将的图像所有的点（）A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位【答案】B【解析】【分析】变换，再根据三角函数平移伸缩变换法则得到答案.【详解】，故需将的图像所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），变为；再向右平行移动个单位长度得到.故选：.14.（多选）下列各式中值为的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依次计算每个选项得到答案.【详解】A. ，正确；B. ，不正确；C. ，正确；D ，故，不正确.故选：【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.15.设函数的图象为C，则下列结论中正确的是（）A. 图象C关于直线对称B. 图象C关于点对称C. 函数在区间内是增函数D. 把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C【答案】AC运用三角函数图象和性质来判断四个选项中函数图象的对称性、单调性及图象平移是否正确.【详解】对于,函数的对称轴方程为,解得,当时可得,所以图象关于直线对称正确.对于,函数的对称中心为,解得,当时可得,所以图象关于点对称,而不是关于点对称,故选项不正确.对于,函数的单调增区间为,解得当时,所以函数在区间内是增函数正确.对于,把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到函数的图象,不是图象,故选项不正确.综上正确故选【点睛】本题考查了三角函数图象与性质,求解三角函数图象的轴对称性和中心对称问题以及三角函数的单调性,需要熟练掌握基础知识并运算正确,依据图象的平移能够得到平移后的图象解析式.本题较为综合.二、填空题（每题5分，共15分）16.的虚部为__________【答案】化简得到，得到复数虚部.【详解】，故虚部为.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.17.已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________．【答案】.【解析】.18.已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16，侧棱长为，则这个棱锥的斜高为_____，高为_____【答案】 (1). (2).【解析】【分析】如图所示：为中点，在等边三角形中，，在平面的投影为正方形中心，计算得到答案.【详解】如图所示：为中点，在等边三角形中，，在平面的投影为正方形中心，正四棱锥V-ABCD的底面面积为16，则底面边长为.，.故答案为：；.【点睛】本题考查了四棱锥的高和斜高，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题（每题15分，共60分）19.已知复数z=3+bi（b R），且（1+3i）·z纯虚数（1）求复数z（2）若w=z·(2+i)，求复数w的模|w|【答案】（1）z=3+i（2）【解析】【分析】（1）计算得到，得到答案.（2），再计算模长得到答案.【详解】（1），则为纯虚数，故，解得，故.（2），故.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，复数的模，意在考查学生的计算能力. 20.（1）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为4π，求球的表面积（2）正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高【答案】（1）（2）侧棱长；斜高【解析】【分析】（2）如图所示：计算，，，，根据勾股定理计算得到答案.【详解】（1）截面圆的半径r=2，球半径R=，（2）正三棱台中，高，底面边长为，，故，，侧棱长=，又，，斜高=.【点睛】本题考查了球的表面积，三棱台的相关计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21.已知，=1，=2且向量与不共线（1）若与的夹角为45°，求（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）直接展开计算得到答案.（2）根据题意且不反向平行，计算得到答案.【详解】（1）（2）根据题意：且不反向平行.反向平行时，设，，得，综上，.【点睛】本题考查了向量数量积，向量夹角，意在考查学生的计算能力和转化能力.22.已知函数的最小正周期为（1）求的值（2）求函数的对称轴和单调增区间（3）求函数在区间上的值域【答案】（1）（2）对称轴；增区间（3）【解析】【分析】（1）化简得到，根据周期得到答案.（2）令，得到对称轴，令，得到单调区间.（3），，，得到答案.【详解】（1），，得.（2），令，得对称轴.令，得增区间，【点睛】本题考查了三角函数周期，单调性，对称轴，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。
高一数学下学期6月考试试题(含解析).doc
2019学年高一数学下学期6月考试试题（含解析）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1.化简的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用终边相同的角同名函数相同，可转化为求的余弦值即可.【详解】.故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数中终边相同的角三角函数值相同及特殊角的三角函数值，属于容易题.2.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( )A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人考点：系统抽样3.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）PRINT ，A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据程序可知，分别计算了两个数的和与差，和为4且赋值给,差为1，且赋值给.【详解】根据程序可知,,故输出，选A.【点睛】本题主要考查了程序语言中的赋值语句及计算，属于中档题.4.在△ABC中，，则△ABC为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定【答案】C【解析】试题分析：利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos（A+B）＞0进而判断出cosC＜O，进而断定C为钝角．解：依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）＞0，﹣cosC＞O，cosC＜O，∴C为钝角故选C5.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从下面的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A. 08B. 07C. 02D. 01【答案】D【解析】【分析】按照要求从随机数表读数，第一个是65，第二个72，依次类推，大于20或者重复的数跳过，直至读出5个符合要求的数即可.【详解】按随机数表读数，5个数分别是08,02,14,07,01，故选D.【点睛】本题主要考查了简单随机抽样中按照随机数表抽样的方法，属于容易题.6.在矩形ABCD中，O为AC中点，若=3, =2, 则等于（）A. (3+2)B. (2－3)C. (3－2)D. (3+2)【答案】C【解析】【分析】因为O为AC中点，所以，再根据矩形中向量相等即可求出. 【详解】因为O为AC中点，所以,又矩形ABCD中， ,所以，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的加法及向量的相等，属于中档题.7.设，，且，则锐角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量平行可得：，由三角函数值可求出角.【详解】因为，所以，即，因为为锐角，所以，，故选D.【点睛】本题主要考查了向量平行的等价条件，正弦的二倍角公式，属于中档题.8.根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为A. 25B. 30C. 31D. 61【答案】C【解析】因为x=60>50，所以y=25+0.6×(60–50)=31，故选C．9. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】执行第一次循环体：此时执行第二次循环体：此时执行第三次循环体：此时，此时不满足，判断条件，输出n=4,故选B.考点：本题主要考查程序框图以及循环结构的判断.视频10.阅读如左下图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据框图，S具有周期，其取值为1,1，0,0，周期为4，共2013项，所以第2013项为1. 【详解】根据框图，当，，，，，周期为4，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了框图，涉及循环结构及周期性，属于中档题.11.已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B 与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为( )A. ω＝2，φ＝B. ω＝2，φ＝C. ω＝，φ＝D. ω＝，φ＝【答案】A【解析】【分析】在x轴上的投影为知，又E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，所以B与最高点的横坐标之差为，所以，，又过点，所以，解得.【详解】在x轴上的投影为知，又E为该函数图象的一个对称中心，B与D 关于点E对称，所以B与最高点的横坐标之差为，所以，，又过点，所以，所以解得.故选A.【点睛】本题主要考查了正线型函数的图象，对称中心等性质，属于难题.本题解题的关键在于通过在x轴上的投影得到最低点和D点横坐标的差，进而得到最高点和B点横坐标之差,确定出最高点的横坐标，进而求出函数的周期.12.设向量,,满足||=||=1,,,则||的最大值等于（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】设因为，，，所以四点共圆，所以当为直径时，最大.【详解】设因为，，，所以四点共圆,因为，，所以，由正弦定理知，即过四点的圆的直径为2，所以||的最大值等于直径2，故选D.【点睛】本题主要考查了四点共圆，向量的模，正弦定理，属于难题.解决本题要注意联系向量图形表示，及向量的减法，证明四点共圆是关键.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
2019-2020学年某校高一(下)6月月考数学试卷
2019-2020学年某校高一（下）6月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={0,1,2}，B ={x|1<2x +3<5}，则A ∩(∁R B )=( ) A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.⌀2. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =4，B =30∘，C =120∘，则c =( ) A.4√2 B.4√3 C.6√3 D.8√33. 数列−15，17，−19，111，⋯的通项公式可能是a n =( ) A.(−1)n−12n+3B.(−1)n 3n+2C.(−1)n−13n+2D.(−1)n 2n+34. 已知角α的终边经过点P (−7,24)，则sin (π+α)+cos (3π2−α)=( ) A.−4825 B.4825C.0D.14255. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 3+a 8=6，则S 7=( ) A.28 B.21 C.16 D.146. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，c =4，b =4√3，则cos B =( ) A.−1516 B.−2324C.−1112D.−457. 从长度分别为3，5，7，8，9的5条线段中任意取出3条，则以这3条线段为边，不可以构成三角形的概率为( ) A.15 B.25C.35D.458. 在△ABC 中，若sin A cos C =sin B ，则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.无法判断9. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =81，S n =121，公比q =3，则项数n =( )A.4B.5C.6D.710. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x +1)=f (−x +1)，f (1)=5，则f (2019)+f (2020)=( ) A.5 B.10 C.−5 D.−1011. 已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)，直线x =π24为f (x )的图象的一条对称轴，且f (x )在(π3,π2)上单调，则下列结论正确的是（ ） A.f (x )的最小正周期为π B.x =π12为f (x )的一个零点C.f (x )在[0,π6]上的最小值为−12D.f (x )的单调递增区间为[−5π24+kπ2,π24+kπ2](k ∈Z )12. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A +sin 2C −sin 2B =√3sin A sin C ，b =1，则2a −2√3c 的最小值为( ) A.−4 B.−2√3 C.−2 D.−√3二、填空题函数f (x )=√2x +5lg (3−x )的定义域为________．在等比数列{a n }中，a 5=12，a 13=3，则a 9=________．√32(cos 215∘−cos 275∘)+sin 15∘cos 15∘=_________.已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且|OA →|=|OB →|=|OC →|，AB =2，BC =6，∠ABC =2π3．若BO →=2mAB →+nBC →，则2m −3n =________． 三、解答题某校统计了本校高一年级学生期中考试的数学成绩，其数学成绩（满分150分）均在[50,150]内，将这些成绩分成[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值．(2)求该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数（结果保留一位小数）．已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象向左平移12个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，求g(x)的图象的对称中心的坐标．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B=23π，b cos C+c cos B=2.(1)求a；(2)若△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．在等差数列{a n}，正项等比数列{b n}中，已知a1=b1=2，a2+b3=a4+b2=12．(1)求{a n}与{b n}的通项公式；(2)求数列{a n⋅b n}的前n项和S n．已知向量a→=(cosα，√5sinβ+2sinα)，b→=(sinα，√5cosβ−2cosα)，且a→//b→.(1)求cos(α+β)的值；(2)若α，β∈(0,π2)，且tanα=13，求2α+β的值．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=7,S6=48.(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=2n+52n a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.参考答案与试题解析2019-2020学年某校高一（下）6月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，1<2x+3<5，则−1<x<1，所以B={x|−1<x<1}，则∁R B={x|x≤−1或x≥1}，所以A∩(∁R B)={1,2}.故选C.【点评】此题暂无点评2.【答案】B【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知A=180∘−120∘−30∘=30∘，根据正弦定理得asin A =csin C，解得c=4√3.故选B.【点评】此题暂无点评3.【答案】D【考点】数列的概念及简单表示法【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意得a1=−15=(−1)12×1+3，a2=17=(−1)22×2+3，a3=−19=(−1)32×3+3，a4=111=(−1)42×4+3，⋯因此{a n}的通项公式为a n=(−1)n2n+3.故选D.【点评】此题暂无点评4.【答案】A【考点】任意角的三角函数运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为角α的终边经过点P(−7,24)，所以sinα=()22=2425，则sin(π+α)+cos(3π2−α)=−sinα−sinα=−2sinα=−4825.故选A.【点评】此题暂无点评5.【答案】D【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为a1+a3+a8=3a1+9d=3a4=6，所以a4=2，所以S7=7a4=14．故选D.【点评】 此题暂无点评 6.【答案】 B【考点】 余弦定理 【解析】利用余弦定理即可得出． 【解答】解：由余弦定理可得，cos B =32+42−(4√3)22×3×4=−2324．故选B . 【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.【答案】 A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】利用列举法求解． 【解答】解：从这5条线段中任取3条，总共有10种情况： (3, 5, 7)，(3, 5, 8)，(3, 5, 9)，(3, 7, 8)，(3, 7, 9)， (3, 8, 9)，(5, 7, 8)，(5, 7, 9)，(5, 8, 9)，(7, 8, 9)， 其中所取3条线段不能构成一个三角形的情况有2种： (3, 5, 8)，(3, 5, 9)，∴ 所取3条线段不能构成一个三角形的概率P =210=15．故选A . 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意三角形中三边关系的灵活运用． 8. 【答案】 C【考点】两角和与差的正弦公式 三角形的形状判断【解析】 此题暂无解析 【解答】解：sin A cos C =sin B =sin (A +C )=sin A cos C +cos A sin C ， 则cos A sin C =0．因为0<C <π， 所以sin C ≠0， 故cos A =0，A =π2，即△ABC 的形状为直角三角形． 故选C . 【点评】 此题暂无点评 9. 【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为S n =a 1(1−q n )1−q=a 1−a n q 1−q，又a n =81，S n =121，公比q =3，所以a 1=1，则a n =a 1q n−1=3n−1=81， 解得n =5. 故选B . 【点评】 此题暂无点评 10.【答案】 C【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 函数的求值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (−x +1)=−f (x −1)=f (x +1)， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2019)+f (2020)=f (4×505−1)+f (4×505) =f (−1)+f (0)=−f (1)=−5. 故选C . 【点评】 此题暂无点评 11.【答案】 D【考点】正弦函数的单调性三角函数的周期性及其求法 正弦函数的图象 【解析】 无【解答】解：因为函数f (x )在(π3,π2)上单调， 所以T2≥π6，得0<ω<6．又直线x =π24为f (x )的图象的对称轴， 所以ωπ24+π3=π2+kπ(k ∈Z )， 得ω=4+24k (k ∈Z )，所以ω=4,f (x )的最小正周期为2πω=π2，故A 错误； f (π12)=sin 2π3≠0，故B 错误；当0≤x ≤π6时，π3≤4x +π3≤π，则f (x )的最小值为0，故C 错误； −π2+2kπ≤4x +π3≤π2+2kπ(k ∈Z )， 解得−5π24+kπ2≤x ≤π24+kπ2(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间为[−5π24+kπ2,π24+kπ2](k ∈Z )，故D 正确．故选D ． 【点评】 此题暂无点评 12. 【答案】 A【考点】两角和与差的余弦公式 三角函数的最值 余弦定理 正弦定理 【解析】【解答】解：因为sin 2A +sin 2C −sin 2B =√3sin A sin C ， 所以a 2+c 2−b 2=√3ac ，根据余弦定理知a 2+c 2−b 2=2ac cos B ， 解得cos B =√32， 又0<B <π，所以B =π6，bsin B =2，所以2a −2√3c =4sin A −4√3sin C =4sin (B +C)−4√3sin C =2cos C −2√3sin C =4cos (π3+C)． 由题意知0<C <5π6，则π3<π3+C <7π6，所以当π3+C =π时，2a −2√3c 取得最小值，且最小值为−4． 故选A ． 【点评】 此题暂无点评 二、填空题 【答案】[−5,3) 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意知{2x +5≥0,3−x >0,解得−52≤x <3，故f (x )=√2x +5lg (3−x )的定义域为[−52,3).故答案为：[−52,3). 【点评】 此题暂无点评 【答案】 6【考点】 等比中项等比数列的性质 【解析】 此题暂无解析【解答】解：由题意得，a 92=a 5⋅a 13=36， 解得a 9=±6，∵ a 5⋅a 9=a 72>0， ∴ a 9>0， 则a 9=6. 故答案为：6. 【点评】 此题暂无点评 【答案】 1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：√32(cos 215∘−cos 275∘)+sin 15∘cos 15∘ =√32(sin 275∘−cos 275∘)+sin 15∘cos 15∘ =√32cos 30∘+12sin 30∘ =sin (30∘+60∘)=1. 故答案为：1. 【点评】 此题暂无点评 【答案】 −4【考点】向量在几何中的应用 平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：由题意可知点O 是△ABC 的外心， 则BA →⋅BO →=12BA →2=2，BC →⋅BO →=12BC →2=18．因为BO →=2mAB →+nBC →，所以BA →⋅BO →=−2mAB →2−nAB →⋅BC →=−8m −6n =2， 即4m +3n =−1①，BC →⋅BO →=2mAB →⋅BC →+nBC →2=12m +36n =18， 即2m +6n =3②．联立①②，解得m =−56，n =79，故2m −3n =2×(−56)−3×79=−4．故答案为：−4.【点评】 此题暂无点评 三、解答题【答案】解：(1)因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1， 所以20×(0.0025+a +0.0175+0.0100+0.0075)=1， 解得a =0.0125．(2)由题知，数学成绩在[50,70)，[70,90)内的频率为20×(0.0025+0.0125)=0.3<0.5，数学成绩在[50,70)，[70,90)，[90,110)内的频率为20×(0.025+0.0125+0.0175)=0.6>0.5， 故该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数在[90,110)内. 设该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数为x ， 则(x −90)×0.0175=0.2，解得x =101.4，即该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数为101.4． 【考点】众数、中位数、平均数 频率分布直方图 【解析】【解答】解：(1)因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1， 所以20×(0.0025+a +0.0175+0.0100+0.0075)=1， 解得a =0.0125．(2)由题知，数学成绩在[50,70)，[70,90)内的频率为20×(0.0025+0.0125)=0.3<0.5，数学成绩在[50,70)，[70,90)，[90,110)内的频率为20×(0.025+0.0125+0.0175)=0.6>0.5， 故该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数在[90,110)内. 设该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数为x ， 则(x −90)×0.0175=0.2，解得x =101.4，即该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数为101.4．【点评】 此题暂无点评 【答案】解：(1)由题意可得A =2，T =4×(73−43)=4． 因为T =2πω，且ω>0， 所以ω=2πT=2π4=π2，所以f(x)=2cos(π2x+φ)，因为点(43,−2)在f(x)的图象上，所以2cos(π2×43+φ)=−2，所以2π3+φ=2kπ+π(k∈Z)，解得φ=π3+2kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，所以φ=π3，故f(x)=2cos(π2x+π3)．(2)因为将f(x)的图象向左平移12个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，所以g(x)=f(x+12)−1=2cos(π2x+7π12)−1，令π2x+7π12=π2+kπ(k∈Z)，解得x=2k−16(k∈Z)．故g(x)的图象的对称中心的坐标为(2k−16,−1)(k∈Z)．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换余弦函数的对称性【解析】【解答】解：(1)由题意可得A=2，T=4×(73−43)=4．因为T=2πω，且ω>0，所以ω=2πT =2π4=π2，所以f(x)=2cos(π2x+φ)，因为点(43,−2)在f(x)的图象上，所以2cos(π2×43+φ)=−2，所以2π3+φ=2kπ+π(k∈Z)，解得φ=π3+2kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，所以φ=π3，故f(x)=2cos(π2x+π3)．(2)因为将f(x)的图象向左平移12个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，所以g(x)=f(x+12)−1=2cos(π2x+7π12)−1，令π2x+7π12=π2+kπ(k∈Z)，解得x=2k−16(k∈Z)．故g(x)的图象的对称中心的坐标为(2k−16,−1)(k∈Z)．【点评】此题暂无点评【答案】解：(1)因为sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C，所以a=b cos C+c cos B．又b cos C+c cos B=2，所以a=2．(2)因为△ABC的面积为√3，B=23π，所以12ac sin B=√32c=√3，解得c=2．由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac cos B=12，解得b=2√3，故△ABC的周长为4+2√3．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：(1)因为sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C，所以a =b cos C +c cos B ． 又b cos C +c cos B =2， 所以a =2．(2)因为△ABC 的面积为√3，B =23π， 所以12ac sin B =√32c =√3，解得c =2．由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac cos B =12， 解得b =2√3，故△ABC 的周长为4+2√3．【点评】 此题暂无点评 【答案】解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 因为a 1=b 1=2，a 2+b 3=a 4+b 2=12， 所以{2+d +2q 2=12,2+3d +2q =12,解得{d =2,q =2,或{d =409,q =−53（舍去）， 故a n =a 1+(n −1)d =2n ， b n =b 1⋅q n−1=2n ．(2)由(1)知，a n ⋅b n =n ×2n+1，则S n =1×22+2×23+3×24+⋯+(n −1)×2n +n ×2n+1①， 2S n =1×23+2×24+3×25+⋯+(n −1)×2n+1+n ×2n+2②， ①−②得−S n =22+23+⋯+2n+1−n ×2n+2 =4(1−2n )1−2−n ×2n+2=(1−n)2n+2−4，则S n =(n −1)2n+2+4． 【考点】 数列的求和等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 【解析】【解答】解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 因为a 1=b 1=2，a 2+b 3=a 4+b 2=12， 所以{2+d +2q 2=12,2+3d +2q =12,解得{d =2,q =2,或{d =409,q =−53（舍去）， 故a n =a 1+(n −1)d =2n ， b n =b 1⋅q n−1=2n ．(2)由(1)知，a n ⋅b n =n ×2n+1，则S n =1×22+2×23+3×24+⋯+(n −1)×2n +n ×2n+1①， 2S n =1×23+2×24+3×25+⋯+(n −1)×2n+1+n ×2n+2②， ①−②得−S n =22+23+⋯+2n+1−n ×2n+2 =4(1−2n )1−2−n ×2n+2=(1−n)2n+2−4，则S n =(n −1)2n+2+4． 【点评】 此题暂无点评 【答案】解：(1)因为a →//b →，所以cos α(√5cos β−2cos α)−sin α(√5sin β+2sin α)=0， 所以√5(cos αcos β−sin αsin β)=2(cos 2α+sin 2α)=2， 所以√5cos (α+β)=2，即cos (α+β)=2√55． (2)因为α，β∈(0，π2)， 所以0<α+β<π， 因为cos (α+β)=2√55， 所以sin (α+β)=√55， 所以tan (α+β)=12． 因为tan α=13，所以tan (2α+β)=tan α+tan (α+β)1−tan αtan (α+β)=13+121−13×12=1． 因为0<α+β<π，且cos (α+β)=2√55>0，所以0<α+β<π2，因为0<α<π2，所以0<2α+β<π， 因为tan (2α+β)=1， 所以2α+β=π4． 【考点】两角和与差的正切公式 两角和与差的余弦公式平面向量共线（平行）的坐标表示 同角三角函数间的基本关系 三角函数的定义域 【解析】左侧图片未提供解析． 左侧图片未提供解析． 【解答】解：(1)因为a →//b →，所以cos α(√5cos β−2cos α)−sin α(√5sin β+2sin α)=0， 所以√5(cos αcos β−sin αsin β)=2(cos 2α+sin 2α)=2， 所以√5cos (α+β)=2，即cos (α+β)=2√55． (2)因为α，β∈(0，π2)，所以0<α+β<π， 因为cos (α+β)=2√55， 所以sin (α+β)=√55， 所以tan (α+β)=12． 因为tan α=13， 所以tan (2α+β)=tan α+tan (α+β)1−tan αtan (α+β)=13+121−13×12=1． 因为0<α+β<π，且cos (α+β)=2√55>0，所以0<α+β<π2，因为0<α<π2，所以0<2α+β<π， 因为tan (2α+β)=1， 所以2α+β=π4．【点评】 此题暂无点评 【答案】解：(1)由题意知，a 3=a 1+2d =7,S 6=6a 1+15d =48， 解得a 1=3,d =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n +1.(2)因为b n =2n+52n a n a n+1=2n+52n (2n+1)(2n+3)=2×[122n+1−122n+3]，所以T n =b 1+b 2+⋯+b n=2×[13×21−15×22+15×22−17×23+⋯+12n (2n +1)−12n+1(2n +3)]=2×[16−12n+1(2n +3)]=13−12n (2n+3). 【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，a 3=a 1+2d =7,S 6=6a 1+15d =48，解得a 1=3,d =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n +1. (2)因为b n =2n+52n an a n+1=2n+52n (2n+1)(2n+3)=2×[12n (2n+1)−12n+1(2n+3)]，所以T n =b 1+b 2+⋯+b n=2×[13×21−15×22+15×22−17×23+⋯+12n (2n +1)−12n+1(2n +3)]=2×[16−12n+1(2n +3)]=13−12n (2n+3).【点评】 此题暂无点评。
2019-2020最新高一数学下学期6月月考试题(含解析)
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
B正确.
3.3.若直线ax＋by－1=0与圆x＋y=1相交,则点P(a,b)的位置是( )
A. 在圆上 B. 在圆外
C. 在圆内 D. 以上皆有可能
【答案】B
【解析】
根据条件可得：所以点P在圆外。故选B
由几何性质,点A′和点A″应该都在BC所在直线上.应用直线方程的两点式容易求得这条直线的方程为4x+17y+12=0.
【点睛】本题考查了点关于直线对称点的求法及其意义，计算量较大，属于基础题。
21.21.如图,圆O1和圆O2的半径都是1,|O1O2|＝4,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.
【答案】（1）a=3；（2）P().
【解析】
【分析】
(1) 根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值。
(2) 根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍。
【详解】(1)l2的方程即为，
∴l1和l2的距离d=，∴.∵a>0,∴a=3.
【点睛】本题考查了直线方程截距式的简单应用，注意讨论截距是否为0，属于基础题。
20.20.△ABC的顶点A的坐标为(1,4),∠B、∠C的角平分线的方程分别为x-2y=0和x+y-1=0,求BC所在直线的方程.
【答案】4x+17y+12=0.
【解析】
【分析】
分别求得A关于两条角平分线的对称点，由轴对称性质可知两个对称点都在BC直线上，即过两个对称点的直线方程为直线BC的方程。
2019-2020学年高一数学6月月考试题(10).doc
2019-2020学年高一数学6月月考试题(10)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各角中与32π终边相同的一个是（ ）A. 3πB. 23π-C. 43π-D. 35π2. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（ ） A.7 B.15 C.25 D.353. 某程序框图如右图所示，若输出S ＝57，则判断框内为( ) A ．k >4 B ．k >5 C ．k >6 D ．k >74．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足30,cos ,5y α<=则tan α＝( )A ．－34B.34C.43 D ．－435．已知1tan 2α=，则cos sin cos sin αααα+=-（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-6．已知角θ在第四象限，且|sin|sin22θθ=-，则2θ是( ) A.第三象限 B.第四象限 C.第一象限或第三象限 D.第二象限或第四象限7. 已知1sin()123πα+=，则7cos()12πα+的值（ ）A. C ．13- D ．138. 平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．29．若(0,)4πθ∈ （ ） A ．sin cos θθ- B.cos sin θθ- C ．(sin cos )θθ±- D ．sin cos θθ+ 10．单位向量e 1、e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与e 1的夹角的余弦值是( )A.34B.537C.2537D.537 11. 若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是( )A.58π B.38π C.8π D.4π 12．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．在半径为10米的圆形弯道中，120°角所对应的弯道长为 米； 14.在区间[]2,0上随机取一个数x ，x 2sinπ的值介于0到21之间的概率为 ； 15．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________；16. ①tan y x =在定义域上单调递增；②若锐角cos sin ,2παβαβαβ>+<、满足则；③()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，且在[]1,0-上是增函数若(0,)4πθ∈，则(sin )(cos )f f θθ>；④函数)32sin(4π-=x y 的一个对称中心是（6π，0）;其中正确命题的序号为 .三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知)23sin()sin()23sin()2cos()2cos()(a f +--+--+=παππααπαπα (1)化简)(αf ；(2)若α是第三象限角，且51)23cos(=-πα，求)(αf 的值．18.（本小题满分12分）甲乙两人各有5个材质、大小、形状完全相同的小球，甲的小球上面标有10,9,8,7,6五个数字，乙的小球上面标有5,4,3,2,1五个数字.把各自的小球放入两个不透明的口袋中，两人同时从各自的口袋中随机摸出1个小球.规定：若甲摸出的小球上的数字是乙摸出的小球上的数字的整数倍，则甲获胜，否则乙获胜.( 1)写出基本事件空间Ω；(2)你认为“规定”对甲、乙二人公平吗？说出你的理由.19.（本小题满分12分)如图所示，已知△OAB 中，点C 是以点A 为中心的点B 的对称点，点D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．20.（本小题满分12分）已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，b 为常数)的一段图象如图所示． (1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调区间．21.（本小题满分12分）已知点)0,2(A ,)2,0(B ,点),(y x C 在单位圆上.(1)7=+(O 为坐标原点)，求与的夹角；(2)若⊥，求点C 的坐标.22.（本小题满分12分)已知向量a =)sin ,(cos αα，b =)sin ,(cos x x ，c =,sin 2(sin α+x)cos 2cos α+x ，其中πα<<<x 0.(1)若4πα=，求函数=)(x f b ·c 的最小值及相应的x 的值；(2)若a 与b 的夹角为3π，且a ⊥c ,求α2tan 的值.高一数学答案一、选择题：1.C2.B3.A4.D5.C6.B7.C8.D9.B10.D11.B12.A 二、填空题： 13.320π 14. 3115.10 16.②③④ 三、解答题：17.解：（1）原式=αααααααπαπαπααcos cos sin cos cos sin )2sin()sin()2sin()cos(sin -=-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡----； 4分 （2）由51)23cos(=-πα得51sin =-α，即51sin -=α，因为α是第三象限角，所以562sin 1cos 2-=--=αα， 所以562cos )(=-=ααf . …… 4分 18.解：（1）用),(y x 表示发生的事件，其中甲摸出的小球上的数字为x ，乙摸出的小球上的数字为y .则基本事件空间:)}.5,10(),5,9(),5,8(),5,7(),5,6(),4,10(),4,9(),4,8(),4,7(),4,6(),3,10(),3,9(),3,8(),3,7(),3,6(),2,10(),2,9(),2,8(),2,7(),2,6(),1,10(),1,9(),1,8(),1,7(),1,6{(=Ω -----------------------------------4分（2）由上一问可知，基本事件总数25=n 个，设甲获胜的事件为A ,它包括的基本事件有)}.5,10(),4,8(),3,9(),3,6(),2,10(),2,8(),2,6(),1,10(),1,9(),1,8(),1,7(),1,6(共含有基本事件个数12=m .--------------------------------------------------------------8分所以2512)(==n m A P .-----------------------------------10分 乙获胜的概率251325121)(=-=A P .显然25122513>. 19.解：(1)依题意，A 是BC 的中点，∴2OA →＝OB →＋OC →，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b . -----------------6分(2)设OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE →与DC →共线，∴存在实数k ，使CE →＝kDC →，即(λ－2)a ＋b ＝k (2a －53b )，∴λ＝45. -----------------12分20.解：(1)A ＝12(y max －y min )＝32，T2＝π|ω|＝π2－(－π3)＝5π6，∵ω>0，∴ω＝65. 又b ＝12(y max ＋y min )＝32，∴y ＝32sin (65x ＋φ)＋32.将点(π2，0)代入，得φ＝2k π－11π10(k ∈Z)．又|φ|<π，则k ＝1，φ＝910π.∴y ＝32sin(65x ＋9π10)＋32.-----------------6分(2)令2k π－π2≤65x ＋9π10≤2k π＋π2，∴5k π3－7π6≤x ≤5k π3－π3(k ∈Z)； 令2k π＋π2≤65x ＋9π10≤2k π＋3π2，∴5k π3－π3≤x ≤5k π3＋π2(k ∈Z)， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤5k π3－7π6，5k π3－π3(k ∈Z)是单调递增区间，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5k π3－π3，5k π3＋π2(k ∈Z)是单调递减区间．-----------------12分21.解：（1）)0,2(=,),(y x =，)2,0(=.且122=+y x ，),2(y x +=7=+得7)2(22=++y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+.7)2(,12222y x y x 联立解得，21=x ，23±=y .-----------------------------2分2322||||,cos 22±==+=⋅>=<y y x y OC OB ，-------------------4分所以OB与OC的夹角的夹角为30或150.------------------------------------------6分（2）)2,(),,2(-=-=y x BC y x AC ，由⊥得，0⋅，由⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+02212222y x y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=471471y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=471471y x ------------------------10分所以点C的坐标为)471,471(+-或)471,471(-+.----------------------------12分22.解：∵b )sin ,(cos x x =, c =)cos 2cos ,sin 2(sin αα++x x ,4πα=. ∴=)(x f b ·c ααcos sin 2cos sin sin cos 2sin cos x x x x x x +++=)cos (sin 2cos sin 2x x x x ++=.--------------------------------------2分令)4(cos sin ππ<<+=x xx t ，则)2,1(-∈t ,且1cos sin 22-=t x x∴23)22(1222-+=-+=t t t y ，)2,1(-∈t . 当22-=t 时，23min -=y ，此时22cos sin -=+x x .---------------------------6分即22)4sin(2-=+πx ，21)4sin(-=+πx ,∵ππ<<x 4∴4542πππ<+<x . ∴ππ674=+x ，即π1211=x . 所以函数)(x f 的最小值为23-，相应的x 的值为π1211.---------------8分（2）∵a 与b 的夹角为3π, ∴)cos(sin sin cos cos ||||3cosαααπ-=+=⋅=x x x b a ba .∵πα<<<x 0，∴πα<-<x 0. ∴3πα=-x . ------------------------------10分∵a ⊥c ，∴0)cos 2(cos sin )sin 2(sin cos =+++ααααx x .化简得02sin 2)sin(=++ααx . ---------------------------12分代入3πα=-x 得02cos 232sin 252sin 2)32sin(=+=++αααπα, ∴532tan -=α.--------------------------------------------14分。
学2019-2020学年高一数学下学期6月月考试题(含解析)
学2019-2020学年高一数学下学期6月月考试题（含解析）一、单选题（每小题5分，共60分）1.已知平面向量、都是单位向量，若，则与的夹角等于A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的数量积为0和夹角公式进行求解．详解：设与的夹角为，由题意，得，且，即，即，即，所以设与的夹角为．点睛：本题考查平面向量的数量积、平面向量垂直的判定条件等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．2.已知，那么的值为（）A. 6B. 4C. 2D. 0【答案】B【解析】【分析】根据解得，代入式子计算得到答案.【详解】，则，解得或（舍去），故，.故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，属于简单题.3.在中，，．若点满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：，故选A．4.已知等比数列的首项，公比为，记，则达到最大值时，的值为（）A. B. C. D. 不存在【答案】B【解析】试题分析：由题意因为，是一个单调递减的正项数列,所以达到最大值时且取得最大值，即，解得所以达到最大值时，的值为11.考点：等比数列通项公式.5.设等差数列的前n项和为，若，则（）A. 2B.C.D. 3【答案】A【解析】【分析】直接利用等差数列前n项和的性质求解.【详解】根据等差数列n项和性质：成等差数列，，故公差为，，即，.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列前n项和的性质，意在考查学生的计算能力和对于数列性质的灵活运用.6.在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理依次判断每个选项的解的个数得到答案.【详解】，解得，，故，故有两解，A正确；，解得，，故，故有一解，B错误；，解得，，故，故有一解，C错误；，解得，无解，D错误.故选：A.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形解的个数问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驾马多行（）A. 1125里B. 920里C. 820里D. 540里【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的前项和，设出天数，根据题意得到相等数量关系，求出结果【详解】设良马每天所行路程为，则是以103为首项，以13为公差的等差数列，其前项和为，弩马每天所行路程为，则是以97为首项，以为公差的等差数列，其前项和为，设共用天二马相逢，则，所以，化简得，解得，，，，故选D．【点睛】本题考查了等差数列的前项和，属于基础题．8.将函数的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数平移法则得到，再计算对称轴得到答案.【详解】的图象向右平移得到，取，，解得，，当时，.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数对称轴，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，则,所以，结合等比数列求和公式有：，解得n=4，即这个等比数列的项数为8.本题选择C选项.10.的内角的对边分别为，若，，，则（）A. 1或2B. 2C.D. 1【答案】B【解析】∴由正弦定理得：由余弦定理得：，即，解得或（经检验不合题意，舍去），则．故选B11.将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数，则表中所有数之和为A. 2B. 18C. 20D. 512【答案】B【解析】【分析】根据每行数的和等于第二个数的3倍，每列数的和等于第2个数的3倍，可得表中所有数之和为，据此即可求出表中所有数之和．【详解】每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，，，，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，，表中所有数之和为，故选B．【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．12.在△中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若，，依次成等比数列，则角B的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，依次成等比数列，利用等比数列定义列出关系式，根据正弦定理化简，再利用余弦定理表示出，把得出的关系式代入并利用基本不等式求出的范围，最后由余弦函数和三角形的性质得出的范围即可.【详解】解：在△中，，，依次成等比数列，.由正弦定理得：.由余弦定理得：，当且仅当时取等号.又，所以的范围为.故选：B.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解题的关键，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列满足且，则___________．【答案】【解析】【分析】证明数列是首项为，公比为的等比数列，计算得到答案.【详解】，则，故数列是首项为，公比为的等比数列，故，故，故.故答案：.【点睛】本题考查了构造法求通项公式，意在考查学生的计算能力和应用能力，也可以直接计算得到答案.14.设数列的前n项和为，若，则___________．【答案】【解析】【分析】计算，根据公式化简整理得到，计算得到答案.【详解】，故，解得，当时，，整理得到，故是首项为，公比为得到等比数列，故，即，验证时满足，故.故答案为：.【点睛】本题考查了构造法求数列通项公式，公式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为且，则面积最大值为___________．【答案】2【解析】【分析】由，求得，再与平方关系结合得到，然后由三角形外接圆半径为，求得边c，再由余弦定理结合基本不等式得到的范围，代入求解.【详解】因为，所以，解得或，因为是锐角三角形，所以，由，解得因三角形外接圆半径为，所以，由余弦定理得：，所以，当且仅当时，取等号，所以，即面积最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用以及基本不等式的应用，二倍角的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.设是内一点，，，定义其中分别是的面积，若，，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由条件，，及向量数量积的定义，可求得．由三角形的面积公式求得三角形的面积为．由条件定义其中分别是的面积，若，得三角形面积等于求得，因为，又因为，由基本不等式求的取值范围．构造函数，求导函数得函数的单调性，进而求其值域．【详解】因为，又因为，．所以，即，所以．故三角形的面积为．因为定义其中分别是的面积，若，所以．因为，又因为，所以，当时等号成立，令因为．因为，所以．所以函数在区间上为增函数．所以．故的取值范围是．【点睛】：（1）若，知（或）为常数，利用基本不等式可求（或）的最值；（2）求取值范围，可构造函数，求其单调性，利用函数的单调性求其取值范围．三．解答题（第14题10分，15-19题，每小题12分，共70分）17.等差数列的公差为，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可；（2）由（1）求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，因此有：，于是有，所以数列的通项公式为：；（2）由（1）可知：，所以，因此有：【点睛】本题考查了求等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质应用，考查了裂项相消法求数列前n项和，考查了数学运算能力.18.在中，.(1)求；(2)若，，为中点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式即可得到结果；（2）由条件结合余弦定理及面积公式可得，再利用向量的中线公式即可得到结果.【详解】解：(1)由已知得，，，，，又故 .(2)由已知得，，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及平面向量的运算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为．令，k∈z，求得x的范围，结合，可得f（x）的递增区间．（2）由f（C）=2，求得，结合C的范围求得C的值．根据向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得，故有=①，再由余弦定理得9=a2+b2﹣ab ②，由①②求得a、b的值．【详解】（1）∵==．令，解得，即，∵，∴f（x）的递增区间为．（2）由，得．而C∈（0，π），∴，∴，可得．∵向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴，由正弦定理得：=①．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+b2﹣ab ②，由①、②解得．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．20.已知等比数列中，，，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)，.(2).【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则，由，，可以求得，从而求得的通项公式；，设，则，利用数列的分组求和解得等差数列的前项和求得数列的前项和解析：（1）设等比数列的公比为，则.因为，所以，因为，解得.所以，.（2）.设，则..21.某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．(1)求B点到D点的距离BD；(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）在△DAB中利用正弦定理，求出BD；（2）在△DCB中，利用余弦定理求出CD，根据速度求出时间．【详解】(1)由题意知AB=5（3+）海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30）°=105°，在△DAB中，由正弦定理得=，∴DB=====10（海里）(2)在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°，BC=20（海里），由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC=300+1200﹣2×10×20×=900，∴CD=30（海里），则需要的时间t==1（小时）．答：救援船到达D点需要1小时．【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.22.在数列中，，．（1）设，证明数列是等比数列并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）计算得到证明，再根据等比数列公式得到通项公式（2）计算，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1），则，故是首项为，公比为的等比数列，.（2），则，，两式相减得到：，故.【点睛】本题考查了等比数列的证明，求通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.学2019-2020学年高一数学下学期6月月考试题（含解析）一、单选题（每小题5分，共60分）1.已知平面向量、都是单位向量，若，则与的夹角等于A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的数量积为0和夹角公式进行求解．详解：设与的夹角为，由题意，得，且，即，即，即，所以设与的夹角为．点睛：本题考查平面向量的数量积、平面向量垂直的判定条件等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．2.已知，那么的值为（）A. 6B. 4C. 2D. 0【答案】B【解析】【分析】根据解得，代入式子计算得到答案.【详解】，则，解得或（舍去），故，.故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，属于简单题.3.在中，，．若点满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：，故选A．4.已知等比数列的首项，公比为，记，则达到最大值时，的值为（）A. B. C. D. 不存在【答案】B【解析】试题分析：由题意因为，是一个单调递减的正项数列,所以达到最大值时且取得最大值，即，解得所以达到最大值时，的值为11.考点：等比数列通项公式.5.设等差数列的前n项和为，若，则（）A. 2B.C.D. 3【答案】A【解析】【分析】直接利用等差数列前n项和的性质求解.【详解】根据等差数列n项和性质：成等差数列，，故公差为，，即，.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列前n项和的性质，意在考查学生的计算能力和对于数列性质的灵活运用.6.在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理依次判断每个选项的解的个数得到答案.【详解】，解得，，故，故有两解，A正确；，解得，，故，故有一解，B错误；，解得，，故，故有一解，C错误；，解得，无解，D错误.故选：A.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形解的个数问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驾马多行（）A. 1125里B. 920里C. 820里D. 540里【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的前项和，设出天数，根据题意得到相等数量关系，求出结果【详解】设良马每天所行路程为，则是以103为首项，以13为公差的等差数列，其前项和为，弩马每天所行路程为，则是以97为首项，以为公差的等差数列，其前项和为，设共用天二马相逢，则，所以，化简得，解得，，，，故选D．【点睛】本题考查了等差数列的前项和，属于基础题．8.将函数的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数平移法则得到，再计算对称轴得到答案.【详解】的图象向右平移得到，取，，解得，，当时，.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数对称轴，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，则,所以，结合等比数列求和公式有：，解得n=4，即这个等比数列的项数为8.本题选择C选项.10.的内角的对边分别为，若，，，则（）A. 1或2B. 2C.D. 1【答案】B【解析】∴由正弦定理得：由余弦定理得：，即，解得或（经检验不合题意，舍去），则．故选B11.将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数，则表中所有数之和为A. 2B. 18C. 20D. 512【答案】B【解析】【分析】根据每行数的和等于第二个数的3倍，每列数的和等于第2个数的3倍，可得表中所有数之和为，据此即可求出表中所有数之和．【详解】每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，，，，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，，表中所有数之和为，故选B．【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．12.在△中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若，，依次成等比数列，则角B的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，依次成等比数列，利用等比数列定义列出关系式，根据正弦定理化简，再利用余弦定理表示出，把得出的关系式代入并利用基本不等式求出的范围，最后由余弦函数和三角形的性质得出的范围即可.【详解】解：在△中，，，依次成等比数列，.由正弦定理得：.由余弦定理得：，当且仅当时取等号.又，所以的范围为.故选：B.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解题的关键，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列满足且，则___________．【答案】【解析】【分析】证明数列是首项为，公比为的等比数列，计算得到答案.【详解】，则，故数列是首项为，公比为的等比数列，故，故，故.故答案：.【点睛】本题考查了构造法求通项公式，意在考查学生的计算能力和应用能力，也可以直接计算得到答案.14.设数列的前n项和为，若，则___________．【答案】【解析】【分析】计算，根据公式化简整理得到，计算得到答案.【详解】，故，解得，当时，，整理得到，故是首项为，公比为得到等比数列，故，即，验证时满足，故.故答案为：.【点睛】本题考查了构造法求数列通项公式，公式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为且，则面积最大值为___________．【答案】2【解析】【分析】由，求得，再与平方关系结合得到，然后由三角形外接圆半径为，求得边c，再由余弦定理结合基本不等式得到的范围，代入求解.【详解】因为，所以，解得或，因为是锐角三角形，所以，由，解得因三角形外接圆半径为，所以，由余弦定理得：，所以，当且仅当时，取等号，所以，即面积最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用以及基本不等式的应用，二倍角的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.设是内一点，，，定义其中分别是的面积，若，，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由条件，，及向量数量积的定义，可求得．由三角形的面积公式求得三角形的面积为．由条件定义其中分别是的面积，若，得三角形面积等于求得，因为，又因为，由基本不等式求的取值范围．构造函数，求导函数得函数的单调性，进而求其值域．【详解】因为，又因为，．所以，即，所以．故三角形的面积为．因为定义其中分别是的面积，若，所以．因为，又因为，所以，当时等号成立，令因为．因为，所以．所以函数在区间上为增函数．所以．故的取值范围是．【点睛】：（1）若，知（或）为常数，利用基本不等式可求（或）的最值；（2）求取值范围，可构造函数，求其单调性，利用函数的单调性求其取值范围．三．解答题（第14题10分，15-19题，每小题12分，共70分）17.等差数列的公差为，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可；（2）由（1）求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，因此有：，于是有，所以数列的通项公式为：；（2）由（1）可知：，所以，因此有：【点睛】本题考查了求等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质应用，考查了裂项相消法求数列前n项和，考查了数学运算能力.18.在中，.(1)求；(2)若，，为中点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式即可得到结果；（2）由条件结合余弦定理及面积公式可得，再利用向量的中线公式即可得到结果.【详解】解：(1)由已知得，，，，，又故 .(2)由已知得，，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及平面向量的运算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为．令，k∈z，求得x的范围，结合，可得f（x）的递增区间．（2）由f（C）=2，求得，结合C的范围求得C的值．根据向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得，故有=①，再由余弦定理得9=a2+b2﹣ab ②，由①②求得a、b的值．【详解】（1）∵==．令，解得，即，∵，∴f（x）的递增区间为．（2）由，得．而C∈（0，π），∴，∴，可得．∵向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴，由正弦定理得：=①．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+b2﹣ab ②，由①、②解得．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．20.已知等比数列中，，，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)，.(2).【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则，由，，可以求得，从而求得的通项公式；，设，则，利用数列的分组求和解得等差数列的前项和求得数列的前项和解析：（1）设等比数列的公比为，则.因为，所以，因为，解得.所以，.（2）.设，则..21.某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．(1)求B点到D点的距离BD；(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）在△DAB中利用正弦定理，求出BD；（2）在△DCB中，利用余弦定理求出CD，根据速度求出时间．【详解】(1)由题意知AB=5（3+）海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30）°=105°，在△DAB中，由正弦定理得=，∴DB=====10（海里）(2)在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°，BC=20（海里），由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC=300+1200﹣2×10×20×=900，∴CD=30（海里），则需要的时间t==1（小时）．答：救援船到达D点需要1小时．【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.22.在数列中，，．（1）设，证明数列是等比数列并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）计算得到证明，再根据等比数列公式得到通项公式（2）计算，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1），则，故是首项为，公比为的等比数列，.（2），则，，两式相减得到：，故.【点睛】本题考查了等比数列的证明，求通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.。
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湖北省武汉市新洲一中2019-2020学年高一下学期6月月考试题一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设m R ∈，向量()1,2a =-r ，(),2b m m =-r，若//，则m 等于（ ）A. 23-B.23C. -4D. 42. 在ABC △中，已知1=a ，3=b ，︒=30A ，则角B 等于（ ）A. 30︒B. 60︒C.30︒或150︒D.60︒或120︒3. 如果实数a ，b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ）A. a b >B. 11b a<C.11a b a>- D. 220b a -<4. 已知直线02:,01)2(:21=++=+++ay x l y a ax l ，若21l l ⊥，则实数a 的值为 （ ）A. -3B. -3或0C. 2或-1D. 0或-1 5. 若直线)0,0(1>>=+b a bya x 过点)2,1(，则b a 2+的最小值等于 （ ） A ．9B ．28C ．225+D ．56. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数. 在某种玩法中，用n a 表示解下),9(*N n n n ∈≤个圆环所需的最少移动次数，数列{}n a 满足11=a ， 且⎩⎨⎧+-=--为奇数为偶数n a n a a n n n ,22,1211，则解下5个环所需的最少移动次数为 （ ）A. 7B. 10C. 16D. 31 7．在ABC ∆中，若222222()sin ()sin a b c a A b a c b B +-=+-（a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边），则此三角形的形状为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 8. 如图，O 为△ABC 的外心，5=AB ，3=AC ，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则→→⋅AO AM 等于( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5 二、多选题（每小题5分，共20分，每题有两个或两个以上正确选项， 漏选得3分，错选或不选不得分）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是 （ ）A. 已知A 、B 、C 是平面中三点，若,不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线B. 若a·b=b·c 且c≠0，则a=cC. 若点G 为ΔABC 的重心，则=++0D.已知a =(1，-2)，b =(2，λ)，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1<λ 10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 11. 以下四个命题表述正确的是 （ ）A. 直线)(3)12()1(R m m y m x m ∈-=-+-恒过定点)2,5(-B. 圆222=+y x 上有且仅有3个点到直线01:=+-y x l 的距离都等于22 C. 曲线02:221=++x y x C 与曲线084:222=+--+m y x y x C 恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4>mD. 已知圆2:22=+y x C ，P 为直线032=++y x 上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则PA 的最小值为212. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2=a ，C B sin 2sin =，有以下四个命题中正确的是（ ）A. 满足条件的ABC ∆不可能是直角三角形B. ABC ∆面积的最大值为34 C. 当A=2C 时，ABC ∆的周长为322+D. 当A=2C 时，若O 为ABC ∆的内心，则AOB ∆的面积为313- 三、填空题（每小题5分，共20分）13. 若向量，，两两所成角相等，1=1=3=，则=++|| ． 14. 若圆C 过点（2,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线02=-+y x 被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为____________________.15. 在ABC ∆，D 是BC 上一点，满足a a 10111010+=，其中为等差数列，前项和为，则=2020S _________.16．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2π=C ，且不等式c b a 211++cb a m++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________． 四、解答题（共70分，其中17题10分，其余各小题12分）17.现给出两个条件：①22cos c b A -=，② 222sin2cos 22B Aa b b c +=+．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2，求△ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 已知|a |=1，|b |=2，且a 与b 夹角是120︒． （1）求|a +b |的值；（2）当k 为何值时，(a +3b )⊥(k a -b )？{}n a n n S19. 已知数列{}n a 满足21=a ，11++=+n a a n n . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11-=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20. 已知圆C ：0422=++++ny mx y x 关于直线01=++y x 对称，圆心C 在第四象限，半径为1.（1）求圆C 的标准方程；（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.21. 如图，长方形材料ABCD 中，已知AB=3，AD=4.点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥ 于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，PF=2. 现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN=135°，点M 、N 分别在边AB ，AD 上. （1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.22. 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：n n n a S a 242-=，n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1n n n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n *∈N ，均有n n T n 1242-≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCBACDAACBCDABDBCD13、5或2 14、4)4(22=+-y x 15、1010 16、246+17、【解析】若选择条件①：（1）因为A b a c cos 232=-，所以由余弦定理可得bca cb b ac 2232222-+⋅=-，整理可得ac b a c 3222=-+，所以232cos 222=-+=ac b c a B ∵),0(π∈B ，6π=∴B …………5分（2）∵b=2，,6π=B ∴由余弦定理得ac a c 3422=-+又ac c a 222≥+，故423-≥ac ac （当且仅当a=c 时取等号），∴)32(4+≤ac 所以3241sin 21+≤==∆ac B ac S ABC 故当且仅当a=c 时ABC ∆面积的最大值为32+ …………10分 若选择条件②： （1）由条件可知，c b Ab B a +=+⋅+-⋅2cos 122cos 12， ∴c A b B a a =+-cos cos 由正弦定理得 )sin(cos sin cos sin sin B A A B B A A +=+- ∴B A A cos sin 2sin = 又0sin ≠A ，所以21cos =B又),0(π∈B 所以3π=B ……5分（2）∵b=2，,3π=B ∴由余弦定理得ac a c =-+422又ac c a 222≥+，故42-≥ac ac （当且仅当a=c 时取等号） ∴4≤ac 所以343sin 21≤==∆ac B ac S ABC 故当且仅当a=c 时ABC ∆面积的最大值为3 …………10分 18、【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得12121120cos ||||-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=︒=⋅，故3)1(221||22=-⨯++==+. …………6分（2）因为(a +3b )⊥(k a -b )，所以0)13(3)()3(22=⋅-+-=-⋅+b a k b a k b a k b a ，整理得0)1()13(12=-⨯-+-k k ，解得211-=k ． 即211-=k 当值时，(2)()a b ka b +⊥-r r r r ． …………12分 19、解：（1）因为11++=+n a a n n ，所以)2(1≥=--n n a a n n ，累加得)2(321≥+++=-n n a a n Λ，所以)2(222≥++=n n n a n ，又21=a 符合上式，所以222++=n n a n ……6分 （2）由（1）知⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=1112)1(2n n n n b n所以121112111312121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=n n n n n S n Λ ……12分 20、（1）将圆C 化为标准方程，得416)2()2(2222-+=+++n m n y m x∴ 圆心C （2,2nm --），半径21622-+=n m r由已知得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+--24421216012222n m n m n m nm 或 又C 在第四象限， ∴ )2,1(-C∴ 圆C 的标准方程为1)2()1(22=++-y x ……6分 （2）当直线过原点时，若l 斜率不存在显然满足若l 斜率存在，则设kx y l =: ，则4311|2|2-=⇒=++k k k此时直线方程为xy 43-=或0=x ； ……9分当直线不过原点时，设0:=-+t y x l ，则12|21|=--t解得 21±-=t 此时直线方程为：021021=-++=+++y x y x 或 综上，所求直线的方程为：x y 43-=或0=x 或21±--=x y ……12分 21、【解析】 解：（1）在直角NFP ∆中，因为PF=2，FPN θ∠=， 所以θtan 2=NF ，所以θθtan 212)tan 21(2121+=⨯+=⨯=∆PF NA S NAP ， 在直角MEP ∆中，因为1PE =，θπ-=∠4EPM ， 所以⎪⎭⎫⎝⎛-=θπ4tan ME ， 所⎪⎭⎫⎝⎛-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⨯=∆θπθπ4tan 2111)4tan 2(2121PE AM S NAP ， 所以NAP AMP S S S ∆∆=+ 24tan 21tan 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θπθ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πθ. …… 5分 （2）因为2)tan 1(2tan 1tan 224tan 21tan 2++-+=+⎪⎭⎫⎝⎛-+=θθθθπθS ， 令θtan 1+=t ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πθ，得[]2,1∈t ， 所以2112222-+=-+=t t t t t S ， 易得tt y 12+=在[1,2]单调递增，所以当t=1，即0=θ时S 取得最小值25 此时，N 与F 重合，即AN=1时，25min =S ， 答：当1=AN 时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为25. …12分 22、【详解】（Ⅰ）因为n n n a S a 242-=，所以112124----=n n n a S a （n ≥2）， 两式相减得：)(222411212---+=+-=-n n n n n n na a a a a a a （n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以)2(21≥=--n a a n n ， 故数列{a n }是公差为2的等差数列又因为11121224a a S a =-=，可得a 1＝2， 所以22(1)2na n n =+-=； ……4分（Ⅱ）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以正项等比数列{}n b 的公比为：2q ==， 因此b n ＝2n ；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅ ……8分故n n T n 1242-≥λ恒成立，等价于)3(422-≥⨯+n n n n λ恒成立，所以223-≥n λ恒成立. 设n n n k 23-=，则111242322+++-=---=-n n n n n nn n k k ， 所以当n<4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ，当n=4时，45k k = 所以Λ>>>=<<<7654321k k k k k k k 所以当k n 的最大值为16154==k k ，故161≥λ， 即实数λ的取值范围是：⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,161． ……12分。