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复数【知识梳理】

一、复数的基本概念

1、虚数单位的性质

2、复数的概念

（1a

，b∈R)a叫做，b叫做

。

a，b∈R)

对于复数的定义要注意以下几点：

a

，b∈R)

②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式

（2）分类：

例题：

二、复数相等

也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等

注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小

三、共轭复数

四、复数的几何意义

1、复平面的概念

都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义

的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数

例题：（1

（2

3、复数的模：

→

OZ 的模叫做复数bi a z +=z bi a +),(b a =z 22b a bi a +=+，z z =

若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=-

例题：已知i z +=2，求i z +-1的值

五、复数的运算

（1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R

①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221

)()()()()

)(()()

(d c i

ad bc bd ac di c di c di c bi a di

c bi a z z +-++=-⋅+-+=++=

（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋

OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.

六、常用结论

（1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i

求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次

例题：=675i

（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-

（3）1)2321

(3=±-i ，1)2321(3

-=±i

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )

(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )

【考点自测】

1.(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于( )

A.3＋3i

B.－1＋3i

C.3＋i

D.－1＋i

2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )

A.－2－i

B.－2＋i

C.2－i

D.2＋i

3.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )

A.4＋8i

B.8＋2i

C.2＋4i

D.4＋i

4.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位.若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2等于( )

A.3－4i

B.3＋4i

C.4－3i

D.4＋3i

5.已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.

【题型分析】

题型一 复数的概念

例1 (1)设i 是虚数单位.若复数z ＝a －103－i

(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3

(2)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2

的虚部为( )

A.1

B.i

C.25

D.0 (3)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

引申探究

1.对本例(1)中的复数z ，若|z |＝10，求a 的值.

2.在本例(2)中，若z 1z 2

为实数，则a ＝________.

思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.

(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x

的值为( )

A.－1

B.0

C.1

D.－1或1

(2)(2014·浙江)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

题型二 复数的运算

命题点1 复数的乘法运算

例2 (1)(2015·湖北)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )

A.i

B.－i

C.1

D.－1

(2)(2015·北京)复数i(2－i)等于( )

A.1＋2i

B.1－2i

C.－1＋2i

D.－1－2i

命题点2 复数的除法运算

例3 (1)(2015·湖南)已知(1－i )2z

＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i

(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i

＝________.