高等代数期末试题及解答xxl

西南财经大学2010 — 2011学年第二学期 周二学 号 评定成绩 （分） 学生 担任教师《 高等代数 》 期末 A 卷一、填空（每小题2分，共10分）1.设向量空间1212{(,,)|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈，则V 是 n-1 维空间。

2．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += -843．设二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 满足t >4．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 2 ，3 5．三维线性空间V 的秩为2，则零度为 1 。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号。

每小题2分，共20分）1．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ D ） 的特征向量（A ）2()A E + （B ）-3A （C ）*A （D ）TA 2．已知A ，B 为同阶正交矩阵，则下列（C ）是正交阵。

（A ）A B + （B ）A-B （C ）AB （D ）kA3， 设A 为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ C ）（A ）若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1A -的属于特征值1λ的特征向量（B ）若矩阵A 存在属于特征值λ的n 个线性无关的特征向量，则A E λ=（C ）矩阵A 的属于特征值λ的全部特征向量为齐次线性方程组()0E A X λ-=的全部解 （D ）A 与T A 有相同的特征值4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ A ）。

（A ）实对称阵 （B ）正交阵 （C ）非奇异阵 （D ）奇异阵 5．设A ，B 都是正定阵，则（ C ） （A ）AB ，A+B 一定都是正定阵（B ）AB 是正定阵，A+B 不一定是正定矩阵 （C ）AB 不一定是正定阵，A+B 是正定阵 （D ）AB ，A+B 都不是正定阵 6．当（ C ）时，0a A b c ⎛⎫=⎪⎝⎭是正交阵。

（A ）1,2,3,a b c === （B ）1a b c === （C ）1,0,1a b c ===- （D ）1,0a b c === 7．设A ，B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，，则( D)（A ）A,B 有相同的特征值 （B ）A,B 相似 （C ）A B = （D ）()()r A r B =8. 3R 上的线性变换T 在基1111000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵为121012111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭则基在123,2,ααα下的矩阵为（ A ）（A ）141011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （B ）141044121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （C ）1211012111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（D ）242024222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 9．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ C ）正确。

（A ）A 一定有n 个不同的特征值 （B ）A 一定有n 个相同的特征值（C ）必存在正交矩阵P ，使1P AP -成为对角矩阵（D ）A 的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的10． 设矩阵A ，B ，C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（C ）（A ）A 与B 有相同的特征值 （B ）A 与B 有相同的特征向量 （C ）A 与B 与同一矩阵相似 （D ）A 一定有n 个不同的特征值三、计算题（每小题8分，共64分）1.设n 阶矩阵 (2)n ≥111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求A 的特征值和特征向量，并判断A 是否相似于对角阵解：111111111111111n n A E n λλλλλλλλλ------==---11100()()0n n n λλλλλ-=-=--所以A 的特征值为 1210,n n n λλλλ-====（3分）代入特征值0λ=，A 的特征向量为121111100010001n c c c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2分）代入特征值n λ=，A 的特征向量为1111k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2分）A 有n 个线性无关的特征向量，所以A 可以对角化 （1分）2．已知向量(1,,1)Tk α=是矩阵211121112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -的特征向量，求常数k 。

解：由于向量(1,,1)Tk α=是矩阵211121112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -的特征向量，所以也是矩阵A 的特征向量，根据特征值和特征向量的定义，得：A αλα=，（3分）代入得2111112111211k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（2分）得方程组2112112k k k k λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：2,1k or k =-=（2分）所以当2,1k k =-=时，向量α是1A -的特征向量（1分）3．设 4维空间的两组基为（A ）123412002100,,,00130002αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（B ）123410010210,,,00210002ββββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1）求基（A ）到（B ）的过渡矩阵2）求向量123462ββββ=+-在（A ）下的坐标。

解：1）过渡矩阵()()112341234C ααααββββ-=对矩阵()12341234|ααααββββ作初等变换化为行最简形得1421100033332212010033330010002200010001⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭（2分）所以过渡矩阵142133332212333300220001C ⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--=⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭（2分） 2）()12312344646220ββββββββ⎛⎫⎪ ⎪=+-= ⎪- ⎪⎝⎭（2分）故β在A 下的坐标为 642632400C⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2分） 4．设 123,,ααα为线性空间的一组基，线性变换T 在基123,,ααα下的矩阵为121110101-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭α在基123,,ααα下的坐标为(1,2,3)-，求T α在基123,,ααα下的坐标。

解：123123121(,,)(,,)110101T T ααααααα-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭（4分）所以T α在基123,,ααα下的坐标812⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（4分5．设矩阵1114335A x y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，已知A 有3个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，试求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角阵 解：因为A 有3个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，故A 的属于2λ=线性无关的特征向量必有两个，秩(2)1r E A -= ( 2分 ) 经行初等变换得：111111(2)202333000E A x y x x y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解得2,2x y ==- （2分）所以矩阵111242335A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，求得特征值1232,6λλλ=== 对于特征值122λλ==，解得特征向量12(1,1,0),(1,0,1)T Tp p =-= （ 2分）36λ=的特征向量3(1,2,3)T p =-所以可逆矩阵111102013P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭则有1200020006P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2分）6．设矩阵101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵2()B kE A =+，其中k 为实数，求对角阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定阵解：先求A 的特征值，得2101020(2)11λλλλλ--=---得A 的特征值1232,0λλλ===（2分）故得B 的特征值22123(2),k k μμμ==+= （2分）所求对角阵222000(2)000(2)k k k ⎛⎫⎪Λ=+ ⎪ ⎪+⎝⎭ （2分）当20k and k ≠-≠ B 为正定阵（2分）7．已知三阶实对称矩阵A 的三个特征值为8，2，2，对应特征值2λ=的特征向量为12(1,1,1),(1,1,0)T T X X ==-，求：（1）8λ=对应的特征向量3X ；（2）问A 是否与对角矩阵相似，若相似，给出与之相似的对角矩阵Λ，并求出矩阵P ，使1P P A -Λ=。

解：由题意3X 与21,X X 正交，令3123(,,)T X x x x = 得方程组32310T TX X X X ==解得311(,,1)22TX =-- （3分） 由于A 有三个线性无关的特征向量，所以A 与对角矩阵228⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似, （2分） 11121112101P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,使1P P A -Λ=。

（3分）8．将二次型222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-化为标准型，并写出变换矩阵。

解：二次型的矩阵为122244244A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A 的特征多项式2122244(9)244E A λλλλλλ---=-=---（1分）由此得A 的特征值1230,9λλλ===（1分）对于120λλ==，解齐次线性方程组(0)0E A X -=，得基础解系12221,001p p -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1分）对于39λ=，得特征向量3(1,2,2)Tp =- （1分）正交化，单位化得：122132,,3203γγγ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1分） 对角阵009⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ （1分）所以得正交变换的矩阵为1323203Q ⎫⎪⎪⎪=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1分）二次型的标准形为39f y = （1分）也可用配方法四、证明题（6分）设A 是3阶实对称方阵，A 有n 个互异的特征值其123,,λλλ，对应的特征向量依次为123,,ααα。

令123βααα=++，证明：2,,A A βββ线性无关证明：123(1)βααα=++123112233()(2)A A βαααλαλαλα=++=++22222123112233()(3)A A βαααλαλαλα=++=++（3分）令21230k k A k A βββ++=，分别代入（1），（2），（3）得 1230k k k === （3分）。