高中数学必修2第二章知识点总结

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高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点

高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点

第二章点、直线、平面之间的地点关系空间点、直线、平面之间的地点关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基天性质①公义 1:A lB llAB②公义 2:不共线的三点确立一个平面③公义 3:Pl 则 P lP二、点与面、直线地点关系1、 A1、点与平面有 2 种地点关系2、 B2、点与直线有1、 A l2 种地点关系l2、 B三、空间中直线与直线之间的地点关系1、异面直线2、直线与直线的地点关系订交共面平行异面3、公义 4 和定理公义 4:l1 Pl3l1 Pl 2l 2 Pl3定理:空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

4、求异面直线所成角的步骤:① 作:作平行线获得订交直线;② 证:证明作出的角即为所求的异面直线所成的角;③ 结构三角形求出该角。

提示: 1、作平行线常有方法有:直接平移,中位线,平行四边形。

2、异面直线所的角的范围是000 ,90。

四、空间中直线与平面之间的地点关系地点关系直线 a在平面内直线 a与平面订交直线 a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a a IA a P图形表示五、空间中平面与平面之间的地点关系地点关系两个平面平行两个平面订交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示P I a图形表示直线、平面平行的判断及其性质一、线面平行1、判断:ba b Pb Pa(线线平行,则线面平行)2、性质:a Pa a Pbb(线面平行,则线线平行)二、面面平行1、判断:aba b P Pa Pb P(线面平行,则面面平行)2、性质 1:PI a a PbI b(面面平行,则线面平行)性质 2:Pm Pm(面面平行,则线面平行)说明( 1)判断直线与平面平行的方法:① 利用定义:证明直线与平面无公共点。

② 利用判断定理:从直线与直线平行等到直线与平面平行。

③ 利用面面平行的性质:两个平面平行,则此中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

(2)证明面面平行的常用方法①利用面面平行的定义:此法一般与反证法联合。

新教材北师大版高中数学必修第二册第二章平面向量及其应用 学案(知识点考点汇总及配套习题)

新教材北师大版高中数学必修第二册第二章平面向量及其应用 学案(知识点考点汇总及配套习题)

第二章平面向量及其应用1从位移、速度、力到向量........................................................................................ - 1 - 2从位移的合成到向量的加减法................................................................................ - 8 - 3从速度的倍数到向量的数乘.................................................................................. - 23 - 4平面向量基本定理及坐标表示.............................................................................. - 35 - 5从力的做功到向量的数量积.................................................................................. - 52 - 6平面向量的应用...................................................................................................... - 67 -1从位移、速度、力到向量学习任务核心素养1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点) 2.掌握共线向量、相等向量的概念.(难点)3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)通过向量的有关概念的学习,培养数学抽象素养.(1)起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.(2)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班.民航客机飞行一次,位移变化一次,由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们是不同的位移.阅读教材,结合上述情境回答下列问题:问题1:上述情境涉及哪些物理量?其特点是什么? 问题2:在物理中,位移与路程是同一个概念吗?为什么? 问题3:平行向量一定是相等向量吗? 知识点1 向量的概念数学中,我们把既有大小又有方向的量统称为向量,而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗? [提示] 数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小. 知识点2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段,叫作有向线段.以A 为起点,B 为终点的有向线段,记作AB →,线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度,记作⎪⎪⎪⎪AB →.(2)向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,即长度(也称模),记作|a |.箭头所指的方向表示向量的方向.知识点3 零向量与单位向量(1)长度为0的向量称为零向量,记作0或0→; (2)模等于1个单位长度的向量,叫作单位向量.1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点,则终点构成的图形是________;若这些向量是单位向量,则终点构成的图形是________.[答案] 一条直线 两个点 知识点4 向量的基本关系(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量,记作a =b . (2)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫共线向量;a 平行于b ,记作a ∥b ;规定零向量与任一向量共线.(3)相反向量:长度相等且方向相反的向量,叫作相反向量,a 的相反向量记作-a ;规定零向量的相反向量是零向量.2.下列说法错误的是( ) A .若a =0,则||a =0 B .零向量是没有方向的C .零向量与任意向量平行D .零向量与任意向量垂直B [零向量的长度为0,方向是任意的,它与任何向量都平行、垂直,所以B 是错误的.]知识点5 向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a 和b ,在平面内选一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角;(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系:θ=0°⇔a 与b 同向;θ=180°⇔a 与b 反向;θ=90°⇔a ⊥b ,规定:零向量与任一向量垂直.3.等边△ABC 中,AB→与AC →的夹角是________,AB →与BC →的夹角是________.[答案] 60° 120°类型1 向量的有关概念【例1】 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ;(2)若AB→=DC →,则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点; (3)在平行四边形ABCD 中,一定有AB →=DC →;(4)若向量a 与任一向量b 平行,则a =0.[解] (1)当a ∥b 且方向相反时,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,故|a |=|b |且a ∥b 不是a =b 的充要条件,而是必要不充分条件,故(1)不正确.(2)AB→=DC →,A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上,故(2)不正确. (3)在平行四边形ABCD 中,|AB →|=|DC →|,AB →与DC →平行且方向相同,故AB →=DC →,(3)正确.(4)零向量的方向是任意的,与任一向量平行,(4)正确.1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行.2.熟知向量的基本概念,弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础.[跟进训练]1.已知O 是△ABC 的外心,则AO →,BO →,CO →是( ) A .相等向量 B .平行向量 C .模相等的向量 D .起点相同的向量C [⎪⎪⎪⎪AO →=⎪⎪⎪⎪BO →=⎪⎪⎪⎪CO →=r .] 类型2 向量的表示【例2】 (教材北师版P 75例1改编)一辆消防车从A 地去B 地执行任务,先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地,然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地,从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD →,DC →,CB →,AB →; (2)求B 地相对于A 地的位置向量.[解] (1)向量AD →,DC →,CB →,AB →,如图所示. (2)由题意知AD →=BC →, ∴AD 与BC 平行且相等, ∴四边形ABCD 为平行四边形, ∴AB →=DC →,∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°,6千米”.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.[跟进训练]2.在如图的方格纸中,画出下列向量.(每个小正方形的边长为1).(1)|OA →|=4,点A 在点O 正北方向;(2)|OB →|=22,点B 在点O 东偏南45°方向;(3)画一个以C 为起点的向量c ,使|c |=2,并说出c 的终点的轨迹是什么? [解] (1)(2)(3)的图象如图所示.(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心,半径为2的圆. 类型3 共线向量与夹角【例3】 (教材北师版P 76例2改编)如图,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,(1)分别写出图中所示与OA →,OB →,OC →相等的向量; (2)分别求出AB →与OB →,AB →与FE →的夹角的大小.[解] (1)OA →=CB →=DO →;OB →=DC →=EO →;OC →=AB →=ED →=FO →. (2)AB →与OB →的夹角的大小为60°,AB →与FE →的夹角的大小为60°.1.例3中与OA →模相等的向量有多少? [解] 由图知与OA →的模相等的向量有23个. 2.例3中向量OA →的相反向量有哪些?[解] 与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →,BC →,FE →,AO →. 3.例3中与向量OA →共线的向量有哪些?[解] 与向量OA →共线的向量有EF →,BC →,OD →,FE →,CB →,DO →,AO →,DA →,AD →. 4.求出例3中AB →与OA →的夹角的大小 [解] AB →与OA →的夹角的大小为120°.判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方向相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.对于共线向量,则只要判断它们是否同向或反向即可.[跟进训练]3.如图所示,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中. (1)写出与AF →、AE →相等的向量; (2)写出与AD →模相等的向量; (3)求AE →与CD →夹角的度数. [解] (1)AF →=BE →=CD →,AE →=BD →. (2)DA →,CF →,FC →.(3)因为CD →=AF →,所以AE →与CD →夹角为∠EAF =45°.当堂达标1.下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度,所以温度是向量; ②向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量; ③若|a |>|b |,则a >b .A .0B .1C .2D .3B [①温度没有方向,所以不是向量,故①错;③向量不可以比较大小,故③错;②若a ,b 中有一个为零向量,则a 与b 必共线,故a 与b 不共线,则应均为非零向量,故②对.]2.(多选题)下列说法错误的是( ) A .若|a |=|b |,则a =±bB .零向量的长度是0C .长度相等的向量称为相等向量D .共线向量是在同一条直线上的向量ACD [对A ,当|a |=|b |时,由于a ,b 方向不一定相同,a =±b 未必成立,所以A 错误;对B ,零向量的长度是0,正确;对C ,长度相等的向量方向不一定相同,故C 错误;对D ,共线向量不一定在同一条直线上,故D 错误.故选ACD.]3.在四边形ABCD 中,AB →=DC →,且|AD →|=|AB →|,则这个四边形是( ) A .正方形 B .矩形 C .等腰梯形 D .菱形 D [由AB →=DC →可知AB ∥DC ,且|AB →|=|DC →|, 所以四边形ABCD 为平行四边形. 又|AD →|=|AB →|,所以平行四边形ABCD 为菱形.故选D.]4.设O 是正方形ABCD 的中心,则OA →,BO →,AC →,BD →中,模相等的向量是________.[答案] OA →与BO →,AC →与BD →5.如图所示的菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,∠DAB =60°,则DA →与CA →的夹角为________;DA →与BC →的夹角为________.30° 180° [由图知,DA →与CA →的夹角与∠DAO 是对顶角,又因∠DAB =60°,根据菱形的几何性质,知∠DAO =30°,故DA →与CA →的夹角为30°,DA →与BC →为相反向量,故DA →与BC →的夹角为180°.]回顾本节内容,自我完成以下问题:1.向量与有向线段有怎样的联系与区别?[提示]用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性,应该注意的是有向线段还是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.有向线段的起点、终点是确定的,而向量仅由大小和方向确定,与起点位置无关.2.向量的“平行”与平面几何中的“平行”含义是否相同?[提示]共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.2从位移的合成到向量的加减法2.1向量的加法学习任务核心素养1.掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量.(重点) 2.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算.(难点)1.通过向量加法的概念及向量加法法则的学习,培养数学抽象素养.2.通过向量加法法则的应用,培养数学运算素养.有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力F1,F2的大小分别是|F1|=3 000 N,|F2|=2 000 N,牵引绳之间的夹角为θ=60°(如图),如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果.阅读教材,结合上述情境回答下列问题: 问题1:上述体现了向量的什么运算? 问题2:向量加法运算常用什么法则? 问题3:向量的加法运算结果还是向量吗? 知识点 向量求和法则及运算律 类别 图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知不共线向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB →=a ,BC →=b ,再作向量AC →,则向量AC →叫作a 与b 的和,记作a +b ,即a +b =AB →+BC →=AC →平行四边形法则已知不共线向量a ,b ,作AB →=a ,AD →=b ,再作平行AD →的BC →=b ,连接DC ,则四边形ABCD 为平行四边形,向量AC →叫作向量a 与b 的和,表示为AC →=a +b向量加法的运算律 交换律 a +b =b +a结合律(a +b )+c =a +(b +c )1.根据图中的平行四边形ABCD ,验证向量加法是否满足交换律.(注:AB →=a ,AD →=b )[提示] ∵AC →=AB →+BC →,∴AC →=a +b . ∵AC →=AD →+DC →,∴AC →=b +a .∴a +b =b +a .2.根据图中的四边形ABCD ,验证向量加法是否满足结合律.(注:AB →=a ,BC →=b ,CD →=c )[提示] ∵AD →=AC →+CD →=(AB →+BC →)+CD →,∴AD →=(a +b )+c , 又∵AD →=AB →+BD →=AB →+(BC →+CD →), ∴AD →=a +(b +c ), ∴(a +b )+c =a +(b +c ).思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)0+a =a +0=a ;( ) (2)AB →+BC →=AC →;( ) (3)AB →+BA →=0;( )(4)在平行四边形ABCD 中,BA →+BC →=BD →;( ) (5)|AB →|+|BC →|=|AC →|.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×类型1 向量加法法则的应用【例1】 (教材北师版P 81例1改编)(1)如图①,用向量加法的三角形法则作出a +b ;(2)如图②,用向量加法的平行四边形法则作出a +b .[解] (1)在平面内任取一点O ,作OA →=a ,AB →=b ,再作向量OB →,则OB →=a +b .(2)在平面内任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,再作平行OB →的AC →=b ,连接BC ,则四边形OACB 为平行四边形,OC →=a +b .用三角形法则求和向量,关键是抓住“首尾相连”,和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点,平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中,第一个向量的起点可任意选取,可在某一个向量上,也可在其它位置.两向量共线时,三角形法则仍适用,平行四边形法则不适用.[跟进训练]1.已知向量a ,b ,c ,如图,求作a +b +c .[解] 在平面内任取一点O ,作OA →=a ,AB →=b ,BC →=c ,如图,则由向量加法的三角形法则,得OB →=a +b ,OC →=a +b +c .类型2 向量加法及其运算律 【例2】 化简下列各式: (1)BC →+AB →; (2)DB →+CD →+BC →;(3)AB →+DF →+CD →+BC →+F A →.所给各式均为向量和的形式,因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解.[解] (1)BC →+AB →=AB →+BC →=AC →.(2)DB →+CD →+BC →=(DB →+BC →)+CD →=DC →+CD →=0或DB →+CD →+BC →=(DB →+CD →)+BC →=(CD →+DB →)+BC →=CB →+BC →=0.(3)AB →+DF →+CD →+BC →+F A →=AB →+BC →+CD →+DF →+F A →=AC →+CD →+DF →+F A →=AD →+DF →+F A →=AF →+F A →=0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法:借助向量加法的交换律和结合律,将向量转化为“首尾相接”,向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.(2)几何法:通过作图,根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简.[跟进训练]2.如图,在平行四边形ABCD 中(1)AB →+AD →=________; (2)AC →+CD →+DO →=________; (3)AB →+AD →+CD →=________; (4)AC →+BA →+DA →=________.(1)AC → (2)AO → (3)AD → (4)0 [(1)由平行四边形法则知,AB →+AD →=AC →.(2)AC →+CD →+DO →=AD →+DO →=AO →. (3)AB →+AD →+CD →=AC →+CD →=AD →.(4)∵BA →=CD →,∴AC →+BA →+DA →=AC →+CD →+DA →=AD →+DA →=0.] 类型3 向量加法的实际应用【例3】 (教材北师版P 81例2改编)在静水中船的速度为20 m/min ,水流的速度为10 m/min ,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.速度是向量,因此需要作出船的速度与水流速度的示意图,把实际问题转化为三角形中求角度问题.[解] 作出图形,如图.船速v 船与岸的方向成α角,由图可知v 水+v 船=v 实际,结合已知条件,四边形ABCD 为平行四边形, 在Rt △ACD 中,|CD →|=|AB →|=v 水=10 m/min , |AD →|=|v 船|=20 m/min , ∴cos α=|CD →||AD →|=1020=12,∴α=60°,从而船与水流方向成120°的角. 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.1.若例3条件不变,则经过3小时,该船的实际航程是多少? [解] 由题意可知|AC →|=32|AD →|=32×20=103(m/min)=335(km/h), 则经过3小时,该船的实际航程是3×335=935(km).2.若例3的条件不变,改为若船沿垂直于水流的方向航行,求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).[解] 如图所示,|AD →|=|BC →|=|v 船|=20 m/min , |AB →|=|v 水|=10 m/min ,则tan ∠BAC =2,即为所求.应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题.(3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题.[跟进训练]3.作用在同一物体上的两个力F 1=60 N ,F 2=60 N ,当它们的夹角为120°时,这两个力的合力大小为( )A .30 NB .60 NC .90 ND .120 N [答案] B当堂达标1.已知四边形ABCD 是菱形,则下列等式中成立的是( ) A .AB →+BC →=CA →B .AB →+AC →=BC → C .AC →+BA →=AD →D .AC →+AD →=DC →C [由加法的平行四边形法则可知AB →+AD →=AC →,即(-BA →)+AD →=AC →,所以AC →+BA →=AD →.]2.(多选题)如图,D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则下列等式中正确的是( )A .FD →+DA →+DE →=0B .AD →+BE →+CF →=0C .FD →+DE →+AD →=AB →D .AD →+EC →+FD →=BD →ABC [FD →+DA →+DE →=F A →+DE →=0, AD →+BE →+CF →=AD →+DF →+F A →=0, FD →+DE →+AD →=FE →+AD →=AD →+DB →=AB →, AD →+EC →+FD →=AD →+0=AD →=DB →≠BD →.故选ABC.]3.已知在矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,则AB →+BC →+AC →的模等于________. 213 [|AB →+BC →+AC →|=|2AC →|=2|AC →|=213.] 4.根据图填空,其中a =DC →,b =CO →,c =OB →,d =BA →.(1)a +b +c =________; (2)b +d +c =________.(1)DB → (2)CA → [(1)a +b +c =DC →+CO →+OB →=DB →. (2)b +d +c =CO →+BA →+OB →=CA →.]5.若a 表示“向东走8 km ”,b 表示“向北走8 km ”,则: (1)|a +b |=________;(2)向量a +b 的方向是________.(1)82 (2)北偏东45°(或东北方向) [(1)如图所示,作OA →=a ,AB →=b ,则a +b =OA →+AB →=OB →,所以|a +b |=|OB →|=82+82=8 2. (2)因为∠AOB =45°, 所以a +b 的方向是东北方向.]回顾本节内容,自我完成以下问题:1.如何灵活选择三角形法则或平行四边形法则求向量的和?[提示](1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法则是统一的,当两个向量首尾相连时常选用三角形法则,当两个向量共起点时,常选用平行四边形法则.(2)向量的加法满足交换律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合去进行.2.利用三角形法则求向量的加法时应注意什么问题?[提示]在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量,如果结果是零向量,一定要写成0,而不应写成0.2.2向量的减法学习任务核心素养1.掌握向量减法的定义,理解相反向量的意义.(重点)2.掌握向量减法的运算及几何意义,能作出两个向量的差向量.(难点)1.通过向量减法的概念及减法法则的学习,培养数学抽象素养.2.通过向量减法法则的应用,培养数学运算素养.小明的父亲在台北工作,他经常乘飞机从台北到香港开会,再从香港到上海洽谈业务.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到上海的位移用向量b表示,台北到上海的位移用向量c表示.阅读教材,综合上述情境回答下列问题: 问题1:上述问题中,b 能用a ,c 表示吗?问题2:方向相同且模相等的两个向量称为什么向量?方向相反且模相等的两个向量称为什么向量?问题3:零向量的相反向量是什么? 问题4:向量减法是向量加法的逆运算吗? 知识点1 相反向量定义把与向量a 长度相等、方向相反的向量,叫作向量a 的相反向量,记作-a规定:零向量的相反向量仍是零向量. 性质(1)-(-0)=0;(2)a +(-a )=(-a )+a =0;(3)若a +b =0,则a =-b ,b =-a .知识点2 向量减法 (1)定义向量a 减向量b 等于向量a 加上向量b 的相反向量,即a -b =a +(-b ),求两个向量差的运算,叫作向量的减法.(2)几何意义如图,设OA →=a ,OB →=b ,则BA →=a -b ,即a -b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.向量的减法可以转化为向量的加法来运算吗?[提示] 因为向量的减法是向量的加法的逆运算,所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算.1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)BA →=OA →-OB →; ( ) (2)相反向量是共线向量; ( ) (3)a -b 的相反向量是b -a ; ( ) (4)|a -b |≤|a +b |≤|a |+|b |.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.OP →-QP →+PS →+SP →=( ) A .QP → B .OQ → C .SP → D .SQ → [答案] B类型1 向量减法的几何作图【例1】 (教材北师版P 84例4改编)如图,已知向量a ,b ,c 不共线,求作向量a +b -c .[解] 如图所示,在平面内任取一点O ,作OA →=a ,AB →=b ,则OB →=a +b ,再作OC →=c ,则CB →=a +b -c .若本例条件不变,则a -b -c 如何作?[解] 如图,在平面内任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则BA →=a -b .再作CA →=c ,则BC →=a -b -c .利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a ,b ,如图①所示,作OA →=a ,OB →=b ,则BA →=a -b .,(2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a -b .如图②所示,作OA →=a ,OB →=b ,AC →=-b ,则OC →=a +(-b ),即BA →=a -b .[跟进训练]1.如图所示,O 为△ABC 内一点,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,求作:(1)向量b +c -a ; (2)向量a -b -c .[解] (1)以OB →,OC →为邻边作▱OBDC ,如图,连接OD ,AD ,则OD →=OB →+OC →=b +c ,AD →=OD →-OA →=b +c -a .(2)由a -b -c =a -(b +c ),如图,作▱OBEC ,连接OE ,则OE →=OB →+OC →=b +c ,连接AE ,则EA →=a -(b +c )=a -b -c .类型2 向量减法的运算 【例2】 化简下列式子: (1)NQ →-PQ →-NM →-MP →; (2)(AB →-CD →)-(AC →-BD →).[解] (1)原式=NP →+MN →-MP →=NP →+PN →=NP →-NP →=0.(2)原式=AB →-CD →-AC →+BD →=(AB →-AC →)+(DC →-DB →)=CB →+BC →=0.化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简.(3)化简向量的差时注意共起点,由减数向量的终点指向被减数向量的终点. 提醒:利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.[跟进训练]2.化简:(1)(BA →-BC →)-(ED →-EC →); (2)(AC →+BO →+OA →)-(DC →-DO →-OB →).[解] (1)(BA →-BC →)-(ED →-EC →)=CA →-CD →=DA →. (2)(AC →+BO →+OA →)-(DC →-DO →-OB →)=AC →+BA →-DC →+(DO →+OB →)=AC →+BA →-DC →+DB → =BC →-DC →+DB →=BC →+CD →+DB →=BC →+CB →=0. 类型3 向量加减法的综合应用【例3】 (1)已知|a |=1,|b |=2,|a +b |=5,则|a -b |=________. (2)(教材北师版P 85例6改编)已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,试用a ,b ,c 表示OD →.(1)5 [(1)设AB →=a ,AD →=b ,AC →=a +b ,则四边形ABCD 是平行四边形. 又∵(5)2=12+22,∴平行四边形ABCD 为矩形, ∴|a -b |=⎪⎪⎪⎪DB →=|AC →|= 5.] (2)[解]如图所示:OD →=OA →+AD →=a +BC →=a +(OC →-OB →)=a +c -b .用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形的有关定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示即可.[跟进训练]3.设平面内四边形ABCD 及任一点O ,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,OD →=d ,若a +c =b +d 且|a -b |=|a -d |.试判断四边形ABCD 的形状.[解] 由a +c =b +d 得a -b =d -c ,即OA →-OB →=OD →-OC →, ∴BA →=CD →,于是AB 与CD 平行且相等, ∴四边形ABCD 为平行四边形.又|a -b |=|a -d |,从而|OA →-OB →|=|OA →-OD →|, ∴|BA →|=|DA →|,∴四边形ABCD 为菱形.当堂达标1.在△ABC 中,AB →=a ,AC →=b ,则BC →=( ) A .a +b B .a -b C .b -aD .-a -bC [BC →=AC →-AB →=b -a .]2.如图,在四边形ABCD 中,设AB →=a ,AD →=b ,BC →=c ,则DC →等于( )A .a -b +cB .b -(a +c )C .a +b +cD .b -a +c [答案] A3.(多选题)下列四个式子中可以化简为AB →的是( ) A .AC →+CD →-BD → B .AC →-CB → C .OA →+OB →D .OB →-OA →.AD [因为AC →+CD →-BD →=AD →-BD →=AD →+DB →=AB →,所以A 正确;因为OB →-OA →=AB →,所以D 正确,故选AD.]4.设正方形ABCD 的边长为2,则|AB →-CB →+AD →-CD →|=________. 42 [如图,原式=|(AB →+AD →)-(CB →+CD →)|=|AC →-CA →|=|AC →+AC →|=2|AC →|, ∵正方形边长为2, ∴2|AC →|=4 2.]5.已知非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则a 与b 的位置关系为________.(填“平行”或“垂直”)垂直 [如图所示,设OA →=a ,OB →=b ,以OA 、OB 为邻边作平行四边形, 则|a +b |=|OC →|, |a -b |=|BA →|, 又|a +b |=|a -b |, 则|OC →|=|BA →|,即平行四边形OACB 的对角线相等, ∴平行四边形OACB 是矩形, ∴a ⊥b .]回顾本节内容,自我完成以下问题: 1.向量减法的实质是什么?[提示]向量减法是向量加法的逆运算.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.2.在用三角形法则作向量减法时,应注意什么问题?[提示]在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,区分a-b与b-a.3从速度的倍数到向量的数乘3.1向量的数乘运算学习任务核心素养1.掌握向量数乘的运算及其运算律.(重点)2.理解数乘向量的几何意义.(重点)1.通过向量数乘概念的学习,培养数学抽象素养;2.通过向量数乘的运算及其运算律的应用,培养数学运算素养.夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,这说明声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍.阅读教材,结合上述情境回答下列问题:问题1:若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于数,则v1与v2有何关系?问题2:实数与向量相乘结果是实数还是向量?(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa.(2)|λa|=|λ||a|.(3)方向:λa 的方向⎩⎨⎧当λ>0时,与a 的方向相同;当λ<0时,与a 的方向相反;当λ=0时,0a =0.(4)几何意义:当λ>0时,表示向量a 的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a 的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.若a ∥b ,b ∥c ,那么一定有a ∥c 吗?[提示] 不一定,若b =0,此时必有a ∥b ,b ∥c 成立,但a 与c 不一定共线.1.已知|a |=2,|b |=3,若两向量方向相同,则向量a 与向量b 的关系为b=________a .32 [由于|a |=2,|b |=3,则|b |=32|a |,又两向量同向,故b =32a .] 知识点2 数乘运算的运算律 设λ,μ为实数,a ,b 为向量,则 (1)(λ+μ)a =λ a +μ a ; (2)λ(μa )=(λμ)a ; (3)λ(a +b )=λa +λb .向量的线性运算:向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).2.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若λa =0则λ=0.( ) (2)对于非零向量a ,向量-2a 与向量a 方向相反. ( ) (3)当a 是非零向量,-1||a a 是与向量a 反向的单位向量.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√类型1 向量数乘运算的定义【例1】 已知a 、b 为非零向量,试判断下列各命题的真假,并说明理由. (1)2a 的方向与a 的方向相同; (2)|-2a |=32|3a |;(3)1||a a 是单位向量; (4)a +b 与-a -b 是一对相反向量. [解] (1)真命题.∵2>0, ∴2a 的方向与a 的方向相同. (2)假命题.|-2a |=||-2|a |=2|a |=23|3a |. (3)真命题.⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a ||a =1||a ||a =1.(4)真命题.∵a +b 与-a -b 是一对相反向量,且-(a +b )=-a -b , ∴a +b 与-a -b 是一对相反向量.对数乘向量的三点说明(1)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小. (2)当λ=0或a =0时,λa =0.反之,也成立, (3)数乘向量的运算不满足消去律.[跟进训练]1.已知λ∈R ,a ≠0,则在下列各命题中,正确的命题有( ) ①当λ>0时,λa 与a 的方向一定相同; ②当λ<0时,λa 与a 的方向一定相反; ③当λa 与a 的方向相同时,λ>0; ④当λa 与a 的方向相反时,λ<0.A .1个B .2个C .3个D .4个D [由λ与向量a 的乘积λa 的方向规定,易知①②③④正确.] 类型2 向量的线性运算【例2】 (教材北师版P 88例1改编)计算下列各式: (1)2(a +b )-3(a -b ); (2)3(a -2b +c )-(2a +b -3c ); (3)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a +2b )-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +12b -2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a +38b .[解] (1)原式=2a -3a +2b +3b =-a +5b ; (2)原式=3a -6b +3c -2a -b +3c =a -7b +6c ; (3)原式=12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +32b -a -34b =a +34b -a -34b =0.1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”,但这里的“同类项”指向量,实数看作是向量的系数.2.对于线性运算,把握运算顺序为:正用分配律去括号→逆用分配律合并.[跟进训练]2.(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a -3b )+13b -14(6a -7b );(2)设向量a =3i +2j ,b =2i -j ,求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a -b -⎝ ⎛⎭⎪⎫a -23b +(2b -a ). [解] (1)原式=23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a -3b +13b -32a +74b=23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4-32a +⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+13+74b =23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a -1112b =53a -1118b ;(2)原式=13a -b -a +23b +2b -a =⎝ ⎛⎭⎪⎫13-1-1a +⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+23+2b =-53a +53b=-53(3i +2j )+53(2i -j ) =⎝ ⎛⎭⎪⎫-5+103i +⎝ ⎛⎭⎪⎫-103-53j =-53i -5j .类型3 向量线性运算的应用【例3】 已知任意四边形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BC 的中点.求证:EF →=12(AB →+DC →).1.若D 是△ABC 的边BC 的中点,如何用AB →,AC →表示AD →? [提示] 由三角形法则知, AD →=AB →+BD →, AD →=AC →+CD →,两式相加得2AD →=⎝⎛⎭⎫AB →+BD →+⎝⎛⎭⎫AC →+CD →=⎝⎛⎭⎫AB →+AC →+⎝⎛⎭⎫BD →+CD →=AB →+AC →,所以AD →=12⎝⎛⎭⎫AB →+AC →.2.在△ABC 中,若AD →=12⎝⎛⎭⎫AB →+AC →,则D 是否是△ABC 的边BC 的中点? [提示] 设D ′是边BC 的中点,则AD ′→=12⎝⎛⎭⎫AB →+AC →,又AD →=12⎝⎛⎭⎫AB →+AC →, 则AD ′→=AD →, 所以D 与D ′重合, 所以D 是边BC 的中点.[证明] 取以点A 为起点的向量,应用三角形法则求证,如图. ∵E 为AD 的中点, ∴AE →=12AD →.∵F 是BC 的中点,∴AF →=12(AB →+AC →). 又∵AC →=AD →+DC →,∴AF →=12(AB →+AD →+DC →)=12(AB →+DC →)+12AD →. ∴EF →=AF →-AE →=12(AB →+DC →)+12AD →-12AD →=12(AB →+DC →).用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.[跟进训练]3.在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点.求证:DE →=12BC →. [证明] ∵D 为AB 的中点, ∴AD →=12AB →.∵E 是AC 的中点,∴AE →=12AC →.∴DE →=AE →-AD →=12AC →-12AB →=12⎝⎛⎭⎫AC →-AB →=12BC →.当堂达标1.(多选题)已知m ,n 是实数,a ,b 是向量,则下列命题中正确的为( ) A .m (a -b )=m a -m b B .(m -n )a =m a -n a C .若m a =m b ,则a =bD .若m a =n a ,则m =n .AB [A 和B 属于数乘运算对向量与实数的分配律,正确;C 中,若m =0,则不能推出a =b ,错误;D 中,若a =0,则m ,n 没有关系,错误.]2. 在△ABC 中,如果AD ,BE 分别为BC ,AC 上的中线,且AD →=a ,BE →=b ,那么BC →等于( )A .23a +43bB .23a -23bC .23a -43bD .-23a +43bA [由题意,得BC →=BE →+EC →=b +12AC →=b +12(AD →+DC →)=b +12a +14BC →,即BC →=b +12a +14BC →,解得BC →=23a +43b .]3.设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB →+FC →等于( ) A .BC → B .12AD → C .AD →D .12BC →C [EB →+FC →=EC →+CB →+FB →+BC →=EC →+FB →=12(AC →+AB →)=12·2AD →=AD →.] 4.若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -13a -12(c +b -3x )+b =0,其中a 、b 、c 为已知向量,则未知向量x =________.421a -17b +17c [据向量的加法、减法整理、运算可得x =421a -17b +17c .] 5.如图所示,已知AP →=43AB →,用OA →,OB →表示OP →.则OP →=________.-13OA →+43OB → [OP →=OA →+AP →=OA →+43AB →=OA →+43(OB →-OA →)=-13OA →+43OB →.]回顾本节内容,自我完成以下问题: 1.数乘向量的运算中应注意什么问题?[提示] 实数λ与向量a 可作数乘,但实数λ不能与向量a 进行加、减运算,如λ+a ,λ-a 都是无意义的.还必须明确λa 是一个向量,λ的符号与λa 的方向相关,|λ|的大小与λa 的模有关.2.利用数乘运算的几何意义时应注意什么问题?[提示] 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理,一定要注意,向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别;常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.。

高中数学必修二知识点梳理

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高中数学必修二知识点梳理第一章空间几何体的表面积和体积公式总结1.表面积(1).棱柱S = 2 S底+ S侧(2).棱锥S = S底+ S侧(3).棱台S = S上底+ S下底+ S侧(4).圆柱S= 2 πr 2 +2πr l =2πr ( r + l )(5).圆锥S = S底+ S侧=πr 2 +πr l =πr ( r + l )(6).圆台S = S上底+ S下底+ S侧=π(r2 + r´2 + rl +r´l) (7).球 S= 4πR22.体积(1).柱体V = S h(2).锥体V = S h/3(3).台体V =( S + √S ´S + S´) h/3(4).球V = 4/3πR3第二章点直线平面之间位置关系的判定,性质及其推论1.直线与平面平行的判定平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行2.平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行推论如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行3.直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行4.平面与平面平行的性质如果两个平面平行,两个平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行推论夹在两个平行平面间的平行线段相等5.直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直6.平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面垂直7.直线与平面垂直的性质垂直与同一平面的两条直线平行8.平面与平面垂直的性质两个平面垂直,则一个平面内垂直与交线的直线与另外一个平面垂直推论如果两个平面相互垂直,那么经过第一个平面的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内一.直线方程(一).两条直线1.l1∥l2 => k1 = k2或k1 k2不存在2. k1 = k2 => l1∥l2或l1 l2重合3.A,B,C三点共线 k AB = k AC(k存在)4. l1⊥l2 => k1 · k2 = -1 或k1 k2有一不存在,有一为05. k1 · k2 = -1 => l1⊥l2(二).直线方程1.点斜式方程: y–y0 =k (x–x0)2.两点式方程:(y–y1)/(y2–y1)=(x–x1)/(x2–x1)3.截距式方程:x/a +y/b = 14 .斜截式方程:y= k x + b5.一般式方程: Ax + By + C = 0二.距离公式1.两点之间距离公式:d = √【(x2 –x1)2 + (y2–y1)2】2.点到直线的距离公式:d = ∣Ax0 + By0 + C∣/√(A2 + B2)3.两条平行线间的距离公式: d =∣C2– C1∣/√(A2 + B2)]一.圆的方程1.圆的标准方程(x - a)2 +(y - b)2 = r2 (圆心坐标(a ,b),半径为r)2.圆的一般方程x2 + y2 + Dx +Ey +F = 0 => (x+D/2)2+(y+E/2)2 = (D2+E2-4F)/4(1). D2+E2-4F > 0 ,圆心(-D/2 ,- E/2)半径√(D2+E2-4F)/2(2). D2+E2-4F = 0 表示一点(3). D2+E2-4F < 0 不表示任何图形二.直线,圆位置关系1.直线与圆的位置关系(1).直线与圆无公共点⇔ d > r ⇔相离⇔联立方程无解(2).直线与圆只有一个公共点⇔ d = r ⇔相切⇔联立方程有一解(3).直线与圆有两个公共点⇔ d < r ⇔相交⇔联立方程有两解2.圆与圆的位置关系(1).外离⇔ d>R+r(2).外切⇔ d = R+r(3).相交⇔∣R-r∣ < d < R+r(4).内切⇔ d =∣R-r∣(5).内含⇔ d<∣R-r∣。

(完整word版)人教A版高中数学必修2知识点

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必修2知识点归纳第一章 空间几何体1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。

简单组合体的构成形式:一种是由简单几何体拼接而成,例如课本图1.1-11中(1)(2)物体表示的几何体; 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图1.1-11中(3)(4)物体表示的几何体。

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。

(1)定义:正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

(2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等”2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤:①建立适当直角坐标系xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系'''x O y ∠,使'''xOy∠=450(或1350),注意它们确定的平面表示水平平面;③画对应图形,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘轴,且长度变为原来的一半;一般地,原图的面积是其直观图面积的22倍,即22S S 原图直观=4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积;l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积:l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积:l R lr S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面⑷体积公式:h S V ⋅=柱体;h S V ⋅=31锥体;()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上⑸球的表面积和体积:32344R V R S ππ==球球,.一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。

高中数学必修二知识点总结及公式大全

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高中数学必修二知识点总结及公式大全高中数学是培养学生逻辑思维和抽象能力的重要学科。

《必修二》作为高中数学课程的重要组成部分,涉及了许多核心知识点和基础公式。

本文将为您详细总结《必修二》的知识点,并整理出一份公式大全,帮助您更好地掌握这门学科。

一、高中数学必修二知识点总结1.函数概念与性质- 函数的定义、表示方法、分类- 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性等)- 反函数及其求法2.指数函数与对数函数- 指数函数的定义、性质、图像- 对数函数的定义、性质、图像- 指数方程与对数方程的解法3.三角函数- 角度制与弧度制互换- 三角函数的定义、图像、性质- 三角恒等变换- 三角方程与不等式的解法4.数列- 等差数列与等比数列的定义、性质、求和公式- 数列的通项公式与求和公式- 数列的极限5.平面向量- 向量的定义、表示、线性运算- 向量的坐标表示与几何表示- 向量的数量积与垂直关系- 向量的平行四边形法则与三角形法则6.解析几何- 直线方程的求法(点斜式、截距式、一般式等)- 圆的方程与性质- 常见图形的面积、周长、体积计算二、高中数学必修二公式大全1.函数类- y=f(x) 的反函数:y=f^(-1)(x)- 幂函数:y=x^a(a 为常数)- 指数函数:y=a^x(a>0 且a≠1)- 对数函数:y=log_a(x)(a>0 且a≠1)2.三角函数类- 正弦函数:y=sin(x)- 余弦函数:y=cos(x)- 正切函数:y=tan(x)- 三角恒等变换公式(和差公式、倍角公式、半角公式等)3.数列类- 等差数列通项公式:a_n=a_1+(n-1)d- 等差数列求和公式:S_n=n/2(a_1+a_n)- 等比数列通项公式:a_n=a_1q^(n-1)- 等比数列求和公式:S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)4.向量类- 向量加法:A+B=(a_x+b_x, a_y+b_y)- 向量减法:A-B=(a_x-b_x, a_y-b_y)- 向量数量积:A·B=a_xb_x+a_yb_y- 向量模长:|A|=√(a_x^2+a_y^2)5.解析几何类- 点斜式直线方程:y-y_1=k(x-x_1)- 截距式直线方程:x/a+y/b=1- 圆的标准方程:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2总结:本文为您详细总结了高中数学必修二的知识点,并整理了一份公式大全。

高中数学第二章解析几何初步优化总结北师大版必修2

高中数学第二章解析几何初步优化总结北师大版必修2

[解] 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心,
3为半径的圆.
(1)设xy=k,即 y=kx,当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取得
最大值和最小值,
此时有 |2k-0| = k2+1
3,解得 k=± 3,
故xy的最大值是 3,最小值是- 3.
(2)设 y-x=b,即 y=x+b,当直线 y=x+b 与圆相切时 b 取
得最大值和最小值,此时|2-0+b|= 3, 2
解得 b=-2± 6,
故 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6.
(3)x2+y2 表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何的知 识知,其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最 大值和最小值,又知圆心到原点的距离为 2,故 x2+y2 的最大 值为(2+ 3)2=7+4 3,最小值为(2- 3)2=7-4 3.
2.求过圆外一点的圆的切线过程 求过圆外一点的圆的切线方程,一般设为点斜式,运用待定
系数法或判别式法求出斜率k,但用点斜式表示直线方程的前
提是斜率必须存在.过圆外一点可以作圆的两条切线,如果 只有一解,那么一定有一条切线斜率不存在,这时可用数形 结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来. 3.已知斜率求圆的切线
如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x +3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线 l 过点 A(4,0), 且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程;
(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直
的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满 足条件的点 P 的坐标.

高中数学必修1-必修2知识点总结

高中数学必修1-必修2知识点总结

高中数学必修1-必修2知识点总结集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性3、集合的表示:{ } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。

非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32} 4、集合的分类:(1).有限集含有有限个元素的集合(2).无限集含有无限个元素的集合(3).空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系 1.“包含”关系―子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B任何一个集合是它本身的子集。

A A②真子集:如果A B,且B A那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)③如果A B, B C ,那么A C ④如果A B 同时B A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

高中数学必修2知识点总结

高中数学必修2知识点总结

高中数学必修2知识点总结高中数学必修二知识点总结1. 一元二次方程一元二次方程的标准形式为ax^2+bx+c=0,并且a≠0。

求解一元二次方程的方法是配方法、公式法和因式分解法。

2. 三角函数常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。

三角函数的定义域和值域以及其性质和图像都是必须掌握的。

3. 三角恒等式包括正弦、余弦和正切等三角函数的恒等式,例如正弦函数的和差公式、倍角公式、半角公式等。

三角恒等式是解决三角函数问题的重要工具。

4. 二次函数的图像和性质二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c,其中a≠0。

二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线,其对称轴为x=-b/2a。

必须掌握二次函数的顶点、零点、对称轴等性质,这些性质是判断图像和求解问题的重要方法。

5. 平面向量平面向量包括向量的定义、向量之间的运算、向量的坐标表示等。

向量的运算包括向量的加法、减法、数量积和向量积。

向量的坐标表示是将向量投影在坐标轴上来表示的。

6. 点、直线、平面和空间几何点、直线、平面和空间几何的基本概念和性质是必须掌握的,例如点的坐标、直线的一般式方程、平面的法向量等。

此外,必须掌握两条直线和两个平面之间的位置关系、垂直平分线以及中垂线等概念。

7. 三视图和轴测图三视图是立体图形的三个视图,包括正视图、左视图和俯视图。

轴测图是用于三维图形表示的一种图形表示方法,包括斜二测和等轴测。

8. 四边形和圆的性质四边形和圆的主要性质包括四边形内角和定理、对角线定理、圆的周长和面积计算公式、圆内部和圆外部点与圆的位置关系等。

9. 三角形和圆的性质三角形和圆的主要性质包括三角形内角和、三角形的面积计算公式、圆心角和圆弧、圆的切线和切点等。

10. 函数及其应用函数的概念和图像、定义域和值域、单调性等性质必须掌握。

函数的应用包括函数的极值、最大值和最小值等问题。

以上是高中数学必修二知识点的总结,这些知识点是高中数学教育的重点和难点,学好这些知识点对于提高数学成绩和发展数学思维能力都具有重要的意义。

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( 10)两平行直线距离公式
Ax0 By0 C
2
2
AB
已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax By C1 0 ,
l 2 : Ax By C 2 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d
C1 C2 A2 B2
第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭l
β
B α 2、二面角的记法:二面角 α-l- β或 α-AB- β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
(2) k 与 P1、P2 的顺序无关; (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 ( 3)直线方程
①点斜式: y y1 k ( x x1 ) 直线斜率 k,且过点 x1, y1
注意: 当直线的斜率为 0°时, k=0 ,直线的方程是 y= y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作
2
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
a⊥ b;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系:
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义 : 如果直线 L 与平面 α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面 α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平 面 α的垂线,平面 α叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时 , 它们唯一公共点 P 叫做垂足。
P a
L
2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
当 ( x0 a)2 ( y0 b) 2 < r 2 ,点在圆内
( 2)一般方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0
当 D 2 E 2 4 F 0 时,方程表示圆,此时圆心为
D , E ,半径为 r 22
1
2
D
2
2
E 4F
当 D 2 E 2 4F 0 时,表示一个点;
当 D 2 E 2 4 F 0 时,方程不表示任何图形。
当d 当d
R r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
R r 时,两圆内含;
当 d 0 时,为同心圆。
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
一、选择题
第一章 空间几何体题
1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个
共面直线
相交 直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行 直线:同一平面内,没有公共点;
异面 直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
β
α
P
2L
2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设 a、 b、c 是三条直线
a∥ b c∥ b
=>a∥c
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强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
( 1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 ( 2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
( 3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用
a α 来表示

a
∩ α =A
a
∥α
2.2. 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
0 度。因此,倾斜角的取值范围是 ( 2)直线的斜率
0°≤ α< 180°
①定义: 倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 k 表示。即 k tan 。斜率
反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , α=0°, k = tan0 当直线 l 与 x 轴垂直时 , α = 90 °, k 不存在 .
( 1)标准方程 x a 2 y b 2 r 2 ,圆心 a, b ,半径为 r;
点 M ( x0 , y0) 与圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 的位置关系:
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当 ( x0 a)2 ( y0 b) 2 > r 2 ,点在圆外
当 ( x0 a)2 ( y0 b)2 = r 2 ,点在圆上
l 1 l 2 k1k2 1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
a ( a 为常数);
( 7)两条直线的交点
l1 : A1x B1y C1
交点坐标即方程组
0 l2 : A2x B2 y C 2 0 相交
A1 x B1 y C1 0 的一组解。 A2 x B2 y C2 0
方程组无解
公理 4 作用: 判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
.
4 注意点: ① a' 与 b' 所成的角的大小只由 a、 b 的相互位置来确定,与 ② 两条异面直线所成的角 θ∈ (0 , ) ;
O 的选择无关,为了简便,点
O 一般取在两直线中的一条上;
简记为: 线线平行,则线面平行。
符号表示:

bβ a∥ b
=> a
∥α
2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:


a∩ b = P β ∥α
a∥ α
2、判断两平面平行的方法有三种:
b∥ α
( 1)用定义;
( 2)判定定理;
( 3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为: 线面平行则线线平行。
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符号表示:
a ∥α a β a ∥b α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α∩γ= a a ∥b β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
Ax By C 0 (A,B 不全为 0)
注意: ○1 各式的适用范围
○2 特殊的方程如:
平行于 x 轴的直线: y b (b 为常数); 平行于 y 轴的直线: x
( 6)两直线平行与垂直
当 l 1 : y k1x b1, l 2 : y k2 x b2 时,
l 1 // l 2 k1 k2 , b1 b2 ;
A
B
α2 C 2
2
公理 2 作用: 确定一个平面的依据。
( 3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为: P∈ α∩ β => α∩ β=L,且 P∈L 公理 3 作用: 判定两个平面是否相交的依据 .
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系:
l1 // l 2 ;
方程组有无数解
l 1 与 l 2 重合
( 8)两点间距离公式: 设 A( x1, y1 ),(B x2 , y2)是平面直角坐标系中的两个点,
则 | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1 )2
( 9)点到直线距离公式: 一点 P x 0 , y0 到直线 l1 : Ax By C 0 的距离 d
( 1)设直线 l : Ax By
C
0 ,圆 C : x
2
a
2
yb
r 2 ,圆心 C a,b 到 l 的距离为 d
则有 d r l与 C相离 ; d r l 与 C相切 ; d r l与 C相交
Aa Bb C , A2 B2
( 2)过圆外一点的切线 :① k 不存在,验证是否成立② k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离 =半径,求解 k,得到 方程【一定两解】
3 第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义:平面是无限延展的
2 三个公理:
( 1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
.
符号表示为
A∈ L
B∈L => L
α
A∈ α
B∈ α
公理 1 作用: 判断直线是否在平面内 .
A
α2
L
( 2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为: A、 B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面 α, 使 A∈ α、 B∈α 、C∈α 。
( 3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
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