高中数学 函数与方程教案 苏教版必修1
函数与方程教案苏教版必修
函数与方程教案苏教版必修一、教学目标1. 理解函数与方程之间的关系，掌握函数的概念和性质。
2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等基本数学问题。
3. 能够运用函数与方程的知识解决实际生活中的问题。
二、教学内容1. 函数的概念与性质函数的定义与表示方法函数的域与值域函数的单调性、奇偶性、周期性2. 一元一次方程与一元二次方程一元一次方程的解法一元二次方程的解法方程的根的判别式3. 不等式与不等式组不等式的性质一元一次不等式的解法一元二次不等式的解法4. 函数的图像与解析式函数图像的性质函数解析式的求法函数与方程的图像关系5. 函数与方程的应用函数与方程在实际生活中的应用函数与方程的数学建模函数与方程的综合练习三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探究来理解函数与方程的概念和性质。
2. 利用数形结合的方法，通过绘制函数图像和解析式，帮助学生直观地理解函数与方程之间的关系。
3. 提供实际生活中的例子，让学生学会运用函数与方程的知识解决实际问题。
四、教学评估1. 课堂练习：每节课结束后，安排适量的练习题，巩固学生对函数与方程的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的作业题，要求学生在规定时间内完成，以检验学生对知识的掌握情况。
3. 单元测试：每个章节结束后，进行一次单元测试，全面评估学生对该章节知识的掌握程度。
五、教学资源1. 教材：苏教版必修数学教材2. 教辅资料：相关的函数与方程的辅导书籍和练习题库3. 教学软件：数学软件或教育平台，用于展示函数图像和解析式4. 实际案例：收集一些实际生活中的问题，用于教学中的应用举例六、教学内容6. 函数的性质探究函数的极值与最值函数的转折点与单调区间函数的凹凸性与拐点7. 方程的求解方法代数法求解方程图像法求解方程数值法求解方程8. 函数与方程的变换函数的平移与拉伸函数的旋转与翻转函数的复合与分解9. 函数与方程的应用案例经济增长模型药物浓度变化模型运动物体轨迹模型10. 函数与方程的综合练习综合性的函数与方程问题函数与方程的实际应用题函数与方程的数学竞赛题七、教学方法1. 采用案例教学法，通过分析实际案例，引导学生理解和掌握函数与方程的性质和应用。
高中数学 2.5《函数与方程》教案二 苏教版必修1
教学目标：1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．教学重点：用二分法求方程的近似解；教学难点：二分法原理的理解．教学方法：讲授法与合作交流相结合．教学过程：一、问题情境1．情境：（1）复习函数零点的定义以及函数零点存在的条件；（2）给出函数f (x)＝lg x＋x－3存在零点的区间；2．问题：如何求方程lg x＝3－x的近似解？二、学生活动用二分法探求一元二次方程x2－2x－1＝0区间(2，3)上的根的近似值．三、建构数学1．对于区间[a，b]上连续不断，且f(a) f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定f(a) f(b)＜0，从而确定零点存在的区间(a，b)；（2）求区间(a，b)的中点x1，并计算f(x1)；（3）判断零点范围：若f(x1)＝0，则x1就是函数f(x)的零点；若f(a) f(x1)＜0，则零点x1∈(a，x1)，令b＝x1，否则令a＝x1；（4）判断精确度：若区间两个端点的近似值相同（符合精确度要求），这个近似值即为所求，否则重复(2)～(4)．四、数学运用例1 求方程x2－2x－1＝0在区间(－1，0)上的近似解(精确到0.1)．例2 借助计算器用二分法求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)变式训练：利用计算器求方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．练习1．确定下列函数f (x)的零点与方程的根存在的区间(k，k＋1)(k∈Z)：（1）函数f (x)＝x3－3x－3有零点的区间是．（2）方程5x2－7x－1＝0正根所在的区间是．（3）方程5x2－7x－1＝0负根所在的区间是．（4）函数f (x)＝lg x＋x－3有零点的区间是．2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是．3．已知方程x3－3x－3＝0在实数范围内有且只有一个根，用二分法求根的近似解(精确到0.1)．五、要点归纳与方法小结1．二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．六、作业课本P79－1，2，3．。
高中数学函数与方程 第1课时苏教版必修一
函数与方程第1课时【教学目标】1．让学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点的关系，由此体会可以利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况．2．让学生在利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况的过程中．体会数形结合这一重要的数学思想【学习指导】高中数学中，函数与方程的思想是体现得比较多的数学思想方法，在高考中也是屡考不爽，已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，常常需要通过抛物线去考查函数的零点、顶点和函数值的正负等等，这是数形结合这一重要的数学思想的最好体现．本节重点有两个：一是会用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，二是会用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题．难点是能否画出符合题意的二次函数的图象．【例题精析】例1．求证：⑴作出二次函数322-+=x x y 的图象，观察图象分别指出x 取何值时，y=0 ? y<0? y>0?⑵ 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）之间有怎样的关系？例2．⑴关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；⑵关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[)4,0内，求m 的取值范围；⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围；⑷关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围；例3．已知关于x 的方程02=++c bx ax ，其中0632=++c b a ．⑴ 当a=0时，求方程的根；⑵ 当a>0时，求证：方程有一根在0和1之间．例4．若4288(2)50x a x a +--+>对任意实数x 均成立，求实数a 的取值范围．【当堂反馈】1．函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上( )．A 、没有零点B ．有无数个零点C ．有两个零点D ．有一个零点2． 方程ln x +2x =6在区间上的根必定属于区间( )A ．(-2,1)B ．5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知f （x ）＝（x －a ）（x －b ）－2（a ＜b ），并且α、β是方程f （x ）＝0的两个根（α＜β），则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ ）A ．α＜a ＜b ＜βB ．a ＜α＜β＜bC ．a ＜α＜b ＜βD ．α＜a ＜β＜b4．不等式（a －2）x 2＋2（a －2）x －4＜0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（－∞，2）B ．(]2,2-C ．（－2，2）D ．（－∞，2）5．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x |x 2－2ax ＋a ＋2≤0，a ∈R}，若A B ＝A ，求a 的取值范围．6．已知函数2=+-+的图像与x轴的交点在原点的右侧，试确定实()(3)1f x kx k x数k的取值范围．7．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞b＞c），f（1）＝0，()=+．g x ax b（1）求证：两函数f（x）、g（x）的图象交于不同两点A、B；（2）求线段AB在x轴上射影长的取值范围．。
苏教版高中数学必修一《函数与方程(第1课时)》教案2
函数的零点【学习内容分析】本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定.函数的零点是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x 的值;从方程的角度看,即为相应方程f(x)=0的实数根，从函数的图象来看,函数的零点就是函数f(x)与x 轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，函数与其它知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的结合在一起.本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的角度，从函数与其它知识联系的角度来引入较为适宜.【学习目标】（1）能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）了解函数零点与相应方程根的联系，掌握零点存在的判定条件.（3）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法.【学习重难点】重点：零点的概念及零点存在性判定.难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.【学习方法】问题是课堂教学的灵魂，以问题为主线贯穿始终，以学生为主体，以教师为主导，以能力发展为目标，精心设计引导性问题，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，动画等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式.【学习过程】（一）问题情境（1）画出函数322--=x x y 的图象,并写出图象与x 轴交点的横坐标. 注：通过学生熟悉的函数图象入手，让学生体会函数322--=x x y 图象与x 轴交点的横坐标和对应方程根的关系,建立初步的数形结合思想（课件展示函数图象）（2）画出二次函数322+-=x x y 与122+-=x x y 的图象,并写出图象与x 轴交点的横坐标.说明：通过两个小题让学生认识到当二次函数的图象在x 轴上方时，与之对应的方程无解，当二次函数的图象恰好与x 轴相切时，与之对应的方程有相等的实数根，建立初步的函数与方程的思想.提出二次函数零点的概念（我们把使二次函数的值为0的实数x 称为二次函数的零点）.（二）合作探究探究二次函数2(0)y ax bx c a =++>的零点、二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与一元二次方程20ax bx c ++=的实数根之间的关系？ ac b 42-=∆Δ>0 Δ=0 Δ<0方程)0(02>=++a c bx ax 的根)0(2>++=a c bx ax y 的图象)0(2>++=a c bx ax y 的零点说明：小组合作探究，由学生回答，教师对答案给予鼓励性的评价.通过完成以上问题,让学生体会从具体函数与相应方程根的关系到一般函数与相应方程根的关系.如果学生有困难，教师可给予引导,结合二次函数的图象,推广到一般函数零点的定义.（三）意义建构函数零点的概念：我们把使函数()y f x =的值为0的实数x 称为函数()y f x =的零点（zeropoint ）.注：（1）零点不是点，而是一个实数.（2）等价关系函数y=f(x)的零点⇔方程f(x)=0实数根（数）⇔函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标（形）.有了上述的关系，就可用函数的观点看待方程，方程()0f x =的根即为函数()y f x =的零点，可以把解方程的问题转化为思考函数图象与x 轴交点的问题.这正是函数与方程思想的基础.（四）新知运用例1求下列函数的零点,并画出下列函数的简图.①21y x =- ②244y x x =-+ ③1y x= ④2log y x = （教师用展示台展示学生的作图，指出优缺点）通过画简图，了解图象的变化形式，要注意体现零点性质的应用，为下面学习根的存在条件奠定基础.例2 求证二次函数122--=x x y 有两个不同的零点.思路分析：可让学生充分讨论例2的解法，发展学生的发散性思维，第一，从数的角度，将函数问题转化方程问题，体现“函数与方程”思想.第二，从形的角度，利用几何画板演示，观察函数图象与x 轴交点的个数.证明：设12)(2--=x x x f ,则 f(1)=－2<0.因为它的图象是一条开口向上的抛物线（不间断），故图象一定穿过x 轴， 所以函数的图象与x 轴有两个不同的交点.因此，二次函数12)(2--=x x x f 有两个不同的零点. 从上面的解答知道，此函数有两个零点，分别是21,2121-=+=x x . 教师进一步给出以下两个问题引导学生给出函数零点存在性的判定方法（1）你能说明此函数在哪个区间上存在零点211+=x ,和212-=x 吗？（2）如何判断一个函数在区间(,)a b 上是否存在零点？让学生自己思考、发言得到结论，教师整理后得到函数零点的存在性定理. 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条不间断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.计算f(a)、f(b)f(a)f(b)<0 是 否函数在(a ，b)上存 在 零 点 函数在(a ，b)上 不一定存在零点教师给出这个结论，组织学生对下面问题进行讨论.通过问题讨论，升华对零点存在性判定的理解.（1）若f(a)·f(b)<0,函数y ＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?（3）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？（4）在什么条件下，函数y ＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？（5）如果0x 是二次函数y ＝f(x)的零点，且b x a <<0，那么f(a)·f(b)<0一定成立吗？为了帮助大家更好体会该结论，我们把它设计成流程图说明：设置流程图，既直观、清晰，又为学生将来学习算法奠定基础.算法的特殊表示符号，学生不知道，师生共同完成即可.例3求证 函数32()1f x x x =++在区间(－2，－1)上存在零点.说明: 学生完成过程中，教师进行巡视，展台展示优秀作品及步骤有问题者，达到纠正错误及解题规范化的目的.（五）归纳总结说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识进行系统整理，为后面函数零点的应用奠定基础.（六）反馈练习(1)函数f(x)＝2x 2－5x ＋2的零点是 ；(2)二次函数y ＝2x 2＋px ＋15的一个零点是－3，则另一个零点是 ；(3)若函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围 ；(4)在二次函数c bx ax y ++=2中，ac<0,则其零点的个数为 ； 说明:本环节用时5分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以巩固，对做的好的及时给予表扬.（七）作业布置 已知2()23f x x x a =---，问a 为何值时分别满足下列条件①有2个零点;②3个零点;③4个零点.【学习反思】前苏联数学家斯托利亚说过:“积极的教学应是数学活动(思维活动)的教学，而不是数学活动的结束—数学知识的教学.”反思“函数的零点”的课堂教学，本人觉得类似这样的数学概念、原理的教学，教学设计应特别重视“过程性”，教学过程应特别强调“参与性”，要让学生“参与”到教学过程中去.唯有学生的过程参与，才能较好地激发其主动性，确立其主体地位.吸引学生“参与”，关键招数之一是对教材进行“问题化”处理，用问题去引领学生探究.学生“参与”到教学过程中来，就是要参与知识建构、参与思维训练、参与方法提炼.本课中，围绕教学目标知识生成的过程，设计了若干问题，以问题为中心，以学生为主体，让他们亲身经历，体验函数的零点知识的建构过程，函数零点存在性结论的探求，体现了本节课设计的基本理念:过程性、问题性和主体性.。
苏教版高中数学必修一函数与方程教案(4)
函数与方程教学目标：理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；会用二分发求函数零点的近似值.教学重点：函数零点的概念击求法；利用零点做函数的草图；会用二分发求函数零点的近似值.教学过程：1、复习一元二次方程的解法，根的判别式；二次函数的图像和性质2、通过实例引入零点的概念：如果函数)(x f y =在实数α处的值为0，即0)(=αf ，则α叫作这个函数的零点. 3、提出以下问题（1） 如何求函数的零点？（2） 函数零点与函数图像的关系?（3） 讨论函数的零点、方程的根、不等式的解集之间的关系？ 4、二次函数零点的判定同根的判定 5、图像连续的函数的零点的性质（1） 函数的图像是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号. 推论：函数在区间],[b a 上的图像是连续的，且0)()(<b f a f ，那么函数)(x f 在区间],[b a 上至少有一个零点.（2） 相邻两个零点之间的函数值保持同号 6、应用（1）利用函数的零点研究函数的性质作函数的简图例1、 求函数2223+--=x x x y 的零点，并画出函数的简图. 7、通过实力讲解二分法的方法例2、 求函数22)(23--+=x x x x f 的一个为正数的零点（误差不超过0.1） 力求讲清：程序：详见教材第78页， 练习：用二分法求函数22-=x y 的零点 【典型例题】1．函数零点的讨论1．如果关于x 的方程2350x x a -+=的一根大于2-但小于0，另一根大于1但小于3，那么实数a 的取值范围是 ．2．实数m 为何值时，函数2()(2)5f x mx m x m =+-+-的两个零点满足一个大于2，一个小于2？3．下列说法正确的个数是（ ）①当240b ac ∆=->时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠有两个零点；②函数的零点即函数的图象与x 轴的公共点；③对任意函数()f x ，在相邻两个零点之间所有函数值保持同号；④函数38y x x =-的零点为0，22，22-． Ａ．1个 Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个4．对于任意定义在R 上的函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 是函数()f x 的一个不动点，若二次函数2()1f x x ax =-+没有不动点，则实数a 的取值范围是 ．5．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与相应二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点之间的关系为 ．2、一般函数零点的求法——二分法1．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）2．用二分法求函数零点，若函数的零点总位于区间[]n n a b ，上，则当n n a b ε-<时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（ ） Ａ．12ε Ｂ．14ε Ｃ．ε Ｄ．2ε3．函数2()816f x x x =-+-在区间［3，5］上（ ） Ａ．没有零点Ｂ．有一个零点 Ｃ．有两个零点Ｄ．无数个零点4．方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．5．若方程2210ax x --=在（0，1）内恰有一解，则a 的取值范围是多少？6．用二分法求方程x 3＋4x 2－10＝0在区间[1，2]上的根．（精确到5个有效数字）参考答案： 【基础练习】1．二次函数2221()y x mx m m =-+++∈R 为偶函数，则此函数的零点为 ． 答案：1±．2．若函数2()2f x ax bx =++的两个零点是12-，13，则a b +的值为（ ） Ａ．14 Ｂ．14-Ｃ．10Ｄ．10-答案：Ｂ．3．已知1x ，2x 是函数22(2)(35)y x k x k k =--+++（k 为实数）的两个零点，则2212x x +的最大值为（ ） Ａ．18 Ｂ．19Ｃ．559Ｄ．不存在答案：Ａ．4．若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（ ） Ａ．a ＜1Ｂ．a ＞1 Ｃ．a ≤1Ｄ．a ≥1答案：Ｂ5．对于函数2()f x x mx n =++，若()0f a >且()0f b >，则函数()f x 在区间()a b ，内（ ） Ａ．一定有零点 Ｂ．一定没有零点 Ｃ．可能有两个零点 Ｄ．至多有一个零点答案：Ｃ【典型例题】1．函数零点的讨论1．如果关于x 的方程2350x x a -+=的一根大于2-但小于0，另一根大于1但小于3，那么实数a 的取值范围是 ．答案：120a -<<．2．实数m 为何值时，函数2()(2)5f x mx m x m =+-+-的两个零点满足一个大于2，一个小于2？答案：解：由二次函数的图象可知：(2)0mf <，[]4(2)250m m m m +-⨯+-<∴，(79)0m m -<∴，907m <<∴．3．下列说法正确的个数是（ ）①当240b ac ∆=->时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠有两个零点；②函数的零点即函数的图象与x 轴的公共点；③对任意函数()f x ，在相邻两个零点之间所有函数值保持同号；④函数38y x x =-的零点为0，- Ａ．1个 Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个答案：B4．对于任意定义在R 上的函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 是函数()f x 的一个不动点，若二次函数2()1f x x ax =-+没有不动点，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(31)-，．5．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与相应二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点之间的关系为 ．答案：设24b ac ∆=-，有：（1）当0∆>时，一元二次方程有两个不相等的实数根12x x ，，相应的二次函数的图象与x 轴有两个交点12(0)(0)x x ，，，，相应的二次函数有两个零点；（2）当Δ=0时，一元二次方程有两个相等实数根12x x =，相应的二次函数图象与x 轴有惟一的交点1(0)x ，，相应的二次函数有一个二重的零点；（3）Δ＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x 轴没有交点，相应的二次函数无零点.2、一般函数零点的求法——二分法1．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）答案：B2．用二分法求函数零点，若函数的零点总位于区间[]n n a b ，上，则当n n a b ε-<时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（ ） Ａ．12ε Ｂ．14ε Ｃ．ε Ｄ．2ε 答案：C3．函数2()816f x x x =-+-在区间［3，5］上（ ） Ａ．没有零点Ｂ．有一个零点 Ｃ．有两个零点Ｄ．无数个零点答案：Ｂ4．方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________． 答案：[2，2.5]5．若方程2210ax x --=在（0，1）内恰有一解，则a 的取值范围是多少？ 解：令2()21f x ax x =--．()0f x =∵在(01)，内恰有一解， (0)(1)0f f <∴·，即1(22)0a --<·，1a >∴．6．用二分法求方程x 3＋4x 2－10＝0在区间[1，2]上的根．（精确到5个有效数字）答案：1.3652296066284186．。
苏教版必修1高中数学函数与方程 学案
函数与方程 学案重难点：理解根据二次函数的图象与x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．考纲要求：①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．经典例题：研究方程|x2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数．当堂练习：1．如果抛物线f(x)= x2+bx+c 的图象与x 轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是（ ）A ． (-1,3)B ．[-1,3]C ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞D ． (,1][3,)-∞-⋃+∞2．已知f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且m ，n 是方程f(x)=0的两根，则实数a,b,m,n 的大小关系可能是（ ）A ． m<a<b<nB ．a<m<n<bC ．a<m<b<nD ．m<a<n<b3．对于任意k ∈［－1,1］,函数f(x)=x2+(k －4)x －2k+4的值恒大于零，则x 的取值范围是A ．x<0B ．x>4C ．x<1或x>3D ．x<14． 设方程2x+2x=10的根为β,则β∈（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．如果把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似的看作直线的一段，设a ≤c ≤b ，那么f(c)的近似值可表示为（ ）A ．1[()()]2f a f b + B ． C.f(a)+[()()]c a f b f a b a --- D.f(a)－[()()]c af b f a b a ---6．关于x 的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m 的取值范围是 ．7． 当a 时，关于x 的一元二次方程 x2+4x+2a-12=0两个根在区间[-3,0]中．8．若关于x 的方程4x+a ·2x+4=0有实数解，则实数a 的取值范围是___________．9．设x1,x2 分别是log2x=4-x 和2x+x=4的实根,则x1+x2= ．10．已知32()f x x bx cx d =+++,在下列说法中：(1)若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内有且只有一根；(2) 若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一根；(3) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内一定没有根；(4) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至多有一根； 其中正确的命题题号是 ．11．关于x 的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m 的取值范围．12．已知二次函数f(x)=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,*a N ∈．（1）求函数f(x)的图象与x 轴相交所截得的弦长；（2） 若a 依次取1,2,3,4,---,n,时, 函数f(x)的图象与x 轴相交所截得n 条弦长分别为123,,,,n l l l l 求123n l l l l ++++的值．13． 已知二次函数2()(),,,f x ax bx c g x bx a b c R =++=-∈和一次函数其中且满足,a b c >>(1)0f =．（1）证明：函数()()f x g x 与的图象交于不同的两点A ，B ；（2）若函数()()()[2,3]F x f x g x =-在上的最小值为9，最大值为21，试求b a ,的值；（3）求线段AB 在x 轴上的射影A1B1的长的取值范围．14．讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数．。
函数与方程教案苏教版必修
函数与方程教案苏教版必修一、教学目标1. 理解函数与方程的概念，掌握它们之间的关系。
2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等简单方程。
3. 能够运用函数与方程的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 函数与方程的定义2. 一元一次方程的解法3. 一元二次方程的解法4. 不等式的解法5. 函数与方程的应用三、教学重点与难点1. 重点：函数与方程的概念、解法及应用。
2. 难点：函数与方程之间的关系，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数与方程的基本概念、解法及应用。
2. 利用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用函数与方程的知识解决问题。
3. 运用讨论法，让学生在课堂上互相交流、探讨，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数与方程的重要性。
2. 新课讲解：讲解函数与方程的定义，分析它们之间的关系。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用函数与方程的知识解决问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固函数与方程的知识。
六、教学评价1. 评价内容：学生对函数与方程的概念、解法及应用的掌握程度。
2. 评价方法：课堂提问、作业批改、课后访谈等。
3. 评价指标：（1）能够正确理解函数与方程的定义；（2）掌握一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法；（3）能够运用函数与方程的知识解决实际问题；七、教学反思1. 反思内容：教学方法、教学内容、教学过程等。
2. 反思方法：教师自我评价、学生反馈、同行评价等。
3. 反思措施：（1）根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；（2）根据学生掌握情况，适当调整教学内容，加强难点讲解；（3）注重课堂互动，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
八、教学资源1. 教材：苏教版必修《数学》2. 辅助资料：教学课件、练习题、案例分析资料等。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》42
第十三课时函数与方程【教学目标】1、了解函数与方程之间的内在联系，既能用函数思想研究函数的零点与方程实数解的关系，又能运用数形结合思想找到判定方程f=0在某区间[a，b]内有实数解的方法；2、理解运用二分法求方程近似解的方法能借助计算器求形如高次方程、指数、对数方程的近似解；3、体会等价转换、数形结合、化归等数学思想的运用。
【高考要求】A级一、知识梳理：考点1 ：函数的零点1、函数的零点（1）函数零点的定义一般地，如果函数=f在实数a处的值等于零，即fa=0，则叫做这个函数的零点（2）几个等价关系①方程f=0有实根等价于函数=f的图像与有交点等价于函数=f有零点②函数F=f-g的零点就是方程的实根；即函数=f的图像与函数=g的图像交点的函数与方程之间要灵活转化（3）零点存在定理①在闭区间[a,b]上连续；②fafb a[]bx2m试讨论函数＝ff＋1的零点个数。
错误!、若函数f＝3＋a＋bb∈R有3个零点，分别为1，2，3，且满足11，则实数a的取值范围是。
例3、已知关于的二次方程2＋2m＋2m＋1＝01若方程有两根，其中一根在区间－1，0内，另一根在区间1，2内，求m的取值范围；2若方程两根均在0，1内，求m的取值范围．【课堂练习】1．已知定义在R上的函数f＝2－3＋2g＋3－4，其中函数＝g的图象是一条连续不断的曲线，则函数f在下列哪个区间内必有零点A．0，1 B．1，2 C．2，3 D．3，42．已知函数f＝og a＋－ba>0，且a≠1，当2错误!未定义书签。
设f＝2－1*－1，且关于的方程为f=mm∈R 恰有三个互不相等的实数根1，2，3，则123的取值范围是5．设f＝错误!关于的方程是f2－af＝01若a＝1，则方程有____个实数根；2若方程恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为______ ．6．定义函数f＝错误!,函数g＝f－6在区间[1，2n]n∈N*内的所有零点的和= ．【课堂小结】1 函数=f的零点等价于=f的图象与轴的交点等价于方程f=0的根2 应用数形结合思想和分类讨论思想解题——本节课的亮点。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》32
§方程的根与函数的零点（第一课时）李丝缘一、教材分析本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应函数的情形。
这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，渗透着重要的数学思想“由特殊到一般的归纳思想”、“方程与函数”和“数形结合”的思想，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备。
二、学情分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．三、教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系。
过程与方法体会找二次函数零点的过程．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．四、教学重点：零点的概念、判断零点个数．五、教学难点零点的确定．六、教学过程：（一）复习回顾1、一元二次方程的一般形式、解法、根的判别式。
2、一元二次函数的一般形式、图像，以及五点画图法。
设计意图：回忆初中知识，缓解学生的畏难情绪（二）创设情境，导入新课问题1:求下列方程的根16-1=0;2326-1=0;3356-1=0设计意图：回忆方程的解法方程解法史话问题2:求下面方程的实数根n2-6=0问题3:怎么解一般方程f=0问题4:方程f=0的根与函数=f 之间有什么样的关系呢（设计意图：从已知问题出发，引出新的未知知识，激发学生的好奇心。
函数与方程教案苏教版必修
函数与方程教案苏教版必修一、教学目标：1. 理解函数与方程之间的关系，掌握函数的定义及性质。
2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等基本方程。
3. 能够运用函数与方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的定义及性质2. 一元一次方程的解法3. 一元二次方程的解法4. 不等式的解法5. 函数与方程的实际应用三、教学重点与难点：1. 重点：函数的定义及性质，一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法。
2. 难点：函数与方程之间的联系及应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数与方程的基本概念、解法及实际应用。
2. 利用案例分析，让学生在实际问题中体会函数与方程的重要性。
3. 运用练习法，巩固所学知识，提高解题能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的实例，引导学生认识函数与方程的重要性。
2. 讲解函数的定义及性质：结合图形，讲解函数的定义，引导学生理解函数的性质。
3. 讲解一元一次方程的解法：引导学生掌握解一元一次方程的方法，如加减法、乘除法等。
4. 讲解一元二次方程的解法：引导学生掌握解一元二次方程的方法，如因式分解、公式法等。
5. 讲解不等式的解法：引导学生掌握解不等式的方法，如同解变形、图像法等。
6. 实践练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
7. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用函数与方程解决问题。
六、教学评估：1. 通过课堂问答、练习批改等方式，了解学生对函数与方程基本概念的理解程度。
2. 评估学生在解决实际问题时的能力，检查他们能否灵活运用函数与方程知识。
3. 定期进行小型测验，检查学生的学习进度和掌握情况。
七、教学资源：1. 教材：苏教版《数学》必修教材。
2. 教辅：相关练习册、参考书。
3. 网络资源：数学教育网站、在线教学平台。
4. 图形计算器：用于展示函数图像和方程解的图形。
八、教学进度安排：1. 第一周：函数的定义及性质。
2. 第二周：一元一次方程的解法。
苏教版数学高一《 函数与方程》 精品教案
关系？结论：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x) 的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点 ⑤ 练习：求下列函数的零点244y x x =-+；243y x x =-+ → 小结：二次函数零点情况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出243y x x =-+的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观察f(2)和f(0)的符号②观察下面函数()y f x =的图象，在区间[],a b 上______(有/无)零点；()f a ·()f b _____0（＜或＞），在区间[],b c 上______(有/无)零点；()f b ·()f c _____0（＜或＞），在区间[],c d 上______(有/无)零点；()f c ·()f d _____0（＜或＞)．③定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b ）内有零点，即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数。
（试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程()0f x =的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．⑥ 练习：求函数23x y =-的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x 轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：2. 求函数3222y x x x =--+的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：（1）254y x x =--；（2）2(1)(31)y x x x =--+；（3）220y x x =-++；（4）22()(2)(32)f x x x x =--+.4．已知2()2(1)421f x m x mx m =+++-：（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m 的值．()0f b<，则令（或b）；否则重复步骤。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》9
函数与方程教学设计一、教材分析1地位与作用本节内容为苏教版版必修1第三、对数函数和幂函数》第四节《函数的应用》的第一课时《函数与方程》，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．本节课不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。
2教学目标：（1）了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与轴的交点三者的关系；（2）理解函数零点存在性定理，利用函数图象判断函数在某区间上是否存在零点；（3）经历“类比—归纳—应用”的过程，初步体会函数方程思想。
3 教学重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理。
4教学难点：对零点存在性定理的准确理解。
二、过程分析1教学结构设计：2教学过程设计：（一）创设情境，感知概念（1）一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．填空：问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与轴交点的横坐标．意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．（2）一般函数的图象与方程根的关系．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？为什么？师生互动，在学生回答的基础上，老师加以改善，从而得出一般的结论：方程()0f x =有几个根，()y f x =的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标． 意图：通过二次函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．（二）辨析讨论，深化概念． （1）函数零点．概念：一般地，我们把使函数()y f x =的值为0的实数x 称为()y f x =的零点． 说明：①函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的根；函数()y f x =的零点就是其图象与x 轴交点的横坐标． ②函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值． ③零点对于函数而言，根对于方程而言．例1．写出下列函数的零点：（1）2()237f x x x =+-；（2）()ln(1)f x x =-；（3）()3x f x e =-．设计意图：函数零点的解法，求相应方程的实数根．复习前面学习的二次方程，对数方程，指数方程，并体会方程的根与相应函数零点之间的密切联系．（三）实例探究，归纳定理．辨析应用，熟悉定理．例2．判断函数12)(2--=x x x f 在区间(2,3)上是否存在零点． 设计意图：判断函数在区间上是否存在零点．通过对例2的研究发现两种处理方法：法一：用方程的思想解决函数零点问题 法二：利用函数图像解决零点存在性问题，并通过归纳得出零点存在性定理． 判断连续函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点的一个方法：若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条不间断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点说明：（1）[,]a b ，(,)a b 题中为什么区间不统一，反例1()12x a f x a x b x b -=⎧⎪=<<⎨⎪=⎩（2）该结论无法确定零点的个数，通过画图说明，并说明函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点，不能得到()()0f a f b ⋅<例3．求证：函数1)(23++=x x x f 在区间(2,1)--上存在零点．例3设计意图：简单运用零点存在性定理．（四）综合应用，拓展思维．例4判断函数()lg3f x x x=+-是否存在零点．例4设计意图：函数图像不熟悉，而且没有给出区间，怎么判断零点是否存在？灵活运用零点存在性定理找到零点存在区间。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》
微专题运用数形结合思想探究函数零点问题
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运用数形结合思想探究函数零点问题历来是高考的热点与难点，解决此类问题的难点是函数形式的有效选择。
本专题主要研究运用数形结合思想探究函数零点问题，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用。
【模拟练习题体验】
2021·江苏已知函数f＝|n |，g＝错误!则方程|f＋g|＝1实根的个数为________．
【例题导引】
例题：（1）已知函数f＝错误!g＝＋1，若方程f－g＝0有两个不同的实根，则实数的取值范围是________．
【押题精炼】
函数f＝错误!其中t>0，若函数g＝f[f－1]有6个不同的零点，则实数t的取值范围是____________．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》53
函数与方程【复习指导】函数的零点是研究函数由动到静的根本对象，在复习时要注意函数零点的求法，以及数形结合这一重要数学思想的应用，用形作为探求解题途径、获得问题解决的重要工具，以数解形，以形辅数，从而解决问题【知识回忆】函数零点的定义对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点〔注意：零点是横坐标，是数不是点〕几个等价关系①方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有②函数与图象的交点个数函数与轴交点个数函数的零点个数函数零点的判定零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．假设在上连续且单调．．．．．．．．．，并且有，那么在上有唯一零点【根底训练】1．假设一次函数有一个零点，那么函数的零点是2 假设函数，那么函数的零点是2．设方程的根为，假设，那么整数=3 函数的零点共有个4 函数在区间上零点〔填“存在〞或“不存在〞〕4 假设函数的零点在区间内，那么3．设是定义在上的偶函数，对于任意，都有，且当时，，假设函数在区间上恰好有个不同的零点，那么的取值范围为4．方程有四个同的实根，那么的取值范围为5 假设函数在区间内有零点，那么实数的取值范围是【例题分析】例1.求以下函数的零点〔1〕；〔2〕例2判断函数在区间上是否存在零点例3 函数，假设方程恰有4个不同的实数根，那么的取值范围为【变式练习】2021江苏是定义在上且周期为的函数，当时，假设函数在区间上有个零点〔互不相同〕，那么实数的取值范围是【随堂检测】1．方程根的个数为2 ，那么的零点为课堂小结：函数零点个数的判断方法：1解方程：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；2用定理：零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点；3看图像：利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．另外，图像交点个数差函数零点个数。
高一数学苏教版必修一第二章2.5函数与方程教案
函数与方程 教学目标：（一）知识目标：1、掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系；2、理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系；3、掌握零点存在的判定条件，利用零点作函数的图像。
（二）能力目标：1、通过对二次函数与二次方程两者之间联系的理解，培养学生运用数形结合思想的能力；2、通过本节课的学习，培养学生的抽象概括能力。
（三）情感目标：1、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，激发学生学习的兴趣；2、通过对零点的概念的概括，让学生体会到成功的乐趣。
重点难点：重难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题；零点的确定难点：培养学生的抽象概括能力教学方法：自主学习、思考、交流、讨论和概括教学过程：（一） 新课引入：1、 提出问题：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象有什么关系？2、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程0322=--x x 与函数322--=x x y )0(>∆②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y )0(=∆③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y )0(<∆学生分别画出三个函数的图像：322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y3、分析当)0(>a 时二次方程的实数根与二次函数图象和x 轴交点坐标之间的关系。
推广到一般的一元二次方程情形如何？ （二） 新课探究：1、函数零点的概念：使函数))((D x x f y ∈=的值为0的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈= 的零点（zeropoint ）。
2、提问：方程的根、函数的零点、函数的图像与x 轴交点横坐标之间的关系如何？结论：函数零点的意义：方程0)(=x f 的根⇔函数)(x f y =的零点，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、如何求函数)(x f y =的零点？①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察刚刚画出的二次函数32)(2--=x x x f 的图象：1）在区间]1,2[-上有零点___；=-)2(f _，=)1(f _,则)2(-f ·)1(f ___0（＜或＞＝）．2）在区间]4,2[上有零点___；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象1) 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）． 2)在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）． 3)在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）． 5、①由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？（怎样断定函数在某给定区间上是否存在零点？）②分析函数在区间端点上的函数值的符号情况 结论：零点存在定理：若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条不间断的曲线，且0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间),(b a 上有零点。
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函数与方程
教学目标：
使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.
教学重点：
利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.
教学难点：
利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.
教学过程：
Ⅰ.复习引入
初中二次函数的图象及有关的问题
Ⅱ.讲授新课
问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？
我的思路：（1）当△＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1＜x2）对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x1、x2；
（2）当△＝b2－4ac＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根x0；
（3）当△＝b2－4ac＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根．
［例1］已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，a∈R}，若A∪B ＝A，求a的取值范围．
解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识．
∵A＝［1，4］，A∪B＝A，∴B⊆A．
若B＝φ，即x2－2ax＋a＋2＞0恒成立，则△＝4a2－4（a＋2）＜0，
∴－1＜a＜2；
若B≠φ，解法一：△＝4a2－4（a＋2）≥0，∴a≥2或a≤－1．
∵方程x2－2ax＋a＋2＝0的两根为x1，2＝a±a2―a―2．
则B＝{x|a－a2―a―2 ≤x≤a＋a2―a―2 }，由题意知
⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2―a ―2 ≥1a ＋a 2―a ―2 ≤4
解之得2≤a ≤187 ，综合可知a ∈（－1，187
］． 解法二：f （x ）＝x 2
－2ax ＋a ＋2， 如图知 ⎩⎪⎨⎪⎧△＝4a 2
－4（a ＋2）≥0
f （1）＝3－a ≥0f （4）＝－7a ＋18≥0
1≤a ≤4 解之得2≤a ≤187 ，综上可知a ∈（－1，187
］． ［例2］已知x 的不等式4x －x 2
＞ax 的解区间是（0，2），求a 的值． 解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题．
解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y 1＝4x －x 2
和y 2＝ax 的图象． 如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线y ＝ax 必过点（2，2），则a ＝1． 解法二：∵0＜x ＜2，当a ≥0时，则4x －x 2＞a 2x 2
． ∴0＜x ＜41＋a 2 ，则41＋a
2 ＝2，∴a ＝1． 当a ＜0时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，
∴a ＜0舍去．
综上知a ＝1．
［例3］已知函数f （x ）＝x 2
＋2bx 十c （c ＜b ＜1），f （1）＝0，且方程f （x ）＋1＝0有实根，
（1）证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；
（2）若m 是方程f （x ）＋1＝0的一个实根，判断f （m －4）的正负，并说明理由． 解析：（1）由f （1）＝0，则有b ＝－c ＋1
2 ，
又因为c ＜b ＜1，消去b 解之得－3＜c ＜－13
； ① 又方程f （x ）＋1＝0有实根，即x 2
＋2bx ＋c ＋1＝0有实根， 故△＝4b 2
－4（c ＋1）≥0，消去b 解之得c ≥3或c ≤－1； ② 由①②可知，－3＜c ≤－1且b ≥0．
（2）f （x ）＝x 2
＋2bx ＋c ＝（x －c ）（x －1），f （m ）＝－1＜0，∴c ＜m ＜1，
从而c －4＜m －4＜－3＜c ，
∴f （m －4）＝（m －4－c ）（m －4－1）＞0，即f （m －4）的符号为正．
Ⅲ.课后作业
1．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是（－∞，－12 ）∪（13
，＋∞），求ab 的值 解析：方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12 、13
， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧．＝－，＝－－61261a
a b ∴⎩⎨⎧．＝－，＝－212b a ∴ab ＝24． 2．方程x 2
－2ax ＋4＝0的两根均大于1，求实数a 的取值范围． 解析：方法一：利用韦达定理，设方程x 2
－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2， 则⎪⎩
⎪⎨⎧≥∆．，＞－＋－，＞－－00)1()1(0)1)(1(2121x x x x 解之得2≤a ＜52 ． 方法二：利用二次函数图象的特征，设f （x ）＝x 2
－2ax ＋4， 则⎪⎩
⎪⎨⎧≥∆．＞，＞，10)1(0a f 解之得2≤a ＜52 ． 3．已知不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}，求不等式6x 2
－5x ＋a ＞0的解集．
解析：由题意，方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得⎩⎨⎧，
＝－，＝－61b a
则所求不等式为6x 2－5x －1＞0，解之得x ＜－16
或x ＞1． 4．关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧0
5)52(20222＜＋＋＋，＞－－k k x x x 的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．
解析：不等式组可化为⎩
⎨⎧0))(52(12＜＋＋＜－或＞k x x x x ， ∵x ＝－2，（如下图）
∴（2x ＋5）（x ＋k ）＜0必为－2
5＜x ＜－k ，－2＜－k ≤3，得－3≤k ＜2．。