立体几何建系方法

立体几何建系方法

熟悉几个补形建系的技巧

基本模型：长方体 ；

下面几个多面体可考虑补成长方体建系： （1）三棱锥P ABC -,其中,2

PA ABC ABC π

⊥∠=

.

特点：BC PAB ⊥面；四个面均为直角三角形。 建系方法：

（2）四棱锥P-ABCD,其中,PA ABCD ⊥面ABCD 为矩形。 建系方法：

（3）正四面体A-BCD 建系方法：

（4）两个面互相垂直建系方法

1、（2011年高考重庆卷文科20) 如题（20）图，在四面体

ABCD 中，

平面ABC ⊥平面ACD ，,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥====

（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；

（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。

P

A B

C

A C

D

P

2、（06山东），已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，

又BO=2,PO=2,PB⊥PD.

(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；

3、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．

（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；

（Ⅱ）设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小．

A B

C

D E

A1

B1

C1

4．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明：AE PD ⊥； （Ⅱ）若H 为

PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值 为2

E A

F C --的余弦值．

5、（08安徽）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4

ABC π

∠=

,

OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点.

（1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （2）求点B 到平面OCD 的距离.

P B

E

C

D F

A