【2020年高考必备】辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)及解析

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【2020年高考必备】辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)及解析

辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5 分）若集合 A={x|x 2- 2x -3V 0}，集合 B={x|x v 1}，则 A H B 等于（）A. （1, 3）B. （-^，- 1）C. （- 1,1）D . （- 3, 1）2. （5分）已知i 为虚数单位，复数「’的共扼复数在复平面内对应的点位于 l+2i（） A •第一象限B.第二象限C 第三象限D .第四象限3. （5分）已知平面向量〔一，；，；•— 一，且 -:■，则实数x 的值为（）A . 二B .二C.；二D . 二 4. （5分）已知tan 9 =2则，:J ':：•:的值为（sin v 17 105. （5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0时，输入的x 的值为（）A. - 3 B . - 3 或 9 C. 3 或-9D. - 9 或-36 . （5分）某四棱锥的三视图如图所示，贝U 该四棱锥的侧面积是（A .A . — -B .】二-：C.「- D .37. (5分)在等差数列｛a n ｝中，若S n 为前n 项和，2为=&+5,则S i 的值是()A. 55B. 11C. 50 D .60 8. (5分)甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是()A. 甲是教师，乙是医生，丙是记者B. 甲是医生，乙是记者，丙是教师C. 甲是医生，乙是教师，丙是记者D. 甲是记者，乙是医生，丙是教师 9.(5分)已知函数以下命题中假命题是()A .函数f (x )的图象关于直线打二对称 B^ 是函数f (x )的一个零点6JTC.函数f (x )的图象可由g (x ) =sin2x 的图象向左平移个单位得到D. 函数f (x )在」〕一I 上是增函数10. (5 分)设函数 f (x ) =xe <+1，则( )A . x=1为f (x )的极大值点 B. x=1为f (x )的极小值点C. x=- 1为f (x )的极大值点11. (5分)已知双曲线：—a止(主鴻ff! 蝴左)视Ifi 備按圏D. x=- 1为f (x)的极小值点2'■ I，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A,若讣厂二，则双6曲线C的离心率为（）A. 2B. 「C. -D.二312. （5分）设函数f （x）是定义在R上的偶函数，且f （x+2）=f （2-x）,当x€ [ - 2,0]时, ；---i，则在区间（-2, 6）内关于x的方程f （x）-2log8 （x+2）=0解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）Qx13. ______________________________________________________________（5 分）设变量x, y满足约束条件：,则z=x- 3y的最小值为___________________ . 14 . （5分）已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P （1,1）为中点，则弦AB所在直线方程是 _______ .15 . （5 分）在数列｛a n｝中，a1=1, a2=2, a n+1 =3a n —2a n-1 （n》2）,则a n= .16. （5分）已知正四棱锥S- ABCD中，」二「定，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ________ .三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .（12分）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且满足工J _ 一,2 5AB-AC=3.（1）求厶ABC的面积；（2）若b+c=6,求a的值.18 . （12分）高中生在被问及家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55 人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占朋友聚集的地方占'、个人空间占'.美国高中生答题情5 10 10况是：朋友聚集的地方占「、家占「个人空间占I •555(I)请根据以上调查结果将下面 2X2列联表补充完整；并判断能否有 95%的把握认为恋家(在家里感到最幸福)”与国别有关；步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在个人空间感到幸福的学生的概率.CD=3 M 为 PC 上一点，且 PM=2MC. (1) 求证：BM //平面PAD(2) 若AD=2, PD=3, .si!——，求三棱锥P-ADM 的体积.2 220. (12分)已知椭圆的左、右焦点分别为 Fi 、F2，点a b M j 在椭圆上，且有■- I II--<.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 过F2的直线I 与椭圆交于A 、B 两点，求△ AOB 面积的最大值.21. (12 分)已知函数 f (x ) = (x+1) 2 - 3alnx ，a € R .附_ - ' I ■' (a+b) (c+d) (a+c) (b+ d)'其中 n=a+b+c+d . 19. (12分)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PD 丄底面 ABCD AB// CD, AB=2,(1)求函数f ( X)图象经过的定点坐标；(2)当a=1时，求曲线f (X)在点(1, f (1))处的切线方程及函数f (X)单调区间；(3)若对任意x€ ［1, e］, f (x)<4恒成立，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为"(t(y=l+sint为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2+ (y- 2) 2=4.以直角坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线I的极坐标方程为9 =a (O v av n)(1)求曲线G、C2的极坐标方程；(2)设点A、B为射线I与曲线G、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数f (x) =| x- a|+ 3x，其中a€ R.(1)当a=1时，求不等式f (x)> 3x+|2x+1|的解集；(2)若不等式f (x)< 0的解集为｛x|x<- 1｝，求a的值.2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5 分）若集合A={x|x2- 2x-3V 0}，集合B={x|x v 1}，则A H B 等于（）A. （1, 3）B. （-^，- 1）C. （- 1,1）D. （- 3, 1）【解答】解：A={x| x2- 2x- 3v 0}={x| —1v x v 3}，集合B={x| x< 1}，则A H B={x| - 1<x< 1}= （- 1，1），故选：C2. （5分）已知i为虚数单位'复数占的共扼复数在复平面内对应的点位于A•第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解答】解.… I j = _，. 一，一.【解答】解：•..=「.「.,，「.复数「的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（==），位于第二象限.故选：B.3. （5分）已知平面向量.,且：2-：I 7,则实数x的值为（）A. 二B. 二C. ；UD. 二【解答】解：根据题意，向量...；，’「「L，-,则-=（-3, X- ,又由（a~b）_L b,贝U （吕-b） ?b=（— 3）X 1+ （x-J^）X馅=0, 解可得x=2二，故选：B.4. （5分）已知tan 9 =2则'' :.的值为（）sin HA.匕B.上C.D. 15 5 10 10■-I _【解答】解：：tan 9 =2 则" .■ J =1+ 1 + :::'sin0 +Sin ° tanB=1+丨+ —」+丄；2 ta n2e+i 2 4+1 105故选：C.5. （5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）A.- 3B.- 3 或9C. 3 或-9D.- 9 或-3【解答】解：输出才结果为零，有y=0由程序框图可知，当：y= （TT） X- 8=0时，解得选x=- 3；当y=2 - log3X=0,解得x=9.综上，有x=- 3,或者9.故选：B.6. （5分）某四棱锥的三视图如图所示，贝U该四棱锥的侧面积是（A. — -B.：宀=匚C. 「-D.3【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是P-ABCD其中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC丄平面ABCD如图,止（主）規阳蝴左）视IfiPB=PD=[—壬=2 二，•••该四棱锥的侧面积是：S=S PBC+S\PDC+S\PAB+S PCD= '■：-：l77 ■■ ■. -■：I T7 ■■■.=4+4 ■:.故选：A.7. （5分）在等差数列｛a n｝中，若S n为前n项和，2內=宪+5,则S i的值是（）A. 55B. 11C. 50D. 60【解答】解：设等差数列｛a n｝的公差为d，v 2巾=88+5,二2a i+12d=d+7d+5,• a i+5d=5=a s，11（玄]+ “1）则Si i= =11a s=55.故选：A .8. (5分)甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知: 丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况, 下列判断正确的是( )A. 甲是教师，乙是医生，丙是记者B. 甲是医生，乙是记者，丙是教师C. 甲是医生，乙是教师，丙是记者D. 甲是记者，乙是医生，丙是教师【解答】解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B 和D ;由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生. 故选：C.9. (5分)已知函数：，：匚，以下命题中假命题是( )A. 函数f (x )的图象关于直线严二对称B.——是函数f (x )的一个零点C.函数f (x )的图象可由g (x ) =sin2x 的图象向左平移个单位得到D. 函数f (x )在」〕一I 上是增函数【解答】解：对于A ，当x= 时，函数f (x ) =sin (2X +) =1为最大值,丄乙丄£ J••• f (x )的图象关于直线.，对称，A 正确；丄£TT TT 7T对于 B ，当 x=- 时，函数 f (x ) =sin (- 2 X +) =0,66 3••• x=- 一是函数f (x )的一个零点，B 正确; 6其图象可由g (x ) =sin2x 的图象向左平移一个单位得到,对于 C ,函数 f (x ) =sin (2x+C 错误;)=sin2 (对于D, x€ [0, 一]时，2x+_ € [三，—],12 3 3 2•••函数f (x) =sin (2x+…)在「.…一上是增函数，D正确.3 12故选：C.10. (5 分)设函数f (x) =xe x+1，则( )A. x=1为f (x)的极大值点B. x=1为f (x)的极小值点C. x=- 1为f (x)的极大值点D. x=- 1为f (x)的极小值点【解答】解：由于f (x) =xe x，可得f'(x) = (x+1) e x，令f'( x) = (x+1) e x=0 可得x=- 1，令f' (x) = (x+1) e x>0可得x>- 1，即函数在(-1，+x)上是增函数令f' (x) = (x+1) e x v0可得x v- 1，即函数在(-x，- 1)上是减函数所以x=- 1为f (x)的极小值点.故选：D.2 211. (5分)已知双曲线：'■- ，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点人，若•…，则双6曲线C的离心率为( )A. 2B.「C. "■D.亠【解答】解：由直径所对的圆周角为直角，可得/ OAF=90,在△ OAF中，亠_匚订、一'6可得AF=OFcos30= - c,2由AF为焦点(c，0)到渐近线bx- ay=0的距离，即为' ==b，Vb2+a2 c即有b=^c.故选A.12. (5分)设函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x+2) =f (2-x),当x € [ - 2,0]时, ；---i，则在区间(-2, 6)内关于x的方程f (x)-2log8 (x+2) =0解的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【解答】解：对于任意的x€ R,都有f (2+x) =f (2-x),••• f (x+4) =f[2+ (x+2) ] =f[ (x+2)- 2] =f (x),•••函数f (x)是一个周期函数，且T=4.又‘当x e [ -2, 0]时，f(x)=(二)x- 1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f (6) =1,则函数y=f (x)与y=log 8 (x+2)在区间(-2, 6)上的图象如下图所示：根据图象可得y=f (x)与y=log 8 (x+2)在区间(-2, 6) 上有3个不同的交点. 故选：C.、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. (5分)设变量x, y满足约束条件：*时y< 2,则z=x- 3y的最小值为_10 .【解答】解：画出约束条件：，时y<2可行域如下图，由z=x- 3y 得y= x-；3 3平移直线y-x—,3 3由图象可知当直线经过点B时，直线y= x--匚的截距最大，此时z最小，33由丫：解得，h+y=2B (- 1, 3);故此时z=- 1 - 3X3=- 10;14. (5分)已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线方程是2x- y - 1=0 .【解答】解：设A (为，yd, B (X2, y2),代入抛物线方程得y12=4x1，①，y22=4x2，②，yi-y?a①-②整理得k= = =2,H 严2 V] +^2则弦AB所在直线方程为y-仁2 (x- 1),即为2x- y-仁0.故答案为：2x- y -仁0.15. (5 分)在数列｛a n ｝中，a i =1, a 2=2, a n +i =3a n — 2a n -1 (n 》2),贝U a n = 2 (n € N *).【解答】解：t an +i =3a n - 2a n -i (n >2), --a n +i — a n =2a n — 2a n -1=2 (a n — a n -1) (n 》2), 可得：a 3 - a 2=2 (a 2 - a i )a 4 -出=2 (a 3 - 02) a n +1 - a n =2 ( a n - a n -1)相加可得：a n +i - a 2=2 (a n - a i ),可得：a n +i - 2=2 (a n - 1),即：a n +i =2a n , •••数列｛a n ｝是等比数列，n € N *, • 一【厂.故答案为：2n -1 (n € N *).16. (5分)已知正四棱锥S- ABCD 中，：「•二「门，那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为 6【解答】解：设正四棱锥S - ABCD 的底面边长为a ,则高设 y=108a 4- - a 6,2则 y ' =432- 3a 5,由 y ' =432-3a 5=0,解得 a=0或 a=12, •••当a=12时，体积最大，此时[ “工=6, 故答案为：6.三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）体积V= a 2h= |10817. （12分）在厶ABC中，角A，B, C所对的边分别为a, b, c,且满足:.'--2 5AB*AC=3.（1）求厶ABC的面积；（2）若b+c=6,求 a 的值.【解答】解：（1）因为:-'--,2 5所以il li ]',二丄丄「又由「・得bccosA=3,所以bc=5（2）由（1）知,bc=5,又b+c=6,由余弦定理，得-1' _ ' ! - ' -—- ，所以-=-'打18. （12分）高中生在被问及家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情5 10 10况是：朋友聚集的地方占「、家占：、个人空间占I .5 5 b（I）请根据以上调查结果将下面2X2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；从被调查的不恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出 4人接受进步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在个人空间”【解答】解：由已知得,•••有95%的把握认为恋家”与否与国别有关；(U)用分层抽样的方法抽出4人，其中在朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人, 在个人空间”感到幸福的有1人，分别设为a i , a 2, a 3, b ；T (a i , a 2), (a i ,氏)，(a i , b ), (a 2, a 3), (a 2, b ), (a 3, b ) } , • n=6；设含有在个人空间”感到幸福的学生”为事件A , A={ (a i , b ), (a 2, b ) (a 3, b ) } , • m=3; 则所求的概率为-i :.n 62i9. (i2分)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PD 丄底面 ABCD AB// CD, AB=2, CD=3 M 为 PC 上一点，且 PM=2MC. (1) 求证：BM //平面PAD (2)若AD=2, PD=3, ,|，求三棱锥P-ADM 的体积.附其中 n =a+b+c+d -感到幸福的学生的概率.n(adHoc) 2【解答】（1）证明：法一、过M 作MN //CD 交PD 于点N ,连接AN .又I .'-一八.，且 AB//CD,••• AB// MN , AB=MN,则四边形ABMN 为平行四边形， ••• BM // AN.又••• BM?平面 PAD, AN?平面 PAD, ••• BM // 平面 PAD.法二、过点M 作MN 丄CD 于点N , N 为垂足，连接BN. 由题意，PM=2MC,贝U DN=2NG又••• DC=3 DN=2,「. AB=DN, AB// DN , •••四边形ABND 为平行四边形,贝U BN// AD . ••• PD 丄平面 ABCD DC?平面 ABCD , /• PD 丄 DC. 又 MN 丄 DC,二 PD// MN .又••• BN?平面 MBN , MN?平面 MBN , BNP MN=N ; ••• AD?平面 PAD PD?平面 PAD AD P PD=D •••平面MBN //平面PAD.••• BM?平面 MBN ,二 BM // 平面 PAD (2)解：过B 作AD 的垂线,垂足为E.••• PD 丄平面 ABCD BE?平面 ABCD /• PD 丄 BE 又••• AD?平面 PAD PD?平面 PAD, AD P PD=D. ••• BE!平面 PAD 由(1)知,BM //平面PAD,••• M 到平面PAD 的距离等于B 到平面PAD 的距离，即BE•••PM=2MC,在厶ABC中，AB=AD=2 BEf/瓦31^+；，得(m 2+2) y 2+2my - 1=0, + +2y —2 -2ID 珥+y 于-n/ + 2，mm +12 _(m^+1) +2(n^+l) +1---- <V2>< 9 -- .— -------- 2 〔『+1)1座7^ T 2 ，(w 2+l)―—+2当且仅当-.-一，即m=0时，等号成立.ID‘ + 1•••△ AOB 面积的最大值为匸.221. (12 分)已知函数 f (x ) = (x+1) 2 - 3alnx ，a € R . (1) 求函数f (x )图象经过的定点坐标； (2)当a=1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程及函数f (x )单调区间；(3) 若对任意x € [1，e]，f (x )<4恒成立，求实数a 的取值范围. 【解答】解：(1)当x=1时，In 仁0，所以f (1) =4，所以函数f (x )的图象无论a 为何值都经过定点(1, 4).(2)当 a=1 时，f (x ) = (x+1) 2 - 3Inx . f (1) =4，F t 厂.，f (1) =1,x则切线方程为 y -4=1 x(x - 1)，即 y=x+3. 在 x €(0，+x )时，如果:• J ，.：, I : ：. I ，x即:时，函数f (x )单调递增；如果 L 'J ' . j I ■■ ■'，即一一;时，函数f ( X )单调递减.2(3)'', x >0.当 a <0 时，f (x )>0, f (x )在［1, e ］上单调递增.f (X )min =f (1) =4, f (x ) < 4不恒联立*由韦达定理，得* ¥ m +2ID 十 J成立.当a>0 时，设g (x) =2X2+2X-3a, x>0.•••g (x)的对称轴为、,g (0) =- 3a v0,2••• g (乂)在(0, +x)上单调递增，且存在唯一x°€( 0, +x),使得g (X0)=0.•••当x€(0, X。

2020年辽宁省高考数学(文科)模拟试卷(3) 含详细答案解析

A，且 |AF |＝ c，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（
）
A ．（ 1， √3]
B ．（1， 2）
C． [ √2 ， 2）
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
D．（ 2，+∞）
13．（5 分）如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，
第 2页（共 18页）
C． log23＜ 0.23＜ log 30.2
D． 0.23＜ log 30.2＜ log23
【解答】解：∵ log23＞ log 22＝ 1， 0＜ 0.23＜ 0.20＝ 1，
log30.2＜ log 31＝0， ∴ log30.2＜0.23＜ log 23．
故选： A．
8．（ 5 分）已知直线 m，n 分别在两个不同的平面 α，β内，则“ m⊥ n”是“ α⊥ β”的（）
第 5页（共 18页）
2020 年辽宁省高考数学（文科）模拟试卷（ 3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）已知 A＝{ x∈N*|x≤ 3} ， B＝ { x|x2﹣ 4x≤ 0} ，则 A∩ B＝（
）
A ．{1 ， 2， 3}
B ．{1 ， 2}
（当且仅当 P、 A、 M 共线时取等号），故选： A．
6．（ 5 分）在一次体育兴趣小组的聚会中，要安排
6 人的座位，使他们在如图所示的 6 个椅
子中就坐，且相邻座位（如 1 与 2，2 与 3）上的人要有共同的体育兴趣爱好，现已知这
6 人的体育兴趣爱好如下表所示，且小林坐在
1 号位置上，则 4 号位置上坐的是（

2020年辽宁省高考数学(文科)模拟试卷(5)

?? C．关于点（，0）对称
4
?? D．关于点（， 0）对称
3
→
→
→→
5．（ 5 分）若向量 ??= （ 2，﹣ 1）， ??= （﹣ 1， 1），则 ????= （）
A ．﹣ 3
B ．﹣ 1
C． 2
D．3
??2 ??2
6．（5 分）已知点（ 1，2）在双曲线 ??2 - ??2 = 1 的渐近线上，则该双曲线的离心率为（
的体积为
．
15．（ 5 分）从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男
一女的概率为
．
16．（5 分）已知函数 f（ x）＝ 2x﹣ 1﹣ lnx ，对定义域内任意 x 都有 f（ x）≥ kx﹣ 2，则实数 k
的取值范围是
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（ 12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 是菱形，其对角线的交点为 O，
且 AB＝ AC1= √6， AB⊥ B1C．
第 2页（共 16页）
（ 1）求证： AO⊥平面 BB1C1C；（ 2）设∠ B1BC＝ 60°，若直线 A1B1 与平面 BB1C1C 所成的角为 45°，求二面角 A1﹣ B1C1 ﹣ B 的正弦值．
）
3 A．
2
B ．√5
√5 C．
2
??2 ??2 【解答】解：点（ 1， 2）在双曲线 ??2 - ??2 = 1 的渐近线上，
√6 D．
2
?? 可得 = 2，所以
a2＝ 4b2＝ 4c2﹣ 4a2，4c2＝ 5a2，所以双曲线的离心率为：

2020年辽宁省高考文科科数学仿真模拟试题一(附答案)

2020年辽宁省高考文科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1} 2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+ C.y=sinx D.y=cosx 4．已知命题p ：∀x>2，x 3－8>0，那么¬p 是( ) A ．∀x≤2，x 3－8≤0 B ．∃x>2，x 3－8≤0 C ．∀x>2，x 3－8≤0 D ．∃x≤2，x 3－8≤05. 若函数22,0()(),0x x f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则f （g （2））＝（）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 26. 从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（） A.23B.12C.25D.137. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3+B. 3+C. 2D. 2+8. 已知直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率等于( )A.2B.29. 已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为（）B.18C.27D. 5410. 已知函数()sin cos f x x x ωω=-（0ω>），若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合，记ω的最小值为0ω，函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为（）A. 2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）B. 27[,]36k k ππππ+++（k Z ∈） C. [,]12232k k ππππ++（k Z ∈） D. 7[,]32122k k ππππ++（k Z ∈） 11. 若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是（） A. 1(2,)2-B. 1100,32（-，）（）C. 1(0,)2D. 11(,)32-12. 若函数212[]22(xf x a x e ax ax a R =---+∈（）（）（））在1,12（）上有极大值，则a 的取值范围为（）A. )eB.)C. (2,eD. (),e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年辽宁沈阳浑南区沈阳东北育才学校高三一模文科数学试卷-学生用卷

2020年辽宁沈阳浑南区沈阳东北育才学校高三一模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第1题5分已知集M={x|(x−2)2<4,x∈R}，N={−1,0,1,2,3}，则M∩N=（）．A. {0,1,2}B. {1,2,3}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,2,3}2、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第2题5分若复数z满足(1−√3i)z=|√3+i|，则z的虚部为（）．A. √32B. √3C. −√32D. −√33、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第3题5分，则f(0)+f(1)=（）．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2+2xA. −2B. 0C. 1D. 24、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第4题5分)，则下列结论错误的是（）．设函数f(x)=cos⁡(2x−π3A. f(x)的一个周期为−πB. y=f(x)的图像关于直线x=2π对称3C. f (x +π2)的一个零点为x =−π3D. f (x )在区间[π3,π2]上单调递减5、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第5题5分2019~2020学年山西太原晋源区山西大学美术学院附属中学高一月考2017~2018学年安徽合肥庐阳区合肥市第一中学高三下学期期中2017~2018学年安徽合肥庐阳区合肥市第一中学高一下学期期中2018年高考真题天津卷文科已知a =log 372，b =(14)13，c =log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a >b >c B. b >a >c C. c >b >a D. c >a >b6、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第6题5分已知a 、b 、c ∈R ，则“b 2−4ac <0”是“函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象恒在x 轴上方”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第7题5分已知函数f(x)=x 3+x +1+sin⁡x ，若f(a −1)+f(2a 2)⩽2，则实数a 的取值范围是（）．A. [−1,32]B. [−32,1]C. [−1,12]D. [−12,1]8、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第8题5分2017~2018学年10月山东济南历城区济南外国语学校高三上学期月考文科第8题5分2cos⁡10°−sin⁡20°sin⁡70°的值是（）．A. 12B. √32C. √2D. √39、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第9题5分2020~2021学年宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高三下学期开学考试理科第8题5分2019~2020学年12月北京西城区北京师范大学附属实验中学高三上学期月考第10题4分若a>1，设函数f(x)=a x+x−4的零点为m，g(x)=log a x+x−4的零点为n，则1m +1n的取值范围是（）．A. (72,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (92,+∞)10、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第10题5分2018~2019学年山东青岛李沧区青岛第五十八中学高三上学期期中理科第6题5分2018~2019学年重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三月考在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin⁡α−cos⁡α= 2√33，则sin⁡(α−β)=()A. 13B. −13C. −16D. 2√2311、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第11题5分2010年高考真题江西卷文科第11题5分四位同学在同一个平面直角坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y=sin⁡2x，y=sin⁡(x+π6)，y=sin⁡(x−π3)的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（）．A.B.C.D.12、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第12题5分在△ABC中，a2+b2+c2=2√3absin⁡C，则△ABC的形状是（）．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第13题5分在△ABC中，a=3，b=2，A=30°，则cos⁡B=．14、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第14题5分2017~2018学年云南玉溪峨山彝族自治县峨山彝族自治县第一中学高三上学期期末2017~2018学年云南玉溪峨山彝族自治县峨山彝族自治县第一中学高一上学期期末已知sin⁡α+2cos⁡α=0，则2sin⁡αcos⁡α−cos2α的值是．15、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第15题5分已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)=1e ，对任意实数x都有f(x)−f′(x)>0，设F(x)=f(x)e x，则F(x)>1e2的解集为．16、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第16题5分设α∈(0,π2)，若cos⁡(α+π6)=45，则sin⁡(2α+π12)的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第17题已知学校高三年级有学生1000名．经调查研究，其中750名同学经常参加体有最炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学）．现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级学生中共抽查100名同学，测得这100名同学的身高（单位：cm）频率分布直方图如图：(1) 以同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[160,170)的中点值为165）作为代表，计算这100名学生身高数据的平均值．(2) 如果以身高不低于170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生．得到以下列联表：完成上表，并判断是否有75%的把握认为体育锻炼与身高达标有关系（K2值精确到0.01）？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：18、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第18题如图所示，函数y=2cos⁡(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0⩽θ⩽π2)的图象与y轴交于点(0,√3)，且该函数的最小正周期为π．(1) 求θ和ω的值．(2) 已知点A(π2,0)，点P是该函数图象上的一点，点Q(x0,y0)是PA的中点，当y0=√32，x0∈[π2,π]时，求x0的值．19、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第19题在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a2c=b(a2+c2−b2)（其中b≠c）．(1) 求证：A=2B．(2) 若f(x)=sin⁡x+cos⁡x，求f(B)的取值范围．20、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第20题已知函数f(x)=ln⁡x−a2x（a为常数）．(1) 讨论函数f(x)的单调性．(2) 设函数g(x)=xf(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围．21、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第21题已知函数f(x)=(x+a−1)e x，g(x)=12x2+ax，其中a为常数．(1) 当a=2时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程．(2) 若对任意的x∈[0,+∞)不等式f(x)⩾g(x)恒成立，求实数a的取值范围．选做题：（本大题共2小题，选做1小题）[选修4-4：坐标系与参数方程]22、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第22题2017年辽宁沈阳高三三模文科第22题2019~2020学年5月陕西延安宝塔区陕西延安中学高三下学期月考理科第22题10分2017年辽宁沈阳高三三模理科第22题已知曲线C的参数方程为{x=2cos⁡θy=√3sin⁡θ（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换{x′=12xy′=√3得到曲线C′，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1) 求曲线C′的极坐标方程．(2) 若过点A(32,π)（极坐标）且倾斜角为π6的直线l与曲线C′交于M，N两点，弦MN的中点为P，求|AP||AM|⋅|AN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第23题设函数f(x)=|x+1|+|x−4|−a．(1) 当a=1时，求函数f(x)的最小值；(2) 若f(x)⩾4a+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】2√23;14 、【答案】 -1;15 、【答案】(−∞,1);16 、【答案】17√250;17 、【答案】 (1) 170cm．;(2) 有．;18 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 1<f(B)<√2．;20 、【答案】 (1) 若a⩽0，函数在(0,+∞)上单调递增；若a>0，函数在(0,2a )上单调递增，在(2a,+∞)上单调递减．;(2) (0,1)．;21 、【答案】 (1) 2x−y+1=0．;(2) [1,+∞)．;22 、【答案】 (1) C′:ρ=1．;(2) |AP||AM|⋅|AN|=3√35．;23 、【答案】 (1) f(x)min=4．;(2) a的取值范围为(−∞,0)∪{2}．;。

2020年沈阳市大东区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．13．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．234．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.159．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1] 10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．若，则=．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2020年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，∴∁R N={x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）={1，2}，故选：D．2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．23【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案．【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据a1=2a8﹣3a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1=2a8﹣3a4，∴a1=2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1=，∴===．故选A．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可．【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为=，故选：C．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣4y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣4y，直线x﹣y+2=0与x+y﹣8=0交于点A（3，5），直线x+y﹣8=0与x﹣5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min=﹣11，z在点B处取得最大值，z max=15﹣12=3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b．【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b=1.10，故选C．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，当x≤2时，函数f（x）=log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）=log（﹣2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D．11．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【考点】函数单调性的性质．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d==1，得|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=0．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，∵AH=，∴FH===1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣﹣2=12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P==，故答案为：15．若，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，=（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10=9，∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20=45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（Ⅱ）cm …甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2]=57.2…（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω={，，，，，，，，，}，共10种情况．…身高176cm同学被抽到的事件空间为：{，，，}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），设直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，…又∵，∴，所以b=1，∴所求椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则，且，…==…∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4==…∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g （x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…2020年7月29日第21页（共21页）。

2020年辽宁省高考文科科数学仿真模拟试题(附答案)

2020年辽宁省高考文科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则()U A B =ð（）A. {5}B. {}1,5C. {2,5}D. {}1,32. 已知复数z 满足()11z i +=-+，则复数z 的共轭复数为（）A. 1i -+B. 1i --C. 1i +D. 1i -3. 已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为（） A. 1(,6)2-B. 5(,2)2C. (1,12)-D. (5,4)4. 在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（）A. 210B. 205C. 200D. 1955. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 2B. 4C. 5D. 6 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 10B. 12C.D. 207．已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+3)=f(x-1).若当]0,2[-∈x 时,13)(+=-xx f ,f(2019)= （） A ．6B ．4C ．2D ．18．函数y ＝||xxa x (a>1)的图象的大致形状是（）9. 为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图像（）A. 向左平移512π个长度单位 B. 向右平移6π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向右平移512π个长度单位10.设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是（）A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. ln 210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 11．设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32121x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===（）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年辽宁省高考数学(文科)模拟试卷(1)

2020年辽宁省高考数学（文科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）若集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |﹣1＜x ＜0}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}2．（5分）已知向量a →=(1，2)，b →=(−1，1)，c →=(m ，2)，且(a →−2b →)⊥c →，则实数m ＝（） A ．﹣1B ．0C ．1D ．任意实数3．（5分）已知i 是虚数单位，z =2i1+i−3i 2017，且z 的共轭复数为z ，则z •z =（） A ．√3B ．√5C ．5D ．34．（5分）从1，2，3，4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为（） A ．16B ．14C ．13D ．125．（5分）如果2，a ，b ，c ，10成等差数列，那么c ﹣a ＝（） A ．1B ．2C ．4D ．86．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为y =0.042x −a ．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（）（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月7．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）与圆x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则p ＝（） A ．√2B ．1C ．2D ．48．（5分）已知实数a ，b 满足等式log 12a =log 13b ，下列五个关系式：①0＜a ＜b ＜1；②0＜b ＜a ＜1③1＜a ＜b ；④1＜b ＜a ；⑤a ＝b ．其中不可能成立的关系式有（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．（5分）已知两个平面α、β，直线a ⊂α，则“α∥β”是“直线a ∥β”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）设函数f （x ）＝cos 2x +b cos x +c ，则f （x ）的最小正周期（） A ．与b 有关，但与c 无关 B ．与b 有关，且与c 有关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关11．（5分）已知函数f （x ）={(1−3a)x +2a(x ＜0)(a −3)x 2+2(x ≥0)，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围为（） A ．（2，3）B ．[1，3）C ．（1，3）D ．[1，3]12．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，S n =32n 2−12n ，设b n =1a n a n+1，则数列{b n }的前n 项和为（） A ．n 3n+1B ．3n3n+1C ．n−13n−2D ．−3n+33n−2二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若实数x ，y 满足|x ﹣3|+|y ﹣2|≤1，则z =y x的最小值是．14．（5分）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y （mg /m 3）与时间t （h ）的函数关系为y ={kt ，0＜t ＜121kt，t ≥12，（如图所示）实验表明，当药物释放量y ＜0.75（mg /m 3）对人体无害．（1）k ＝；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间．15．（5分）设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P（1，4）的直线l与抛物线相交于A，B 两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|+|BF|＝．16．（5分）设△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝2．现将△ABC（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．（1）求证：AB⊥平面ACC1A1；（2）若CD＝2，求四棱锥C1﹣A1B1CD的体积．18．（12分）2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如表．组别[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]女24415219男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A +2sin 2B ＝3sin 2C ，a ＝3sin A ．（1）求△ABC 外接圆的面积；（2）求边c 的最大值． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率是√22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过F 2作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，直线F 1A ，F 1B 分别交y 轴于不同的两点M ，N ．如果∠MF 1N 为锐角，求k 的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +alnx +a （a ∈R ），g （x ）＝f （x ）﹣（a +1）e x ﹣a ．（1）讨论函数f （x ）的零点的个数；（2）当函数f （x ）有两个零点时，证明：g （x ）＞2e ．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是1+2sin 2θ=6ρ2，直线l 的极坐标方程是ρcos （θ−π4）−√2=0．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P （2，0），直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求1|PM|+1|PN|的值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x +a |+|2x ﹣b |的最小值为2．（1）求a +b 的值；（2）若a ＞0，b ＞0，求证：a +b ≥5−log 2(9a +1b )．2020年辽宁省高考数学（文科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）若集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |﹣1＜x ＜0}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2＜1}＝{x |﹣1＜x ＜1}， B ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}．故选：D ．2．（5分）已知向量a →=(1，2)，b →=(−1，1)，c →=(m ，2)，且(a →−2b →)⊥c →，则实数m ＝（） A ．﹣1B ．0C ．1D ．任意实数【解答】解：∵向量a →=(1，2)，b →=(−1，1)，c →=(m ，2)，且(a →−2b →)⊥c →， ∴（a →−2b →）•c →=（3，0）•（m ，2）＝3m +0＝0，则实数m ＝0，故选：B ．3．（5分）已知i 是虚数单位，z =2i1+i −3i 2017，且z 的共轭复数为z ，则z •z =（） A ．√3B ．√5C ．5D ．3【解答】解：z =2i1+i −3i 2017=2i(1−i)(1+i)(1−i)−3i =1+i −3i =1−2i ，则z =1+2i ，故z ⋅z =|z|2=5．故选：C ．4．（5分）从1，2，3，4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为（） A ．16B ．14C ．13D ．12【解答】解：从1，2，3，4中任取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，其中一个数是另一个数两倍的为（1，2），（2，4）共2个，故所求概率为P =26=13故选：C．5．（5分）如果2，a，b，c，10成等差数列，那么c﹣a＝（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：由题意可得，公差d=10−25−1=2，故c﹣a＝2d＝4，故选：C．6．（5分）5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.042x−a．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C手机市场占有率能超过0.5%（）（精确到月）A．2020年6月B．2020年7月C．2020年8月D．2020年9月【解答】解：根据表中数据，得x=1+2+3+4+55=3，y=15（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）＝0.1，∴0.1＝0.042×3﹣a，a＝0.026，所以线性回归方程为y＝0.042x﹣0.026，由0.042x﹣0.026＞0.5，得x≥13，预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%，故选：C．7．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与圆x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，则p＝（）A．√2B．1C．2D．4【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）与圆x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，由抛物线和圆都关于x轴对称，可得A，B的纵坐标为2，﹣2，可设A（2p ，2），代入圆的方程可得4p2+4＝5，可得p＝2．故选：C．8．（5分）已知实数a，b满足等式log12a=log13b，下列五个关系式：①0＜a＜b＜1；②0＜b＜a＜1③1＜a＜b；④1＜b＜a；⑤a＝b．其中不可能成立的关系式有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：在同一坐标系中画出函数y=log12x，y=log13x的图象如下图所示：由图可得：当①0＜a＜b＜1时，log12a=log13b，不可能成立；②0＜b＜a＜1时，log12a=log13b，可能成立；③1＜a＜b时，log12a=log13b，可能成立；④a＞b＞1时，log12a=log13b，不可能成立；⑤a＝b＝1，log12a=log13b，可能成立；故选：C．9．（5分）已知两个平面α、β，直线a⊂α，则“α∥β”是“直线a∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据面面平行的定义可知α与β无公共点，而a⊂α，则a与β无公共点，则直线a ∥β即“α∥β”⇒“直线a ∥β”是真命题；直线a ⊂α，直线a ∥β⇒两个平面α、β可能平行也可能相交，即“直线a ∥β”⇒“α∥β”是假命题；根据充要条件的判定可知“α∥β”是“直线a ∥β”的充分不必要条件，故选：A ．10．（5分）设函数f （x ）＝cos 2x +b cos x +c ，则f （x ）的最小正周期（） A ．与b 有关，但与c 无关 B ．与b 有关，且与c 有关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【解答】解∵f （x ）＝cos 2x +b cos x +c =cos2x+12+b cos x +c =12cos2x +b cos x +c +12； b ＝0时，f （x ）=12cos2x +c +12的最小正周期为π；b ≠0时，显然有f （x +π）≠f （x ），（x +2π）＝f （x ）其最小正周期为2π；而c 不影响周期∴f （x ）的最小正周期与b 有关，但与c 无关；故选：A ．11．（5分）已知函数f （x ）={(1−3a)x +2a(x ＜0)(a −3)x 2+2(x ≥0)，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围为（） A ．（2，3）B ．[1，3）C ．（1，3）D ．[1，3]【解答】解：∵f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数， ∴{1−3a ＜0a −3＜02≤2a，解得1≤a ＜3，∴a 的取值范围为[1，3）．故选：B ．12．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，S n =32n 2−12n ，设b n =1a n a n+1，则数列{b n }的前n 项和为（） A ．n 3n+1B ．3n3n+1C ．n−13n−2D ．−3n+33n−2【解答】解：由题意，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=32n 2−12n ﹣[32（n ﹣1）2−12（n ﹣1）]＝3n ﹣2，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式． ∴a n ＝3n ﹣2，n ∈N *．则b n =1a n a n+1=1(3n−2)(3n+1)=13（13n−2−13n+1）．设数列{b n }的前n 项和T n ，则 T n ＝b 1+b 2+…+b n=13（1−14）+13（14−17）+⋯+13（13n−2−13n+1）=13（1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1） =13（1−13n+1） =n3n+1．故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若实数x ，y 满足|x ﹣3|+|y ﹣2|≤1，则z =yx的最小值是13．【解答】解：不等式|x ﹣3|+|y ﹣2|≤1可表示为如图所示的平面区域．z =y x为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当x ＝3，y ＝1时，z =y x取得最小值13．故答案为：13．14．（5分）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y （mg /m 3）与时间t （h ）的函数关系为y ={kt ，0＜t ＜121kt，t ≥12，（如图所示）实验表明，当药物释放量y ＜0.75（mg /m 3）对人体无害．（1）k ＝ 2 ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过 40 分钟人方可进入房间．【解答】解：（1）由图象可知，当t =12时，y ＝1， ∴2k =1，∴k ＝2；（2）由（1）可知：y ={2t ，0＜t ＜1212t ，t ≥12，当t ≥12时，y =12t ，令y ＜0.75得，t ＞23， ∴t ＞23，∴在消毒后至少经过 23小时，即40分钟人方可进入房间，故答案为：2，40．15．（5分）设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P （1，4）的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF |+|BF |＝ 10 ．【解答】解：抛物线x 2＝4y 的准线方程为l ：y ＝﹣1；如图，过A ，B ，P 分别作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，PP 1⊥l ，垂足分别为A 1，B 1，P 1；由抛物线的定义可知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|；所以|AF |+|BF |＝|AA 1|+|BB 1|；又在梯形ABB 1A 1 中，PP 1 为中位线，且PP 1＝5；所以|AA 1|+|BB 1|＝2|PP 1|＝10；所以则|AF |+|BF |＝10；故答案为：10．16．（5分）设△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝2．现将△ABC （及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为2π3．【解答】解：等腰直角三角形的直角边为√2，斜边的高为1；旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；所以几何体的体积为V ＝2×13×π×12=2π3．故答案为：2π3．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图所示的几何体中，ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°．（1）求证：AB ⊥平面ACC 1A 1；（2）若CD ＝2，求四棱锥C 1﹣A 1B 1CD 的体积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，∵几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1，∵AC∩AA1＝A，∴AB⊥平面ACC1A1．（2）解：连结A1C，∵AB⊥平面ACC1A1，CD∥AB，∴CD⊥平面CC1A1，∴四棱锥C1﹣A1B1CD的体积：V=V D−CC1A1+V C−A1B1C1=13×CD×S△A1C1C +13×CC1×S△A1B1C1=13×2×12×2√3×2√3+13×2√3×12×2×2√3＝8．18．（12分）2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如表．组别[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]女24415219男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．P（K2≤k0）0.150.100.050.0250.100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（1）2×2列联表如下：非“环保关注者”“环保关注者”合计女104555男153045合计2575100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2的观测值K2=100×(45×15−30×10)225×75×55×45=30099≈3.030＞2.706，所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的；（2）由题意可知，利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3人，男“环保达人”2人．设女“环保达人”3人分别为A，B，C；男“环保达人”2人为D，E．从中抽取两人的所有情况为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共l0种情况．既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），共6种情况．故所求概率为P=610=35．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A+2sin2B＝3sin2C，a ＝3sin A ．（1）求△ABC 外接圆的面积；（2）求边c 的最大值．【解答】解：（1）．设△ABC 外接圆的半径为R ，由a ＝3sin A ，有2R =asinA =3，R =32，外接圆的面积为94π（2）．由a 2+2b 2＝3c 2及余弦定理，得a 2+2b 2＝3（a 2+b 2﹣2ab cos C ），整理得6ab cos C ＝2a 2+b 2，即c osC =a 3b +b6a ≥√23，sinC =√1−cos 2C ≤1−(√23)2=√73，当且仅当b =√2a 时取等号，由正弦定理得c =2RsinC =3sinC ≤√7，边c 的最大值为√7． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率是√22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过F 2作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，直线F 1A ，F 1B 分别交y 轴于不同的两点M ，N ．如果∠MF 1N 为锐角，求k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，{c a=√22b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2＝2．∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（Ⅱ）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），直线l 与椭圆C 的交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2＝0．由已知，△＞0恒成立，且x 1+x 2=4k22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，①直线F 1A 的方程为y =y1x 1+1(x +1)，令x ＝0，得M （0，y 1x 1+1），同理可得N （0，y 2x 2+1）．∴F 1M →⋅F 1N →=1+y 1y 2(x 1+1)(x 2+1)=1+k 2(x 1−1)(x 2−1)(x 1+1)(x 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+(1−k 2)(x 1+x 2)+1+k2x 1x 2+x 1+x 2+1，将①代入并化简得：F 1M →⋅F 1N →=7k 2−18k 2−1，依题意，∠MF 1N 为锐角，则F 1M →⋅F 1N →=7k 2−18k 2−1＞0，解得：k 2＞17或k 2＜18．综上，直线l 的斜率的取值范围为（﹣∞，−√77）∪（−√24，0）∪（0，√24）∪（√77，+∞）．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +alnx +a （a ∈R ），g （x ）＝f （x ）﹣（a +1）e x ﹣a ．（1）讨论函数f （x ）的零点的个数；（2）当函数f （x ）有两个零点时，证明：g （x ）＞2e ．【解答】解：（1）令f （x ）＝0，得e x ＝﹣a （lnx +1），很明显x =1e 不是该方程的解，所以x ＞0且x ≠1e，则﹣a =e x lnx+1，令h （x ）=e xlnx+1（其中x ＞0且x ≠1e ），则h ′（x ）=e x (lnx−1x +1)(lnx+1)2，令t （x ）＝lnx −1x +1，则t （x ）在（0，+∞）上是增函数，又因为t （1）＝0，所以当x ∈(0，1e)，（1e，1）时，h ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，h ′（x ）＞0，所以h （x ）在（0，1e）（1e ，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数，又h （1）＝e ，且x →0时h （x ）→0，x →+∞时，h （x ）→+∞，同时当x 在（0，1e）上时，x →1e，h （x ）→﹣∞，当x 在（1e，1）上时，x →1e时，h （x ）→+∞，所以h （x ）的大致图象如右图所示：则﹣a ＜0，即a ＞0时，f （x ）有一个零点， 0≤﹣a ＜e ，即﹣e ＜a ≤0时，f （x ）无零点， ﹣a ＝e ，即a ＝﹣e 时，f （x ）有一个零点， ﹣a ＞e ，即a ＜﹣e 时，f （x ）有两个零点，综上，当a ＜﹣e 时，f （x ）有两个零点；a ＝﹣e 或a ＞0时，f （x ）有一个零点；﹣e ＜a ≤0时，f （x ）无零点；（2）由（1）可知，当a ＜﹣e 时，g （x ）＝alnx ﹣ae x ＝﹣a （e x ﹣lnx ），g ′（x ）＝﹣a （e x −1x ），令F （x ）＝e x −1x，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数，又F （12）=√e −2＜0，F （1）＝e ﹣1＞0，所以存在x 0∈(12，1)使得F （x 0）＝0，所以g （x ）在（0，x 0）上时减函数，在（x 0，+∞）上是增函数，所以g （x ）≥g （x 0）＝﹣a （e x 0−lnx 0），因为e x 0=1x 0，即lnx 0＝﹣x 0，所以g （x 0）＝﹣a （1x 0+x 0），因为x 0∈（12，1），所以1x 0+x 0＞2，又﹣a ＞e ，所以g （x 0）＞2e ，所以g （x ）＞2e ．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是1+2sin 2θ=6ρ2，直线l 的极坐标方程是ρcos （θ−π4）−√2=0．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P （2，0），直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求1|PM|+1|PN|的值．【解答】解：（1）线C 的极坐标方程是1+2sin 2θ=6ρ2，整理得：ρ2+2（ρsin θ）2＝6，转换为直角坐标方程为：x 26+y 22=1．直线l 的极坐标方程是ρcos （θ−π4）−√2=0．转换为直角坐标方程为：x +y ﹣2＝0．（2）由于点P （2，0）在直线l 上，所以可设直线的参数方程为{x =2+tcos 3π4y =tsin 3π4（t为参数），即{x =2−√22ty =√22t（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程为12t 2−2√2t +4+3×12t 2=6，化简得：t 2−√2t −1=0．所以t 1+t 2=√2，t 1t 2＝﹣1，故：1|PM|+1|PN|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√6．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x +a |+|2x ﹣b |的最小值为2．（1）求a +b 的值；（2）若a ＞0，b ＞0，求证：a +b ≥5−log 2(9a +1b )．【解答】解：（1）∵f （x ）＝|2x +a |+|2x ﹣b |≥|（2x +a ）﹣（2x ﹣b ）|＝|a +b |，当且仅当（2x +a ）（2x ﹣b ）≤0时，取等号，此时函数f （x ）最小值为|a +b |， ∴由题意有|a +b |＝2，∴a +b ＝±2．（2）由（1）可知a +b ＝2，∴要证a +b ≥5−log 2(9a +1b )成立，只需证log 2(9a +1b )≥3成立，即证9a+1b≥8，由柯西不等式，得(a +b)(9a +1b )≥(3+1)2，∴9a+1b≥162=8，当且仅当a =32，b =12时，取等号． ∴a +b ≥5−log 2(9a +1b )．。

辽宁省沈阳市2020届高三数学教学质量监测试题(一)文(含解析)

辽宁省沈阳市
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知全集•「一「；；,集合也-』.用，：：-门.七，则如图所示阴影区域表示的集合为（）
A.B.
C.廉同D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出■，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果.
【详解】全集--Pi:3,5,囲,集合—〕；，［拥
真假，原命题与逆否命题等价•
7.曲线的方程为，则曲线的离心率为（）
5
B.-
C.込
D.凹
4
1
7
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线方程求得•的值，再由（_亠炉求得•，则曲线*的离心率可求.
I22
【详解】因为曲线c的方程为〔丄 =1,
|169
所以护三id，於二9,
则r-
—；7,「「：，
双曲线的离心率e=~=\，故选A.
“”、“，”三个字母组成并且“側”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述
三个字母，那么他拼写正确的概率为（
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意列举出满足题意字母组合，即可求出结果•
【详解】满足题意的字母组合有四种，分别是.疣耳，，，‘，拼写正确的组合只有
种弩:匸：r，所以概率为-
故选B.
【答案】C
6. 已知，是空间中的两条不同的直线, 的是()•
A.若曲:：姿，疔亿则陷岡.
B•若’,，则，.
C.若■:门I门，忖：：:詞，则：二」：；.
D.若悄―罠，，，则戸吏.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线计还可以在平面k内判断由直线胡还可以在平面'内判断：；由直线习还可以在平面k内，可以与平面k：斜交，或者与平面h平行判断〔；根据面面垂直的判定定理判断|冷

2020届沈阳市大东区高考数学一模试卷(文科)(有答案)(已审阅)

辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．13．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．234．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.159．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．若，则=．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，∴∁R N={x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）={1，2}，故选：D．2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．23【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案．【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据a1=2a8﹣3a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1=2a8﹣3a4，∴a1=2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1=，∴===．故选A．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可．【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为=，故选：C．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣4y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣4y，直线x﹣y+2=0与x+y﹣8=0交于点A（3，5），直线x+y﹣8=0与x﹣5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min=﹣11，z在点B处取得最大值，z max=15﹣12=3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b．【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b=1.10，故选C．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，当x≤2时，函数f（x）=log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）=log（﹣2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D．11．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【考点】函数单调性的性质．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d==1，得|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=0．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，∵AH=，∴FH===1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣﹣2=12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P==，故答案为：15．若，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，=（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10=9，∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20=45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（Ⅱ）cm …甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2]=57.2…（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω={，，，，，，，，，}，共10种情况．…身高176cm同学被抽到的事件空间为：{，，，}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），设直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，…又∵，∴，所以b=1，∴所求椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则，且，…==…∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4==…∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0 ⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…。

辽宁省沈阳市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析

辽宁省沈阳市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(,4)a m =-r ，(,1)b m =r （其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥r r”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=r r ，所以a b ⊥r r；而当a b ⊥r r，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=r r ，解得2m =或2m =-.所以“2m =”是“a b ⊥r r”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.2．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（） A ．12 B ．16 C ．20 D ．8【答案】A 【解析】【分析】先将除A ，B 以外的两人先排，再将A ，B 在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【详解】先将除A ，B 以外的两人先排，有222A =种；再将A ，B 在3个空位置里进行插空，有23326A =⨯=种，所以共有2612⨯=种. 故选：A 【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.3．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<„，则()R A B U ð=（）A ．{|0}x x <B ．{|01}x x 剟C ．{|10}x x -<„D ．{|1}x x -…【答案】D 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð 【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题. 4．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（）A ．1B ．2CD ．【答案】C 【解析】【分析】由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解. 【详解】由22(1)1,||1i i z i z i+==-+=-故选:C. 【点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.5．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】【分析】根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【详解】由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=.故选：D 【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.6．函数()2xx e f x x=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可．【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x ==，当0x →，()0f x →，排除B ，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题． 7．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（）A ．1112- B ．31- C ．221-D ．32【答案】C 【解析】【分析】求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解.【详解】如下图所示：设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，则1210 22211a bba++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a ba b--=⎧⎨+-=⎩，解得3ab=⎧⎨=⎩，即点()3,0C，所以，圆()()22121x y-+-=关于直线10x y--=的对称圆C的方程为()2231x y-+=，设点2,4yM y⎛⎫⎪⎝⎭，则()224222213948416216y y yMC y y⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭，当2y=±时，MC取最小值22，因此，min min1221MN MC=-=-.故选：C.【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48122+B．60122+C．72122+D．84【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故()2422626246622641222S+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+.故选：B.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B I 的真子集的个数是（） A ．8 B ．7C ．4D ．3【答案】D 【解析】【分析】转化条件得{}0,1A B =I ，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解. 【详解】由题意得()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<，∴{}0,1A B =I ，∴集合A B I 的真子集的个数为2213-=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.10．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k 的值为（） A ．45B ．60C ．75D ．100【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【详解】由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =．故选：B. 【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．11．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=，故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.12．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个【答案】D 【解析】【分析】运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可. 【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-，(0)0f =，又(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的函数，(4)(0)0()f k f k Z ==∈，所以函数()f x 的零点有无穷多个；因为(2)()f x f x +=-，[(1)1]()f x f x ++=-，令1t x =+，则(1)(1)f t f t +=-，即(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于1x =对称，由题意无法求出()f x 的值域，所以本题答案为D. 【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)

年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.．（分）（•沈阳一模）设全集{，，，，}，集合{，}，{，，}，则（∁）∪（）．{，} ．{，，} ．{，，，} ．{，，，}．（分）（•沈阳一模）若复数满足（﹣），则的虚部为（）．．．．﹣﹣．（分）（•沈阳一模）设向量，，若满足，则（）．．．．．（分）（•沈阳一模）设∈，则“﹣＞”是“＞”的（）．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．（分）（•沈阳一模）在等比数列{}中，若，是方程﹣的两根，则的值是（）．．．．±．（分）（•沈阳一模）在满足不等式组的平面点集中随机取一点（，），设事件“＜0”，那么事件发生的概率是（）．．．．．（分）（•沈阳一模）某大学对名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于分的学生数是（）．．．．．（分）（•沈阳一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）．．．．．（分）（•沈阳一模）有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是（）．输出使×××…×≥成立的最小整数．输出使×××…×≥成立的最大整数．输出使×××…×≥成立的最大整数．输出使×××…×≥成立的最小整数．（分）（•沈阳一模）已知直线﹣（、＞）经过圆﹣﹣的圆心，则的最小值是（）．．．．．（分）（•沈阳一模）已知四面体﹣的四个顶点都在球的球面上，若⊥平面，⊥，且，，则球的表面积为（）．π．π．π．π．（分）（•沈阳一模）已知函数（）是上的可导函数，当≠时，有，则函数的零点个数是（）．．．．二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在答题纸上）．（分）（•沈阳一模）某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为．．（分）（•沈阳一模）已知△的三个内角∠，∠，∠所对的边分别为，，，且，则角的大小为．．（分）（•沈阳一模）定义运算：，例如：∇，（﹣）∇，则函数（）∇（﹣）的最大值为．．（分）（•沈阳一模）已知（）为定义在上的偶函数，当≥时，有（）﹣（），且当∈[，）时，（）（），给出下列命题：①（）（﹣）的值为；②函数（）在定义域上为周期是的周期函数；③直线与函数（）的图象有个交点；④函数（）的值域为（﹣，）．其中正确的命题序号有．三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）．（分）（•沈阳一模）已知函数，记函数（）的最小正周期为β，向量，（），且．（Ⅰ）求（）在区间上的最值；（Ⅱ）求的值．．（分）（•沈阳一模）某学校的三个学生社团的人数分布如下表（每名学生只能参加一个社团）：围棋社舞蹈社拳击社男生女生学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取人，结果拳击社被抽出了人．（Ⅰ）求拳击社团被抽出的人中有人是男生的概率；（Ⅱ）设拳击社团有名女生被抽出，求的分布列及数学期望（）．．（分）（•沈阳一模）四棱锥﹣，底面为平行四边形，侧面⊥底面．已知∠°，，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求面与面所成二面角大小．．（分）（•沈阳一模）已知函数（），．（Ⅰ）若（）与（）在处相切，试求（）的表达式；（Ⅱ）若在[，∞）上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．．（分）（•沈阳一模）已知两点（﹣，），（，），直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为，直线、与圆（﹣）（）相切于点、，又、与曲线的另一交点分别为、．求△的面积的最大值（其中点为坐标原点）．请考生在第、、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.选修：几何证明选讲（共小题，满分分）．（分）（•沈阳一模）如图，已知圆与圆外切于点，直线是两圆的外公切线，分别与两圆相切于、两点，是圆的直径，过作圆的切线，切点为．（Ⅰ）求证：，，三点共线；（Ⅱ）求证：．选修：极坐标与参数方程．（•沈阳一模）已知曲线的极坐标方程为ρθ，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于、两点．（∈）（Ⅰ）求、两点的极坐标；（Ⅱ）曲线与直线（为参数）分别相交于，两点，求线段的长度．选修：不等式选讲．（•沈阳一模）已知函数（）﹣．（Ⅰ）若∃∈，使得不等式（）＜成立，求的取值范围；（Ⅱ）求使得等式（）≤﹣成立的的取值范围．年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.．（分）（•沈阳一模）设全集{，，，，}，集合{，}，{，，}，则（∁）∪（）．{，} ．{，，} ．{，，，} ．{，，，}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据全集及，求出的补集，找出补集与的并集即可．解答：解：∵全集{，，，，}，集合{，}，{，，}，∴∁{，，}，则（∁）∪{，，，}．故选点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．．（分）（•沈阳一模）若复数满足（﹣），则的虚部为（）．．﹣．．﹣考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．解答：解：设复数（，∈），∵复数满足（﹣），∴（﹣）（）（），∴（）（）（），∴，∴复数的虚部．故选：．点评：本题考查了复数的运算法则和虚部的定义，属于基础题．．（分）（•沈阳一模）设向量，，若满足，则（）．．．．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：不等式的解法及应用．分析：利用两个向量共线的性质，由两个向量共线时，它们的坐标对应成比例，建立等式，解方程求出实数的值．解答：解：∵∥，（≠），∴存在唯一实数λ使得λ，∵，，∴（，）λ（，﹣）（λ，﹣λ），即，解得：﹣．故选：．点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量、（≠）共线时，存在唯一实数λ使得λ．属于基础题．．（分）（•沈阳一模）设∈，则“﹣＞”是“＞”的（）．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：解不等式可得＜或＞，由集合{＞}是集合{＜或＞}的真子集可得答案．解答：解：由﹣＞可解得＜或＞，因为集合{＞}是集合{＜或＞}的真子集，故“﹣＞”是“＞”的必要不充分条件，故选点评：本题考查充要条件的判断，转化为集合与集合的关系是解决问题的关键，属基础题．．（分）（•沈阳一模）在等比数列{}中，若，是方程﹣的两根，则的值是（）．．．．±考点：等比数列的通项公式；函数的零点．专题：等差数列与等比数列．分析：利用根与系数的关系可得4a，再利用等比数列的性质即可得出．解答：解：∵，是方程﹣的两根，∴4a，＞．∴＞，＞．由等比数列{}，，∴．由等比数列的性质可得：，，同号．∴．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题．．（分）（•沈阳一模）在满足不等式组的平面点集中随机取一点（，），设事件“＜0”，那么事件发生的概率是（）．．．．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：确定不等式组表示的区域，求出面积，求出满足＜的区域的面积，利用几何概型概率公式，可得结论．解答：解：作出不等式组的平面区域即△，其面积为，且事件“＜0”表示的区域为△，其面积为，∴事件发生的概率是．故选．点评：本题考查几何概型，考查不等式组表示的平面区域，确定以面积为测度，正确计算面积是关键，属于中档题．．（分）（•沈阳一模）某大学对名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于分的学生数是（）．．．．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，算出成绩不低于分的个组的面积之和为，从而得到成绩不低于分的学生的频率为，由此即可得到这名学生在该次自主招生水平测试中不低于分的学生数．解答：解：根据频率分布直方图，可得成绩在﹣的小组的小矩形面积为×；在﹣的小组的小矩形面积为×在﹣的小组的小矩形面积为×∴成绩不低于分的学生所在组的面积之和为即成绩不低于分的学生的频率为，由此可得这名学生在该次自主招生水平测试中不低于分的学生数是×故选：．点评：本题给出频率分布直方图，求名学生在该次自主招生水平测试中不低于分的学生数．着重考查了频率分布直方图的理解和频数的求法等知识，属于基础题．．（分）（•沈阳一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）．．．．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出的值，进而得到该双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线的焦点是（，），∴，﹣，∴．故选：．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．．（分）（•沈阳一模）有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是（）．输出使×××…×≥成立的最小整数．输出使×××…×≥成立的最大整数．输出使×××…×≥成立的最大整数．输出使×××…×≥成立的最小整数考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：写出经过几次循环得到的结果，得到求的的形式，并分析累乘的最后一个数与循环变量值的关系，进而判断出框图的功能．解答：解：经过第一次循环得到×，经过第二次循环得到××，经过第三次循环得到×××，…经过第次循环得到××××…×＞，该程序框图表示算法的功能是求计算并输出比使××××…×＞成立的最小整数大的数，即故选点评：本题考查程序框图，考查了循环体以及循环次数两个具体问题，常采用写出前几次循环的结果，找规律．属于基础题．．（分）（•沈阳一模）已知直线﹣（、＞）经过圆﹣﹣的圆心，则的最小值是（）．．．．考点：基本不等式；圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：将圆化成标准方程可得圆心为（，），代入题中的直线方程算出，从而化简得，再根据基本不等式加以计算，可得当且时，的最小值为．解答：解：圆﹣﹣化成标准方程，得（﹣），∴圆﹣﹣的圆心为（，），半径．∵直线﹣经过圆心，∴××﹣，即，因此，（）（），∵、＞，∴≥，当且仅当时等号成立．由此可得当2c，即且时，的最小值为．故选：点评：本题给出已知圆的圆心在直线﹣上，在、＞的情况下求的最小值．着重考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程和基本不等式等知识，属于中档题．．（分）（•沈阳一模）已知四面体﹣的四个顶点都在球的球面上，若⊥平面，⊥，且，，则球的表面积为（）．π．π．π．π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据条件，根据四面体﹣构造长方体，然后根据长方体和球的直径之间的关系，即可求出球的半径．解答：解：∵⊥平面，⊥，且，，∴构造长方体，则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的，则长方体的体对角线等于球的直径，则，∴，则球的表面积为ππ，故选：．点评：本题主要考查空间几何体的位置关系，利用四面体构造长方体是解决本题的关键，利用长方体的体对角线等于球的直径是本题的突破点．．（分）（•沈阳一模）已知函数（）是上的可导函数，当≠时，有，则函数的零点个数是（）．．．．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：将函数，转化为（）﹣，然后利用函数和导数之间的关系研究函数（）（）的单调性和取值范围，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由，得（）﹣，设（）（），则'（）（）'（），∵≠时，有，∴≠时，，即当＞时，'（）（）'（）＞，此时函数（）单调递增，此时（）＞（），当＜时，'（）（）'（）＜，此时函数（）单调递减，此时（）＜（），作出函数（）和函数﹣的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数的零点个数为个．故选：．点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在答题纸上）．（分）（•沈阳一模）某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图判断几何体为正方体挖去一个圆锥，且圆锥与圆柱底面相同，将三视图的数据代入圆柱与圆锥的体积公式，可求得体积．解答：解：由三视图知几何体为正方体挖去一个圆锥，且圆锥与圆柱底面相同，由三视图的数据可得，底面圆的半径为，高为，∴圆柱π××π；×π××，圆锥∴几何体的体积π﹣，故答案是．点评：本题考查了由三视图求体积，解答的关键是判断几何体的形状及正确运用三视图的数据．．（分）（•沈阳一模）已知△的三个内角∠，∠，∠所对的边分别为，，，且，则角的大小为．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式得﹣（），再利用三角函数的诱导公式算出（）＞，从而得出﹣，结合∈（，π）可得的大小．解答：解：∵，∴根据正弦定理，得，即﹣，整理得﹣（），∵在△中，（）（π﹣）＞，∴﹣，约去得﹣．又∵∈（，π），∴．故答案为：点评：本题给出三角形满足的边角关系式，求角的大小．着重考查了两角和的正弦公式、特殊角的三角函数值与正余弦定理等知识，属于中档题．．（分）（•沈阳一模）定义运算：，例如：∇，（﹣）∇，则函数（）∇（﹣）的最大值为．考点：二次函数的性质．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据新定义，求出（）的表达式，然后利用数形结合求出函数（）的最大值即可．解答：解：由﹣，得，解得或，由﹣≥，得≤≤，由﹣＜，得＜或＞，∴由（﹣）≥时，解得≤≤，由（﹣）＜解得＜或＞，即当≤≤时，（），当＜或＞时，（）﹣．作出对应的函数图象∴图象可知当时，函数（）取得最大值（）．故答案为：．点评：本题主要考查函数的图象和性质，根据新定义求出函数的表达式是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破点．．（分）（•沈阳一模）已知（）为定义在上的偶函数，当≥时，有（）﹣（），且当∈[，）时，（）（），给出下列命题：①（）（﹣）的值为；②函数（）在定义域上为周期是的周期函数；③直线与函数（）的图象有个交点；④函数（）的值域为（﹣，）．其中正确的命题序号有①③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的奇偶性，及当≥时，有（）﹣（），且当∈[，）时，（）（），画出函数的图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案．解答：解：∵（）为定义在上的偶函数，且当≥时，有（）﹣（），且当∈[，）时，（）（），故函数（）的图象如下图所示：由图可得：（）（﹣），故①正确；函数（）在定义域上不是周期函数，故②错误；直线与函数（）的图象有个交点，故③正确；函数（）的值域为（﹣，），故④正确；故正确的命题序号有：①③④ 故答案为：①③④点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的图象和性质，其中根据已知画出满足条件的函数图象是解答的关键．三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）．（分）（•沈阳一模）已知函数，记函数（）的最小正周期为β，向量，（），且．（Ⅰ）求（）在区间上的最值；（Ⅱ）求的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（）根据辅助角公式化简，可得（）．再由∈，利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得（）的最小值与最大值；（）根据三角函数周期公式得βπ，利用向量的数量积公式与正弦的诱导公式算出，解得α，从而得出α．再利用三角函数的诱导公式化简，可得原式α．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得．∵∈，可得，∴∈[，]，当时，（）的最小值是；当时，（）的最大值是．（Ⅱ）∵（）的周期π，∴βπ，由此可得，解之得．∴α，∵，可得α，∴α．点评：本题将一个三角函数式化简，求函数在闭区间上的最值，并且在已知向量数量积的情况下，求三角函数分式的值．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、同角三角函数的基本关系与诱导公式等知识，属于中档题．．（分）（•沈阳一模）某学校的三个学生社团的人数分布如下表（每名学生只能参加一个社团）：围棋社舞蹈社拳击社男生女生学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取人，结果拳击社被抽出了人．（Ⅰ）求拳击社团被抽出的人中有人是男生的概率；（Ⅱ）设拳击社团有名女生被抽出，求的分布列及数学期望（）．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先根据分层抽样的特点求出的值，然后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可；（Ⅱ）由题意可知：，，，然后根据古典概型及其概率计算公式分别求出相应的概率，写出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（Ⅰ）由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取人，拳击社被抽出了人，∴，∴，设“拳击社团被抽出的人中有人是男生”， ∴；（Ⅱ）由题意可知：，，，（），（）（），∴．点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，以及离散型随机变量及其分布列和期望，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．．（分）（•沈阳一模）四棱锥﹣，底面为平行四边形，侧面⊥底面．已知∠°，，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求面与面所成二面角大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）连结交于点，连结，由已知条件推导出∥，由此能够证明∥平面．（Ⅱ）以的中点为坐标原点，分别以，，为，，轴空间直角坐标系，利用向量法能求出面与面所成二面角大小．解答：解：（Ⅰ）连结交于点，连结，∵底面为平行四边形，∴为的中点．（分）在△中，∵为的中点，∴∥，（分）又∵⊂面，⊄面，∴∥平面．（分）（Ⅱ）以的中点为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的坐标系．∵∠°，，，为线段的中点，∴，，，，∴，，，，（分）设平面的一个法向量为由，得，令得：，﹣，∴．（分）同理设平面的一个法向量为由，得，令得：﹣，，∴．（分）设面与面所成二面角为θ∴，∴．（分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．．（分）（•沈阳一模）已知函数（），．（Ⅰ）若（）与（）在处相切，试求（）的表达式；（Ⅱ）若在[，∞）上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．考点：不等式的证明；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用（）与（）在处相切，可求（）的表达式；（Ⅱ）在[，∞）上是减函数，可得导函数小于等于在[，∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数的取值范围；（Ⅲ）当≥时，证明，当＞时，证明，利用叠加法，即可得到结论．解答：（Ⅰ）解：∵（），∴，∴，得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）又∵，∴﹣，∴（）﹣；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）（Ⅱ）解：∵在[，∞）上是减函数，∴在[，∞）上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）即﹣（2m﹣）≥在[，∞）上恒成立，由，∈[，∞），∵，∴2m﹣≤得≤；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可得：当≥时，，∴得：，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）∴当时，；当时，；当时，，…，当时，，∈，≥上述不等式相加得：即：①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）由（Ⅱ）可得：当时，ϕ（）在[，∞）上是减函数，∴当＞时，ϕ（）＜ϕ（），即＜，所以，从而得到．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）当时，；当时，；当时，，…，当时，，∈，≥上述不等式相加得：即②综上：（∈，≥）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）点评：本题考查不等式的证明，考查导数知识的运用，考查基本不等式的运用，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．．（分）（•沈阳一模）已知两点（﹣，），（，），直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为，直线、与圆（﹣）（）相切于点、，又、与曲线的另一交点分别为、．求△的面积的最大值（其中点为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设点（，），由题意可得，利用斜率计算公式即可得出．化简即可．（）把代入曲线的方程，可得点（）．由于圆（﹣）的圆心为（，），利用对称性可知直线与直线的斜率互为相反数．设直线的方程为，与椭圆的方程联立可得（）（﹣）（﹣﹣），由于是方程的一个解，可得方程的另一解为．同理．可得直线的斜率为．把直线的方程代入椭圆方程，消去整理得﹣．利用弦长公式可得．再利用点到直线的距离公式可得：原点到直线的距离为．利用和基本不等式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设点（，），，∴．整理得点所在的曲线的方程：（≠±）．（Ⅱ）把代入曲线的方程，可得，∵＞，解得，∴点（）．∵圆（﹣）的圆心为（，），∴直线与直线的斜率互为相反数．设直线的方程为，联立，化为（）（﹣）（﹣﹣），由于是方程的一个解，∴方程的另一解为．同理．故直线的斜率为．把直线的方程代入椭圆方程，消去整理得﹣．∴．原点到直线的距离为．∴．当且仅当时取等号．∴△的面积的最大值为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、斜率计算公式、圆的标准方程及其切线性质、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．请考生在第、、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.选修：几何证明选讲（共小题，满分分）．（分）（•沈阳一模）如图，已知圆与圆外切于点，直线是两圆的外公切线，分别与两圆相切于、两点，是圆的直径，过作圆的切线，切点为．（Ⅰ）求证：，，三点共线；（Ⅱ）求证：．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（）连接，，，由于是圆的直径，可得∠°．作⊙与⊙的内公切线交与点．利用切线的性质可得：∠∠，∠∠，再利用三角形的内角和定理可得∠∠∠°，进而证明上的共线．（）由切线的性质可得∠°，利用射影定理可得•．再利用切割线定理可得•，即可证明．解答：解：（Ⅰ）连接，，，∵是圆的直径，∴∠°，作⊙与⊙的内公切线交与点．又∵是两圆的外公切线，，为切点，∴∠∠，∠∠，∵∠∠∠°，∴∠∠∠°，∴∠°．∴，，三点共线．（Ⅱ）∵切圆于点，∴•．在△中，∠°，又∵⊥，∴•．故．点评：本题综合考查了外切两圆的公切线的性质、射影定理和切割线定理，考查了推理能力和夹角问题的能力，属于中档题．选修：极坐标与参数方程．（•沈阳一模）已知曲线的极坐标方程为ρθ，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于、两点．（∈）（Ⅰ）求、两点的极坐标；（Ⅱ）曲线与直线（为参数）分别相交于，两点，求线段的长度．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（）由得：，即可得到ρ．进而得到点，的极坐标．（）由曲线的极坐标方程ρθ化为ρ（θ﹣θ），即可得到普通方程为﹣．将直线代入﹣，整理得．进而得到．解答：解：（Ⅰ）由得：，∴ρ，即ρ±．∴、两点的极坐标为：或．（Ⅱ）由曲线的极坐标方程ρθ化为ρ（θ﹣θ），得到普通方程为﹣．将直线代入﹣，整理得．∴．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、此时方程化为普通方程、弦长公式等基础知识与基本技能方法．选修：不等式选讲．（•沈阳一模）已知函数（）﹣．（Ⅰ）若∃∈，使得不等式（）＜成立，求的取值范围；（Ⅱ）求使得等式（）≤﹣成立的的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据（）﹣≥，从而求得得不等式（）＜成立的的取值范围．（Ⅱ）由（）﹣≥﹣，可得不等式即﹣﹣，此时（）（﹣）≥，由此求得的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵（）﹣≥（）﹣（﹣），∴使得不等式（）＜成立的的取值范围是（，∞）．（Ⅱ）由（）﹣≥﹣﹣，∴不等式（）≤﹣即﹣﹣，当且仅当（）（﹣）≥时取等号，即当≤﹣，或≥时，﹣﹣，∴的取值范围是．点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；；；；清风慕竹；俞文刚；；翔宇老师；；刘长柏；；（排名不分先后）菁优网年月日。

2020年高考文科数学(1卷)：答案详细解析(最新)

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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
（一）必考题：共 60 分
17.（12 分）（概率统计）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A,B,C，
D 四个等级，加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2x y 2 0
13（. 线性规划）若 x，y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z=x＋7y 的最大值为_____. y 1 0
【解析】由约束条件，作出可行域如图 A13 所示.
【答案】 y 2x
16. （数列）数列an 满足 an2 1n an 3n 1 ，前 16 项和为 540，则 a1 =____.
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
【解析】当 n 为偶数时，有 an2 an 3n 1，故
A. 1 16
B. 1 9
C. 1 8
D. 1 6
【解析】∵ a log3
4 log3 4a
2 ，∴ 4a
32
9 ，∴ 4a
1 4a
1. 9
【答案】B
9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的 n
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
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2020年沈阳市大东区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-a≤0}，B={1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为（）A. （-∞，1]B. [1，+∞）C. （-∞，3]D. [3，+∞）2.设a为i-1的虚部，b为（1+i）2的实部，则a+b=（）A. -1B. -2C. -3D. 03.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=2x；②f（x）=-2x；③f（x）=x+x-1；④f（x）=x-x-1．则输出函数的序号个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 14.函数的图象大致是（）A. B.C. D.5.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A. B. C. D.6.若sin（）=，则cos（）=（）A. B. C. D.7.已知双曲线的一条渐近线与圆（x-4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.8.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（）A. B. C. D.9.已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A. f（x）是奇函数B. f（x）的一条对称轴为直线C. f（x）的最小正周期为2πD. f（x）在上为减函数10.将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成角为（）A. B. C. D.11.若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（）A. B. C. 8 D. 4812.设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，若关于x的方程f（x）-1og a（x+2）=0（a＞1）在区间（-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是（）A. （，）B. （，2）C. （，2]D. （，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y最小值为______．14.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（a，b），=（sin A，cos B），且∥，若点D是△ABC外接圆O的劣弧上的点，AB=3，BC=2，AD=1，则四边形ABCD的面积为______．15.若直线y=2x-1是曲线y=ax+ln x的切线，则实数a的值为______．16.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为（x0，y0），若l1⊥l2，则下列结论序号正确的有______．①+＜1②+＞1③+＜1 ④4x02+3y02＞1三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且1，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n•b n=1+2na n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．（1）证明：BD⊥PC；（2）若AD=4，BC=2，设AC∩BD=O，且∠PDO=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．19.某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位：cm）的情况如表1：（1）设，若x与y之间是线性关系，试根据表1的数据求出y关于x的线性回归方程；（2）小李在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数存在相关关系如表3：根据表估计小李的洗车店年月份每天的平均收入．附参考公式：=x+，其中=，=-．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|•|MB|，求λ的取值范围．21.已知：函数（其中常数a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及单调区间；（Ⅱ）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式成立，求a的取值范围．22.已知平面直角坐标系xOy中，过点P（-1，-2）的直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ•sinθ•tanθ=2a（a＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点M、N．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|PM|=|MN|，求实数a的值．23.已知函数f（x）=|x+m|-|2x-2m|（m＞0）．（1）当时，求不等式的解集；（2）对于任意的实数x，存在实数t，使得不等式f（x）+|t-3|＜|t+4|成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x-a≤0}={x|x≤a}，B={1，2，3}，A∩B≠∅，∴a≥1，∴a的取值范围为[1，+∞）．故选：B．求出集合A={x|x≤a}，B={1，2，3}，由A∩B=∅，能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：i-1==-i，则a=-1．（1+i）2=1-1+2i=2i．∴b=0，则a+b=-1+0=-1．故选：A．利用复数的运算法则、有关概念即可得出．本题考查了复数的运算法则、有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：①f（x）=2x＞0恒成立，不存在零点，②f（x）=-2x＜0恒成立，不存在零点，③f（x）=x+x-1=x+=不存在零点，④f（x）=x-x-1=x-=，当x=1或x=-1时，满足f（x）=0，即存在零点，故只有④满足条件．故选：D．根据条件分别判断四个函数是否存在零点即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件判断函数是否存在零点是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的图象的识别，掌握函数的定义域，属于基础题．先求出函数的定义域，结合函数在不同范围的正负值，即可判断．【解答】解：由1-x2≠0，解得x≠±1，排除C，∵函数，当时，，排除D，当时，，排除A，故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查古典概型概率的求法，属于基础题，先写出所有的可能事件，再找出满足要求的事件即可．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共6个.两卡片和为奇数的有（1,2），（1,4），（2,3），（3,4），∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．6.【答案】C【解析】解：∵sin（）==cos（+x），则cos（）=2-1=2×-1=-，故选：C．利用诱导公式求得cos（+x）的值，再利用二倍角公式求得cos（）的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属基础题.求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=与圆（x-4）2+y2=4相切，可得：=2，可得：2b=c，即4b2=c2，所以4c2-4a2=c2，解得e==．故选：B．8.【答案】C【解析】解：设十等人，将每等人按顺序排成一排，构成等差数列a1，a2…a9，a10，由已知有a1+a2+a3=4，a8+a9+a10=3，由等差数列的性质有a5+a6=a1+a10=a2+a9=a3+a8=，故选：C．由等差数列的性质及简单的合情推理得：将每等人按顺序排成一排，构成等差数列a1，a2…a9，a10，由已知有a1+a2+a3=4，a8+a9+a10=3，则a5+a6=a1+a10=a2+a9=a3+a8=，得解．本题考查了等差数列的性质及简单的合情推理，属中档题．9.【答案】D【解析】解：向量，向量，函数=sin4+cos4=（sin2+cos2）2-2sin2cos2=1-（2sin cos）2=1-sin2x=1-•（1-cos2x）=（3+cos2x），由f（-x）=（3+cos（-2x））=（3+cos2x）=f（x），可得f（x）为偶函数，则A错；由2x=kπ，可得x=kπ（k∈Z），则B错；f（x）的最小正周期为T==π，则C错；由x∈（，）可得2x∈（，π），则f（x）在上为减函数，D正确．故选：D．运用向量数量积的坐标表示，以及二倍角的正弦公式、余弦公式，化简函数f（x），再由奇偶性和对称轴、周期性和单调性，计算可得所求结论．本题考查向量数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式、余弦公式的运用，考查余弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：设O是正方形对角线AC、BD的交点，将正方形ABCD沿对角线AC折起，可得当BO⊥平面ADC时，点B到平面ACD的距离等于BO，而当BO与平面ADC不垂直时，点B到平面ACD的距离为d，且d＜BO由此可得当三棱锥B-ACD体积最大时，BO⊥平面ADC．设B'是B折叠前的位置，连接B′B，∵AD∥B′C，∴∠BCB′就是直线AD与BC所成角设正方形ABCD的边长为a∵BO⊥平面ADC，OB'⊂平面ACD∴BO⊥OB'，∵BO'=BO=AC=a，∴BB′=BC=B′C=a，得△BB′C是等边三角形，∠BCB′=60°所以直线AD与BC所成角为60°故选：C．将正方形ABCD沿对角线AC折起，可得当三棱锥B-ACD体积最大时，BO⊥平面ADC．设B′是B折叠前的位置，连接B′B，可得∠BCB′就是直线AD与BC所成角，算出△BB′C的各边长，得△BB′C是等边三角形，从而得出直线AD与BC所成角的大小．本题将正方形折叠，求所得锥体体积最大时异面直线所成的角，着重考查了线面垂直的性质和异面直线所成角求法等知识，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由||=|3|=2，得9+6•+=4，∴9×4+6•+=4，∴•=--；显然||＞0，否则|3+|=2不成立；则在方向上的投影为：=--≤-×2=-，当且仅当||=4时取等号；所以在方向上投影的最大值为-．故选：A．由题意用||、||表示出•，计算在方向上的投影，利用基本不等式求出它的最大值．本题考查了平面向量的数量积与投影的计算问题，是中档题．12.【答案】B【解析】解：∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有log a（2+2）＜3，且log a（6+2）＞3，解得：＜a＜2，故选：B．由已知中可以得到函数f（x）的图象关于直线x=2对称，结合函数是偶函数，及x∈[-2，0]时的解析式，可画出函数的图象，将方程f（x）-log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．13.【答案】-2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-经过点B时，直线y=-的截距最小，此时z最小．由，解得B（-，1），代入目标函数得z=2×（-）+1=-2．即z=2x+y的最小值为-2．故答案为：-2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.【答案】2【解析】解：∵向量=（a，b），=（sin A，cos B），且∥，∴=，即，即tan B=，得B=60°，∵ABCD四点共圆．∴∠ADC=120°，∵AB=3，BC=2，∴由余弦定理得AC2=32+22-2×=9+4-6=7，∵AD=1，∴设CD=x，在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD•CD cos120°=1+x2+x=7，即x2+x-6=0，得x=2或x=-3（舍）则四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ACD=AB•BC sin60°+AD•CD sin120°=+==2，故答案为：2根据向量共线结合正弦定理求出B的大小，结合余弦定理以及三角形的面积公式进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合向量共线的坐标公式求出B的大小，结合正弦定理余弦定理即三角形的面积公式进行求解是解决本题的关键．15.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于中档题．设切点为（m，n），求得函数y=ax+ln x的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得m，n的方程组，解方程可得a的值．【解答】解：设切点为（m，n），y=ax+ln x的导数为y′=a+，可得切线的斜率为a+=2，又2m-1=n=am+ln m，解得m=a=1，故答案为：1．16.【答案】①③④【解析】解：由椭圆=1，可得：a=2，b=，c=1．∴左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），设A（0，），则tan∠AF1F2=，可得：∠AF1F2=，∴∠F1AF2=．∵l1⊥l2，∴直线l1与直线l2交点M在椭圆的内部．∴①+＜1正确；②+＞1不正确；③直线=1与椭圆=1联立，可得：7y2-24y+27=0无解，因此直线=1与椭圆=1无交点．而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，∴满足+＜1，正确．④∵+=1，0≤≤1，∴4x02+3y02=4（1-）+3=4-＞1，因此正确．综上可得：正确的序号为：①③④．故答案为：①③④．由椭圆=1，可得：左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），设A（0，），可得∠F1AF2=．由l1⊥l2，可得直线l1与直线l2交点M在椭圆的内部．进而判断出①正确；②不正确；③直线=1与椭圆=1联立，可得直线=1与椭圆=1无交点．而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，即可判断出正误．④根据+=1，0≤≤1，代入化简即可判断出正误．本题考查了椭圆与圆的标准方程位置关系及其性质、方程与不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）由已知1，a n，S n成等差数列得2a n=1+S n①当n=1时，2a1=1+S1=1+a1，∴a1=1，当n≥2时，2a n-1=1+S n-1②①─②得2a n-2a n-1=a n，∴，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴．（2）由a n•b n=1+2na n得，∴==．【解析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用拆项求和求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，求出通项公式以及数列求和，考查计算能力．18.【答案】（本题满分（12分）证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC．而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．…………（4分）解：（2）设AC和BD相交于点O，连结PO，由（1）知，BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，因为∠PDO=60°，所以∠DPO=30°，得PD=2OD．、（6分）又因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（4+2）=3，于是梯形ABCD的面积S=×（4+2）×3=9．（9分）在等腰直角三角形AOD中，OD=AD=2，所以PD=2OD=4，PA==4．故四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×9×4=12．…………（12分）【解析】（1）推导出PA⊥BD．AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC，从而BD⊥PC．（2）设AC和BD相交于点O，连结PO，推导出BD⊥平面PAC，BD⊥PO．推导出AC⊥BD，从而△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．进而梯形ABCD的高为AD+BC=3，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）根据表中数据，计算，，00，=92+72+32+12=140；∴，，∴y关于x的线性回归方程为；（2）根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，估计小李洗车店2017年11月份每天的平均收入为8000×3）=2400（元）．【解析】（1）根据表中数据计算平均数与回归系数，写出线性回归方程；（2）根据表3，计算洗车店2017年11月份每天的平均收入即可．本题考查了线性回归方程与加权平均数的计算问题，是基础题．20.【答案】解：（1）原点到直线的距离为d==，所以（b＞0），解得b=1，又，得a=2，所以椭圆C的方程为；（2）当直线l的斜率为0时，直线l：y=0即x轴，λ=|MA|•|MB|=12；当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得（m2+4）y2+8my+12=0，由△=64m2-48（m2+4）＞0，得m2＞12，所以，λ=|MA|•|MB|=•|y1|••|y2|==12（1-），由m2＞12，得，所以．综上可得：，即．【解析】（1）求得原点到直线的距离，运用弦长公式可得b，再由椭圆的离心率公式可得a，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率为0，求得|MA|，|MB|，可得λ；当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合不等式的性质，即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，考查方程思想，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}．（1分）．（3分）由f'（x）＞0，解得x＞a+1．由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．∴f（x）的单调递增区间为（a+1，+∞），单调递减区间为（-∞，a），（a，a+1）；（6分）（Ⅱ）由题意可知，a＜0，且在（a，0]上的最小值小于等于时，存在实数x∈（a，0]，使得不等式成立．（7分）若a+1＜0即a＜-1时，∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e a+1．则，得．（10分）若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为．由得a≤-2（舍）．（12分）综上所述，．则a的取值范围是（-∞，-ln2-1]【解析】（1）分式函数使分母不为零即{x|x≠a}，先求导数fˊ（x），然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；确定出单调区间．（2）转化成在（a，0]上的最小值小于等于，利用导数求出函数在（a，0]上的最小值，注意讨论．本题考查了函数的定义域、单调性以及利用导数求解恒成立问题，是高考中的热点问题．22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程：x-y-1=0，∵曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a（a＞0），∴ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），∴曲线C的普通方程：y2=2ax；（2）∵y2=2ax；∴x≥0，设直线l上点M、N对应的参数分别为t1，t2，（t1＞0，t2＞0），则|PM|=t1，|PN|=t2，∵|PM|=|MN|，∴|PM|=|PN|，∴t2=2t1，将（t为参数），代入y2=2ax得t2-2（a+2）t+4（a+2）=0，∴t1+t2=2（a+2），t1t2=4（a+2），∵t2=2t1，∴a=．【解析】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．（1）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；（2）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．23.【答案】解：因为m＞0，所以．……………………1分（1）当时，…………………………………………………………2分所以由，可得或或，…………………………3分解得或，………………………………………………………………………………4分故原不等式的解集为．………………………………………………………………………5分（2）因为f（x）+|t-3|＜|t+4|⇔f（x）≤|t+4|-|t-3|，令g（t）=|t+4|-|t-3|，则由题设可得f（x）max≤g（t）max． (6)分由，得f（x）max=f（m）=2m． (7)分因为||t+4|-|t-3||≤|（t+4）-（t-3）|=7，所以-7≤g（t）≤7． (8)分故g（t）max=7，从而2m＜7，即，………………………………………………………………9分又已知m＞0，故实数m的取值范围是．…………………………………………………………10分【解析】（1）代入m的值，求出f（x）的分段函数，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）max≤g（t）max，分别求出f（x）和g（t）的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综合题．。

辽宁省沈阳市辽中县第一高级中学2020年高三数学文模拟试卷含解析

辽宁省沈阳市辽中县第一高级中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为A. B.C. D.参考答案：C2. 下列命题：①，；②，；③函数是单调递减函数；④函数在处有极值的充要条件是。

其中真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：C①正确，恒成立；②错误。

恒成立。

③正确，在R上是单调递减函数。

④错误，在中学范围内说是函数在处有极值的必要非充分条件是正确的。

由不一定能推出函数在处有极值。

3. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( )(A)36 cm3 (B)48 cm3(C)60 cm3 (D)72 cm3参考答案：B略4. 下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B5. 已知向量，，则是（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不要必条件参考答案：A略6. 某市有高中生3万人，其中女生4千人．为调查学生的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150人的样本，则样本中女生的数量为A．30 B．25 C．20 D．15参考答案：C7. “”是“”的( )条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要参考答案：B略8. 设集合A={x|x2– 4x+3＜0}，B={x|2x – 3＞0}，则A∩B=（A）（B）（C）（D）参考答案：D试题分析：因为A={x|x2–4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2x –3＞0}={x|x＞}，所以A∩B={x|1＜x＜3}∩{x|x＞}={x|＜x＜3}.9. 设i 是虚数单位,复数对应的点与原点的距离是（）A．2 B．C．2 D．4参考答案：B考察复数运算，对应点（1，1),故距离为10. 已知集合，则( )A．B．C．D．参考答案：D试题分析：考点：集合的运算二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆（m，n为常数，m＞n＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则=．参考答案：m【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，再由数量积的坐标运算可得答案．【解答】解：如图，F1（﹣c，0），F2（c，0），设P（x0，y0），则，∴=（x0+c，y0）?（x0﹣c，y0）==b2+c2=a2=m．故答案为：m．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在圆锥曲线问题中的应用，是中档题．12. 若，，且为纯虚数，则实数的值等于．参考答案：试题分析：，结合着复数是纯虚数，可知，解得.考点：复数的运算，纯虚数的定义.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，底面面积为：S=2×2=4，底面周长为：C=2×（2+）=4+4，高h=4，故几何体的表面积为：2S+Ch=；故答案为：．14. 如图所示，△A′O′B′ 表示水平放置的△AOB的直观图，B′ 在x′ 轴上，A′O′ 和x′轴垂直，且A′O′ ＝2，则△AOB的边OB上的高为参考答案：415. （x一2y)6展开式中二项式系数最大的项的系数为（用数字作答）．参考答案：-16016. 某工程的横道图如图：则该工程的总工期为天．参考答案：47【考点】流程图的作用．【专题】计算题；图表型；数形结合；数形结合法；算法和程序框图．【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应结合所给表格分析好可以合并的工序，注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的．进而问题即可获得解答．【解答】解：7+5+20+10+2+3=47，可得完成这项工程的总工期为47天．故答案为：47．【点评】本题考查的是流程图，在解答的过程当中充分体现了优选法的利用、读图表审图表的能力以及问题的转化和分析能力，属于基础题．17. 若数列{n（n+4）（）n}中的最大值是第k项，则k=_____________．参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。