2012年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

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2012年广东高考文数试题版后面带答案

广东2012文科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i - 2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2) 4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e = D．y =5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6- 6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =AC A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．B ．C ．D ． 19．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 A ． 105 B ． 16 C ． 15 D ． 110．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ 和βα 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．52 B ． 32 C ． 1 D ． 12二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．函数xx y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列) （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y tx （t为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,AD mA C n ==，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ．（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．17．（本小题满分13分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．21．（本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D A B =．(1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．选择题参考答案：1-5：DAADC 6-10：BCBCD 第10解析：由定义知：,2cos 21cos ||||2||||cos ||||)1(cos 2||||2||||cos ||||2nn b a n b b b a b b b a b a nb a n a a a b a a a b a b ∈∙⇒∈∙∙=∙∙==⇒=∙∙=∙∙=θθθθθ）代入得：将（因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案21填空题答案：12：),0()0,1[+∞⋃- （注意，写成集合形式也给分}0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x13:41 14: 1 1 3 315: 参数方程极坐标：)1,2(几何证明选做题：mn16, 解：分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ （2）：分分分分，由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f17. 解 (1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为：人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分 60-70段语文成绩的人数为：人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分 70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯ 90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯分8735.7100595208530754065555 =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x (3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分 60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分18（1）：A B C DP H P AD P AD AB P AD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆A AD AB AB PH PH ADPHPH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线ABCD )1(平面知：由⊥PHABCD 平面⊥∴EMBCF 平面ＥＭ⊥∴即EM 为三棱锥BCF -E 底面上的高BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分………………………………………………………………………………………………………………………8分（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ2121=PH ＥＭ＝12221223131=⨯⨯=∙∙=-EMS V BCF BCF ENFN EN FN AB NADF AB21DF //EN P AB EN P AD P AD AB P AD ,//=⋂⊥∴∴=⊥∴∴∆⊥∴⊂⊥∴⊥是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面 ENAB PAPAAB PA CD CD AB…………………………………………………………………………………………………………………13分19解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分 11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分NEFAB N NE NF NF AB NADF ABEF NEF EF NEF AB 平面是距形四边形平面又平面⊥∴=⋂⊥∴∴⊥∴⊂⊥∴ 22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分20解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122+=b a,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：1122=++by b x ………………………………………………………………3分将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分所以211122=+=+=b a故椭圆方程为：1222=+y x ……………………………（2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y xmkx y 消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：1222=-k m ①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：⎩⎨⎧=+=xy mkx y 42消除y 得：0)42(222=+-+m x km x k04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224=-+k k 解得：22,221(,2122-==-==k k k k 或者舍去），故 21,21-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分 0)22(4)12(222=-+++m kmx x k故切线方程为：222222--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分 21, 解：（1）集合B 解集：令06)1(322=++-a x a xa a 624)]1(3[2⨯⨯-+-=∆)3)(13(3--=a a (1):当0<∆时，即：时131<<a ，B 的解集为：}|{R x x ∈此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D （2）当)3(,310舍去时，解得===∆a a 此时，集合B 的二次不等式为：02422>+-x x ，0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且故：),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D （3）当时，0>∆即舍去）3(310><<a a 此时方程的两个根分别为：4)3)(31(3)131a a a x ---+=（=2x 4)3)(31(3)13a a a --++（很明显，0,31012>><<x x a 时故此时的),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(,(),0(21+∞--++⋃---+=+∞⋃=⋂=a a a a a a x x B A D （（）综上所述：当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a （（当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 0)1)((=--x a x此时方程的两个根为：121==x ax （ⅰ）当=<<D ,310时a ),(),0(21+∞⋃x x),4)3)(31(3)13(4)3)(31(3)130+∞--++⋃---+=a a a a a a D （）（，（即： ax a a a a a a a a a a a ax >∴>-∴<<-=--------=-1210)3(8310)3(8)3)(31(3)34)3)(31(33 （将分子做差比较：故当，是一个极值点a x ==-11x 4)3)(31(3)1(314)3)(31(3)13a a a a a a ----=----+（分子做差比较：所以11<x又=-12x 14)3)(31(3)13---++a a a（4)31()3)(31(3a a a ----=分子做差比较法：0)31(8)31()3)(31(32>-=----a a a a ，故12>x ,故此时1=x 时的根取不到，（ⅱ）当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D ，此时，极值点取不到x=1极值点为(31,)2716-0)13(8)3)(31(3)13(2<-=----a a a a（ⅲ）当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D ,极值点为：1 和a 总上所述：当,310时≤<a )(x f 有1个,a 极值点当时131<<a ，)(x f 有2个极值点分别为1 和a当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D(2)极值点，即导函数的值为0的点。

2012年广东省高考数学试题(文科)-标准答案和解析

绝密★启用前试卷类型：B２012年普通高等学校招生全国统一试卷(广东卷）数学(文科）本试题共4页，２1小题,满分1５0分,考试用时12０分钟。

注意事项：1．答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用２B 铅笔将试卷类型(A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后,用２B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

４．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径. 锥体体积公式13V Sh =,其中Ｓ为锥体的底面积，ｈ为锥体的高．一组数据12,,,n x x x 的标准差()++-n s x x =，其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题:本大题共１0小题，每小题5分，满分５０分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数3+4i i= A.43i -- B ．43i -+ Ｃ.43i + ﻩ D.43i -2.设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U C M =A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U3．若向量()1,2AB =，向量()3,4BC =,则AC =Ａ.(4,6) B ．(4,6)-- C ．(2,2)-- D ．(2,2)４．下列函数为偶函数的是A.sin y x =B.3y x = C ．xy e = D ．2+1y x =５.已知变量,x y 满足约束条件11+10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最小值为A ．3B ．１C ．5- D.6-6．在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,32BC =，则AC =Ａ.3 B.3 3ﻩ 37．某几何体的三视图如图１所示,它的体积为Ａ.72π B.48π C ．30π D ．24π8.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦 AB 的长等于A ．33 B.23 3 D.19．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为６，则输出s 的值为A ．105 Ｂ.１6 C.15D ．1１0.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若两个非零的平面向量,a b 满足图2 图1。

2012年广东高考试题(文科数学,word解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积343V R π=，其中R 为球的半径。

一组数据12,,,n x x x L 的标准差s =其中x 表示这组数据的平均数。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设i 为虚数单位，则复数34i i +=( ) ()A 43i -- ()B 43i -+ ()C i 4+3 ()D i 4-3【解析】选D 依题意：234(34)43i i i i i i ++==- 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =( ) ()A {,,}246 ()B {1,3,5} ()C {,,}124 ()D U【解析】选A U C M ={,,}246 3. 若向量(1,2),(3,4)AB BC ==u u u r u u u r ；则AC =u u u r ( )()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2()D (,)22 【解析】选A (4,6)AC AB BC =+=u u u r u u u r u u u r4. 下列函数为偶函数的是( )()A sin y x = ()B 3y x = ()C x y e = ()D y =【解析】选D sin y x =与3y x =是奇函数,，x y e =是非奇非偶函数5. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )()A 3 ()B 1 ()C 5- ()D 6-【解析】选C 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：(1,0),(1,2),1,2)A B C ---则2[5,3]z x y =+∈-6. 在ABC ∆中，若60,45,32A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =( )()A 43 ()B 23 ()C 3 ()D 32【解析】选B由正弦定理得：3223sin sin sin 60sin 45BCACAC AC A B ︒︒=⇔=⇔=7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A 72π ()B 48π ()C π30 ()D π24【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为3222141335330233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯-=8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )()A 33 ()B 23 ()C 3 ()D 1【解析】选B圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -==弦AB 的长22223AB r d =-=9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为()A 105 ()B 16 ()C 15 ()D 1s 11 3 15 i1 3 5 78. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=g o g ；若两个非零的平面向量,a b r r 满足， a r 与b r 的夹角(,)42ππθ∈，且,a b b a r r r r o o 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =r r o ( ) ()A 12()B 1 ()C 32 ()D 52 【解析】选A 21cos 0,cos 0()()cos (0,)2a b a b b a a b b a b aθθθ=>=>⇒⨯=∈r r r r r r r r r r o o o o r r ,a b b a r r r r o o 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中得：*12121()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=r r r r r r o o o二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (文科) 解析版

绝密★启用前试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i 为虚数单位，则复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -1. D. 34(34)()43()i i i i i i i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则U M =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A. U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)AB =u u u r ，(3,4)BC =u u u r，则AC =u u u rA. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2)3. A. (4,6)AC AB BC =+=u u u r u u u r u u u r.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x = C. xy e =D. y = 4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+可化为直线1122y x z =-+，则当该直线过点(1,2)A --时，x +z 取得最小值，min 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中，若60A ∠=o ，45B ∠=o，BC =AC =A.B.C.D.6. B. 根据正弦定理，sin sin BC ACA B=，则sin sin BC B AC A ⋅===.7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A.B.C.D . 18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d ==，则222()32AB r d =-=，即AB =9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 9. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅o αβαβββ.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，图2图1正视图俯视图侧视图且o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=o a bA.52 B. 32 C. 1 D. 1210. D. =⋅⋅o a b a b b b 2cos cos θθ⋅==a b a b b，同理有cos θ=o b b a a o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数，取3πθ=，则a b和b a是整数，则1==a b ba，则=o a b 12.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11 ~ 13题）11. 函数y x=的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞U . 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且，即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞U .12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = . 12. 14. 224312a a a ==，则24135314a a a a ==13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s ==，即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=（0x ≤≤），曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则 AB = .15.由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，则△ABD ∽△ACB ，AB AD AC AB=，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值；（2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值.16. 解：（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A = （2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α= 图3gPABCD O2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以8cos 17α==，3sin 5β== 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.17. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a = （2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=图4PABCH FED 图518.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DFAB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD =1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥因为PH 为△PAD 中AD 边上的高所以PH AD ⊥ 因为AB AD A =I所以PH ⊥平面ABCD（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 因为E 是PB 的中点，所以//EG PH因为PH ⊥平面ABCD所以EG ⊥平面ABCD则1122EG PH ==111332E BCFBCF V S EG FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=12 （3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME因为E 是PB 的中点所以1//2ME AB = 因为1//2DF AB =所以//ME DF =所以四边形MEDF 是平行四边形所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥因为AB ⊥平面PAD ，所以MD AB ⊥ 因为PA AB A =I所以MD ⊥平面PAB 所以EF ⊥平面PABPABCH F E DGM19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*n ∈N .（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式. 19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+ 所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列所以1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-= 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km = ②综合①②，解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以直线l的方程为y x =或y x =-21.（本小题满分14分）设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =I .（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()0g x =的两个根分别为1334a x +-=，2334a x ++=所以()0g x >的解集为3333(,()44a a ++-∞+∞U因为12,0x x >，所以D A B ==I 3333(0,()44a a +++∞U ② 当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B ==I (0,)+∞ 综上所述，当103a <≤时，D =3333(0,()44a a +-+++∞U ；当113a <<时，D =(0,)+∞ （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞U 因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点 ② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞ 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x = 综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。

广东高考数学(文科)试题及详解

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科B 卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34ii+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -【解读与点评】()()()343443i i i i i i i +⋅-+==-⋅-，选D.分母实数化，地球人都懂做. 2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U 【解读与点评】A ．{}2,4,6.补集的概念，太阳系人都懂做. 3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ．(4,6)B ．(4,6)--C ．(2,2)--D ．(2,2) 【解读与点评】A.(4,6).向量加法，银河系人都会做.第八次月考考过. 4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x = C ．xy e = D．y =【解读与点评】D．y =函数的奇偶性.太阳系的人都会做.5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6- 【解读与点评】C ．5-.线性规划，练过太多了.数形结合6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =ACA． B． CD【解读与点评】B．解三角形，考前刚讲过这个题，感动啊！不过太简单，数形结合7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．72π B ．48π C ．30π D ．24π【解读与点评】C ． 30π.三视图，简单几何体的组合体的体积.记得刚做过的12年深圳2模第9题么？太简单，直接代公式8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A． B． CD ．1【解读与点评】B.直线与圆的位置关系、弦长.我命的第八次月考的时候刚好考过.太简单，数形结合的思想.9．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 A ．105 B ．16 C ．15 D ．1【解读与点评】C ．15.算法与程序框图，只需带入n 运行一遍程序即可，小心就能做对. 10．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若两个非零的平面向量,a b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．52 B ．32C ．1 D ．12【解读与点评】D.12.向量的数量积与夹角、新定义、特殊值法.选择题中的压轴题2cos cos a b a a b bbθθ⋅⋅==⋅，2cos cos b a b b a aaθθ⋅⋅==⋅，令3πθ=，则1c o s 2θ=，即12a a b b =⋅，12b b a a =⋅，要使a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，只需a b =，故选D.令解：1cos 2an a b b θ=⋅=，2cos 2b n b a aθ=⋅=，两式相乘，得212cos 4n n θ=，210cos 2θ<<，121042n n ∴<<，即1202n n <<，由于n Z ∈，故121n n =，即121n n ==，12a b = 【解读与点评】选择题有两个题目跟向量有关，跟我在第八次月考的时候预测的一样，考了多次.本题特殊值的解法也是很重要的.二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．函数xx y 1+=的定义域为________________________．【解读与点评】[)()1,00,-⋃+∞，函数的定义域，平时多次考查到，主要怕没有写成区间或集合. 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________．【解读与点评】14，基本元的思想，整体代换.跟我第八次月考时候预测的一样，填空题有一个数列题，用的是基本元的思想，在刚做的2012深圳2模试卷12题也刚好考查到，很多同学都问过我这个题，嘿嘿. 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且规范差等于1，则这组数据为_______________________．(从小到大排列) 【解读与点评】()1,1,3,3，平均数123424x x x x +++=①；中位数，不妨设为23,x x ，则2322x x+=②；规范差1s ==，即()()()()2222123422224x x x x -+-+-+-=③，由于,,,,4321x x x x 为整数，所以()22i x -只能为0、1、、4，i x 只能取0、1、2、3、4；由①、②得144x x +=④234x x +=⑤，两两可能的组合为()()()0,4,1,3,2,2.列举如下：()()()()()()0,0,4,4,0,1,3,4,0,2,2,4,1,1,3,3,1,2,2,3,2,2,2,2共六中可能，其中满足③的只有()1,1,3,3，本题列举法跟广东高考09年文科10非常相似，这是我们最后做的一套高考题，有印象么？【解读与点评】10、13两个题是小题中的压轴题，选择小题小做的方法是最佳的选择，特殊值、列举法都是历年解历年高考小题的重要方法，同学们，你选对特殊值了么？当然，要做到特殊值这一步还需要有化归与转化的思想，像第10题的向量的数量积运算、第13题的均值、中位数和规范差，都需要用数学的基础知识进行转化.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y t x （t 为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为．【解读与点评】()2,1.联立方程组22510x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得()2,1负根舍去20πθ≤≤.直线和圆的位置关系，我最最强调的.小心20πθ≤≤，你没掉到陷阱吧？本题陷阱前几年高考已经出现过. 15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,AD m AC n ==，则AB =．考查了弦切角、相似三角形、相似比.ABDACB ∆∆,AB ADAC AB=.这个题考查知识点考前我多次强调过，特别是证明切割线定理及其推论的时候，反复强调，同学们，你们拿下了么？三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．【经验】1、回归基础，对常考6大项内容反复巩固；2、考前应该再多次回顾大题解题的常用思想方法；16．（本小题满分12分）已知函数),64cos()(π+=xA x f R x ∈,且2)3(=πf ．（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．【解读与点评】解：（1）1()cos cos 343642f A A A ππππ⎛⎫=⋅+=== ⎪⎝⎭2A ∴= （2）由（1）得()2cos(),46x f x π=+故41430(4)2cos 42cos 2sin 3436217f ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=++=+=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，15sin 17α∴= 2128(4)2cos 42cos 34365f πππβββ⎡⎤⎛⎫-=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，4cos 5β= ,[0,]2παβ∈，8cos 17α==，3sin 5β==，图38415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ∴+=-=⋅-⋅=-. 本题考查方式跟近几年广东高考方式一样，缺乏创新点，在最后一个月复习的时候我们也重新做过这几年的高考试卷，大家对这个题目应该不会陌生.主要的易错点在特殊角的三角函数值、正负号的运算、是否乘了14和)cos(βα+展开之后是减号.信心点算，这个题目容易拿下.17．（本小题满分13分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y 之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．【解读与点评】解：（1）由()0.040.030.022101a +++⨯= 解得0.005a =；（2）设这100名学生语文成绩的平均分为x ，则550.05650.4750.3850.2950.0573x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）对,x y 的值列表如下（列表主要为了方便叙述，不列也可以）由上表可知数学成绩在[)90,50之外的人数为()10052040255-+++=人本题主要考查了频率分布直方图、用频率分布直方图估计总体的平均数，第三问考了一个简单的应用问题.今年高考没有考查概率.这种题型我们练得比较多，而且第三问考查简单的阅读理解能力，这在第八次月考的时候已经考查到.本题比较基础，只要细心点易拿满分. 18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB //CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．【解读与点评】证明：（1）AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD AB PH ∴⊥①PH 为PAD ∆中AD 边上的高,PH AD ∴⊥②由AB AD A ⋂=及①②得PH ABCD ⊥平面. （2）AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD AB AD ∴⊥//AB CD CD AD ∴⊥,PH ABCD E PB ⊥平面为中点，E 到平面ABCD 的距离等于1122PH =-11111111132322322E BCF BCF V S PH FC AD PH ∆∴=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=(3)取PA 的中点G ，连接EG 、DGE 为PB 中点，∴在PAB ∆中，1//2EG AB ,1//2DF AB //EG DF ∴∴四边形DFEG 为平行四边形//EF DG ∴ 在PAD ∆中PD AD =，DG PA ∴⊥③，AB ⊥平面PAD ，DG ⊂平面PAD AB DG ∴⊥④由PA AB A ⋂=及③④得DG PAB ⊥平面EF PAB ∴⊥平面本题第一问证明线面垂直，练得非常多了，注意格式完整即可；第二问这种中点高的问题、同底等高的三角形面积的求法在一、二轮复习的时候讲过，推临班重点讲过.可惜的是最后三轮复习的时候没有在全班上再重复一次，打了一些折扣；第三问跟第一问同是证明线面垂直，不过需要根据条件先用线面⇒线线平行进行转换，考查到了我们平时备考时不注意的地方，属于点穴的题目，估计点倒不少同学，如果用平时教的分析法来分析，没有注意到PD=AD 这个重要条件的提示来分析的话，就难以做出这一小问.在立体几何备考过程中，3轮次的复习，每轮次都必须将所有的知识和技能复习到，否则到了高考，复习效果就会大大折扣了.另一方面，本题也考察了我们分析问题的能力，打破惯性思维，要根据题意选择恰当方法来做题.对文科考生，本题有很强的指导意义. 19．（本小题满分14分）G设数列{}n a 的前n 项和n S ，数列{}n S 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【解读与点评】解：（1）当1n =时，1121a a =-，11a ∴=（2）当1n >时，()21121n n T S n --=--，()2211221221n n n n n n S T T S n S n a n --⎡⎤=-=----=-+⎣⎦当1n =时，上式也满足，所以()*221n n S a n n N =-+∈ 当1n >时，()()*112211n n S a n n N --=--+∈()1112212211222n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=-+---+=--⎡⎤⎣⎦化简得122n n a a -=+，()1222n n a a -+=+，1222n n a a -+=+，即{}2n a +是以123a +=为首项，公比2q =的等比数列，所以1232n n a -+=⋅ 所以1322n n a -=⋅-，当1n =时，上式也满足，故数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⋅-本题考查了数列中两个常规的问题（1）已知n S 求n a ，本题的亮点就在于用了两次这个方法；（2）1n n a pa q -=+类型的递推数列求通项公式，这两个方法都是课本里面较为强调的方法，今年高考考查非常到位，应该表扬出题老师.这个题已知n S 求n a 的方法我在周二刚特别强调过，哎唷，不懂当时领会的有几人；1n n a pa q -=+类型的递推数列求通项公式我在最后一个月讲评11年高考题的时候重点突出过，也举了课本上相应的典型例子123n n a a -=+，不懂今年班上有几位同学能做到这里呢？ 20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．【解读与点评】解：（1）由椭圆左焦点为1(1,0)F -，得1c =，即22221a b c b =+=+由点(0,1)P 在1C 上，得2222011a b +=即1b =，所以2212a b =+=，所以椭圆1C 的方程为2212x y += （2）做草图如右图所示，因为直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，由图像可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y kx b =+（0b ≠）由直线l 与椭圆1C 相切，2212y k x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简得()222214220k x kbx b +++-=，()()()2224421220kb k b ∆=-+-=即22210k b -+=①由直线l 与抛物线22:4C y x =相切，24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去y 化简得()222240k x kb x b +-+=，()2222440kb k b ∆=--=，即1kb =②由②可得1k b=，带入①化简得4220b b --=，()()22210b b -+=，220b -=，b =，所以k =l的方程为y x =或y x =我真是爱死这个题了！还记得我们刚刚讨论过第一问的作法么？到底是用方程的思想还是用定义法求a ，同学们，你看到我们师生合作的超级效果了没？哇！本题第二问正是用了我月考出的圆锥曲线那一题的判别式的方法，你惊呆了没有！老师帅么？想必班上不少同学都能拿下这一题，只需要一定的运算能力.第一问是非常常规的求椭圆方程的题目，亮点就在我们刚刚讲过，第二问考查了化归与转化的思想、方程的思想：划归与转化就是将相切的问题转化为两个方程只有一组解，判别式等于0；方程的思想即直线方程两个参数,k b ，用两个方程（等式）解方程组就可以求出来啦，老师经常强调的方法，考试的时候你想我了吗？21．（本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60B x R x a x a =∈-++>，D A B =．(1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【解读与点评】分析：（1）对于集合B ，由01a <<，令()223(1)6g x x a x a =-++，这是一个二次函数，开口向上，对称轴3(1)04a x +=>，图像与y 轴交点纵坐标 60a >.结合图像可知()g x 的图像有如下可能：()2291489309a a a a ∆=+-=-+，01a <<i)当293090a a ∆=-+<，即113a <<时，()0g x >的解集为R ，故()0,A B ⋂=+∞ ii)当293090a a ∆=-+=,即13a =时，对称轴13(1)3(1)3144a x ++===，()0g x >的解集为{}|1,x x x R ≠∈，故()()0,11,A B ⋂=⋃+∞iii)当293090a a ∆=-+>,即103a <<时，()223(1)60g x x a x a =-++>的解集为()()3131,44a a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()31310,44a a A B ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋂=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述，（偷懒一下啦，略） (2)32()23(1)6f x x a x ax =-++,()('2()66(1)661f x x a x a x a x =-++=--令()'0f x =，解得1,x x a ==，导函数()'f x 的图像如右图所示，由（1i)当113a <<时，()0,A B ⋂=+∞,()f x 极值点为1,x x a == ii)当13a =时，()()0,11,A B ⋂=⋃+∞,()f x 极值点为13x =iii)当103a <<时,()()31310,,44a a A B ⎛⎛⎫+++ ⎪⋂=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,注意到()()2330g a a a a a =-+=-->，所以a A B ∈⋂；()1310g a =-<，所以1A B ∉⋂,所以此时()f x 极值点为x a =. 综上所述，（偷懒一下啦，略）这个题目我是又爱又恨啊，爱的是第一问我考前重点复习过，大家还记得我同时讲评11年高考文科19题和11年广州调研21题时候的情景么？当时我说了：我尽了我的最大的努力，让基础不好和基础好的同学都有收获.那是下午第三节课.我有点伤悲，不管是当时还是现在，我们班整体的基础还是比较差，能够跟着老师来到最后一题的人毕竟是少数了，虽然有那么优秀的老师来教大家，但是我估计，能完成这个第一问的，可能只有何木妹跟陈荣光吧，王景秀和凌秀琴那天似乎没有认真听，接下来秀琴还搞逃课事件，唉~~（仅为猜测，猜错了勿要鄙视我，不懂大家发挥如何啊.）第二问做到求导、令导数等于0求出1,x x a ==可以有1、2分吧，呵呵，拿到的同学可以偷笑了.第二问需要结合第一问的()0g x >的图像来做，特别是第三种情况.数形结合的思想在这个题目中发挥得淋漓尽致，需要一点点的灵感才能完成。

广东省高考文科数学试卷及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：球的体积334R V π=，其中R 为球的半径。

锥体的体积公式为h 31S V =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一组数据x 1，x 2，…，x n 的标准差()()()[]，2n 22211s x x x x x x n-⋯⋯-+-=，其中x 表示这组数据的平均数。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设i 为虚数单位，则复数43ii+= A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i2 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,3,5} 则CuM= A {2,4,6} B {1,3,5} C {1,2,4} D .U3 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC = A （4,6） B (-4，-6) C (-2，-2) D (2,2)4 下列函数为偶函数的是A y=sinxB y=3xC y=x e5.已知变量x,y 满足约束条件 x +y ≤1，则z =x +2y 的最小值为 x –y ≤1 x +1≥0 A.3 B.1 C.-5 D.-66.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A.72πB.48πC.30πD.24π8.在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆x ²+y ²=4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A.B. C. D.19.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为=5231a a aA.105B.16C.15D.110.对任意两个非零的平面向量α和β，定义βββαβα∙∙=∙。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(广东卷)

12广东(文)1.(2012广东,文1)设i 为虚数单位,则复数34i i+=( ).A .-4-3iB .-4+3iC .4+3iD .4-3iD 34i i+=(34i)i i i+⋅⋅=223i 4i i+=-(3i -4)=4-3i .2.(2012广东,文2)设集合U ={1,2,3,4,5,6},M ={1,3,5},则∁U M =( ). A .{2,4,6} B .{1,3,5} C .{1,2,4} D .UA ∵M ={1,3,5},U ={1,2,3,4,5,6},∴∁U M ={2,4,6}.3.(2012广东,文3)若向量AB=(1,2),BC =(3,4),则A C =( ) A .(4,6) B .(-4,-6) C .(-2,-2) D .(2,2)A A C =AB +BC=(1,2)+(3,4)=(4,6).4.(2012广东,文4)下列函数为偶函数的是( ). A .y =si n x B .y =x 3C .y =e xD .y =D ∵函数f (x )=R 且f (-x )=f (x ),∴f (x )是偶函数.5.(2012广东,文5)已知变量x ,y 满足约束条件x y 1,x y 1,x 10,+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z =x +2y 的最小值为( ).A .3 B .1C .-5D .-6C 由约束条件作出可行域如图所示,当z =x +2y 过点A 时z 取得最小值,联立方程组x 10,x y 1,+=⎧⎨-=⎩得x 1,y 2,=-⎧⎨=-⎩∴z min =-1+2×(-2)=-5.6.(2012广东,文6)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B =45°,BC =则AC =( ).A .B .C D 2B 由正弦定理得B C Asin =A C B sin ,60sin︒A C45sin ︒,解得AC =7.(2012广东,文7)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( ).A .72πB .48πC .30πD .24πC 由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,∴其体积V =12×43π×33+13π×32×4=30π.8.(2012广东,文8)在平面直角坐标系xOy 中,直线3x +4y -5=0与圆x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,则弦AB 的长等于(A .B .CD .1 B 如图所示,设AB 的中点为D ,则OD ⊥AB ,垂足为D ,连OA . 由点到直线的距离得|OD1,∴|AD |2=|OA |2-|OD |2=4-1=3,|AD∴|AB |=2|AD |=9.(2012广东,文9)执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为( ).A .105B .16C .15D .1C i =1,s =1;i =3,s =3;i =5,s =15;i =7时,输出s =15.10.(2012广东,文10)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α =α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ,b 满足a 与b 的夹角θ∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合n 2n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b =( ). A .52B .32C .1D .12D 由已知cos θ=a b |a||b |2⎛⋅∈ ⎝⎭,再根据α 的定义可知,b a =a b a a⋅⋅=2|a||b |θacos =|b ||a |cos θ∈|b |2|a |⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;a b =a b b b⋅⋅=2|a||b |θ|b |cos =|a ||b |cos θ∈|a |2|b |⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 又因为a b 和b a 都在集合n 2n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以n 只能取1,此时a b =12.11.(2012广东,文11)函数y .{x |x ≥-1,且x ≠0} 要使函数y xx 10,x 0,+≥⎧⎨≠⎩即x 1,x 0,≥-⎧⎨≠⎩∴定义域为{x |x ≥-1,且x ≠0}. 12.(2012广东,文12)若等比数列{a n }满足a 2a 4=12,则a 123a a 5= .14由等比数列的性质得a 2·a 4=a 1·a 5=23a =12,∴a 1·23a ·a 5=14.13.(2012广东,文13)由正整数组成的一组数据x 1,x 2,x 3,x 4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为 .(从小到大排列)1,1,3,3 设该组数据依次为x 1≤x 2≤x 3≤x 4,则1234x x x x 4+++=2,23x x 2+=2,∴x 1+x 4=4,x 2+x 3=4.∵x 1,x 2,x 3,x 4∈N +,∴1234x 1,x 1,x 3,x 3,=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或1234x 2,x 2,x 2,x 2.=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 又∵标准差为1,∴x 1=1,x 2=1,x 3=3,x 4=3.14.(2012广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1和C 2的参数方程分别为x 5θ,θ,0θ2y 5θcos sin π⎧=⎪⎛⎫≤≤⎨ ⎪⎝⎭=⎪⎩为参数和2x 1t,22y t 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数),则曲线C 1与C 2的交点坐标为 . (2,1) 由C 1得x 2+y 2=5①,且0x 5,0y 5,⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩ 由C 2得x =1+y ②,∴由①②联立22x y 5,x 1y,⎧+=⎨=+⎩得x 2,y 1.=⎧⎨=⎩ 15.(2012广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图所示,直线PB 与圆O 相切于点B ,D 是弦AC 上的点,∠PBA =∠DBA .若AD =m ,AC =n ,则AB = .m n ∵直线PB 与圆相切于点B ,且∠PBA =∠DB A ,∴∠ACB =∠ABP =∠DB A ,由此可得直线AB 是△BCD 外接圆的切线且B 是切点,则由切割线定理得|AB |2=|AD |·|AC |=mn ,即得|AB |=m n .16.(2012广东,文16)已知函数f (x )=A cos 46x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,x ∈R ,且f 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭=2.(1)求A 的值;(2)设α,β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,f 44α3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-3017,f 24β3π⎛⎫- ⎪⎝⎭=85,求cos (α+β)的值.17.(2012广东,文17)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a 的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.18.(2012广东,文18)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,AB ⊥平面PAD ,AB ∥CD ,PD =AD ,E 是PB 的中点,F 是DC 上的点且DF =12AB ,PH 为△PAD 中AD 边上的高.(1)证明:PH ⊥;(2)若PH =1,AD FC =1,求三棱锥E -BCF 的体积;(3)证明:EF ⊥平面PAB .19.(2012广东,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{S n }的前n 项和为T n ,满足T n =2S n -n 2,n ∈N *. (1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式.20.(2012广东,文20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:22x a+22y b=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-1,0),且点P (0,1)在C 1上.(1)求椭圆C 1的方程;(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2:y 2=4x 相切,求直线l 的方程.21.(2012广东,文21)设0<a <1,集合A ={x ∈R |x >0},B ={x ∈R |2x 2-3(1+a )x +6a >0},D =A ∩B . (1)求集合D (用区间表示);(2)求函数f (x )=2x 3-3(1+a )x 2+6ax 在D 内的极值点.。

文数高考试题答案及解析-广东.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积343V R π=，其中R 为球的半径。

一组数据12,,,n x x x L的标准差s =x 表示这组数据的平均数。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。

1. 设i 为虚数单位，则复数34ii+=( ) ()A 43i -- ()B 43i -+ ()C i 4+3 ()D i 4-32．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =( )()A {,,}246 ()B {1,3,5} ()C {,,}124 ()D U 3. 若向量(1,2),(3,4)AB BC ==u u u r u u u r；则AC =u u u r ( )()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2 ()D (,)224. 下列函数为偶函数的是( )()A sin y x = ()B 3y x = ()C x y e = ()D y =5. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )()A 3 ()B 1 ()C 5- ()D 6-6. 在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =( )()A ()B ()C ()D 27．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A 72π ()B 48π ()C π30 ()D π248. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )()A 33 ()B 23 ()C 3 ()D 19. 执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( )()A 105 ()B 16 ()C 15 ()D 110.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=g o g ；若两个非零的平面向量,a b r r 满足，a r 与b r 的夹角(,)42ππθ∈，且,a b b a r r r r o o 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =r r o ( )()A 12 ()B 1 ()C 32 ()D 52二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2012年高考广东数学(文)试卷解析(精析word版)(教师版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）解析【试卷总评】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。

本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。

选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第１６、17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查；第14题和第15题考查选修中的坐标系与参数方程、几何证明选讲.试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 设i 为虚数单位，则复数34i i+=A -4-3iB -4+3iC 4+3iD 4-3i2 设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,3,5} 则UC M=A {2,4,6}B {1,3,5}C {1,2,4}D .U3 若向量AB=（1,2），BC=（3,4），则AC=A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)4 下列函数为偶函数的是A y=sinxB y=3xC y=x eD y=ln21x+5.已知变量x,y满足约束条件1110x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的最小值为6.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝A. 43B. 23C. 3D.3 27.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为ππππ8.在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆x²+y²=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于A.33B.23C.39.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为B.16 C10.对任意两个非零的平面向量α和β，定义.若两个非零的平面向量a和b，满足a与b的夹角，且a b和b a都在集合中，则a b=A.52B.3212二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2012年高考数学广东卷(文科答案)

2
( x1 − 2 ) + ( x2 − 2 ) + ( x3 − 2 ) + ( x4 − 2 )
2 2 2
2
4
2 2 2
=1，
即 ( x1 − 2 ) + ( x2 − 2 ) + ( x3 − 2 ) + ( x4 − 2 ) = 4 ③，由于 x1 , x 2 , x3 , x 4 , 为整数，所以 ( xi − 2 ) 只能为 0、1、、4， xi 只能取 0、1、2、3、4；
π
2
], f (4α +
word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站：www．maths168．com） 17．（本小题满分 13 分）某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：
[50,60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100] ．
12．若等比数列 {a n } 满足 a 2 a 4 =
13 ．由整数组成的一组数据 x1 , x 2 , x3 , x 4 , 其平均数和中位数都是 2 ，且标准差等于 1 ，则这组数据为 _______________________．(从小到大排列) （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 xoy 中，曲线 C1 和曲线 C 2 的
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D． 1
9．执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n 的值为 6，则输出 s 的值为 A． 105 B． 16 C． 15 D． 1
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10．对任意两个非零的平面向量 α , β ，定义 α

2012广东文科高考数学数学真题附答案(纯word版)

2012年广东文科数学参考答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34i i+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2)4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x =C ．xy e = D．y = 5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6-6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =ACA ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．C ．D ． 19．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ． 105B ． 16C ． 15D ． 110．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ． 52 B ． 32 C ． 1 D ． 12选择题参考答案：1-5：BAADC 6-10：BCBCD第10解析：由定义知：因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案 21 二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．函数xx y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列)（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y t x （t 为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,A D m A C n ==，则AB = ．填空题答案：12：),0()0,1[+∞⋃- （注意，写成集合形式也给分 }0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x 13:41 14: 1 1 3 315: 参数方程极坐标：)1,2)(2,1(-- 几何证明选做题：mn 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ．（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．解：分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ（2）：分分分分，由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f 17．（本小题满分13分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．解(1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为：人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分60-70段语文成绩的人数为：人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯(3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分 90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．解：（1）：A B C DPH PADPAD AB PAD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆AAD AB ABPH PH AD PH PH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分………………………………………………………………………………………………………………………8分（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ …………………………………………………………………………………………………………………13分 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分（2）① ②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分)2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；12221223131=⨯⨯=∙∙=-EM S V BCF BCF E22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n（2）设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122+=b a ,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：112222=++b y b x ………………………………………………………………3分将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分所以 211122=+=+=b a 故椭圆方程为：1222=+y x …………………………………………………………………………5分（2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：1222=-k m ①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：消除y 得：04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224=-+k k 解得：22,221(,2122-==-==k k k k 或者舍去），故 21,21-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分故切线方程为：222222--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分 21．（本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D A B =． (1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．解：（1）集合B 解集：令06)1(322=++-a x a x(1):当0<∆时，即：时131<<a ，B 的解集为：}|{R x x ∈此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D（2）当)3(,310舍去时，解得===∆a a 此时，集合B 的二次不等式为：02422>+-x x ，0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且故：),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D（3）当时，0>∆即舍去）3(310><<a a 此时方程的两个根分别为：很明显，0,31012>><<x x a 时故此时的综上所述：当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a （（当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D (2)极值点，即导函数的值为0的点。

2012年广东省高考文科数学试题及答案(精美Word版)-2

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34i i+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2)4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x =C ．xy e = D ．2ln 1y x =+ 5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6-6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，32BC =，则ACA ． 43B ． 23C ． 3D ． 327．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A ． 33B ． 23C ． 3D ． 19．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ． 105B ． 16C ． 15D ． 110．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ． 52 B ． 32 C ． 1 D ． 12二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．函数xx y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列)（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y t x （t 为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,A D m A C n ==，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ．（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．17．（本小题满分13分）图3 O A B CP D ·某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．分数段x ：y 1：1 2：1 3：4 4：518．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．21．（本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D AB =．(1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012广东高考数学（文科）参考答案一、选择题参考答案：1-5：BAADC 6-10：BCBCD第10解析：由定义知：因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案 21 二、填空题答案：12：),0()0,1[+∞⋃- （注意，写成集合形式也给分 }0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x 13:41 14: 1 1 3 3 15: 参数方程极坐标：)1,2)(2,1(-- 几何证明选做题：mn16.、解：分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ（2）：分分分分，由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f 17.解(1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为：人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分 60-70段语文成绩的人数为：人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分 70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯ 90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯(3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分 90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分18. 解：（1）：A B C DPH PADPAD AB PAD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆AAD AB ABPH PH AD PH PH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高 BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分………………………………………………………………………………………………………………………8分（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ …………………………………………………………………………………………………………………13分 19. 解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分)2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分12221223131=⨯⨯=∙∙=-EM S V BCF BCF E 22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分 2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分20、解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122+=b a ,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：112222=++b y b x ………………………………………………………………3分将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分所以 211122=+=+=b a 故椭圆方程为：1222=+y x …………………………………………………………………………5分（2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：12222=-k m ①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：消除y 得：04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224=-+k k 解得：1,121(,122-==-==k k k k 或者舍去），故 11,11-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分故切线方程为：11--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分21. 解：（1）集合B 解集：令06)1(322=++-a x a x(1):当0<∆时，即：时131<<a ，B 的解集为：}|{R x x ∈ 此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D（2）当)3(,310舍去时，解得===∆a a 此时，集合B 的二次不等式为：02422>+-x x ，0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且故：),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D（3）当时，0>∆即舍去）3(310><<a a 此时方程的两个根分别为：很明显，0,31012>><<x x a 时故此时的综上所述：当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a （（当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D (2)极值点，即导函数的值为0的点。

2012年高考真题——数学文(广东卷)解析版(1)

绝密★启用前试卷类型：B 2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设i 为虚数单位，则复数34ii+=A. 43i --B. 43i -+C. 43i +D. 43i -1. D.34(34)()43()ii i iii i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则U M =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A.U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)A B =，(3,4)B C =，则AC =A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2) 3. A.(4,6)AC AB BC =+=.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x = C. xy e = D. 2ln 1y x =+4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ，y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+可化为直线1122y x z=-+，则当该直线过点(1,2)A --时，z 取得最小值，m in 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中，若60A ∠= ，45B ∠=，32BC =，则A C =1x y +=1x y -=10x +=xyO AA. 43B. 23C. 3D. 326. B. 根据正弦定理，sin sin B CA C AB =，则232sin 223sin 32B C B A C A⨯⋅===. 7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦A B 的长等于 A. 33 B. 23 C.3 D . 1 8. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离22005134d +-==+，则222()32A B r d=-=，即23AB =.9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 9. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅ αβαβββ.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且 a b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则= a b输入n开始输出s 1,1i s ==i n <s s i =⨯ 2i i =+结束是否图2图1正视图俯视图侧视图556355 63A. 52B. 32C. 1D. 1210. D. =⋅⋅ a b a b b b2cos cos θθ⋅==a b a bb，同理有cos θ=b b a aa b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数，取3πθ=，则a b 和b a 是整数，则1==ab ba，则= a b 12.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11 ~ 13题）11. 函数1x y x+=的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞ . 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且，即函数1x y x+=的定义域为[)()1,00,-+∞ .12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = .12. 14.224312a a a ==，则24135314a a a a ==13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，222212341[(2)(2)(2)(2)]14s x x x x =-+-+-+-=，即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为5cos 5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和21222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C的方程为225x y +=（05x ≤≤），曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线P B 与圆O 相切于点B ，D 是弦A C 上的点，PBA D BA ∠=∠. 若A D m =，A C n =，则 A B = .15.mn . 由弦切角定理得P B A C D B A ∠=∠=∠，则△ABD ∽△AC B ， A B A DA CA B =，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB m n =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且23f π⎛⎫=⎪⎝⎭（1）求A 的值；（2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值. 16. 解：（1）2cos cos 2312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A =（2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α=2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以28cos 1sin 17αα=-=，23sin 1cos 5βα=-=图3PAB CDO所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.17. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a = （2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.0565.475⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯=数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=18.（本小题满分13分）分数段[50,60) [60,70) [70,80) [80,90):x y11:21:34:4:5图4频率组距0.040.030.02a50 60 70 80 90 100PABCHFE D图5如图5所示，在四棱锥P A B C D -中，AB ⊥平面PAD ，//A B C D ，PD AD =，E 是P B的中点，F 是C D 上的点且12D F A B=，P H 为△PAD 中A D 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面A B C D ；（2）若1PH =，2AD =，1F C =，求三棱锥E B C F -的体积；（3）证明：E F ⊥平面P A B .18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥因为P H 为△PAD 中A D 边上的高所以PH AD ⊥ 因为AB AD A = 所以PH ⊥平面A B C D（2）连结B H ，取B H 中点G ，连结E G 因为E 是P B 的中点，所以//E G P H 因为PH ⊥平面A B C D 所以E G ⊥平面A B C D则1122E G P H ==111332E B CFB C FV S E G F CA D E G-∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=212（3）证明：取P A 中点M ，连结M D ，M EPA BCH FE DGM因为E 是P B 的中点所以1//2M E A B= 因为1//2D F A B=所以//M E DF=所以四边形M E D F 是平行四边形所以//E F M D 因为PD AD = 所以M D PA ⊥ 因为AB ⊥平面PAD ，所以M D AB ⊥ 因为PA AB A = 所以M D ⊥平面P A B 所以E F ⊥平面P A B19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T，满足22n n T S n =-，*n ∈N .（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+所以1221n n S S n -=+- ①所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得122n n a a +=+所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列所以1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C：22221xy ab+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程.20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221xy ab+=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=所以椭圆1C 的方程为2212xy +=.（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x km x m +++-=因为直线l 与椭圆1C相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=整理得22210k m -+= ①24y x y kx m ⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--=整理得1km = ②综合①②，解得222k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或222k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以直线l 的方程为222y x =+或222y x =--21.（本小题满分14分）设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B= .（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a=-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()g x =的两个根分别为213393094a a a x +--+=，223393094a a a x ++-+=所以()0g x >的解集为22339309339309(,)(,)44a a a a a a +--+++-+-∞+∞因为12,0x x >，所以D ==22339309339309(0,)(,)44a a a a a a +--+++-++∞② 当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B == (0,)+∞综上所述，当103a <≤时，D =22339309339309(0,)(,)44a a a a a a +--+++-++∞ ；当113a <<时，D =(0,)+∞（2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(0,)aa 1(,)a x2(,)x +∞()f x ' +0 -+()f x↗ 极大值↘ ↗所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：11 x(0,)a a (,1)a 1 (1,)+∞ ()f x '+ 0 - 0 + ()f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。

2012年高考真题——数学文(广东卷)解析版

绝密★启用前试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i 为虚数单位，则复数34ii+=A. 43i --B. 43i -+C. 43i +D. 43i -1. D.34(34)()43()i i i i ii i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则U M =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A. U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)A B = ，(3,4)B C =，则AC =A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2)3. A. (4,6)AC AB BC =+=.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x =C. x y e =D. 2ln 1y x =+4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+可化为直线1122y x z =-+，则当该直线过点(1,2)A --时，z 取得最小值，m in 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中，若60A ∠= ，45B ∠=，32BC =，则A C =A. 43B. 23C. 3D.321x y +=1x y -=10x +=xyO A6. B. 根据正弦定理，sin sin B C A C AB=，则232sin 223sin 32B C B A C A⨯⋅===.7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体. 8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦A B 的长等于 A. 33 B. 23 C.3 D . 18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离22005134d +-==+，则222()32A B r d=-=，即23AB =.9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 19. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅ αβαβββ.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且 a b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则= a bA.52B.32C. 1D.1210. D. =⋅⋅ a b a b b b2cos cos θθ⋅==a b a bb，同理有cos θ=b b a aa b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数，取3πθ=，则a b和b a是整数，则1==a b ba，则=a b 12.输入n开始输出s1,1i s ==i n < s s i =⨯ 2i i =+结束是否图2图1正视图俯视图侧视图55635563二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11 ~ 13题） 11. 函数1x y x+=的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞ . 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且，即函数1x y x+=的定义域为[)()1,00,-+∞ .12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = .12.14. 224312a a a ==，则24135314a a a a ==13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，222212341[(2)(2)(2)(2)]14s x x x x =-+-+-+-=，即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为5cos 5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和21222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=（05x ≤≤），曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线P B 与圆O 相切于点B ，D 是弦A C 上的点，PBA D BA ∠=∠. 若A D m =，A C n =，则 A B = .15. mn . 由弦切角定理得P B A C D B A ∠=∠=∠，则△ABD ∽△AC B ， A B A D A CA B=，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB m n =.图3PAB CDO三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ，且23f π⎛⎫=⎪⎝⎭（1）求A 的值；（2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值.16. 解：（1）2cos cos 2312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A =（2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α= 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以28cos 1sin 17αα=-=，23sin 1cos 5βα=-=所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生普利卡电热管语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60) [60,70) [70,80) [80,90):x y 11:21:34:4:5图4频率组距0.040.030.02a50 60 70 80 90 100 成绩PABCH FE D图517. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯= 数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P A B C D -中，AB ⊥平面PAD ，//A B C D ，PD AD =，E 是P B 的中点，F 是C D 上的点且12D F A B =，P H 为△PAD 中A D 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面A B C D ；（2）若1PH =，2AD =，1F C =，求三棱锥E B C F -的体积；（3）证明：E F ⊥平面P A B .18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥因为P H 为△PAD 中A D 边上的高所以PH AD ⊥ 因为AB AD A =所以PH ⊥平面A B C D（2）连结B H ，取B H 中点G ，连结E G 因为E 是P B 的中点，所以//E G P H因为PH ⊥平面A B C D所以E G ⊥平面A B C D 则1122E G P H ==111332E B C FB C FV S E G F CA D E G -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=212（3）证明：取P A 中点M ，连结M D ，M E 因为E 是P B 的中点所以1//2M E A B = 因为1//2D F A B =PABCH FE DGM所以//M E DF =所以四边形M E D F 是平行四边形所以//E F M D 因为PD AD = 所以M D PA ⊥因为AB ⊥平面PAD ，所以M D AB ⊥ 因为PA AB A =所以M D ⊥平面P A B所以E F ⊥平面P A B19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*n ∈N . （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式. 19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列所以1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x ya b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y ab+=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=所以椭圆1C 的方程为2212xy +=.（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x km x m +++-= 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km = ②综合①②，解得222k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或222k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 所以直线l 的方程为222y x =+或222y x =--设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B = . （1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()0g x =的两个根分别为213393094a a a x +--+=，223393094a a a x ++-+=所以()0g x >的解集为22339309339309(,)(,)44a a a a a a +--+++-+-∞+∞因为12,0x x >，所以D A B == 22339309339309(0,)(,)44a a a a a a +--+++-++∞② 当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B == (0,)+∞综上所述，当103a <≤时，D =22339309339309(0,)(,)44a a a a a a +--+++-++∞ ；当113a <<时，D =(0,)+∞（2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(0,)aa1(,)a x 2(,)x +∞()f x ' + 0 -+()f x↗ 极大值↘ ↗所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(0,)aa (,1)a 1(1,)+∞()f x ' + 0 -0 +()f x↗ 极大值↘ 极小值↗所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x = 综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。

2012年广东省高考数学试题(文科)-答案和解析

2012年广东省高考数学试题(文科)-答案和解析绝密★启用前试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一试卷（广东卷）数学（文科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径．锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一组数据12,,,nx x x 的标准差()()()222121-+-++-n s x x x x x x n ⎡⎤=⎣⎦其中x 表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数3+4ii= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -2．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则UC M =A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{1,2,4}D ．U3．若向量()1,2AB =，向量()3,4BC =，则AC =A ．(4,6)B ．(4,6)--C ．(2,2)--D ．(2,2)4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x = C ．xy e = D ．2+1y x =5．已知变量,x y 满足约束条件11+10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D ．6-6．在ABC ∆中，若60A ∠=︒，45B ∠=︒，32BC =AC =A ．43B ．23C 3D 3中，则ab =A ．52B ．32C ．1D ．12二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11~ 13题）11．函数+1=x y x 的定义域为． 12．若等比数列{}na 满足241=2a a ，则2135=_________.a a a 13．由正整数组成的一组数据1234, , , x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为．（从小到大排列）（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 与2C 的参数方程分别为5cos 5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数,02πθ≤≤)和2122 2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，则曲线1C 与2C 的交点坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切于点B , D 是弦AC 上的点, PBA DBA ∠=∠,若AD m =, AC n =, 则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，()=23f π．（1）求A 的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求图3()cos αβ+的值．17．（本小题共13分）某班100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方分布图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)50,60, [)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100．（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩分数段的人数()y 之比如下表所示，求数学成绩在[)50,90之外的人数．分数段 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90x ：y1：1 2：1 3：4 4：5 18．（本小题共13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD , // AB CD ,PD AD =, E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且12DF AB =, PH 为PAD ∆中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1, 2, 1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．19．（本小题满分14分）设数列{}na 的前n 项和为nS ，数列{}nS 的前n 项和图4 图5为nT ，满足2*2,n nT S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}na 的通项公式．20．（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221 (0)x y a b a b +=>>的左焦点1(1,0)F -，且点()0,1P 在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程。