四年级奥数《高斯求和》答案及解析

高斯求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：

（1）1，2，3，4，5， (100)

（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)

其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？

分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例2 11＋12＋13＋…＋31＝？

分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷公差+1，

末项=首项+公差×（项数-1）。

例3 3＋7＋11＋…＋99＝？

分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，

项数=（99－3）÷4＋1＝25，

原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

解：末项=25＋3×（40-1）＝142，

和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：

由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数

也成等差数列。

解：（1）最大三角形面积为

（1＋3＋5＋…＋15）×12

＝［（1＋15）×8÷2］×12

＝768（厘米2）。

2）火柴棍的数目为

3＋6＋9+…+24

＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。

例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？

分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了

2×1＋2×2＋…＋2×10

＝2×（1＋2＋ (10)

＝2×55＝110（只）。

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

综合列式为：

（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3

＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

练习

1.计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋ (200)

解：项数=（末项-首项）÷公差+1=（200-2）÷2+1=1

和=（首项+末项）×项数÷2，

所以2＋4＋6＋…＋200=（2+200）×100÷2=10100

（2）17＋19＋21＋ (39)

解：项数=（末项-首项）÷公差+1=（39-17）÷2+1=12

和=（首项+末项）×项数÷2，

所以17＋19＋21＋…＋39=（17+39）×12÷2=336

（3）5＋8＋11＋14＋ (50)

解：项数=（末项-首项）÷公差+1=（50-5）÷3+1=16

和=（首项+末项）×项数÷2，

所以5＋8＋11＋14＋…＋50=（5+50）×16÷2=24200

（4）3＋10＋17＋24＋ (101)

解：项数=（末项-首项）÷公差+1=（101-3）÷7+1=15

和=（首项+末项）×项数÷2，

所以3＋10＋17＋24＋…＋101=（3+101）×15÷2=780

2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

解：项数=（末项-首项）÷公差+1=（93-5）÷4+1=23

所以，和=（首项+末项）×项数÷2=（5+93）×23÷2=1127

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

解：末项=首项+公差×（项数-1）=13+5×（30-1）=158

所以，和=（首项+末项）×项数÷2=（13+158）×30÷2=2565

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？

解：有题可知，时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，时钟整点敲打的次数构成了首项为1，末项为12，公差为1的等差数列：1，2，3，4，5， (12)

那么时钟每小时整点敲打的次数的和=（首项+末项）×项数÷2=（1+12）×12÷2=78；

因为每半点钟也敲一下，所以半点钟敲打总次数为12，所以时钟每小时共敲打78+12=90次；所以时钟一昼夜敲打次数为90×24=2160

5.求100以内除以3余2的所有数的和。

解：100以内除以3余2的数有，（1×3+2），（2×3+2），（3×3+2），…（32×3+2）；构成了首项为5，末项为98，公差为3的等差数列，

因为，项数=（末项-首项）÷公差+1=（98-5）÷3+1=32

所以，和=（首项+末项）×项数÷2=（5+98）×32÷2=1648

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

解：十位数比个位数大的数中，十位数为10的有1个：10；十位数为2的有2个：20,21；十位数为3的有：30,31,32；十位数为4的有4个：0,41,42,43；以此类推，十位数为9的有9个：90,91,92,93,94,95,96,97,98。因此则构成了首项为1，末项为9，公差为1的等差数列。

因为和=（首项+末项）×项数÷2=（1+9）×9÷2=45

所以十位数比个位数大的数共有45个。