结构力学(第五版)第七章_力法

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i 1X1+ i 2X2+ … + i iXi+ … + i nXn+△iP=0 （7—3）
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n1X1+ n2X2+ … + niXi+ … + nnXn+△nP=0
这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中
X6
X4
←X5
X6
n=3×7=21
对于具有较多框格的结构，可 按框格的数目确定，因为一个封 闭框格，其 超 静定次数等于三。 当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
返17回
§7—3 力法的基本概念
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概
念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计
算超静定结构的方法。
构的力法方程。
qL2 2
5. 计算系数和常数项
qL2
= 1 L22L
8
EI 2 3
B L
↑ M1图
q
X1 1
M
图
P
qL2
8
M图
=
_
E1I(
1 3
qL2 2 L)
3L 4
6. 将11、 ∆11代入力法方程式(7-1)，可求得
多余未知力x1求出后，其余反力、内 力的计算都是静定问题。利用已绘出 的 M1图和MP图按叠加法绘M图返。19回
P X1
另一解法 解: 1 0
11X1 1P 0
M1
1
X1=1
P
MP
11 2l / 3EI
1P
1 EI
1 l 2
Pl 4
1 2
Pl 2 16 EI
X1 3Pl / 32
Pl / 4
M M1X1 M P
32
例7—4. 力法解图示结构
P
P
X1
X2
X3
X1=1
X2=1
X3=1 P
1 0 2 0 3 0
M1
M2
2111XX11
12 22
X2 X2
13 X3 23 X3
1P 2P
0 0
31X1 32 X 2 33 X3 3P 0
M3
MP
33
另一解法
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱX1
X2
X3
13 31 0
2P 3P 0
X1=1 X2=1
M1 M2
X3=1 M3
1211XX11
12 X 2 22 X 2
§7—4 力法的典型方程
用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方
程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。
1. 三次超静定问题的力法方程
↓P
↓P
首先选取基本结构（见图b）
基本结构的位移条件为：
设当
△1=0 △2=0 △3=0
和荷载 P
原结构
基本结构
A
B X1 A X2
B
C
n=2(二次超静定)
a
选择基本结构如图示 力法典型方程为： 11X1 + 12X2+△1P=0 (a)
21X1 + 22X2+△2P=0
2
P
a
2A
计算系数和常数项，为
此作
计算结果如下
I2=2I1
BC I1
原 P
A
a X1 1 a M1图
a
BX1
X2
基
a
X2 1 M 2图
a
1 2EI1
a2 2
2a 3
Pab2
L2 M图
Pa 2b L2
故作按解弯式得矩图。X3=0
返28回
a
例 7—2 用力法计算图示桁
架内力，设各杆EA相同。
解： n=1(一次超静定)。 选择基本结构如图示。
写出力法典型方程
3 P
P 4
0
1
2
2a
2a
3P X1 P4
11X1+△1P=0
0
1
2
按下列公式计算系数和自由项
基本结构
2 2 3 X1=1 4
1P
23
X3
0
0
32 X 2 33 X 3 0
P
MP
34
例7—5. 力法解图示结构 EA=常数. -P/2
X1
解: 1 0
P
2/2
P
11X1 1P 0
P/2
-P/2 a
11
N1N1l 4(1 2) a
EA
EA
1P
N1N Pl 2(1 2) Pa
Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为常数项（又称自由项）。
返22回
3. 力法方程及系数的物理意义
（1）力法方程的物理意义为：基本结构在全部多余
未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向
上的位移，应与原结构相应的位移相等。
（2）系数及其物理意义：
下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位
多余联系与多余未知力的选择。
返4回
3. 超静定结构的类型
（1）超静定梁;
（2）超静定桁架； ⑶ （3）超静定拱；
（4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。
4. 超静定结构的解法 ⑷
求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件:
（1）平衡条件；
（2）几何条件；
⑸
（3）物理条件。 具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移返法5回。
→↑ （a）
X3 （b）
分别作用在结构上时， 沿X1方向：11、12、13和△1P ； A点的位移 沿X2方向：21、22、23和△2P ； 沿X3方向：31、32、33和△3P 。
据叠加原理，上述位移条件可写成
△1=11X1+12X2+13X3+△1P=0 △2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
为此，求出基本结构的
和NP值 N1
0 22 1
-1/2
对称
2
列表计算(见书137页)后得
EA11=(3+ ) a EA△1P=－Pa
2P 2
NP 0
3 P0
1
+P/2
P 4
对称返29回2
代入典型方程，解得
3
22
X1=1
4
=0.172P
0 22 1
对称
N1
-1/2
2
各杆内力按式
P
30
P 4
叠加求得。 例如
§7—11 超静定结构的特性 2
§7—1 概 述
1. 静定结构与超静定结构
静定结构： 全部反力和内力只用平衡条件便可确
定的结构。
HA A
P
B
VA
RB
超静定结构：仅用平衡条件不能确定全部反力和
内力的结构。
P
A
B
❖
C
HA
VA
RB
RC
P
外力超静定问题
内力超静定问题 返3回
2 . 超静定结构在几何组成上的特征
是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。
A
B PC
X1
此超静定结构有一个多余联 系，即有一个多余未知力。
❖
X1 ↙ X2 ↙
↗↗
P
此超静定结构有二个多余联 系，即有二个多余未知力。
多余联系：这些联系仅就保持结构的几何不变性 来说，是不必要的。
多余未知力：多余联系中产生的力称为多余未
知力（也称赘余力）。
3L
31X由1+图乘32X法2求+ 得33X3+△3P=0
M1图 X1 1
作基本结构各 和MP图 1 X2 1 由于 3=0,故
M 2图
M3图 P Pab L
13= 31= 23= 32= △3P=0
X3 1 则典型方程第三式为
MP图
代代入入典典型型方3方3X程程3(=解消0得去公因子)得
33≠0(因X3的解唯一)
q
1.判断超静定次数： n=1
A EI
原结构
2. 确定(选择)基本结构。
A
3.写出变形(位移)条件: 基本结构
(a)
根据叠加原理，式（a） 可写成
L
q
q
B
↑B X1 11
↑ X1
(b)
返18回 1P
(b)
q
4 .建立力法基本方程
将 ∆11=11x1代入(b)得
A EI
(7—1) L
此方程便为一次超静定结
返27回
例 7—1 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。
a P b
A
B
L
解：n=3
选取简支梁为基本结构 典型方程为
X1
P
基本结构
X3
11X111X+1+12X122X+2+1△3X1P3=+0△1P=0 21X211X+1+22X222X+2+2△3X2P3=+0△2P=0
1
L b X2
8
（2）撤去两杆间的一个单铰或撤去一个铰 支座，等于去除两个约束。
9
（3）撤去一个固定端或切断一根梁式杆， 等于去除三个约束。
由此得出一般性结论：每一个封闭框格为超静定3次。
10
(4)在梁式杆的某一截面插入一个单铰，等于去 除一个约束。
将复铰结点A 拆开，在刚结点B 处插入一个单 铰并切断一个链杆，复铰A相当于两个单铰的作用， 共去除六个约束，即n = 6。
X1←↓↑→X1
X2
返6回
3. 在刚结点处作一切口， 或去掉一个固定端，相当 于去掉三个联系。
4. 将刚结点改为单铰联 结，相当于去掉一个联系。
X1←X↓2 ↑X→2 X1 X3
X1
X1
应用上述解除多余联 系(约束)的方法，不难确 定任何超静定结构的超静 定次数。
返7回
在超静定结构上去除多余约束，常有以下几 种基本方式： （1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于去除一个 约束。
多余未知力
单独作用时所引起的沿其自身方向上
的位移，其值恒为正。
系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力
单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有
i j= j i
△i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿上X述i方方向程的的位组移成。具其有值规可律能性为，正故、称为为负力或法为典零型。方返2程3回。
4P 11
+
a(
3P 88
)
Pa 2
内力的计算便是静定问题。
返26回
2 、力法的计算步骤
（1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系， 以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力 图，据此计算典型方程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。
11
对于框架，可采用下式计算超静定次数:
n 3 ch
式中 c 为框格数，h 为单铰数
先将结构中每个框格都看作是无铰的，每个单 铰的存在就减少1次超静定。
12
例1：
(b) (a)
框格数c = 2 单铰数h = 2
n = 3×2-2 = 4
框格数c = 4 单铰数h = 6
n = 3×4-6 = 6
§7—2 超静定次数的确定
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系
或多余未知力的数目。
1.超静定次数：多余联系或多余未知力的个数。 2.确定超静定次数的方法: 采用解除多余联系的方法.
解除多余联系的方式通常有
以下几种：
↓ ↑X1
（1）去掉或切断一根链杆，
相当于去掉一个联系。
（2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
13
例2：
X1
X2
X1
X2 X3 X4
n=2 n=4
14
X2 X1 X3
X1
X3
X2
X4
n=3 n = 4+6-2=8
15
思考：
是否可将支座A处的水平链杆作为多余约束？
X1
??
16
例题:确定图示结构的超静定次数（n）。
X←1 ↓↑→X2
X←1 ↓↑→X2
→X←3
→X←3
X←4 ↓↑→X5
n=6
结论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得 到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知 量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的 位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡 条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。
力法整个计算过程自始至终都是在基本结构 上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化 为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问返20回题。
=
a3 6EI1
1 2EI1
a2 2
a=
a3 4EI1
返25回
a
a
M1图
M 2图
将以上各系数代入方程(a)
a
a
C
B
并消去(a3/EI1)得
3/88×Pa
P
Pa
M
图
P
P
13/88×Pa
2 15/88×Pa A M图
最后内力图的绘制用叠加法
解联立方程得
例如
. 多余未知力求得后其余反力、
MAC= a
1
第七章 力 法
§7—1 超静定结构概述 §7—2 超静定次数的确定 §7—3 力法的基本概念
§7—4 力法的典型方程 §7—5 力法的计算步骤和示例 §7—6 对称性的利用
§7—7 超静定结构的位移计算 §7—8 最后内力图的校核 §7—9 温度变化时超静定结构的计算
§7—10 支座移动时超静定结构的计算
（7—2） 返21回
11X1+12X2+13X3+△1P=0
21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0
（7—2）
2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程
对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有
n个位移条件，可写出n个方程
11X1+ 12X2+ … + 1iXi+ … + 1nXn+△1P=0
NP 0
2P 2
+P/2
1 对称
2
N03=0.707×0.172P -0.707Ｐ
=－0.586P
P
P
3
+0.172P
4
N
0
1 对称 2
+0.414P
返30回
例7—3. 力法解图示结构，作M图
P 3Pl / 32
M
EI
EI
l/2 l/2 l P
X1
M1
l / 2 X1=1 P
Pl / 4
31
4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在 已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于 平面结构，这些位移的计算公式为
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，
代入典型方程即可解出各多余未知力。
返24回
§7—5 力法的计算步骤和示例
1. 示例