两个重要极限练习题

1-7两个重要极限练习题教学过程： 引入：考察极限lim 匹x 0x当x 取负值趋近于 0时，-x 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是综上所述，得sin x lim 1 .x 0lim 泌1的特点： x 0x解血沁= lim5s 吐(令3x t)3lim 血3.x 0x x 0 3x t 0t1 COSX 求 lim 2— x 0 x 2例4 求 imarcSinX.X 0X解 令 arcsinx=t ，贝U X =S int 且 X 0 时 t 0.当x 取正值趋近于 0时，叱1,即lim 竺S=1 ；x x 0x问题1:观察当x 0时函数的变化趋势:si nx lim x 0xlim sin( x) (x)x a则lim sin x .. sin x -=lim=1.x aX x 0X例1 求 tanxlimx 0Xsin x解 limtanx cosxsin x 1 si1li lim lim lim —limx 0x x 0 Xx 0 x cosxx 0Xx 0cosx例2 求 ..sin3x lim1.COSX2X=P 叫2X 2sin — 2mo H XX- 2 2(X Xsin sin lim 2 2 x 0 2 XX2 2(1) 它是“0理，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是推广 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或),x 0x1 12X 一22考察极限iim(1 1)x e xx当x 取正值并无限增大时，（1丄）x是逐渐增大的，但是不论 x 如何大，（1丄）x的值xx总不会超过3•实际上如果继续增大 x.即当x +时，可以验证（1丄）x是趋近于一个确定 x的无理数e=.当x -时，函数（1丄）x有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e.x综上所述，得1 x二. lim （1 ）x =e .xxlim （1 -）x =e 的特点：x（1） lim （1+无穷小）无穷大案；（2） “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数. 推广 （1）若lim （x ）= ,（a 可以是有限数X 0,或），则x a1 (x)1 (x)lim(1)()lim 1=e;x a(x)x(x)(2)若lim (x)=0,(a 可以是有限数x °,或)，则x a1lim 1 x"(x)lim 1所以arcs^=imt 0 tsin 求lim x 0tanx sinx 3xtanx sinx沁 sinx =lim x 0cosx si nx lim —1 cosx cosx li m si nx lim 1x 0 x x 0 cosx lim -cosx1 ()=e.3x a x 0如果在形式上分别对底和幕求极限，得到的是不确定的结果 定型.例6 求 iim （1 2）x.变形 令Z =t ，则x 时t 0，代入后得到xit t e .1，因此通常称之为1不解令—？=t ，则x=- £Xt时t 0,2 x lim (1 ) =lim(1 t) X X t 0求 lim(U)x.x2 x令 3x =1 + u ，则 x=2 —2 x时u 0,lim(1 ta nx)cotx = lim(1x 0t 0小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。

作业：见首页§ 2-1导数的概念教学过程： 引入： 一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻t=0到时刻t 这一时间段内下落的路程s 由公式s = l gt 2来确定.现在来求t=1秒这一时刻质点的速度.2当t 很小时，从1秒到1+ t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间 内的平均速度作为质点在 t=1时速度的近似.27【!叫(11t)1] 2=e -xim(23x )x =uim 0(112 -u) u1U) U (1 U)2] =[lim(1[帆(1u)2]=e -1 -求 x im0(1cotxtanx)设 t=tanx. 则-=cotx. t1t)T芒随着t 变化而变化，当 t 越小时，芒越接近于一个定值一t上表看出，平均速度 9.8m/s .考察下列各式：s=-g 2(1+ t)2-1g l 2=2g[2 t+(t)2]，22t ( t)t 1= -g(2+t)，思考: 当t 越来越接近于0时，仝越来越接近于1秒时的 速度”现在取t 0的极限,ts 1 lim lim g 2 t g=9.8(m/s). 0 t 02t =1秒时速度为瞬时速度.一般地，设质点的位移规律是s=f (t)，在时刻t 时时间有改变量t, s 相应的改变量为s=f(t+ t)-f(t)，在时间段t 到t+ t 内的平均速度为s f t t f tv = tt对平均速度取t 0的极限，得s ft tv(t)= lim - lim ------t 0 t t 0 t称v(t)为时刻t 的瞬时速。

研究类似的例子 实例2曲线的切线设方程为y=f(x)曲线为L .其上一点A 的坐标为(X 0,f(x 0)).在曲线上点A 附近另取一点 B,它的坐标是(X 0+ x, f(X 0+ x)).直线 AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作 .由图中的 Rt ACB ，可知割线 AB 的斜率tan=CB 丄佟—x f x0 .AC xx在数量上，它表示当自变量从x 变到x+ x 时函数f(x)关于变量x 的平均变化率(增长率或减小率).现在让点B 沿着曲线L 趋向于点A ，此时x 0, 过点A 的割线AB 如果也能趋向于一个极限位置 直线AT ,我们就称L 在点A 处存在切线AT .记AT 的倾斜角为，则为的极限，若 的斜率为为质点在90，得切线ATlimx) f(x °)x 0在数量上，它表示函数 f(x)在x 处的变化率.上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量 要求函数y 关于自变量x 在某一点x 处的变化率.y tan = lim tan = lim-x 0 x 0 xx 具体内容不同，但本质都是i.自变量x 作微小变化x ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率 y =」，作为点xx 处变化率的近似;x2.对y 求x 0的极限|im 丄，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值.x 0x二、导数的定义1.函数在一点处可导的概念定义 设函数y=f(x)在x o 的某个邻域内有定义.对应于自变量 x 在x o 处有改变量x,函数y=f(x)相应的改变量为 y=f(x o + x)-f(x o ),若这两个改变量的比 当x 0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点x o 处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在点xo 处的导数(或变化率)，记作y |x x o 或f (x o )或 dy|x x 。

或x x 。

•即dx I o dx oy |xx o =f (x o )= li 叫丄 lim o f(x °x) f (x °)(2-1)x ox x ox比值丄表示函数y=f(x)在x o 到x o + x 之间的平均变化率，导数y |x x o则表示了函数x在点x o 处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点x o 处的变化的快慢.如果当x o 时丄的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x o 处不可导或导数不存在.x在定义中，若设 x=x o + x ，则(2-1)可写成 f (x o )= lim(2-2)X Xo7 7c根据导数的定义，求函数 y=f(x)在点x o 处的导数的步骤如下: 第一步 求函数的改变量 y=f(x o + x)-f(x o )； 第二步求比值丄竺—x)f (xo)；xxf (x o )；当li mf -x ^ ------ x——f x °存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x o 处的右导数,Xox记作f (x o ).据极限与左、右极限之间的关系f (x o )存在 f (X o ) ,f (x o )，且 f (x o ) = f (x o ) = f (x o ).2.导函数的概念如果函数y=f(x)在开区间(a ,b)内每一点处都可导， 就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可 导.这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值 x o 都有对应着一个确定的导数 f (x o ),这样就在 开区间第三步 求极限f (x o )= lim 」•x oxx=2处的导数.例1 求y=f(x)=x 2在点 y=f(2+ x)-f(2)=(2+ x)2-22=4 x+( x)2；lim y = lim (4+x)=4 .x ox x o所以y/ 2 y 4 x x ,=4+ x;xxx=2=4 .lim 仏一x —电存在时，称其极限值为函数x oy=f(x)在点x o 处的左导数，记作(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f (x)因为 y=(x+ x)n-x n=nx n-1x+cjx n-2(y= nx n-1+ C 2x n-2x+...+( x)n-1,x— 1 1例如(少)=(x") =^x 巳2例4 求y=sinx, (x R»的导数.解丄=泌 x) sinx ，在§ 1-7中已经求得XXlim y =cosx, x 0x即(sinx) =cosx •用类似的方法可以求得 y=cosx, (x R»的导数为(cosx) =-s inx •例 5 求 y=log a x 的导数(a >0, a 1, x>0). 解 对a=e 、y =lnx 的情况，(lnx) = — •xy=|°g a X = M ，以下与§ 1-7完全相同推导，可得In a(log a x) = -— •x l n a三、导数的几何意义方程为y=f(x)的曲线，在点 在X 。

存在导数f (x 0)，且AT 的斜率k=f (X 0)・导数的几何意义 -- 函数y = f(x)在X 0处的导数f(X 0)，是函数图象在点(X 0,f(X 0))处切线或y 等.根据导数定义，就可得出导函数y f x x f xf (x)=y = limlimx 0x x 0导函数也简称为导数.(1) f (X)是X 的函数，而f(X 0)是一个数值 (2)f(x)在点处的导数f(X 0)就是导函数f(X)在点X 0处的函数值.例2求y =C (C 为常数)的导数.因为 y = C-C=0, -1_°=0，所以X X(C) =0常数的导数恒等于零). (2-3)注意 y = lim y=0 •x 0xx)2+...+( x)n,从而有(x n)可以证明，(X ) = Xlim y = lim [x 0x x 0 =n x n-1.一般的幕函数-1n-1 2n -2 / \门-1工 n-1nx n + C n x nx+...+( x) ]= nx ny=x , ( R, x>0)的导数为；(丄)=(x -1) =-X -2=- —2, x x x在§ 1-7中已经求得为对一般的a ，只要先用换底公式得A(X 0,f(x 。