2019-2020年北京市海淀区人教版九年级(上)期末数学试卷 解析版

2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（）A．B．C．D．3．方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝2，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（）A．B．C．2D．45．若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（）A．B．πC．2πD．4π6．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．在同一平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题）9．反比例函数y＝的图象经过（2，y1），（3，y2）两点，则y1y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b＝．11．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE ＝2，则EC的长为．12．如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）和B（6，3），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD 在y轴右侧，则点D的坐标为．13．如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．种子个数100400900150025004000发芽种子个数92352818133622513601发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连结AD，BD，其中BD与AC交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形：．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），点M 为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1，y2的图象于A，B 两点，连接AN，BN，则△ABN的面积为．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为．三．解答题（共12小题）17．解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．18．如图，在△ABC与△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC～△ADE．19．某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用6h到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5h，那么返程时的平均速度不能小于多少？20．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．22．一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．23．如图，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝8，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F 是射线CD上一点，且满足∠AEF＝90°．（1）若BE＝3，求CF的长；（2）当BE的长为何值时，CF的长最大，并求出这个最大值．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是直线y＝x+上一点，过点A分别作x轴，y 轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）若点A是第一象限内的点，且AB＝AC，求k的值；（2）当AB＞AC时，直接写出k的取值范围．25．如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．（1）当a＝1时，①抛物线G的对称轴为x＝；②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是；（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．27．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和实数k（k＞0），给出如下定义：当ka+b ＞0时，将以点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P的k倍相关圆．例如，在如图1中，点P（1，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆．（1）在点P1（2，1），P2（1，﹣3）中，存在1倍相关圆的点是，该点的1倍相关圆半径为．（2）如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，判断直线ON与点M的倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A的（0，3），B（1，m），反比例函数y＝的图象经过点B，直线l与直线AB关于y轴对称．①若点C在直线l上，则点C的3倍相关圆的半径为．②点D在直线AB上，点D的倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心，hR为半径的圆与反比例函数y＝的图象最多有两个公共点，直接写出h的最大值．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（）A．B．C．D．【分析】用小于3的卡片数除以卡片的总数量可得答案．【解答】解：从写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率为，故选：B．3．方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0中，△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝2，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（）A．B．C．2D．4【分析】由AD∥BC可得出∠OAE＝∠OFB，∠OEA＝∠OBF，进而可得出△AOE∽△FOB，再利用相似三角形的性质即可得出△AOE与△BOF的面积之比．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OFB，∠OEA＝∠OBF，∴△AOE∽△FOB，∴＝（）2＝4．故选：D．5．若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】直接利用扇形的面积公式计算．【解答】解：这个扇形的面积＝＝π．故选：B．6．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODA＝90°，∵∠A＝40°，∴∠DOA＝90°﹣40°＝50°，由圆周角定理得，∠BCD＝∠DOA＝25°，故选：B．7．在同一平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分k＞0和k＜0两种情况讨论即可．【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、三象限，反比例函数y＝的图象分布在一、三象限，没有正确的选项；当k＜0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象分布在二、四象限，D选项正确，故选：D．8．在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分x≥0及x＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当x≥0时，x（x﹣3）＝1，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝；当x＜0时，x（﹣x﹣3）＝1，解得：x3＝，x4＝．∴函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有3个．故选：C．二．填空题（共8小题）9．反比例函数y＝的图象经过（2，y1），（3，y2）两点，则y1＞y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】根据反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案．【解答】解：∵反比例函数y＝，k＝2＞0，∴图象在一、三象限，y随着x的增大而减小，又∵2＜3，∴y1＞y2，故答案为：＞．10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b＝2019．【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝1，然后把2020﹣a﹣b变形为2020﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，所以a+b＝1，所以2020﹣a﹣b＝2020﹣（a+b）＝2020﹣1＝2019．故答案为2019．11．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE ＝2，则EC的长为4．【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：EC＝4；故答案为：4．12．如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）和B（6，3），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD 在y轴右侧，则点D的坐标为（3，）．【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，B（6，3），∴点D的坐标为（6×，3×），即（3，），故答案为：（3，）．13．如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．种子个数100400900150025004000发芽种子个数92352818133622513601发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为0.9．【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，∴该植物的种子发芽的概率为0.9，故答案为：0.9．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连结AD，BD，其中BD与AC交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形：△CBE，△BDA．【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．【解答】解：∵＝，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠DAE＝∠DBC，∴∠DAE＝∠ABD，∵∠ADE＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，故答案为△CBE，△BDA．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），点M 为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1，y2的图象于A，B 两点，连接AN，BN，则△ABN的面积为2．【分析】直接利用反比例函数的性质结合矩形的性质得出矩形BEOM面积为：1，矩形MOF A面积为：3，则矩形BEF A的面积为4，进而得出答案．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，由题意可得，四边形BEF A是矩形，∵函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），∴矩形BEOM面积为：1，矩形MOF A面积为：3，则矩形BEF A的面积为4，则△ABN的面积为：S矩形BEF A＝2．故答案为：2．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为﹣1．【分析】取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．【解答】解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，∵点A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴OE＝2，∴ED＝＝，∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，∴线段CD长的最小值为．故答案为：．三．解答题（共12小题）17．解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】先把方程左边分解，原方程转化为x+1＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．18．如图，在△ABC与△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC～△ADE．【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【解答】解：：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵，∴△ABC∽△ADE．19．某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用6h到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5h，那么返程时的平均速度不能小于多少？【分析】（1）直接求出总路程，再利用路程除以时间＝速度，进而得出关系式；（2）由题意可得≤5，进而得出答案．【解答】解：（1）由题意得，两地路程为80×6＝480（km），故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v＝．（2）由v＝，得t＝，又由题知：t≤5，∴≤5．∵v＞0∴480≤5v．∴v≥96．答：返程时的平均速度不能低于96 km/h．20．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD＝OC＝1，∴CD＝＝＝，∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，同理可得，△OCE的面积＝×OD×CD＝，∴四边形DOEC的面积＝+＝．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2∵（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1∵方程有一个根为负数，∴m﹣1＜0．∴m＜1．22．一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数即可；（2）根据概率公式先求出标号之和为奇数和偶数的概率，再进行比较，即可得出这个游戏是否公平．【解答】解：（1）由题意画出树状图如下：所有可能情况如下：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，标号之和为奇数的概率是：，标号之和为偶数的概率是：，因为≠，所以不公平．23．如图，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝8，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F 是射线CD上一点，且满足∠AEF＝90°．（1）若BE＝3，求CF的长；（2）当BE的长为何值时，CF的长最大，并求出这个最大值．【分析】（1）证明△BAE∽△ECF，得出＝，即可得出答案；（2）设BE为x，则EC＝8﹣x．由（1）可得＝，得出CF＝﹣x2+4x＝﹣（x ﹣4）2+8，由二次函数的性质即可得出答案．【解答】解：（1）∵BC＝8，BE＝3，∴EC＝C＝BC﹣BE＝5，∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠BAE＝∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∵CD⊥BC，∴∠ECF＝90°，∴△BAE∽△ECF，∴＝，即＝，解得：CF＝；（2）设BE为x，则EC＝8﹣x．由（1）可得＝，∴＝，∴2CF＝x（8﹣x），∴CF＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，∴当x＝4，即BE＝4时，CF的值最大，CF的最大值为8．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是直线y＝x+上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）若点A是第一象限内的点，且AB＝AC，求k的值；（2）当AB＞AC时，直接写出k的取值范围．【分析】（1）设A点坐标是（x，x+），由于点A是第一象限内的点，且AB＝AC，可得出x＝x+，解出x的值，代入反比例函数解析式求k值．（2）由于A点可能在一二三象限，所以要分类讨论，再每个象限建立|AB|＞|AC|不等式，即|x+|＞|x|，计算求k值取值范围即可．【解答】解：（1）根据题意作图如下：设A点坐标是（x，x+），∵点A是第一象限内的点，且AB＝AC，∴x＝x+解得x＝3即A（3，3）∵点A在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝9（2）因为A（x，x+）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，所以k＝．①当点A在第一象限时，AB＞AC，即x+＞x（x＞0），解得0＜x＜3；代入k＝得0＜k＜9．②当点A在第二象限时，AB＞AC，即﹣x﹣＞﹣x（x＜0），无解；③当点A在第三象限时，AB＞AC，即x+＞﹣x（x＜0），解得﹣1＜x＜0；代入k＝得﹣1＜k＜0．综上所述，k的取值范围是﹣1＜k＜9且k≠0．答：k的取值范围是﹣1＜k＜9且k≠0．25．如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，得到OC∥AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）连接BC，连接BE交OC于点F，根据勾股定理求出BC，证明△CFB∽△BCA，根据相似三角形的性质求出CF，得到OF的长，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接BE交OC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝4，∴BC＝＝＝2，∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，∴AE＝2OF＝6．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．（1）当a＝1时，①抛物线G的对称轴为x＝1；②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是m＞2或m＜0；（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，①即可求得抛物线G的对称轴；②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，即可得m的取值范围；（2）根据抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，即可求a 的取值范围．【解答】解：（1）①抛物线G的对称轴为x＝1，故答案为1；②抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是m＞2或m＜0；故答案为：m＞2或m＜0；（2）∵抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0的对称轴为x＝1，且对称轴与x轴交于点M，∴点M的坐标为（1，0）．∵点M与点A关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点M右移3个单位得到点B，∴点B的坐标为（4，0）．依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，把点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝﹣；把点B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝﹣；把点M（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝4．根据所画图象可知抛物线G与线段AB恰有一个公共点时可得：﹣＜a≤﹣或a＝4．27．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为2；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）【分析】（1）①根据题意画出图形即可．②解直角三角形求出P A，再利用全等三角形的性质证明PQ＝P A即可．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通过计算证明DF＝FQ即可解决问题．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，AD＝，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题．【解答】（1）解：①补全图形如图所示．②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1，∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴AD＝＝，∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠P AD＝90°，∴P A＝AD•tan60°＝2，∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ，∴△PDA≌△PDQ（SAS），∴PQ＝P A＝2．故答案为2．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．∵P A⊥AD，∴∠P AD＝90°．由题意可知∠ADP＝45°．∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP，∴P A＝PD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∵AH⊥PF，PF⊥BQ，∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°∴四边形ACFH是矩形，∴∠CAH＝90°，AH＝CF，∵∠ACH＝∠DAP＝90°，∴∠CAD＝∠P AH，．又∵∠ACD＝∠AHP＝90°，∴△ACD≌△AHP（AAS），∴AH＝AC＝1，∴CF＝AH＝1，∵BD＝，BC＝1，B，Q关于点D对称，∴CD＝BD﹣BC＝，DQ＝BD＝，∴DF＝CF﹣CD＝＝DQ，∴F为DQ中点．∴PF垂直平分DQ．∴PQ＝PD．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，AD＝，∵PD＝PQ，PF⊥DQ，∴DF＝FQ＝x∵四边形AHFC是矩形，∴AH＝CF＝CD+DF＝（x﹣t）+x＝x﹣t，∵△ACB∽△P AD，∴＝，∴＝，∴P A＝，∵△P AH∽△DAC，∴＝，∴＝，解得x＝，∴BD＝．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和实数k（k＞0），给出如下定义：当ka+b ＞0时，将以点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P的k倍相关圆．例如，在如图1中，点P（1，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆．（1）在点P1（2，1），P2（1，﹣3）中，存在1倍相关圆的点是P1，该点的1倍相关圆半径为3．（2）如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，判断直线ON与点M的倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A的（0，3），B（1，m），反比例函数y＝的图象经过点B，直线l与直线AB关于y轴对称．①若点C在直线l上，则点C的3倍相关圆的半径为3．②点D在直线AB上，点D的倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心，hR为半径的圆与反比例函数y＝的图象最多有两个公共点，直接写出h的最大值．【分析】（1）由题意知，k＝1，针对于P1（2，1），a＝2，b＝1，ka+b＝2+1＝3＞0，点P1（2，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，3为半径的圆，即可求解；（2）设点M的坐标为（n，0），点M的倍相关圆半径为n．OM＝n．因为MP⊥ON，∠OPM＝90°，又∠MON＝30°，则MP＝OM＝n，即可求解；（3）①求出F（1，0），则直线l的解析式为y＝﹣3x+3，设C（c，﹣3c+3），由题意知，k＝3，3c+（﹣3c+3）＝3，即可求解；②点D在直线AB上，设D（d，3d+3），由题意知，k＝，即可求解．【解答】解：（1）由题意知，k＝1，针对于P1（2，1），a＝2，b＝1，∴ka+b＝2+1＝3＞0，∴点P1（2，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，3为半径的圆，针对于P2（1，﹣3），a＝1，b＝﹣3，∴ka+b＝1﹣3＝﹣2＜0，∴点P2（1，﹣3）不存在1倍相关圆故答案为：P1；3；（2）如图2中，结论：直线ON与点M的倍相关圆的位置关系是相切．理由：设点M的坐标为（n，0），过M点作MP⊥ON于点P，∴点M的倍相关圆半径为n．∴OM＝n．∵MP⊥ON，∴∠OPM＝90°，∵∠MON＝30°，∴MP＝OM＝n，∴点M的倍相关圆的半径为MP，∴直线ON与点M的倍相关圆相切；（3）①如图3中，记直线AB与x轴的交点为E，直线l与x轴的交点为F，∵B（1，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝6，∴B（1，6）∵A（0，3），∴直线AB的解析式为y＝3x+3，令y＝0，则3x+3＝0，∴x＝﹣1，∴E（﹣1，0），∵直线l是直线AB关于y轴对称，∴点F与点E关于y轴对称，∴F（1，0），∴直线l的解析式为y＝﹣3x+3，∵点C在直线l上，∴设C（c，﹣3c+3），由题意知，k＝3，∴3c+（﹣3c+3）＝3，∴点C的3倍相关圆的半径是3，故答案为：3；②∵点D在直线AB上，设D（m，3m+3），由题意知，k＝，∴R＝m+（3m+3）＝m+3＞0，∴m＞﹣．联立直线AB和反比例函数表达式并解得：x＝1或﹣2，故点H（﹣2，﹣3）、B（1，6），圆与反比例函数y＝的图象最多有两个公共点，则圆和第三象限部分的图象没有交点，因为随着m的增大与第一象限部分早晚有交点，即hR＜DH，而DH＝＝（m+2）＝m+2，hR＝h（+3）＜m+2，则h≤或h≤，故h≤满足条件，故h的最大值为：．。