利用几类经典的递推关系式求通项公式

【互动探究】
4 ． 已 知 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ 1 ， a2 ＝ 2,3an － an － 1 － 2an － 2 ＝
0(n≥3)，求数列{an}的通项公式． 解：由已知，得 an＝13an－1＋23an－2， ∴an－an－1＝－23(an－1－an－2)(n≥3)． 又 a2－a1＝1≠0，∴数列an＋1－an是以 1 为首项，公比为－23的
递推关系形如“an＋1＝p·an＋An＋B”等价转化为 an＋1＋A(n＋1)＋B＝12(an＋An＋B)，利用待定系数法求出 A，B 后， 进而转化为等比数列．
【互动探究】
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明数列an－n是等比数列； (2)设数列{an}的前 n 项和 Sn，求 Sn＋1－4Sn 的最大值．
3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1
＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，那么一定有( B )
A．an＋1≤bn＋1
B．an＋1≥bn＋1
C．an＋1＜bn＋1
D．an＋1＞bn＋1
4．已知等差数列{an}的前三项分别为 a－1,2a＋1，a＋7，则 这个数列的通项公式为__a_n_＝__4_n_－__3__.
5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6＝S3＝12，则 an＝
_2_n__.
考点1 递推关系形如“an＋1＝pan＋q ”的数列求通项 例1：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an} 的通项公式．
解题思路：递推关系形如“an＋1＝pan＋q”是一种常见题 型，适当变形转化为等比数列．
解析：令 an＋2＋α·an＋1＝β(an＋1＋α·an)，
由
β－α＝3， α·β＝－2
⇒
α＝－1， β＝2，
或
α＝－2， β＝1
(选其中一种即
可)．
∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)． ∴数列{an＋1－an}是等比数列，∴an＋1－an＝2n－1. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋ a1＝2n－2＋2n－3＋2n－4＋…＋2＋1＋1＝2n－1.
解析：∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)． ∴{an＋3}是以2为公比的等比数列，其首项为a1＋3＝4. ∴an＋3＝4×2n－1⇒an＝2n＋1－3.
【互动探究】 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝23an－2，则数列{an}的通
项公式为_7_×___23_n_－_1－__6__. 解析：an＋1＝23an－2⇒an＋1＋6＝23(an＋6)，∴an＝7×23n－1－6.
考点3 递推关系形如“an＋1＝pan＋qn”的数列求通项 例3：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求数列 {an}的通项公式．
解题思路：适当变形转化为可求和的数列．
解析：方法一：∵an＋1＝2an＋3n，∴a2n＋n 1＝2an－n 1＋32n. 令2an－n 1＝bn，则 bn＋1－bn＝32n.
考点2 递推关系形如“an＋1＝pan＋f(n)”的数列求通项
例 2：已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋12n(n∈N*)．求数列 {an}的通项公式．
解析：令 an＋1＋A(n＋1)＋B＝p(an＋An＋B)， 即 an＋1＝pan＋pAn－A(n＋1)＋pB－B. 比较系数，得 A＝－1，B＝2. ∴an＋1－(n＋1)＋2＝12(an－n＋2)，且 a1－1＋2＝32≠0. ∴数列an－n＋2是等比数列，其公比为12，首项为32. ∴an－n＋2＝32×(12)n－1，an＝23n＋n－2.
求通项公式
数列通项的常用方法
(1)利用观察法求数列的通项．
(2)利用公式法求数列的通项：①等差、等比数列{an}的通项
公式；②an＝SS1n－Sn－1
n＝1， wk.baidu.com≥2.
(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：①an＋1＝an＋f(n)；
②an＋1＝anf(n)．
(4)构造等差、等比数列求通项： ①an＋1＝pan＋q；②an＋1＝pan＋qn；③an＋1＝pan＋f(n)； ④an＋2＝p·an＋1＋q·an.
1．数列{an}中，a1＝1，对所有的 n≥2 都有 a1·a2·a3·…·an＝n2，
则 a3 等于( A )
9
3
25
25
A.4
B.2
C. 9
D.16
2．在数列{an}中，若 an＋1＝2aan＋n 1，a1＝1，则 a6＝( D )
A．13
B.113
C．11
D.111
解析：由 an＋1＝2aan＋n 1得，an1＋1＝2ana＋n 1＝a1n＋2， 即a1n＝1＋2(n－1)．即 an＝2n1－1.a6＝111.
(1)证明：令an＋1＋A(n＋1)＋B＝4(an＋An＋B)， 即an＋1＝4an＋3An＋3B－A.比较系数，得A＝－1，B＝0. ∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，且a1－1＝1≠0. ∴数列{an－n}是等比数列，其公比为4，首项为1.
(2)解：由(1)得 an－n＝1×4n－1，an＝4n－1＋n， ∴数列{an}的前 n 项和 Sn＝4n－3 1＋nn2＋1. ∴Sn＋1－4Sn＝4n＋31－1＋n＋12n＋2－44n－3 1＋nn2＋1 ＝－12(3n2＋n－4)． 故 n＝1 时，Sn＋1－4Sn 最大，最大值为 0.
【互动探究】 3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n，则an＝_a_n_＝__n_·2_n_－_1_.
考点4 递推关系形如“an＋2＝pan＋1＋qan”的数列求通项 例4：已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an＋1－2an， 求数列{an}的通项公式． 解题思路：用待定系数法或特征根法求解．
∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1 ＝32n－1＋32n－2＋32n－3＋…＋322＋32＋1 ＝2×32n－2. ∴an＝3n－2n. 方法二：∵an＋1＝2an＋3n，∴a3n＋n1＝23·3an－n 1＋1. 令3an－n 1＝bn，则 bn＋1＝23bn＋1， 转化为“an＋1＝pan＋q”(解法略)．