第三章 初等函数第2讲用初等方法讨论函数

2
（7）判别式法
例7 求函数
x2 x 2 y 2 的值域． x 2
例8 求下列函数的值域：
(1) y x 1 2x ; (2) y x 1 2x .
（8）换元法 例9 求函数 y
x 1 x的值域．
思考研究：
2 y lg( mx 6mx m 8) 例10 已知函数
§3.2
用初等方法讨论函数
一、关于函数的定义域和值域
1. 求函数的定义域 求函数的定义域，即求使解析式有意义 的x的取值范围.
初等函数求定义域的常见情况
例1 求下列函数的定义域：
(1)
(2)
x2 4 y log 2 ( x 2 2 x 3)
y lg[(a 1) x (a 1)]
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ,
则称f(x)在区间E上是增函数（或者说是单调递增 的）. 反之，如果
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ,
则称f(x)在区间E上是增函数（或者说是单调递增 的）. 增函数的图像特征是从左至右上升的，减函 数的图像特征是从左至右下降的.
⑷ 奇(或偶)函数得倒数函数(分母不为零)仍为 奇(或偶)函数. ⑸ 设函数y=[g(x)]是函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数，定义在对称于原点的数集S上： ① 若g(x)是奇函数，则当f(u)是奇(偶)函数时， 复合函数y=f [g(x)]是奇(偶)函数； ② 若g(x)是偶函数，则不论f(u)是奇函数或偶 函数，复合函数y=f [g(x)]都是偶函数. 以上结论留给同学们自己证明. 例22 判断函数 y lg
1 x 的值域． 1 x
（3）图像法 例3 求函数 （4）配方法 例4 求函数 y x x 2 的值域．
2
y x 1 x 2 的值域．
（5）反函数法
（6）不等式法
1 2 例5 求函数 y 的值域． x 1 2
x
x 2x 1 例6 求函数 y 的值域． 2 x 1
是周期函数，并求出它的一个周期.
练习
1 证明 y sin x 的最小正周期是 2 2 判断函数 y 数．
x cos x
是否为周期函
2 3 讨论函数 y cos x sin 2 x tan x 的 3
周期性．
1
例18 讨论函数 y x x2 1 在区间[ 1 , +∞)上 的单调性. 解法一： （用单调性的定义） 解法二： 可将原函数改写成 x x 2 1 ，再利 用结论⑶和⑸.
1
例19 讨论函数 性.
ya
x2 2 x3
的单调性和有界
分析：利用结论⑺ 例20 已知点M(1,2)既在函数 y f ( x) ax b ( x 0) 的图像上，又在其反函数的图像上. 1 y f ( x) ； ⑴ 求反函数 1 ⑵ 证明 f ( x) 在其定义域上是减函数.
⑹ 单调函数f(x)和它的反函数 f ( x)依同向变化. ⑺ 如果单调函数y=f(u)和单调函数u=g(x)依同 向（或反向）变化，那么复合函数y=f [g(x)]是单调 递增（或递减）的. 证明⑺：设y=f(u)于u=g(x)都是增函数.在复合 函数y=f [g(x)]的定义域内任取 x1 x2 ，则有 g ( x1 ) g ( x2 )，即 u1 u2 . 又因 f(u)也是增函数，故有 f (u1 ) f (u2 )，即 y1 y2 . 所以y=f [g(x)]是增函数. 同样，若y=f(u)于u=g(x)都是减函数. 也易证明 y=f [g(x)]是增函数. 定理的剩余部分的证明.留给同学们自己完成.
（1） 若 m [1,1] 时，函数均有意义， 求x的取值范围； （2） 若定义域为R，求实数m的取值 范围； （3） 若值域为R，求实数m的取值范 围.
二、关于二次函数的一些典型问题
二次函数的一般形式：
y f ( x) ax2 bx c (a 0)
例11 已知y=f(x)为二次函数， （1）若 f(x) 图像过两点(1,-3)和(0,-8)，且与 x 轴 两交点的距离为2，求 f(x); （2）若 f(-1)= f(2)=5,且 ymax=14,求 f(x).
有公共点，求实数 a 的取值范围.
例14 已知二次函数 f(x) 满足条件：
(1) f (1) 0; (2) 对一切x R. 求 f(x) 1 x2 x f ( x) 恒成立. 2
三、函数的性质
函数的性质就是指因变量随自变量的变化 而变化的特征性质. 在初等数学里，主要是研究 函数的宏观性质（即全局特征），如函数的有界 性、单调性、奇偶性、周期性、最大最小值等. 而在数学分析中，则是进一步研究函数的微观性 质，即自变量在微小的范围内变化时，因变量的 变化情况，如函数的连续性、导数、微分等. 最终结合初等方法和分析的方法我们就能 够弄清楚函数全面的特征性质.
例12 已知 f ( x) x 2mx 1 m
2
2
（1）若
2 2
, 是 f ( x) 0 的两个实根，求
的最小值；
（2）若 f(x)在[0,1]内的最小值为g(m),求g(m)的最 大值.
2 y lg( x 3) 与 y lg( x x a) 例13已知函数
1. 函数的有界性 定义1 如果存在正数M，对于函数f(x)在其定 义域（或其子集）内的一切x的值，都有
f ( x) M
则称f(x)为定义域（或其子集）上的有界函数. 如 果上述M不存在，则称这个函数是无界的. 显然，有界函数的图像介于直线 y M 和 y M 之间. 类似地可以定义有上界函数和有下界函数. 函数的有界性与函数的值域有本质的联系.
例24 判断函数 f ( x) e
cos x
的奇偶性.
例25 讨论函数 y cos( x arc sin x) 的奇偶性.
3
4. 函数的周期性 定义4 设f(u)在定义在数集D上的函数,如果存在 常数T≠0,对任何x∈D都有x±T∈D,且 f(x+T)=f(x)总能成立,则称f(x)为周期函数,常数T 叫做f(x)的一个周期.
它的图像.
1 例17 讨论函数 f ( x) x x 的单调性,并作出
可以证明函数的单调性有如下结论： ⑴ 单调函数f(x)与f(x)+c（c是常数）依同向
变化.
⑵ 单调函数f(x)与c· f(x)（c是常数），当c>0 时依同向变化，当c<0时依反向变化. ⑶ 若两个单调函数 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 依同向变化 则两函数的和也和他们依同向变化. ⑷ 若两个正值（或负值）单调函数 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 依同向变化，那么这两个函数的乘积与它们 依同向（或反向）变化. 1 ⑸ 单调函数f(x)与 f ( x ) 在f(x)不等于零的同号 区间里依反向变化.
2
例2 已知函数g(x)的定义域为(0,1],求下述 函数定义域：
f ( x) g (log 2 x) g ( x 2 1)
2.求函数的值域
求值域的方法有： 观察法、直接法、图像法、 配方法、反函数法、不等式法、判别式法、单调 性法、换元法、数形结合法等. （1）观察法 例1 求函数 y x 2 （2）直接法 例2 求 y log2 x log x (2 x) 的值域．
例9 若定义在R上的函数f(x)对任意实数x， 恒有f(x+a)=f(x+b) (a b) 成立，试证明： 该函数为周期函数.
例10 已知f(x)是定义域为R的函数，且满足f(1)=0，
f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y),( x, y R), 求证：f ( x)
分析： 利用结论⑹
2 f ( x ) log ( x ax a) 例21 已知函数 1 2
在区间 (,1 3) 上是减函数，求实数a的范围.
3. 函数的奇偶性 定义3 设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意 x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对 于任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数. 奇函数和偶函数反映了函数图像的某种对称特 征. 不难证明奇函数与偶函数的如下结论： ⑴ 两个奇(偶)函数的代数和仍然是奇(偶)函数. ⑵ 两个奇(偶)函数的积是偶函数；一个奇函数 与一个偶函数的积是奇函数. ⑶ 如果奇函数的反函数存在，且定义在对称于 原点的数集上，那么这个反函数也是奇函数.
例15 讨论函数
1 y 1 2 x
的有界性.
分析：可通过观察法进行分析. 例16 证明下列命题：
x ⑴ 函数 y 2 是有界函数； 1 x x ⑵ 函数 y 是无界函数. 1 x
分析：利用定义证明.
பைடு நூலகம்
2. 函数的单调性 定义2 对于给定区间E上的函数f(x)，如果对 于任意 x1 , x2 E ，有

x2 1 x 的奇偶性.

例23 已知函数
x(1 x) , 若x 0； y f ( x ) 0 , 若x 0； x(1 x) , 若x 0.
⑴ 判断函数f(x)的奇偶性； ⑵ 根据其性质作出f(x)的图像； ⑶ 依据f(x)的图像写出它的单调区间.