勾股定理(含几何画板)
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１、本节课我们经历了怎样的学习过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理， 再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实 际问题的过程。
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定 理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的 面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。
你能发现图中直角三角形有什么性质吗?
（1）观察图1-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
C A B C
9
个单位面积。
正方形B的面积是
9
图1-1
A B 图1-2
个单位面积。
正方形C的面积是 18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C
A
B C 图1-1 A B
（1）你能发现图1-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其 中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日， 伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定 理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总 统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。
３、学了本节课后你有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们 用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受 到了数学文化辉煌历史的教育。
“总统”证法
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外, 有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时 美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近 的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而 大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两 个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩 正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德 便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问 先生，如果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边 长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边 长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平 方，一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生， 你能说出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释 了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜 心探讨小男孩给他留下的难题。
z
625
576
③
基础练习
不是RtRt △的是（ 3．已知一个 △的两边长分别为 Ａ） 3和4， A、 a=1.5 ， b=2,c=3 B、 a=7,b=24,c=25 Ｄ ２０ 则第三边长的平方是（ ） ②若 a=15 ， c=25 ，则b=___________ ； C 、 a=6,b=8,c=10 a=3,b=4,c=5 A 、 25B 、14 C、7 D、 D、 7或25
SA+SB=SC
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
即：等腰直角三角形两条直角边上的正方 形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b， 斜边长为c，那么 2 a 2 +b 2 =c
你知道吗？
希腊的著明数学家毕达格拉斯发 现了这个定理，为“毕达格拉斯”定 因此世界上许多国家都称勾股定理 理．为了庆祝这一定理的发现，毕达 哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神 灵，因此这个定理又有人叫做“百牛 定理”．
2002年国际数学家大会会标
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
毕达哥拉斯（公 元前572~前 492），古希腊 著名的哲学家、 数学家、天文学 家。
我们也来观察上图中的地面， 看看有什么发现？
毕达哥拉斯
C A
B
1.在Rt△ABC中，∠C=90°， 2 ．下列各组数中，以 a， b，c 为边的三角形 ①若 a=5，b=12，则 c=___________ ； １３
１１ ③若c=61，b=60，则a=__________ ；
④若a∶b=3∶4，c=10， ２４ 。 则Rt△ABC的面积为________
小结
勾股定理
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者 把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的 直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
这是一个会标， 同学们认识这是什么大会的会标吗？
这个图案是我国 汉代数学家赵爽 在证明勾股定理 时用到的，被称 为“赵爽弦图”
证明结论
两千多年来，人们对勾股定理的证 明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们 的生活实际，以致于古往今来，下至平 民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的 证明，因此不断涌现新的证法。
设图中直角三角形的两条直 角边分别为a、b，斜边为c， 那么图中大正方形的面积应 该如何计算呢？
解：大正方形的面积：c 2 小正方形的面积： (b a ) 2 1 所以： 4 ab (b a ) 2 c 2 2 2ab b 2 2ab a 2 c 2 即：a 2 b 2 c 2
b a
∟
c
1 1 1 (a + b)(b + a) = c² + 2( ab ) 2 2 2 1 2 ab 1 = 1 c² a + + b² + ab 2 2 2
c
a2 + b2 = c2
b
∟
a
勾股定理的命名
1.约2000年前,我国古代算书《周髀算经》中就 记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股 四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾,较长的 边叫做股,斜边叫做弦. “勾三股四弦五”的意 思是,在直角三角形中, 如果勾为3,股为4,那么 弦为5. 2.西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理.毕达 哥拉(Pythagoras,约公元前580～前500年)是古 希腊杰出的数学家,天文学家,哲学家.他不仅提 出了定理,而且努力探求证明方法.
欣赏
常见的直角三角形
1 1
2
1
2
3 4 25
5
3
13
7 12 41 9 40
5
24
牛刀小试
求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
牛刀小试
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理， 再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实 际问题的过程。
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定 理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的 面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。
你能发现图中直角三角形有什么性质吗?
（1）观察图1-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
C A B C
9
个单位面积。
正方形B的面积是
9
图1-1
A B 图1-2
个单位面积。
正方形C的面积是 18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C
A
B C 图1-1 A B
（1）你能发现图1-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其 中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日， 伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定 理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总 统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。
３、学了本节课后你有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们 用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受 到了数学文化辉煌历史的教育。
“总统”证法
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外, 有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时 美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近 的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而 大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两 个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩 正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德 便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问 先生，如果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边 长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边 长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平 方，一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生， 你能说出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释 了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜 心探讨小男孩给他留下的难题。
z
625
576
③
基础练习
不是RtRt △的是（ 3．已知一个 △的两边长分别为 Ａ） 3和4， A、 a=1.5 ， b=2,c=3 B、 a=7,b=24,c=25 Ｄ ２０ 则第三边长的平方是（ ） ②若 a=15 ， c=25 ，则b=___________ ； C 、 a=6,b=8,c=10 a=3,b=4,c=5 A 、 25B 、14 C、7 D、 D、 7或25
SA+SB=SC
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
即：等腰直角三角形两条直角边上的正方 形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b， 斜边长为c，那么 2 a 2 +b 2 =c
你知道吗？
希腊的著明数学家毕达格拉斯发 现了这个定理，为“毕达格拉斯”定 因此世界上许多国家都称勾股定理 理．为了庆祝这一定理的发现，毕达 哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神 灵，因此这个定理又有人叫做“百牛 定理”．
2002年国际数学家大会会标
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
毕达哥拉斯（公 元前572~前 492），古希腊 著名的哲学家、 数学家、天文学 家。
我们也来观察上图中的地面， 看看有什么发现？
毕达哥拉斯
C A
B
1.在Rt△ABC中，∠C=90°， 2 ．下列各组数中，以 a， b，c 为边的三角形 ①若 a=5，b=12，则 c=___________ ； １３
１１ ③若c=61，b=60，则a=__________ ；
④若a∶b=3∶4，c=10， ２４ 。 则Rt△ABC的面积为________
小结
勾股定理
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者 把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的 直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
这是一个会标， 同学们认识这是什么大会的会标吗？
这个图案是我国 汉代数学家赵爽 在证明勾股定理 时用到的，被称 为“赵爽弦图”
证明结论
两千多年来，人们对勾股定理的证 明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们 的生活实际，以致于古往今来，下至平 民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的 证明，因此不断涌现新的证法。
设图中直角三角形的两条直 角边分别为a、b，斜边为c， 那么图中大正方形的面积应 该如何计算呢？
解：大正方形的面积：c 2 小正方形的面积： (b a ) 2 1 所以： 4 ab (b a ) 2 c 2 2 2ab b 2 2ab a 2 c 2 即：a 2 b 2 c 2
b a
∟
c
1 1 1 (a + b)(b + a) = c² + 2( ab ) 2 2 2 1 2 ab 1 = 1 c² a + + b² + ab 2 2 2
c
a2 + b2 = c2
b
∟
a
勾股定理的命名
1.约2000年前,我国古代算书《周髀算经》中就 记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股 四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾,较长的 边叫做股,斜边叫做弦. “勾三股四弦五”的意 思是,在直角三角形中, 如果勾为3,股为4,那么 弦为5. 2.西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理.毕达 哥拉(Pythagoras,约公元前580～前500年)是古 希腊杰出的数学家,天文学家,哲学家.他不仅提 出了定理,而且努力探求证明方法.
欣赏
常见的直角三角形
1 1
2
1
2
3 4 25
5
3
13
7 12 41 9 40
5
24
牛刀小试
求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
牛刀小试
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②