中考数学23·24题练习
上海中考数学23题专题
中考数学试题一、单项选择题（共12分）1.一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。
A．B．C．D．2．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝33．已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=124．对于反比例函数y=kx(k≠0)，下列所给的四个结论中，正确的是（）A．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A，B，则矩形O APB 的面积为kB．若点(2,4)在其图象上，则(−2,4)也在其图象上C．反比例函数的图象关于直线y=x和y=−x成轴对称D．当k>0时，y随x的增大而减小5．如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:26．如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）7．已知反比例函数y=kx(k≠0)，当x<0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx−k的图象经过（）。
A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限D．第二，三，四象限8.在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1x的图象可能是（）A．B． C．D．9．已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12二、填空题（共24分）10．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是（）米。
11．已知△ABC，若有|sinA−12|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数是。
12.已知方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是。
天津中考数学第24题（几何压轴题）思路分析及真题练习
天津中考数学第24题（几何压轴题）思路分析及真题练习思路分析：观察近几年的中考真题可以发现，每年倒数第二题的出题形式，都是将几何图形放在平面直角坐标系中。
但是，由于解析几何要到高中才学，所以坐标系在这里其实只能起到一个确定点的坐标的作用。
当然，如果把直线看成一次函数图像，一次函数解析式就是直线方程，也就可以将直线交点问题，转化为方程组求解问题，但在这道题中通常都不需要这样做。
题目每年都会对几何图形进行变换，近六年的变换规律是：旋转、对称、旋转、对称、旋转、平移，明年应该大概率是旋转。
因为无论是对称变换、旋转变换还是平移变换，图形的大小和形状都不会发生改变，所以每年的题目都会涉及到全等。
由于在图形变换的过程中，全等的判定通常都是比较容易的，所以本题对全等的考察又主要在全等性质的应用上。
题目设问无论是点的坐标、线段的长还是图形的面积，其核心都是求距离。
所有的距离又都可以转化为求两点间的距离或求点到直线间的距离。
任意两点之间的距离公式虽然要高中才学，但我们可以将两点之间的距离转化为求一个直角三角形的斜边长，用勾股定理求解。
因此，我们会发现每年的题目中几乎都会涉及到勾股定理。
任意点到任意直线的距离公式也要到高中才会学习，但对于一些特殊情况，我们现在就可以做了。
每年的第一问，都是送分问，用一次勾股定理基本都可以解决。
第二问和第三问，解题的关键是要抓住全等的性质和特殊三角形。
第三问通常也会和其它知识点结合，但涉及的都是一些基础知识点，基本功扎实的同学，问题都不大。
最后提醒一下，当对图形进行旋转变换时，尤其需要注意其与圆的结合。
在研究点、直线、圆和圆的位置关系时，只需要研究它们和圆心的位置关系即可。
而在旋转变换时，旋转中心自然就是圆心。
真题练习参考答案。
2024年上海市中考数学试题(含答案)
2024年上海市初中学业水平考试数学试卷一、选择题（每题4分，共24分）1．如果，那么下列正确的是（）A．B．C．D．2．函数的定义域是（）A．B．C．D．3．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．B．C．D．4．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数 2.3 2.3 2.8 3.1方差 1.050.78 1.050.78A．甲种类B．乙种类C．丙种类D．丁种类5．四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形6．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（）A．内含B．相交C．外切D．相离二、填空题（每题4分，共48分）7．计算：．8．计算．9．已知，则．10．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的倍．（用科学记数法表示）11．若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而．（选填“增大”或“减小”）12．在菱形中，，则．13．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为万元．14．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有个绿球．15．如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则（结果用含，的式子表示）．16．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有人．17．在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则．18．对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为．三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）19．计算：．20．解方程组：．21．在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．(1)求k与m的值；(2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．22．同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为．(1)求：两个直角三角形的直角边（结果用表示）；小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：不与给定的图形状相同；画出三角形的边．23．如图所示，在矩形中，为边上一点，且．(1)求证：；(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：．24．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．(1)求平移后新抛物线的表达式；(2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．①如果小于3，求m的取值范围；②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．25．在梯形中，，点E在边上，且．(1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；(2)已知；①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．参考答案一、选择题1．C2．D3．D4．B5．A6．B 二、填空题7．8．9．1 10．11．减小12．13．4500 14．3 15．16．17．或18．4三、解答题19．解：．20．解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，当时，，当时，，∴方程组的解为或者．21．（1）解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，把代入，得；（2）解：由（1）知：设l与y轴相交于D，∵轴，轴轴，∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，把代入，得，解得，∴，∴，，∴，∴．22．（1）解：①如图，为等腰直角三角板，，则；如图，为含的直角三角形板，，，，则，；综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；由题意可知，∴四边形是矩形，由图可得，，，∴，故小平行四边形的底为，高为，面积为；（2）解：如图，即为所作图形．23．（1）证明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；（2）证明：连接交于点，如图所示：在矩形中，，则，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．24．（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得：，解得：，∴新抛物线为；（2）解：①如图，设，则，∴，∵小于3，∴，∴，∵，∴；②∵，∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，∴轴，∴，∴，由平移的性质可得：，即；如图，当时，则，过作于，∴，∴，∴，设，则，，，∴，解得：（不符合题意舍去）；综上：；25．（1）证明：延长交于点G，∵，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，∵点O为外接圆圆心，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴外接圆半径为；②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，∵，∴，∴，由①知，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由，得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴设，∵，，∴，∴，即，∴，解得：，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，而，∴在中，由勾股定理得，，∵，∴．。
链接陕西省中考数学第24题
（2014年陕西省中考试题）
24.（10分）已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B （0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴 的交点记为N． （1）求抛物线C的表达式； （2）求点M的坐标； （3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称 轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边 形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什 么？
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b’x(b’>o)的“抛物线三角形”， 是否存在以原点为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D
三点的抛物线的表达式，若不存在，说明理由请. 你做一做！
2=-x2+b’x(b’>o)的
A
“抛物线三角形”，是否
请你认真做一做上述各题，看看 解题过程是否完整，做对了吗？
（2015年陕西省中考24题答案）
（2014年陕西省中考24题答案）
和 你 做 的 一 样 吗？
（2014年陕西省中考24题第3小题分析）
i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将 抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′； ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将 抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可 得符合条件的抛物线C′． ∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′． 点评：本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、 待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需 要分类讨论，避免漏解．
yB
A
o
x
2012年陕西省中考试题 24.(10分）如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么 以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线 的 “抛物线三角形”.
重庆中考数学23题专练
中考23题应用题专项练习1. 随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜. 2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元.（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张. “元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有53通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元2. 为了提高教学质量，促进学生全面发展，某中学计划投入99000元购进一批多媒体设备和电脑显示屏，且准备购进电脑显示屏的数量是多媒体设备数量的6倍现从商家了解到，一套多媒体设备和一个电脑显示屏的售价分别为3000元和600元（1）求最多能购进多媒体设备多少套（2）恰“315°次乐购时机，每套多媒体设备的售价下降a 53%，每个电脑显示屏的售价下降5a 元，决定多媒体设备和电脑显示屏的数量在（1）中购进最多量的基础上都增加a %，实际投入资金与计划投入资金相同，求a 的值3. 某商店经销甲、乙两种商品。
现有如下信息： 信息1:甲、乙两种商品的进货单价之和是3元； 信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；信息3:按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元请根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的零售单价；（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件. 经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售100件.商店决定把甲种商品的零售单价下降m(m>0)元，乙种商品的零售单价和销量都不变. 在不考虑其他因素的条件下，当m 为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1700元4.幸福水果店计划用12 元/盒的进价购进一款水果礼盒以备销售。
上海中考初三数学压轴题方法整理汇总(18题24题25题压轴题解题方法)
第18题：图形的运动1平移：平移的方向和距离2旋转：三不变找旋转（图形的形状大小旋转角不变）3翻折：两点一线找勾股（对称点，垂直平分线上海中考初三数学压轴题方法整理汇总）第23题几何证明（书写规范）证明边角相等：全等，相似，等腰证明平行线：角，比例线段，中位线，平行四边形证明等积式：三点定形找相似（等线段代换，等比代换，等积代换）（添平行线构造A 形，八形）证明四边形：常用辅助线：联结对角线第24题代数型综合题求坐标的方法1一作二设法②两点公式法③代入解析法④平移法二次函数与相似三角形1先找死角：由边出发，死角的两边对应成比例求边长；2先找死角：由角出发，利用三角比求边长二次函数与直角三角形1一线三等角②勾股定理二次函数与等腰三角形：两点间距离公式二次函数与角相等：1找相似三角形②找三角比二次函数与45度角1先找45度角转化为角相等，然后找相似或三角比2加高，转换为等腰直角三角形二次函数与四边形1由四边形的性质求边或角（等腰梯形加双高，两腰相等，加顶）2由边或角转化为相似或三角比第25题几何型综合题读题圈划五寻找（边，角，辅助线，基本图形，解题工具）解题工具：三角比，相似，勾股，面积法基本图形：一线三等角，母子三角形，角平分线+平行=等腰三角形，A形八形，特殊三角形……常用辅助线：中位线，三线合一，斜中，平行线，四边形对角线，，圆的半径与弦心距……等腰三角形：①相似转化；②分论讨论；③三线合一三角比：转角；加高（面积法）；设K面积：①直接求；②相似；③等底等高求定义域：①极端位置；②解析式本身；③三边关系。
中考数学几何证明题--(专题练习 答案详解)
中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G 为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G 为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∴∠HDF=∠CBF ，由（1）得，∠ADB=∠CBD ，∴∠HDB=∠HBD ，∴HD=HB ，由（1）得CD=CB ，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH ≌△CBH ，∴∠DCH=∠BCH ，∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG ，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM ⊥AD 于M ，如图，在Rt △ABC 中，AB=6，sin ∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt △CDM 中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=•（8+14）•6=66（cm 2）；（2）证明：过G 作GN ⊥AD ，如图，∵∠D=45°，∴△DNG 为等腰直角三角形，∴DN=GN ，又∵AD ∥BC ，∴∠BFH=∠FHN ，而∠EFH=∠FHG ，∴∠BFE=∠GHN ，∵EF=GH ，∴Rt △BEF ≌Rt △NGH ，∴BE=GN ，BF=HN ，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE ．7、已知：如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 至F ，使DF=CD ，连接BF 交AD 于点E ．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）（2）∵AD=CE，∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。
中考数学真题试题 23
2021年中考数学试题〔卷〕〔本套试卷满分是150分，考试时间是是120分钟〕A卷(满分是100分)一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题4分，每一小题给出的四个选项里面，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来)1．(20214分)假如＋3吨表示运入仓库的大樱桃吨数，那么运出5吨大樱桃表示为【】A．－5吨 B．＋5吨 C．－3吨 D．＋3吨【答案】A。
2．(20214分)点M到x轴的间隔为1，到y轴的间隔为2，那么M点的坐标为【】A．(1，2) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(2，1)，(2，－1)，(－2，1)，(－2－1)【答案】D。
3．(20214分)在以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】【答案】D。
4．(20214分)如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝80°，假如DE∥AB，那么∠D的度数是【】A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】C。
5．(20214分)从一只装有5个红球的袋中随机摸出一球，假设摸到白球的概率是P1，摸到红球的概率是P2，那么【】A．P1＝1，P2＝1 B．P1＝0，P2＝1 C．P1＝0，P2＝15D．P1＝0，P2＝0【答案】B。
6．(20214分)以下图是小明用八块小正方体搭的积木，该几何体的俯视图是【】【答案】D。
7．(20214分)有理数a、b在数轴上对应点的位置如下图，那么【】A．a＋b＜0 B．a＋b＞0 C．a－b＝0 D．a－b＜0【答案】B。
8．(20214分)甲瓶盐水含盐量为1a，乙瓶盐水含盐量为1b，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为【】A．a b2ab+ B．a bab+ C．1abD．随所取盐水重量而变化【答案】A。
9．(20214分)如下图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，那么sin∠EAB的值是【】A．43B．34C．45D．35【答案】D。
2023中考数学23题
2023中考数学23题题目描述：某班级有60名学生，其中男生占全班的3/5，女生占全班的2/5。
男生中1/4会打篮球，女生中1/3会打篮球。
已知班级中既会打篮球又会踢足球的学生有10名，既不会打篮球又不会踢足球的学生有5名。
求该班级中会踢足球的学生有多少名？解析：设男生有3x名，女生有2x名，男生会打篮球的人数为3x/4，女生会打篮球的人数为2x/3。
班级中会打篮球的学生总数为3x/4 + 2x/3，由于已知班级中既会打篮球又会踢足球的学生有10名，因此有等式：3x/4 + 2x/3 = 10化简等式得：9x/12 + 8x/12 = 1017x/12 = 10解得x ≈ 7.059班级中男生的人数为3x ≈ 3 * 7.059 ≈ 21.177，取整为21人。
班级中女生的人数为2x ≈ 2 * 7.059 ≈ 14.118，取整为14人。
班级中会踢足球的学生总数为10 + 5 = 15人。
班级中既会打篮球又会踢足球的学生人数为15 - 5 = 10人。
根据题意，班级中会踢足球的学生总数为男生会踢足球的人数加上女生会踢足球的人数。
设男生会踢足球的人数为y，女生会踢足球的人数为z，由于男生会打篮球的人数为3x/4，女生会打篮球的人数为2x/3，因此有等式：3x/4 - 10 = y2x/3 - 10 = z化简等式得：3x - 40 = 4y2x - 30 = 3z代入x ≈ 7.059得：3 * 7.059 - 40 = 4y2 * 7.059 - 30 = 3z化简等式得：21.177 - 40 = 4y14.118 - 30 = 3z-18.823 = 4y-15.882 = 3z解得y ≈ -4.706，z ≈ -5.294由于学生人数不能为负数，所以班级中会踢足球的学生人数为0。
因此，该班级中会踢足球的学生有0名。
2020年广州市中考数学24题详解
2020年广州市中考数学24. （本小题满分14分）如图，O ⊙为等边ABC 的外接圆，半径为2，点D 在劣弧AB 上运动（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC.（1）求证：DC 是ADB ∠的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点,M N 分别在线段,CA CB 上运动（不含端点），经过研究发现，点D 运动到每一个确定的位置，DMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值.()()()21,,,2,,2180,,,,.32344DBC ADC EAC ADC CDE ABC AC BC AC BC ADC BDC DC ADB DA E AE DB EC EAC DAC DBC AE DB EAC DBC AC BC EAC DBC S S S S S S x x =∴=∠=∠∴∠=∠=︒-∠=∠=∠=∠=∴≅∴=+=+==<≤证：为等边三角形，是的平分线；延长至点，使得连接如图 ()3''',3''''''.'.'''.','',''''''60120,''''''33DMN D BC AC D D C DM MN NDD M MN ND D M N D DMN t t DD D C DC DC x D CB DCB D CA DCA D CD D CB BCA D CADCB DCAD CD t D D DC =++=++∴====∠=∠∠=∠∠=∠+∠+∠=∠+︒+∠=︒===依次作点关于直线，的对称点、如图、、、共线时取最小值此时由对称性有：在等腰中，max ,4,44 3.x x t D O C t x t ∴==当取得最大值时，取得最大值，即点与共线时，取得最大值，当时，。
中考数学第23-24题(解答中档题：圆、二次函数的实际应用)考前预测
押中考数学第23-24题（解答中档题：圆、二次函数的实际应用）专题诠释：圆和二次函数的实际应用在了历年的中考中均有所考察，分值一般在20-24之间，分值较高且有一定的难度。
圆常常会结合勾股定理、全等、相似或锐角三角函数一起考察；二次函数的实际应用考察最多的是利润问题。
能根据题意进行合理的转化是做题的关键！知识点一：圆〖押题冲关〗1．（2023·四川成都·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BO平分∠ABC，交AC于点O．以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交BO于点D，连接AD．(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)若OA=3，OC=27，求AB的长；7(3)在（2）的条件下，求tan∠BAD的值．2．（2023·四川达州·统考一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2=AB⋅AF．3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ABC内接于半圆O，已知AB是半圆O的直径．AB=10，AD平分∠BAC，分别交半圆O和BC于点D，E，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，交BC于点F．(1)求证：EF=DF；⌢的长．(2)连接OD交BC于点G，若EG=FG，求BC4．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．(1)求证：AC与⊙O相切于点D．(2)若BC=3，AC=4，求⊙O的半径．5．（2023·广东东莞·校考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．(1)求证：CH是⊙O的切线：(2)若点D为AH的中点，求证：AD=BE；，CG=10，求BD的长．(3)若cos∠DBA=456．（2023·四川成都·统考二模）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线交AB的延长线于点E，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，延长BF交AD的延长线于点C．(1)求证：AB=BC；(2)若⊙O的直径为5，sinA=3，求线段BF和BE的长．57．（2023·陕西西安·统考二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．(1)OM⊥CD，OM=6，⊙O的半径为10，求弦CD的长；(2)过点A作AN⊥BD交CD于点F，求证：CE=EF．8．（2023·北京房山·统考一模）如图，△ABC中，AB=AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E．(1)求证：∠BAC=2∠DBC；(2)若cos∠BAC=3，DE=4，求BE的长．59．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为弦作⊙O，交BC的延长线于点D，且DC=BC，∠CAB=∠BDE．(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，AB=BE，求劣弧AC的长．10．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，半圆O交BC于点E．(1)求证：∠C=∠CED．，AD=4，求半圆O的半径r．(2)若CE=83知识点二：二次函数的实际应用〖押题冲关〗(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；4．（2023·四川成都·统考二模）2022年卡塔尔世界杯期间，某网点直接从工厂购进A，B两款拉伊卜吉祥物手办，A款的购进单价比B款贵20元，用400元购进A款手办的数量比用400元购进B款手办的数量少一件．A，B两款手办的销售单价分别是120元和95元．（注：利润=销售价-购进价）(1)求A，B两款手办的购进单价分别是多少元？(2)世界杯结束后，为了尽快减少库存，加快资金周转，网店决定对A款拉伊卜吉祥物手办进行调价销售，如果按照原价销售，平均每天可销售5件，经调查发现，每降价2元就可以多销售1件，试问将销售价定为每件多少元时，才能使A款手办平均每天的销售利润最大？5．（2023·安徽蚌埠·校考二模）如图，蚌埠花博园要建造一圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA高3米，如图1，由柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各方面沿形状相同的抛物线落下．(1)如果要求设计成水流在离OA距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，那么水池的内部半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外；（利用图2所示的坐标系进行计算）(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池内部的半径为5米，要使水流不落到池外，此时水流达到的最高点与水面的距离应是多少米？6．（2023·河南三门峡·统考一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m （水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？7．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）超市需购进某种商品，每件的进价为10元，该商品的销售单价不低于进价，且不高于20元，在销售过程中发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图所示的一次函数关系：(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大？最大利润是多少？8．（2023·陕西西安·统考二模）2023兔年春节期间，全国各地举办焰火晚会，庆祝农历新年的到来．九年级学生王毅也在父母的陪同下前往指定区域燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，王毅燃放的手持烟花发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的规律如下表：。
武汉中考数学第24题专题练习
F EA PBCD 图2武汉中考第24题一、内容分析：培养数学逻辑推理能力是新课标的要求，第24题便是近年来考查这种能力的一种新题型,它不仅开阔同学们的视野,而且发展了同学们发散思维,创新探索和逻辑推理能力和动手能力，这种题型考查学生逻辑推理的方式主要注意如下几方面:① 图形由特殊到一般;② 图形的位置由特殊到一般；③ 结论由特殊到一般.解决方法主要由“特殊到一般”的思路,结合旋转,全等或相似的相关性质，以及实践操作，观察猜想加以解决. 二、主要知识考点：1、图形旋转的性质；2、三角形全等或相似；3、实践作图； 三、结论类型： 1、 角度大小关系； 2、 线段大小和位置关系；3、 其它；四、题型变化引例：（08届4月调考题）如图所示，ABCD 为正方形。
(1)如图1，点P 为△ABC 的内心，问：DP 与DA 有何数量关系？证明你的结论； (2)如图2，若点E 在CB 边上（不与点C 、B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P 为△FBE 的内心，则DP 与DF 有何数量关系？证明你的结论； (3)如图3，若点E 在CB 的延长线上（不与点B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P 是△FEB 中与∠FEB 、∠FBE 相邻的两个外角平分线的交点。
完成图3，判断DP 与DF 之间的数量关系（直接写出结论，不证明）。
对照练习：1、如图1，正方形ABCD 中，∠FOE=90°顶点O 于D 点重合，交BC 边于E ，交BA 的延长线于F.(1)求证：OF=OE; (2)若O 点在直线BD 上运动，其它条件不变，上述结论是否仍然成立？试画图直接写出结论。
（ （3）如图4，O 为正方形ABCD 对角线的中点，∠FOE=90°交BC 、CD 边于F 、E 点。
求证OE=OF 。
（ （4）如图5、6，O 点在直线BD 上运动，OD ：OB=1：n ，其它条件不变，（3）中结论是否还成立？若不成立，请直接写出OE ：OF= 。
中考数学第23题分类试题
中考数学第23 题的分类试题一、动点问题（一）、因动点产生的面积关系例 1、在平面直角坐标系中，△BCD的边长为3cm 的等边三角形,动点P、Q同时从点A、 O两点出发，分别沿AO、OB方向匀速挪动，它们的速度都是1cm/s,当点P抵达点O时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答以下问题 :(1)求 OA所在直线的分析式 ;(2)当 t 为什么值时 , △ POQ是直角三角形 ;(3) 能否存在某一时辰 t ，使四边形 APQB的面积是△ AOB面积的三分之二若存在 , 求出相应的 t 值 ; 若不存在，请说明原因．例 2、如图，边长为 1 的正方形的极点为坐标原点，点A在x轴的正半OABC O轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上．动点 D 在线段 BC上挪动(不与 B， C 重合)，连结于点 E，连结 OE．记 CD的长为 t ．yAPPO Q B x OD，过点 D作 DE⊥ OD，交边 AB(1)当 t ＝1时，求直线 DE的函数表达式；3(2)假如记梯形 COEB的面积为 S，那么能否存在 S 的最大值若存在，恳求出这个最大值及此时 t 的值；若不存在，请说明原因；（二）因动直线产生的面积关系例3．如下图，已知抛物线 y=x 2+bx+c 经过点（ 1，－ 5）和（－ ?2 ， 4）．（1）求这条抛物线的分析式．（2）设此抛物线与直线 y=x 订交于点 A， B（点 B 在点 A 的右边），平行于 x? 轴的直线 x=m（0<m< 5 +1）与抛物线交于点M，与直线y=x 交于点 N，交 x 轴于点 P，求线段MN的长（ ? 用含 m的代数式表示）．（ 3）在条件（ 2）的状况下，连结 OM， BM，能否存在 m的值，使△ BOM的面积 S 最大若存在，恳求出若不存在，请说明原因．yx = mNOPAM m的值，y=xBx同步练习1、如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形， ? 点 C 的坐标为（ 4， 0），∠ AOC=60°，垂直于 x 轴的直线L 从 y 轴出发， 沿 x 轴正方向以每秒 1? 个单位长度的速度挪动， 设直线 L 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M ，N （点M 在点 N 的上方）．（ 1）求 A ，B 两点的坐标；（ 2）设△ OMN 的面积为 S ，直线 L 的运动时间为 ts （0≤t ≤6），试求 S 与 t? 的函数表达式；（ 3）在（ 2）的条件下， t 为什么值时， S 的面积最大最大面积是多少2. 正方形 ABCD 的边长为４， BE ∥ AC 交 DC 的延伸线于 E 。
重庆中考数学24题专题
重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．解答：（1）证明：连接AC，∵DC ∥AB ，AB=BC ，∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分） 在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21AC •EH ， ∴EH=AC CEAE ⋅ =10226⨯ =5103∴DE=2EH=2×5103=5106 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ． 由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ， 在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6×23=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；ABDECF（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90°∠DEN=∠FEC DE=EC∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；（2）解：∵AC=CE ∠E=60° ∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC ∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3248、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ； （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点． 证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ． 在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD=2， 即CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+21CD=CD ． 即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ， 由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ． （3）连接BD ， 由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ． 又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ． ∵AD=21CD ，∴DP=21CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长； （2）求证：CF AE =.10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ． （1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由； （2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形； （2）求EF 的长度．G 24题图PFEDCBA解答：（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．12、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．⑴求证：AB=BE ；⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE =2，tan ∠CD E =31，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°， 而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDG EGB CGD EG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90° ∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴13CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+=∴CD=BE=10法一：∵1122BCDSBC DG CD BF ==，11431022BF ⨯⨯=⨯∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴BE BCBG BF=，∴1043BF = ∴6105BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =AB CDEF证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=904545EFB ∴∠=-=45CFG ∴∠=//,90AD BC ADC ∠=90FCG ∴∠=45,FCG ∴∠= CG CF =∴(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥45=∠=∠∴BFE AFE90=∠∴AFB DCB AFB ∠=∠∴BC AD CD AF //,// ∴,AF DC BF DC ∴=∴=由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC =二、有关“截长补短”题型1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。
天津中考数学24专题训练
1．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．2.某工厂出贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧多少吨？解题方案设贮存的煤原计划用x天，用含x的代数式表示：①改进炉灶和烧煤技术后可用天；②原计划每天烧吨；③改进炉灶和烧煤技术后每天烧吨；④根据问题中的相等关系，列出相应的方程；⑤贮存的煤原计划用天，每天烧吨（用数字作答）。
3.注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程.如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可.某公司在A、B两地分别有库存机器16台和12台，现要运往甲、乙两地，其中甲地15台，乙地13台.从A地运一台到甲地的运费为500元，到乙地为400元；从B地运一台到甲地的运费为300元，到乙地为600元.公司应设计怎样的调运方案能使这些机器的运费最省？(Ⅰ) 解：设A地向甲地运x台，总运费为y元。
根据题意，填写下表。
（要求填上适当的代数式，完成表格）x.4.李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书。
解题方案：设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：（Ⅰ）李明原计划读完这本书需用______________天；（Ⅱ）改变计划时，已读了______________页，还剩______________页；（Ⅲ）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需________________天；（Ⅳ）根据问题中的相等关系，列出相应方程_________________________________;（Ⅴ）李明原计划平均每天读书___________页（用数字作答）。
2023年浙江省嘉兴市中考数学真题试卷及答案
2023年浙江省嘉兴市中考数学真题试卷一、选择题（本题有10小题,每小题3分,共30分.请选出各题中唯一的正确选项,不选、多选、错选,均不得分）1. ()23⨯-的运算结果是（ ） A. 6B. 6-C. 1D. 1-2. 如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成,它的俯视图是（ ）A. B. C. D.3. 在下面的调查中,最适合用全面调查的是（ ） A. 了解一批节能灯管的使用寿命 B. 了解某校803班学生的视力情况 C. 了解某省初中生每周上网时长情况 D. 了解京杭大运河中鱼的种类4. 下列计算正确的是（ ） A. 336a a a +=B. 666a a a -=C. ()336a a =D. 12210a a a ÷=5. 如图,在直角坐标系中,ABC 的三个顶点分别为()()()1,2,2,1,3,2A B C ,现以原点O 为位似中心,在第一象限内作与ABC 的位似比为2的位似图形A B C ''',则顶点C '的坐标是（ ）A. ()2,4B. ()4,2C. ()6,4D. ()5,46. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是（ ）A. a c b >>B. c a b a ->-C. 0a b +<D. 22ac bc <7. 如图,已知矩形纸片ABCD ,其中34AB BC ==，,现将纸片进行如下操作： 第一步,如图①将纸片对折,使AB 与DC 重合,折痕为EF ,展开后如图②; 第二步,再将图②中的纸片沿对角线BD 折叠,展开后如图③;第三步,将图③中的纸片沿过点E 的直线折叠,使点C 落在对角线BD 上的点H 处,如图④．则DH 的长为（ ）A.32B.85C.53D.958. 已知点()12A y -，,()21B y -，,()31C y ，均在反比例函数3y x=的图象上,则1y ,2y ,3y 的大小关系是（ ） A. 123y y y <<B. 312 y y y <<C. 213y y y <<D. 321y y y <<9. 如图,点P 是ABC 的重心,点D 是边AC 的中点,PE AC ∥交BC 于点E ,DF BC ∥交EP 于点F ,若四边形CDFE 的面积为6,则ABC 的面积为（ ）A. 15B. 18C. 24D. 3610. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图,现向水槽匀速注水,下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y ）与注水时间（x ）关系的是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分）11. 计算：2023-=___．12. 如图,在AOB 与COD △中,A C ∠=∠,请添加一个条件___________,使得△≌△AOB COD ．13. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片,卡片除正面图案不同外,其余均相同,将三张卡片正面向下洗匀,从中随机抽取一张卡片,则抽出的卡片图案是琮琮的概率是___________．14. 如图,点A 是O 外一点,AB ,AC 分别与O 相切于点B ,C ,点D 在BDC 上,已知50A ∠=︒,则D ∠的度数是___________．15. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱,一只母鸡值3钱,3只小鸡值1钱,现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只,设母鸡有x 只,小鸡有y 只,可列方程组为___________． 16. 一副三角板ABC 和DEF 中,90304512C D B E BC EF ∠=∠=︒∠=︒∠=︒==，，，．将它们叠合在一起,边BC 与EF 重合,CD 与AB 相交于点G （如图1）,此时线段CG 的长是___________,现将DEF 绕点()C F 按顺时针方向旋转（如图2）,边EF 与AB 相交于点H ,连结DH ,在旋转0︒到60︒的过程中,线段DH 扫过的面积是___________．三、解答题（本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分）17. （1）分解因式：22a a +． （2）解不等式：()211x x ->+．18. 小丁和小迪分别解方程3122x x x x--=--过程如下：你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程．19. 如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒．（1）尺规作图：①作线段BC 的垂直平分线MN ,交AB 于点D ,交BC 于点O ;②在直线MN 上截取OE ,使OE OD ,连接CD BE CE ，，．（保留作图痕迹） （2）猜想证明：作图所得的四边形BECD 是否为菱形？并说明理由．20. 观察下面的等式：223181-=⨯,225382-=⨯,227583-=⨯,229784-=⨯,…． （1）尝试：2213118-=⨯___________．（2）归纳：()()2221218n n +--=⨯___________（用含n 的代数式表示,n 为正整数）． （3）推理：运用所学知识,推理说明你归纳的结论是正确的．21. 小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内,小明收集了A ,B ,C 三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据,统计如下：（1）数据分析：∴求B 款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数;∴若将车辆的外观造型,舒适程度、操控性能,售后服务等四项评分数据按2:3:3:2的比例统计,求A 款新能原汽车四项评分数据的平均数． （2）合理建议：请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例,并结合销售量,以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由．22. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别）,其示意图如图2,摄像头A 的仰角、俯角均为15︒,摄像头高度160cm OA =,识别的最远水平距离150cm OB =．（1）身高208cm的小杜,头部高度为26cm,他站在离摄像头水平距离130cm的点C处,请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．（2）身高120cm的小若,头部高度为15cm,踮起脚尖可以增高3cm,但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20︒（如图3）,此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm,参考数据︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈）sin150.26,cos150.97,tan150.27,sin200.34,cos200.94,tan200.3623. 根据以下素材,探究完成任务．小林在练习投掷实心球,其示意图如图,第一次练习时,球从点A处被抛出,其路线是抛物线．点A距离地面1.6m,当球到OA的水平距离为1m时,达到最大高度为1.8m．根据体育老师建议,第二次练习时,小林在正前方1m处（如图）架起距离地面高为2.45m的横线．球从点AOC=．处被抛出,恰好越过横线,测得投掷距离8m24. 小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后,进行变式、探究与思考：如图1,O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ,且8CE =,2DE =．（1）复习回顾：求AB 的长．（2）探究拓展：如图2,连接AC ,点G 是BC 上一动点,连接AG ,延长CG 交AB 的延长线于点F ． ①当点G 是BC 的中点时,求证：GAF F ∠=∠;②设CG x =,CF y =,请写出y 关于x 的函数关系式,并说明理由; ③如图3,连接DF BG ，,当CDF 为等腰三角形时,请计算BG 的长．2022年浙江省嘉兴市中考数学真题试题一、选择题（本题有10小题）1. 若收入3元记为+3,则支出2元记为（）A. 1B. -1C. 2D. -22. 如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体,它的主视图是（）A. B. C. D.3. 计算a2·a（）A. aB. 3aC. 2a2D. a34. 如图,在⊙O中,∠BOC＝130°,点A在BAC上,则∠BAC的度数为（）A. 55°B. 65°C. 75°D. 130°5. 不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.6. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰,其图案由两个全等正方形相叠组成,寓意是同心吉祥．如图,将边长'''',形成一个“方胜”图案,则点D,为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A B C DB′之间的距离为（）A. 1cmB. 2cm－1)cm －1)cm7. A ,B 两名射击运动员进行了相同次数的射击,下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中,能说明A 成绩较好且更稳定的是（ ）A. A B x x >且22A B S S >． B. A B x x >且22B A S S <． C. A B x x <且22A B S S >D. A B x x <且22B A S S <．8. “市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场,只负了2场,共得17分．那么该队胜了几场,平了几场？设该队胜了x 场,平了y 场,根据题意可列方程组为（ ） A. 7317x y x y +=⎧⎨+=⎩B. 9317x y x y +=⎧⎨+=⎩C. 7317x y x y +=⎧⎨+=⎩D. 9317x y x y +=⎧⎨+=⎩9. 如图,在ABC 中,8AB AC ==,点E ,F ,G 分别在边AB ,BC ,AC 上,EF AC ∥,GF AB ∥,则四边形AEFG 的周长是（ ）A. 32B. 24C. 16D. 810. 已知点(,)A a b ,(4,)B c 在直线3y kx =+（k 为常数,0k ≠）上,若ab 的最大值为9,则c 的值为（ ） A.52B. 2C.32D. 1二、填空题（本题有6小题）11. 分解因式：m 2－1＝_____．12. 不透明的袋子中装有5个球,其中有3个红球和2个黑球,它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出1个球,它是黑球的概率是_____．13. 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图,请帮他在横线上____填上一个适当的条件．14. 如图,在ABC中,∠ABC＝90°,∠A＝60°,直尺的一边与BC重合,另一边分别交AB,AC于点D,E．点B,C,D,E处的读数分别为15,12,0,1,则直尺宽BD的长为_________．15. 某动物园利用杠杆原理称象：如图,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态）,将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A,B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为kn>）倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为（N）．若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（1_______（N）（用含n,k的代数式表示）．16. 如图,在廓形AOB中,点C,D在AB上,将CD沿弦CD折叠后恰好与OA,OB相切于点E,F．已知OA=,则EF的度数为_______；折痕CD的长为_______．∠=︒,6AOB120三、解答题（本题有8小题）17. （1）计算：(01--（2）解方程：31 21xx-=-．18. 小惠自编一题：“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明．19. 设5a是一个两位数,其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如,当a＝4时,5a表示的两位数是45．（1）尝试：①当a＝1时,152＝225＝1×2×100＋25；②当a＝2时,252＝625＝2×3×100＋25；③当a＝3时,352＝1225＝；……（2）归纳：25a与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：若25a与100a的差为2525,求a的值．20. 6月13日,某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：（数据来自某海洋研究所）（1）数学活动：①根据表中数据,通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．②观察函数图象,当4x =时,y 的值为多少？当y 的值最大时,x 的值为多少？（2）数学思考：请结合函数图象,写出该函数的两条性质或结论．（3）数学应用：根据研究,当潮水高度超过260cm 时,货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？21. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1,纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形,其示意图如图2．已知10cm AD BE ==,5cm CD CE ==,AD CD ⊥,BE CE ⊥,40DCE ∠=︒．（结果精确到0.1cm ,参考数据：sin 200.34︒≈,cos200.94︒≈,tan 200.36︒≈,sin 400.64︒≈,cos400.77︒≈,tan 400.84︒≈）（1）连结DE ,求线段DE 的长．（2）求点A ,B 之间的距离．22. 某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况,随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查,并将调查问卷（部分）和结果描述如下：中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0≤x<0.5）,第二组（0.5≤x<1）,第三组（1≤x<1.5）,第四组（1.5≤x<2）,第五组（x≥2）．根据以上信息,解答下列问题：∴1∴本次调查中,中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？∴2∴在本次被调查的中小学生中,选择“不喜欢”的人数为多少？∴3∴该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2,请结合上述统计图,对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价,并提出两条合理化建议．23. 已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1,0)．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3,若点B(1,y1),C(3,y2)在抛物线L3上,且y1＞y2,求n的取值范围．24. 小东在做九上课本123页习题：“1也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1）,用直尺和圆规作AB上的一点P,使AP：AB＝1．”小东的作法是：如图2,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,再以点A为圆心,AC长为半径作弧,交线段AB于点P,点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP,点D为线段AC上的动点,点E在AB的上方,构造DPE,使得DPE∽CPB．①如图3,当点D运动到点A时,求∠CPE的度数．②如图4,DE分别交CP,CB于点M,N,当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD）,猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．2023年浙江省嘉兴市中考数学真题试卷答案一、选择题（本题有10小题,每小题3分,共30分．请选出各题中唯一的正确选项,不选、多选、错选,均不得分）1. B2.C3. B4. D5. C6. D7. D ．8. C9. B10. D解：由蓄水池的横断面示意图可得水的深度增长的速度由慢到快,然后再由快到慢,最后不变故选：D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分）11. 202312. OA OC =或OB OD =或AB CD = 13. 1314.65︒ 15. 158310038100x y x y ⎧⨯++=⎪⎨⎪++=⎩16. ∴.∴. 1218π-解：如图1,过点G 作GH BC ⊥于H∵3045ABC DEF DFE ∠=︒∠=∠=︒，,90GHB GHC ∠=∠=︒∴BH =,GH CH =∵12BC BH CH GH =+=+=∴6GH =∴()6CG ===; 如图2,将DEF 绕点C 顺时针旋转60︒得到11D E F ,1FE 与AB 交于1G ,连接1D D由旋转的性质得：1160E CB DCD ∠=∠=︒,1CD CD =∴1CDD 是等边三角形∵30ABC ∠=︒∴190CG B ∠=︒ ∴112CG BC = ∵1CE BC = ∴1112CG CE =,即AB 垂直平分1CE ∵11CD E 是等腰直角三角形∴点1D 在直线AB 上连接1AD ,22D E F 是DEF 旋转0︒到60︒的过程中任意位置则线段DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积∵12BC EF ==∴DC DB BC ===∴11DC D D ==作1DN CD ⊥于N ,则1ND NC ==∴DN ===过点B 作1BM D D ⊥交1D D 的延长线于M ,则90M ∠=︒∵160D DC ∠=︒,90CDB ∠=︒∴118030BDM D DC CDB ∠=︒-∠-∠=︒∴12BM BD ==∴线段DH 扫过的面积112D DB D D D S S=+弓形 111CD D D DB CDD S SS =-+扇形(2601136022π⋅=-⨯⨯1218π=-故答案为：1218π-．三、解答题（本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分）17. （1）()2a a +;（2）3x >．18.都错误,见解析小丁和小迪的解法都错误;解：去分母,得(3)2x x x +-=-去括号,得232x x -=-解得,1x =经检验：1x =是方程的解．19. （1）①见解析;∴见解析（2）四边形BECD 是菱形,见解析【小问1详解】①如图：直线MN 即为所求;②如图,即为所求;;【小问2详解】四边形BECD 是菱形,理由如下：∵MN 垂直平分BC∴,OB OC BD CD ==∵OD OE =∴四边形BECD 是平行四边形又∴BD CD =∴四边形BECD 是菱形．20. （1）6 （2）n（3）见解析【小问1详解】解：∴223181-=⨯,225382-=⨯,227583-=⨯,229784-=⨯ ∴2211985-=⨯,22131186-=⨯故答案为：6;【小问2详解】由题意得：()()2221218+--=n n n故答案为：n ;【小问3详解】 ()()222121n n +--()()21212121n n n n =++-+-+42n =⨯8n =．21. （1）∴3015辆,∴68.3分（2）选B 款,理由见解析【小问1详解】∴由中位数的概念可得B 款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为3015辆; ∴172270367364268.32332x ⨯+⨯+⨯+⨯==+++分． ∴A 款新能原汽车四项评分数据的平均数为68.3分;【小问2详解】给出1:2:1:2的权重时72170267164267.81212A x ⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++（分） 70171270168269.71212B x ⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++（分） 75165267161265.71212C x ⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++（分） 结合2023年3月的销售量∴可以选B 款．22. （1）12.9cm（2）能,见解析【小问1详解】解：过点C 作OB 的垂线分别交仰角、俯角线于点E ,D ,交水平线于点F ,如图所示在Rt AEF 中,tan EAF EF AF∠=． tan151300.2735.1(cm)EF AF ∴=⋅︒=⨯=．,,90AF AF EAF DAF AFE AFD =∠=∠∠=∠=︒ ADF AEF ∴△≌△．35.1(cm)EF DF ∴==．16035.1195.1(cm)CE CF EF ∴=+=+=,235.1270.2(cm)26(cm)ED EF ==⨯=> ∴小杜下蹲的最小距离208195.112.9(cm)=-=．【小问2详解】解：能,理由如下：过点B 作OB 的垂线分别交仰角、俯角线于点M ,N ,交水平线于点P ,如图所示在Rt APM △中,tan MP MAP AP∠=． tan 201500.3654.0(cm)MP AP =⋅⨯=︒∴=,,90AP AP MAP NAP APM APN =∠=∠∠=∠=︒AMP ANP ∴△≌△．54.0(cm)PN MP ∴==16054.0106.0(cm)BN BP PN ∴=-=-=．小若垫起脚尖后头顶的高度为1203123(cm)+=．∴小若头顶超出点N 的高度123106.017.0(cm)15(cm)-=>．∴小若垫起脚尖后能被识别．23.【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系由题意得：抛物线的顶点坐标为()1,1.8设抛物线的解析式为()21 1.8y a x =-+,过点()0,1.6 ∴ 1.8 1.6a +=解得0.2a =-∴()20.21 1.8y x =--+当0y =时,()20.21 1.80x --+=得14,2x x ==-（舍去）∴素材1中的投掷距离OB 为4m ;（2）建立直角坐标系,如图设素材2中抛物线的解析式为2y ax bx c =++由题意得,过点()()()0,1.6,1,2.45,8,0 ∴ 1.6 2.456480c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得0.1511.6a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴20.15 1.6y x x =-++ ∴顶点纵坐标为()()2240.15 1.61449440.1515ac b a ⨯-⨯--==⨯- 49221.81515-=（m ） ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为22m 15; 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．24. （1）8AB =;（2）①见解析;②80y x =;③BG的长为5或． 【小问1详解】解：连接OA∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ,且8CE =,2DE =∴10CD CE DE =+=,AE BE = ∴152OA OD CD ===,3OE OD DE =-=在Rt OAE △中,4AE ==∴28AB AE ==;【小问2详解】解：①连接DG∵点G 是BC 的中点∴CG BG =∴GAF D ∠=∠∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点E∴90CGD CEF ∠=∠=︒∴90F DCG D ∠=︒-∠=∠∴GAF F ∠=∠;②∵8CE =,4AE =,90CEA ∠=︒∴AC ===∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点E∴AC BC =∴CAF CGA ∠=∠∵ACF GCA =∠∠∴CAF CGA ∽△△∴AC CFCG AC =,即x = ∴80y x =; ③当10CF CD ==时,在Rt CEF △中,6EF ===∴2BF EF BE =-=∵180FGB BGC FAC ∠=︒-∠=∠∴FGB FAC ∽△△ ∴BG BFAC CF=,210=∴BG = 当10DF CD ==时在Rt DEF △中,EF ===在Rt CEF △中,CF ===∴4BF EF BE =-=同理FGB FAC ∽△△∴BG BFAC CF =,=∴BG =;综上,BG 的长为5或．2022年浙江省嘉兴市中考数学真题试卷答案一、选择题二、填空题11. ()()11m m +-12. 2513. 60A ∠=︒（答案不唯一）14. 315. k n16.∴. 60° ∴.【详解】作O 关于CD 的对称点M ,则ON =MN连接MD 、ME 、MF 、MO ,MO 交CD 于N∴将CD 沿弦CD 折叠∴点D 、E 、F 、B 都在以M 为圆心,半径为6的圆上∴将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ,OB 相切于点E ,F ．∴ME ⊥OA ,MF ⊥OB∴90MEO MFO ∠=∠=︒∵120AOB ∠=︒∴四边形MEOF 中36060EMF AOB MEO MFO ∠=︒-∠-∠-∠=︒即EF 的度数为60°;∵90MEO MFO ∠=∠=︒,ME MF =∴MEO MFO ≅（HL ） ∴1302EMO FMO FME ∠=∠=∠=︒∴6cos cos30ME OM EMO ===∠︒∴MN =∵MO ⊥DC∴12DN CD ====∴CD =故答案为：60°;三、解答题17. （1）1-;（2）2x =-18. 赞成小洁的说法,补充OA OC =19. （1）③34100+25;（2）相等,证明见解析;（3）5a =【小问1详解】解：①当a ＝1时,152＝225＝1×2×100＋25;②当a ＝2时,252＝625＝2×3×100＋25;③当a ＝3时,352＝1225＝34100+25;【小问2详解】解：相等,理由如下： ()222510510010025,a a a a =+=++100a (a ＋1)＋25=210010025,a a 25100125.a a a【小问3详解】 25a 与100a 的差为2525 2100100251002525,a a a整理得：21002500,a即225,a = 解得：5,a1≤a ≤95.a ∴=20. （1）①见解析;②200y =,21x =（2）①当27x 时,y 随x 的增大而增大;②当14x =时,y 有最小值80（3）510x <<和1823x <<【小问1详解】①②观察函数图象：当4x =时,200y =;当y 的值最大时,21x =;21x =．【小问2详解】答案不唯一．①当27x 时,y 随x 的增大而增大;②当14x =时,y 有最小值80．【小问3详解】根据图像可得：当潮水高度超过260cm 时510x <<和1823x <<21. （1）3.4cm（2）22.2cm22. （1）第三组 （2）175人（3）该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2h ,建议学校多开展劳动教育,养成劳动的好习惯．（答案不唯一）23.（1）223y x x =+-（2）m 的值为4（3）3n >【小问1详解】解：把(1,0)A 代入2(1)4y a x =+-得：2(11)40a +-=解得1a =22(1)423y x x x ∴=+-=+-;答：抛物线1L 的函数表达式为223y x x =+-;【小问2详解】解：抛物线21:(1)4L y x =+-的顶点为(1,4)-- 将抛物线1L 向上平移(0)m m >个单位得到抛物线2L ,则抛物线2L 的顶点为(1,4)m --+ 而(1,4)m --+关于原点的对称点为(1,4)m - 把(1,4)m -代入223y x x =+-得：212134m +⨯-=- 解得4m =答：m 的值为4;【小问3详解】解：把抛物线1L 向右平移(0)n n >个单位得到抛物线3L ,抛物线3L 解析式为2(1)4y x n =-+- 点1(1,)B y ,2(3,)C y 都抛物线3L 上221(11)4(2)4y n n ∴=-+-=--222(31)4(4)4y n n =-+-=--y 1＞y 222(2)4(4)4n n ∴-->--整理变形得：22(2)(4)0n n --->(24)(24)0n n n n -+---+>2(62)0n -⨯->620n -<解得3n >n ∴的取值范围是3n >．24. （1）赞同,理由见解析,（2）①45︒,②点N 是线段ME 的“趣点”,理由见解析【小问1详解】证明：赞同,理由如下：等腰直角三角形ABC,45,AC BC A B 21cos 45,22AC AB ,AC AP 1,2APAB ∴点P 为线段AB 的“趣点”．【小问2详解】①由题意可得：45,90,,CAB B ACB ACAP BC 11804567.5,2ACP APC 9067.522.5,BCP 1804522.5112.5,CPB DPE ∽CPB ,D ,A 重合112.5,DPE CPB18045.CPE DPE CPB②点N 是线段ME 的“趣点”,理由如下：当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD ＜AD ）第 31 页 共 31 页 1,2AD AC而,AC AP 1,2AD AP1,,2ACA A AB ,ADP ACB ∽90ADP ACB 45,,APD DP CB ∥ 22.5,DPCPCB PDE ,DM PM9022.567.5,MDCMCD ,MD MC同理可得：,MC MN,MP MD MC MN22.5,45,MDP MPD E B 45,90,EMP MPE 1,2MPMN ME ME点N 是线段ME 的“趣点”．。
2018-2019学年上海中考数学各区一模汇编提升题(18、23、24、25题
目录Ⅰ第18题（填空小压轴） (3)【2019届一模徐汇】 (3)【2019届一模浦东】 (3)【2019届一模杨浦】 (3)【2019届一模普陀】 (4)【2019届一模奉贤】 (4)【2019届一模松江】 (4)【2019届一模嘉定】 (5)【2019届一模青浦】 (5)【2019届一模青浦】 (5)【2019届一模静安】 (6)【2019届一模宝山】 (6)【2019届一模长宁】 (6)【2019届一模金山】 (7)【2019届一模闵行】 (7)【2019届一模虹口】 (7)Ⅱ第23题（几何证明题） (8)【2019届一模徐汇】 (8)【2019届一模浦东】 (8)【2019届一模杨浦】 (9)【2019届一模普陀】 (9)【2019届一模奉贤】 (10)【2019届一模松江】 (10)【2019届一模嘉定】 (11)【2019届一模青浦】 (11)【2019届一模静安】 (12)【2019届一模宝山】 (12)【2019届一模长宁】 (13)【2019届一模金山】 (13)【2019届一模闵行】 (14)【2019届一模虹口】 (14)Ⅲ第24题（二次函数综合） (15)【2019届一模徐汇】 (15)【2019届一模浦东】 (16)【2019届一模普陀】 (18)【2019届一模奉贤】 (19)【2019届一模松江】 (20)【2019届一模嘉定】 (21)【2019届一模青浦】 (22)【2019届一模静安】 (23)【2019届一模宝山】 (24)【2019届一模长宁】 (25)【2019届一模金山】 (26)【2019届一模闵行】 (27)【2019届一模虹口】 (28)Ⅳ第25题（压轴题） (29)【2019届一模徐汇】 (29)【2019届一模浦东】 (30)【2019届一模杨浦】 (31)【2019届一模普陀】 (32)【2019届一模奉贤】 (33)【2019届一模松江】 (34)【2019届一模嘉定】 (35)【2019届一模青浦】 (36)【2019届一模静安】 (37)【2019届一模宝山】 (38)【2019届一模长宁】 (39)【2019届一模金山】 (40)【2019届一模闵行】 (41)【2019届一模虹口】 (42)Ⅰ第18题（填空小压轴）【2019届一模徐汇】18．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，BC=6，CD =2，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥AD 交边AB 于点F ．将△BEF 沿直线EF 翻折得到△GEF ，当EG 过点D 时，BE 的长为 ▲ ．【2019届一模浦东】18. 将矩形纸片ABCD 沿直线AP 折叠，使点D 落在原矩形ABCD 的边BC 上的点E 处，如果∠AED 的余弦值为35，那么ABBC =__________.【2019届一模杨浦】18．Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =2，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为 ▲ .GEABC DF （第18题图）ACB（第18题图）18．如图5，△ABC 中，8AB AC ==，3cos 4B =，点D 在边BC 上，将△ABD 沿直线AD 翻折得到△AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与边BC 相交于点F ，如果2BD =，那么EF = ▲ ．【2019届一模奉贤】18．如图5，在△ABC 中，AB =AC =5，3sin =5C ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ,点B 、C 分别与点D 、E 对应，AD 与边BC 交于点F ．如果AE //BC ，那么BF 的长是 ▲ ．【2019届一模松江】18．如图，在直角坐标平面xoy 中，点A 坐标为（3，2），∠AOB ＝90°，∠OAB ＝30°，AB 与x 轴交于点C ，那么AC :BC 的值为______．图5ABCD图5AB C（第18题图）xyC BOA18．在△ABC 中，︒=∠90ACB ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AE AC 3=，︒=∠45CDE (如图3)，△DCE 沿直线DE 翻折，翻折后的点C 落在△ABC 内部的点F ，直线AF 与边BC 相交于点G ，如果AE BG =，那么=B tan ▲ ．【2019届一模青浦】17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，tan ∠CAB=2，将△ABC 绕点A 旋转后，点B 落在AC 的延长线上的点D ，点C 落在点E ，DE 与直线BC 相交于点F ，那么CF= ▲ ．【2019届一模青浦】18．对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的 点S 称为“亮点”． 如图，对于封闭图形ABCDE ，S 1是 “亮点”，S 2不是“亮点”，如果AB ∥DE ，AE ∥DC ， AB=2，AE=1，∠B=∠C= 60°，那么该图形中所有“亮点” 组成的图形的面积为 ▲ ．EDCBAS 2S 1（第18题图）18．如图6，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线翻折后，点A 与点E 重合，且ED 交BC 于点F ，联结AE ．如果2tan 3DFC ∠=，那么BDAE的值是 ▲ ．【2019届一模宝山】18．如图4，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =5，点P 为AC 上一点，将△BCP 沿直线BP 翻折，点C落在C ’处，连接AC ’，若AC ’∥BC ，则CP 的长为 ▲ ．【2019届一模长宁】18．如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，将ABP ∆沿直线AP 翻折，点B 恰好落在边AD 的垂直平分线上，如果5=AB ，8=AD ，34tan =B ，那么BP 的长为 ▲ ．AC（图4）B图6F BACDEBACD第18题图18．如图，在ABC Rt ∆中，o90=∠C ，8=AC ，6=BC ．在边AB 上取一点O ，使BC BO =，以点O 为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90，得到C B A '''∆（点A 、B 、C 的对应点分别是点A '、B '、C '），那么ABC ∆与C B A '''∆的重叠部分的面积是 ▲ ．【2019届一模闵行】18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，点D 为边AB 上一点．将△BCD 沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，联结AE ．如果AE // CD ，那么BE = ▲ ．【2019届一模虹口】18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，△BED 绕着点B 旋转至△BD 1E 1，如果点D 、E 、D 1在同一直线上，那么EE 1的长为 ▲ ．ABC第18题OABC （第18题图）C第18题图A BDE OⅡ第23题（几何证明题）【2019届一模徐汇】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =⋅．(1) 求证：DE EF ⊥； (2) 求证：22BC DF BF =⋅．【2019届一模浦东】23. （本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，M 是边BC 的中点，E 是边BA 延长线上的一点，联结EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G .（1）求证：GF EFGM EM=; （2）当22BC BA BE =⋅时，求证：∠EMB =∠ACD .G DEF BCA（第23题图）（图8）DCM BAF GE23．（本题满分12分，每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD =∠B =∠BAE. （1）求证：AD DEBC AC=； （2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE ABCE AD=.【2019届一模普陀】23．（本题满分12分）已知：如图9，△ADE 的顶点E 在△ABC 的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，AE AF AB =⋅2，DAF EAC ∠=∠．（1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）求证：DF CE DE CB=．（第23题图）EABCDF图9ABCDE23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知：如图9，在△ABC 中，点D 在边AC 上，BD 的垂直平分线交CA 的延长线于点E ， 交BD 于点F ，联结BE ，EC EA ED •=2． （1）求证：∠EBA =∠C ；（2）如果BD =CD ，求证：AC AD AB •=2．【2019届一模松江】23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，E 是对角线AC 上一点，且AC ·CE=AD ·BC . （1）求证：∠DCA=∠EBC ；（2）延长BE 交AD 于F ，求证：AB 2=AF ·AD .ABCDEF图9（第23题图）EDCBAF（第23题图）EDCBA23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知点D 在△ABC 的外部，AD //BC ，点E 在边AB 上，AE BC AD AB ⋅=⋅． （1）求证：AED BAC ∠=∠；（2）在边AC 取一点F ，如果D AFE ∠=∠， 求证：ACAFBC AD =．【2019届一模青浦】23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD=AF ，AE CE DE EF ⋅=⋅．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE BD EF AF ⋅=⋅，求证：AB=AC ．图6BCDAE FABCDEF（第23题图）23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图9，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 和AB 上，且AD AC =，EB ED =，分别延长ED 、AC 交于点F ．（1）求证：ABD ∆∽FDC ∆； （2）求证：2AE BE EF =⋅．【2019届一模宝山】23．（本题满分12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图8所示，电梯AB 的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A 端6米的P 处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B 处的仰角为14°，求电梯AB 的坡度与长度． 参考数据：24.014sin ≈︒，25.014tan ≈︒，97.014cos ≈︒.Q 9.9米B出口顶部1.5米（图8）AP6米2.4米︒14图9 AC BDEF23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AC 、AB 上，延长DE 、CB 交 于点F ，且AC AD AB AE ⋅=⋅． （1）求证：C FEB ∠=∠；（2）联结AF ，若FD CD AB FB =，求证：FB AC AB EF ⋅=⋅．【2019届一模金山】23．如图，M 是平行四边形ABCD 的对角线上的一点，射线AM 与BC 交于点F ，与DC 的延长线交于点H ．（1）求证：MH MF AM ⋅=2．（2）若DM BD BC ⋅=2，求证：ADC AMB ∠=∠．第23题图CEDABF ABCD HF M第23题23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且AD = AB ，AE ⊥BC ，垂足为点E ．过点D 作DF // AB ，交边AC 于点F ，联结EF ，212EF BD EC =⋅．（1）求证：△EDF ∽△EFC ； （2）如果14EDF ADC S S =V V ，求证：AB = BD ．【2019届一模虹口】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是边BC 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点E ． （1）求证：DE CD AD CE ⋅=⋅；（2）设F 为DE 的中点，联结AF 、BE ，求证：=AF BC AD BE ⋅⋅．ABCDE F（第23题图）D 第23题图AECBⅢ第24题（二次函数综合）【2019届一模徐汇】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=o ． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOM S V ；（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．（第24题图）【2019届一模浦东】24.（本题满分12分，其中每小题各4分）已知：如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线12y x b=-+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. 抛物线244y ax ax=-+经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点D.（1）求抛物线的表达式;（2）求证: △BOD∽△AOB;（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP=∠DBO，求点P的坐标.（图9）xBO Ay【2019届一模杨浦】24．（本题满分12分，每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++?与y 轴交于点C （0,2），它的顶点为D （1,m ），且1tan 3COD ?. （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA =OB .若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB =45°.求P 点的坐标.O xy 1 2 3 4 1 2 3 45-1-2 -3 -1 -2 -3 （第24题图）24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-(0)a ≠与x 轴交于点A ()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标； （3）如果点F 是抛物线上的一点，且135FBD ∠=，求点F 的坐标．图10C BAOyx24．（本题满分12分，每小题满分6分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点A (6，0)和点B (1，－5)． （1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式； （2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32， 求点C 的坐标．图10 ABxyo24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线c bx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）. （1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO =2OF ，求m 的值.(第24题图)y xOBA24．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，抛物线22++=bx ax y 经过点)0,4(A 、)2,2(B ， 与y 轴的交点为C ．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积； （3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且︒=∠45DOE ，求点E 的坐标．图7O 11 xy--24．（本题满分12分， 其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD =2，求∠CAD 的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．CB A xyOCB A xyO（第24题图）（备用图）24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD ∆的面积是3． （1）求该抛物线的表达式； （2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE ∆与 ABD ∆相似时，求点P 的坐标．BD O图10xy﹒﹒24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）如图9，已知：二次函数2y x bx =+的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ,一次函数132y x =-的图像交x 轴于点B ，交y 轴于点C , ∠OCA 的正切值为23． (1)求二次函数的解析式与顶点P 坐标；(2)将二次函数图像向下平移m 个单位,设平移后抛物线顶点为P ’,若，求m 的值．A B C O yx（图9）24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点)3,1(B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，︒=∠45BAO ，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作OB PM //，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若AOB BMP ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点M 作x MC ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若ANC ∆的面积等于PMN ∆的面积的2倍，求NC MN 的值．第24题图 xO A By备用图xO A By24．已知抛物线c bx x y ++=2经过点()6,0A ，点()3,1B ，直线1l ：()0≠=k kx y ，直线2l ：2--=x y ，直线1l 经过抛物线c bx x y ++=2的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E .若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）． （1）求抛物线c bx x y ++=2的解析式．（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由．（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当MHF ∆与OAB ∆相似时，求点F 、H 的坐标（直接写出结果）．第24题yxO24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y a x b x =+经过点A （5，0）、B （-3，4），抛物线的对称轴与x 轴相交于点D ．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB 、BD ．求∠BDO 的余切值；（3）如果点P 在线段BO 的延长线上，且∠P AO =∠BAO ，求点P 的坐标．xy O （第24题图）24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点B （4，0），点A （3，m ）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求tan ∠OAB 的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果∠BAD =45°，求点D 的坐标．OAy 第24题图xBF EA CB DF E A CB DⅣ第25题（压轴题）【2019届一模徐汇】25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ． （1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长； （2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．（第25题图1） （第25题图）【2019届一模浦东】25. （本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图10-1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D 、E 分别在大三角尺的直角边AC 、BC 上， 此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G . 已知∠A =∠CDE =30°，AB =12. （1）求小三角尺的直角边CD 的长;（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D 第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图10-2），求点B 、E 之间的距离;（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求∠BAE 的正弦值.G（图10-1）（图10-2）E DCABDCBAE25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，AD =3，AB =6，DF ⊥DC 分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F .（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1），求BC 的长； （2）当点E 在边AB 上时（如图2），联结CE ，试问：∠DCE 的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE =x ，∠DCE 的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.A BC D EF （图1） （第25题图） A B C D E F （图2）25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点． （1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．A BCPOABCPO图11①图11②25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ． （1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．图11ABC D F E G 备用图ABC D25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ． （1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD ，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPC D E25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长； （3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．A备用图BD CA 图8B M E DC N A 备用图 BD C ME N A 图9 B D C25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ． （1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．NHGFEDC AB （第25题图）图11ABCPQM25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC ∆中，6AB =，9AC =，tan 22ABC ∠=．过点B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠． （1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若13AP ，求DE 的长； （2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．备用图A BCD PEABCDF（图10）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部， 且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ． 点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠． （1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．第25题图图2 BFE C N DA MB FC E N AD M图1备用图BC NAM25．已知多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，联结CH ,直线CH 交射线DF 于点G ，作CH MH ⊥交CD 的延长线于点M ，设⊙O 的半径为()0>r r ． （1）求证：四边形ACDF 是矩形．（2）当CH 经过点E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用r 的代数式表示）．（3）设()900<<=∠ααHCD ，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积（用r 及含α的三角比的式子表示）．A B C D EF G O HM第25题图第25题备用图 ABCD E FO25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AG y DG=． （1）求AB 的长； （2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果23ABEFABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．AB CDEFG （第25题图）A B C D （备用图）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ．（1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长； （2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEFS y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．第25题备用图 A B C 第25题图 E A B C F D G。
2023年辽宁阜新中考数学真题及答案
C. D.
9. 如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点为 ，对称轴是直线 ，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 点 在函数图象上
10. 如图，四边形 是正方形，曲线 叫作“正方形的渐开线”，其中 ， 与 与 ，…的圆心依次按O，A，B， 循环．当 时，点 的坐标是( )
A. B. C. D.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线 交于点D，若点M是直线 上方抛物线上的一个动点，求 面积的最大值．
（3）如图2，点 是直线 上的一个动点，过点 的直线 与 平行，则在直线 上是否存在点 ，使点 与点 关于直线 对称？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）答案见详解；
19、【答案】（1）见解析 （2）
20、【答案】（1）50 （2）见解析
（3）400
21、【答案】（1）两楼之间的距离约为
（2）大厦的高度 为
22、【答案】（1）足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）学校最多可以购买70个足球．
23、【答案】（1）① ；②见解析；
（2） 面积的最大值为 ．
（2）当 ，b=1，c=0时，即 ．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
…
0
1
2
3
4
…
…
6
2
0
2
4
6
…
其中 ______．
②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数 的图象．
（3）当 时，即 ．
①当 时，函数化简为 ______．
②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数 的图象．
（4）请写出函数 （a，b，c是常数， ）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
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(11年青岛中考) 23.问题提出
我们在分析解决数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小.解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差变形，利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M 、N 的大小，只要作出它们的差M N -，若0M N ->，则M N >；若0M N -=，则M N =；若0M N -<，则M N <. 问题解决
如图①，把边长为a +b 的大正方形(a≠b )分割成两个边长分别是a ，b 的小正方形以及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M 与两个矩形面积之和N 的大小.
由图可知，22M a b =+，2N ab =，
()2222 .M N a b ab a b ∴-=+-=- a b ≠ ，
()20a b ∴->， M N ∴>.
类比应用 ⑴已知小明和小亮购买同一种商品的平均价格分别为2a b +元/千克，2ab a b
+元/千克，试比较小明和小亮所购商品的平均价格的高低(a ，b 是正数，且a≠b ).
解：
类比应用
⑵试比较图②、图③两个矩形的周长M 1、N 1(b>c )的大小.
解：
拓展应用
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图④(0<c<a<b )，售货员分别按图⑤、图⑥、图⑦三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由
.
图② 图③
b +
a-c
图①
解：
（2011青岛中考）24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BD ⊥AC 于点D ，且BD ＝8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 的方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时直线PQ 由点B 出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/s ，运动过程中始终保持PQ ∥AC ，直线PQ 交AB 于点P 、交BC 于点Q 、交BD 于点F ．连接PM ，设运动时间为ts(0＜t ＜5)．
(1)当t 为何值时，四边形PQCM 是平行四边形？
(2)设四边形PQCM 的面积为ycm2，求y 与t 之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t ，使S 四边形PQCM ＝ 9 16
S △ABC ？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；
(4)连接PC ，是否存在某一时刻t ，使点M 在线段PC 的垂直平分线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．
图④
图⑤ 图⑥ 图⑦。