第六章几何变换
七年级上数学五六章知识点
七年级上数学五六章知识点在七年级上数学中，五六章是一个非常重要的学习阶段。
本篇文章将为读者详细介绍这两章的知识点。
第五章：数与代数1.正数、负数和零在这一章中，同学们需要了解正数、负数和零这三个概念。
在日常生活中，我们经常会遇到这些数字。
比如，气温超过0度为正数，低于0度为负数，等于0度为零。
同时，在数学中，这三个数字也有着非常重要的地位。
2.代数式代数式主要是指包含数字、字母、运算符等成分的表达式。
在学习代数式时，同学们需要了解如何对其进行加、减、乘和除等运算。
同时，在计算代数式时，同学们还需要学习化简和因式分解等方法。
3.方程方程是指包含未知数的等式。
在学习方程时，同学们需要了解如何求解未知数的具体方法，比如利用加减消元、代入法等等。
第六章：图形的认识1.图形的种类这一章主要介绍了一些基础的图形，包括三角形、四边形、圆形等。
同时，同学们还需要了解如何对这些图形进行分类和比较。
2.几何变换几何变换是指对图形进行平移、旋转、翻折等变换。
在学习几何变换时，同学们需要了解如何将图形变换到指定位置，并且可以通过一些特殊方法来快速计算出变换后的图形。
3.坐标系坐标系是指在二维平面上建立的一个直角坐标系。
在学习坐标系时，同学们需要了解如何利用坐标来确定图形在平面上的位置，并且可以通过一些特殊的坐标表示方法来简化计算过程。
总结：以上就是七年级数学五六章的知识点了。
同学们在学习这些知识时，需要认真听讲，积极完成课堂作业，并且多做练习题。
只有这样才能够掌握这些知识点，更好地应对数学考试。
线性变换的定义
第六章 线性变换
6.1 线性变换的定义
授课题目： 6.1 线性变换的定义 授课时数：4学时 教学目标：理解线性变换的概念，掌
握线性变换的基本性质 教学重点：线性变换的基本性质 教学难点：线性变换的象与核的求法
一. 定义及例子
1.两个实例 例1 在二维几何空
间V
中，令σ 是将
2
每个向量旋转角φ
的一个旋转变换
（见图6.1）
图 6.1
容易看出：对任意向量α,β及实数 k 均有
σ(α+β)＝σ(α)+σ(β)
σ(kα)＝kσ(α)
例2 在 V 3 中对平面H
的正投影变换
（图6.2）
线性变换，叫做C[a, b]的积分变换.
二. 线性变换的基本性质 1) 线性变换σ把零向量变成零向量；
把任一向量α的负向量-α变成α的象 σ(α)的负向量-σ(α).
证 任取一向量α，有 σ(0)＝σ(0α)＝0σ(α)＝0．
σ(α)+σ(-α)＝σ(α-α)＝σ(0)＝0， 所以σ(-α)＝-σ(α)
σ(α)= (1,3,0,)σ(β)= (4,6,,0) σ(α)+σ(β)= (5,1,0而,0σ)(α+β)=
, (9,9,0)
σ(α+β) ____≠σ(α)+σ(β).
例4 在Mn(F)中, 对任意的n阶方阵X, 规定 σ(X)=AXB，其中A和B为F上两个固定的 方阵. 由于：
1）对任意的X、Y∈Mn(F)，则有σ(X+Y) = A(X+Y)B =AXB+AYB =σ(X)+ σ(Y) ; 2)对任意的k∈F，有σ(kX)= A(kX)B = k(AXB) = kσ(X) ． 所以,σ是 Mn(F )的一个线性变换.
计算机图形学6(陈永强)
Y
X (e)关于x=-y对称
X (d)关于x=y对称
11
基本几何变换——对称变换
(1)关于x轴对称
Y
1a 0 b 0 1 c d m 0l 0
0 p 0 q s 1
P(x,y) X P'(x,-y)
图6-5 关于x轴对称
12
基本几何变换——对称变换
24
复合变换——二维复合旋转
cos1 sin 1 0 cos 2 Tr Tr1 Tr 2 sin 1 cos1 0 sin 2 0 1 0 0 cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin(1 2 ) cos(1 2 ) 0 0 0 1 sin 2 cos 2 0 0 0 1
1 b 0 c 1 0 0 0 1
(3)两个方向错切
18
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=P*T的形式。 1. 点的变换
x'
y ' 1 x
a b y 1 c d l m
p q r
19
二维图形几何变换的计算
2. 直线的变换
0 cos 0 0 0 1
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
26
6.3.5相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变 换过程为： (1) 平移； (2) 针对原点进行二维几何变换； (3) 反平移。
27
相对任一参考点的二维几何变换
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
北师大地理信息系统原理与应用课件第6章 几何变换
第三步——用估算系 数和变换方程，计算 数字化地图的要素或 影像像元的x，y坐标， 这一步也称之为纠正。
REC
地理信息系统
仿射变换的原理
X = Ax+By+C Y = Dx+Ey+F
x、y 是输入坐标 X、Y是输出坐标 A, B, C, D, E, F是转换系数
地理信息系统
第六章 几何变换
• 为使数字化地图可用，必须对其进行几何变换，只有 经过几何变换，新的数字化地图才能与其他图层匹配。 • 卫星遥感数据也需要通过几何变换转换到投影坐标系统， 还可以纠正几何误差。
几何变换（ Geometric Transformations ） ：利用一系列 控制点和转换方程式在投影坐标上配准数字化地图、卫星图 像或航空像片的过程。
解算：最少3对数据（控制点），一般大于等于4对数据（控制点）， 采用最小二乘法。
REC
地理信息系统
仿射变换中控制点的选择
仿射变换使用的系数是由转换数字化地图或卫星影像 的一系列控制点推出的，因此控制点的选择直接影响变换 的结果，通常运用4个以上的控制点，减少测量误差的错 误，同时可以运用最小二乘法。控制点选择后将它们与地 图要素一起进行数字化生成数字化地图。
REC
地理信息系统
一、几何变换
地图到地图的变换 Map-to-Map Transformation
刚数字化完毕的地图转换到投影坐标的几何变换过程
图像到地图的变换 Image-to-Map Transformation
把卫星影像的行和列转变为投影坐标பைடு நூலகம்
REC
地理信息系统
➢ 几何变换的方法
高等几何(第六章)
0 0
二阶曲线 秩为2
（实、虚、平行、相交、普通直 线、无穷远直线等5种情况）
秩为1
一对重合的普通直线：x12
0
一对重合的无穷远直线：x32 0
5 11
§4 二次曲线的度量性质
➢我们在引入了复元素的仿射平面上讨 论二次曲线的度量性质。
➢在讨论二次曲线的仿射性质时，仿射 不变图形无穷远直线起了至关重要的作 用，那么正交变换下保持不变的元素除 了无穷远直线外还有什么？
➢为什么要讨论圆点呢？ ➢定理4.2 正交变换保持圆点不变。
x'
y'
x x
cos sin
y y
sin cos
a13 a23
或
x' y'
x cos -x sin -
y y
sin cos
a13 a23
前者I(1,i,0)，J(1,-i,0)保持不变， 后者I(1,i,0)，J(1,-i,0)分别变为J，I.
➢定理2.1 双曲线、椭圆各有唯一的中 心，且为普通点，抛物线的中心为无穷 远点。
二次曲线的中心坐标：
A11 A12
A21 A22
A31 0 A31 A32 0 A32
A13 A23 A33 1 A33
➢例1. 判定二次曲线：x12-2x1x2+x222x1x3+x2x3-x32=0的类型，并求出它的 中心。
直径与共轭直径的关系是相互的。
一直径的方向与该直径的共轭直径的方向(该直 径的极点的方向)称为一对共轭方向。注意抛物线 的情形。
例：过一直径两端点的切线平行于该直径的共轭 直径。
P
✓过一直径两端点的切线的交点为该直径 的极点即为一个无穷远点。
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
数字图像处理课件第6章图像的几何变换
x Hx H
y Hy H
第6章 图像的几何变换
齐次坐标的几何意义相当于点(x, y)落在3D空间H＝1
的平面上，如图6-2所示。如果将xOy平面内的三角形abc的 各顶点表示成齐次坐标(xi, yi, 1)(i=1, 2, 3)的形式，就变成H ＝1平面内的三角形a1b1c1的各顶点。
图6-2 齐次坐标的几何意义
第6章 图像的几何变换
齐次坐标在2D图像几何变换中的另一个应用是：如某 点S(60 000，40 000)在16位计算机上表示，由于大于32767 的最大坐标值，需要进行复杂的处理操作。但如果把S的坐 标形式变成(Hx, Hy, H)形式的齐次坐标，则情况就不同了。 在齐次坐标系中，设H＝1/2，则S(60 000，40 000)的齐次坐 标为(x/2，y/2，1/2)，那么所要表示的点变为(30 000， 20 000，1/2)，此点显然在16位计算机上二进制数所能表示 的范围之内。
(图像上各点的新齐次坐标)
(图像上各点的原齐次坐标)
第6章 图像的几何变换 设变换矩阵T为
a b p
T c
d
q
l m s
则上述变换可以用公式表示为
=
T
Hx1' Hy1'
Hx2' Hy2'
Hxn' Hyn'
x1 x2 xn
T
y1
y2
yn
H H H 3n
1 1 1 3n
第6章 图像的几何变换
6.4 图像镜像
6.4.1 图像镜像变换 图像的镜像(Mirror)变换不改变图像的形状。 镜像变换分为两种：一种是水平镜像，另外一种是垂直镜
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。
2. 掌握几何图形的性质和相互关系。
3. 理解几何变换的基本原理。
教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。
2. 几何图形的性质和相互关系。
3. 几何变换的基本原理。
教学步骤：1. 引入高等几何的概念，引导学生思考几何图形的性质和相互关系。
2. 讲解几何图形的性质和相互关系，举例说明。
3. 介绍几何变换的基本原理，解释其应用。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解高等几何的基本概念和性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示几何图形的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对几何变换的理解。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对高等几何概念的理解。
2. 课后作业，评估学生对几何图形性质和相互关系的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对几何变换的应用能力。
课后答案：1. 高等几何是研究几何图形的性质、相互关系和几何变换的学科。
2. 几何图形包括点、线、面及其相关性质。
3. 几何变换包括平移、旋转、反射等，它们可以改变几何图形的形状和位置。
教案章节：第二章直线与平面教学目标：1. 掌握直线的性质和方程。
2. 理解平面的性质和方程。
3. 学会利用直线和平面解决几何问题。
教学内容：1. 直线的性质和方程。
2. 平面的性质和方程。
3. 直线与平面的相互关系。
教学步骤：1. 讲解直线的性质和方程，举例说明。
2. 介绍平面的性质和方程，解释其应用。
3. 分析直线与平面的相互关系，引导学生思考。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解直线和平面的性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示直线与平面的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对直线与平面几何问题的解决能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对直线性质的理解。
2. 课后作业，评估学生对平面方程的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对直线与平面几何问题的解决能力。
课后答案：1. 直线的性质包括方向、斜率、截距等，直线的方程可以表示为y = kx + b。
部编版七年级数学上册第六几何图形初步《几何图形》(点、线、面、体)PPT课件
（1）
（2）
（3）
（4）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（5）
解：（1）（2）的各个面是平的， （3）（5）的底面是平的，其余的面是曲的， （4）的面是曲的.
4. 如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕顶点旋转， 可以得出下面的平面图形，把有对应关系的线与平面图形 用线连起来.
5. 如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立 体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来.
02
情境导入
情境导入
立体图形 下图中有哪些你熟悉的几何图形？
平面图形
圆
圆
柱
构成几何图形的元素是什么？
长
正
方
方
形
体
推进新课
知识点一 点、线、面、体
探究1：观察下列实物，从它们的外形中可以抽象 出什么立体图形？
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是
几何体.几何体也简称体.
探究2：包围着体的是什么？ 平面
部编版七年级数学上册课件
几何图形
（点、线、面、体）
第六章 几何图形初步
汇报人：XXX
01 学 习 目 标
目
02 情 境 导 入
录
03 随 堂 练 习
04 布 置 作 业
01
学习目标
学习目标
1.通过具体的实物和抽象的模型，了解几何体、平 面和曲面、直线和曲线、点等概念； 2.了解几何图形都是由点、线、面、体组成的，能 正确判断由点、线、面经过运动变化形成的简单 的几何图形； 3.通过点、线、面、体的变化过程，渗透转化、化 归、变换的思想.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2.长方形的长和宽分别为 4 cm，3 cm，以
河南王朝霞7年级上册数学答案2022秋季北师大版
河南王朝霞7年级上册数学答案2022秋季北师大版河南王朝霞7年级上册数学答案2022秋季北师大版1. 第一章有理数1.1 有理数的概念及表示1.1.1 有理数的定义1.1.2 有理数的表达式及其意义1.1.3 有理数的基本性质1.2 有理数的运算1.2.1 有理数的加减1.2.2 有理数的乘除1.2.3 有理数的混合运算1.3 有关数学问题1.3.1 有理数的应用1.3.2 有理数的实际应用1.3.3 有理数运算在生活中的应用2. 第二章整式与多项式2.1 整式的概念及运算2.1.1 整式的定义2.1.2 整式的加减法2.1.3 整式的乘法2.2 多项式的概念及运算2.2.1 多项式的定义2.2.2 多项式的加减法2.2.3 多项式的乘法2.2.4 多项式的实际应用2.3 整式与多项式的因式分解2.3.1 整式的因式分解2.3.2 多项式的因式分解2.3.3 已知因式分解求整式或多项式3. 第三章图形的基本认识3.1 平面直角坐标系3.1.1 平面直角坐标系的概念3.1.2 坐标系统3.1.3 平面直角坐标系的性质3.1.4 平面直角坐标系中的点3.1.5 平面直角坐标系中的图形3.2 图形的基本概念3.2.1 点、线、面的概念及表示3.2.2 直线、射线、线段、角、面的概念及表示3.2.3 图形的分类3.3 图形的性质3.3.1 图形的对称性3.3.2 图形的旋转、平移、镜像3.3.3 图形的相似性与全等性4. 第四章勾股定理4.1 直角三角形4.1.1 直角三角形的概念及性质4.1.2 直角三角形的元素及其关系4.1.3 直角三角形的应用4.2 勾股定理4.2.1 勾股定理的概念及证明4.2.2 勾股定理的性质及应用4.2.3 勾股定理在数学及实际问题中的应用5. 第五章等比数列5.1 数列的概念及特征5.1.1 数列的定义5.1.2 数列的特征及表示5.1.3 数列的基本性质5.2 等差数列5.2.1 等差数列的概念及表示5.2.2 等差数列的通项公式及求和公式5.3 等比数列5.3.1 等比数列的概念及表示5.3.2 等比数列的通项公式及求和公式5.3.3 等比数列的应用6. 第六章几何变换6.1 平移6.1.1 平移的概念及表示6.1.2 平移的性质及应用6.2 旋转6.2.1 旋转的概念及表示6.2.2 旋转的性质及应用6.3 对称6.3.1 对称的概念及表示6.3.2 对称的性质及应用6.4 相似变换6.4.1 相似变换的概念及表示6.4.2 相似变换的性质及应用6.4.3 相似变换在实际问题中的应用。
几何变换大班教案
几何变换大班教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1.理解几何变换的基本概念和相关术语；2.掌握平移、旋转和翻转等几何变换的具体操作方法；3.应用几何变换解决实际问题，培养创造性思维和空间想象力。
二、教学重点1.几何变换的概念和基本术语；2.平移、旋转和翻转的操作方法；3.几何变换在解决实际问题中的应用。
三、教学内容本节课主要包括以下内容：1.几何变换的概念介绍a)几何变换是指将一个图形经过某种操作后得到一个新的图形的过程。
b)常见的几何变换有平移、旋转、翻转等。
2.平移的操作方法a)平移是指将一个图形沿着某个方向上的直线移动一定距离而不改变其形状和大小。
b)平移的操作方法：选择一个参考点，然后将图形上的各个点按照相同的方向和距离进行移动。
c)练习题：请同学们自主完成图形的平移操作。
3.旋转的操作方法a)旋转是指将一个图形围绕某个点旋转一定角度而不改变其形状和大小。
b)旋转的操作方法：选择旋转中心，确定旋转方向和角度，然后按照规定的方式进行旋转。
c)练习题：请同学们自主完成图形的旋转操作。
4.翻转的操作方法a)翻转是指将一个图形沿着某条直线进行对称，得到一个关于对称轴对称的新图形。
b)翻转的操作方法：选择翻转轴，将图形上的各个点沿着翻转轴的方向进行对称。
c)练习题：请同学们自主完成图形的翻转操作。
5.几何变换的应用a)几何变换在日常生活和实际问题中的应用。
b)解决实际问题时，通过几何变换可以简化计算和分析的过程，提高问题的求解效率。
c)练习题：请同学们尝试应用几何变换解决给定的实际问题。
四、教学方法1.讲授法：通过板书、多媒体等形式，向学生介绍几何变换的概念、操作方法和应用。
2.互动式教学：通过与学生的互动，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力和创造力。
3.实践探究：引导学生通过实际操作和实际问题的解决，深入理解几何变换的概念和应用。
五、教学资源1.教学用具：黑板、彩笔、几何模型等。
2.教学资料：PPT、练习题等。
华师版初二数学上教学大纲
华师版初二数学上教学大纲华师版初二数学上教学大纲数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们的日常生活中无处不在。
作为学生，学习数学不仅可以培养我们的逻辑思维能力，还可以帮助我们解决实际问题。
华师版初二数学上教学大纲为我们提供了一个系统而又全面的学习框架，下面让我们来一起探索一下这个大纲的内容。
第一章：有理数有理数是我们数学学习的基础，它包括整数、分数和小数。
在这一章中，我们将学习有理数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
同时，我们还将学习有理数的比较大小和绝对值的概念。
通过这一章的学习，我们将建立起对有理数的深入理解和应用能力。
第二章：代数式与方程代数式与方程是数学中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
在这一章中，我们将学习如何化简代数式、展开与因式分解。
同时，我们还将学习一元一次方程和一元一次不等式的解法。
通过这一章的学习，我们将培养我们的代数思维和问题解决能力。
第三章：图形的认识图形是我们日常生活中常见的，它们包括平面图形和空间图形。
在这一章中，我们将学习平面图形的性质和分类，如三角形、四边形和圆等。
同时，我们还将学习空间图形的性质和分类，如长方体、正方体和圆柱等。
通过这一章的学习，我们将提高我们的几何思维和空间想象能力。
第四章：函数函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。
在这一章中，我们将学习函数的定义和性质，如函数的定义域、值域和图像等。
同时，我们还将学习线性函数和一次函数的图像和性质。
通过这一章的学习，我们将培养我们的函数思维和问题建模能力。
第五章：统计与概率统计与概率是数学中的实用工具，它们在我们的日常生活中起着重要的作用。
在这一章中，我们将学习如何进行数据的收集、整理和分析。
同时，我们还将学习概率的基本概念和计算方法。
通过这一章的学习，我们将提高我们的数据分析和决策能力。
第六章：几何变换几何变换是数学中的重要概念，它描述了图形的位置和形状的变化。
在这一章中，我们将学习平移、旋转、翻转和放缩等几何变换的基本概念和性质。
地理信息系统GIS—第6章几何变换
1.1 地图到地图和图像到地图的变换
地图到地图的变换：刚数字化完毕的地图，无论是 经手工数字化还是扫描文件跟踪，因此，其单元都 是基于数字化仪的单位。而数字化仪的单位可能是 英寸或点每英寸。这种刚数字化完毕的地图转换到 投影坐标的几何变换的过程，通常被称之为地图到 地图的变换。
对一幅TM（专题制图仪）影像进行地理坐标匹配需 要20个以上的控制点。
其中，有些控制点最终会在转换过程中被删除 。
在卫星图像上识别，完成地面控制点的选取之 后，这些控制点的真实世界坐标就可以通过数 字化地图或GPS读数获取。
第二节 均方根（RMS）误差
仿射变换使用的系数是由转换数字地图或卫星影像 的一系列控制点推导出。数字化地图或卫星影像上 控制点的位置是一个估算位置，而且这个位置会偏 离它的实际位置。
定义：控制点的好坏通常用均方根（RMS）误差来 衡量，即对控制点实际位置（真实的）与估算位置 （数字化的）之间偏差的估量。
计算式： 控制点误差=
( xact xest )2 ( yact yest )2
平均均方根误差为所有控制点误差的平均，
计算式=
n ( xact,i xest,i )2 n ( yact,i yest,i )2 n
本章内容目录
6.1 几何变换 6.2 均方根误差 6.3 数字化地图上的均方根误差 6.4 像元值重采样
第一节 几何变换
定义：几何变换就是利用一系列控制点和转 换方程式在投影坐标上配准数字化地图、卫 星图像或航空照片的过程。即使一个地图坐 标系统与另一个地图的坐标系统建立联系， 也或者使影像坐标与地图坐标建立联系。
在GIS项目中，一幅刚数字化完毕的地图不 可能用于输出或分析。为使数字化地图可 用，必须对其进行投影转换，这一转换称 为几何变换。
线性代数课件PPT第六章 欧几里德空间 S2 正交变换
13
小结
• 正交变换的定义（重点） • 正交变换的判定（重点） • n维欧氏空间中正交变换的重要结
论
14
2 T ,T 2 ,
T ,T ,
4
推论 设T为欧氏空间的正交变换，又, V ，则
( , ) (T,T ) 【保持夹角不变】
证
, ( , ) arccos
T ,T
arccos
(T ,T )
| || |
| T || T |
总结：正交变换保持向量的模、内积、夹角不变
k1, = k1, =k1, =0. 因此 1+2M, k1M.
所以M是V的一个子空间.
12
(2) 由V是n维欧氏空间，0知，在V中必可找到n−1 个向量1, 2, …,n−1使, 1, 2, …,n−1为线性无
关向量组. 设对该向量组正交化得向量组为
=, 1, 2, …, n−1. 于是 i, =0, i=1,2,…,n-1, 则 1, 2, …, n−1都属于M, 且它们性无关，从而 dim{M}n−1. 若dim{M}=n, 则 M=V, 于是M, 而由0知, 0 ，则M，这与M=V矛盾.
0
0
1 2
1 2
2
正交变换的定义
定义：设T是欧氏空间V中的线性变换，如果对于任
意的 V，都有 |T |=|| ，即T, T= , ,
则T称为正交变换. 【保持向量的模不变】
例 在几何空间中把每一向量旋转一个角θ 的线性 变换是正交变换.
定理1 欧氏空间V中的一个线性变换T是正交变换
对 , V,Βιβλιοθήκη 有 T,T ,从而T是正交变换.
7
定理3 设 [1, 2, , n ] 是n维欧氏空间V的标准正交基底， V中的线性变换T为正交变换 T在标准正交
第六章 变何问题连续和移动边界
第六章变几何问题：连续和移动边界V.R.GUNDABALA, W.B.J ZIMMERMAN, A.F.ROUTH1Department of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield,Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United Kingdom2Department of Chemical Engineering, Cambridge University, Pembroke Street,Cambridge, CB2 3RAE-mail: w.zimmerman@求解过程中，由于几何模型发生变化而导致区域网格改变时会出现几何结构的连续性问题。
本章中，我们举两个例子——流道中由于不同尺寸孔板引起额外压力损失问题是稳态几何连续性的一个例子。
从概念来看，这个问题与第5章贝纳尔问题中通过Rayleigh数进行的变量连续性没什么不同。
第二个例子是液体中悬浮的乳胶颗粒的干膜。
在这个问题中，考虑了两个移动前缘；一个通过坐标变换，另一个通过光滑界面模型。
该技术对于之前模拟该问题采用的移动弱项方法有所改进。
1. 引言1.1 几何连续性我们已经有了一些参数连续性的例子——通过参数在一定范围内一系列的较小变化，以相邻参数值的解作为新参数求解初值。
只要参数不通过歧点且参数步长足够小，即可保证从旧解到新解的平滑过渡。
即使存在歧点，旧的分支仍然是一个可行解，参见我们在第5章中对贝纳尔对流问题的讨论。
几何连续性与参数连续性在一个重要方面存在性质上面的不同。
在几何连续性中，区域几何结构的改变使得需要对网格重新划分。
我们应该小心的区分几何连续性的改变。
例如：在管流中，众所周知流动可由雷诺数表征：e UDRρμ=(1)该无量纲数包含了流体密度ρ，入口速度U，直径D，和粘度μ，可用于描述流体的动力相似性。
因此，管道直径改变引起充分发展流并不属于几何连续性的范围，而更接近于常规的参数改变问题。
几何变换中的扩大与缩小变换
03 缩小比例3
效果描述3
缩小变换的优势
重要性
缩小变换可以有效压缩图 像大小，提高传输效率 可以减少数据处理的时间 和资源消耗
价值
能够保持图像质量的同时 减小文件体积 为数字媒体设计提供更多 创意空间
应用
在图形学领域有着广泛的 应用 为虚拟现实技术带来更多 可能性
缩小变换的实例
平面设计效 果
组合变换的实例
平移效果
展示平移变换对对象位置 的调整 解释平移变换的应用场景
扩大效果
介绍扩大变换对对象大小 的改变 分析扩大变换的影响
旋转效果
展示旋转变换对对象角度 的调整 探讨旋转变换的应用方法
缩小效果
介绍缩小变换对对象尺寸 的减小 分析缩小变换的效果
组合变换的重要性
01 动画制作
探讨组合变换在动画制作中的关键作用
智能交互系统
利用几何变换改进用户交 互体验 提高系统的智能化水平
几何变换应用案例分析总 结
几何变换在各领域的应用不断拓展和深化，为医 疗、地理信息、视觉特效、人工智能等行业带来 新的发展机遇和技术突破。通过对不同领域的案 例分析，我们可以更好地理解几何变换的价值和 作用，推动相关领域的创新与发展。
02 虚拟现实
分析组合变换在虚拟现实技术中的意义
03 数字媒体设计
总结组合变换对数字媒体设计的价值
组合变换的实践
艺术创作
展示组合变换在 艺术创作中的创
新应用
数字媒体
探讨组合变换在 数字媒体领域的
发展
图像处理
分析组合变换对 图像处理的影响
● 05
第五章 应用案例分析
几何变换在医学 影像处理中的应
等比例扩大效果
七年级上册第六章几何图形初步6-3角6-3-3余角和补角新版新人教版
(1)求∠BOC 的度数； 解：因为∠BOC 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOC＋∠BOD＝90°. 因为∠BOC＝4∠BOD， 所以∠BOC＝45×90°＝72°.
知1－练
(2)若OE 平分∠AOC，求∠BOE 的度数.
知1－练
解：因为∠AOC 与∠BOC 互为补角，
所以∠AOC＋∠BOC＝180°.
∠2＋
1 2
(∠1
－
∠2)=
1 2
∠1＋
1 2Βιβλιοθήκη ∠2=90
°，故C
选项不是
∠2 的余角.D 选项是∠2 的余角. 答案：D
方法点拨 识别两个角是否互余，只需要计算两个
角的和是否等于90°即可.
题型 2 利用角平分线的定义探究互余、互补
例 6 [新视角 操作探究题]如图6.3－26，把一张长方形纸片 的一角任意折向长方形内，使点B 落在点B′的位置， 折痕为EF，再沿GF 折叠，使点C 落在点C′的位置，如果C′F 与FB′在 同一条直线上，请你判断∠GFC′ 与∠EFB′的关系，并说明理由.
解法提醒 1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成
平角，可以解决互补问题. 2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成
直角，可以解决互余问题. 3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决
等角问题.
题型 4 利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系
例 8 如图6.3－29 ①所示，将一副三角尺的直角顶点重合 在点О 处. 思路引导：紧扣要判定的角和 两个90 °角的关系进行分析.
所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－72°＝108°.
因为 OE 平分∠AOC，所以∠COE＝12∠AOC＝12×108°＝54°. 所以∠BOE＝∠COE＋∠BOC＝54°＋72°＝126°.
小学数学乐学手册：2年级下册
小学数学乐学手册：2年级下册小学数学乐学手册：2年级下册第一章：时间和日历1. 认识时间的基本单位——小时、分钟和秒钟。
规定一天的划分和表示。
2. 用拨钟练习整点和半点的时间读法。
3. 在整点和半点之间的时间的读法，例如：7点45分、9点15分。
4. 利用光阴长短，学会自己的时间安排和珍惜时间。
5. 学习历法，了解阳历和阴历，认识24节气和节气的由来。
第二章：图形和分数1. 认识对称图形，了解轴线和中心点的概念。
2. 画出几何图形的轮廓，例如正方形、长方形、圆形、三角形等。
3. 认识分数的概念，分母表示几等份，分子表示几份。
4. 认识简单分数，例如：1/2、1/3、1/4等，并学会比较大小。
5. 了解分数与整数之间可以相互转换。
第三章：数据和统计1. 获得简单数据，例如：身高、体重、年龄等。
2. 排列和总结数据，观察数据的规律，例如最大值、最小值和中位数等。
3. 制作简单的柱状图、折线图、饼图等图表，对数据进行可视化处理。
4. 学习用随机的方法来进行实验，例如投掷骰子、猜拳等。
第四章：加减法1. 不进位加法和进位加法的概念和方法，例如：122+126=？。
2. 不退位减法和退位减法的概念和方法，例如：课后有20道题，做了15道，还剩几道题没做？3. 学习算式的写法和解法，例如：34+56=90、24-17=7等。
4. 利用数轴和正负数的概念来解决简单的加减法问题。
第五章：乘法和除法1. 认识乘法的符号“×”和“*”，并学习乘法口诀表。
2. 学习乘法的交换律和分配律，例如：a×b=b×a，a×(b+c)=a×b+a×c。
3. 对于整数的简单除法，例如：30÷5=6，求商和余数。
4. 学习小数的概念和表示方式，例如十分位小数、百分位小数等。
5. 利用乘法的概念和方法，解决小学生活中的实际问题。
第六章：几何变换1. 认识直线对称和中心对称，学习如何找出对称中心和轴线。
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特性：
直线变换后仍为直线
平行线变换后仍为平行线
不同方向上的长度比发生变化。
求解上式中的6个未知数，需不在一直线上的3 对已知控制点，由于误差，需多余观测，所以， 用于图幅定向至少需要四对控制点。
解决四个问题
不均匀缩放 旋转
倾斜 平移
设Vx、Vy表示同一点转换坐标和理论坐标之差， 即两坐标系变换产生的误差，则有：
操作对象：
矢量（数字地图）——重投影过程 栅格（图像）——重采样过程 转换精度评价 用均方根误差——度量控制点从真实位置到估算位
置之间的偏移。
几何变换方法
1、等积变换：允许旋转矩形，保持形状与大小不 变
2、相似变换：允许旋转矩形，保持形状不变，单 大小改变
3、仿射变换：GIS常用。允许矩形角度改变，保留 线的平行性
控制点选取原则 四个角点为控制点
控制点选取误区：控制点越多越好（误差越大，接 边出差错），控制点越准越好
根据RMS判断残差：该值小于容差范围，则接受； 该值大于容差范围，则重新选点。
如何判断选取控制点精度——均方根误差
均方根误差是控制点实际位置与估算位置间偏差的 估量，决定了几何变换精度和数字化定位精度。
使用多个坐标变换参考点（或称：控制点）， 根据最小二乘原理，由[Vx2 + Vy2]为最小的条 件，可得两组法方程：
和
式中：n为控制点个数；x、y为控制点的数字化坐标； X、Y为控制点的理论坐标。由上述法方程，通过消 元a2、b，0、可b求1得和b完2成。仿射变换所需的6个参数a0、a1、
仿射变换时，控制点的选取是关键 如何选取控制点？ 1、地图到地图的变换 图面坐标直接从图上选取，常用的是图廓点坐标 真实坐标按照国家测绘标准 控制点个数少，与几何变换方法有关 2、影像到地图的变换 图面坐标直接从影像上选取明显的像元 真实坐标或GPS，或数字化地图上获取 控制点个数多，与几何变换方法有关
X a0 (m1 cos)x (m2sin) y Y b0 (m1 sin)x (m2 cos) y
x a1x1 a2 y1 a0 y b1x1 b2 y1 b0
式中： X1和y1是源控制点坐标，xy是转 换后汇控制点坐标 参数a0b0控制原点坐标平移 A1b1a2b2控制缩放和旋转程度
仿射变换三部曲
1、图上控制点坐标
真实世界坐标
2、解放射变换方程，检查每个点的RMS误差。若 超标，则删除，直到所有点不超标为止。
3、代入估算系统，用变换方程，计算整幅图坐标
如果几何变换的是影像图 由于变换前后，数据点不对等 按照变换方程估算，有的像元有值，有的像元
没有值 如果像元没有值 通过重采样填充像元值
仿射变换与相似变换相比，前者是假设地图因变形而 引起的实际比例尺在x和y向都不相同，而后者则假设 二者相同，因此，仿射变换还具有图纸变形的纠正功 能。
仿射变换的特点是：同时考虑x和y方向上的变形，纠 正后的坐标数据在不同方向上的长度比将发生变化。
在保持目标平行的条件下，允许进行旋转、平移、 倾斜、不均匀缩放等。实质是两坐标系之间的旋 转变换。
2014-3-19
为什么需要从几何变换入手 几何变换的定义 几何变换的方法（像元值重采样） 像元值重采样
当空间数据获取时 无论什么数据源 现有GIS数据 新创建的数据 无论什么数据采集方法 数据格式转换 屏幕数字化
定义 ：利用一套控制点和变换方程，将数字地图或 图像从一种坐标系转换成另一种坐标系的过程
重采样：以原始像元值或导出像元值填充新图像的 每个像元
三种方法
邻近点插值法：用最邻近像元值填充到新像元，计 算速度快
双线性插值法：基于三次线性内插，四个最邻近像 元
三次卷积插值法：5次多项式，16个相邻像元
4、投影变换：允许角度和长度变形 5、拓扑变换：保持拓扑不变
仿射变换是GIS数据处理中使用最多的一种几何纠正 方法，它是通过利用适合控制点的一阶转换经验多项 式完成从数字化表格坐标到输入地图实际投影坐标转 换的。
在控制点，表格坐标和输入数据的投影坐标都是已知 的；输入数据的投影类型是已知的。