作业两个重要极限答案
两个重要极限
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
第五节 两个重要极限
类型5： 幂指式的极限，先利用幂的有关运 算把式子变换成含有标准式，再用公式
求.
练习
3 x 2x 求 lim( ) . x 2 x
极限的常用计算方法
1.代入法
x 4 3x 8 lim 2 x 2 x x 3
0 2.多项式的 型，分子分母同时分解， 0 约掉同为无穷小的公因
第5节 两个重要极限
sin x 1. lim 1. x 0 x
sin x 观察函数 当 x 0时的变化趋势 . x
y sin x x
sin x 重要极限lim 1的使用要求: x 0 x
1、式中含有三角函数的分式； 2、分母与正玄函数的角变量相同； 3、角变量趋近于0. sin x 重要极限lim 1的推广(类型四) : x 0 x 公式 要求
x
1 2
例5
计算li m 1 x .
x 0 2 x
解 方法1 令 u = -x,因为 x 0 时 u 0，
( 所以 l i m 1 x l i m 1 u)
x 0 2 x u0
2 u
lim
u0
1
(1 u)
1 . 2 2 1 e u
x 0
2 5 x
答案： e
6
有时，所给函数在自变量的某个趋向 下，底的极限为1，指数的极限为无穷，
人们称这类极限为1 ”型未定式. “
1 重要极限lim 1 e的使用要求: x x
(1)幂指式的底是由1与一个接近于0的变量和 (2)底中的变量与指数间互为倒数.
sin x x 0 lim lim 1 ( 型) x 0 x 0 sin x x 0 sin 推广： lim lim 1(上下一致) 0 0 sin
第二节两个重要极限-4分析
注
lim
x
sin
1
1，
x 称为重要极限1的等价形式.
x
x
例5. 求
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1 n11)n (1 1x)x (1 1n)n1
lim (1
n
n11)n
lim
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
例3 求 lim sin 5x . x0 x
解 lim sin 5x lim 5sin 5x 5lim sin 5x .
x0 x
x0 5x
x0 5x
令5x t，当x 0时，有t 0.
所以，原式 5lim sin t 51 5. t0 t
2x
x 2x
[lim(1 1 )2x ]2 [lim(1 1 )]3
x 2x
x 2x
e2 1 e2.
例9
求
lim(
x
x2 x2
1)x2 1
解
lim(
x
x2 x2
1)x2 1
lim x
1 1
1 x2 1 x2
x2
lim
x
(1 (1
1 x2 1 x2
)x2 )x2
lim(1
nn21
1
1 n
n 1 n2 n
n 1 n2 2
(1 n2 )n1 n1 (1 n2 )n1 ,
数学分析3-4两个重要的极限
1
1
x
e
.
x x
当 x 0时, 设 x y , y 0, 则
1
1 x
x
1
1 y y
1
1 y . y 1
因为当 x 时，y , 所以
lim 1 x
1 x
x
lim
y
1
1 y11 y 1
1 y 1
e
.
这就证明了
lim 1 x
1 x
x
e
.
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1 n2
e.
n 1
再由迫敛性,
求得 lim 1 n
1 n
1 n2
n
e.
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例7 (复利息问题)设银行将数量为A0的款贷出,每期利
率为 r.若一期结算一次,则t 期后连本带利可收回
t 1, 本利和： t 2, 本利和： t 3, 本利和：
A0 A0r A0 1 r
来值是复利问题:
At A0e rt
与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴 现问题。这时利率r称为贴现率。
由复利公式，容易推得离散的贴现公式为:
A0 At (1 r)t
A0
At (1
r )mt m
连续的贴现公式为：
A0 At e rt
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例8 设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资 多少元，16年之末可得1200元？
求
lim
n
1
1 n
1 n2
n
.
解
因为
1
1 n
1 n2
n
1
1 n
n
两个重要的极限
例7 求 解 令 arcsin x t ,则 且 x 0时，t 0
arcsin x lim x 0 x
x sin t
arcsin x t lim lim 1 x 0 t 0 sin t x
(2)
定义
1 x lim (1 ) e x x 1 n lim (1 ) e n n
arccot x 3、 lim __________. x 0 x
4、 lim x cot 3 x __________.
x 0
sin x 5、 lim __________. x 2 x
6、 lim (1 x ) _________.
x 0
1 x
1 x 2x 7、 lim ( ) _________. x x 1 x 8、 lim (1 ) _________. x x
xn 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn 1 1 1 1 n 1 2! n! 2 2 1 3 n 1 3, xn 是有界的; 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n2例5 求 解Fra biblioteklim
x 0
tan x sin x lim x 0 x3
tan x sin x tan x(1 cos x) 1 sin x 1 cos x lim lim ( ) 3 3 2 x 0 x 0 x x cos x x x
1 sin x 1 cos x 1 (lim )( lim )( lim ) 2 x 0 cos x x 0 x 0 x 2 x
sin口 lim （口代表同样的变量 1 口0 口
两个重要极限练习题(供参考)
1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(limsin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得一．1sin lim0=→x xx ．1sin lim 0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim x xx -→．解 20cos 1limx xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0．所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim xxx x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.8...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得二．x x x)11(lim +∞→=e ．xx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x)21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2．当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0，于是 x x x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
1.7 极限存在准则 两个重要极限-习题
1．计算下列极限： ⑴0tan 3limx xx→；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将tan3x 化出sin3x ，利用sin 3tan 3cos3xx x=，得：0tan 3lim x x x →0sin 33lim 3cos3x x x x →=⋅313cos0=⨯=。
⑵1lim sin x x x→∞； 【解】由于1lim sin x x→∞sin 00==，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：1lim sin x x x →∞101sinlim1xx x→=， 这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 101sinlim 11xx x→=，亦即1lim sin 1x x x →∞=。
⑶0lim cot x x x →；【解】由于0limcot x x →=∞，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：0lim cot x x x →0limtan x xx→=，这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 同样利用sin tan cos xx x=，得： 00lim lim cos tan sin x x x x x x x→→=⋅1cos01=⨯=， 亦即0lim cot 1x x x →=。
⑷01cos 2limsin x xx x→-；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将1cos2x -化出正弦函数，利用2cos 212sin x x =-，得：01cos 2lim sin x x x x →-202sin lim sin x x x x →=0sin 2lim x xx→=212=⨯=。
经济数学1.4两个重要极限
三.无穷小量的等价代换
tan x sin x （3） lim x 0 tan 3 3 x
sin 2 x （4）lim x 0 (1 cosx )arctan x 2
tan x(1 cos x) tan x sin x lim lim 解（3） 3 x 0 x 0 tan 3 3 x tan 3 x 1 2 x x 1 2 lim 3 x0 (3 x ) 54
n
ESC
二.第一个重要 极限
sin x 1 1. lim x 0 x
(1.4.1)
因为 sin( x) sin x sin x ，所以 x x x 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 证
作单位园O， 设圆心角 AOB x ,延长 OB 交过 A点的切线于于 D ， 则 AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ AOD 面积．即 ESC
1 x 3 1 5 lim(1 ) (1 ) e 1 e x x 3 x 3 2 2 x2 x2 x x 2 lim ( ) lim (1 ) e （4） x2 2 2 x2
ESC
三.无穷小量的等价代换
1.无穷小的比较（复习） 一般的, 设 ， 是同一极限过程中的两个无穷小， 1）若 lim 0 ，则称 是比 高阶的无穷 小，也可以称 是比 低阶的无穷小； 2）若 lim c （c为非零常数），则称 与 是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
1 2 x 5 1 2x 1 5 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) x x x x x x 1 x 2 [lim(1 ) ] e 2 x x
2.4两个重要极限
xn
. 2
例10设数列
{
xn }为：x1
c 2
,
xn1
c 2
xn 2
,
其中
0
c
1
,
求
lim
n
xn
.
解
xn
2n 1 2n c
,
lim
n
xn
lim
n
2n 2n
1
c
c.
lim1 n
1 n
n
e.
例11
第二个重要极限
说明: 此极限也可写为
1
o
12
x
定义 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数 f ( x) 的零点.
定理(零点定理) 设 f(x) 在闭区间[a,b]上连续 , 且
f(a) 与 f(b) 异号(即 f(a) f(b)<0 ) , 则至少存在一点
(a,b) 使 f()=0.
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 a o
解 lim tan x lim sin x 1 11 1
x0 x
x0 x cosx
例6 求 lim arcsin x . x0 x
解 设 t arcsinx 则 x sin t
lim arcsinx x0 x
lim t 0
t sin t
1 lim sin t
1 1
1
t0 t
例7 求 lim sin 3x . x0 tan x
习题1.4-两个重要极限
x
⋅
sin x x
⋅
2 sin2 ( x x2
2)
= lim 1 ⋅ sin x ⋅ 2sin2 ( x 2) = 1 x→0 cos x x 4( x 2)2 2
(4)． lim sin 2x x→π sin 3 x
解： lim sin 2x 令t = x − π lim sin(2π + 2t) = lim sin 2t
（16）． lim ⎜⎛ 3 − 2 x ⎟⎞ x x→∞⎝ 2 − 2x ⎠
解法 1： lim⎜⎛ 3 − 2x ⎟⎞ x = lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞ x x→∞⎝ 2 − 2x ⎠ x→∞⎝ 2 − 2x ⎠
=
lim ⎪⎨⎧⎜⎛ 1 x→∞⎪⎩⎝
+
2
1 − 2x
⎟⎞ 2−2 x ⎠
⎪⎫ − ⎬ ⎪⎭
x→π sin 3 x
t→0 sin(3π + 3t ) t→0 − sin 3t
= − lim sin 2t ⋅ 3t ⋅ 2 = − 2 t→0 2t sin 3t 3 3
(5)．
lim
x→0+
cos
x−
3
1
x2
第 1 章 极限与连续 第 4 节 两个重要极限 1/6
《微积分 A》习题解答
解：
x
x→0
故 lim ⎜⎛ x − 2 ⎟⎞kx = e −2k = 1 ，即 − 2k = −1 ，得 k = 1
x→∞⎝ x ⎠
e
2
⎧sin x
3.
讨论函数
f (x) =
⎪ ⎨
x
⎪⎩(1 +
1
x) x
x<0 ，当 x → 0 时，极限是否存在.
两个重要极限练习题(供参考)
1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→薂问题1：观察当x 0时函数的变化趋势：蒁x (弧度)芈0.50薃0.10芄0.05芀0.04莇0.03 羄0.02螂...聿xx sin蒇0.9585莅0.9983蒄0.9996肂0.9997薇0.9998螆0.9999袂...袁当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xxsin =1；薇当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是膇)()sin(lim sin lim00x x x x x x --=+-→-→．蚄综上所述，得一．1sin lim0=→xxx ．1sin lim0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim ()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 例2 求xtan ．所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→t tt ．例9例10 求30sin tan lim xxx x -→．解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→=21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ．考察极限e xx x =+∞→)11(limxx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0，于是 xx x x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [20110u u u uu +⋅+→-→=e -1．例15例16 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ．§2-1 导数的概念教学过程：引入：上表看出，平均速度t s ∆∆随着∆t 变化而变化，当∆t 越小时，ts ∆∆越接近于一个定值—9.8m/s ．考察下列各式：∆s =21g ⋅(1+∆t )2－21g ⋅12=21g [2⋅∆t +(∆t )2]，t s ∆∆=21g ⋅t t t ∆∆+∆2)(2=21g (2+∆t )，思考： 当∆t 越来越接近于0时，ts∆∆越来越接近于1秒时的“速度”．现在取∆t →0的极限，得实例2 曲线的切线设方程为y =f (x )曲线为L ．其上一点A 的坐标为(x 0,f (x 0))．在曲线上点A 附近另取一点B ，它的坐标是(x 0+∆x , f (x 0+∆x ))．直线AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作β．由图中的R t ∆ACB ，可知割线AB 的斜率tan β=()()xx f x x f x y AC CB ∆∆∆∆00-+==．在数量上，它表示当自变量从x 变到x +∆x 时函数f (x )关于变量x 的平均变化率(增长率或减小率)．是要求函数y 关于自变量x 在某一点x 处的变化率．1.自变量x 作微小变化∆x ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率y =xy ∆∆，作为点x 处变化率的近似；2. 对y 求∆x →0的极限xy x ∆∆∆0lim→，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值．x二、导数的定义1. 函数在一点处可导的概念定义 设函数y =f (x )在x 0的某个邻域内有定义．对应于自变量x 在x 0处有改变量∆x ，函数y =f (x )相应的改变量为∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)，若这两个改变量的比x x x x -→根据导数的定义，求函数y =f (x )在点x 0处的导数的步骤如下：第一步 求函数的改变量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；第二步 求比值xx f x x f x y ∆∆∆∆)()(00-+=；第三步 求极限f '(x 0)=xy x ∆∆∆0lim→．例1 求y =f (x )=x 2在点x =2处的导数．222导．这时，对开区间(a ,b )内每一个确定的值x 0都有对应着一个确定的导数f '(x 0)，这样就在开区间(a ,b )内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f (x )的导函数，记作等f '(x )或y '等．根据导数定义，就可得出导函数f '(x )=y '=()()xx f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆-+=→→00lim lim (2-3)导函数也简称为导数．注意 （１）f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值（２）f (x )在点处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值．可以证明，一般的幂函数y =x α, (α∈R, x >0)的导数为(x α)'=α x α-1．例如 (x )'=(21x )'=xx 212121=-；(x 1)'=(x -1)'=-x -2=-21x ．例4 求y =sin x , (x ∈R )的导数．解x y ∆∆=xx x x ∆∆sin )sin(-+，在§1-7中已经求得lim→x ∆xy ∆∆=cos x ，方程为y =f (x )的曲线，在点A (x 0,f (x 0))处存在非垂直切线AT 的充分必要条件是f (x )在x 0存在导数f '(x 0)，且AT 的斜率k =f '(x 0)．导数的几何意义——函数y =f (x )在x 0处的导数f '(x 0)，是函数图象在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y -f (x 0)=f '(x 0)(x -x 0) (2-4)过切点A (x 0,f (x 0))且垂直于切线的直线，称为曲线y =f (x )在点A (x 0,f (x 0))处的法线，则当切线非水平(即f '(x 0)≠0)时的法线方程为y -f (x 0)=-)(10x f '(x -x 0) (2-5)故所求的切线方程为y +ln2=2(x -21)，即y =2x -1-ln2．四、可导和连续的关系如果函数y =f (x )在点x 0处可导，则存在极限lim→x ∆x y ∆∆=f '(x 0)，则xy ∆∆=f '(x 0)+α (0lim →x ∆α=0)，或∆y = f '(x 0) ∆x +α⋅∆x (0lim →x ∆α=0)，所以 0lim →x ∆∆y =0lim →x ∆[f '(x 0) ∆x +α⋅∆x ]=0．这表明函数y =f (x )在点x 0处连续．学生思考：设函数f (x )=⎨⎧≥0,2x x ，讨论函数f (x )在x =0处的连续性和可导性．§4－2 换元积分法教学过程复习引入 1．2． 不定积分的概念； 3．4． 不定积分的基本公式和性质。
高等数学 第二章 极限与连续 2.6 两个重要极限
k 1 k .
解： 原式 k lim x 0
kx 0
例4
求
2 sin x
2 2 x 2
解： 原式 lim 例5 求
x 0
sin lim x 2 x 0 2
1
x 2
2
1 2
1
2
解： 令 t
例11
求 x
lim (
x 2
x
2
2
x 1
)
x
x x x x 解： lim ( 2 ) lim lim x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x
x
x
x
1 1 lim 1 1 x x 1 x 1
x,
OAB 的高为 BD ,
于是有
sin x BD ,
tan x AC ,
C
二、两个重要极限
B
(1)
lim
sin x x
x 0
1
0 0
型
x
o
D
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin x
1 2
tan x
(0 x
2
2
sin x x tan x ,
单调减少
定理2.12
准则Ⅱ
单调有界数列必有极限.
几何解释:
m
x1
x 2 x 3x n x n 1
A
M
x
C
2.4 等价无穷小量,两个重要极限答案
e
3
3 kn 2 8. 设 lim 1 e3 ，则 k 2 n n
三.计算题 1． lim
sin x tan x x sin x 2.． lim 3 x 0 x 0 x sin x sin x 1 1 sin x x lim 1 cos x 1 1 lim cos 2 2 x 1 1 0 x 0 sin x x 0 cos x sin x lim x 0 sin x 1 1 1 x x 2sin 2 2 ( ) 2 x 1 1 2 lim 2 lim x 0 cos x x 0 cos x sin 2 x x2 1 2
2. 下 （ D ） 列 极 限
sin x 1 （C） lim x 0 2 x
中 ， 正
1 x
sin
（D） lim
x 0
1 x
1 x(1 ) e x x
1
（B） lim(1 x) e
x
1
（C） lim(1 3 x ) x e
x 0
（D） lim(1 x) x
x 0
2
e
（ （D） x sin x （ （D） 3 C ） C ）
3． 当 x 0 时， 下列变量与 x 为等价无穷小量的是 （A） sin 2 x （B） 1 cos x （C） 1 x 1 x
2 4. 当 n 时， 为了使 sin
x
2 x -1 x 4． lim x 0 3 x -1
)( 2 a )
1
2
1 2 x 1 2 x lim x 0 lim 1 x 0 1 3 x lim 1 3 x ( 3 x )( 3)
第六节两个重要极限
所以 un+1 > un. 因此{un }是
单调递增数列.
此外，由 un 的展开式可得
un
1
1 n ≤
n
2 1 1 1
2! 3!
n!
≤
11 1 2
1 22
1 2n1
1
1
1 2n
1 1
3
1 2n1
≤
3.
2
所以 {un} 是有界数列.
综上所述，{un} 是单调有界数列，因此极 限存在.
这个结果可以作为公式使用
tan x
lim
1
x0 x
例2 解
计算
lim
x0
1
cos x2
x
.
1 cos x
lim
x0
x2
2 sin2
lim
x0
x2
x 2
lim
1
sin
x 2
2
x0 2 x
2
1
lim
sin
x 2
2
1
1
x
例 5 计 算 lim1 1 2 .
x
x
解 因为
1
x
1 2
1
1
1
x
2
，且
lim
1
1 x
e，
x x
x x
所以，有
lim 1
x
1 2
lim1
两个重要极限练习题(供参考)
1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(limsin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得一．1sin lim0=→x xx ．1sin lim 0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim x xx -→．解 20cos 1limx xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0．所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim xxx x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.8...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得二．x x x)11(lim +∞→=e ．xx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x)21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2．当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0，于是 x x x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
第1章第6节--两个重要极限_2_
lim(1 sin x) 2 x =e 2 ．
x 0 1 1
1
例 5 求极限 lim(cos x) sin
x 0
2
x
．
解
因为
1
2 2 1 sin x ， [1 (cos x 1)]cos x 1
（2）令 e x 1 t ，则 x ln(1 t ) ，且当 x 0 时， t 0 ． 所以
lim ex 1 t lim 1． x 0 t 0 x ln(1 t )
注
lim
ax 1 e x ln a 1 lim ln a ln a ． x 0 x 0 x ln a x
如果每年计息的次数 n ，则第 t 年末的本利之和 Pt 的变化趋势就是
r r n lim P0 (1 )nt P0 lim (1 ) r P0 ert ． n n n n
rt
Pt P0 ert 就是连续计息时本金与利息之和的计算公式，即复利公式．
x
[ x ]1
，
1 [ x ]+1 ) 1 1 1 [ x] 1 ≤ (1 ) x ≤ (1 )[ x ] (1 ) ． 1 x [ x] [ x] (1 ) [ x] 1
1 因为 lim(1 )n e ，所以 n n
(1
当 x 充分大时，根据函数的单调性可得 lim
记 x t ，则
1 1 t t 1 t 1 t 1 1 (1 ) x =(1 )t ( ) (1 ) (1 ) (1 )． x t t 1 t 1 t 1 t 1
因为 lim (1
t
1 1 t 1 ) 1 ， 所以 ) e ， lim (1 t t 1 t 1 1 1 t 1 1 lim (1 ) x lim(1 ) (1 )e． x t x t 1 t 1