一维搜索黄金分割法C程序
第三节一维搜索方法
a3 a2 , y3 y2 a2 ap , y2 yp
特点：程序结构简单容易理解可靠性好。但计算 效率偏低，使用于低维优化的一维搜索。
三、二次插值法（抛物线法）
(1)基本思想：在寻求目标函数 f (x ) 极小点的区间 内取三个点的函数值来构造一个二次插值多项式 p(x )用它的极小点近似地作为原目标函数的极小 点。若近似程度不满足精度要求时，可反复使用 此法随着区间的缩短，二次插值多项式的极小点 就逼近原目标函数的极小点一维函数 f (x ) 在搜索 区间[a b] 内为单峰函数，在区间内取三点 x1 x2 x3 且 x1 x2 x3 三点的函数值为 f1 f (x1) f2 f (x2 ) f3 (x3 ) 且 f1 f2 f3 即满足函数值是大—小—大变化。原目
1、基本原理： 通过不断缩短搜索区间的长度来寻求一维函数
f (x ) 的极小点原理。
a
x1 x2
b
a
x1 x2
b
它是一种等比例缩短区间的直接搜索方法。
设目标函数 f (x) 在搜索区间 [a,b] 内 为单峰函数，区间长设为 l
在区间内按如下规则对 称地取两点 x1和 x2
x1 a 0.382(b a) x2 a 0.618(b a)
x b 2a
x*p
1 2
(x22 x32 ) f1 (x32 x12 ) f2 (x12 x22 ) f3 (x2 x3 ) f1 (x3 x1 ) f2 (x1 x2 ) f3
c1
f3 x3
f1 x1
c2
(
f2
f1 ) (x2
x2 x3
基于c语言的黄金分割法的优化设计
基于ｃ语言的黄金分割法的优化设计作者：王秀芳来源：《新西部下半月》2008年第08期【摘要】机械优化设计是适应生产现代化要求发展起来的一门崭新的学科。
它是在现代机械设计理论的基础上提出的一种更科学的设计方法，它可使机械产品的设计质量达到更高的要求。
基于黄金分割法提出的利用C语言程序求解全局最优解的方法，是一种相当简单而有效的方法。
【关键词】 C语言；黄金分割法；优化设计机械优化设计是应用数学方法寻求机械设计的最佳方案，首先要根据实际机械设计问题建立相应的数学模型，即用数学形式来描述实际机械设计问题。
在建立数学模型时，需要应用专业知识确定设计的限制条件和所追求的目标，确立各设计变量之间的相互关系等。
数学模型一旦建立，机械优化设计问题就变成一个数学求解。
应用数学规划方法的理论，根据数学模型的特点，可以选择适当的方法，以计算机作为工具，求得最佳设计参数。
非线性问题的求解一直是优化问题中的热点和难点，由于它是解决许多工程问题特别是控制问题的有效方法，所以受到人们极大的关注，并因此构造出许多求解约束和无约束优化问题的算法，如共轭方向法、二次插值法、进退法以及牛顿法等。
这些经典算法在各种实际问题中起到了非常重要的作用并显示出其独特的优点。
虽然已经有了不少很好的计算优化问题的方法，但好的方法总是不厌其多。
该文根据一维搜索中的黄金分割法提出一种利用C语言程序求解全局最优解的方法，这是一种相当简单而有效的方法。
一、黄金分割法及其基本原理黄金分割法是用于一元函数f（x）在确定的初始区间［a，b］内搜索极小点a*的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、效果明显而著称，是许多优化算法的基础。
但它只适用于一维区间上的凸函数。
其基本思想是：依照“去坏留好”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围。
具体地说，就是在区间［a，b］中取点x1=a+0.382(b-a)，x2=a+0.618(b-a)，如果f(x1)＞f(x2), 令a=x1；如果f(x1)≤f(x2),令b=x2，重新开始。
一维寻优法(0.618法)程序设计
一维寻优法(0.618法)程序设计一维寻优法，又叫作黄金分割法或者0.618法，是一种基于比较大小的优化算法，能够在一维搜索空间中找到最优解或者一定程度上接近最优解。
这是一种简单而经典的算法，在实际应用中有很多的应用场景。
接下来我们将介绍一下如何设计一维寻优法的程序，包括算法原理、代码实现和测试结果。
### 1. 算法原理一维寻优法的核心思想是找到一段区间，通过不断缩小这个区间的范围来逼近最优解。
具体来讲，我们首先需要给出一个初始的搜索区间，假设这个区间是[a, b]。
我们可以通过计算出0.618的值（记为c），将这个区间划分为两个子区间[a, c]和[c, b]。
对于这两个子区间中的一个，我们可以进一步将其划分为两个子区间，之后对于这两个子区间分别计算其函数值，保留其中更小的一个（因为我们是要找最小值），并更新原始的搜索区间。
如此往复进行下去，直到搜索区间的长度小于一定的阈值或者我们已经满足了一定的精度要求为止。
### 2. 代码实现下面是一维寻优法的Python示例代码：```pythondef golden_section(func, a, b, epsilon=1e-5):""":param func: 要进行最优化的函数:param a: 搜索区间左边界:param b: 搜索区间右边界:param epsilon: 精度控制参数:return: 函数极小值所在的x值"""c = 0.618 # 黄金分割点x1 = a + (1 - c) * (b - a) # 初始化搜索区间x2 = a + c * (b - a)y1 = func(x1)y2 = func(x2)while abs(b - a) > epsilon:if y1 <= y2:b = x2x2 = x1y2 = y1x1 = a + b - x2y1 = func(x1)else:a = x1x1 = x2y1 = y2x2 = a + b - x1y2 = func(x2)return (a + b) / 2```代码中，我们首先计算出黄金分割点，并初始化搜索区间。
黄金分割法程序
一维搜索一维优化一般分为两大步骤：（1）确定初始搜索区间[a，b]，该区间应是包括一维函数极小点在内的单峰区间；（2）在搜索区间[a,b]内寻找极小点。
搜索区间的确定—进退法基本思路是：由单峰函数性质可知，在极小点a*左边函数值应严格下降，而在极小点右边函数值应严格上升。
因此，可从某一个给定的初始点a0出发，以初始步长h0沿着目标函数值的下降方向，逐步前进或后退，直到找到相继的3个试点的函数值按“大---小----大”变化为止。
一：确定搜索区间的外推法•首先确定函数的单谷性•然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向。
•如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。
搜索区间的确定流程图确定搜索区间的程序代码void findqujian(float a[3],float f[3]) {float t=steplength, a1,f1,ia;a[0]=0;f[0]=fc(a[0]);for(int i=0;;i++){a[1]=a[0]+t;f[1]=fc(a[1]); if(f[1]<f[0]) break;if(fabs(f[1]-f[0])>=e){t=-t;a[0]=a[1];f[0]=f[1];}else{ if(ia==1)return;t=t/2;ia=1;}}for(i=0;;i++){a[2]=a[1]+t;f[2]=fc(a[2]);if(f[2]>f[1]) break;t=2*t;a[0]=a[1]; f[0]=f[1];a[1]=a[2]; f[1]=f[2];}if(a[0]>a[2]){a1=a[0];f1=f[0];a[0]=a[2];f[0]=f[2];a[2]=a1; f[2]=f1;}return;}一、黄金分割法黄金分割法是通过不断缩短搜索区间的长度来寻求一维函数的极小点，这种方法的基本原理是：在搜索区间[a,b]内按如下规则对称地取两点a1和a2a1=a+0.382(b-a); a2=a+0.618(b-a);黄金分割法的搜索过程是：1）给出初始搜索区间[a,b] 及收敛精度e ，将赋以0.618 2）计算a1 和a2，并计算起对应的函数值f(a1),f(a2); ，3）根据期间消去法原理缩短搜索区间，为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名城的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。
黄金分割法 c++程序 求极小点
doubley;
doublex2;
x2= x * x ;
y = x2+2*x;
returny;
}
voidmain()
{
doublex1,x2,y1,y2,a,b,x;
inti,j,n=0;
a= -3; // 左边界
b = 5; // 右边界
Lab1:
x2= a + 0.618 * (b - a);
机
械
优
化
设
计
实
验
报
告
机械优化设计实验报告
一、程序思想
在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法是黄金分割法，又称作0.618法。黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题。对函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面相当广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a,b]内适应插入两点α1、α2将区间分成三段。应将函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
黄金分割法的搜索过程是：
1）给出初始搜索区间[a,b]及收敛精度ε，将λ赋以0.618。
2）按坐标点计算公式计算α1和α2，并计算其对应的函数值f(α1),f(α2)。
3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名称的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。
4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛足够近，如果条件不满足则返回到步骤2。
5）如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。
黄金分割法
黄金分割法学习目标➢理解单谷函数及其性质➢理解黄金分割法的基本原理➢掌握黄金分割法的步骤➢编程实现黄金分割法黄金分割法也叫0.618法，属于区间收缩方法。
首先找出包含极小点的初始搜索区间，然后按黄金分割点通过对函数值的比较不断缩小搜索区间。
当然，要保证极小点始终在搜索区间内，当区间长度小到精度范围之内时，可以粗略地认为区间中点为极小点的近似值。
黄金分割法适用于单谷函数，即在某一区间中存在唯一极小点的函数。
f (x )O a 1 x * b 1 x一、单谷函数及其性质定义1设单变量函数f(x)在区间a 1,b 1内存在唯一的极小点x ∗,x ∗∈a 1,b 1,且f(x)在x ∗点的左侧严格下降，在x ∗点的右侧严格上升，则称f(x)在区间a 1,b 1上是单谷函数或者下单峰函数，a 1,b 1为f(x)的单谷区间，见图1。
图1 单谷区间与单谷函数单谷函数具有一个重要的消去性质(I) 若f(a) < f(b), x *∈[a1,b]f(x)xa 1b 1(I) 消去[b, b 1]x *b a （II ）若f(a)≥f(b)，x *∈[a,b 1]f(x)xa 1b 1(II) 消去[a 1, a ]x *a b单谷区间与单谷函数有如下性质：若f(x)是单谷区间a1,b1上的单谷函数，极小点为x∗，在a1,b1任取两点a和b，且a<b，计算这两点的函数值f(a)和f(b)，则：(1)当f a<f(b)时，x∗∈a1,b。
(2)当f a≥f(b)时，x∗∈a,b1。
由单谷函数的性质可知:➢在单谷区间a1,b1内任取两点a和b都可以求得一个相对更小的单谷区间。
➢这个过程可以一直重复下去，如果某个单谷区间的长度足够小，该区间的中点就可以作为极小点的近似。
二、黄金分割法的基本原理设计思路：反复使用单谷函数的消去性质，不断缩小包含极小点的搜索区间，直到满足精度为止。
设计原则：（1）迭代公式简单；（2）消去效率高；（3）对称性：a−a1=b1−b；（4）保持缩减比，即保留的区间长度与原区间长度之比保持不变。
黄金分割法二次插值法牛顿法matlab程序一维搜索方法比较
牛顿法求解 n 的平方根求解 n 的平方根，其实是求方程 x2−n=0 的解利用上 面的公式可以得到：xi+1=xi−x2i−n2xi=(xi+nxi)/2 编程的时候核心的代码是：x = (x + n/x)/2 三、二次插值法
二次插值法亦是用于一元函数 在确定的初始区间内搜索极小点的一种 方法。它属于曲线拟合方法的范畴。
t=
0.0283
公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建 立起比例理论。
公元前 300 年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成 果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣 比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
左边的区间距离 0.0402
黄金分割法所得最小极值点为：-0.993642 黄金分割法所得最小极值为：-0.999960 迭代次数为：9.000000 右边的区间距离 0.0249
左边的区间距离 0.0249
黄金分割法所得最小极值点为：-1.013756 黄金分割法所得最小极值为：-0.999811 迭代次数为：10.000000 右边的区间距边的区间距离 0.7214
左边的区间距离 0.7212
黄金分割法所得最小极值点为：-0.888304 黄金分割法所得最小极值为：-0.987524 迭代次数为：3.000000 右边的区间距离 0.4459
左边的区间距离 0.4459
黄金分割法所得最小极值点为：-1.249028 黄金分割法所得最小极值为：-0.937985 迭代次数为：4.000000 右边的区间距离 0.2755
常用一维搜索算法
无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。
这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。
（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。
间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。
首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。
）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。
根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。
一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。
一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。
由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。
在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k设Φ(a)=f(x k+ad k)这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。
其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。
一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。
如果求得a k使目标函数沿方向d k达到极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子;如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。
一维搜索黄金分割算法
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：一维搜索黄金分割法黄金分割法是用于一元函数()f x 在给定初始区间[],a b 内搜索极小点min x 的一种方法。
它是优化计算经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。
具体步骤是：在区间[[],a b 内取点：12,a a 把[],a b 分为三段 如果12()()f a f a <，令1a a =,12a a =,20.618*()a a b a =+-； 如果12()()f a f a >，令2b a =，21a a =,10.618()a a b a =+-; 如果|()/|b a b -和122|()/|y y y -都大于收敛精度ε重新开始循环。
function xmin=golden(f,a,b,e)k=0;a1 =b-0.618*(b-a); %插入点的值a2 =a+0.618*(b-a);while b-a>e %循环条件y1=subs(f,a1);y2=subs(f,a2);if y1>y2 %比较插入点的函数值的大小a=a1; %进行换名a1=a2;y1=y2;a2=a+0.618*(b-a);elseb=a2;a2=a1;y2=y1;a1=b-0.618*(b-a);endk=k+1;end %迭代到满足条件为止就停止迭代xmin=(a+b)/2;fmin=subs(f,xmin) %输出函数的最优值fprintf('k=\n'); %输出迭代次数disp(k);例1．用0.618法解下列问题 2min ()21f x x x =--初始区间[][],1,1a b =-，0.16ε=。
解：例2．用0.618法解下列问题2min ()f x x =初始区间[][],0,1a b =，0.2ε=。
第三章-一维搜索方法
数值解法基本思路：
先确定 k 所在的搜索区间，然后根据区间消去法原理 不断缩小此区间，从而获得 k 的数值近似解。
一维搜索一般分为两大步骤： (1)确定初始搜索区间[a，b]，该区间应是包括一维函数 极小点在内的单谷区间。 (2)在单谷区间[a,b]内通过缩小区间寻找极小点。
x2 a 0.618(b a), y2 f (x2 )
否 ba
是
x 0.5(a b)
止
f f (x)
b x2, x2 x1, y2 y1 x1 a 0.382(b a), y1 f (x1)
f
也可采用迭代次数是否大于或等于 k 作终止准则。
y1 y2 x a x1 x2 b
当方向 d k 给定，求最佳步长 k 就是求一元函数
f x k1 f xk kd k k
的极值问题。这一过程被称为一维搜索。
第三章 一维搜索方法
f (x (k+1) ) = min. f (x (k) + α S (k) ) = f (x (k) + α(k) S ( k) )
一维搜索是优化搜索方法的基础。
第三章 一维搜索方法
求解一元函数 a 的极小点 a* ，可用解析法。 f x ad f x adTf x 1 ad T G ad
2
f x dTf x 1 2dTGd
2
上式求α的极值，即求α导数为零。
dTf x *dTGd 0
则
*
dTf x
d T Gd
第三章 一维搜索方法
5
-1.386 -1.111 -0.940 -0.665
完整版一维搜索方法
f (? 1 ) f (? 2 )
o
?1 ?2
?
6
2) 若f1≤ f2 ，如下图所示, 则作后退计算。 令 h=-h, 将α1、 f1与α2、 f2对调，转入第3)步。
f (? )
f (? 2 )
f (? 1)
o
?1 ?2 ?
7
3)计算第3个试点α3 ＝α2+h, 计算函数值f3＝f(α3), 并 比较f2 和 f3 ，有如下两种情况 :
1
? 一维优化一般可分为两大步骤： ?确定初始搜索区间[a,b]; 该区间应为包含一维优化目标函数的极小点在内的单 峰区间。 ?在搜索区间[a,b]内寻找极小点。
优化算法的基本迭代公式：
X k?1 ? X k ? ? k S k , k ? 0, 1, 2,?
当迭代初始点 Xk 及搜索方向Sk 确定后，迭代所得的新点 Xk?1 取
作代换： α1 ＝α2 ， f1＝f2； α2 ＝α3 ， f2 ＝ f3。 继续计算
α3 （即步骤 3) ）；如此重复该过程，总能找到相继3试点 的函数值符合“大－小－大” 变化的要求。左端点为a,
右端点为b，从而找到了搜索区间[a, b]。
f (? )
f (? 1) f (? 2 )
f (? 3 )
a＝min( α1 ,α3 ), b=max ( α1 ,α3 )
h=2h, α3＝ α2+h, 计算f(α3)
N
作代换 α1 =α2 ， α2 =α3 ， f(α1)= f(α2) ， f(α2)= f( α3) ， α3＝ α2+h, 计算f(α3)
结束
10
? 进退法确定搜索区间的步骤：
2. 方法二 (1) 给定初始点α0和初始步长h0; (2) 令α1 ＝α0, h=h0， α2 ＝α1+h, 得： 两试点α1 ，α2 ，计算 f1 ＝f(α1), f2 ＝f(α2);
最优化第3章一维搜索方法
§3.1 搜索区间的确定
根据函数的变化情况，可将区间分为单峰区间和多峰区间。 所谓单峰区间，就是在该区间内的函数变化只有一个峰值， 即函数的极小值。
§3.4 插值方法
一、牛顿法
f(x)
利用一点的函数值、 一阶导数以及二阶 导数构造二次多项 式。用构造的二次 多项式的极小点作 为原函数极小点的 近似。
φ0(x)
φ1(x) f(x)
x*
x2
x1
x0 x
§3.4 插值方法
一、牛顿法
设f(x)为一个连续可微的函数，则在点x0附近 进行泰勒展开并保留到二次项：
§3.1 搜索区间的确定
f(x)
f(x)
f(a0) f(a0+h)
f(a0+3h)
f(a0-h) f(a0)
f(a0+h)
0 a0 a
a0+h
a0+3h x b
0 a0-h
a0
a
进退试算法的运算步骤如下：
a0+h x b
(1)给定初始点α0和初始步长h (2)将α0及α0+h 代入目标函数 f(x) 进行计算并比较大小
φ0(x)
φ1(x) f(x)
f ′ (x)
x*
x2 x1
x0
φ ′ 1(x) f ′ (x)
x* x2
x1
x0
牛顿法程序框图
开始
x 给定初始点 ，误差 0
,
令k=0
一维搜索的最优方法(黄金分割法)
05 黄金分割法的应用举例
在函数优化中的应用
一元函数优化
黄金分割法可用于一元函数的极值求解，通过不断缩小搜索区间来逼近最优解。
多元函数优化的辅助手段
在多元函数优化中，黄金分割法可作为辅助手段，用于一维搜索或线搜索过程。
在工程问题中的应用
结构设计优化
在结构设计中，黄金分割法可用于寻 找最优的结构参数，如梁、柱的截面 尺寸等，以实现结构性能和经济性的 平衡。
二分法每次迭代将搜索区间减半，而黄金分割法每次迭代将搜索区间缩小为原来的约 0.618倍。在收敛速度上，二分法通常比黄金分割法更快。但二分法要求函数在搜索区间 内连续且单调，而黄金分割法则没有这样的限制。
与牛顿法相比
牛顿法是一种基于导数信息的搜索方法，具有较快的收敛速度。但在一维搜索问题中，当 导数信息不可用或难以获取时，黄金分割法则更为适用。此外，牛顿法对初始点的选择较 为敏感，而黄金分割法则相对稳健。
解决一维搜索问题的方法有多种，其中黄金分割法是一种较为常用且有效的方法。
黄金分割法简介
黄金分割法是一种通过不断缩小搜索 区间来逼近函数极小值点的方法。
黄金分割法具有简单、快速、稳定等 优点，适用于单峰函数的一维搜索问 题。
它在每次迭代中，通过比较区间两个 端点处的函数值，来确定下一步的搜 索区间。
黄金分割点
在一条线段上，按照黄金分割比 例将线段分割成两部分，分割点
即为黄金分割点。
函数图像
对于一元函数，可以将其图像视 为一条曲线。黄金分割法通过不 断在曲线上选取试探点来逼近最
优解。
搜索区间缩小
每次迭代后，根据试探点的函数 值比较结果，将搜索区间缩小，
使得下一步的搜索更加精确。
黄金分割法的算法步骤
一维搜索方法
一维搜索方法：（方法比较）“成功—失败”法、二分法、0.618法（黄金分割法）、牛顿法、二次插值法、D.S.C法、Powell法、D.S.C—Powell组合法。
1、“成功—失败”法：主要思想：从一点出发，按一定的步长搜索新点，若成功，加大步长继续搜索，否则，缩短步长小步后退。
此方法可以求最优解所在区间，称为“搜索区间”。
2、二分法：主要思想：区间[a,b]的中间值x0，判断f（x）的导数在三个点处的值，舍去一部分区间再求f(x)的极小值。
3、0.618法：等比例收缩原则，每次留下来的区间长度是上次留下来的区间长度的w倍。
以及对称原则、去坏留好原则。
W=0.6184、牛顿法：基本思想：在极小值点附近用目标函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数的极小值点的近似值。
5、二次插值法：牛顿法是在x k附近的目标函数用泰勒多项式近似代替，而此法是将f(x)用二次插值多项式p(x)近似代替。
把p(x)的极小值点作为f(x)极小值点的代替，从来求得函数的极小值。
6、D.S.C法：主要思想：利用成功—失败法寻找靠近极小值点的三点，进行二次插值。
优点是：收敛速度快，且不要求函数可微。
7、Powell法：基本思想：在搜索方向开始得到三点x0,x1,x2后，作二次插值，求得最小值x，在四点中去坏留好，在余下的三点中再作二次插值……8、D.S.C—Powell组合法：几种方法比较：D.S.C—Powell组合法是非常好的一种方法，它比任何一个单个方法都好D.S.C—Powell组合法与0.618法比较：D.S.C—Powell法中函数值的计算要比黄金分割法少得多，一般来讲它优于黄金分割法。
但：D.S.C—Powell法不一定能收敛到最优解。
最速下降法与修正牛顿法：对于正定二次函数，牛顿法一步可以求得最优解，对于非二次函数，牛顿法并不能保证有限次求得其最优解，但由于目标函数在极小值的附近近似于二次函数，故当初始点靠近极小值时，牛顿法收敛的速度比较快。
优化练习-黄金分割法
一维搜索——黄金分割法在迭代算法中，需要进行一维搜索。
它的快慢、好坏，直接影响最优化问题的求解速度。
迭代算法的基本公式，可写成()()kkX X S α=+其涵义是从()k X 点出发，沿()k S 方向，寻求最小值点。
当()kαα=时，则找到了最小值点()1k X +，所以X 点的函数值可表示为：()()()()()kk F X F X S αϕα=+=可以看出，当()k X 、()kS 一定，()F X 只是α的函数，这就是一维搜索。
其意义是寻求一最优的α，使函数值最小。
在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法是黄金分割法，黄金分割法的计算次数较少。
黄金分割法也称做0.618法。
是在给定的14~αα 区间内，搜索最优步长*α的值。
如图1所示：图1 黄金分割法区间分割 如果14~αα 区间很小，则可令()*1412ααα=+ 如何使14~αα区间缩小，首先在区间内插入两个分割点1α ，2α ，且满足1234αααα<<<，这样就可以根据分割点的函数值，决定割舍区间。
可以证明，对于单峰函数，设*α已在14~αα区间内，且不管*α在哪一点上，只要经过()2ϕα 和()3ϕα函数值比较，将函数值大的邻近部份去掉，*α仍将保留在剩余段的区间内，如图2所示。
图2 缩小分割区间图中阴影部分即为根据函数比较而去掉的部分。
可以看出*α在任何情况下，都将保留在剩余段中。
用这种办法缩小区间，每一步都建立两个分割点，进行两次函数值计算。
如把分割点按对称原则建立，就能利用前次保留的一个分割点，就可使计算工作量减少一半，使计算速度提高一倍。
按这一思路形成的算法，就是黄金分割法。
具体做法如图3所示。
图3确定缩短率第一次区间是14~αα，假定()()32ϕαϕα>,根据缩小规则，去掉34~αα段。
此时区间缩短率λ为：V lλ=式中V 、l 分别对应区段的长度。
第二次区间是14~αα'，假定()()32ϕαϕα''>，去掉34~αα''段。
Fibonacci数列与黄金分割求极小的程序法
Fibonacci数列与黄金分割求极小的程序法管志忠【摘要】本文通过Fibonacci法和黄金分割法进行一维搜索的模型分析,运用Matlab编写了两种模型的程序.给出的算例表明,根据两种算法模型编写的程序,不受精度限制,且计算准确,省时省力,具有一定的理论及实际应用价值.【期刊名称】《河西学院学报》【年(卷),期】2010(026)005【总页数】4页(P1-4)【关键词】Fibonacci数列;黄金分割法;MATLAB程序【作者】管志忠【作者单位】池州职业技术学院,安徽,池州,247000【正文语种】中文【中图分类】O229在无约束极值问题中常用到搜索方法，而一维搜索是求一元函数的极小点方法，它是多维搜索的基础.具有内在本质联系的Fibonacci法和黄金分割法恰是被人普遍接受的一维搜索法.著名的Fibonacci数列{FK}，k=0，1，2，…，是指满足关系的整数序列，也可以写成:其通项公式为:容易证明分数序列是收敛的，且有(黄金分割数).事实上，令，由通项公式得如果考虑要在区间 [a0，b0]上，求一元函数f(x)的最优解.Fibonacci法模型为:设n表示要计算的函数值个数，k=n-1表示迭代次数.在这两点中，以函数值较小者为近似极小点，相应的函数值为近似极小值.而黄金分割法可以看作是Fibonacci法的近似，差别只在于最初两个试验点的选取上，黄金分割法最初两个试验点选在［a0，b0］中的0.382与0.618处，以后每次迭代都是按对称的原则选试验点.两种方法虽被普通接受，但在精度很高的情况下，迭代次数很多，计算量大，容易出错.根据两种算法模型编写的程序就优越多了，不受精度限制，且计算准确，省时省力.运用MATLAB编制Fibonacci数列求极小的程序 (不妨取文件名为:Fibo.m)如下: 运用MATLAB编制黄金分割求极小的程序 (不妨取文件名为:goldmin.m)如下:评价一种方法的好坏，当然不仅仅看运算速度，如果计算的精度不能达到预定的要求，也是要被淘汰的方法.下面通过具体算例的求解，对Fibonacci法、黄金分割法以及用两种方法的程序法进行比较，来判断程序的可行性.例求函数f(x)=x2-x+2在［－1，3］上的近似极小点和极小值，要求缩短后的区间长度不大于区间［－1，3］长度的0.1、0.001、0.00001倍.结果如下表所示:实际上，对于高次方函数，只须修改子程序即可.如求函数f(x)=x4-2x3-5x2+5在［1，3］上的近似极小点和极小值，要求缩短后的区间长度不大于区间［1，3］长度的0.1、0.001、0.00001倍.根据此函数编制子程序 (不妨取名funl.m)如下:在MATLAB 命令窗口中分别输入［x，y］=Fibo(＇fun1＇，1 ，3 ，0.1)、［x，y］=Fibo(＇fun1＇，1 ，3 ，0.001)、［x，y］=Fibo(＇fun1＇，1 ，3 ，0.00001)、［x，y］=goldmin(＇fun1＇，1 ，3 ，0.1，500)、［x，y］=goldmin(＇fun1＇，1 ，3 ，0.001，500)、［x，y］=goldmin(＇fun1＇，1 ，3 ，0.00001，500)，结果如下表所示:对于简单的一维问题可能看不出两者之间的差别，但是对于大型高精度多维问题的求解时，往往都会用到一维搜索方法.程序法可以通过控制精度来提高结果的准确性，而且避免了因提高精度而增加了迭代次数所带来的手工计算的繁琐，可以节省很多的计算时间，具有一定的理论及实际应用价值.【相关文献】［1］华东师范大学数学系.数学分析 (第三册)［M］.北京:高等教育出版社，2001.［2］刘艳.关于黄金分割法的几点讨论［J］.机电技术，2006，1.［3］牛映武.运筹学［M］.西安:西安交通大学出版社，2006，5.［4］李南南等.MATLAB7简明教程［M］.北京:清华大学出版社，2006，3.。