数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学
《长方形和正方形》说课稿
《长方形和正方形》说课稿《长方形和正方形》说课稿1一、教学目标小学数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，具有高度的系统性、抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，针对这一特点和教材内容，以及学生实际，本课时的目标分别为：1、通过实物、多媒体的运用，使学生理解“周长”的概念、长方形周长的计算方法，并能正确计算长方形的周长。
2、培养学生动脑、动手的能力，逻辑思维能力以及应用长方形周长的计算方法，解决实际问题的能力。
3、创设情境，培养学生刻苦钻研，努力探索的精神。
二、教学重点教学重点是教材中贯穿全局、带动全局的核心内容，它是由各部分内容在教材中的地位和作用所决定的。
周长的概念以及周长的计算是学生第一次接触，这个知识的掌握与否直接影响到今后学习的各种图形的周长计算。
我给这个课时的教学重点定为两个——理解周长的概念与周长的计算方法。
这两个教学重点我是这样来突出的：1、理解周长的概念这个重点我是分三步来进行：第一步：导入上堂课我们已经对长方形、正方形有了初步的认识，这节课我们要学习长方形周长的计算。
谁能说说“周”是什么意思？“长”是什么意思？第二步：理解认识周长这个概念出示一些图形让学生说出哪部分是这些图形的周长？然后再出示长方形、正方形的实物让学生说说周长。
如书本的平面、黑板的平面、篮球场的平面等。
第三步：总结归纳小学生思维正处于形象思维为主逐步向抽象思维过渡的阶段，思维过程对具体形象存在着依赖性。
通过这样的教学中，学生在感性上认识了周长，这时要将感性上升为理性认识，通过讨论、总结、概括什么叫周长？最后得出围在每个图形边长的和，叫做这些图形的周长。
这个教学过程是学生全面、自然的、主动的学习的一个过程，而不是老师把知识强加给学生的过程，教师只起到了点拔的作用。
2、周长的计算这个重点分两步进行（1）创设情境，探索求知出示例题，谁能计算这个长方形的周长？请你想几种方法来计算周长？讨论估计有三种情况：①用绳子量②用长方形滚动③各条边相加。
《义务教育数学课程标准(2022年版)》题库+答案
《义务教育数学课程标准(2022年版)》题库一、填空题。
1.数学是研究（数量关系）和（空间形式）的科学。
2.（数学素养）是现代社会每一个公民应当具备的基本素养。
数学教育承载着落实（立德树人）根本任务，实施素质教育的功能。
3.义务教育数学课程具有（基础性）、（普及性）和（发展性）。
4.学生通过数学课程的学习，掌握适应现代生活及进一步学习必备的（基础知识）、（基本技能）、（基本思想）和（基本活动经验）激发学习数学的兴趣，养成独立思考的习惯和合作交流的意愿；发展实践能力和创新精神，形成和发展核心素养。
5.数学源于对（现实世界）的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。
6.义务教育数学课程致力于实现义务教育阶段的培养目标，使得（人人都能获得良好的数学教育），（不同的人在数学上得到不同的发展），逐步形成适应终身发展需要的核心素养。
7.义务教育数学课程五大核心理念包括（确立核心素养导向的课程目标）、（设计体现结构化特征的课程内容）、（实施促进学生发展的教学活动）、（探索激励学习和改进教学的评价）、（促进信息技术与数学课程融合）。
8.课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学“四基”即（基础知识）、（基本技能）、（基本思想）和（基本活动经验）发展，发展运用数学知识与方法“四能”即（发现问题的能力）、（提出问题的能力）、（分析问题的能力）和（解决问题的能力），形成正确的（情感、态度和价值观）。
9.改变单一讲授式教学方式，注重（启发式）、（探究式）、（参与式）、（互动式）等，探索（大单元）教学，积极开展（跨学科的主题式学习）和（项目式学习）等综合性教学活动。
10.课程内容组织的重点应是对内容进行（结构化整合），探索发展学生（核心素养）的路径。
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的一门科学
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的一门科学。
具有三个明显的特点：（1）抽象性。
任何一个数学概念，法则都是从大量的具体事物中抽象概括出来的；（2）严密的逻辑性。
数学的概念、法则等叙述要精确严密，结论要经过严密的论证；（3）应用的广泛性。
数学在生活、生产和科学技术有着广泛的应用。
小学生的年龄心理特点与数学学科特点形成了矛盾的对立。
主要表现在A数学知识的抽象性与小学生思维的具体形象性B数学知识的严密性与小学生对事物理解的简单化C数学知识应用广泛性与小学生接触生活实际狭窄。
解决这些矛盾一般从小学生的年龄心理特点出发：（1）要按照儿童的认识规律组织教学。
小学生的认识规律通常是：从直接感知––––表象–––––概念–––––概念系统。
所以要理解数学的抽象性，必须有丰富的感性材料。
直观教学是为学生提供必要感性材料的一种主要途径。
（2）要适应学生的思维特点，又要通过数学知识的教学，发展学生的思维能力。
小学数学教学中，受儿童思维发展水平的限制，有些概念，可以用描述代定义，或者用通俗易懂的语言，提示概念的本质特征，而不下严格的定义；但必须注意与严格定义不能矛盾。
对于一些法则、运算性质等，可以通过具体事例或利用已有知识加以说明，不进行论证，但要使学生正确地理解和掌握所学的知识。
同时又要通过掌握知识的过程，发展学生的思维能力，逐步培养学生形成正确的思维方法。
也就是要结合数学教学内容，引导学生初步学会运用分析、综合、比较、抽象、概括等思维方法。
（3）要逐步培养学生联系实际能力。
数学的应用是非常广泛的，但是，小学生学到的数学知识还很少，社会生活经验还不多，不可能应用数学知识解决许多问题。
所以在教学中，一方面要注意从学生的生活经验引入新的概念；另一方面则要培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
莲山课件原文地址：http://w直观。
在小学数学教学中，运用实物、模型、挂图以及参观、操作等手段进行教学，称为直观教学。
直观教学有助于学生获得感性认识，就是通过实物或实践，外界事物作用于学生的感觉器官而在学生大脑中产生的感觉、知觉和表象。
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。
对幼儿来说，学数学算是他们成长与发展过程中的一种自身需要。
数学离不开生活，生活中处处有数学。
现代教育观指出：数学教学，应从孩子已有的知识经验出发，让孩子亲身经历参与特定的教学活动，获得一些体验，并且通过自主探索、合作交流，将实际问题抽象成数学模型，并对此进行理解和应用。
数学作为一门培养和锻炼思维能力的基础课，人们形象地称数学是人类思维的"体操"。
幼儿园进行数学启蒙教育，对孩子的思维发展具有非常重要的意义。
因此，从事幼教工作多年的我，一直在思考着这样一个问题：在数学活动中，怎样发挥幼儿的主观能动性?怎样把数学教学融入到幼儿园各科教学活动中呢?一、教师必须要更新教学观念mbt shoes store二十一世纪，将是一个高科技迅猛发展的时代，教师只有不断地在教学中更新自己的教学理念，才能适应新形势的发展和变化。
知识的掌握和运用是无止境的，只有活到老、学到老,mbt schuhe，才能不被时代所淘汰；只有不断创新和不断进取，才能跟上时代的步伐；只有从传统的"以知识的传授为中心，过分强调了老师的作用"的教育圈子中跳出来，才能体现新的"以幼儿为主体，充分发挥幼儿的主观能动性"的教育观，使幼儿从生活经验和客观事实出发，在研究实现问题的实践活动中学习数学、理解数学、发展数学，进而喜欢数学。
随着幼儿教育改革的不断深入，幼儿教育《纲要》的出台，我们对幼儿园的数学教育有了新的看法，使我们明白，幼儿园数学教育应注重启蒙性、生活化，注重培养幼儿对数学的兴趣，让孩子在生活和游戏中感受事物的数量关系，体验数学的重要和有趣，感受到其中的乐趣，从而为孩子顺利进入小学学习数学奠定良好的基础。
nike shoes online二、教师必须要改进教学方法传统的教育方法显然不能培养幼儿的创新思维和能力，只有通过发现式、启发式、讨论式等先进的教学方法，才能调动幼儿的主动性、自觉性。
数学的定义是什么？数学的本质是什么？
数学的定义是什么？数学的本质是什么？数学的定义是什么？数学的本质是什么？⼀⼀百多年前，⼀位叫恩格斯的德国⼈给数学下了⼀个定义：数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。
我相信这个德国⼈在中国的知名度远远超过他在母国的知名度。
导师嘛！⾔归正传，我们今天谈的是数学，那么恩格斯的数学⽔平究竟如何呢，如何评价他给出的这个数学的定义呢？⼆从传记资料来看，恩格斯是⾃学过微积分的，但没有资料表明他学得有多深⼊。
从他对微积分的理解来看，他还是⾮常纠结微分，⽆穷⼩量等的⽭盾和逻辑问题，甚⾄想从辩证法的⾓度来解读这些东西。
很明显，他没有接触他那个时代正在轰轰烈烈开展的分析严格化运动，尤其是实数和极限理论。
也就是说，他对微积分的理解还停留在⽜顿，莱布尼茨时代。
所以他只能算是⼀个⽐较⾼级的数学爱好者！我们再来看看，恩格斯关于数学的定义：数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。
不可否认，这个定义确实很精练，概括了数学的数与形两个⽅⾯。
不过在恩格斯的时代，集合论，群论，Galois理论，各种结合代数理论等数学理论早已远远突破了数与形的狭⼩范围。
恩格斯作为⼀位⾼级的数学爱好者，不太可能指望他接触这些当时⽐较前沿的数学理论。
也就是说，这个关于数学的定义，其实在恩格斯那个时代，就已经过时了！三，今天，经过⼀百多年的发展，中间历经多次⾰命，运动和⾥程碑的突破发展，数学整门学科早已沧海桑⽥。
即使是现在的中学数学教育的内容，也已经突破了数与形的狭⼩范围。
令⼈觉得不可思议的是，到了今天，在国内，恩格斯的这个关于数学的定义还在被⾮常正式地使⽤。
⽐如⾼中新课标，第⼀句话就是数学是研究空间形式和数量关系的科学这是要拿这个完全过时的定义来开宗明义吗？四，有⼈可能会说，既然这个定义过时了，那你能否给出⼀个更好的定义。
这其实涉及到另⼀个问题：数学的本质是什么？要想给出⼀个关于数学的好的定义，⼀定要触及到数学的本质。
有⼈认为，数学是⼀套⼈为规定的语⾔、符号系统；有⼈认为，数学是关于推理的学科。
《高等学校工科基础课程教学基本要求》
《高等学校工科基础课程教学基本要求》一、前言数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学. 随着现代科学技术和数学科学的发展,“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延. 现代数学内容更加丰富, 方法更加综合, 应用更加广泛. 数学不仅是一种工具, 而且是一种思维模式; 不仅是一种知识, 而且是一种素养; 不仅是一种科学, 而且是一种文化, 能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志. 数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用.高等学校工科类专业本科生的数学基础课程应包括微积分、线性代数与空间解析、概率论与数理统计, 它们都是必修的重要基础理论课. 通过这些课程的学习, 应使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程、向量代数与空间解析几何、线性代数、概率论与数理统计等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能, 为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的连续量、离散量和随机量方面的数学基础. 在传授知识的同时, 要努力培养学生进行抽象思想和逻辑推理的理性思维能力, 综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力, 逐步培养学生的创新精神和创新能力.课程的教学基本要求, 是工科院校本科生学习本课程都应当达到的合格要求, 其中带*号的条目是为某些相关专业选用的, 也是对选用专业学生的基本要求. 各校根据本校的实际情况, 在达到基本要求的基础上, 还可以提出一些较高的或特殊的要求.各门课程的内容按教学要求的不同, 都分为两个层次. 文中用黑体字排印的内容, 应使学生深入领会和掌握, 并能熟练运用. 其中, 概念、理论用“理解”一词表述, 方法、运算用“掌握”一词表述. 非黑体字排印的内容, 也是必不可少的, 只是在教学要求上低于前者. 其中, 概念、理论用“了解”一词表述, 方法、运算用“会”或“了解”表述.基本要求中所列出的各项内容与要求是制订教学计划、教学大纲和编写教材的重要依据, 但不涉及课程体系的结构、教学内容的先后安排和编写教材的章节顺序.二、微积分课程教学基本要求(一) 函数、极限、连续1. 在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质(奇偶性、单调性、周期性和有界性)的了解.2. 理解复合函数的概念，了解反函数的概念.3. 会建立简单实际问题中的函数关系式.4. 理解极限的概念，了解极限ε-N，ε-δ定义(不要求学生做给出ε求N或δ)的习题.5. 掌握极限的有理运算法则, 会用变量代换求某些简单复合函数的极限.6. 了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性) 和两个存在准则(夹逼准则与单调有界准则) , 会用两个重要极限与求极限.7. 了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念, 会用等价无穷小求极限.8. 理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念.9. 了解函数间断点的概念, 会判别间断点的类型.10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理.(二) 一元函数微分学及其应用1. 理解导数的概念及其几何意义(不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题) , 了解函数的可导性与连续性之间的关系.2. 了解导数作为函数变化率的实际意义, 会用导数表达科学技术中一些量的变化率.3. 掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法, 掌握基本初等函数的导数公式.4. 理解解微分的概念, 了解微分概念中所包含的局部线性化思想, 了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性.5. 了解高阶导数的概念, 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法(不要求学生求函数的n阶导数的一般表达式).6. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数, 会解一些简单实际问题中的相关变化率问题.7. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理, 了解柯西(Cauchy)定理(对三个定理的分析证明不作要求, 并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧), 会用洛必达(L'Hospital)法则求不定式的极限.8. 了解泰勒(Taylor)定理以及用多项式逼近函数的思想(对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求).9. 理解函数的极值概念, 掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法. 会求解较简单的最大值与最小值的应用问题.10. 会用导数判断函数图形的凹凸性, 会求拐点, 会描绘一些简单函数的图形(包括水平和铅直渐近线).11. 了解曲率和曲率半径的概念, 会计算曲率和曲率半径.12. 了解求方程近似解的二分法和切线法的思想.(三) 一元函数积分法及其应用1. 理解定积分的概念和几何意义(对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求) , 了解定积分的性质和积分中值定理.2. 理解原函数与不定积分的概念, 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理, 掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式.3. 掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分部积分法(淡化特殊积分技巧的训练, 对于求有理函数积分的一般方法不作要求, 对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练).4. 掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法(微元法), 会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式.5. 了解两类反常积分及其收敛性的概念.6. 了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法) 的思想.(四) 多元函数微分学及其应用1. 理解二元函数的概念, 了解多元函数的概念.2. 了解二元函数的极限与连续性的概念, 了解有界闭区域上连续函数的性质.3. 理解二元函数偏导数与全微分的概念, 了解全微分存在的必要条件与充分条件.4. 了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法.5. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法.6. 掌握复合函数一阶偏导数的求法, 会求复合函数的二阶偏导数(对于求抽象复合函数的二阶导数, 只要求作简单训练).7. 会求隐函数(包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数) 的一阶偏导数(对求二阶偏导数不作要求).8. 了解曲线的切线和法平面以及曲面的线平面与法线, 并会求出它们的方程.9. 理解二元函数极值与条件极限的概念, 会求二元函数的极值, 了解求条件极值的拉格朗日乘数法, 会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题.(五) 多元函数微积分学的应用1. 理解二重积分的概念, 了解三重积分的概念, 了解重积分的性质.2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标) , 会计算简单的三重积分(直角坐标、柱面坐标、*球面坐标).3. 理解两类曲线积分的概念, 了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系, 会计算两类曲线积分(对于空间曲线积分的计算只作简单训练).4. 掌握格林(Green) 公式, 会使用平面线积分与路径无关的条件, 了解第二类平面线积分与路径无关的物理意义.5. 了解两类曲面积分的概念及其计算方法.6. 了解高斯(Gauss) 公式, 斯托克斯(Stokes)公式(斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求).*7. 了解场的基本概念, 了解散度、旋度的概念和某些特殊场(无源场、无旋场和调和场) , 会计算散度与旋度.8. 了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法(微元法) , 会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式.(六) 无穷级数1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念, 了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件.2. 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-级数的敛散性, 掌握正项级数批值审敛法.3. 了解交错级数的莱布尼兹定理, 会估计交错级数的截断误差. 了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系.4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念, 掌握简单幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性不作要求). 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(对求幂级数的和函数只要求作简单训练).5. 会利用，sin x, cos x, ln(1+x)与的马克劳林(Maclaurin) 展开式将一些简单的函数展开成幂级数.6. 了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想.7. 了解用三角函数逼近周期函数的思想, 了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirich let)条件, 会将定义在(-π,π) 和(-l, l)上的函数展开为傅里叶级数, 会将定义在(0, l)上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数.（七）常微分方程1. 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念.2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法.3. 会解齐次方程, 并从中领会用变量代换求解微分方程的思想.4. 会用降阶法求下列三种类型的高阶方程: ，，.5. 理解二阶线性微分方程解的结构.6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法, 了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法.7. 会求自由项形如，的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解, 其中为实系数n次多项式, α,β,A，B为实数.8. 会会通过建立微分方程模型, 解决一些简单的实际问题.三、线性代数与空间解析几何课程教学基本要求说明：在此次修订中, 考虑到线性代数与空间解析几何的内在联系, 我们将线性代数与空间解析几何作为一门课程, 但基本要求的具体内容还是相对独立的, 并且不要求所有学校都遵循这一模式. 将空间解析几何与线性代数分开授课的学校可根据基本要求中的空间解析几何部分的要求(即几何向量和空间曲线与曲面两章) 进行教学.(一) 行列式1. 了解行列式的定义.2. 掌握行列式的性质和行列式按行(列)展开的方法.3. 会计算简单的n阶行列式.(二) 矩阵1. 理解矩阵的概念.2. 了解单位矩阵, 数量矩阵、对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质.3. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则.4. 理解逆矩阵的概念. 掌握矩阵可逆的充要条件, 掌握可逆矩阵的性质.5. 掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法.6. 了解矩阵等价的概念.7. 理解矩阵秩的概念并掌握其求法.(三) 几何向量1. 理解空间直角坐标系, 理解向量的概念及其表示.2. 掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积), 了解两个向量垂直、平行的条件3. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法.4. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法, 会利用平面、直线的相互关系解决有关问题.(四) n维向量与向量空间1. 理解n维向量的概念.2. 理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念.3. 掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.4. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大线性无关组及秩.5. 了解n维向量空间、线性子空间、基底、维数、坐标等概念.*6. 了解基变换公式和坐标变换公式, 会求过渡矩阵.7. 了解内积的概念, 会用施密特(Schmidt)方法将线性无关的向量组标准正交化.8. 了解标准正交基、正交矩阵的概念及它们的性质.9. 了解线性变换的概念及其矩阵表示.(五) 线性方程组1. 了解克莱姆(Cramer)法则.2. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件.3. 理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念.4. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念.5. 掌握用行初等变换求线性方程组的通解的方法.(六) 矩阵的特征值与特征向量1. 理解矩阵的特征值与特征向量的概念, 会求矩阵的特征值与特征向量.2. 了解相似矩阵的概念和性质.3. 了解矩阵对角化的充要条件和对角化的方法.4. 会求实对称矩阵的相似对角形矩阵(七) 实二次型1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型的秩的概念.2. 了解合同变换和合同矩阵的概念.3. 了解实二次型的标准形式及其求法.4. 了解惯性定理(对定理的证明不作要求) 和实二次型的规范形.5. 了解正定二次型、正定矩阵的概念及它们的判别法.(八) 空间曲线与曲面1. 理解二次曲面方程的概念, 了解空间曲线方程的概念.2. 了解常用二次曲面的方程及其图形, 了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.3. 了解空间曲线的参数方程和一般方程.4. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影.*5. 了解二次曲面的分类.四、概率论与数理统计课程教学基本要求(一) 随机事件与概率1. 了解随机现象, 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件之间的关系与运算.2. 了解事件频率的概念, 理解概率的统计定义. 了解概率的古典定义, 会计算简单的古典概率3. 理解概率的公理化定义和概率的基本性质, 了解概率加法定理.4. 了解条件概率的概念、概率的乘法定理. 了解全概率公式, 会应用贝叶斯(Bayes)公式解决比较简单的问题.5. 理解事件的独立性概念.6. 了解贝努利(Bernoulli)概型和二项概率的计算方法.(二) 随机变量及其分布1. 理解随机变量的概念, 了解分布函数的概念和性质, 会计算与随机变量相联系的事件的概率.2. 理解离散型随机变量及其分布律的概念, 掌握0-1分布、二项分布和泊松(Poisson)分布.3. 理解解连续型随机变量及其密度函数的概念, 掌握正态分布, 了解均匀分布和指数分布.4. 会根据自变量的概率分布求简单随机变量函数的概率分布.(三) 多维随机变量及其分布1. 了解多维随机变量的概念, 了解二维随机变量的联合分布函数.2. 了解二维离散型随机变量的联合分布律的概念, 理解二维连续型随机变量的联合密度函数的概念.3. 理解二维随机变量的边缘分布.4. 理解随机变量的独立性概念.5. 会求两个独立随机变量简单函数的分布(和、差、商、极大、极小).(四) 随机变量的数字特征1. 理解随机变量数学期望与方差的概念, 掌握它们的性质与计算方法.2. 了解0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望与方差.3. 了解矩、协方差、相关系数的概念及其性质, 并会计算.(五) 大数定律和中心极限定理1. 了解切比雪夫(Чебышёв) 不等式、切比雪夫大数定律和贝努利大数定律, 了解贝努利大数定律与概率的统计定义、参数估计之间的关系.*2. 了解独立同分布的中心极限定理和棣莫弗(De moiver)-拉普拉斯(Laplace)中心极限定理.*3. 了解棣莫弗(De moiver)-拉普拉斯(Laplace)中心极限定理在实际问题中的应用.(六) 数理统计的基本概念1. 理解总体、个体、样本和统计量的概念.2. 了解直方图的作法.3. 理解样本均值、样本方差的概念, 掌握根据数据计算样本均值、样本方差的方法.4. 了解χ2分布，t分布，F分布的定义, 并会查表计算分位数.5. 了解正态总体的某些常用抽样分布, 如正态总体样本产生的标准正态分布χ2分布，t分布，F分布等.(七) 参数估计1. 理解点估计的概念, 了解矩估计法与极大似然估计法.2. 了解无偏性、有效性、一致性等估计量的评判标准.3. 理解区间估计的概念, 会求单个正态总体均值与方差的置信区间, 会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间.(八) 假设检验1. 理解假设检验的基本思想, 掌握假设检验的基本步骤, 了解假设检验可能产生的两类错误.2. 了解单个和两个正态总体均值与方差的假设检验.3. 了解总体分布假设的χ2检验法, 会应用该方法进行分布拟合优度检验.五、建议1. 在课程的教学过程中, 应当积极开展对教学内容与课程体系、教学方法与教学手段的改革, 认真总结经验, 并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来, 不断提高教学质量。
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学
科普天地第1页
数学是研究现实世界中数量关系和空间形
式的科学。
简单的说，就是研究数和形的科学。
生产和劳
动过程中，
即使是最
原始的民族，也知道简单的计数，并由手指或实物计数发展到用数字计数。
在中国，最迟在商代，既已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，既已出现完满的十进位制。
形的研究属于几何学
的范畴。
古代民族都具有形
的简单概念，并往往以图画
来表示，而图形之所以成为
数字对象是由于工具的制
作与测量的要求所促成的。
规矩以作圆方，中国古代大
禹治水时既已有规、矩、准、
绳等测量工具。
由于数学研究对象的
数量关系与空间形式都来
自现实世界，因而数学尽管
在形式上具有高度的抽象
性，而实质上总是扎根于现
实世界的。
生活实践与技术
需要始终是数学的真正源
泉，反过来，数学对改造世
界的实践又起着重要的，关
键性的作用。
理论上的丰富
提高与应用的广泛深入在
数学史上始终是相伴相生，
相互促进的。
μ=2cos 1
2
(a²＋β²)cos
1
2
(a²−β²)
在。
小学数学教学与儿童数学思维发展
小学数学教学与儿童数学思维的发展数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学，具有很强的概括性，抽象性，逻辑性。
在数学教学中，既要掌握数学学科的特点，更要适合儿童的心理发展。
因此，为了提高小学的质量，教师必须深入研究数学教学中有关的心理学问题，懂得数学教学与心理发展的关系。
一方面按照心理学的规律进行教学，不断提高教学，一方面要通过教学促进儿童的心理发展，更好地完成教学任务。
一、数学教学与思维发展数学教学是个复杂的思维过程。
学生要掌握教学的概念、法则和定理，必须通过一系列复杂的思维活动，应用所学概念进行符合逻辑的判断、推理。
所以学习数学要求具有一定的抽象逻辑思维能力，高度的想象力以及观察、注意、记忆等能力。
数学教学与心理发展有着密切关系。
要提高数学教学的质量与效果，不仅在于使学生深刻而牢固地掌握数学大纲所规定的系统的数学知识、技能和技巧，而且还在于使他们具备一定的数学素养和能力。
因此，在数学教学中，必须使学生形成一定的思维素质和合理的学习习惯，并发展他们的学习兴趣与才智。
在小学数学教学改革中，培养学生的数学思维，发展数学思维能力，是具有重要意义的。
二、数学思维发展的特征具有自己独有的特征：一方面它是由数学学科本身的特点，以及数学用以认识现实世界现象的研究方法所决定的；另一方面又表现为人们对具体的数学科学的认识。
数学思维发展的基本特征有以下几点：(一)思维的概括性也就是思维的广度，它是由数学具有概括性的特点所决定的。
思维的概括性指思维活动是一种概括的反映。
思维所反映的对象总是一类事物的共同本质和它们之间的规律性联系，它所把握的是一类现象，而不限于个别事物。
在数学教学中，思维的概括性还表现在学生能对所学数学知识进行归类和条理化，着眼于事物之间的联系，从多方面分析研究，找出问题本质，运用概括和类比的方法去解题。
正是由于思维具有概括性，就能指导学生举一反三，把在一种情况下学到的知识推广应用到其它场合。
比如让学生通过对同一问题不同方法的计算，得出乘法对加法的分配律，即a(b+c)=ab+ac,再运用定理计算出2.5×73＋2.5×27＝2.5×（73＋27）的结果，这就是他们数学思维概括性——思维广度的表现。
2019智慧树知到[文史哲与艺术中的数学]章节答案
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7.【单选题】这节课我们一共介绍了认识数学的（ ）种说法。
答案：13
8.【单选题】“科学家研究自然是因为爱自然，之所以爱自然是因为自然是美好的。”这是哪位数学家的说法（ ）
答案：庞加莱
[第二章测试]
1.【多选题】文学与数学分别来源于哪种思维方式（ ）
答案：艺术思维 科学思维
2.【单选题】文学与数学在思维上具有（ ）
答案：差异性
3.【单选题】“若···则···式”相当于（ ）
答案：如果……那么……
4.【单选题】数学当中的”11*11=121，111*111=12321”相当于文学作品中的（ ）形式
答案：回文
5.【单选题】“客上天然居，居然天上客”相当于数学中的什么形式（ ）
答案：12321
6.【单选题】“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”这句诗中蕴含着数学中的（ ）
答案：对称
7.【单选题】《论语 子路篇》第十三第三章中有这样一句话”名不正则言不顺，言不顺则事不成，事不成则礼乐不兴，礼乐不兴则刑罚不中，刑罚不中则民无所措手足，故君子名之必可言也，言之必可行也，君子于其言，无所苟而已矣。”这个句式中蕴含的句子结构与下面的那句是一致的（ ）
答案：若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等
答案：广泛的应用性
4.【单选题】这一节课我们谈到了数学的（ ）个特点
答案：3
5.【单选题】在（ ）年联合国宣布将这一年定为世界数学年，联合国教科文组织说纯粹的数学和应用数学是理解世界和发展的一股主要的力量，这体现的是数学的工具性，数学当中存在着简洁的美、和谐的美、对称的美，那么就有人讲学习数学的过程就是审美的过程，学习数学的过程能够使人们掌握判断善与美这样的能力从而又有了（ ）的说法。
智慧树知到《文史哲与艺术中的数学》2019章节测试答案
智慧树知到《文史哲与艺术中的数学》2019章节测试答案智慧树知到《文史哲与艺术中的数学》2019章节测试答案第1章单元测试1、“数学是研究现实世界中的空间形式和数量关系的科学。
”出自（）答案：恩格斯2、古希腊毕达哥拉斯学派认为万物皆数，这里的数指的是（）答案：有理数3、大数学家华罗庚先生有过这样的论述“宇宙之大，粒子之微，火箭之谜，化工之巧，日用之繁，无处不用数学。
”这体现了数学的什么性质？（）答案：广泛的应用性4、这一节课我们谈到了数学的（）个特点答案：35、在（）年联合国宣布将这一年定为世界数学年，联合国教科文组织说纯粹的数学和应用数学是理解世界和发展的一股主要的力量，这体现的是数学的工具性。
答案：20006、数学本身也是一种美，数学当中存在着简洁的美、和谐的美、对称的美，那么就有人讲学习数学的过程就是审美的过程，学习数学的过程能够使人们掌握判断善与美这样的能力从而又有了（）的说法。
答案：数学审美说7、这节课我们一共介绍了认识数学的（）种说法。
答案：138、“科学家研究自然是因为爱自然，之所以爱自然是因为自然是美好的。
”这是哪位数学家的说法（）答案：庞加莱第2章单元测试1、文学与数学分别来源于哪种思维方式（）答案：艺术思维、科学思维2、文学与数学在思维上具有（）答案：差异性3、“若···则···式”相当于（）答案：如果··那么··4、数学当中的”1111=121，111111=12321”相当于文学作品中的（）形式答案：回文5、“客上天然居，居然天上客”相当于数学中的什么形式（）答案：123216、“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”这句诗中蕴含着数学中的（）答案：对称7、《论语子路篇》第十三第三章中有这样一句话” 名不正则言不顺，言不顺则事不成，事不成则礼乐不兴，礼乐不兴则刑罚不中，刑罚不中则民无所措手足，故君子名之必可言也，言之必可行也，君子于其言，无所苟而已矣。
数学是一门研究现实世界的数量关系和空间形式的科学它
数学是一门研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，它具有思维性强，逻辑推理严密，内容比较抽象等特点。
对于小学生来说，他们渴望学习知识，但其学习受情绪影响很明显，极易被感兴趣的、新颖的内容所吸引，在农村小学数学课堂教学中如何提高学生的学习兴趣呢？结合本人的教学经验，谈一谈自己粗浅的看法。
一、创设情境激发兴趣教学中单调、固定的教学模式，会使学生感到枯燥无味，课堂气氛沉闷，会造成学生心理上厌倦，教学质量难以提高，想要扭转这种局面，结合教学的具体内容，合理运用情景教学是一个好方法。
小学生是以好动，爱玩为天性，在学习上以直观形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡，并且集中注意力的时间较短，容易被新奇的刺激吸引。
因此，我们在创设快乐教学情境时，要掌握这些特点，只有明确学生在学习上的心理需求，才能使教学设计化消极因素为积极因素，让学生获得知识的同时感受到成功的喜悦，通过教学中非智力因素的激发使学生体验求知的乐趣。
从而使数学教学寓教于乐，寓学于趣，减轻负担，提高效率。
情景教学随着改革大潮进入课堂教学，通过教师调动学生，创造各种情景，激发学生的主动性和创造性，让课堂在情在景中扩大，幻化成教学内容的各种意境。
教学中一但出现“心有灵犀一点通”的局面，就具有很强的凝聚力、吸引力和感染力。
发挥好数学教学中的情景效应，不仅对激发学生的求知欲望，增强学生的学习兴趣，发展学生的智力能力具有重要的作用，而且对促进素质教育的深入发展，提高教学质量产生积极的影响。
例如;创设故事情境激发兴趣。
学生爱听故事，将数学知识溶入趣味性的故事之中，最能引起学生的注意。
采用这种方式，学生的情感最投入，积极性也容易被调动起来。
学生在情境活动中不知不觉地地进入数学王国，享受数学知识的乐趣。
再如：创设问题情境激发兴趣，问题是数学的心脏，问题对数学学习起着决定性的作用，它决定了思维的方向，也是思维的动因。
二、优化练习设计激发兴趣要使课堂练习达到优化，必须正确处理课本、例题、习题、补充题之间的关系。
(完整版)小学数学教学论整理
小学数学教学论绪论1、定义：数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的一门科学。
2、数学的特点：抽象性、严谨性、广泛的应用性。
3、数学的研究对象：数学科学是一门撇开内容而只研究形式和关系的科学，而且首先主要是研究数量的和空间的关系及其形式。
4、数学的发展过程：五个时期：萌芽时期、初等数学时期、变量数学时期、近代数学时期、现代数学时期5、小学数学学科与数学科学的异同点：相同点：（1）小学数学学科的许多内容与数学科学有密切的关系。
（2）小学数学学科源于数学科学，遵循数学自身的科学性，同数学科学有相似之处。
不同点：（1）从知识体系看，作为科学的数学，是一个完整的、独立于任何人的任何知识结构而存在的、特定的知识和思想体系。
而作为教育的数学，则是一个经过人为的加工和提炼的、依据某一特殊人群的特殊需要和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系；（2）从数学活动看，作为科学的数学，是一类专门的人的一个完全独立的探索、发现与创造的活动过程，而作为教育的数学，则是一类专门的人在某些专门的人的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的活动过程；（3）从对象特征看，作为科学的数学，其对象是一个完全由符号、概念和规则等构成的和完全开放的逻辑结构系统，而作为教育的数学，其对象则是含有经验、直观的和几乎是封闭的逻辑结构系统；（4）从活动的目的看，作为科学的数学活动，是为了获得发现和创造数学，而作为教育的数学活动，是为了“接受”已经发现和创造的数学。
6、解放后我国小学数学教学大纲修改的概况，几个教学大纲教学目的异同。
（与第一章第4个重合）（1）新中国成立初期。
1950年颁布《小学算术课程暂行标准（草案）》1952年《小学算术教学大纲（草案）》（2）“大跃进”前后。
1956年《小学算术教学大纲（修订草案）》1963年颁布《全日制小学算术教学大纲（草案）》（3）“文革”时期。
1963年《全日制小学算术教学大纲（草案）》，（4）“文革”后恢复和发展。
2024年初二数学校本课程教学计划
2024年初二数学校本课程教学计划一、课程性质、目的和任务数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学，具有抽象性、广泛应用性、结论的确定性和逻辑推理的严谨性。
通过本阶段的学习，使学生更好地理解数学的基本概念、基本理论和基本技能，掌握数学的思想和方法，提高数学素养，培养创新意识和应用能力。
初中数学课程是义务教育的一门主要课程，是公民必须掌握的数学科学的基础知识和基本技能，是一门集知识性、应用性及思想性于一体的基础学科。
二、教学内容本学期学习人教版八年级数学上下册，通过学习使学生掌握实数的有关概念和运算法则、整式的乘法运算、因式分解的方法和公式、分式的概念和分式的基本性质、分式的约分方法、根式的概念和运算法则、三角形的基本概念、基本性质和三角形内角和定理等。
三、教学目标通过本学期的教学，学生应达到以下要求：1. 理解负数的意义，掌握有理数的加、减、乘、除运算法则；掌握实数的运算和估算方法；会进行分式加减法和乘除运算；掌握因式分解的方法和公式；掌握解一元一次方程的方法和步骤。
2. 掌握整式运算和乘法公式的方法和步骤；会进行三角形三边关系的判断；掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质定理；掌握全等三角形的性质定理和判定定理；掌握轴对称图形的性质定理。
3. 培养学生的观察能力、抽象能力、概括能力和推理能力，培养他们的自学能力和创新意识。
4. 形成对数学的兴趣和爱好，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成用数学的意识。
四、教学措施1. 认真研读新课程标准，钻研教材，精选习题，精心备课，做好四备，确定教学目标。
2. 注重课堂教学效果，针对学生实际设计教学方案，课堂上注重师生互动。
3. 积极调动学生的学习兴趣，特别对基础差的学生注意做到因材施教，培养其学习的兴趣和自信心。
4. 做好课后辅导工作，注意分层教学。
在课后对不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求。
5. 认真及时批改作业，注意听取学生的意见，及时了解学生的学习情况，并有目的的对学生进行辅导。
数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式
数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学．它的产生和许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其它相应学科的需要密切相关的．同时，数学作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展．17世纪伟大的科学家牛顿在研究力学的过程中发明了近代数学最重要的成果之一一微积分，并以微积分为工具推导了著名的力学定律一万有引力定律．这一成就是科学发展史上成功地建立数学模型的范例．数学的特点不仅在于它的概念的抽象性、逻辑的严密性和结论的确定性，而且在于它的应用的广泛性．进入20世纪以来，数学的应用不仅在它的传统领域——所谓物理领域（诸如力学、电学等学科及机电、土木、冶金等工程技术）继续取得许多重要进展，而且迅速进入了一些新领域——所谓非物理领域（诸如经刘、交通、人口、生态、医学、社会等领域），产生了如数量经济学、数学生态学等边缘学科．马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”．*可以认为数学在各门科学中被应用的水平，标志着这门科学发展的水平．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济活动到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．分析：通常指定量研究现实对象的某种现象，或定量描述某种特性．例如研究不同种群的生物在同一自然环境下生存时，相互竞争和依存的现象；描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效．预报：一般是根据对象的固有特性预测当时间或环境变化时对象的发展规律人口预报、天气预报以及传染病蔓延高潮时刻的预报可以作为这方面的例子．决策：其含义很广，譬如根据对象满足的规律作出使某个数量指标达到最优的决策．使经济效益最大的价格策略．使总费用最少的设备维修方案都是这类决策．控制：一般指根据对象的特征和某些指标给出尽可能满意的控制方案．例如化工生产过程中温度和流量的控制，利用红绿灯对交通流进行控制等．建立数学模型的全过程前面的般行问题大致描述了用建模方法解决实际问题的途径．一般说来这一过程可以分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，如图1－1所示．图1－1 现实对象和数学模型的关系表述（Formulation）是指根据建模的目的和掌握的信息（如数据、现象），将实际问题，用数学语言确切地表述出来．求解（Interpretation）是指把数学语言表述的解答翻译回现实对象，给出实际问题的解答．验证（V erification）是指用现实对象的信息检验得到的解答．以确认结果的正确性．表述属于归纳法，求解属于演绎法．归纳是依据个别现象推断一般规律，演绎则是按照一般原理考察特定对象，导出结论．因为任何事物的本质都要通过现象来反映，必然要透过偶然来表露，所以正确的归纳不是主观、盲目的，而是有客观基础的，但也往往是不精细的，带感性的，不易直接检验其正确性．演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象、作出科学预见具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只能在这个前提下保证其正确性．因此归纳与演绎是一个辩证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导］．图1－1揭示了现实对象和数学模型的关系．数学模型是将现实对象的信息加以翻译、归纳的产物，它源于现实，又高于现实，因为它用精确的语言表述了对象的内在特性．数学模型经过求解、演绎，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、预报、决策、控制的结果．最后，这些结果必须经受实际的检验，完成实践—理论—实践这一循环．如果检验结果正确或基本正确，就可以用来指导实际，否则应重复上述过程．。
数形结合研究的背景及意义
数学学习与研究2016.16【摘要】数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学,数是形的抽象概括,形是数的直观表现.数形结合的思想就是运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,使抽象思维和想象思维结合,通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法.【关键词】数学思想;数形结合一、问题研究的背景数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象,而数和形是相互联系的,也是可以相互转化的.把问题的数量关系与空间形式结合起来考察,或者把数量关系转化成图形的性质问题,或者把图形的性质转化成数量关系问题,这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法.早在数学萌芽时期,人们在度量长度、面积和体积的过程中,就把数和形联系起来了.我国宋元时期,系统地引进了几何问题代数化的方法,用代数式描述某些几何特征,把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系.17世纪上半叶,法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁,在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系,用代数方法研究几何问题,从而创立了解析几何学.后来,几何学中许多长期不能解决的问题,例如三等分任意角、化圆为方等问题,最终也借助于代数方法得到了完满的解决.即使在近代和现代数学的研究中,几何问题的代数化也是一条重要的方法原则,有着广泛的应用.“数形结合”是一种重要的数学思想,也是一种智慧的数学方法.我们在研究抽象的“数”的时候,往往要借助于直观的“形”,在探讨“形”的性质时,又往往离不开“数”.通过“数”与“形”的结合,我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻.“数形结合”的应用大致又可分为两种情形:第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形过于简单,直接观察却看不出什么规律来,这时就需要给图形赋值,如边长、角度,等等.“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形,可避免繁杂的计算,获得出奇制胜的解法.沟通数与形的内在联系,不仅使几何学获得了代数化的有力工具,也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性,在数学解题中,运用数形结合思想,就是根据问题的具体情形,或者把图形性质问题转化成数量关系来研究,后者把数量关系问题转化成图形性质来研究,以便以数助形或以形助数,使问题简单化、抽象问题具体化.二、问题研究的意义数学学习,不单纯是数的计算与形的研究,其中贯穿始终的是数学思想和数学方法.在中学数学里所接触到的一些思想方法中,数形结合的思想方法无疑是比较重要的一种.数形结合是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合.三、数形结合思想在中学数学教学中的地位(一)数形结合思想在中学数学教学中的研究意义及作用数形结合思想在中学数学教学中有着重要的研究意义.教学中运用形象记忆的特点,使抽象的数学尽可能地形象化,这样对学生输入的数学信息和印象就更加深刻,在学生的脑海中形成了数学的模型,可以形象地帮助学生理解和记忆.例如:在研究函数时,可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点,像函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性以及凹凸性等.数形结合思想有利于培养学生的发散思维能力.发散思维是从同一来源的材料或同一个问题中探求不同思路和方法的思维过程,其思维方向是从不同视角、不同方面研究同一个问题.(二)数形结合思想解决的问题数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一,应用数形结合的思想,可以解决以下问题:(1)解决集合问题:在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了.(2)解决函数问题:借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法.函数图像的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法.(3)解决方程与不等式的问题:处理方程问题时,把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题.处理不等式时,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形上找出解题的思路.(4)解决三角函数问题:有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题,一般借助于单位圆或三角函数图像来处理,数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.(5)解决线性规划问题:线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.(6)解决数列问题:数列是一种特殊的函数,数列的通项公式以及前项和公式可以看作关于正整数的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析,从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.(7)解决向量问题:向量是沟通代数与几何的桥梁.(8)解决解析几何问题:解析几何的基本思想就是数形结合,在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中.(9)解决立体几何问题:立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究,可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算.数形结合研究的背景及意义◎王彩琴(西北师范大学教育技术学院,甘肃兰州730000;甘肃机电职业技术学院,甘肃天水741001). All Rights Reserved.。
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数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学,数和形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法。
华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好,隔裂分家万事休。
”
数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面,高中阶段用的较多的是以形助数,高考中时有出现,在选择、填空题的解答中更能体现其优越性,近年在解答题中也加重了对数形结合的考查。
本文仅就以形助数解决代数问题做粗略的探讨。
在代数问题的解决中,许多数量关系的抽象概念和解析式,若赋予其几何意义,往往变得非常直观形象,从而使问题简单化,达到事半功倍优化解题途径的目的,这种“数”与“形”的信息转换,相互渗透,不仅可以使一些题目的解决简捷明快,同时还可以大大开拓我们的解题思路。
1．以形助数解决代数问题的途径:
1.1 通过坐标系。
如直角坐标系中,由可联想到两点连线的斜率。
由可想到两点间距离。
复平面中为复数所对应的两点间的距离。
1.2 转化。
把正数a看成距离,(或ab)看成面积,或(abc)看成体积,
看成勾股定理,与余弦定理相联系。
1.3 构造。
构造一个几何图形,或构造函数.
2、以形助数解决的几类问题
2.1 以形助数求最值
例1：求函数的最大值和最小值
分析：如图1，本题是求三角函数的最值，现联想在直角坐标平面xoy上，引入点P(3,2)，
Q(2cos ,sin)则Q点的轨迹是椭圆: ,而y是直线PQ的斜率，由图知直线PQ和椭圆相切时斜率取得最大和最小值，于是三角函数问题在平面解析几何中得到解决。
解：设直线的方程为:
即:
由相切的充要条件得
解得
∴
2.2 以形助数求方程解的个数。
例2：当时,关于的方程有几个实根?
分析：如图2，令。
则方程的实根个数等价于方程组
的解的个数。
方程（2）可化为（），它表示两条抛物线的上半支，故只要求出射线与它们的交点个数即可。
易知交点有三个。
故当时,关于的方程有三个实根。
此类题目若用代数法求解非常繁杂，而用解析法却如此简单，其关键还是曲线与直线方程的构造及曲线与直线关系的应用较为直观、简便。
2.3 以形助数解、证不等式。
例3 设，求证：
分析：如图3，在直角坐标系中，构造单位正方形，四顶点分别为
，由于，因此可在正方形内任取一点
，于是这一看似与几何图形不相关的问题的就转化为证明点M到正方形四顶点的距
离之和不小于的问题。
证明：，
而
又∵ ，
∴
即
其中当M取对角线交点时等号成立。
2.4 以形助数求参数的范围。
例4.如果函数在区间上是减函数,那么实数a的取值范围是( )
(A)a≥-3 (B)a≤-3 (C)a≤5(D)a≥3
[分析及解] 如图4 可画出f(x)的草图,对称轴为,开口向上,若使函数
在上是减函数,则区间在对称轴的左侧,即≤,∴≤-3.选B.
此题若不结合图形,只是按单调性的概念理解,则需利用单调性的定义去证,求解过程繁琐,特别对于一道选择题,就得不偿失了。
2.5 以形助数求代数式的值。
例6：求的值.
[分析及解]如图5，本题结构与余弦定理形式相似,联想构造三角形用余弦定理来解。
∵且则以为内角构造一个三
角形.设角的对边分别为外接圆半径为R,则
由余弦定理,得
+化简。