与圆有关的比例线段(切割线定理)

D
图3
B
D
图4
B
D
图5
B
P
A O C
O
O
(C,P) A
C
A
当点P在圆上,PA=PC=0,所以PA•PB=PC•PD=0仍成立.
P
当点P在圆外,连接AD、BC,容易证明:
△PAD∽△PCB,所以PA:PC=PD:PB, 即PA•PB=PC•PD仍成立.
如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交 ⊙O于A、B和C、D. 求证:PA∙PB=PC∙PD.
2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？
C D O
C
B
A
C′
A
D
B
说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的 特例！
例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.
解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x. 由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD, ∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10. ∴CD=10.
C
C
D
O B
P O A
P
D
A
O B A
割线PCD、PAB交⊙O 于点C、D和A、B => PA∙PB=PC∙PD 割线定理 P
P
B
AB交CD于点P => PA∙PB=PC∙PD 相交弦定理 C(D) O A(B)
PC切⊙O于点C
=> PA∙PB=PC² 切割线定理
另外，从全等角度可以得到：
PA 、PC分别切⊙O于点A 、C => PA=PC,∠APO=∠CPO切线长定理
C D
O
B A
证法2：连接AC、BD， ∵四边形ABDC为⊙O 的内 P 接四边形, ∴∠PDB= ∠A， 又 ∠P=∠P, ∴ △PBD∽ △ PCA. ∴ PD ：PA=PB ：PC. ∴ PA∙PB=PC∙PD.
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条 割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.
使割线PA绕P点 运动到切线的位 置，是否还有 PA∙PB=PC∙PD？
C D P
O A(B)
如图,已知点P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PCD 交 ⊙O于C、D. 求证：PA2=PC∙PD.
A
P
O
C
证明：连接AC、AD， ∵PA切⊙O于点A,∴∠D= ∠PAC. 又 ∠P=∠P, ∴ △PAC∽ △ PDA. ∴ PA ：PD=PC ：PA. ∴PA2= PC∙PD.
A
C
P O
B
D
练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D. (1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD=10,PT= (2)已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R= 3
T B
PA· PB=(7-R) · (7+R)
C
A
O D
P
O
D P
E
B
C
A
练习2.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和 C,D,连结AC,BD,下面各比例式中成立的有:
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
B
C D 图5 P O B A PA∙PB=PC∙PD
P
O
点P从圆内移动到圆外
D
A
图3 PA∙PB=PC∙PD
证明:连接AC、AD,同样可以证明 △PAD∽△PCA, 所以PA:PC=PD:PA, 即PA2=PC•PD仍成立.
垂直，如图３, AB 、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（１）还 成立吗？
D
图１
D
图２
D
B
图３
B
A B
A
P O C
P A O C
PA·PB=PC·PD……(3)
P C
O
PA·PB=PC·PD……(1)
PA·PB=PC·PD……(2)
证明:连接AD、BC. 则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴△APD∽△CPB. 综上所述，不论AB 、 CD具有什么样的位置， 都有结论（１）成立！
D
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长 是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.
应用格式（几何语言描述）: ∵PA是⊙O 的切线,PCD是⊙O 的割线,∴ PA² =PC∙PD.
Байду номын сангаас
探究5:使圆的割线PD绕点P运动到切线位置，可 以得出什么结论？
C P
B
C D 图5 O P
O
A
图3
点P从圆内移 D 动到圆外.
B
A
P C
O
探究2:将图１中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是
直径（如图２），结论（１）还成立吗？
D
图１
D
图２
A B
P
B
A
P C
O
O C
PA·PB=PC·PD……(1)
证明:连接AD、BC. 则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB.
探究3:上面讨论了CD⊥AB的情形．进一步地,如果CD 与AB不
五 与圆有关的比例线段
T A B O C D P
一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆 有关的相交弦的问题. 探究1:如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,
线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？
证明:连接AD、BC.
D
图1
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB.
相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段
长的积相等.
D P A O C
B
几何语言： AB 、 CD是圆内 的任意两条相交弦,交点为P, ∴PA•PB=PC•PD.
上面通过考察相交弦交角变化中有 关线段的关系，得出相交弦定理. 下面从新的角度考察与圆有关的比 例线段．
探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图３）运动到圆 上（图４），再到圆外（图５），结论(1)还成立吗？
复习回顾
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半． 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９ ０°的圆周角所对的弦是直径． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
B
A 割线定理PA∙PB=PC∙PD
相交弦定理PA∙PB=PC∙PD
C(D) P 使割线PC绕P 点也运动到 切线的位置. A(B) 切线长定理 PA=PC,∠APO=∠CPO
使割线PA绕P 点运动到切 线的位置.
C O A(B) 切割线定理PA2=PC•PD D P
O
思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？ 1.结论都为乘积式; 2.几条线段都是从同一点出发; 3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似） . C