高等概率论课件

1
an
n
xj 0
j 1
a.e.
, 1 p 2； an n ，则
（7）
n
1 np
E
(
X
n
p)
1 n
n j 1
X
j
0
a.e
定理5.4.2
设{xn} 是一个独立同分布的随机变量序列，则我们有
（8）
E( X1 )
Sn n
EX1
（17）
n
an (aN
aN x an
x dF(x))) （）
因为 E( X1)
,如果 an n
保持有界，则（12）中的级数不可能收敛，所以对于固
定的
N，当
n 时，因为 an n
n an
0
n an
aN
0 ，所以（17）中的第
一项趋向于 0. 后面一项被下面式子所界，
（18） n
b1
x1 a1
， b2
x1 a1
x2 a2
bn
n xj j1 a j
于是有
x1 a1
b1 ，
x2 a2
b2 b1 ，
xn an
bn bn1
S 1 an
n
xj
j 1
1 an
n j 1
aj
xj aj
1 an
[a1b1
a2 (b2
b1 ) a3 (b3
b2 ) an (bn
( X 1 An)
n
因为随机变量独立同分布，故有 ( X n An)
n
根据定理 4.2.4：如果事件{X }是独立的，则 n
( X n ) ( X n , i.o) 1
n
可得
{ X n An,i.o.} 1
而 Sn Sn1
Xn
An蕴含着 Sn
An 2
或者
S n1
An 2
{ Sn
An , i.o.} 1 2
故有
这意味着对于每个 A，存在一个零集 Z(A)，使得如果 w \ Z ( A) ，则
（a）
____
lim
Sn (w)
A.
n n
2
设 Z Z (m), 则 Z 仍为零集，且如果 w \ Z ，则（a）式对每个 A 成立，因
M 1
而上极限为 ，故有
则对于每个 0 我们有
max
1 jn
Sj
2 (Sn
2
)
.
定理 5.3.2
设 X n 是具有有限平均值的随机变量，设存在一个 A 使得
n : X n E( X n ) A
则对于每个 0 我们有
max
1 jn
Sj
s
(2 A 4 ) 2 2 (Sn )
.
定理 5.3.3
an
n
aj
j N 1
dF(x)
aN x an
n
j
j N 1
dF ( x)
aN x an
因为对于 j n na j j ，我们用 代替（18）式右边的 n；作为（13）中收敛
的余项，当 N 时它趋向于 0.因此当 n 时（16）中的量趋向于 0，由（14）
和（15）式得 1 an
lim _____ Sn
n n
a.e
定理5.4.3
设 {X n } 是一个独立同分布的随机变量序列，且 E( X1 ) . 设 an 是满足条件
an n 的正数列，则我们有
（11） （12）
lim _____ Sn 0 a.e.;或者
n an
a.e.
按
{ X n an}
j 1
E(X1) ，
因而
1
n
n
Yj
j 1
E(X1)
a.e
由{X }与{Y }等价，根据定理 5.2.1 知 1
n
n
n
n
Yj
j 1
可用 1 n
n j 1
X
j
来代替，即
1
n
n
Xj
j 1
Sn n
E(X1)
a.e
证明了（8）.
证明（9）：由条件 E( X1 ) 蕴含 E( X1 A) 因而由定理 3.2.1 有
所以有
1 an
n
(a j1 a j )
j 1
1 an
n
(a j1 a j )
j0
1 an (an
a0
)
1
且 bn b ，而 b 是一个有界数，不妨设 b M
引理证毕.
1
an
n
xj
j 1
b b M M
0.
现假设 是 R' 上的一个正值连续偶函数，使得当 x 增加时，有
（1）
x
an
x (x) an (an )
由此有 E(Yn )
n an
n
(x) x an (an )dFn (x)
n
E((Xn )) (an )
即 E(Yn ) 几乎处处收敛的，又因为（5）式也是几乎处处收敛的， an
所以 Yn 也几乎处处收敛，最后，由 (x) 1
n an
(an )
n j
j
n
2 (Yn ) n2
收敛，应用（7）于{{Yn
E(Yn )} }，我们得出结论：
1 n
n j1 Y j E(Y j ) 0
a.e.
显然当 n 时，因为{X n }独立同分布，所以 E( X n ) E( X1 ) E(Yn ) E( X1 )
故我们也有
1 n
n
E(Y j )
n
1 n2
n j 1
j1 x j x 2 dFn ( x) = j 1
j 1
x
j
x 2 dFn
(x)
n 1
1 n2
j
x dF(x) C
j 1 x j j 1
j
C j
x dF(x)
j 1 x j
j 1
C E( X1 )
在上面我们已经应用了估计式 n 2 C ，其中 C 是某个常数， j 1.于是
bn1 )]
1 an
[(a1
a2 )b1
(a2
a3 )b2
(an1
an )bn1
a nbn
]
1 an
[
n
(a j
j 1
a j1 )b j
anbn ]
1
an
n
(a j a j1 )b j bn
j 1
bn
1 an
n
(a j1 a j )b j
j 1
因为 an 递增 有 a j1 a j 0 ，
设 X n 是独立的随机变量，对于一个固定的常数 A>0,定义
Yn
(w)
X n (w), 如果 X n (w)
0,
如果
X
n
(w)
A.
A:
则级数 X n 几乎处处收敛的充要条件是下面的三级数都收敛；
n
（ⅰ） X n A X n Yn ，
n
n
（ⅱ） E (Yn )
n
（ⅲ）
2 (Yn )
(Yn )几乎处处收敛.
其次我们有
(Yn )
1
n an
n an
x an x d Fn (x)
1
= n an
x an x d Fn ( x)
n
x
an
x an
dFn (x) ，
此处由（ E( X n )
xdFn
(x)
0
）由（1）中的第一个假设
对于 x an
有 (x) (an )
我们可以得到
{X n Yn}
n
n
x an dFn (x)
(x)
E ( ( x))
n
x an (an )dFn (x) n
(an )
由 5.2 定义知X n 与Yn 是等价序列，所以
n
X n 也几乎处处收敛。 an
对于一个概率为 1 的集中的每一个 w ，将克罗内克引理应用于（3），我们得 到 推论： 在定理 5.4.1 的假设下，我们有
n
强大数定律的主要内容
❖ 克罗内克引理
设{xk } 是实数的一个序列，{ak }是一个 0 且 的一个数列，则
n
xn an
1 an
n
x j 0.
j 1
证明：
对于1 n ，令
bn
n xj j1 a j
.
如果再记 a0 0 ， b0 0 ，则我们有
阿贝尔变换为
xn an (bn bn1 )
(x) ， (x)
x
x2
上式为下面定理 5.4.1 的一个条件，在这里我们不必考虑它是怎么来的，只要知
道它们的性质，即 (x) 随着 x 的增加而增加，而 (x) 随 x 的增加而减小.
x
x2
定理5.4.1
设{xn } 是一个独立随机变量序列，且对于每个 n ，E(xn ) 0 ；又 0 an .
dF(x) .
n
an 2
k 1
ak 1 x ak
所以由定理 5.4.1 Yn 几乎处处收敛，因而由 kronecker 引理有 n an
（15）
1
an
n
Yk
k 1
0
a.e.
当 n 时，我们来估计下面这个量
（16）
1
an
n
k
k 1
1 an
n k 1
xdF(x) .
x an